Modelización de sistemas biológicos (por computadora)...

Sistemas poblacionales

Modelización de sistemas biológicos

(por computadora)

FIUNER

Modelos Poblacionales

• Repaso

• Conceptos y definiciones.

• Etapas de la modelización en modelos

poblacionales

• Del modelo conceptual al físico

• Del modelo físico al matemático

• Ejemplos

Objetivos

• Distinguir las características de la

Modelización Poblacional

• Aplicar las etapas implicadas en el proceso

de modelización.

• Aprender a modelizar sistemas biológicos

de diferentes naturalezas.

• Analizar algunos ejemplos de

modelos biológicos.

Repaso Clasificación de modelos

De acuerdo a la estrategia de resolución del sistema

• Compartimentales

• Poblacionales

• Analogías

• Autómatas – Determinísticos

– Probabilísticos

»Agentes

Cuándo usar una determinada estrategia de modelización

Compartimental: – El sistema puede ser subdividido en un conjunto

acotado de subsistemas (variables endógenas)

– El Sistema es estable

– Existe una ley de cierre o conservación

Compartimento: región o volumen cuya distribución de sustancia o energía es uniforme

Cuándo usar una determinada estrategia de modelización

Poblacional • Están en juego poblaciones o especies:

– a nivel micro (células, virus, bacterias...)

– a nivel macro (individuos, plantas, animales, etc.)

Repaso

• El problema de cinética de poblaciones parece estar en desacuerdo con nuestra

definición de compartimento

Nicho <=> Epidemiología

Compartimento: Región o volumen cuya distribución de “organismos” es uniforme??

No es homogéneo

No hay conservación


Población: conjunto de organismos de la

misma especie viviendo en un espacio

particular en el mismo lapso de tiempo

Las poblaciones están compuestas por

individuos capaces de interaccionar entre sí


Por qué estudiarlos:

• ¿Puede preverse de forma determinística la

dinámica de una población?

• ¿Existe el modelo que nos permita describir la

dinámica presa/predador en el sistema

inmune?, por ej.

• ¿Cómo influye el efecto del aprendizaje del

depredador en los ciclos presa/predador?

• ¿Pueden los pesticidas controlar

efectivamente las plagas?

Modelos poblacionales

1. Dinámica de especies aisladas

2. Dinámicas con interacción entre 2

especies

3. Dinámicas con interacción entre N

especies: ejemplo: modelo simplificado

del HIV

Dinámica de especies aisladas

1. Ecuación de Malthus

2. Ecuación de Pearl-Verhulst

3. Ecuación logística generalizada

4. Modelos con retardo

5. Modelos con distribución por edad

Dinámica de especies aisladas

N(t): cantidad de individuos en el instante t

Variables continuas??

)()( esemigracionmuertesnesinmigraciosnacimientodt

dN

Ecuación de Malthus: notación

Inglaterra, 1798

Ecuación de Malthus

• El crecimiento no es influenciado por

ninguna variable exógena

• La relación de sexos es 1:1

• Todos los individuos tienen la misma edad

• No hay diferencias geográficas en las velocidades de crecimiento


ttt

ttt

tttt

t

NNN

rNhNN

htNNNfhNN

N

tttrNNfNtftN

1

1

11

10

)(

)()(

)(),()(0

con

con

t

tt

N

NN 1

Censo Habitantes

1 1.9 x 105

2 3.6 x 105

3 6.9 x 105

4 1.3 x 106

5 2.5 x 106

6 4.7 x 106

7 8.5 x 106

Euler

Ecuación de Malthus:

solución analítica

t

N

rteNtN

rtNtN

rdtN

dNrN

dt

dN

)0()(

))0(log())(log(

No


• La prueba del modelo propuesto para el crecimiento a largo plazo indica que éste debe ser

rechazado. Sin embargo podría ser útil para crecimiento a corto plazo.

• Como el crecimiento de la población depende sólo del tamaño de la población, se debe agregar

que si la población crece demasiado la tasa de mortalidad va a exceder a la de natalidad (recursos limitados)

• Todo esto implica un replanteo de nuestro modelo físico.

Ejemplo de planteo de un

modelo

1.Explicación y

predicción de los

cambios

en la población.

2.El crecimiento es

proporcional a la

población.

3. dN/dt = r N

N = No si t = to

4.

N = No ert

5.

Crecimiento sin

límites si r > 0

6.

No satisfactorio

para población.

Ecuación de Malthus • Si a esto lo traducimos otra vez en lenguaje

matemático, debemos reemplazar r por f(N(t))

que es una función decreciente de N(t) para

N(t) grande, y se hace negativo cuando N(t) es

muy grande.

Por lo tanto:

En recurrencias:

)(NfNdt

dN

)(1 tttt NfNhNN

Ecuación de Pearl (1845)

NNNdt

dN

NNrdt

dN

)/1(

)(

medio del lidadsustentabi o acarreo de Capacidad N

)/1(1 NNNNN tttt Ec. en diferencias:

N<<N∞; N= N∞; N> N∞

¿Cómo calcular los parámetros α y N∞?

Ecuación de Pearl

t

t

tt NNN

NN

1

t

tt

N

NNy

1

tNx

Censo Habitantes

1 1.9 x 105

2 3.6 x 105

3 6.9 x 105

4 1.3 x 106

5 2.5 x 106

6 4.7 x 106

7 8.5 x 106 Regresión lineal

Ecuación de Pearl

NNNdt

dN

NNrdt

dN

)/1(

)(

t

N

N

Puntos de equilibrio

/N

ɛ

Ecuación de Pearl-Verhulst

(1925)

NKNt /

Ecuación logística generalizada

t

N

)()/1( NNNNdt

dNNNN

dt

dN


• Población límite

• Puntos de inflexión

NEN

NNr

dt

dN

1

t

N N∞

No

r r-E

Nh

N

r

ErNh


Modelos poblacionales con cosecha (harvesting)

Ejemplo: cosecha de peces

22

2

)(

)(1

NA

BNN

NN

NNr

dt

dN

B


• Efecto Allee

– Disminución en la tasa de nacimientos por

competencia

– Incrementos en la tasa de nacimientos por

aumento de la chance de encontrar pareja

M es un umbral debajo del cual la tasa neta de

crecimiento es negativa cosecha a tasa constante

N

M

N

NrN

dt

dN11


Nacimientos dependientes de densidad de población

N

brNN

N

NbrNNNN

N

NbNNN

N

NbbNNN

ttt

tttt

tttt

tttt

22

2

1

22

1

1

)(

)/1(1 NNbNNN ttttNacimientos dependientes de densidad

Poblaciones

Estructuradas por Edad

• Estructura etaria: sólo los individuos de

una determinada edad se reproducen

• Tasas Independientes de Densidad

(caso más sencillo)

con di tasa de mortandad de la estructura etaria i

si tasa de supervivencia de la estructura etaria i

pero

tiitiitiititi NsNsNdNN ,11,,,1,

tiiti NsNsd ,111,1

Estructura etaria:

el Modelo de Leslie (1945)

......................

;

;

;

;

,221,3

,111,2

,001,1

,331,0

tt

tt

tt

tt

NsN

NsN

NsN

NfN

Aproximación matricial

tmm

m

tm N

N

N

N

s

s

s

ffff

N

N

N

N

2

1

0

1

1

0

210

1

2

1

0

000

000

000

Nt+1=LNt

L: Matriz de Leslie

t

n

nt NLN 1

Estructura etaria:

el Modelo de Leslie El Modelo de Leslie posee un punto de equilibrio estable

al que evoluciona el sistema

Por consecuencia:

– Siempre retorna al estado estable

después de perturbaciones

– El sistema tiende asintóticamente a

estabilizarse con una tasa neta de

crecimiento y una estructura etaria

propia (independientemente de las

condiciones iniciales)

– Puede analizarse el sistema independientemente de las

condiciones iniciales sólo interesa la matriz L

• Las poblaciones con tasas de fertilidad grande tienen una estructura etaria desproporcionadamente joven

• Las poblaciones con altas tasas de mortandad en todas las edades también poseen estructura etaria joven

Modelos con retardos

•Los nacimientos actuales dependen de la

disponibilidad de recursos un período T de

tiempo atrás

•La tasa de nacimientos no es instantánea:

•Retardo debido a la maduración

•Retardo debido a la gestación

T

tAtNTtN

Tdt

tdN

2cos)()(

2

)(

Modelos con retardos

La tasa de crecimiento depende de la cantidad de individuos

que había un período de tiempo T atrás

El período de repetición es 4 veces T

tfA

T

tAtN T

2

4

1cos

2cos)(

K

TtNtNr

dt

dN )(1)(

•El efecto regulador depende de la cantidad de individuos actual

y de la que había un tiempo T atrás (tiempo de larva a adulto)

•La dinámica oscilatoria es independiente de K

Sin solución analítica Pruebas sobre N´ cerca de K

Modelos con retardos: ejemplo 1

El Moscardón de la Oveja

Ciclo límite estable

Ejemplo 2: Regulación de la

Hematopoiesis

)()(

)()(

)())(()(

tcgTtca

Ttca

dt

tdc

tcgTtcdt

tdc

mm

m

T=6

T=20

(Caos)

Caso real

(leucemia)

Relaciones entre especies

TIPO DE RELACIÓN CARACTERÍSTICAS

Depredación

Consumo de un ser viviente por parte de otro.

Competencia

Lucha, directa o indirecta, entre varios seres vivos, de

una misma especie o de especies distintas, por el

acceso a un recurso.

Comensalismo

Relación asimétrica entre dos seres vivos; uno de ellos

se beneficia, mientras que el otro no obtiene beneficio ni

perjuicio.

Simbiosis

Relación entre dos seres vivos con beneficio recíproco,

a menudo hasta el extremo de que ninguno de ellos

podría vivir sin el otro.

Parasitismo

Relación asimétrica con beneficio para uno y perjuicio

para el otro. El parásito se alimenta a expensas de su

huésped.

Relaciones presa-predador

• “Los individuos de una especie son el

alimento de los de la otra especie”


• La especie depredada en forma aislada

crece naturalmente (según la disponibilidad

de alimentos):


• La especie predadora en forma aislada se

extingue por falta de alimentos:


• La especie depredada pierde individuos

cada vez que hay un encuentro entre

ambas especies:


• La especie predadora incrementa su

población en función de los encuentros

con “su alimento” :


Ecuación de Lotka-Volterra


t

N

N2

N1

Figura 3.1

Problemas presa predador

)(

)(

1222222

2111111

NNrNdt

dN

NNrNdt

dN

Figura 3.4 P

Ejemplo: el lince canadiense y la

liebre de la nieve

Modelado de competencias

• “Dos especies compitiendo por un mismo

nicho ecológico”


• “Dos especies compitiendo por un mismo

nicho ecológico”

• Cuando había una sola especie se

modelaba la disminución de alimento

mediante:

• Ahora las dos especies reducen el alimento

Simbiosis o mutualismo

• “Relación con beneficios mutuos entre las

dos especies”

• En casos extremos ninguno de los dos

podría vivir sin el otro

Simbiosis: ejemplo 1

– Crecimientos incontrolados

– Beneficios mutuos

– Ej.: el arrecife


– Capacidades de crecimiento controladas

– Situación más realista

– Ej.: Hormiga/Hongo

Comensalismo

• “Relación asimétrica entre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mientras que el otro no obtiene beneficio ni perjuicio.”

Ej: pez timón

X

Parasitismo

• “Relación asimétrica con beneficio para

uno y perjuicio para el otro.”

• El parásito se alimenta en detrimento de su

huésped.


• Uno de los modelos clásicos de competencia

interespecífica es el modelo no lineal general de

Lotka-Volterra

Rsrdcba

sxdycy

rybxax

,,,,,

dt

dy

dt

dx

No puede

resolverse en

forma analítica

Taylor - Jacobiano Matriz Comunidad


• Ubicación del punto crítico y evolución

asociada: y

xExplosióndemográficasin límites

Extinción

ExtinciónEquilibrioestable /inestable

Análisis de estabilidad

Análisis de puntos de equilibrio

Interacción entre 3 especies:

Dinámica del virus de HIV

• Células CD4 (cooperadoras):

• Células CD8 (citotóxicas):

• Virus HIV: destruye células CD4

Dinámica del virus de HIV

NCDeCDyNCDeCDVe

dVec

NcCDeCD

bVea

NaCDeCD

NfCDNeCDVSi

NCDCDNCDCDVSi

Equilibrio

88 440

88

44

840

88y 440

• Los Interferones son sustancias naturales que produce el

organismo para combatir agresiones tales como las

infecciones causadas por virus.

• No se conoce exactamente el mecanismo de acción de los

interferones alfa en el cáncer y en las enfermedades

víricas, pero se cree que actúan como

inmunomoduladores (sustancias que modifican la

acción del sistema inmunitario).

• Los interferones alfa pueden bloquear también la

multiplicación de los virus.

• El Interferón Alfa-2b usado como sustituto actúa de la misma forma que el

interferón alfa natural.


Modelo Simplificado del Cáncer


Modelo Simplificado del Cáncer

• S: células sanas (ovejas)

• C: células cancerígenas (lobos)

• I: interferón (perros)


– N: población en cupla simbiótica: el arrecife

Modelos basados en Poblaciones

de Individuos • Nicho

• hábitat compartido por varias especies: todos los factores bióticos, abióticos

y antropicos con los cuales el organismo se relaciona

• hipervolumen de n-dimensiones, donde cada dimensión corresponde a los

factores

• Cambio de enfoque

Modelos Globales

Modelos Locales

Autómatas

Agentes Evolución, fenotipo extendido…

Bibliografía • “Modeling Biological Systems”, J.W. Haefner, Springer, NY, 2005

• “Mathematical Biology I: An Introduction”, JD Murray, Third Edition, Springer, 2002

• "Matemáticas para Biólogos", Hadeler

• "Computer Modelling of Complex Biological Systems", S. Sitharama Iyengar, CRC Press.

• "Farmacocinética Clínica", John G. Wagner, Ed. Reverté, S.A., 1983.

• "Modelling and Control in Biomedical Systems", Cobelli-Mariani, 1988.

• "Drugs and Pharmaceutical Sciences", Gibaldi

• "Introducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Editores, 1988.

• "Modelling with Diferencial Equations", Burghes-Borrie.

• "An introduction to Mathematical Modelling", Bender.

• "Elementos de Biomatematica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Científico, 1979.

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