Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas Manuel Pérez Cagigal...
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Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase
compensadas
Manuel Pérez CagigalGrupo de Optica. Universidad de Cantabria
ESPAÑA
2
La resolución astronómica en un telescopio está limitada por :
Errores de diseño y manufactura
Límite difraccional
Distorsiones introducidas por la atmósfera
3
Atmósfera
Frente de onda plano
Sistemas de OA
Sistema de detección
Sensor de frente de
onda
Frente de onda distorsionado
Espejo
deformableFrente de onda compensado
4
Ejemplos
Distorsión atmosférica
LARGA EXPOSICION
Compensación parcial
CORTA EXPOSICION
5
EFECTO DE LA COMPENSACION
6
OBJETIVOS:
Descripción de la pantalla de fase distorsionada y compensada
Modelo de proceso de formación de imágenes
7
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
APLICACIONES I
- Caso no-Gauss.
- Efecto en isopl.
APLICACIONES II
- Calibrado de sistemas
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
8
MODELO DE ATMOSFERA
ATMOSFERA = PANTALLA DE FASE
r0
Ddiámetro del telescopio
Parámetro de Fried
9
FRENTE DE ONDA CORREGIDO
ATMOSFERA+ COMPENSACION = PANTALLA FASE
0
D diámetro del telescopio
Parámetro de Fried generalizado
10
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: j.
2exp)(
2exp
2
1)(
22
j
jj
MP
TF
11
ESTADISTICA DE LA FASE
-3.14 -1.57 0 1.57 3.14
(rad)
P(
)
12
VARIANZA DE LA FASE
1ji
2ij
ii
a
),(Za),(i
rr
Descomposición en polinomios de Zernike :
0.1
1
10
100
1 10 100
Número de modos corregidos
Var
ianz
a de
la fa
se
(D
/r0)
5/3
13
FUNCION DE ESTRUCTURA
( 2)()()( rrD
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1
r (D units)
D
(ra
d2 ) 2j
2j´
lc´ lc
(r/0)5/3
(r/r0)5/3
14
LONGITUD DE CORRELACION
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 25 50 75 100 125Número de polinomios corregidos
l c (
D u
nit
s)lc no depende de las condiciones atmosféricas
lc = 0.286 j-0.362 D
15
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
j
3/5
0
c 288.6
l
0362.0
5/3
0 j286.0coef(j)
44.3r
0.025
0.035
0.045
0.055
0.065
0.075
0 25 50 75 100
Numero de polinomios corregidos
0 (D
uni
ts)
16
PARAMETERO GENERALIZADO DE FRIED
Igual a r0 pero en compensación parcial:
- Función de estructura
- Tamaño de celda en F.O.
- Tamaño del halo en PSF
17
DAPROXIMADA
Modelo aproximado de la función de estructura:
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1
r (D units)
D
(rad
2 )
2j
lc
(r/0)5/3
18
1.- P(I) 6.- PSF
2.- P(n) 7.- Ganancia
3.- SR 8.- Simulación
4.- SNR 9.- Experimento
5.- j
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
19
FORMACION DE IMÁGENES
Amplitud del C.E.: suma de un gran número de contribuciones elementales.
Plano imagen
Frente de onda
N
kkki
N
kkkr
sinA
A
cos
20
PROBABILIDAD CONJUNTA de Ar y Ai
Aplicando el teorema del límite central:
2
2
2
2)(exp
2
1),(
i
i
r
rr
irir
AAAAAp
Donde:
)2(12
)1()2(12
)1(
2
2
22
2
2
M
MM
MNA
i
r
r
21
MODELO DE PANTALLA DE FASE
1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros
puntos
2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: j.
2exp)(
2exp
2
1)(
22
j
jj
MP
TF
22
1. PDF DE LA INTENSIDAD
De p(Ar,Ai) : sinIAIA ir cos
d
iσ
θsinI
rσ
)r
AθI(
iσ
rπσ
)(Ip
2
2
2
2cosexp
2
1
INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración numérica
(Speckle statistics in partially corrected wavefronts. Cagigal, Canales. OL 1998)
23
En compensación parcial:
AiAr
<Ar>S
Ar
Ai
Camino aleatorio + fasor const.
Rician P(I)
24
DISTRIBUCION DE RICE
202
2
2 2exp
2
1)(
Ia
IaI
IP
Aproximación de P(I):
2
22
a
(Rician distribution to describe spec kle statistics in adaptive optics. Canales, Cagigal. AO 1999)
Se igualan medias y varianzas
25
PARAMETROS APROXIMADOS
Los parámetros se pueden aproximar por:
PI)M(σ
PI)N M( a
21122
21222: energía en el halo
a2: energía coherente
26
EXTENSION AL PLANO COMPLETO
P(x,y)Del teorema de desplazamiento:
22
jj 22)0,0(),(
f
yD
f
xDyx
2
2
02
2
2 ),(a),(
),(a2I
),(a),(
),(aexp
),(a),(
1)(
yxyxI
Iyx
yxyxI
yxI
yxyxIIp
27
2. DISTRIBUCION DE FOTONES
La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I):
(Photon statistics in compensated wavefronts. Canales, Cagigal. JOSA 1999)
( ( (
22
2
2
2
12
2
σ21σ2
aL
σ21
aexp
σ21
σ2)( nn
n
nP
28
3. COCIENTE DE STREHL, SR
El cociente de Strehl se puede derivar en función de parámetros conocidos:
N
NSRASR
je)1(12i
2r
2r
29
SR DESDE EL HALO
El radio del halo se define como:
)0()( HALO2HALOHALO
IRxdxIimagen
0.00E+00
2.00E-03
4.00E-03
6.00E-03
0 32 64x ( l /D)
PSF
RHALO
Desde el halo del PSF halo:
( ( ( j-2
020
e1/1/
1
DD
SR
30
COMPARACION ENTRE SR
Comparando ambas expresiones del SR:
Baja compensación Alta compensación
2. SR (0/D)2 exp(-j)
1. Número de celdas
0 = diámetro de la celda
2
0
D
N
31
4. SNR
0
1
2
3
0 4 8 12r
SN
R)e(0e)42(2)e-(2N1
e)1(1jjj
j
3-2--
-
N
NISNR
I
32
5. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Desde la función de estructura y el modelo de imagen:
3/52/1
22
2
c2
)σexp(1
)σexp(44.3σ
DSR
l
(Residual phase variance in partial correction. Canales, Cagigal.JOSA 2000)
33
ESTIMACION DE LA V.R.F.
Sustituyendo la long. de correlación:
Para baja compensación:
3/5
2/1
362.02 j286.0
44.3σ
SR
3/52/1
2
2362.02
)σexp(1
)σexp(j286.044.3σ
SR
34
( (
(
c
c
lrrOTF
lrr
rOTF
FxPSF
jTEL
j
3/5
0jTEL
exp)(
exp44.3expexp)(
T)(
0
0.005
0.01
0.015
0 32 64x ( l /D)
PSF
Modelo aproximado de la PSF:
)(
2
1exp)()( TEL rDrOTFrOTF
6. PSF APROXIMADA
35
7. GANANCIA
La intensidad media en el halo es:
La intensidad en el pico coherente es:
( ( 2c
2/
exp
Df
EI jT
l
( ( 2h
2/
exp1
corr
jTalo
lf
EI
l
Ganancia del sistema :
(Gain estimates for exoplanet detection with adaptative optics. Canales, Cagigal A&A 2000)
G = Ic /I halo
36
GANANCIA
2
exp1
exp
corr
l
D
jΔ
jΔ
G
0,E+00
2,E+05
4,E+05
6,E+05
8,E+05
0 4000 8000 12000
Numero de actuadores
Gan
anci
a
1,E+00
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
1,E+05
1,E+06
0 2500 5000 7500 10000
Numero de actuadores
Tie
mpo
de
inte
grat
ion
(h
oras
)
37
Simulamos pantallas de fase compensadas siguiendo el procedimiento de N. Roddier.
8. SIMULACION POR COMPUTADOR
• Cumple la estadística de la atmósfera
• Fácil de introducir la compensación
• Calculo rápido
38
39
ESTADÍSTICA DE LA FASE
-3.14 -1.57 0 1.57 3.14
P( )
ESTADISTICA DE INTENSIDAD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 0.0025 0.005 0.0075
I
p(I
)
0
0.1
0.2
0.3
0 0.006 0.012 0.018
I
p(I)
0
0.1
0.2
0.3
0 0.025 0.05 0.075 0.1
I
p(I
)
0
0.1
0.2
0.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4
I
p(I)
SNR
0
1
2
3
0 0.5 1 1.5
x ( l /D)
SN
R
40
ESTADISTICA DE FOTONES
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 5 10 15 20
n
P(n
)
0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20n
P(n
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 5 10 15 20
n
P(n
)
0
0.2
0.4
0.6
0 5 10 15 20n
P(n
)
ANALISIS DE LA PSF
0
0.001
0.002
0.003
0 20 40 60 80x (l /D)
PS
F
0
0.001
0.002
0.003
0 20 40 60 80
x ( l/ D)
PS
F
0
0.005
0.01
0.015
0 20 40 60 80
x ( l /D)
PS
F
0
0.04
0.08
0.12
0 20 40 60 80
x ( l /D)
PS
F
41
0
0.005
0.01
0.015
0 20 40 60 80
x ( l /D)
PS
F
42
9. EXPERIMENTO
P1 LCD2 P2
CCDLaser
PC1 PROYECTOR F. de O. CORREGIDO
43
IMAGENES
44
ESTADISTICA DE LA INTENSIDAD
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
I
P(I
)
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
I
P(I
)0
0.25
0.5
0.75
0 0.05 0.1
I
P(I
)
0
0.2
0.4
0.6
0 0.05 0.1
I
P(I
)
45
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
APLICACIONES I
- Est. no-Gaussiana
- Efecto en isopl.
APLICACIONES II
- Calibrado de sistemas
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
46
I.1 ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
Número de celdas= (D / 0)2
0
D diámetro del telescopio
Parámetro de Fried generalizado
(Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001)
47
La función característica de N celdas es:
N N
jkk
kik kaUJjaUJUjUC
1 1
22
10 )exp()()()cos(exp()
~(
La distribución de probabilidad del c.e.:
UdkaUJjaUJAUjAPN
jkk
k
2
1
22
102
)exp()()()~~
exp(4
1)
~(
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
48
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4
I/<I>
P(I
)
ESTADISTICA NO-GAUSSIANA
49
I.2. AREA ISOPLANATICA
h
r00 )(cos314.0
Sin compensación: Con compensación:
h0
0 )(cos314.0
Pupila Telescopio
h iso
r
h 0
50
AREA ISOPLANATICA
362.0
5/3
00 j286.0
coef(j)
44.3)(cos314.0
h
r
Dependencia del número de polinomios corregidos:
0
0,025
0,05
0,075
0,1
0 25 50 75 100Numero de polinomios corregidos
0
( uni
d. a
rb.
)
51
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
APLICACIONES I
- Est. no-Gaussiana
- Efecto en isopl.
APLICACIONES II
- Calibrado de sistemas
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
52
II.1. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE
Fuentes de error:
- Resolución finita: espacial y temporal
- Ruido de fotones
- Anisoplanatismo
- Scintillation
- Retraso entre sensado y compensación
Valor instantáneo de j es útil para:
A. Calibrar el sistema
B. Estadística instantánea de fotones
C. PSF instantáneas
53
A. ESTIMACION DE LA V.R.F
1
10
100
1000
0 25 50 75 100
Number of corrected modes
2 (r
ad2)
B. ESTADISTICA INTENSIDAD
0
0.1
0.2
0.3
0 0.02 0.04 0.06
I
P(I
)
0
0.1
0.2
0.3
0 0.05 0.1 0.15 0.2
I
P(I
)0
0.1
0.2
0 0.2 0.4 0.6
I
P(I
)
0
0.1
0.2
0 0.2 0.4 0.6
I
P(I
)
C. PSF INSTANTANEAS
0
0.005
0.01
0.015
0 20 40 60 80
x ( l /D)
PS
F
54
II.2. DETECCION DE EXOPLANETAS
Desviaciones de:
- P(n)
-Transformada de Fourier o Laplace de P(n)
- n(2), g(2)...
*o n
NnSNR
55
)e1(D
)e(Δρ)G(Δ
j
j
Δ2
Δj
20
j
GANANCIA
0,E+00
2,E+05
4,E+05
6,E+05
8,E+05
0 4000 8000 12000
Numero de actuadores
Gan
anci
a
1,E+00
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
1,E+05
1,E+06
0 2500 5000 7500 10000
Numero de actuadores
Tie
mpo
de
inte
grac
ion
(h
oras
)
56
INTERFEROMETRO DE NULO
1,E-06
1,E-04
1,E-02
1,E+00
1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04
Número de modos corregidos
Inte
nsid
ad
2222* 22 irirI
57
0
2
4
6
0 2500 5000 7500 10000
Numero de modos corregidos
S/N
INTERFEROMETRO DE NULO
( 2/1
*0 ),(21/ yxInINS j
1
10
100
1000
0 20000 40000 60000
Numero de modos corregidos
Tiem
po d
e in
tegr
ació
n (h
oras
)
58
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
APLICACIONES I
- Est. no-Gaussiana
- Efecto en isopl.
APLICACIONES II
- Calibrado de sistemas
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano
59
0
0,25
0,5
0,75
1
-4 -2 0 2 4
P(
)DISTRIBUCION DE FASE
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-30 -10 10 30
P()
60
FUNCION DE ESTRUCTURA
0,001
0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1r
D
0,001
0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1r
D
0,001
0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1r
D
0,001
0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1r
D
61
PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2 3 4 5 6 7
Numero de modos corregidos
0
PARAMETROS CARACTERISTICOSLONGITUD DE CORRELACION
0
0,1
0,2
0,3
0,4
2 3 4 5 6 7
Numero de modos corregidos
Lon
gitu
d d
e co
rrel
acio
n (
D
units
)
62
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,01 0,1 1
r
D
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,01 0,1 1
r
D
MODELO DE F. DE ESTRUCTURA
c2
63.0)(
c
55.1
0
l
lD
j
63
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
50 60 70 80x
PSF
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
50 60 70 80x
PSF
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
50 60 70 80x
PSF
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
50 60 70 80x
PSF
PSF MODELO-EXPERIMENTAL
64
Modelo de pantalla de fase
- Estadística de fase
- Función de estructura
- Longitud de correlación
- Parámetro Generalizado de Fried
Caso estándar
APLICACIONES I
- Est. no-Gauss.
- Efecto en isopl.
APLICACIONES II
- Calibrado de sistemas
- Detección exoplanetas
APLICACIONES III
- Ojo humano