Notas de clases:

Modelo de Lancaster Control ptimo con interaccin

Yamila Amanti

El presente trabajo desarrolla en forma simplificada el modelo de Kelvin Lancaster, La

dinmica ineficiente del capitalismo1, publicado en 1973.

El objetivo del mismo es plantear el desarrollo matemtico a travs de la Teora de

Control ptimo y explicar la dinmica del comportamiento de los principales agentes

econmicos del capitalismo.

Esta dinmica se puede ver desde la ptica de la Teora de los Juegos, ya que a travs

de modelos matemticos se intentan determinar qu decisiones deben tomar los

capitalistas y los trabajadores para maximizar su consumo, estando sumidos en una

lucha constante de intereses.

1 The Dynamic Inefficiency of Capitalism

INTRODUCCIN

En la economa actual, la produccin de bienes tiene dos fines: uno es el consumo de

los bienes y servicios producidos y el otro la acumulacin de capital.

En la produccin de bienes y servicios intervienen dos agentes econmicos, capitalistas

y trabajadores, quienes involucran su fuerza de trabajo y el capital que disponen en el

proceso productivo para obtener ganancias que le permitan adquirir bienes. El fin

ltimo de stos es maximizar su consumo y as obtener el mayor bienestar posible.

El tema principal del trabajo de Kelvin Lancaster, y lo relevante de esta interaccin, es

que la accin de un agente repercute indirectamente en la cantidad que podr

consumir el otro, cada uno influyendo sobre distintos parmetros.

Tanto capitalistas como trabajadores estn restringidos a cierto nivel de capital que

lograr una cantidad de produccin limitada. Esta limitacin genera un conflicto entre

capitalistas y trabajadores, dado que ambos quieren obtener la porcin ms grande

del pastel, es decir, ambos desean consumir la mxima cantidad posible ms all de lo

que esto genere al otro sector.

El principal dilema que deben afrontar los agentes es determinar qu proporcin de la

produccin se destinar al consumo presente y que proporcin a la inversin, es decir,

que proporcin de consumo actual deben renunciar los capitalistas y trabajadores, para

obtener beneficios futuros (Lancaster, 1973).

De aqu se deriva un conflicto dinmico entre capitalistas y trabajadores que, como

hemos dicho, va ms all de la distribucin de produccin en un momento dado y

requiere que se busque la mejor respuesta para que se maximice el consumo de ambos

a travs de sucesivos periodos de tiempo. Por eso, no se trata de un conflicto esttico,

ya que los agentes deben tomar decisiones intertemporales que se vern reflejadas en

el futuro.

PARADIGMAS DEL CAPITALISMO

Lancaster destaca incesantemente que el capitalismo es un conflicto dinmico, donde

los grupos deben decidir su consumo actual, lo cual determinar indirectamente el nivel

de consumo que podrn obtener en el futuro.

Cada grupo controla una variable clave, pero deben tener en cuenta que la decisin del

otro grupo influye de igual manera que su determinacin en el resultado final.

Los trabajadores deben decidir su proporcin de consumo en cada perodo pero

adems deben determinar si ceden o no una parte del ingreso a los capitalistas para

que estos inviertan y as generar, indirectamente, un aumento del consumo en el

futuro. Este es el dilema de los trabajadores, porque no saben si los capitalistas van a

invertir lo suficiente como para generarle beneficios a ellos (los trabajadores). Pero,

adems, si no destinan ese porcentaje a los capitalistas no existe posibilidad de que

puedan consumir ms en el futuro (Lancaster, 1973).

Por otra parte, los capitalistas tienen absoluto control sobre la variable inversin. Es

decir, pueden determinar la tasa de inversin que crean conveniente para maximizar su

beneficio. El dilema que se le presenta a ste grupo es decidir si consumen en el

presente o acumulan la produccin para consumir ms luego. Si consumen ahora,

saben qu les quedar disponible para consumir en el futuro. Si acumulan capital

generarn expectativas sobre lo que tendrn en el futuro. Estas expectativas pueden

coincidir con el futuro o no, lo cual genera incertidumbre en el capitalista (Lancaster,

1973).

El Modelo de Lancaster se basa en la unin de estos dos dilemas donde se puede ver al

capitalismo como un conflicto dinmico en el cual capitalistas y trabajadores luchan por

lograr el mximo nivel de consumo posible en el futuro, es decir, quieren optimizar su

consumo a lo largo del tiempo. Como hemos explicado, cada grupo tiene control sobre

una variable importante: los trabajadores deciden su consumo en cada perodo y los

capitalistas la tasa de inversin; pero, el resultado de ambos grupos depende de la

decisin del otro grupo tanto como de la propia.

Por eso, el capitalismo se puede ver como un juego diferencial entre trabajadores y

capitalistas, cada grupo buscando una estrategia que sea la mejor para s mismo y

adems previendo qu estrategia puede adoptar el otro grupo.

UN SIMPLE JUEGO DIFERENCIAL

Para realizar este modelo, Lancaster asume que existe un solo sector con una sola

tcnica de produccin, donde la misma puede ser consumida directamente o aadida al

stock de capital. Adems, el trabajo es ilimitado y el capital dura para siempre, por eso

cualquier inversin va a aumentar la capacidad de produccin.

Ya hemos mencionado que los agentes pueden determinar distintas variables y as

elegir diferentes cursos de accin. Los principales comportamientos de los agentes son

los siguientes:

1. Los trabajadores pueden determinar, dentro de ciertos lmites, la proporcin de

la produccin que destinarn al consumo personal, a travs del uso de sus

salarios, de la tasa de ahorro, de los impuestos que pagan por sus beneficios o

de una combinacin de las mismas. El principal objetivo del trabajador es

maximizar su consumo a travs de un horizonte de tiempo.

2. Los capitalistas pueden determinar qu proporcin de lo que no consumieron

los trabajadores destinarn al consumo personal y qu proporcin a la inversin.

Al igual que los trabajadores, el objetivo de los capitalistas es maximizar su

consumo durante el mismo horizonte de tiempo (Lancaster, 1973).

A continuacin, presentaremos las variables fundamentales que define Kelvin

Lancaster para su modelo. Por cuestiones de simplicidad, se utiliza la misma

nomenclatura que en el paper original.

Es importante entender el significado de cada una de ellas ya que son fundamentales

para comprender la dinmica del modelo:

U1 (t) es la proporcin de la produccin que consumen los trabajadores. Por lo

tanto, hablando en trminos de control ptimo, es la variable de control de los

trabajadores.

Sabemos que los trabajadores tienen un control de esta variable limitado, por

eso que est definida de la siguiente forma:

(con c y b entre 0 y 1)

U2 (t) es el resto de la produccin que se destina a la inversin. Es la variable de

control de los capitalistas y tambin est limitada:

0 1 a es la proporcin fija de capital y produccin.

K(t) es el stock de capital para cualquier punto en el tiempo (t).

Estas variables, son fundamentales para determinar la relacin tcnica bsica de

nuestro modelo simplificado de la economa, en funcin del tiempo. As, definimos:

Produccin total = Consumo de los trabajadores = Consumo de los capitalistas = [1 ] [1 ]

Donde [1 ] es la proporcin de la produccin que dejan sin consumir los trabajadores y [1 ] es la proporcin que los capitalistas no invierten, es decir, que consumen.

Inversin = Esta presentacin nos servir para armar con facilidad el modelo de Lancaster, el cual

fundamenta los procedimientos matemticos aplicados en el presente trabajo.

Sabemos que los trabajadores quieren maximizar su consumo para un horizonte de

tiempo. Tambin conocemos que esta maximizacin se puede realizar a travs de la

aplicacin de la teora de control ptimo. Entonces simplemente planteamos la funcin

de consumo de los trabajadores en una integral definida en el tiempo, que la

llamaremos J1:

Anlogamente podemos determinar J2, siendo sta la funcin que maximizar el

consumo de los capitalistas. Claramente, la funcin de consumo de los capitalistas se

representar a travs de una integral definida:

1

1

La trayectoria dinmica del stock de capital es la restriccin que se les presenta a los

dos grupos. Analizndolo desde control ptimo, es la variable de estado:

1 En sntesis, los trabajadores buscan maximizar J1 y los capitalistas J2 ambos sujetos al

crecimiento del stock de capital.

RESOLUCIN DEL MODELO

Antes de empezar con la resolucin, es necesario dejar muy en claro que se trata slo

de un problema de control ptimo reflejado en una aplicacin econmica. Cada una de

las variables expuestas anteriormente se pueden determinar cmo variables de control

ptimo.

Como buscamos una resolucin matemtica simple, resolveremos el problema de los

trabajadores por un lado y el de los capitalistas por otro.

Este apartado se basar en el mtodo de resolucin matemtica del captulo 20 del

libro Mtodos Fundamentales de Economa Matemtica de Alpha Chiang. Se

utilizarn las mismas variables y se desarrollar de forma anloga a cualquier ejercicio

de control ptimo.

Cada maximizacin contar con una integral sujeta a una ecuacin diferencial limitada

por la variable de co-estado y a restricciones fijas que posee cada variable de control en

particular.

Repasemos qu funcin cumple cada variable econmica en funcin de la teora de

control ptimo:

es la variable de control de los trabajadores (se utilizar slo para maximizar J1).

es la variable de control de los capitalistas (se utilizar slo para maximizar J2).

es la variable de estado. Definimos como la variable de co-estado asociada al capital. Ser distinta

para cada caso (generalmente, en los problemas de control ptimo es

representada por ). Ahora s, resolvamos cada caso para luego comparar los resultados. Nuevamente, debe

quedar claro que la resolucin es anloga a cualquier ejercicio de control ptimo (slo

cambia la nomenclatura).

Resolucin del problema del trabajador

Buscamos maximizar la funcin de consumo de los trabajadores. Esta funcin depende

del capital, del tiempo, y de la variable de control de los trabajadores (). Siguiendo los lineamientos de Lancaster, para esta resolucin tomamos a la variable de control

de los capitalistas como dada ().

, ,

Esta funcin est sujeta a y la eleccin que hayan hecho los capitalistas de inversin (). Adems, est restringida a la dinmica del capital:

1 Para resolver fcilmente el problema plantearemos el Hamiltoniano:

, , , , , Reemplazamos y obtenemos:

!1 " Donde es la variable de co-estado y representa cunto varia el consumo total de los trabajadores cuando se produce un aumento marginal en el stock de capital.

Para ser completo, el problema necesita el valor inicial de la variable de estado 0 y el valor terminal #. Tenemos que:

0 # $%&'

Que # sea libre nos da lugar a una condicin de transversalidad, la cual indica que al final del perodo el valor marginal de la inversin es cero: # 0 (Chiang & Wainwright, 2006)

Esta condicin tambin tiene su sentido econmico, dado que los trabajadores no

analizan qu sucede con la inversin luego que consumieron, es decir, luego del

horizonte de tiempo.

Para lograr nuestro objetivo utilizamos el principio de mximo, en el cual la condicin

necesaria de primer orden requiere que se encuentre u1 de modo que maximice el

Hamiltoniano para todos los instantes del tiempo (Chiang & Wainwright, 2006).

Precisamente, ese es nuestro objetivo. Para ello, derivamos el Hamiltoniano con

respecto a la variable de estado:

((

( !1 "( Derivando, y 1 queda de la siguiente forma:

* +1 ,- Por el principio de mximo, el ptimo hallado para (dado ) va a maximizar el Hamiltoniano en cada instante del tiempo sujeto a los lmites de y a los valores de e en funcin del tiempo. Para buscar la solucin, averiguamos el punto donde la derivada del Hamiltoniano

respecto a la variable de control es 0. Por debajo de ese punto, la variable tomar el

valor mnimo posible. Por encima del mismo, tomar el valor mximo.

Veamos esto matemticamente: (

( 0

0

./ 012 / Despejando la ecuacin nos damos cuenta que la variacin del consumo de los

trabajadores ante aumentos de capital es inversa a la proporcin de inversin que

realizan los capitalistas.

Es por eso que, si esta relacin es menor a la unidad, los trabajadores aumentaran su

consumo y si la relacin es mayor a uno, los mismos disminuirn su consumo.

Como se trata de un modelo lineal y la funcin est acotada, las soluciones se

encontrarn en los extremos (lo que se llama soluciones de frontera). Podemos

resumir lo expresado anteriormente de la siguiente forma:

3% 4 1 3% 5 1

Llegamos as a la solucin del dilema del trabajador. Luego analizaremos este

resultado, comparndolo con la solucin de los capitalistas.

Resolucin del problema del capitalista

Este apartado busca maximizar el consumo de los capitalistas. Al igual que para los

trabajadores, esta funcin depende del capital, del tiempo, y de la variable de control

de los capitalistas (). Para esta resolucin tomamos a la variable de control de los trabajadores como dada ()

, , ,

1

1

Esta funcin est sujeta a 0 1 y la eleccin que hayan hecho los trabajadores sobre el consumo (). Adems, est restringida a la dinmica del capital:

1 Para resolver fcilmente el problema plantearemos el Hamiltoniano:

+, , ,, , , , Reemplazamos y obtenemos:

1 1 !1 " Donde y2 es la variable de co-estado y a diferencia del problema de los trabajadores

representa el valor marginal de la inversin.

Necesitamos, al igual que anteriormente, el valor inicial de la variable de estado 0 y el valor terminal #. Tenemos que:

0 # $%&'

Nuevamente, que # sea libre nos da lugar a una condicin de transversalidad, la cual indica que al final del perodo el valor marginal de la inversin es cero: # 0. Los capitalistas no analizan ms all del horizonte de tiempo.

Resolveremos el planteo de forma anloga a como lo hicimos para los trabajadores

aplicando el mtodo de resolucin de Alpha Chiang. Por eso, utilizamos el principio de

mximo. Buscamos la condicin necesaria de primer orden para buscar tal que maximice el Hamiltoniano para todos los instantes del tiempo.

Para resolverlo, derivamos el Hamiltoniano con respecto a la variable de estado:

((

( 1 1 !1 "( Derivando, y 2 queda de la siguiente forma:

*+1 , - 1 1 1 1

Por principio de mximo, el ptimo hallado para (dado ) va a maximizar el

Hamiltoniano en cada instante del tiempo sujeto a los lmites de y a los valores de

e en funcin del tiempo.

Para buscar la solucin, averiguamos el punto donde la derivada del Hamiltoniano

respecto a la variable de control es 0.

Veamos esto matemticamente: (

( 0

1 1 0

.1 /

La variacin marginal de la inversin es siempre constante (aumenta siempre en una

unidad).

Es por eso que, si esta relacin es menor a la unidad, los capitalistas disminuyen la

inversin y si es mayor a la unidad aumenta.

Como se trata de un modelo lineal y la funcin est acotada, las soluciones se

encontrarn en los extremos. Podemos resumir lo expresado anteriormente de la

siguiente forma:

0 3% 5 1 1 3% 4 1

ANLISIS DE LA SOLUCIN Sabemos que el punto ptimo de los trabajadores puede tomar los valores c y b

mientras que el ptimo de los capitalistas puede asumir los valores 0 y 1. Se pueden

realizar con ellos cuatro combinaciones posibles para analizar en qu punto coincide el

mximo de ambos agentes (Lancaster, 1973).

Estas combinaciones, junto con las condiciones que debe satisfacer cada una, son:

I. , 0 3% 4 1 5 1

II. , 0 3% 5 1 5 1

III. , 1 3% 4 1 4 1

IV. , 1 3% 5 1 4 1

Claramente, la primera opcin la descartamos porque presenta un absurdo. Si es

igual 0, nunca puede ser mayor a 1.

Analizando el caso 4, vemos que tampoco es compatible dado que tanto la proporcin

de consumo como la proporcin de inversin son mximas. Si se invierte toda la

produccin disponible ( 1) no queda produccin disponible para consumir, por lo

que no puede ser b.

Los soluciones ptimas son aquellas donde se da mximo consumo por un lado y

mnima inversin por el otro, o viceversa. Cualquier otra opcin es incompatible porque

no se puede invertir y consumir ms de la produccin total.

El alcance de este trabajo determina que las siguientes opciones son las soluciones

ptimas (Lancaster, 1973):

, 0 3% 5 1 5 1

, 1 3% 4 1 4 1

Cuando el trabajador consume lo mximo posible el capitalista tiene disponible la

mnima proporcin de produccin. Contrariamente, cuando el capitalista invierte la

mayor proporcin posible, al trabajador solo le queda una pequea proporcin para

consumir.

REFERENCIAS2

Chiang, A. C., & Wainwright, K. (2006). Mtodos Fundamentales de Economa

Matemtica. Mc. Graw Hill.

Lancaster, K. (Sep - Oct de 1973). The Dynamic Inefficiency of Capitalism. Chicago , pgs.

1092 - 1109.

2 Ordenados alfabticamente.