Modelo de Samuelson

EL MODELO DE SAMUELSON

1Sistemas Dinámicos 2008/2009

SUPUESTOS:Los supuestos en los que se basa el modelo de Samuelson son tres:

Sistemas Dinámicos 2008/2009 2

i) La renta nacional producida durante un período de tiempo determinado es igual a la demanda de bienes de consumo más la demanda de los bienes de inversión:

Y (t) = C (t) + I (t)


ii) La demanda de bienes de consumo es igual a la renta nacional del periodo anterior por la propensión marginal al consumo ( α > o) :

C (t) = α Y (t - 1) iii) La demanda de bienes de inversión es igual al coeficiente de aceleración ( β > o), multiplicado por el incremento de la renta, o sea, por la diferencia de la renta entre los dos últimos periodos:

I (t) = β [ Y (t - 1) – Y (t - 2)]

SUPUESTOS:

PLANTEAMIENTO DEL MODELO:

Sustituimos ii) y iii) en i):


Y (t) = α Y (t - 1) + β [ Y (t - 1) – Y (t - 2)] ; Y (t) = α Y (t - 1) + β Y (t - 1) – β Y (t - 2)

Sacando factor común Y(t – 1), obtenemos:

Y (t) = (α + β ) Y (t - 1) – β Y (t - 2)


DESARROLLO DEL MODELO:

Y(t) = (α + β ) Y (t - 1) – β Y (t - 2)

Y(t) - (α + β ) Y (t - 1) + β Y (t - 2) = 0

Y pasando todo al primer miembro:

Ecuación en diferencia Homogénea

La anterior es una ecuación en diferencia homogénea (e.e.d.h) de segundo orden que precisa, para ser resuelta, de dos condiciones iniciales: Y(0) = Yo; Y(1) = Y1. Por lo que nos quedaría:

Y (t) - (α + β ) Y (t - 1) + β Y (t - 2) = 0


Y (0) = Y0Y (1) = Y1

PLANTEAMIENTO DEL MODELO:



La ecuación característica de la e.e.d.h obtenida es la siguiente:

λ2 - (α + β ) λ + β = 0

Y resolviendo;

λ = ½ [ (α + β ) ± (α + β )2 - 4β ]

Solución general de la homogénea:



Obtenemos las raíces:λ1 = ½ [ (α + β ) + (α + β )2 - 4β ] λ2 = ½ [ (α + β ) - (α + β )2 - 4β ]


Suponiendo que las dos raíces son reales y distintas, el Sistema Fundamental de Soluciones será:

SFS = λ1t , λ2

t

SOLUCIÓN DEL MODELO:

Y cualquier otra solución se escribe como combinación lineal del Sistemas Fundamental de Soluciones:

Yn = A λ1t + B λ2

t


Las constantes A y B se determinan introduciendo las condiciones iniciales y resolviendo el siguiente sistema:

Y(0) = A λ1t + B λ2

t = Y0Y(1) = A λ1

t + B λ2t = Y1


Y0 = A λ10 + B λ2

0

Y1 = A λ11 + B

λ21


SOLUCIÓN DEL MODELO:Y0 = A λ1

0 + B λ20

Y1 = A λ11 + B

λ21 A + B =

Y0A λ1 + B λ2 =

Y1

A = Y0 - B

Sustituyendo:

(Y0 – B) λ1 + B λ2 = Y1


(Y0 – B) λ1 + B λ2 = Y1

SOLUCIÓN DEL MODELO:Y0 λ1 – Bλ1 + B λ2

= Y1Sacando factor común B:

Y0 λ1 + B (λ2 - λ1 )= Y1B = Y1 – Y0 λ1 / λ2 - λ1

A = Y0 – B = Y0 – ( Y1 – Y0 λ1 / λ2 - λ1 ) A = ( Y0λ2 – Y0λ1 – Y1 + Y0λ1 )/ λ2 - λ1

A = Y0λ2 – Y1 / λ2 - λ1


SOLUCIÓN DEL MODELO:Luego la solución general en este caso sería:

Yn = (Y0λ2 – Y1 / λ2 - λ1 )λ1t + (Y1 –

Y0 λ1 / λ2 - λ1 )λ2t

donde;

λ1 = ½ [ (α + β ) + (α + β )2 - 4β ] λ2 = ½ [ (α + β ) - (α + β )2 - 4β ]


SOLUCIÓN DEL MODELO:Por otro lado, como la ecuación característica es de la forma λ2 - Aλ + B = 0, las dos raíces λ1 y λ2 serán siempre positivas; por lo que no existe ningún valor de equilibrio.

El modelo admite un valor de equilibrio si en la ecuación de bienes de inversión agregamos su término constante, haciéndose no homogénea la ecuación en diferencia.


SOLUCIÓN DEL MODELO:El modelo sería:

Y (t) = C (t) + I (t) C (t) = α Y (t - 1) I (t) = β [ Y (t - 1) – Y (t - 2)] + γ

Sustituimos I (t) y C (t) en Y (t), y obtenemos la siguiente ecuación en diferencia:

Y(t) = α Y (t - 1) + β [Y (t - 1) – βY (t - 2)] + γ



Ecuación en diferencia Completa

Y pasando todo al primer miembro:

Y(t) - (α + β)Y (t - 1) + βY (t - 2) = γ

Y(t) = (α + β)Y (t - 1) – βY (t - 2) + γ

Sacando factor común Y(t – 1), obtenemos:


SOLUCIÓN DEL MODELO:Ahora tenemos una ecuación en diferencia completa (e.e.d.c) de segundo orden que precisa también, para ser resuelta, de dos condiciones iniciales: Y(0) = Yo ; Y(1) = Y1. Por lo que nos quedaría:

Y(0) = Y0Y(1) = Y1

Y(t) - (α + β)Y (t - 1) + βY (t - 2)] = γ


SOLUCIÓN DEL MODELO:SOL. GENERAL COMPLETA = Sol. General Homogénea + Sol. Particular Completa.

i) Solución general de la homogénea:La ecuación característica de la e.e.d.h es λ2 – (α + β ) λ + β = 0, y como se ha visto anteriormente la solución es: Yn = A λ1

t + Bλ2t donde;

λ1 = ½ [ (α + β ) + (α + β )2 - 4β ] λ2 = ½ [ (α + β ) - (α + β )2 - 4β ]


SOLUCIÓN DEL MODELO:ii) Solución particular de la completa:

Y(t) - (α + β) Y(t – 1) + β Y(t – 2) = γ p - (α + β) p + βp =

γ ; p - (α + β) p + βp = γ

; p - αp – βp + βp = γ

Sacando factor común:p = γ / (1- α)

(1 – α) p = γ

Si la ecuación tiene puntos fijos ya tenemos la solución particular que busco.


SOLUCIÓN DEL MODELO:Por lo que:

Y(t) = Yn + p = A λ1t + Bλ2

t + p ;

Y (t) = A λ1t + Bλ2

t + γ / (1- α) Como además, tiene que satisfacer las condiciones iniciales:

Y (0) = A λ1t + Bλ2

t + p = Y0 Y (1) = A λ1

t + Bλ2t + p = Y1


A λ10 + Bλ2

0 + p = Y0 A λ1

1 + Bλ21 + p = Y1


A + B + p = Y0 A λ1 + Bλ2 + p = Y1

A = Y0 - B - p

Sustituyendo:

(Y0 – B – p) λ1 + Bλ2 + p = Y1


SOLUCIÓN DEL MODELO:(Y0 – B – p) λ1 + Bλ2 + p = Y1 ; Y0λ1 – Bλ1 – pλ1 + Bλ2 + p = Y1

B(λ2 – λ1) = Y1 + pλ1 - Y0λ1 - p B = Y1 + pλ1 - p - Y0λ1 / (λ2 – λ1)

Sacando factor común B:Y0λ1 – pλ1 + B(λ2 –λ1) + p = Y1

A = Y0 - B – p = Y0 - [Y1 + p(λ1 - 1) - Y0λ1 / (λ2 – λ1)] - p


A = Y0 - [Y1 + p(λ1 - 1) - Y0λ1 / (λ2 – λ1)] - p


A = Y0 (λ2 – λ1) – Y1 - p(λ1 - 1) + Y0λ1 - p (λ2 – λ1) / (λ2 – λ1)

A = Y0λ2 – Y0λ1 – Y1 - pλ1 + p + Y0λ1 - pλ2 + pλ1 / (λ2 – λ1)

A = Y0λ2 – Y1 + p - pλ2 / (λ2 – λ1)


SOLUCIÓN DEL MODELO:Y (t) = [Y0λ2 – Y1 + p - pλ2 / λ2 – λ1]λ1

t + [Y1 + pλ1 - p - Y0λ1 / λ2 – λ1] λ2

t + γ / (1- α)

Y sustituyendo A y B en la solución general:

El valor de equilibrio será, cuando la primera parte tiende a cero, γ / (1- α).

λ1 = ½ [ (α + β ) + (α + β )2 - 4β ] λ2 = ½ [ (α + β ) - (α + β )2 - 4β ]

Con:


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