Modelo de Tight Binding
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Modelo de Tight Binding (Enlace Fuerte) - En el caso de los gases inertes o para las bandas d de los metales de transición, la descripción por medio del modelo del electrón casi libre no es apropiado. - En el modelo de tight binding, imaginemos como las funciones de onda de los átomos o iones interactúan cuando se ponen juntos. - Por ejemplo, tomemos dos átomos de hidrógeno, A y B, y considere los estados B A ψ ψ ± A ψ B ψ La forma simétrica (+) tiene más carga de apantallamiento entre los núcleos, y tiene energía más baja. Entonces, cuando dos átomos se juntan, se forman dos niveles de energía separadas. JML fiz3600 JML fiz3600-2010 2010 Tight binding - Para N átomos, N orbitales se formaran para cada nivel del átomo aislado y estos N orbitales se asociarán en una o más bandas. - El ancho de la banda es proporcional a la intensidad de la interacción de superposición entre átomos vecinos. JML fiz3600 JML fiz3600-2010 2010
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En el caso de los gases inertes o para las bandas 'd' de los metales detransición, la descripción por medio del modelo del electrón casi libre no esapropiado.En el modelo de tight binding, imaginemos como las funciones de onda de los átomos o iones interactúan cuando se ponen juntos.
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Modelo de Tight Binding (Enlace Fuerte)
- En el caso de los gases inertes o para las bandas d de los metales de
transición, la descripción por medio del modelo del electrón casi libre no es
apropiado.
- En el modelo de tight binding, imaginemos como las funciones de onda de
los átomos o iones interactúan cuando se ponen juntos.
- Por ejemplo, tomemos dos átomos de hidrógeno, A y B, y considere los
estados BA ψψ ±
Aψ Bψ
La forma simétrica (+) tiene más carga de apantallamiento entre los núcleos,
y tiene energía más baja. Entonces, cuando dos átomos se juntan, se forman
dos niveles de energía separadas.
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Tight binding
- Para N átomos, N orbitales se formaran para
cada nivel del átomo aislado y estos N orbitales
se asociarán en una o más bandas.
- El ancho de la banda es proporcional a la intensidad de la interacción de
superposición entre átomos vecinos.
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- Considere un elemento con un átomo por celda unitaria, y suponga que
cada átomo tiene solo un orbital de valencia . Entonces formamos una
función de onda de Bloch del tipo:
)(rr
φ
- Demostremos que es verdaderamente una función de Bloch:
∑ −+=+ ⋅−
m
m
Rki
k RRreRr m )()( 2/1rrrrr rr
φψ
∑ −= ⋅−
m
m
Rki
k Rrer m )()( 2/1rrr rr
φψ
∑ −−= −⋅⋅−
m
m
RRkiRki RRree m ))(()(2/1
rrrrrrrr
φ )(re k
Rki rrr
ψ⋅=
∑∑ −⋅−==m n
nm
RRki
kHekHk mn φφε )(1
rrr
r
rr
- La energía esperada del Hamiltoniano es (con ): )( mm Rrrr
−=φφ
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0
)()(
)()(
*3
*3
=
−=−−=
−==
∫
∫
nm
nmnm
nn
H
RrHRrrdH
rHrrdH
φφ
γφφφφ
αφφφφ
rrrr
rr
n y m vecinos cercanos
De otro modo
∑ ⋅−−==m
Rki
k
mekHkrr
r
rrγαε
Entonces:
Donde la suma es sobre los primeros vecinos.
nm H φφ será más grande si n y m están en el mismo sitio atómico, o
son vecinos más cercanos, pero disminuirá rápidamente con la
separación. Escribimos entonces:
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- Ejemplo: en el caso de una red cúbica simple:
),0,0()0,,0()0,0,( aaam ±±±=ρr
)coscos(cos2 akakak zyxk++−−= γαε r⇒
que da un ancho de banda de 12γ
- Cerca de k =0 (parte inferior de la banda) se puede expandir como:
)111(2 22
2122
2122
21 akakak zyxk
−+−+−−−= γαε r
)(6 2222
zyx kkka +++−−= γγα 226 kaγγα +−−=
que es similar al caso del electrón libre, dando superficies de energía
constante esféricas cerca del centro de la zona de Brillouin.
- Cerca de la frontera de zona se puede escribir:
zzyyxxa
ka
ka
k δπ
δπ
δπ
−=−=−=
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2222 )(4 azyxkδδδγγαε ++−−−=r
224 aγδγα −−−=
que también da superficies de energía constante esféricas cerca de las
esquinas de la zona.
- En el caso de una red cuadra: )cos(cos2 akak yxk+−−= γαε r
Tight binding Electrón casi libre
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