Modelo ECO 2 Proceso de Certificación de Especialistas Introducción a una Teoría de Categorías...
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Modelo ECOModelo ECO22
Proceso de Certificación de EspecialistasProceso de Certificación de Especialistas
Introducción a una Introducción a una Teoría de CategoríasTeoría de Categorías
Santiago, ChileSantiago, Chile22-25 de Enero de 200722-25 de Enero de 2007
Juan MachínJuan Machín
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ProgramaPrograma
Presentación del objetivoPresentación del objetivo ConjuntoConjunto Aplicación Aplicación Analogía Analogía
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Presentar una introducción a la Presentar una introducción a la Teoría de Categorías para hacer Teoría de Categorías para hacer explícitos algunos elementos explícitos algunos elementos epistemológicos de nuestro trabajo epistemológicos de nuestro trabajo (prevención, cura, formación, etc.) (prevención, cura, formación, etc.) y comenzar a formalizar nuestra y comenzar a formalizar nuestra experiencia.experiencia.
Objetivo de esta lección frontalObjetivo de esta lección frontal
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Teoría de ConjuntosTeoría de Conjuntos
““Conjunto” es tan fundamental que es Conjunto” es tan fundamental que es imposible dar una definición en imposible dar una definición en función de conceptos más básicos. función de conceptos más básicos.
La etimología (coniungere = unir, La etimología (coniungere = unir, juntar)juntar)
nos da una idea de lo que significa.nos da una idea de lo que significa.
Tod@s poseemos una noción intuitiva Tod@s poseemos una noción intuitiva y podemos dar un sinfín de ejemplos.y podemos dar un sinfín de ejemplos.
DefiniciónDefinición
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ConjuntosConjuntos
Un conjunto se define de dos formas:Un conjunto se define de dos formas:a)a) Enlistando todos sus elementosEnlistando todos sus elementosb)b) Definiendo una propiedad que los Definiendo una propiedad que los
caracterizacaracterizaEjemplo. Sea V el conjunto de las vocales:Ejemplo. Sea V el conjunto de las vocales:V=V={{a,e,i,o,ua,e,i,o,u}}V=V={x| x es una vocal} (se lee: “V es el {x| x es una vocal} (se lee: “V es el
conjunto que contiene a todas las x conjunto que contiene a todas las x tales que x es una vocal”).tales que x es una vocal”).
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EjemplosEjemplosLos siguientes son ejemplos de conjuntos:Los siguientes son ejemplos de conjuntos:- Un sistema- Un sistema- Una red socialUna red social- Una Comunidad Real Local (CRL)Una Comunidad Real Local (CRL)- Una Comunidad Terapéutica Específica Una Comunidad Terapéutica Específica (CTE)(CTE)- Nuestro equipo de trabajoNuestro equipo de trabajo- Este grupoEste grupo
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ConvencionesConvenciones
Vamos a representar a:Vamos a representar a:
los Conjuntos con letras mayúsculas: los Conjuntos con letras mayúsculas:
A, B, C, …A, B, C, … los Elementos con letras minúsculas:los Elementos con letras minúsculas:
a, b, c, …a, b, c, …
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“ “Pertenece a” o “es elemento de” Pertenece a” o “es elemento de” con con
“ “No pertenece a” con No pertenece a” con
“ “Para todo” con Para todo” con
“ “Existe” con Existe” con Conjunto universo con la letra UConjunto universo con la letra U
Conjunto vacío con Conjunto vacío con ØØ
ConvencionesConvenciones
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Diagramas de VennDiagramas de Venn
A
a
ØØ
b
a A A b b A A
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AplicaciónAplicación
Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación
:: A A B B es una ley, regla o criterio es una ley, regla o criterio que hace corresponder a todos y cada que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de A uno y sólo un uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de Belemento de B
También se representa como:También se representa como:
((AA)) = B= B
Sinónimos de aplicación son función, Sinónimos de aplicación son función, mapeo, transformación, operador.mapeo, transformación, operador.
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Ejemplo 1Ejemplo 1A B
a1
a2
a3
b1
b2
b3
...
bm
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Ejemplo 2Ejemplo 2A B
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
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Ejemplo 3Ejemplo 3A B
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
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Ejemplo 4Ejemplo 4A B
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
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Ejemplos de aplicacionesEjemplos de aplicaciones
- Contar- Contar- Medir- Medir- Medidas estadísticasMedidas estadísticas- InstrumentosInstrumentos- DiagnósticosDiagnósticos
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Aplicación Aplicación inyectiva o inyectiva o InyecciónInyección
Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación inyectiva de A en B inyectiva de A en B es una aplicación es una aplicación que hace corresponder a cada elemento que hace corresponder a cada elemento de A un elemento diferente de B.de A un elemento diferente de B.
A Ba1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
b5
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Aplicación sobreAplicación sobreyectiva o yectiva o SobreyecciónSobreyección
Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación sobreyectiva de A en B sobreyectiva de A en B es una es una aplicación que pone en correspondencia aplicación que pone en correspondencia todos los elementos de B.todos los elementos de B.
A Ba1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
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A Ba1
a2
a3
...
an
b1
b2
b3
...
bn
Aplicación biAplicación biyectiva o yectiva o BiyecciónBiyección
Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación biyectiva de A en B biyectiva de A en B es una aplicación es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva al que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempomismo tiempo
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PersonaPersona NombreNombre
NombreNombre DirecciónDirección
DirecciónDirección Número de Número de TeléfonoTeléfono
Número de Número de TeléfonoTeléfono
TeléfonoTeléfono
Línea telefónicaLínea telefónica ReciboRecibo
NombreNombre CURPCURP
EjemplosEjemplos
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Aplicación compuestaAplicación compuesta
Sean Sean :: A A B B y y :: B B C C dos aplicaciones dos aplicaciones tales que el codominio de la primera tales que el codominio de la primera
coincide con el dominio de la segunda. coincide con el dominio de la segunda. Queda así definida una aplicación de Queda así definida una aplicación de A A
en en CC, que se denomina aplicación , que se denomina aplicación
compuesta de compuesta de concon , e indicada como, e indicada como
:: A A C C
O como O como
:: A A C C
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Aplicación inversaAplicación inversaDados los conjuntos Dados los conjuntos AA y y BB y la y la aplicación aplicación
:: A A B B, la , la aplicación inversa aplicación inversa -1-1:: B B A A es la aplicación que hace corresponder a es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de todos y cada uno de los elementos de BB uno y sólo un elemento de uno y sólo un elemento de AA, tal que si , tal que si bb
es elemento de es elemento de BB que que pone en pone en correspondencia al elemento correspondencia al elemento aa de de AA, ,
entonces entonces -1-1 pone en correspondencia al pone en correspondencia al elemento elemento aa de de AA con el elemento con el elemento bb de de BB..
También se representa como:También se representa como:
-1-1 (B)= A (B)= A
Sinónimos de aplicación inversa son Sinónimos de aplicación inversa son antitransformación, operador inverso, etc.antitransformación, operador inverso, etc.
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AnalogíaAnalogía
Una aplicación Una aplicación :: A A B B se dice que es se dice que es
una una analogíaanalogía si al aplicar si al aplicar aa A A se se conservan propiedades de conservan propiedades de A A enen B B..
La analogía más estricta se denomina La analogía más estricta se denomina IdentidadIdentidad y es la aplicación de un y es la aplicación de un conjunto sobre sí mismo. conjunto sobre sí mismo. II: A : A A A..
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Ejemplo 1Ejemplo 1
AA
BB CC
A’A’
B’B’ C’C’
S: AB S: AB A’B’ A’B’
S: BC S: BC B’C’ B’C’
S: AC S: AC A’C’ A’C’
’’
’’
’’
AB AB A’B’ A’B’
BC BC B’C’ B’C’
AC AC A’C’ A’C’
S: g S: g g’ g’
S: b S: b b’ b’
S: S: ’’
g = g’g = g’
b = b’b = b’
= = ’’
AB/BC = A’B’/B’C’AB/BC = A’B’/B’C’
Triángulos semejantesTriángulos semejantes
S es una analogía S es una analogía denominada semejanzadenominada semejanza