Modelo Falla Circular
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licación
de
Software
SLIDE
MODEL
O DE
FALLA
CIRCUL
AR
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E.A. P Ing. Minas Modelo de falla Circular
I. Introducción
En el caso de suelos, escombros y macizos rocosos de baja calidad muy alterados o
meteorizados, la rotura se produce a través de la masa o el macizo (sin
seguir discontinuidades) siguiendo la línea de menor resistencia. En el ámbito minero
esta rotura es relativamente comn en escombreras y presas de estériles, y también en
taludes de e!plotaciones de arcillas o arenas. "ambién se da muy comnmente en
taludes de carretera y en laderas naturales.
#e produce a lo largo de una super$icie de deslizamiento interna, de $orma
apro!imadamente circular y cóncava. #e puede demostrar %ue en suelos &omogéneos la
super$icie de rotura es una espiral logarítmica y %ue, por tanto, se apro!ima muc&o a un
círculo. 'a mayoría de las teorías de análisis suelen partir de la &ipótesis de %ue lasuper$icie de rotura o deslizamiento es circular por lo %ue no cometen un error
signi$icativo. 'os círculos de rotura suelen, además, pasar por el pie del talud. El
movimiento tiene una naturaleza más o menos rotacional,
alrededor de un eje dispuesto paralelamente al talud, segn se muestra en la igura
..
Figura 11.1. Rotura típica con forma cilíndrica.
*un%ue las salidas de rotura tienden a pasar por el pie del talud, pueden también
originarse en otras partes di$erentes del talud, segn las características resistentes del
material, altura e inclinación del talud, etc., tal como %ueda puesto de mani$iesto en la
igura . +.a. En la super$icie del terreno suelen aparecer grietas concéntricas y
cóncavas &acia la dirección del movimiento, con un escarpe en su parte alta, tanto más
acusado cuanto mayor desplazamiento su$re la masa deslizada, segn se muestra en la
igura .+.b.
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a) b)
igura .+. a) i$erentes super$icies de rotura circular. b) -or$ología del deslizamiento
rotacional de un talud.
arnes (/01) describió de manera detallada la mor$ología característica de este tipo de
movimientos del terreno (igura .2.a.), %ue constará de una zona de de$lacción en la
%ue el terreno desciende y una zona de acumulación en la %ue el terreno aumenta su
cota. 'a zona superior de de$lacción suele %uedar delimitada por un escarpe principal de
coronación superior %ue puede ir acompa3ado o no de escarpes secundarios in$eriores.
#e muestra en la $otogra$ía de la igura .2.b el escarpe superior de un movimiento deladera de unos +44 metros de largo por 44 de anc&o, con un escalón de unos 25 cm.
El contacto entre las zonas de de$lacción y acumulación suele %uedar registrado en el
terreno por la aparición de grietas de tracción, tal y como muestran los mecanismos de la
igura
.2.a. y la $otogra$ía de la igura .2.c, correspondiente al movimiento del terreno
debido a una época de lluvias persistentes de una ladera en un granito residual
altamente descompuesto. En la igura .2.d. se muestra un plano topográ$ico de una
zona con un ligero movimiento de este tipo en un granito residual altamente
descompuesto, donde se puede observar %ue no resulta sencillo delimitar de manera
e!acta la e!tensión del movimiento, pero si situar algunos escarpes y grietas %ue
permitirán apro!imar con e!actitud su$iciente para su análisis la posición de entrada y
salida de la super$icie de deslizamiento.
'a delimitación de la zona in$erior del movimiento y por lo tanto de la zona de
acumulación, suele resultar más compleja y dependiente del mecanismo de rotura
(movimiento rotacional normal, 6debris $lo78, ...), pero en todo caso suele observarse o
topogra$iarse o bien un abombamiento o un gran desplazamiento del terreno en la zona.
'a inclinación de los postes o árboles suele ser bastante indicativa de la ocurrencia de
$enómenos rotacionales.
En ocasiones en las %ue el macizo rocoso una di$erencia signi$icativa entre las
resistencias de pico y residual, estas roturas ocurrirán de manera rápida por lo %ue el
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movimiento será $ácilmente reconocible aun%ue más di$ícil de analizar por poder &abertenido lugar una rotura progresiva.
igura .2. -or$ología de los movimientos rotacionales típicos de la rotura circular
segn arnes (/09), junto con $otogra$ías y un plano correspondientes a un movimiento
de este tipo en un granito residual altamente descompuesto
I. METODOS DE ANALISIS PARA ESTAILIDAD DE TALUDESCON ROTURA CIRCULAR
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Metodos de
EquilibrioLimite (GLE)
metodo deestabilidadglobal o delsolido libre
arco circular
Circulo conrozamiento ocirculo sueco
circulo sinrozamiento o
de Peterson
arcologaritmico
metodo defajas o doelas
a!ro"imados
!recisos ocom!letos
#o E"actos
Metodo defajas o
rebanadas
a!ro"imados
$ellenius %ma&
'is(o!modi)cado
Lo*e &+ara)an
jambusim!licado
,tros
!recisos ocom!letos
-!encer
Morgenstern %Price
'is(o!com!leto
.ambucom!leto
,tros
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II. MÉTODOS DE ESTABILIDAD LOBAL
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:ara analizar la estabilidad de un talud de características resistentes y
geometría determinadas, es necesario conocer el centro y el radio del círculo por
donde se produce el deslizamiento. Este &a de satis$acer la condición de %ue la
relación entre la resistencia al corte del macizo rocoso a lo largo de la super$iciey los es$uerzos tangenciales sea la mínima de todas las super$icies posibles. #u
posición se suele estimar mediante tanteos.
En la Figura 11.! se pueden ver las $uerzas %ue actan sobre la masa deterreno inestable, %ue son las siguientes;
• :eso, P .
•
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y por tanto;
R ∅ no es conocida ni en dirección, ni en magnitud, pero va ligada a N , por;
y por de$inición es perpendicular a la línea de acción de =, de la %ue se
sabe %ue pasa necesariamente por el centro del círculo de rotura.
Figura 1.!. Fu"r#a$ %u" act&an "n una rotura circular.
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En el análisis de e%uilibrio límite se conocen P , A y U . :ara conocer T c &ace
$alta F . :ara conocer el momento de T &acen $alta N , F y r . e N sólo se
sabe %ue pasa por el centro del círculo desconociéndose su magnitud y el otro
parámetro direccional.
*sí pues se cuenta con 1 incógnitas (.F; +. 'a magnitud de N > 2. :arámetro
de la línea de acción de N y 1.r ) y sólo 2 ecuaciones (. :royección en ?> +.
:royección en @ y 2. E%uilibrio de momentos). *sí pues el problema es
estáticamente indeterminado y es necesario realizar &ipótesis para $ijar una
incógnita y poder resolver el problema> entre las &ipótesis $ormuladas cabe
destacar las siguientes;
• "odos los es$uerzos normales se concentran en un punto. Esta &ipótesis
no es realista, pero da el límite in$erior de F , %ue es lo %ue se conoce en
terminología anglosajona como 6lo7er bound8.
• 'os es$uerzos normales se concentran en los e!tremos del arco de
deslizamiento. Esta &ipótesis, también denominada &ipótesis de rA&lic&,
daría el límite superior de F , %ue es lo %ue se conoce en terminología
anglosajona como 6upper bound8.
• En un talud real la distribución de estos es$uerzos normales es
desconocida. #in embargo, se puede suponer una distribución $uncional,
por ejemplo, sinusoidal de los es$uerzos normales ("aylor, /19). Bon
esta &ipótesis e!iste un ábaco %ue permite obtener la relación r ∅ C r en
$unción del arco de círculo %ue incluye a toda la super$icie de
deslizamiento y %ue se puede consulta en te!tos clásicos como "aylor
(/19) o 'ambe y D&itman (//). * partir del valor de esta relación se
puede resolver el problema e incluso obtener ábacos especí$icos para
este tipo de &ipótesis, %ue aun%ue razonable, puede no ser en algunos
casos e!cesivamente realista.
•
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III. 'IR'(LO DE RO)AMIE*TO
) Feneralidades.
En terrenos &omogéneos las super$icies de deslizamiento de directriz circular se
ajustan con bastante precisión a la realidad observada, denominándose por ello
6deslizamientos rotacionales8. Bomplementariamente y desde un punto de vista
práctico, el arco de circun$erencia constituye una geometría sencilla de $ácil
análisis matemático, lo %ue sin duda &a contribuido también a su é!ito y di$usión.
Gistóricamente, las primeras descripciones detalladas de super$icies de
deslizamiento de directriz curva se deben probablemente al ingeniero $rancés
*le!andre Bollin, uno de cuyos dibujos se reproduce en la $igura .5.
Figura 1.5: Deslizamiento en la trinchera de cimentación de la
presa de Grosbois (Collin, A. 1!"#. ($omado de %&empton, A.'.#.
En lo %ue respecta a las super$icies de deslizamiento de directriz
especí$icamente circular, al parecer se comenzaron a emplear en #uecia en
/ tras la observación sistemática d e este mecanismo de rotura en
algunos muelles del puerto de Fotemburgo (:etterson, H.E.). ic&a
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tipología $ue posteriormente corroborada, en /++, a través de un in$orme
elaborado por
una Bomisión Feotécnica de los errocarriles #uecos, encargada de estudiar mltiples casos de inestabilidad, muc&os de las cuales resultaron tener el mismo
mecanismo circular de rotura. * partir de entonces, este tipo de super$icie de
rotura se &a empleado con pro$usión.
El modelo de cálculo global desarrollado a partir de las observaciones
anteriores se denomina método del crculo de rozamiento por los motivos %ue
más adelante se e!ponen, o también &abitualmente y dado su origen, del
6crculo sueco8. uizás la descripción más conocida de este método sea la
recogida por "aylor, .D. (/), cuyo desarrollo se e!pone a continuación.
+) esarrollo conceptual
'a $igura .. muestra una super$icie de rotura circular de centro ) y radio * ,
tentativa para un determinado talud &omogéneo.
Figura 1.": Fuerzas actuantes en una super+icie circular de deslizamiento.
'as $uerzas %ue actan sobre la masa potencialmente deslizante son;
• A;
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• ' . :eso propio de la masa de suelo.
• :
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ado %ue la resultante de tensiones tangenciales en su $orma más general tiene
dos componentes, co&esiva y $riccional, para a&ondar un poco en su
conocimiento, supóngase %ue se divide el arco *L, de longitud total /a en
pe%ue3os elementos, y %ue en cada uno de ellos se representan los dos
términos de la resistencia movilizada *m. En la $igura .0.a se muestran las
componentes debidas a la co&esión, y en la $igura .0.b las $riccionales o de
rozamiento.
Bon respecto a las $uerzas resistentes co&esivas, descomponiendo cada una de ellas
en la dirección de la cuerda *L y en la perpendicular a ésta, y realizando su suma
vectorial, es inmediato observar %ue su resultante &a de ser paralela a la cuerda *L (la
suma de componentes perpendiculares es nula). :or tanto su magnitud es
precisamente; Rc
= c' ·L , donde 'c es la longitud de dic&a cuerda.
En cuanto a su línea de acción, el momento de la resultante respecto al centro
del círculo &a de ser igual a la suma de momentos de todas las $uerzas
co&esivas en los pe%ue3os elementos, de cuerda asimilable al arco y de
longitud 'i, así %ue llamando r al brazo de la resultante;
y, por tanto;
Bon relación a la $uerza resistente $riccional, en cada uno de loselementos su magnitud será;
m m
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$igura 0.12 3etalles sobre las fuerzas inolucradas en el an4lisis deestabilidad. (modicada de 5a&lor6 3.7. o!. cit.)
:or de$inición la resultante vectorial :i de cada pareja (=Ji, < ∅ m . i ) &a de
$ormar un ángulo ∅ Jm con la línea de acción de la $uerza =Ji correspondiente y,
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además, la línea de acción de cada =Ji pasa necesariamente por M. En
consecuencia, las resultantes :i serán tangentes a otro círculo, concéntrico con el
de la super$icie de deslizamiento supuesta y de radio
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rozamiento, lo %ue evidentemente simpli$ica el problema.
'a &ipótesis anterior puede parecer bastante grosera, pero se &a comprobado
%ue el coe$iciente de seguridad obtenido a partir de ella es un límite in$erior
del coe$iciente real. *dicionalmente la desviación con respecto a éste no es
muy importante, de manera %ue resulta una &ipótesis sencilla y ligeramente
conservadora, lo %ue puede ser conveniente en la mayoría de los casos.
En la situación anterior, an &ay %ue recordar %ue el valor de se desconoce, y
por tanto las magnitudes de las componentes de la resistencia, de $orma %ue es
preciso actuar por apro!imaciones sucesivas.
En la figura 1.+ se muestra un ejemplo del proceso a seguir para la obtención
de , %ue consta de los siguientes pasos;
Figura 1.: 2todo gr3+ico para determinar el +actor de seguridad de una
super+icie de deslizamiento circular (en la +igura 1. .b se representa sólo uno de
los tanteos#
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. #e obtiene el vector 4, resultante del peso ' , de la $uerza del agua y de las
acciones e!ternas A.
+. #e determina el punto , intersección del vector L y de la línea de acción de laresistencia co&esiva
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0. ado %ue
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$uerzas implicadas en el e%uilibrio ($igura ./), - y no dan momentos con
respecto a ) , y además la resultante de la resistencia movilizada se reduce a la
componente co&esiva;
• #m es la resistencia al corte movilizada
• #u la resistencia al corte sin drenaje del suelo
• el coe$iciente de seguridad
• ' la longitud del arco *L• dl el di$erencial de longitud de dic&o arco, considerado como vector.
En estas circunstancias la suma de momentos del peso D, las acciones e!ternas *
y la resistencia movilizada
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( = − -u /9/L
a
M 7 + MA
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,. Si$t"mati#acin d"l arco circular. M/todo d" 0aco$.
) Introducción
En los apartados anteriores se &a descrito cómo obtener el coe$iciente de
seguridad de una determinada super$icie de deslizamiento estableciendo las
ecuaciones de e%uilibrio de la masa de suelo involucrada. "ambién se &a
apuntado %ue es necesario repetir el mismo proceso de cálculo con diversas
super$icies de deslizamiento &asta obtener la más des$avorable (la %ue
proporciona menor coe$iciente de seguridad), lo %ue sin duda resulta bastante
tedioso y lento.
Bomo &a sido tan &abitual en la &istoria de la práctica ingenieril, para &acer $rente
a esta di$icultad en ausencia de ordenadores, diversos autores concentraron sus
es$uerzos en la obtención de ábacos de uso más sencillo e inmediato.
Mbviamente las variables implicadas son muc&as, y por ello e!isten un buen
nmero de ábacos y tablas disponibles. En los apartados siguientes se
describen algunos de los de uso más comn y práctico.
En general, para el empleo de los ábacos se emplea una determinada
nomenclatura %ue permite distinguir entre di$erentes tipos de círculos de
deslizamiento. ic&a nomenclatura se encuentra recogida en la $igura .4. *l
pie de la misma se indican asimismo las situaciones en las %ue cada tipo de rotura
es más probable, lo %ue sin duda resulta muy práctico desde el punto de vista del
planteamiento de los análisis de estabilidad a realizar.
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Figura 1.1: Denominación de las di6ersas tipologas de crculosde deslizamiento (tomado de 7im2nez %alas, 7.A. 8 olina, *.#.
a) Crculo super+icial de pie. :asa por el pie del talud y su punto más bajo se
encuentra en dic&o pie. #e produce en los casos siguientes;
• En taludes $ormados por terreno con φJ medio a alto.
• En taludes de φJ medio a bajo, y an nulo, siempre %ue su pendiente seaimportante, mayor %ue un valor %ue se indica más adelante.
b) Crculo pro+undo; :asa por debajo del pie del talud.
• #e produce en taludes tendidos con φJ muy bajo o nulo.
c) Crculo pro+undo de pie. :asa por el pie del talud pero pro$undiza por debajo
de éste en algn punto.
• #e produce en casos intermedios entre (a) y (b).
d) Crculo de talud: 'a línea de deslizamiento a$lora en la cara del talud.
+) *baco de "aylor para te rrenos &omogéneos sin rozamiento
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"aylor (op. cit) realizó cálculos sistemáticos sobre la estabilidad de taludes
&omogéneos bajo la acción e!clusiva de acciones gravitatorias (sin cargas
e!ternas) y obtuvo las super$icies de deslizamiento críticas y los
coe$icientes de seguridad mínimos asociados. En este apartado se describen
sus resultados, recogidos en $orma de ábacos, para el caso de taludes en
arcillas &omogéneas cuando las condiciones pueden suponerse no drenadas o a
corto plazo. El empleo de estos ábacos re%uiere la previa de$inición de una serie
de variables geométricas, %ue se encuentran representadas en la $igura ..
Figura 1.11: De+inición de 6ariables geom2tricas para el empleo de los 3bacos de $a9lor (tomada de 7im2nez %alas,
7.A. et al. (1;"##.
•
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• =
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• 'a .+.a recoge la relación entre el ángulo del talud (β), el $actor de
pro$undidad y el coe$iciente de estabilidad =s.
• 'a .+.b muestra la relación entre el ángulo del talud (β) y los ángulos (α)y (θ) %ue sitan el círculo de pie crítico cuando β≥54°.
• 'a .+.c re$leja la relación entre el ángulo del talud (β) y el $actor de
pro$undidad () para varios valores de ?.
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Figura 1.1?. @bacos de $a9lor para terrenos sin rozamiento (tomados de 7im2nez
%alas, 7.A. et. al. (1;"#.
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e su consulta detallada se pueden e!traer algunas observaciones de
indudable interés práctico;
• #i β ≥ " ° el círculo crítico es super+icial de pie.
• #i "β ≥ 5B°, el círculo crítico es pro+undo de pie. Esta condición re%uiere
%ue el $actor de pro$undidad sea T (en caso contrario el círculo no podría
pro$undizar por debajo del pie). #i no se da esa condición y no puede
desarrollarse un círculo pro$undo de pie, el círculo critico será tangente al
estrato duro y podrá cortar al talud (crculo de talud ). En cual%uier caso,para las inclinaciones de talud $ijadas el nmero de estabilidad no será
muy di$erente si se considera o no la e!istencia del estrato duro.
• #i β 5B° se pueden distinguir 1 casos;
• En la zona rayada los círculos críticos son de pie.
• :or debajo de la zona rayada el círculo crítico es pro$undo y
tangente al estrato duro. *demás, para un terreno sin rozamiento el
centro del círculo se sita en la vertical %ue pasa por el punto medio
del talud, por lo %ue también se le denomina crculo de punto
medio. #i no e!iste estrato duro (P∞), el círculo crítico sigue siendo
pro$undo y de punto medio, y su radio es in$inito. Mbservando el
ábaco se puede comprobar %ue en esta situación el coe$iciente de
estabilidad es =s P 5.5+
• #i e!iste limitación de ? (ver por ejemplo la $igura .2), el círculo crítico no
podrá ser de punto medio. :ara ?P4, nico caso resuelto por "aylor, el
círculo más des$avorable será de pie y la evaluación de su seguridad puede
realizarse a partir de la línea de puntos del ábaco .+.a.
• :or encima de la zona rayada los círculos críticos son de talud y tangentes
al estrato duro.
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Figura 1.1B: /imitación en el desarrollo de un crculo de punto medio por la eistencia de suelo Eunto al pie del
talud (tomada de 7im2nez %alas, 7.A. et. al. (1;"#.
2) Abaco de $a9lor para terrenos homog2neos concohesión 9 rozamiento.
Este caso se encuentra resuelto en el ábaco de la $igura 9., si bien su
validez es limitada ya %ue sólo considera el talud 6seco8, sin presiones
intersticiales. 'a nomenclatura empleada es similar a la del apartado 9.+,
con las siguientes observaciones;
• φa es el ángulo de rozamiento e$ectivo movilizado. e acuerdo con la
nomenclatura empleada en estas líneas;
• c a es la co&esión movilizada.
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• Bomo parámetro adimensional, en el eje de ordenadas se emplea el
-mero de estabilidad , inverso del coe$iciente de estabilidad del apartado 9.+;
Bomo puede apreciarse, a igualdad de circunstancias cuanto mayor sea =,
menor resulta el coe$iciente de seguridad.
El ábaco se divide en dos grandes zonas. En la * los círculos críticos sonsiempre super+iciales de pie, mientras %ue en la L penetran por debajo de
dic&o pie. En esta ltima zona se observan sin embargo diversas líneas
continuas o a trazos, largos o cortos.
*un%ue el mismo ábaco incluye una leyenda e!plicativa (casos , + y 2), su
interpretación y empleo no resultan inmediatos, de manera %ue resulta de
interés realizar una descripción algo más detallada (no se incluyen en esta
descripción las situaciones del ábaco con aP4, %ue ya se &an incluido en la
descripción del caso sin drenaje).
:ara ello, en primer lugar se seguirán sucesivamente las líneas del ábaco
correspondientes a los distintos rozamientos movilizados Ja. :osteriormente
se comentarán los casos en los %ue parece e!istir una duplicidad de
posibilidades (líneas di$erentes para los mismos rozamientos movilizados).
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Figura .": Abaco de $a9lor para suelos con cohesión 9 rozamiento. ($omado de 7im2nez %alas, 7.A. et al, 1;"#.
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. φa P 5° .
a) :ara βT50° se está en zona * y por lo tanto el círculo crítico es super+icial de
pie (línea continua).
b) :ara 22UβU50° se está en zona L, luego el círculo crítico penetra por debajo
del pie del talud. *demás es un círculo de pie (línea continua), luego siguiendo
la terminología de la $igura 9. se trataría de un crculo pro+undo de pie
(T). =o obstante, este mecanismo podría no ser posible en el caso de %ue
e!istiera un estrato duro a escasa pro$undidad %ue no dejara %ue el círculo
pro$undizara. Esta cuestión se analiza más delante.
c) :ara βU22° la línea es discontinua con trazos largos, por lo %ue el círculo
crítico será pro+undo. e nuevo, su desarrollo podría esta condicionado a la
e!istencia de un estrato duro a escasa pro$undidad (limitación de ), o a la
e!istencia de terreno junto al pie del talud (limitación de ?). *mbos casos se
discuten más adelante.
+. φa P 4° .
a) :ara βT5+° la situación es análoga a la (a). El círculo crítico es super$icial de
pie.
b) :ara 5UβU5+° la situación es análoga a la (b). El círculo crítico es pro$undo
de pie, con las limitaciones se3aladas.
c) :ara βU5° la situación es análoga a la (c). El círculo crítico es pro$undo con
las limitaciones se3aladas.
2. φa P 5° .
'os círculos críticos pasan siempre por el pie del talud. :ara βT1° son
super$iciales de pie, y para βU1° pro$undos de pie.
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1. φa P + 4° .
'os círculos críticos pasan siempre por el pie del talud. :ara βT25° son
super$iciales de pie, y para βU25° pro$undos de pie.
5. φa P + 5° .
'os círculos críticos son siempre super$iciales de pie.
1) Abacos de
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desde talud 6seco8 a talud completamente saturado y con recarga, se
muestran en la $igura 9.9.
b) El desarrollo de una grieta de tracción en la coronación del talud.
:ara incluir este e$ecto, también muy &abitual, los autores realizaron
diversos cálculos &asta obtener la combinación Xcírculo de deslizamiento
K localización de grietaY más des$avorable para cada geometría de talud
y para cada régimen de presión intersticial supuestos.
Bomo posible limitación, los cálculos realizados y los ábacos resultantes
consideran sólo círculos de pie. :ara su justi$icación, GoeV W Lray se3alan,
citando a "erzag&i, %ue este tipo de rotura es la más des$avorable en terrenos
en los %ue ∅ JT5Z.
* este respecto se puede indicar, como se &a visto anteriormente, %ue la
di$erencia en el ábaco de "aylor ($igura 9.) entre considerar círculos de pie o
pro$undos, cuando éstos ltimos son los críticos, no es en e!ceso relevante.
*demás, estas ligeras di$erencias sólo se producen e$ectivamente con valores
de ∅ Ja muy bajos, lo %ue de alguna manera justi$ica la &ipótesis de GoeV W
Lray.
inalmente, los ábacos evidentemente e!cluyen las roturas producidas en
condiciones sin drenaje (cP#u, ∅ uP4), para las %ue ya se &a visto %ue
los círculos más des$avorables pueden no ser de pie. En cual%uier caso,
como GoeV W Lray se3alan, dic&as situaciones no se producen en macizos
rocosos de e!cavaciones mineras, como los estudiados por ellos.
En de$initiva, los ábacos pueden emplearse para estudiar la estabilidad de
taludes en terrenos &omogéneos, tipo suelo o roca muy $racturada, en los no
sea necesario considerar situaciones sin drenaje o a 6corto plazo8.
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El proceso a seguir para el empleo de los ábacos, %ue se encuentran
recogidos en las $iguras 9./ a 9.2, es el siguiente ($igura 9.0);
Figura .;: 0rocedimiento para determinar el coe+iciente de seguridad de un talud. ($omado de
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+. En el ábaco seleccionado se determina el parámetro adimensional
• γ ; es el peso especí$ico aparente del terreno, representativo del cuerpo del
talud.
•
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Figura .: Condiciones de +luEo de agua 9 presión intersticial para la selección del 3baco de c3lculo ($omado de
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Figura .: Abaco 1 ($omado de
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,I. M/todo d" fa2a$
) undamentos del método
Bomo se &a visto en los apartados anteriores, el método del círculo de
rozamiento desarrollado para estudiar el e%uilibrio global de una masa de suelo
potencialmente inestable se encontraba matemáticamente indeterminado al
e!istir un mayor nmero de incógnitas %ue de ecuaciones. :ara evitar este
e$ecto era necesario realizar alguna &ipótesis sobre la distribución de
tensiones e$ectivas normales a lo largo de la super$icie de deslizamiento.
Bon el $in de racionalizar esta &ipótesis, ellenius planteó estudiar el e%uilibrio,
no de toda la masa potencialmente deslizante, sino de una serie de $ajas o
rebanadas verticales en las %ue dic&a masa se dividiría ($igura /.).
Figura .1: Di6isión en rebanadas de una masa desuelo potencialmente inestable.
'a idea proviene del razonamiento intuitivo de %ue la tensión normal en un
punto cual%uiera de una super$icie de deslizamiento &a de depender
$undamentalmente del peso de suelo %ue gravita sobre él. e esta manera,
dividiendo la masa de suelo en rebanadas su$icientemente pe%ue3as (es decir,
en un nmero su$icientemente grande de rebanadas), se puede asumir %ue las
$uerzas normales en cada rebanada actan en el punto medio de su base.
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Evidentemente el estudio del e%uilibrio de las rebanadas da lugar a la
necesidad de considerar las $uerzas de interacción %ue actan entre ellas, cosa
%ue no ocurría con los métodos globales. e &ec&o, una de las di$erencias
entre los métodos de rebanadas y los de e%uilibrio global es la necesidad de
realizar &ipótesis sobre las $uerzas de interacción entre rebanadas, en lugar de
sobre la distribución de tensiones normales a lo largo de la línea de
deslizamiento. :recisamente las di$erencias entre los diversos métodos de
rebanadas disponibles provienen en general de las &ipótesis realizadas en este
sentido, %ue lógicamente in$luirán en la distribución de las tensiones normales,
aun%ue en bastantes ocasiones de $orma secundaria.
'os métodos de rebanadas también son de e%uilibrio límite y re%uieren postular
una determinada super$icie de deslizamiento, para la %ue se calcula el
coe$iciente de seguridad. En consecuencia, como en casos anteriores resulta
necesario repetir los cálculos con diversas super$icies &asta encontrar la crítica
(la de menor coe$iciente de seguridad).
:or ltimo, los métodos de rebanadas, además de ser más e!actos,
presentan algunas ventajas con respecto a los de e%uilibrio de la masa global,entre las %ue cabe destacar;
. 'os parámetros de resistencia al corte (cJ, φJ) a lo largo de la
super$icie de deslizamiento (bases de las rebanadas) se pueden
modi$icar de rebanada a rebanada, de manera %ue es posible
considerar taludes no &omogéneos con diversos tipos de terreno.
+. *lgunos de los métodos no re%uieren %ue las super$icies de
deslizamiento a tantear sean circulares, de $orma %ue $acilitan el análisis de
$ormas de rotura gobernadas por &eterogeneidades geológicas o
estratigrá$icas ($igura 1.+).
+) De+inición de rebanadas. ariables, incógnitas 9 ecuaciones
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En la $igura /.+ se &a representado un talud con super$icie de deslizamiento
circular, de la %ue se &a e!traído una rebanada. #e &an representado asimismo
las principales variables geométricas %ue la de$inen, así como las $uerzas %ue
actan sobre ella y %ue &abría %ue considerar para su e%uilibrio. Estas son;
Figura .?: Geometra de una rebanada 9 +uerzas actuantes.
ariables g e ométricas.
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• bi ; anc&o de la rebanada
• l i ; longitud de la base de la rebanada
• αi ; ángulo %ue $orma la inclinación de la rebanada con la &orizontal.• hi ; altura media de la rebanada.
• i : brazo del peso de la rebanada con respecto al centro del círculo.
• Ω; ángulo central del círculo de deslizamiento.
uerzas;
• ' i ; :eso de la rebanada.
• i ;
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e las $uerzas anteriores, el peso de la rebanada puede ser $ácilmente calculado, y la
resultante de las presiones intersticiales y su punto de aplicación también pueden
deducirse conocido el régimen de $lujo e!istente.
Ecuaciones
#uponiendo a&ora %ue el talud se divide en n rebanadas, se tendrían las siguientesincógnitas;
0ar3metro -I de
incógnitas
)bser6aciones
uerzas =Ji n Nna por rebanada
:unto de aplicación de =Ji n Nna por rebanada
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Bon relación a las ecuaciones, se dispone de las siguientes;
Bomo puede apreciarse, e!isten (nK+)K1n P +nK+ más incógnitas %ue
ecuaciones, luego para resolver el problema es necesario realizar +nK+ &ipótesis
adicionales.
Nna de las más simples, comn a todos los métodos, es suponer, como se &a
indicado antes, %ue el punto de aplicación de las $uerzas =Ji, se encuentra enel centro de la base de la rebanada. Esto sería cierto si se &ace tender el
nmero de rebanadas a in$inito, y en la práctica la apro!imación resulta
razonable con un nmero su$iciente de éstas.
Bon relación al resto, los métodos disponibles se di$erencian precisamente en
las &ipótesis %ue ser realizan al respecto, tal y como se describe a continuación
*elación b3sica -I de ecuaciones
disponibles
)bser6aciones
E%uilibrio de $uerzas
&orizontales
n Nna por rebanada
E%uilibrio de $uerzas
verticales
n Nna por rebanada
E%uilibrio de momentos n Nna por rebanada
Briterio de rotura
R = c'·li
+ N'i·tanφ'
n Nna por rebanada
%,A !n
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2) -étodos apro!imados
#on a%uellos en los %ue, por el nmero de &ipótesis realizadas, no se llegan
a satis$acer todas las ecuaciones de e%uilibrio. 'os más relevantes por su
di$usión práctica son los siguientes;
2.)
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*sumiendo a&ora %ue el coe$iciente de seguridad es nico a lo largo de la
super$icie, se puede despejar éste de la e!presión anterior, resultando;
:ara determinar a continuación la $uerza normal en la base de las rebanadas, =i,
de las dos ecuaciones de e%uilibrio de $uerzas disponibles, ellenius eligió
calcular sólo el e%uilibrio en una dirección; la perpendicular a la base de cada
rebanada;
con lo %ue sustituyendo (/.+) en (/.);
* la vista de esta complicada ecuación, en la %ue en principio sería necesario
conocer las $uerzas entre rebanadas ?i y Ei, ellenius decidió realizar la &ipótesis
simpli$icadorade %ue;
%ue en realidad
e%uivale a suponer %ue todas las $uerzas entre rebanadas son nulas;
En consecuencia, el $actor de seguridad resulta;
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En resumen, las &ipótesis adicionales realizadas por ellenius $ueron;
0ar3metro -I de hipótesis
:unto de aplicación de =Ji n
uerzas tangenciales entre
rebanadas ?i
nK)
uerzas normales entre
rebanadas (Ei)
nK)
%A BnJ?
lo %ue supone &aber realizado n &ipótesis más de las estrictamente necesarias
(una por rebanada). Evidentemente, no cumple con todas las condiciones de
e%uilibrio.
Este método, %ue como puede apreciarse resulta muy sencillo en su aplicación y
tan sólo re%uiere la realización de un sumatorio 6a mano8 o mediante una &oja
de cálculo, resulta aceptable si la variación del ángulo αi es discreta, o lo %ue
es lo mismo, si el ángulo central Ω es relativamente pe%ue3o.
En caso contrario el e$ecto de la presión intersticial se magni$ica y puede dar
lugar a valores de =Ji e!cesivamente bajos, o incluso negativos, lo %ue reduce
el coe$iciente de seguridad obtenido.
:.;)
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En /51 Lis&op desarrolló un procedimiento similar al de ellenius,
introduciendo una variante de importancia.
'as consideraciones iniciales en cuanto a la posición de las $uerzas =Ji y a la
selección del e%uilibrio de momentos como condición de e%uilibrio $undamental
resultan iguales a la propuesta por ellenius, con lo %ue el desarrollo es
idéntico &asta la obtención de la e!presión (/.).
Bon respecto al e%uilibrio de $uerzas, Lis&op seleccionó también una
sola dirección, pero en este caso $ue la vertical por el centro de cada
rebanada. En estas condiciones la ecuación de e%uilibrio correspondiente
resulta (ver $igura /.+);(#
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'lamando a&ora ∆"iP ?iK?iS, recordando %ue biPliRcosαi y sustituyendo (/.1) en(/.);
'a e!presión anterior corresponde al método 6más riguroso8 de Lis&op. Bomo
puede apreciarse, el coe$iciente de seguridad se encuentra implícito en la
ecuación, lo %ue obliga asumir un coe$iciente de seguridad inicial (cuando los
cálculos se realizaban sin ordenador, $recuentemente se partía del coe$iciente del
método de ellenius algo mayorado) y llevar a cabo varias iteraciones &asta %ue
la solución converge.
:or otra parte, en la ecuación anterior $iguran las $uerzas verticales entre
rebanadas. ado %ue en principio son desconocidas, Lis&op sugirió
suponerlas todas nulas (∀i> "i P 4), lo %ue dio lugar al llamado 6método
simpli$icado8, %ue también &a de resolverse por iteraciones y cuya
e!presión resulta;
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:ara introducir de nuevo las $uerzas entre rebanadas, Lis&op
propuso ajustarlas mediante iteraciones &asta cumplir las n
ecuaciones de e%uilibrio &orizontal. #in embargo este proceso resulta
di$ícil, de $orma %ue el procedimiento %ue realmente se di$undió de $orma
universal $ue el 6simpli$icado8.
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:uestos a elegir, si se tiene %ue renunciar a una de las ecuaciones de
e%uilibrio, la propuesta anterior resulta intuitivamente razonable en el
caso de mecanismos de rotura marcadamente rotacionales ($igura
/.1.a). #in embargo, e!isten otras situaciones y mecanismos de
rotura en los %ue, también intuitivamente, el e%uilibrio en la &orizontal
parece más relevante. Este sería el caso, por ejemplo, de deslizamientos
marcadamente traslacionales ($igura /.1.b
igura /.1; Importancia relativa del cumplimiento del e%uilibrio de momentos o de
$uerzas &orizontales en $unción del probable mecanismo de rotura.
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:ara este tipo de situaciones, [anbu (/55) desarrolló un método de
rebanadas, en el %ue la ecuación de e%uilibrio $undamental es
precisamente la de $uerzas &orizontales (no cumple el e%uilibrio de
momentos). El procedimiento se puede emplear para cual%uier $orma
de la super$icie de deslizamiento, %ue &abitualmente &ay %ue de$inir
punto a punto a partir de consideraciones geológicas.
En lo %ue respecta al planteamiento del método, al igual %ue en el de
Lis&op, se considera el e%uilibrio de $uerzas verticales en cada rebanada.
*simismo se supone %ue ∆"iP4, lo %ue da lugar al método 6simpli$icado8
de [anbu.
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Figura .5: Factor de corrección + para el m2todo de7anbu (FK+ 5 LF + #.
Bomo en el caso de Lis&op simpli$icado, el nmero de &ipótesis adicionales es
+nK, una más de las necesarias.
1) 2todos completos origurosos.
#e denominan así los %ue cumplen todas las ecuaciones de e%uilibrio, lo
%ue les permite considerar cual%uier $orma en la super$icie de rotura. Bon
el $in de e!plicar conceptualmente este tipo de métodos, supóngase para
simpli$icar %ue la super$icie de deslizamiento considerada es circular.
*doptando la primera &ipótesis &abitual de %ue las $uerzas normales =J i
se localizan en el centro de la base de cada rebanada y empleando la
misma notación %ue para el caso simpli$icado de Lis&op, la ecuación
de e%uilibrio de momentos resultaría de nuevo ($igura /.+);
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n n
∑ Wi ·x i = ∑ R m,i·R
1 1
y aceptando %ue el coe$iciente de seguridad m respecto al e%uilibrio demomentos es constante a lo largo de todo el talud;
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'a $uerza normal en la base de las rebanadas se determina, como en el
caso de Lis&op, mediante el e%uilibrio en la vertical;
donde en la ecuación (/.9) es m o $ , dependiendo de si considera el
e%uilibrio de momentos (/.) o de $uerzas (/.0).
:ara resolver el problema se necesita realizar alguna &ipótesis adicional
con respecto a las $uerzas entre rebanadas, siendo precisamente esta&ipótesis la %ue di$erencia los diversos métodos completos.
!.14 M/todo d" Morg"n$t"rn 6 -ric"7189:4 ; LE
En este primer caso se supone %ue la relación entre las $uerzas entre
rebanadas puede e!presarse mediante una $unción;
= i = λ/f(") E i
donde $(!) ($igura /.) describe de alguna manera la $orma en %ue ?iCEi
varía a lo largo del talud, y el coe$iciente λ (4UλU) es un $actor de
corrección a determinar (incógnita) para %ue se cumplan las condiciones
de e%uilibrio &orizontal y de momentos (mP$ ).
Bon estas premisas, las &ipótesis adicionales realizadas son;
0ar3metro -I de hipótesis
:unto de aplicación de =Ji n
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Bomo puede apreciarse, se introduce una &ipótesis más de las
estrictamente necesarias (+nK+). #in embargo, λ constituye una
incógnita adicional a calcular para %ue se cumpla el e%uilibrio de $uerzas
y momentos, de manera %ue el sistema %ueda determinado y tiene
solución matemática.
-orgenstern W :rice (/5) se3alan, en su epígra$e de conclusiones,
%ue la $unción $(!) puede seleccionarse a partir del conocimiento
apro!imado de la distribución de las tensiones internas en el talud, o de
su monitorización (se re$ieren al caso de presas).
En la práctica &abitual suelen preseleccionarse sin embargo algunas
$ormas típicas para la $unción $(!) ($igura /.0).
Nna vez resueltas las ecuaciones correspondientes y obtenida una
solución, se puede realizar la comprobación de %ue los resultados son
lógicos, es decir, %ue por ejemplo;
• las $uerzas ?i no e!ceden la má!ima movilizable segn el criterio de
-o&rK Boulomb;
=i
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• la distribución de $uerzas =Ji es razonable a lo largo de la línea de rotura
(no se producen 6picos8 o cambios no lógicos).
En cual%uier caso y a$ortunadamente, ya en su primera
propuesta de /5 -orgenstern W :rice se3alaban %ue los $actores de
seguridad obtenidos no suelen verse e!cesivamente a$ectados por el tipo
de $unción elegida, lo %ue lógicamente resta relevancia a su selección,
e incluso a lo razonable de las tensiones internas resultantes (en
términos de ?i y Ei).
El nico problema %ue puede plantearse en algunas ocasiones es, en todo caso,el de la convergencia numérica si dic&as tensiones no son compatibles con el
e%uilibrio, ante lo cuál es necesario modi$icar la $unción $(!) seleccionada.
En cual%uier caso y a$ortunadamente, ya en su primera
propuesta de /5 -orgenstern W :rice se3alaban %ue los $actores de
seguridad obtenidos no suelen verse e!cesivamente a$ectados por el tipo
de $unción elegida, lo %ue lógicamente resta relevancia a su selección,
e incluso a lo razonable de las tensiones internas resultantes (en
términos de ?i y Ei).
El nico problema %ue puede plantearse en algunas ocasiones es, en todo caso,
el de la convergencia numérica si dic&as tensiones no son compatibles con el
e%uilibrio, ante lo cuál es necesario modi$icar la $unción $(!) seleccionada.
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Figura .;: Funciones +(# habituales.
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!.
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%ue $acilitan el uso de este programa &aciendo más sencilla la obtención de
salidas.
SLIDE (de la compa3ía
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disponible en una zona reducida de la super$icie de deslizamiento el e!ceso de
carga tendrá %ue ser transmitido a las zonas adyacentes.
En suelos o macizos rocosos %ue presenten un comportamiento conreblandecimiento o $rágil (esto es, %ue una vez alcanzado el pico de resistencia,
disminuya bruscamente su capacidad de resistir carga), esta transmisión de la
carga puede llevar a la rotura subsiguiente de las zonas adyacentes y así
sucesivamente &asta dar lugar al deslizamiento completo de la masa mediante el
$enómeno denominado rotura progresiva. :ara %ue se produzca este tipo de
rotura, por tanto, tendrá %ue &aber una etapa inicial en la %ue por la causa %ue
$uere y en una zona de la super$icie potencial de rotura se supere la
resistencia al corte de pico del terreno, posteriormente la transmisión de
es$uerzos irá produciendo el progreso de la rotura.
En general los suelos granulares sueltos y las arcillas normalmente consolidadas
presentan un comportamiento no $rágil, por lo %ue en estos casos se suele
descartar la rotura progresiva. #in embargo, para arenas densas y arcillas
$isuradas y sobrecosolidadas, %ue se pueden considerar materiales $rágiles, la
resistencia de los puntos en los %ue se &a alcanzado la tensión de pico suele ir
decreciendo a medida %ue se va produciendo el movimiento cortante y &asta %ue
se produce el deslizamiento completo del talud. Buanto más $rágil sea el material,
mayor será la di$erencia entre la resistencia movilizada y la resistencia de pico
promedio en la super$icie de rotura. Ljerrum (/0) sugiere %ue la meteorización
de arcillas sobreconsolidadas y pizarras sedimentarias da lugar a la destrucción
lenta de los enlaces diagenéticos de estos materiales, lo %ue &ace aumentar su$ragilidad y por lo tanto su tendencia a su$rir rotura progresiva.
Nna vez iniciada una rotura de este tipo, el proceso %ue lleva &asta la rotura total
puede tener lugar de $orma lenta o rápida. E!isten in$ormes de mltiples casos
en los %ue taludes naturales o construidos &an permanecido estables o &an ido
su$riendo desplazamientos casi indetectables durante a3os antes de llegar al
periodo $inal de movimientos acelerados y rotura.
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#e puede de$inir un índice de $ragilidad como el cociente entre la di$erencia de
las resistencias de pico y residual de un material y la resistencia del pico del
mismo. 'a posibilidad de %ue ocurra un rotura progresiva será proporcional al
valor de este índice.
El análisis de estabilidad de este tipo de roturas se puede realizar atendiendo a
planteamientos analíticos (Nriel, /99) o mediante técnicas numéricas (Mlalla y
Buellar, +44). =o obstante, resulta indudable %ue los parámetros, condiciones
de contorno y características %ue se precisa conocer para enjuiciar e!actamente
el espectro completo del $enómeno son muy diversos y a veces complicados de
obtener, especialmente la disminución del criterio de rotura asociado a un
parámetro de reblandecimiento y el denominado módulo de descarga o pendiente
de bajada de la curva tensiónKde$ormación una vez superada la resistencia de
pico y en su camino &asta el valor residual. *demás la simulación numérica de
estos materiales con reblandecimiento presenta problemas en lo %ue concierne a
la variación de los resultados con el anc&o de malla y en la aparición de
$enómenos de de$ormación no &omogénea (bi$urcación y localización de las
de$ormaciones).
I?. Aplicacin d"l programa SLIDE a ca$o d" mina -ic@ita 'ia
min"ra Lo$ '@unc@o$
) actores de seguridad mínimos
El $actor de seguridad, viene a ser la relación %ue e!iste entre las $uerzas %ueresisten, propias de la roca 6vs8 las $uerzas %ue inducen el deslizamiento, debido
al peso de la masa de roca.
:ara la etapa del planeamiento desarrollado se &a considerado un .#.P.5 en
bancos de producción y un .#.P.+ en talud $inal, pudiendo bajar este valor en
$unción a la calidad de roca %ue se vaya encontrando durante la operación de
minado.
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+) Bondiciones de análisis
:ara la realización del análisis se &a considerado la dirección del avance del
minado, la cual &a sido establecida de =K# por el área de planeamiento.
:ara el planeamiento de del tajo se &izo uso del so$t7are atamine, estimando
un promedio de 9 bancos con altura de 5 mt. @ berma de 2 mt. Bon una gradiente
de rampa de 9\, ello nos lleva a tener un anc&o má!imo de tajo de 5+ mt y
mínimo de +0 mt. 'uego de lo cual se realizo seis cortes longitudinales de =K#
para interceptar el cuerpo y poder analizar la estabilidad del tajo en di$erentes
posiciones, para ello se uso el programa #'IE 5.4, asimismo se &a tomado los
valores de las propiedades $ísico y mecánicas resultantes de los ensayos delaboratorio.
2) *nálisis de estabilidad en condiciones estáticas y seudoKestaticas
En el análisis de condiciones estáticas se analiza por e%uilibrio limite y en
condiciones seudo estáticas en $unción de las aceleraciones isovaloricas, el valor
asumido es la tercera parte del valor de la aceleración, %ue en nuestro caso será
de 4.+, teniendo en cuenta una e!cedencia de 4\ en 44 a3os.
* continuación se muestra la salida del programa #'IE 5.4, así como los
$actores de seguridad obtenidos en condición estática y seudoKestática.
1) ise3o de taludes
#egn el planeamiento de minado detallado y teniendo en cuenta las
propiedades mecánicas de la roca e!istente en el área, de$inidas por la
valoración geomecánica se puede establecer los siguientes parámetros;
• *ngulo de talud $inal 24]
• *ltura de bancos 5 m
• *ngulo del banco InKsitu 4]
• *nc&o de berma 5 m
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El modelamiento geomecánico así como la evaluación de la estabilidad de
taludes se realizo teniendo en cuenta los parámetros arriba indicados y dieron
como resultado la estabilidad de dic&os taludes.
?. 'onclu$ion"$
.K Bual%uier método %ue satis$ace el E%uilibrio de -omentos, dá el mismo
$actor de seguridad en el análisis de 1T P M con super$icies de $alla
circular.
+.K El -étodo Mrdinario de ovelas (ellenius), da error en el lado
conservador para el caso de 1T T M. Bon presiones de poro pe%ue3as,para los análisis en $unción de es$uerzos totales y de es$uerzos
e$ectivos, el error es menor de 4]Co. :ara pendientes casi planas con
presiones de poros altas, el error puede ser mayor del 54]Co.
2.K :ara análisis de ∅=0 o ∅>0 con presiones de poros bajas o altas,
el -étodo #impli$icado de Lis&op es adecuado para el análisis de $alla
circular. El método es muy estable numéricamente, sólo &ay problemas de
convergencia cuando los e!tremos de la super$icie de $alla es muy
parada, casi vertical.
!I. Biliografía