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Modelo Ji- cuadradoSupongamos que un investigador est interesado en evaluar la asociacin entreuso de cinturn de seguridad en vehculos particulares y el nivel socioeconmicodel conductor del vehculo. Con este objeto se toma una muestra de conductores aquienes se clasifica en una tabla de asociacin, encontrando los siguientes

resultados:

Usodecinturn

Nivelsocioeconmico bajo

Nivelsocioeconmico medio

Nivelsocioeconmico alto

TOTAL

S ! "# $! #"

%& "' "( ") )'

*&*+ $" '" )$ -)

Tabla I.*abla de asociacin, valores observados.

/ermiten estos datos afirmar que el uso del cinturn de seguridad depende delnivel socioeconmico0 1saremos un nivel de significacin alfa23,3#.os pasos del anlisis estadstico en este caso son los siguientes:1. En rimer lu!ar se debe lantear las "itesis #ue someteremos a ruebaH0: El uso de cinturn de seguridad es independiente del nivel socioeconmico.H1: El uso de cinturn de seguridad depende del nivel socioeconmico.4n esta prueba estadstica siempre la hiptesis nula plantea que las variablesanali5adas son independientes.$. En se!undo lu!ar% obtener &calcular' las (recuencias eseradas4stas son las frecuencias que debieran darse si las variables fueranindependientes, es decir, si fuera cierta la hiptesis nula.

as frecuencias esperadas se obtendrn de la distribucin de frecuencias del totalde los casos, #" personas de un total de -) usan el cinturn y )' de -) no lo usan.4sa misma proporcin se debera dar al interior de los tres grupos de nivelsocioeconmico, de manera que el clculo responde al siguiente ra5onamiento: side -) personas #" usan cinturn6 de $" personas, cuntas debieran usarlo0a respuesta a esta pregunta se obtiene aplicando la 7regla de tres8 y es "",).4ste procedimiento debe repetirse con todas las frecuencias del interior de latabla.4l detalle de los clculos es el siguiente:%ivel bajo: 9$"#";-)

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S 11,4 16,8 22,8 #"

%& ,6 14,2 1,2 )'

*&*+ $" '" )$ -)

Tabla II.*abla de asociacin, valores esperados.). En tercer lu!ar se debe calcular el estad*stico de rueba4n este caso, el estadstico de prueba es >i=cuadrado que, como dijimos alcomien5o, compara las frecuencias que entregan los datos de la muestra9frecuencias observadas< con las frecuencias esperadas, y tiene la siguientefrmula clculo:

donde oi representa a cada frecuencia observada y eirepresenta a cadafrecuencia esperada.?e este modo el valor del estadstico de prueba para este problema ser:

4ntonces 4ste es el valor de nuestro estadstico de prueba que ahora,siguiendo el procedimiento de problemas anteriores 9paso )

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+s, en nuestro ejemplo, en que hay $ filas y ' columnas, los grados de libertadsern:gl29$="

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*ambiAn se puede usar el estadstico ji=cuadrado para evaluar cun buena puederesultar una distribucin terica, cuando pretende representar la distribucin realde los datos de una muestra determinada. + esto se le llamaevaluar la bondad deun ajuste. /robar la bondad de un ajuste es ver en quA medida se ajustan losdatos observados a una distribucin terica o esperada.

*omemos como ejemplo la distribucin esperada para los individuos de unapoblacin que son clasificados segBn grupo sanguneo. SegBn estudios reali5adosen poblacin, se espera que dicha distribucin, en porcentajes, sea la siguiente:

,ruo recuencia eserada

+G $,3F

+ '3,#F

G -,'F

3 #!,$F

Tabla I/.4jemplo de distribucin esperada.4n una muestra de "#3 dadores de sangre se encontr la siguiente distribucin:

,ruo recuencia observada

+G )

+ )!

G "#

3 !'

Tabla /.4jemplo de distribucin observada.1. Las "itesis del roblema son0H0: los datos se a!ustan a la distri"ucin terica.H1: los datos no se a!ustan a la distri"ucin terica.

$. i!uiendo el es#uema !eneral de solucin rouesto ara las ruebas de"itesis% a"ora corresonde ele!ir un nivel de si!ni(icacin4legimos entonces alfa23,3". 4l estadstico de prueba ser ji=cuadrado, cuyafrmula es:

?ebemos calcular las frecuencias esperadas en nuestro grupo. Si aplicamos losporcentajes esperados a la muestra de "#3 casos podemos obtener las siguientesfrecuencias esperadas 9ei

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Tabla /I.4jemplo de frecuencias esperadas.os grados de libertad de esta tabla se obtienen restando " al nBmero de filas, eneste caso: gl2)="2'Iecordemos que la fila del total no se considera para los grados de libertad.Si ya tenemos las frecuencias observadas y esperadas, podemos proceder a

evaluar la diferencia entre ellas utili5ando el estadstico ji=cuadrado. Si la diferenciaentre frecuencias observadas y esperadas es grande, significar que la hiptesisnula es falsa, o sea, esta distribucin no se ajusta a la distribucin terica y si, encambio, resulta que la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas no esmuy grande, significar que la hiptesis nula es verdadera6 por lo tanto, ladistribucin en la muestra se ajusta a la distribucin terica y diremos que no haysignificacin estadstica.4l valor del estadstico de prueba 9+$< es una medida de la diferencia entrefrecuencias observadas y esperadas6 por lo tanto, mientras mayor resulte , msfcil ser recha5ar la hiptesis nula.). e calcula el estad*stico de rueba con los datos del ejemlo

2. e comara este valor con el valor de ji-cuadrado de la tabla4l valor de ji=cuadrado lo buscaremos con alfa23,3" y ' grados de libertad. SegBntabla, ese valor es "",').

+l comparar el valor del estadstico de prueba 93,H'< con el valor de tabla 9"",')