¿Qué es un modelo matemático?

Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del

campo de las Matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos

económicos, por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o

fracaso depende de la precisión con la que se construya esta representación

numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en

forma de variables relacionadas entre sí.

¿Cuáles son los pasos que se consideran para el desarrollo de un modelo matemático?

En muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigue

una serie de fases bien determinadas:

1. Identificación de un problema o situación compleja que necesita ser

simulada, optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo

matemático predictivo.

2. Elección del tipo de modelo, esto requiere precisar qué tipo de respuesta

u output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores

relevantes, y para qué pretende usarse el modelo. Esta elección debe ser

suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático

asequible con los recursos disponibles. Esta fase requiere además

identificar el mayor número de datos fidedignos, rotular y clasificar las

incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer

consideraciones, físicas, químicas, geométricas, etc. que representen

adecuadamente el fenómeno en estudio.

3. Formalización del modelo en la que se detallarán qué forma tienen los

datos de entrada, qué tipo de herramienta matemática se usará, como se

adaptan a la información previa existente. También podría incluir la

confección de algoritmos, ensamblaje de archivos informáticos, etc, etc. En

esta fase posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes

para que el problema matemático de modelización sea tratable

computacionalmente.

4. Comparación de resultados los resultados obtenidos como predicciones

necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el

modelo está prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien,

frecuentemente se vuelve a la fase 1.

Es importante mencionar que la inmensa mayoría de modelos matemáticos no son

exactos y tienen un alto grado de idealización y simplificación, ya que una

modelización muy exacta puede ser más complicada de tratar de una

simplificación conveniente y por tanto menos útil. Es importante recordar que el

mecanismo con que se desarrolla un modelo matemático repercute en el

desarrollo de otras técnicas de conocimientos enfocadas al área sociocultural.

¿En qué áreas del conocimiento se utilizan los modelos matemáticos?

Los teléfonos móviles con pantallas táctiles, la televisión paga con cientos de

canales y servicios virtuales de alquiler de películas, o Internet mismo, con su

infinidad de posibilidades, son las formas de entretenimiento favoritas de la

actualidad a nivel global. Ahora bien, si visitáramos las compañías que fabrican los

dispositivos, o que diseñan y desarrollan los servicios antes mencionados, nos

encontraríamos con grandes departamentos de control de calidad, que no hacen

otra cosa que analizar, a través de modelos matemáticos, posibles interacciones

entre usuarios y sistemas, potenciales fallas, y que buscan mejorar el producto

final, tan sólo basados en pruebas y sus números resultantes.

Supongamos que disponemos de un servicio de video bajo demanda, y que, a la

hora de pagar por una determinada película, se nos pregunta si tenemos un cupón

de descuento. En ese momento, asimismo, se nos comunica que, dado que

estamos en una semana de promoción, se aplicará una bonificación de una equis

cantidad. Todo esto, si tuviéramos que hacerlo a mano, para un cliente en

particular, no sería muy complicado; con papel, lápiz y una calculadora,

resolveríamos el precio final. Pero en el caso de una plataforma con la que

interactúan millones de personas por día, es necesario confeccionar y testear

rigurosamente todas las posibles combinaciones para evitar, por ejemplo, que un

cupón se utilice más de una vez, o después de su vencimiento, entre otras

potenciales violaciones al sistema.

¿Cuál es la diferencia entre modelo matemático y fórmula matemática?

Una fórmula es una forma breve de expresar información de modo simbólico, o una relación general entre cantidades.

Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas.

Realizar un ejemplo en el cual muestres el desarrollo de un modelo matemático.

Supone que observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo.

Hombre Mujer

2 m 1 m

4 m 2 m

10 m 4.85 m

13 m 6.75 m

18.5 m 9 m

20 m 10 m

27 m 13.4 m

La forma geométrica que mejor se aproxima a los datos es una recta. Para determinar la ecuación de dicha recta, haremos el siguiente análisis.

* Representaremos por medio de y la distancia recorrida por el hombre y por medio de la x la distancia recorrida por la mujer.

*Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por ejemplo (1,2) y (2,4)

* sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes m y b.

• Solución:

Nuestro modelo está representado, analíticamente, por medio de la recta

y=2x

Su solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo.

• Observaciones: Notemos que, a pesar de que existen puntos que no satisfacen la ecuación (por ejemplo (9,18.5) ), hay una mayoría de puntos que si satisfacen la ecuación. Podemos predecir que, si ambas personas siguen avanzando de manera similar, la mujer no va a poder haber caminado 56 metros, mientras que el hombre hubiera caminado únicamente 50.