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Modelo matemtico para evaluar la energa elica disponible

Donde:

Ed(V) : Energa elica disponible (kW-h).

P(V) : Probabilidad de ocurrencia de la velocidad del viento (-).

Pd (V): Potencia disponible del viento o densidad de potencia (kW).

Nh : Nmero de horas del periodo de anlisis (hr).

Modelo matemtico para evaluar la energa elica til.

La energa elica til corresponde a la energa que realmente aprovecha el consumidor, cuya demanda de potencia elctrica es, Dpe y se calcula segn la ecuacin

La energa elica til en funcin de la duracin del viento se presenta en la

Ecuacin

Donde:

Eu : Energa elica til (kW-h).

Dpe : Demanda de potencia elctrica (kW).

S(Vo) : Duracin del viento, probabilidad que la velocidad del viento sea

superior a la velocidad V0.

S(Vc) : Duracin del viento, probabilidad que la velocidad del viento sea

superior a la velocidad Vc.

Vo : Velocidad del viento que satisface la demanda de potencia

elctrica (m/s).

VN : Velocidad nominal (m/s).

Vc : Velocidad de corte (m/s).

Como la masa de aire que atraviesa el rea A en un tiempo t es m = A d, y d = Vt (donde V es la velocidad del viento), tenemos que:

Potencia = (Ad)V2/t = =AV2(d/t) = AV3

2.2. Potencia elica

La potencia del viento nos da un primer lmite para la potencia de un aerogenerador. Para calcularla, evaluamos la energa cintica (EK) de la masa de aire (m) que atraviesa, por unidad de tiempo, la seccin barrida por las palas (A).

Potencia = Trabajo / t = EK / t = mV2 / t

V

A

d

Esquema del cilindro de aire que atraviesa el rotor en un tiempo t (disco violeta en el dibujo de la izquierda).

El volumen es Vol = A*d:

Potencia elica = AV3

la potencia depende de la velocidad al CUBO !

Potencia de una turbina: coeficiente de potencia CP

La fraccin de la energa del viento que una turbina convierte en la prctica en energa mecnica de rotacin se llama coeficiente de potencia (CP) de esa turbina. As:

Potencia de una turbina = CP * Potencia del viento = CP AV3

Ntese que una turbina nunca puede extraer toda la energa cintica del viento, puesto que el aire no se para al atravesar la turbina (es decir, CP < 1).

Su velocidad disminuye de v1 a v2, como muestra la figura. Por conservacin de la masa, si la velocidad disminuye, la seccin del tubo de corriente considerado aumenta.

En el apartado siguiente calcularemos cal es el mximo coeficiente de potencia con que puede funcionar una turbina (lmite de Betz).

2.3. Lmite de Betz

Sea un tubo de corriente como el esquematizado en la figura. Se supondr que, a barlovento de la hlice, el aire posee una velocidad v1 (velocidad del viento sin perturbar) en la seccin transversal A1, mientras que la velocidad v2 se corresponde con la seccin transversal A2 a sotavento de la zona en que se encuentra la hlice. En el plano que contiene la hlice, la seccin transversal batida por la misma (rea del rotor) es un disco imaginario de rea A, siendo v la velocidad del viento en la misma (velocidad til). Asimilamos la hlice a un disco de de rea A que capta parte de la energa del aire en movimiento que llega a l, es decir v2 < v1. Sin embargo, es obvio que v2 nunca es cero (no puede extraerse toda la energa cintica del aire).

El caudal msico (Qm = densidad x caudal = Q) es constante (conservacin de la masa), es decir:

Modelo de Betz

Qm = Q = A1v1 = A2v2 = A v

(1)

(Esto explica que el tubo de corriente se ensanche tras la turbina, como

v2 < v1, entonces A2 > A1)

Podemos expresar la potencia til transferida por el viento a la turbina de dos maneras:

i) Prdida, por unidad de tiempo, de energa cintica del viento al pasar por la hlice:

22

22

1

2

12

k1k 2

1

2

1

donde hemos utilizado los argumentos y

(2)variables definidas dos transparencias atrs; en particular ntese que v = d /t

ttt 2

k

Putil

Ad v v

EE E

Av v v

y ii) el trabajo generado, por unidad de tiempo, por la fuerza del viento (igual, por las leyes 2 y 3 de Newton, a menos la tasa de cambio en la cantidad de movimiento del aire al pasar por la hlice) sobre el rea A:

1

22

1

2

(3)

util

Adv v

P Fv

v Avv v

t

Ntese que, por la 3 ley de Newton:

Fuerza del viento = - Fuerza sobre el viento =

= - m(v2 v1)/t = Av(v1 v2)

2

22

12

Av v v Avv1 v2

1

2

De las ecuaciones (2) y (3) anteriores tenemos que

y, por tanto, recordando que (a2 b2) = (a+b)(a-b), que

v1 v2

(4)

2

v

Es decir, en el modelo de Betz, y para que las ecuaciones (2) y (3) sean consistentes entre s, la velocidad del viento en el plano de la hlice (velocidad til) es la media de las velocidades del viento antes y despus de la misma.

Insertemos este resultado en, por ejemplo, la expresin (2) para la potencia de la turbina, y hagamos el cambio v2 = bv1 (sabemos, de la transparencia anterior, que 0 < b < 1 ):

22 2

3

2

1

1

11

1

1v bv

1

4

v b v=

Av1 b1 b

(5)

2

2

util

P A

El valor mximo para la potencia se obtiene ahora haciendo

dPutil

0

db

, que nos deja:

(1 b2 ) (1 b)(2b) (1 b)(1 3b) 0

Soluciones

b = -1 (sin sentido fsico)

bb = 1/3

v2 = (1/3) v1

De modo que la potencia mxima es (sustituyendo la solucin en (5)):

3

1

16 1

272

util

P

Av

es decir, el coeficiente de potencia mximo (ideal) de una turbina elica (ver dos

transparecias atrs) es:

16

59 % LIMITE DE BETZ

27

Betz P

C

Rendimiento global del aerogenerador

La ley de Betz fue formulada por primera vez por el fsico alemn Albert Betz en 1919. Su libro "Wind-Energie", publicado en 1926, proporciona buena parte del conocimiento que en ese momento se tena sobre energa elica y aerogeneradores. Es sorprendente que se pueda hacer una afirmacin general tan tajante que se pueda aplicar a cualquier aerogenerador con un rotor en forma de disco.

Consideraciones prcticas.- La ecuacin de Betz proporciona el lmite superior de las posibilidades de un aerogenerador, pero es todava poco realista al no tener en cuenta una serie de factores como:

La resistencia aerodinmica de las palas

La prdida de energa por la estela generada en la rotacin La compresibilidad del fluido

La interferencia de las palas

Adems, habr que tener en cuenta adems el rendimiento de los diversos mecanismos que componen el aerogenerador, por lo que considerando por ejemplo- el siguiente balance para los distintos componentes:

Rendimiento de Betz ....................................................... 59,3%

Rendimiento de la hlice.................................................. 85%

Rendimiento del multiplicador........................................ 98%

Rendimiento del alternador............................................. 95%

Rendimiento del transformador...................................... 98%

se obtiene un rendimiento global de la instalacin del orden del 46%.