Modelo Segundo Orden

7/17/2019 Modelo Segundo Orden

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RSM - Superficies de respuesta de segundo orden

SUPERFICIES DE RESPUESTA DE SEGUNDO

ORDEN

1 Superfcie de respuesta de segundo orden.

Se busca identifcar la región que contenga la solución óptima:

a) Los diseños actoriales con puntos centrales 2K o 2K-1 con niveles -1! "!

#1)$

b) %robar la curvatura del modelo de segundo grado:

ε β β β β ++++= ∑ ∑∑ ≠ == ji

k

j j jj jiij

k

j j j x x x x y1

2

10

&onde las 'ipótesis de traba(o son:

o: ∑=

=k

j

jj

1

0β *o 'a+ curvatura signifcativa

1: ∑=

≠k

j

jj

1

0β La curvatura es signifcativa

C F

C F C F curv

nn

y ynnSS

+

−=

2)(

&onde:

F y , promedio de los puntos del diseño en los vrtices del cubo o cuadrado

C y , promedio de los puntos del diseño de puntos centrales del cubo o

cuadrado

F n *.mero de puntos actoriales en los vrtices del cubo o cuadrado$

C n *.mero de puntos centrales en el cubo o cuadrado$

MSE

SS F Curv

C =

%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar

0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1 de 15 0bril"6! 2""5




Se rec'aa la o si 7c 8 7ala! 1! nc + si al menos 'a+ in punto óptimo dentro

de la región actual de e9perimentación$

uando en los modelos de naturalea lineal! si la curvatura uera signifcativa!

es necesario a(ustar modelos de segundo orden! es decir! se requiere de la

metodolog;a de superfcies de respuesta /S<)$

Funci!n de apro"i#aci!n de segundo orden.

n la metodolog;a de superfcie de respuesta /S<) se asume que la relacional

uncional:

, = 9!>) # ?

1

es desconocida$ Las variables 91! 92!$$$$! 9@! son centrada + convertidas en

unidades de diseño + se aplica el siguiente modelo:

ε β β β β ++++= ∑∑∑∑−

= ==

j

k

i

k

j

iiji

k

i

ii

k

i

x x x x y1

1 2

2

1

110 2

ste es el modelo de superfcie de respuesta de segundo orden$

.1 Caracter$sticas de %a &unci!n de segundo orden ' %a superfcie de

respuesta.

l modelo de la ecuación 2 se a(usta a la ma+or;a de datos e9perimentales en

los que e9iste curvatura$ n algunos casos poco recuentes se pueden requerir

el uso de los trminos c.bicos sea ,, 2

212

2

1 x x x x etctera) para lograr un a(uste

adecuado$ n otros casos la curvatura puede ser adecuadamente mane(ada atravs del uso de transormación sobre la misma respuesta$

l modelo de segundo orden descrito en ecuación 2 es mu+ efca + Acilmente

se adapta a una gran variedad de diseños de e9perimentos$






La naturalea geomtrica de la unción de segundo orden se muestra en las

7iguras 1! 2! + B$ Las 7iguras 1 + 2 indican contornos de la respuesta constante

para una situación 'ipottica con @ = 2 variables$ n 7igura 1 el centro del

sistema! o punto estacionario! es un punto de respuesta mA9ima$ n la 7igura 2

el punto estacionario es un punto de respuesta m;nima$ n ambos casos la

respuesta se muestra en elipses concntricas$ La 7igura B! muestra un sistema

'iperbólico de contornos$ *ote que el centro no es ni un mA9imo ni un punto

m;nimo$ n este caso! el punto estacionario es llamado un punto silla + el

sistema de contornos se llama de silla o sistema minima9$ La identifcación de

las caracter;sticas del sistema + la ubicación del punto estacionario son

importantes en el anAlisis de segundo orden$ ste tipo de anAlisis es mu+

amigable por computadora$ Los grAfcos tridimensionales pueden ser mu+

.tiles para el analista de datos en la defnición de las caracter;sticas de una

superfcie de respuesta$


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina B de 15 0bril"6! 2""5





0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina C de 15 0bril"6! 2""5




7ig$ B Sistema de segundo orden mostrando un punto silla a) ontorno b)

Superfcie


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina D de 15 0bril"6! 2""5




. Superfcie de respuesta de segundo orden

La caracter;stica del sistema de superfcie de respuesta mA9imo! m;nimo! o

punto silla) depende de los signos + las magnitudes de los coefcientes del

modelo de la ecuación 2$ Los coefcientes de segundo orden interacciones +

trminos cuadrAticos puros) tienen un papel esencial$ Eenemos que considerar

que los coeicientes usados son estimaciones de las FGs de la ecuación 2$ omo

resultado los contornos representan contornos de estimaciones de respuesta$

%or lo tanto! incluso el sistema mismo puntos silla! mA9imo o m;nimo) es

parte del proceso de estimación$ l punto estacionario + la caracter;stica

general del sistema surgen como consecuencia de un modelo a(ustado! no de

la estructura real$

onsidere el e(emplo de la fgura 1 para la cual el modelo de segundo orden

estA dado por:

Hn anAlisis de esta unción de superfcie de respuesta determinar;a la ubicación

del punto estacionario + la naturalea de la respuesta$

l punto estacionario de la solución es:

sto resulta en el sistema de las ecuaciones lineales

1591 # 1292 = 6

1291 # 2C92 = 1"

Iiendo la solución para el punto estacionario 91 = " 92 = SJ12

La respuesta apro9imadamente en el punto estacionario es dada por:


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina de 15 0bril"6! 2""5




,est = 1"2$"$

l anAlisis grAfco! tiene un papel importante$ Sin embargo muc'as veces el

anAlisis ormal es mu+ provec'oso$ sto es particularmente cierto cuando

varias variables de diseño @ 8 2) estAn involucradas$ l anAlisis ormal pude

ser me(or para defnir las caracter;sticas de la superfcie de respuesta$ 0

menudo la naturalea del sistema se logra a travs de una combinación de las

tcnicas anal;ticas + anAlisis grAfco$ 0demAs! recuentemente es necesario!

para el cient;fco o el ingeniero! usar optimiaciones restringida para llegar a

las condiciones operativas optimas$ sto es particularmente cierto cuando el

punto de respuesta silla! m;nimo o mA9imo se encuentran uera de la región

e9perimental! o e9isten varias respuestas que deben de ser consideradas$

(. )ode%o ana%$tico de apro"i#aci!n para respuesta de segundo

orden.

onsiderar otra ve el modelo de superfcie de respuesta de segundo orden de

la ecuación 2$ Sin embargo! consideraremos el modelo a(ustado en notación

matricial como:

x B xb xb y ˆ''ˆ 0

++=

B

&onde b"! *! + B son las estimaciones de los coefcientes de la intersección!

de la lineal + de los segundo orden! respectivamente$ &e 'ec'o 9G=M91! 92! N!

9@O! bG=Mb1!b2! N! b@O + B es la matri simtrica @ 9 @


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina de 15 0bril"6! 2""5




(.1 +oca%i,aci!n de% punto estacionario.

s sencillo dar una e9presión general para la localiación del punto

estacionario! dice PB$ Hno puede dierenciar y en la ecuación B con respecto a

x + obtener:

x Bb x y ˆ2/ˆ +=∂∂

Qgualando la derivada a "! uno puede encontrar el punto estacionario del

sistema:

b B x 1

3 ˆ2

1 −

−= 6

La predicción de la respuesta en el punto estacionario es:

s s s s x B xb xb y ˆˆ ''

0 ++=

b xb s

'

02

1+=

(. Caracter$stica de% punto estacionario -an%isis can!nico/

La caracter;stica del punto estacionario es determinada de los signos de los

eigenvalores de la matri B $ Se observa que las respectivas magnitudes de

estos eigenvalores pueden ser .tiles en la interpretación total$

Λ= P B P

ˆ'

5

&onde R es una matri diagonal que contiene los eigenvalores de B como los

elementos diagonales principales$ 0'ora si traducimos el modelo de ecuación B


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1" de 15 0bril"6! 2""5




a un nuevo centro! nombrado el punto estacionario! + rotamos a e(es

principales del sistema de contorno! tenemos:

= 9 - 9s

= %G D

l proceso es ilustrado grAfcamente en la 7igure C$ La conversión es:

)(ˆ)'()'(ˆ 0 s s s x z B x z b x z b y +++++=

)ˆ2ˆ'']ˆ[ '''0 z B x z B z b z x B xb xb s s s s +++++=

z B z y s ˆ'ˆ +=

%or que b z z B x 'ˆ2 '

0 −= de la ecuación 6$ La transormación da






Pw B P w y y s

ˆ''ˆˆ +=

ww y Λ+= 'ˆ

l e(e es el principal e(e del sistema de contornos$ La ecuación puede ser

escrita:

2

1

ˆˆ i

k

i

i s w y y ∑=

+= λ

&onde s y es la respuesta estimada del punto estacionario + k λ λ λ ,...,, 21 son

eigenvalores de B $ Las variables 1! 2! N! @ son las variables canónicas$

La conversión + rotación descrita anteriormente resultan en la ecuación $ sta

ecuación describe la naturalea del punto estacionario + la naturalea del

sistema acerca del punto estacionario$ Los signos de las TGs determinan la

naturalea de 9s! + la magnitud relativa de los eigenvalores a+udan al usuario

comprender me(or la respuesta del sistema$

1$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 son todos negativos! el punto estacionario

es una respuesta mA9ima

2$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 son todos positivos! el punto estacionario

es una respuesta m;nima$

B$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 tienen signos mi9tos! el punto estacionario

es una silla$

l anAlisis de la respuesta de segundo orden presenta un enoque anal;tico

ormal para + la rotación de e(es descritos aqu; es llamada un anAlisis canónico

del sistema de respuesta$ Ubviamente si el sistema es del tipo silla! se requiere

otro tipo de anAlisis$ Sin embargo! para sistemas de respuesta m;nima o

mA9ima! este tipo de anAlisis es .til$






(.( Siste#as de cordi%%era

Las dierentes respuesta de mA9imo! m;nimo + de silla son bastante comunes

Hn eigenvalor esencialmente cero) mu+ pequeño implica el alargamiento

considerable de la superfcie de respuesta en esa dirección canónica!

resultando en una sistema de cordillera$

Codi%%era estacionaria.

onsidere la situación mostrada en 7igure 5 para @= 2 donde T1 V " + T2 V "

con WT1W X"$ l modelo canónico para esta superfcie lo es

2

22ˆˆ w y y s λ +=

l punto estacionario estA en la región oY el diseño e9perimental$ ste tipo de

superfcie de respuesta es un sistema de cordillera estacionaria$ l punto


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1B de 15 0bril"6! 2""5




estacionario es un mA9imo + es apro9imadamente un mA9imo en la l;nea

dentro de la región de diseño$ sto es! esencialmente 'a+ una l;nea mA9ima$

Cordi%%era creciente.

a+ otros ciertos movimientos de cordillera en la estrategia para el analista$

<ientras la cordillera estacionaria indica Ze9ibilidad en la elección de las

condiciones operativas! la cordillera creciente o ca+endo) indica que el

movimiento uera de la región e9perimental para la e9perimentación adicional

podr;a considerarse (ustifcada$


0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1C de 15 0bril"6! 2""5




l anAlisis de la respuesta de segundo orden cubre un enoque anal;tico ormal

para los valores de carril elevado$ ectivamente la cordillera creciente o

ca+endo) es una señal para el investigador de que l o ella quiAs 'an 'ec'o

una selección deectuosa o prematura de la región de diseño e9perimental a

menudo$ sto no es para nada poco com.n en las aplicaciones de /S<$

La cordillera creciente es marcada por un punto estacionario que esta le(ano de

la región de diseño$ 0demAs! sin embargo! uno de los eigenvalores estA cerca

del cero$ La condición restrictiva para tres variables se muestra en la

ilustración en la 7igura $ 0qu; los eigenvalues para 1! 2! + B son -! -! =")$

Una &or#a can!nica a%ternati0a

La orma canónica del modelo de segundo orden dado en ecuación es

llamada generalmente la 4-orma canónica$ s mu+ .til para determinar la

naturalea de la superfcie de respuesta! particularmente en identifcar

sistemas de silla + cordilleras$

(. E% pape% de %as tra#as de Contorno

Las tramas de contorno! o mapas con curvas de nivel! proveen una de las

maneras mAs reveladoras de ilustrar e interpretar el sistema de superfcie de






respuesta$ Las tramas de contorno son simplemente grAfcos bidimensionales

o a veces tridimensionales) que indican contornos de la respuesta constante

con el sistema de e(es! con un par especifco de las variables de diseño! r + 9 1

mientras que las otras variables de diseño son f(as$ Los grAfcos modernos

admiten interpretaciones interesantes que pueden ser .tiles al usuario$ 0 decir

verdad! en casi todas las situaciones prActicas de superfcie de respuesta! el

anAlisis debe ser seguido de una visualiación de contorno$ Las tramas son

particularmente necesarias cuando el punto estacionario no es

signifcativamente prActico un punto de silla! o es decir un punto mA9imo

cuando uno pide un punto de respuesta m;nima) o cuando el punto

estacionario es le(ano de la región de diseño$ videntemente! sistemas de

cordillera pueden ser interpretados cuando se puede observar sistemas

bidimensionales como un (uego de [7otos[ de la región de diseño solamente$

%or supuesto! si 'a+ un e9cesivo numero de variables de diseño! idear es mAs

di;cil! +a que muc'os actores tienen que ser f(os$ l mtodo de anAlisis de

cordilleras puede a+udar al usuario a menudo a entender el sistema$

Hna nota respecto a las tramas de contorno deben ser tomados en cuenta$ l

investigador debe entender que los contornos son solamente cAlculos

apro9imados! + si observa con(untos repetidos! debe usar el mismo diseño! la

comple(idad del sistema de respuesta podr;a cambiar ligeramente o

drAsticamente$ n otras palabras! los contornos no son generados por las

ecuaciones$ ada punto sobre un contorno tiene un error usual$



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