Modelo teórico de los sistemas de aerogeneración eléctrica para las turbinas

eólicas de eje verticalAnthony Pinedo, Guillermo Ramírez, Lincoln Chiguala, Juan Estrada, David Asmat,

Renny Nazario, Daniel Delfín, Lourdes Noriega, Silvia Aguilar,

Randy Rosasa, Luisa Juárez

MODELO TEÓRICO DE

LOS SISTEMAS DE

AEROGENERACIÓN ELÉCTRICA

PARA LAS TURBINAS EÓLICAS DE EJE VERTICAL

Enero, 2012

Lima - Perú

© Anthony PinedoGuillermo RamírezLincoln Chiguala,Juan EstradaDavid AsmatRenny NazarioDaniel DelfínLourdes NoriegaSilvia AguilarRandy RosasaLuisa Juárez

PROYECTO LIBRO DIGITAL

PLD 0360

Editor: Víctor López Guzmán

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Lima - Perú, enero del 2011

“El conocimiento es útil solo si se difunde y aplica” Víctor López Guzmán Editor

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Modelo Teórico de los Sistemas de AerogeneraciónEléctrica para las Turbinas Eólicas de Eje Vertical

Theoretical Model of Electric Aerogeneration Systemsfor Vertical Axis Wind Turbines

Anthony Pinedoa, Guillermo Ramíreza, Lincoln Chigualaa, Juan Estradaa, David Asmata,Renny Nazarioa, Daniel Delfína, Lourdes Noriegaa, Silvia Aguilara, Randy Rosasa,

Luisa Juáreza

RESUMEN

Existen dos tipos de sistemas de aerogeneración eléctrica por turbinas eólicas, los llamados de ejehorizontal (HAWT) y los de eje vertical (VAWT). Ambos proponen ventajas y desventajas, dependiendode muchos factores. Pero en general, no fue hasta hace unos años que el segundo tipo había sidoignorado, debido a la poca potencia que producía en comparación con los HAWT. Pero con laadaptación de un sistema de levitación, y un nuevo sistema de inducción magnética, las VAWT, lograronincrementar notablemente la energía obtenida, llegando incluso a superar a los HAWT. A pesar quelos modelos VAWT han sido harto estudiados en cuanto al esquema experimental y de diseño, nose formuló ninguna explicación sólida, partiendo de principios básicos, sobre el funcionamiento delos VAWT. En este trabajo, se propone un modelo teórico del funcionamiento de los mismos. Paraello, se realizan tres estudios: la interacción del viento con las aspas del aerogenerador, el sistemade levitación magnética y la producción de energía eléctrica por inducción magnética. Estos tresfenómenos, permiten definir y predecir el funcionamiento de tal sistema de aerogeneración. Además,permite «visualizar» la influencia de los diferentes parámetros sobre la eficiencia del sistema, y asípues, poder manejar, los parámetros que controlamos experimentalmente, para obtener una eficienciaóptima.

Palabras clave: aerogeneración eléctrica, turbinas de aire, eje vertical, levitación magnética.

ABSTRACT

There are two types of systems of electric aerogeneration by using wind turbines, one is called horizontalaxis wind turbine (HAWT) and the other one is called vertical axis wind turbine (VAWT). Both of themhave advantages and disadvantages depending on many factors. Since the second one had producedlees power than the first one, they were ignored. However, the adaptation of a levitation system anda new system of magnetic induction made VAWT increase the power produced and exceed the HAWT.Although VAWT models were studied enough in the design and experimental scheme, there is nosolid explanation, based on basic principles, on the operation of the VAWT. In this paper is proposeda theoretical model of VAWT operation. Therefore, three studies are done: the interaction between windand blades of the turbine, the magnetic levitation system and the energy production by magneticinduction. Those studies make us able to know and predict the operation of those systems. Since,we shall know how many factors are affecting the efficiency of the system; we shall be able to controlthose parameters in order to get the best efficiency.

Keywords: electric aerogeneration, vertical axis wind turbine, magnetic levitation.

a Grupo de Investigación de Física de la Universidad Nacional de Trujillo.E-mail: apinedo@gifunt.com - lcontreras@gifunt.com - jestrada@gifunt.com

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INTRODUCCIÓN

Motivado por la alta dependencia que tiene laeconomía global en los combustibles fósilesy sus implicancias sobre el medio ambiente,se incrementaron las inversiones en labúsqueda de métodos alternativos degeneración eléctrica. En esta tendencia dediversificación de energías en el mercado, laenergía eólica es, probablemente, la fuente deenergía mejor sostenible. El viento es «limpio»y es un recurso que está disponible para todoel mundo. Progresos recientes en latecnología eólica han reducido los niveles decostos comparándose, en muchos casos, conlos métodos convencionales de generacióneléctrica. Además, el número de turbinas deaire que entran en operación se incrementanaño a año.

Tradicionalmente las turbinas eólicas, se hanconstituido por hélices o por múltiples hojas,en ambos casos la dirección del flujo vientoes paralela al eje de rotación de las mismas.Tales modelos son llamados turbinas eólicasde eje horizontal, HAWT por sus siglas eninglés. Estos modelos emplean los fenómenosde alce debido a la diferencia de presionesque causa el vórtice creado por la forma delas hélices [1]. La dinámica de los HAWT sonharto tratados en la literatura, y la geometríade las hélices son estudiadas de tal formaque las diferencia de presiones sean lasmáximas posibles bajo determinadascondiciones. Debido a la variabilidad de lavelocidad de los vientos, se han creadocircuitos cada vez más complejos para regularla potencia extraída de la misma [2].

Existe otro tipo de modelo de turbina eólicael cual es llamado, turbina eólica de ejevertical, VAWT, el cual tiene su eje de rotaciónperpendicular a la dirección del flujo de viento.Es por eso que estos modelos no requierenque el eje este alineado con las líneas decampo del viento. Sin embargo, el tratamientorequerido para el análisis de la dinámica delos VAWT es mucho más complejo que paralos HAWT.

Por mucho tiempo, los VAWT fueron ignoradosdebido a la poca potencia que ofrecían encomparación con los HAWT. Entre estosmodelos, destacaban los de Darrieus ySavonius, quienes ofrecían una eficiencia del35% y 30% respectivamente [3, 4], las cuales

son pobres si las comparamos con laseficiencias de las modernas turbinas eólicas,que están por sobre el 45%. Sin embargo, fuehace poco, que se creó un nuevo sistema, elMAG-VAWT, el cual promete haber superadoa sus predecesores por un 20% de eficienciaadicional, llegando a compararse con losHAWT.

El «secreto» de las MAG-VAWT se basa enincluir un sistema de levitación magnético, quesostendrá todo el peso de las hojas y laplataforma de rotación, para eliminar todo tipode pérdidas de energía por fricción, y ademásincluye un nuevo sistema de generacióneléctrica por inducción, en donde una bobinaes colocada entre dos imanes, y estosimanes son los que rotarán debido a velocidadangular que le implante el viento sobre elsistema de hojas, y estarán colocadas de talforma que se base más en el torque que enla rapidez de la base giratoria. Además, claroestá, que la geometría de las hojas tambiénes un factor importante, pero este dependerádirectamente del lugar en donde se tengapensado colocar la turbina eólica.

En este trabajo se estudiarán estos tresfenómenos desde un punto de vista físico-teórico, para poder explicar las razones porlas cuales tal sistema resultó muy eficiente,y además para ser capaces de obtener lasrelaciones entre las variables que controlamosexperimentalmente y las que deseamos queel sistema nos genere, y poder así sabercómo controlar determinadas variables paramejorar la eficiencia del sistema sin recurrira los métodos de prueba en los que se basanlos actuales estudios.

MODELAMIENTO DEL SISTEMA

Se necesita tener en claro el esquema delprototipo, la figura 1 muestra el sistemacompleto de aerogeneración a estudiar. Elsistema tomado puede extenderse a otrosmodelos realizando las correspondenciasrespectivas de las geometrías usadas. Parael presente estudio se asumió que: a. noexisten procesos del tipo termodinámicosenvueltos en la aerogeneración, b. el centrode masa del sistema a girar se encuentrajusto sobre el eje de rotación, c. lasturbulencias formadas por las geometrías delas hojas tienen efectos despreciables sobre

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la rotación causada, d. no existen pérdidasproducidas por los circuitos de los aparatosde medición o extracción de la energía. Laprimera condición se cumple para este tipode sistema debido a que las turbinas de airetrabajan bajo la atmosfera, haciendo que lasvariables termodinámicas sean constantes, yademás a través del sistema de levitación seeliminan también pérdidas por transferencia decalor. La segunda condición, se cumplesiempre para cuerpos simétricos respecto deleje de rotación, así pues, las geometrías delas hojas del aerogenerador deben manteneresa simetría; si tal simetría no se cumplieseentonces existirían perturbaciones quecausarían inestabilidad al sistema de levitacióny al sistema de rotación. La tercera condiciónse cumple debido a que tratamos consistemas de eje vertical, en donde lasturbulencias no juegan un rol importante si lascomparamos con los HAWT. Y la cuartacondición es que se asume que los circuitoscreados para extraer la energía y usarla sonperfectos.

Figura 1. Esquema general del aerogenerador

Sistema de Levitación

El sistema de levitación consta de dos imanesiguales en forma cilíndricos, puesto uno en frentedel otro, en donde la orientación de los polos estal que la fuerza generada entre ellos es del tiporepulsiva, y además que los ejes del centro delos imanes coincidan para ambos. Esteesquema está dado en la figura 2. Como es deesperarse la fuerza repulsiva que se generaráentre ellos será la que soporte todo el peso delsistema giratorio mostrado en la figura 1.

La densidad de fuerza producida por algúncampo magnético esta dado por:

(1)

Figura 2. Esquema del Sistema de Levitación

Donde la fuerza total, será la integral sobre todoel volumen de los imanes. Tomando en cuentaque este sistema no existen corrientesinducidas, se puede expresar las corrientesvolumétrica y superficial por:

Donde m es el vector unitario tangencial a lasuperficie de los imanes. Reemplazando estasexpresiones para hallar la fuerza de repulsión,tenemos que:

Tomando en cuenta que las ecuaciones deMaxwell para el espacio libre impone que∇∇∇∇∇·Bext=0 y ∇∇∇∇∇×Bext=0. Y como el vector de corrientemagnética es constante en el tiempo, entonces∇∇∇∇∇·M=0. Así reacomodando esta última expresióny empleando las condiciones dadas tenemosque:

(2)

Donde ó M es la densidad de corriente desuperficie de un imán al que se toma comoreferencia sobre el cual se ejercería la fuerza.Luego el campo externo sería el causado por elimán contrario. Debido a que Bext=µH, donde µes la permeabilidad del medio y el campo Hpuede expresarse por H=-∇∇∇∇∇öm donde:

(3)

Donde los primados denotan que se refieren alotro imán, el cual se asume, es el que ejerce lafuerza. Debido a que en general, las densidadesde corriente de superficie se relacionan con elvector de magnetización por óM= M·m, y para este

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tipo de imanes M=(0,0,M0), donde M0 es lamagnetización del imán. Reemplazando estepotencial en la expresión para la fuerza, ytomando en cuenta las secciones transversalesa aplicar:

Donde los subíndices denotan las superficiestomadas, de acuerdo a la figura 2. Debido a lasimetría del problema es conveniente usar lascoordenadas polares. Así se obtiene la expresióngeneral para la fuerza de repulsión entre estosimanes:

Esta expresión es muy complicada de resolveranalíticamente, por ello se recurre a métodosnuméricos para la solución del mismo. Lointeresante de este análisis es evaluar elcomportamiento de esta fuerza magnética frentea cambios en los parámetros que la rigen. En lafigura 3 se observa la conducta

Figura 3. Comportamiento de la fuerza de repulsión

Así mismo, si cambiamos las seccionestransversales de los imanes se nota que existenvariaciones en la fuerza de repulsión, siendomayor (menor) a mayor (menor) áreas. Estopuede ser observado en la figura 4.

Interacción Viento-Hélices

Como se mencionó al comienzo, estamosinteresados en los modelos MAG-VAWT, ese tipode turbina es una versión mejorada de lossistemas de Savonius. En la figura 5 se muestralos dos sistemas de turbinas eólicas de ejevertical.

Figura 4. Comparación de la fuerza de repulsión

Figura 5. Derecha: Rotor de Darrieus. Izquierda:Rotor de Savonius

Mientras los sistemas Darrieus se basan en alalce producido por la diferencia de presiones quecausa la geometría aerodinámica del airfoil1, losSavonius se basan en el arrastre para hacer rotarla turbina. Este arrastre es un arma de doble filo,porque mientras que esto permite que lasturbinas Savonius aprovechen mejor la energíadel viento, las velocidades de rotación que segeneren sean pobres en comparación con lasvelocidades que se generen usando el alce [5].Esta paradoja, de baja rotación y máximoaprovechamiento de la energía, acompaña a losmodelos Savonius desde mucho tiempo atrás,es por eso que su uso para generación deenergía eléctrica se había opacado. Pero elmodelo original de Savonius se basaba solo en

1 esto es, las palas de la turbina

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dos hojas, mientras que los modelos modernos,que duplicaron la eficiencia del modelo inicial,trabajan con tres o más hojas. Existieron muchosavances en cuanto a las geometrías másóptimas, pero debe aclararse que hubo un errorque duró por décadas, y es que las curvas deeficiencia que las turbinas Savonius y de lasMultiaspas Americanas, habían sido intercam-biadas por mucho tiempo [6, 7]. Incluso muchade la literatura de hoy en día aún mantiene eseerror. Para más detalles en cuanto a esos errorescometidos se recomienda revisar [8]

En general, para cualquier modelo de aeroge-nerador, es necesario tener en cuenta cuántapotencia del viento es aprovechada por el mismo.Así, se sabe que la potencia de una masa deaire (viento) que se desplaza con cierta velocidadpor unidad de superficie está dada por [9]:

(4)

Donde ñññññ es la densidad del aire, A es la seccióntransversal de choque del aire y v es la velocidaddel viento. Nótese que el área transversal estáautomáticamente definido para los HAWT debidoa que el área de choque con el viento es la mismaque su área transversal, pero para los VAWT, estarelación no es tan obvia, puesto que el vientochoca perpendicularmente al aerogenerador,sucede que la sección transversal de choquedel aire no es el área de la base, sino el área delas hojas. Y es allí lo complicado del modelo,porque, a diferencia de los HAWT, cuya área dechoque es siempre constante respecto delviento, en los VAWT debido a que el rotor, giraráperpendicularmente a la dirección del viento,causará que los torques también esténcambiando en el tiempo, causando dificultadesno solo en el tratamiento teórico, sino tambiénen los circuitos rectificadores que se elaboren.Este fue uno de los principales problemas, delas turbinas del tipo Savonius. Como muestra lafigura 5, el modelo original de los Savonius fuecon dos hojas, lo que hace que la seccióntransversal de choque varíe en cada momento.Es por eso que estos modelos tuvieron que sermejorados, asegurando una sección de choqueconstante. Esto se logró con geometríassimétricas y con más de dos hojas, pero ladificultad teórica del problema, aún sigue latente.

Es conocida la ley de Betz [10], el cual estableceque la potencia captada por cualquier obstáculoque frene el libre movimiento del viento, tiene unlímite teórico del 59% de la potencia del viento.Pero incluso este límite es muy simplificadodebido a que no toma en cuenta ciertos efectos,como la resistencia aerodinámica de las hojas,la comprensibilidad del fluido, y la interferenciade las hojas. Así que el límite, debería estribar

por el 50%, y esa es la razón por la que lasmodernas turbinas trabajan con una meta del50% de eficiencia. Tomando en cuenta que existeun coeficiente, al que usualmente se le llamacoeficiente de potencia Cp=Preal/Pteórico, queexpresa la cantidad de potencia captada delviento por nuestro aerogenerador, podemosexpresar la potencia captada por:

(5)

El problema es que ese coeficiente Cp tiene unadependencia complicada con los parámetros delsistema, tan complicada que hasta el momentono se ha encontrado alguna expresión siquieraaproximada del mismo que no fuera experimentalo por métodos heurísticos.

La potencia real, podría ser predicha a partir dealgún tratamiento teórico, pero deberían tomarseen cuenta más factores que envuelven ya a lageometría propia de cada sistema. Acontinuación se trabajará el modelo de tripleaspa vertical, que se muestra en la figura 1. Paraellos se recurre al análisis de solo una de lashojas, debido a que las otras tendrán el mismotratamiento con una diferencia de desfase queserá proporcional al número de hojas, en estecaso 3 hojas. Para este análisis es convenientetransformar este problema propio de la dinámicade fluidos a un problema de mecánica clásica,debido a la variabilidad del volumen de control.

La figura 6, muestra el esquema de las fuerzastomadas sobre un diferencial de área de la hoja,donde dF es la fuerza que ejerce el viento sobrela hoja, y dRD es la resistencia que impone aireen contra del movimiento. La fuerza que ejerceel viento se divide en dos fuerzas, una normal yuna tangencial. Debido a que postulamosgeometrías simétricas, la componente normalserá anulada con otra componente normal endirección contraria provocada por las otras hojas.Por otro lado las fuerzas tangenciales de las otrashojas tendrán un efecto despreciable sobre larotación del sistema debido a que chocarán conuna curvatura negativa. Así pues, tenemos quela fuerza que causará el movimiento de la hojaserá la dFT.

Figura 6. Esquema de las fuerzas aplicadas a undiferencial de área

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De la figura 6 se puede ver que la derivada deá(t) respecto del tiempo será la velocidad angulardel sistema. Siguiendo relaciones meramentegeométricas se puede ver que:

Fue demostrado por Newton[11] que ladiferencial de fuerza dFD que implanta el vientocon una velocidad vviento y una densidad ñaire sobrealgún objeto con una diferencial de área dA estadado por:

Debido a esta misma ley, si un diferencial deárea dA se mueve con una velocidad vobjeto en elaire habrá un diferencial de fuerza opuesta a sumovimiento que será:

De la gráfica se pueden deducir las expresionespara dA, y usando vviento=ùR, siendo ù la velocidadangular del sistema. Entonces tomando que:

Podemos obtener el troque efectuado sobre elsistema integrando sobre toda la superficie seobtiene que el torque total que actúa sobre estesistema será:

Debido a que la rotación de los cuerpos sólidosestá regida por las ecuaciones de movimientode Euler. Y de acuerdo a las ligaduras existentesen nuestro modelo, esto es, que solo existarotación sobre el eje z. Tenemos que:

Donde C es uno de los momentos de inercia.Definida por:

Este valor se encuentra fácilmente, usando elteorema de los ejes paralelos, tal que nuestronuevo eje esté justo en el medio del semicilindro.Así se encuentra que C=2MR2, y finalmente:

Recurrimos a métodos numéricos para lasolución de esta última expresión. Lo que nosinteresa no es á(t) sino su derivada respecto deltiempo, que será la velocidad angular delsistema. La figura 7 muestra el comportamiento

de la velocidad angular respecto del tiempo parael caso de una hoja

Figura 7. Velocidad angular generada sobre una hojadel sistema

Es de esperarse un comportamiento periódico,por lo tanto obtener velocidades angulares tantopositivas como negativas. Pero debido al desfasede 120 grados entre las hojas del generador, laspartes negativas de la velocidad angular de cadahoja se anulan por interferencia entre las hojas.Así como se ha venido evaluando, lasmagnitudes de las escalas estarán en funciónde los parámetros propios del sistema.

Figura 8. Velocidad angular generada sobre elsistema

Generación de Energía Eléctrica por Inducción

Existen muchos modelos de sistemas degeneración eléctrica por inducción, esto porquecomo se sabe la simple variación de un campomagnético alrededor de una bobina causa unacorriente eléctrica en la bobina, así pues, noexiste una única forma de hacer variar loscampos magnéticos, en este caso generadospor imanes, por medio de rotaciones. Estodependerá fuertemente de la disposición de losmismos dentro de la plataforma giratoria delaerogenerador.

En general, para encontrar la corriente eléctrica,producida por la variación de cualquier campomagnético externo se recurre a las ecuacionesde Maxwell:

(6)

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En donde el Btotal está dado por la suma de loscampos magnéticos, que para nuestro casoserían los de los imanes más el inducido en laspropias bobinas por presencia del campovariante de los imanes. Llevando esta ecuacióna su forma integral, aplicando el teorema deStokes encontramos:

(7)

El lado izquierdo de esta expresión es diferenciapotencial, esto es el voltaje, el cual puedeexpresarse como Vind=I(t) ·R, donde I(t) será laintensidad de corriente eléctrica generada, R esla resistencia del sistema. Como el material delque están hechas las bobinas es el cobre,

entonces R=ñ cuLcu/Acu. Ahora, el campo Bgenerado por inducción sobre una bobina de ladocuadrado, con núcleos de hierro para mejorar elcampo, esta dado por [12]:

Donde l es el lado de la bobina, N es el númerode vueltas y µfe es permeabilidad magnética delhierro. Asumiendo que toda esa constante queacompaña a la dependencia del campo con laintensidad, la l lamamos k , y definiendo

tenemos que, resolviendo

el sistema:

(8)

Luego tenemos que el problema estriba en hallarla expresión correcta para Q(t), la cual dependeráde las propiedades de los imanes y de la geo-metría de las posiciones. Es aquí en donde sedebe recurrir a las geometrías específicas delsistema. Durante la realización de este trabajo,se realizaron varios modelos de disposicionesde imanes y bobinas, y se encontró que el máseficiente es el que está en la figura 9, así,centraremos nuestro análisis sobre ese sistema.

Figura 9. Esquema de la disposición de los imanes ybobinas

Para hallar la expresión para Q(t), empleamos laecuación (3) y su relación con el campomagnético B=-µÑÑÑÑÑöm. Además debe tomarse encuenta que hay un número 2m de imanes queactuarán sobre cada bobina (m imanes arriba, ym imanes abajo), haciendo que el campomagnético total sobre cada bobina sea igual a lasuma de los campos producidos por todos losimanes. Debido a que se asumió que lasbobinas contienen núcleos de hierro, las cualestienen la función de concentrar las líneas decampo sobre cada bobina, podemos decir quela interacción entre bobinas es muy débil quepuede despreciarse. Siendo así, solo esnecesario analizar la interacción de una bobinacon todos los imanes, ya que las otras solovariarían por un desfase que dependerá delnúmero de bobinas colocadas. Asumimosademás que la base giratoria es muy grande encomparación de las dimensiones de los imanesy las bobinas. Si los imanes son colocados talque los polos estén alternados, tal como lomuestra la figura 9, se encuentra que el campomagnético que actúa sobre una bobina estádado por:

En donde rn es el vector que una la posición dela bobina con la posición del n-esimo imán, Aimán

es el área de la sección transversal del imán, M0

es la magnetización del imán. Nótese que lasuma va solo hasta m debido a la simetría delproblema. Hallando la expresión para Q(t), enforma explícita tenemos:

Donde:

Y además a es la distancia de la bobina al centrode giro, d es la separación entre los imanes dearriba y abajo, ù es la velocidad angular a la querotan los imanes, án es el ángulo que forma laposición del n-esimo imán con la bobina sobreel plano de rotación, Abobina es el área transversalde la bobina.

Así tenemos que la corriente inducida sobre unabobina esta dado por:

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Esta última expresión, no tiene solución analíticaconocida, así que se deben recurrir a métodosnuméricos. Pero, lo que es de mayor interés esla potencia que genera este tipo de sistema, paraencontrarla recurrimos a P=I2R, en donde I serelaciona con la intensidad pico debido a loscircuitos rectificadores que suelen usarse.Encontrando la solución de la potencia enfunción de las revoluciones por minuto tenemosla figura 10:

Figura 10. Comportamiento de la Potencia

La escala de la potencia generada por la rotaciónde los imanes, dependerá de los parámetrosespecíficos de cada sistema. La figura 10 solomuestra el comportamiento de la potencia esaes la razón por la cual no se colocan unidadesde la potencia.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Respecto a la levitación, se nota un compor-tamiento asintótico respecto a las distancias deseparación. Con esos resultados puededeterminarse las características de los imanesa usar para mantener el esquema de la figura 1.Esto es, buscar ajustarlos, tal que dado un pesode todo el sistema de rotación, puedacompensarse con la fuerza de repulsión de losimanes y a la misma vez poder mantener undistancia determinada entre los imanes, paraque los campos magnéticos que generen estos,no alteren al campo magnético de los imanesque causarán la inducción magnética porrotación. Con la aplicación de este tipo desistema de levitación, las pérdidas por fricciónentre los elementos del sistema se vuelvennulas, permitiendo un óptimo aprovechamientode la energía captada del viento paratransformarla en energía eléctrica. Estaspérdidas por fricción, se hacen más notoriasmientras más grande es el sistema eólico aconstruir, así pues, mientras la fricción siguesiendo nula por mucho que pese el sistema

completo. Esto sin omitir el hecho que los nivelesde ruido producidos por el aerogenerador sereducirían notablemente.

Las disposiciones de las hojas juegan un rolimportante en la eficiencia del sistema, sobretodo porque los HAWT le llevan años de ventajaen cuanto a diseños aerodinámicos óptimos,debido a que el avance en la aerodinámica delos aviones, causaron un crecimientodesenfrenado en la optimización de los airfoils.Notemos que para una velocidad de vientodefinida, no genera una velocidad angularconstante, sino pequeñas oscilaciones sobre unvalor que se puede hallar a partir del tratamientodel caso de una hoja. Esto es de por sí es unproblema, debido a que no queda bien definidala noción de eficiencia del sistema, ya que estase define en función de la potencia de salida yde la potencia de entrada. Como la potencia deentrada es proporcional al cubo de la velocidaddel viento, y mientras que la salida de potenciaeléctrica depende de las rotaciones, tenemosque la potencia también estará variando en eltiempo, debido no solo a las variaciones de lavelocidad del viento, sino por variaciones propiasdel sistema antes factores externos constantes.Es por este detalle que los modernos diseñosde los MAG-WAWT se han vuelto sumamentecomplejos para obtener geometrías tal que esasoscilaciones sean nulas.

Es conveniente hacer notar que con el tiempo lavelocidad angular tenderá hasta cierto valor (conpequeñas oscilaciones) en donde la fuerza dearrastre del viento se iguale con la resistenciade arrastre de la misma. Una vez llegado esepunto, la velocidad angular no aumentará más.Para poder obtener una mayor velocidad angulares conveniente utilizar geometrías que generenuna muy poca resistencia al aire, tomando encuenta que de por sí la geometría cilíndrica esuna de las mejores para obtener una resistenciamínima. Es por eso que la eficiencia de este tipode sistemas por arrastre han duplicado laeficiencia inicial en el modelo de Savonius,porque en ese modelo el desfase de las hojases de 90º, omitiendo por un momento que ambashojas no se cortan en el mismo eje (véase figura5), entonces el desfase solo causaría que lavelocidad angular generada por una hoja seestabilice, mientras que en el modelo actual detres hojas, aparte de estabilizar, existe unaumento considerable en la velocidad angulargenerada, llegando a ser incluso mayor que eldoble de la que se obtendría con solo dosaspas.

En cuanto al sistema de inducción, se puedenotar que para velocidades de rotaciónpequeñas, el crecimiento de la potencia es deltipo cuadrática. Esto hasta que llega a un punto

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de inflexión en donde el crecimiento de lapotencia respecto de las rotaciones es inferior ala lineal. Esto muestra que es convenienteimplementar al sistema para que trabaje aunas revoluciones por minuto inferiores a dondese encuentre dicho punto de inflexión.Generalmente, los modernos sistema deaerogeneración, trabajan a 3000 rpm lo quesignifica que si se pretende trabajar también aesas velocidades, deben manejarse losparámetros del sistema para que esos 3000 rpmestén antes del punto de inflexión, obteniendoasí un rendimiento óptimo con costosmínimos.

Nótese que la figura 10, muestra que paravelocidades de rotación grandes, la curva de lapotencia tiene asintóticamente a un valor. Sepodría decir que existe una potencia desaturación, en donde por mucho queaumentemos las rpm no habrá un crecimientosignificativo en la potencia generada. Tal valorde saturación depende directamente del factorT/k, Así pues si deseamos aumentar el valor deesta potencia de saturación, y comoconsecuencia podríamos aumentar los rpmobteniendo un crecimiento mayor de la potencia,solo debemos manejar los valores que están endichas constantes, ya sea la magnetización delsistema, el radio de la base giratoria, entre otros.Es por esta razón que los modernos sistemasMAG-VAWT utilizan imanes de neodimio por sualto valor de magnetización, causando así quese obtenga campo magnético de cientos deveces mayor que la que se obtendría con unosimanes simples de ferrita.

CONCLUSIONES

El sistema de levitación anula las pérdidas deenergía por fricción, siendo más notorias susaplicaciones para pesos grandes, donde lafricción es mucho mayor. Mejorandonotablemente la eficiencia del sistema

Se logró una aproximación al modelo triple aspahorizontal en el que la velocidad angularaumentará de valor hasta llegar a cierto puntoen donde las fuerza de arrastre del viento y laresistencia del viento se anulan, una vez allí tendráoscilaciones pequeñas sobre un valor definido.

Se necesita mejorar el modelo teórico de lainteracción de las hojas con el viento, incluyendoel factor de los vórtices generados por lageometría de las hojas, para estudiar laestabilidad del sistema.

Existe una potencia de saturación en donde losaumentos de los rpm del sistema no generaránun aumento proporcional en la potencia. Talpotencia dependerá de los parámetros delsistema, así pues podemos optimizar las poten-cias generadas manipulando esos parámetros.

AGRADECIMIENTOS

Un agradecimiento especial al Dr. ArístidesTávara Aponte y al Mg. Francisco Rodas Días porsu constante apoyo durante el desarrollo delpresente trabajo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1]. M. L. Milne-Thomson, Theoretical Aerodynamics, Dover Publications INC, New York, 1966.[2]. F. D. Bianchi, H. D. Battista and R. J. Mantz, Kordesch, Wind Turbine Control Systems, Springer, 2007[3]. Kumar, A., and Grover, S., «Performance Characteristics of a Savonius Rotor for Wind Power Generation - A

Case Study,» Alternate Sources of Energy, Proc. of Ninth National Convention of Mechanical Engineers, IITKanpur, 1993.

[4]. Modi, V. J., and Fernando, M. S. U. K., «On the Performance of the Savonius Wind Turbine,» ASME Journal ofSolar Engineering. 111, (1989) 71-76.

[5]. Menet J. L. Valdés L. C. Ménard B. «A comparative Calculation of the Wind Turbine Capacities on the Basis ofthe L-ó Criterion». Ren. Eng. 22 (2001) 491-506.

[6]. Kloeffer, R. G. and E. L. Sitz , «Electric Energy from Winds», Kansas State College of Engineering ExperimentStation Bulletin 52, (1946) 75-85

[7]. Lynette, Robert, «Status and Potential of Wind Energy Technology», American Wind Energy AssociationConference, (1990) 24-28

[8]. Gay L. Johnson, Wind Energy Systems, Manhattan KS, 2006[9]. Juan Cristóbal Antezana Nuñez, Diseño y Construcción de un Prototipo de Generador Eólico de Eje Vertical,

tesis Universidad de Chile (2004)[10]. Eldridge, F. R., Wind Machines, Van Nostrand Reinhold, New York, 1980[11]. E. Avallone, Marks Standard Handbook Fo rMechanical Engineers, McGrawHill, 2007[12]. Feynman, Lecture of Physics, volumen II, Addison Wesley, 1972

ECIPERUECIPERUENCUENTRO CIENTÍFICO INTERNACIONAL

Volumen 6, Número 2 2009

ISSN: 1813-0194

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