SOLUCIN DE MODELO TERMODMICO UTILIZANDO EL METODO DE RUNGE-KUTTA DE UN INTERCAMBIADOR TIPO TUBO Y CORAZA

SEBASTIAN LEONCESAR RICARDO PINTOYEIMY JOHANA PINILLA MONROYUniversidad Distrital "Francisco Jos de Caldas"

ResumenEn ste documento se mostrar un modelo matemtico de segundo orden de Runge-Kutta de un proceso termodinmico el cual requiere disponer del valor de las propiedades fisicoqumicas y termodinmicas de las mezclas de compuestos que circulan, o han de circular, entre los distintos equipo, en todas las condiciones de composicin, presin y temperatura que puedan llegarse a verificar en la operacin de la misma, para lo cual se determinara el rea de transferencia para conocer el desempeo trmico, calcularse previamente el coeficiente global de transferencia de calor para el intercambiador limpio (Ul) y para el intercambiador sucio (UD).

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Introduccin

En ste artculo se describe, en forma general, el mtodo Runge-Kutta de segundo orden que permiten el dimensionamiento de intercambiadores de calor de carcasa y tubo para enfriamiento de la cerveza en proceso de fabricacin teniendo como referencia condiciones iniciales como la temperatura de entrada de 50C y de salida de 6 C debido a que una temperatura muy baja perjudica la cerveza que pierde el sabor, enturbindose y volviendo poco espumosa. Se incluyen tambin tablas de datos complementarios con informacin pertinente al dimensionamiento de dichos equipos. Igualmente, se pretende Analizar la solucin analtica con la presentada en el Mtodo de Runge-Kutta .

2. MetodologaLa metodologa para realizar el modelo termodinmico de un intercambiador de calor de tubo y coraza la cual consistir en las siguientes etapas: Definicin del Problema Organizacin de las ecuaciones y clculos Planteamiento del Modelo matemtico del proceso.La definicin del problema consiste en determinar la variable de la temperatura con respecto al tiempo y obtener las variables y parmetros de diseo tales como flujos msicos y coeficiente de calor U.El modelo matemtico del proceso consta de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, las cuales nos llevan a plantear una ecuacin diferencial de segundo orden, en las que se involucra tanto la trasferencia de calor en la seccin trasversal como cada paso. Se utilizar el mtodo de Runge-Kutta debido a que este mtodo nos perite hacer varias interacciones de ecuaciones diferenciales que nos llevan a una aproximacin de la solucin de valor inicial.

3. Condiciones para el desarrollo del Modelo

Para el diseo de un intercambiador de calor las condiciones de operacin ms importantes son los flujos, las temperaturas, las presiones de operacin y las limitaciones de cada de presin en el sistema. El criterio usual es que la cada de presin sea inferior a 1 bar ( 10 psi), tanto por los tubos como por la coraza.

Para desarrollo del modelo termodinmico de un intercambiador de calor debemos realizar algunas suposiciones:

1. La temperatura del fluido en la coraza est a una temperatura isotrmica promedio en cualquier seccin transversal.2. El rea de calentamiento en cada paso es igual.3. El coeficiente total de transferencia de calor es constante.4. La razn de flujo de cada uno de los fluidos es constante.5. El calor especfico de cada fluido es constante.6. No hay cambios de fase de evaporacin o condensacin en una parte del intercambiador.7. Las prdidas de calor son despreciables.

5. Planteamiento del Modelo Termodinmico Para la realizacin del modelo matemtico de transferencia de calor de un intercambiador de tubo y coraza debemos determinar el rea de transferencia de dicho intercambiador para conocer el desempeo trmico del intercambiador, para lo cual debe calcularse previamente el coeficiente global de transferencia de calor para el intercambiador limpio (Ul) y para el intercambiador sucio (UD). [3]

La transferencia de calor depender de la variacin de temperatura a travs de la pared del tubo y el circuito trmico correspondiente. El calor fluye por conveccin a travs del fluido caliente, por conduccin a travs de la pared del tubo y por conveccin al fluido fro. Como resultado de este proceso, la temperatura del fluido fro se eleva a medida que ste gana energa a su paso por el tubo y el fluido caliente disminuye su temperatura a medida que ste pierde energa a su paso por el tubo a travs de la pared del tubo y el circuito trmico correspondiente. [2]

En la figura 1 se puede observar el esquema del intercambiador de calor, as como va variacin de la temperatura con respecto a la longitud del intercambiador. En de temperatura VS longitud para un intercambiador que tiene un paso en la coraza y dos en los tubos

Figura 1. Relacin de Temperaturas en un intercambiador de dos pasos de Tubo y Coraza.Si suponemos que el calor especfico de los dos fluidos es constante se obtiene:

Siendo At la diferencia verdadera de temperatura, T1 y T2 las temperaturas a la entrada y salida del Fluido Caliente. As como t1 y t2 correspondern a las temperaturas de fluido frio.[1]

La diferencia de temperatura a lo largo del intercambiador es variable y su determinacin se realizar realizando un balance de energa en un elemento diferencial del intercambiador de longitud x para obtener una ecuacin diferencial en la que x es la variable independiente y (T1 ) la variable dependiente.

Cuando se aplica la ecuacin de la energa para flujo estacionario al volumen de control de longitud x, indicado en la Figura anterior con una lnea discontinua, la influencia debida a la conduccin en el fluido en la direccin x, en el valor Q, es pequeo y puede ignorarse. As, el producto del flujo de masa por el aumento de entalpia debe ser igual a la transferencia de calor a travs de la pared del tubo.

De lo cual

En la Fig. 1(a) sea T la temperatura del fluido de la coraza a cualquier seccin transversal de la misma L = X entre L = 0 y L = L. Sea tI y tII las temperaturas en el primero y segundo paso de los tubos, respectivamente, y a la misma seccin transversal T. Sea a la superficie externa por pie de longitud. En el incremento de superficie dA = adL la temperatura de la coraza cambia por -dT. Sobre el rea dA

Pero en esta ecuacin T, tI y tII son variables dependientes. El balance de calor de L = X a la entrada del fluido caliente es

Y el balance de calor por paso

Dividiendo la ecuacin 8 por la 7 y eliminando tII y dtII de la Ecuacin 6 y 8.

Diferenciando la Ecuacin 9 con la entrada del fluido caliente, T1 constante, y sustituyendo y acomodando en la ecuacin resultado de la Divisin entre la ecuacin 8 por la 7b. Teniendo en cuenta lo anterior el libro de fundamentos de transferencia de calor del autor F.P Incropera en la pgina 177 nos muestra cmo llegamos a la ecuacin en donde partiendo de las ecuaciones anterior descritas y diferenciando con respecto al A, llegamos a una ecuacin diferencial de tercer orden, la cual se resolver de forma analtica y por el mtodo de Runge-Kutta . [1]Para la Obtencin de la Ecuacin Diferencial de segundo orden para la carcasa se tendr en cuenta el perfil de temperatura el cual fue obtenido aplicando los fundamentos de transferencia de Calor y las Normas ASME, las cuales definen algunos parmetros que influirn de forma directa en el perfil de temperatura.Para ello se obtuvo mediante tablas, grficas y ecuaciones los parmetros de seleccin para un intercambiador de calor que cumpliera con las condiciones Iniciales anterior descritas.En la tabla (1) se observara los parmetros que se tuvieron en cuenta para generar el perfil de temperatura de la coraza. A partir de este perfil se obtendr la Ecuacin diferencial de Segundo orden. Como se mencionaba en la introduccin los parmetros de seleccin estn dados por condiciones especficas las cuales se obtiene dependiendo el flujo msico tanto para los tubos como para la coraza. Tabla 1. Tabla de parmetros iniciales y seleccin de Diseo

Como sabemos la turbulencia del fluido nos influir en la cada de presin en los tubos por esto se calcula la temperatura media Logartmica la cual estar afectada por un factor de diseo y el coeficiente global de transferencia de calor el cual depender del tipo material que se utilice para su fabricacin. En la tabla 2 observaremos para un arreglo de tobos triangular la cantidad de tubos, as como la longitud de diseo del intercambiador.Tabla 2. Tabla de desempeo trmico para los tubos y la coraza de un intercambiador de tubo y coraza. El desempeo hidrodinmico es muy importante en el diseo puesto permitir seleccionar la bomba adecuada para el suministro de flujo y presin que se empleara en este intercambiador. En la tabla 3 se observa las cadas de presin tanto para los tubos como para la carcasa. Tabla 3. Tabla de desempeo hidrodinmico de un intercambiador de tubo y coraza.

El perfil de temperatura de la coraza que se obtiene a partir de los datos obtenidos atreves de los parmetros iniciales de diseo Solucin analtica Teniendo en cuenta la ecuacin termodinmica de transferencia de calor de un intercambiador de flujo y coraza en donde el rea de transferencia incide en la variacin de los perfiles de temperatura, as podemos decir que como el rea de transferencia depende de la longitud de los tubos podremos resolver analticamente la ecuacin (1) antes mencionada obteniendo para distintas distancias.Tabla 4. Valores analtico para diferentes condiciones de Longitud de Tubos y Coraza de un Intercambiador

Figura 2. Perfiles de Temperatura para el tubo y la coraza de un intercambiador.Como podemos observar en la Grafica (2) en donde se obtuvieron los perfiles de temperatura de intercambiador de tubo y coraza. En el desarrollo de este modelo se utilizara el mtodo de Ruge- Kute, para la obtencin de una solucin aproximada del perfil de temperatura para la Coraza, teniendo en cuenta la complejidad del sistema, debido a que para el perfil de temperatura de los tubos se debe tener en cuenta la distribucin, as como el nmero de tubos, para lo cual el mtodo de Ruge-Kute no es el ms recomendable, y para lo cual se pretender analizar en posteriores investigaciones.A continuacin se mostrar el desarrollo de cada uno de los pasos del modelo matemtico para lo cual seleccionamos un numero de paso h=0.8

Tabla 5. Comparacin de los resultados obtenidos del mtodo analtico y el Mtodo de Runge-Kutta para el paso de 0.8.

()*(0.8))

Paso 1

Figura 3. Comparacin entre mtodo analtico y numrico

CONCLUSINEScon este artculo se demostr lo efectivo del mtodo numrico respecto al analtico, se pudo comprobar cmo se rectific la curva de la grfica de temperatura vs longitud definindose un paso y calculando el error entre la solucin analtica y la obtenida mediante el mtodo de Ruge- Kute, para lo cual tambin se podra concluir que este tipo de soluciones se utilizan para ecuaciones en donde obtener una solucin analtica es compleja y este modelo nos facilita la aproximacin de datos reales de un sistema.

REFERENCIAS

[1]. F.P. Incropera; D.P. DeWitt., Fundamentos de Transferencia de Calor, 1965.[2] J. P. Holman., Transferencia de Calor[3] D. Kern., Procesos de Transferencia de Calor Compaa Editorial Continental, Mxico, 1965.

[4] Manrique, Jos. Transferencia de Calor.2a Edicin. Mxico, Oxford University Press, 2002.[5] D. Bravo Montenegro., M. Lpez Ortega, Modelo Matemtico de un Tubo Intercambiador de Calor, Revista Colombiana de Fsica, Vol. 41, No.2,pp 520-522, Abril 2009.

[6] https://www5.uva.es/guia_docente/uploads/2011/.../Documento15.pdf

[7] Betty Y. Lpez Desarrollo de un Sistema de Deteccin de Fallas Utilizando un Enfoque Multi-Modelos LIT Aplicado a un Intercambiador de Calor, Msc en Ciencias en Ingeniera Electrnic, CENIDET, Cuernavaca, Morelos, Mxico, Nov 2009.

SIMBOLOGIA

ATArea de Transferencia de Calor

UCoeficiente total de transferencia de calor, coeficiente limpio,coeficiente de diseo, Btu/(h) (pie*) (F)

CCalor especfico del fluido, Btu/(lb) (F)

H, hi, hoCoeficiente de transferencia de calor, en forma general, fluidointerior y fluido exterior, respectivamente, Btu/ (h ) (pie) ( F)Valor de hi cuando se refiere al dimetro exterior del tubo

PT, Pt, PCadas totales de presin, lado de los tubos y de retorno, respectivamente,lb/plg2

DDimetro interior de los tubos, pies

doDimetro exterior de los tubos, plg

FC, Ri, RoFactores de obstruccin, combinados, interior y exterior, respectivamente,(h)(piez)( F)/Btu

QFlujo de calor, Btu/h

GMasa velocidad, lb/(h)(pie2)

NNmero de deflectores en la coraza

NtNmero de tubos

ReNmero de Reynolds para transferencia de calor y cada depresin, adimensional

wPeso del flujo del fluido fro, lb/h

WPeso del flujo en general, peso del flujo del fluido caliente, lb/h

aSuperficie externa por pie lineal, pies

tI, tIITemperaturas en el primero y segundo pasos, F

T, T1, T2Temperatura en general, entrada y salida de fluido caliente, C

t, t1, t2Temperatura en general, entrada y salida de fluido caliente, C