Modelos de Enfermedades II Soluciones a los Ejercicios · F. Morilla, 2016 Modelos de Enfermedades...

F. Morilla, 2016

Modelos de Enfermedades II

Soluciones a los Ejercicios

Fernando Morilla

Dpto de Informática y Automática, UNED

CURSO: APLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA

EPIDEMIOLOGÍA (22 de febrero al 4 de marzo 2016)

F. Morilla, 2016

Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET

• En base al modelo matemático, dibujar el diagrama de influencias, incorporando todas las variables (parámetros incluidos), y marcando todos los lazos de realimentación.

• ¿Cuántas influencias ha detectado en la última ecuación del modelo? ¿Con qué signo? ¿Está de acuerdo con ellas?

• Utilice el diagrama para explicar cualitativamente el efecto a corto plazo y a largo plazo que tendría en otras variables un incremento del número de contactos por unidad de tiempo.

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Modelo SIR de las ET

• Justificación de algunas influencias ( )

d S t

Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t)dt

( ) ( )Casos incidentes(t) Tasa de contagio t S t

( ) ( ) =

( ) ( ) ( )

I tTasa de contagio t Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad

S t I t R t

+

-

+ +

+ + -

+

-

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• Solución: diagrama de influencias

Tasa de curacion

Tasa de vuelta a la

susceptibilidad

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo

Probabilidad detransmision de la

enfermedad

+ +

Casos incidentesS I Casos de curacion

Casos de vuelta a la

susceptibilidad

R

+

++

- +

+

+

-+

+

-+

-

+

-

-

+

-

-

+

+

-

F. Morilla, 2016


• Solución: relaciones debidas a la última

ecuación

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo


enfermedad

+ +

S IR

-

+

-

( ) =

( )

( ) ( ) ( )

Tasa de contagio t Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad

I t

S t I t R t

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• Solución: efecto a corto plazo de un

cambio en el número de contactos

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo

+

Casos incidentesS I- +

+

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• Solución: efecto a largo plazo de un

cambio en el número de contactos

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo

+

Casos incidentesS I Casos de curacion


susceptibilidad

R+

- +

+

+

-+

+

-+

-

+

-

-

+

-

-

+

+

-

F. Morilla, 2016


• Programar el modelo SIR en Vensim.

• Reproducir los resultados del escenario

con inmunidad permanente.

• Comprobar el efecto que sobre estos

resultados tienen los parámetros:

– Tasa de curación

– Contactos por unidad de tiempo

F. Morilla, 2016


• Diagrama de Forrester

S I R

Casos de curacion

Tasa de curacion


susceptibilidadTasa de vuelta a la

susceptibilidad

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo


enfermedad

Casos incidentes

3 variables de nivel (estados): S, I, R

3 flujos:

Casos incidentes

Casos de curación

Casos de vuelta a la susceptibilidad

1 variable auxiliar: Tasa de contagio

4 parámetros:

Contactos por unidad de tiempo

Probabilidad de transmisión

de la enfermedad

Tasa de curación

Tasa de vuelta a la susceptibilidad

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• Escenario con inmunidad permanente (IP) – Parámetros del modelo

Contactos por unidad de tiempo = 5/día

Probabilidad de transmisión de la enfermedad = 0.05

Tasa de curación = 0.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso)

Tasa de vuelta a la susceptibilidad = 0.0/día (equivale a inmunidad permanente)

– Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas

sIntomáticos = 1 persona

– Parámetros de simulación Tiempo de simulación 200 días

Intervalo de simulación 0.1 día

SIR Persona que enferma y tras un periodo infeccioso se recupera.

Como la superación de la enfermedad genera inmunidad

permanente, la persona ya no puede volver a ser contagiada.

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Modelo SIR de las ET: Escenario IP

Grupos de población

1000

750

500

250

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (días)

per

sonas

Susceptibles

Sintomáticos

Recuperados

Casos incidentes

30

22.5

15

7.5

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tiempo (días)

per

sonas

/dia

Transcurridos 130 días deja de

haber casos, el máximo ( aprox.

22 personas/día) se presenta poco

antes del día 50.

La enfermedad se transmite sin

alcanzar al total de la población. El

grupo de susceptibles se estabiliza

en aproximadamente 800 personas

y el grupo de recuperados en 200

personas.

Apartado 5.2 del Tema 7

F. Morilla, 2016


• ¿Cómo afecta la tasa de curación?


F. Morilla, 2016

S

1,000

750

500

250

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time (dia)

per

sonas

S : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos



Casos incidentes

60

45

30

15

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time (dia)

pers

on

as/

dia

Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos



R

1,000

750

500

250

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time (dia)

per

sonas

R : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos



I

400

300

200

100

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Time (dia)

per

sonas

I : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos




• ¿Cómo afectan los contactos?

F. Morilla, 2016


• Reproducir los resultados del escenario

con inmunidad transitoria.

• Comprobar el efecto que sobre estos

resultados tienen los parámetros:

– Tasa de vuelta a la susceptibilidad

– Tasa de curación

– Contactos por unidad de tiempo

F. Morilla, 2016


• Escenario con inmunidad transitoria (IT) – Parámetros del modelo

Contactos por unidad de tiempo = 5/día

Probabilidad de transmisión de la enfermedad = 0.05

Tasa de curación = 0.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso)

Tasa de vuelta a la susceptibilidad = 0.02/día (equivale a 50 días de inmunidad)

– Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas

sIntomáticos = 1 persona

– Parámetros de simulación Tiempo de simulación 400 días

Intervalo de simulación 0.1 día

F. Morilla, 2016

Modelo SIR de las ET : Escenario IT

Grupos de población

1000

750

500

250

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

per

sonas

Susceptibles

Sintomáticos

Recuperados

Casos incidentes

30

22.5

15

7.5

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

per

sonas

/dia

Los casos incidentes alcanzan un máximo

(aprox. 25 personas/día) a los 50 días y se

estabilizan a partir de los 300 días en

aproximadamente 9 personas/día.

Lógicamente los otros dos flujos se habrán

estabilizado en el mismo valor.

La enfermedad se transmite y provoca

una situación endémica. El grupo de

susceptibles se estabiliza en

aproximadamente 500 personas, el

grupo de recuperados en 430 personas y

el grupo de sintomáticos en 70 personas.


F. Morilla, 2016

Modelo SIR de las ET : Escenario IT

• Ojeada a los tres flujos

– Secuencia en el transitorio (corto plazo)

– Equilibrio en el estacionario (largo plazo) Flujos

30

22.5

15

7.5

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

per

son

as/d

ia

Casos incidentes

Casos de curación

Casos de vuelta a la susceptibilidad

F. Morilla, 2016

Modelo SIR de las ET: Escenario IT

• ¿Cómo afecta la tasa de vuelta a la

susceptibilidad?


F. Morilla, 2016

Casos incidentes

40

30

20

10

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

pers

on

as/

dia

Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_100curacion



R

600

450

300

150

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas

R : ET_SIR_Ejemplo2_100curacion



I

400

300

200

100

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas

I : ET_SIR_Ejemplo2_100curacion



S

1,000

750

500

250

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas

S : ET_SIR_Ejemplo2_100curacion




• ¿Cómo afecta la tasa de curación?

F. Morilla, 2016

Casos incidentes

80

60

40

20

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

pers

on

as/

dia




R

800

600

400

200

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas




I

400

300

200

100

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas




S

1,000

750

500

250

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Time (dia)

per

sonas





• ¿Cómo afectan los contactos?

F. Morilla, 2016


• Incorporar las medidas de frecuencia en el modelo SIR.

– Observación: proteger la división por cero en t=0.

• Reproducir los resultados del escenario básico con inmunidad transitoria.

• Comparar las medidas de frecuencia en los dos escenarios básicos: IP e IT.

• Utilizar el modo Synthesim para comparar escenarios de IT intermedios.

F. Morilla, 2016

Modelo SIR con medidas de frecuencia

<S> <I> <R>

Personas en

seguimientoCasos existentes

Casos hasta

ese instanteFlujo de casos

<Casos incidentes>

Personas tiempo

acumuladoPersonas tiempo Total Personas

tiempo

<Casos

incidentes>

<Casos de vuelta a la

susceptibilidad>

<Time> <S> <R>

Prevalencia

puntual

Tasa de

incidencia Tasa de ataque

<Personas en

seguimiento>

<Casos

existentes><Casos hasta ese

instante>

<Total Personas

tiempo>

<Casos hasta ese

instante>

<Personas en

seguimiento>

S I R

Casos de curacion

Tasa de curacion


susceptibilidadTasa de vuelta a la

susceptibilidad

Tasa de contagio

Contactos por

unidad de tiempo


enfermedad

Casos incidentesMODELO

Variables

intermedias

Medidas de

frecuencia

Observación: proteger la división por cero en t=0.

F. Morilla, 2016


• Solución: Medidas de frecuencia en los

dos escenarios básicos: IP e IT. Prevalencias

.2

.15

.1

.05

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

Dm

nl

Inmunidad transitoria Inmunidad permanente

Tasas de incidencia

.01

.0075

.005

.0025

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

1/d

ia


Tasas de ataque

4

3

2

1

0

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

Tiempo (días)

Dm

nl


Los escenarios de IT intermedios estarían

comprendidos entre el trazo rojo (tasa de vuelta

a la susceptibilidad=0) y el trazo azul (0.02).

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