MODELOS DE DESCUENTOS POR CANTIDAD

Para aumentar sus ventas, muchas compañías ofrecen a sus clientes descuentos por cantidad. Un

descuento por cantidad es simplemente un precio (P) reducido de un artículo por la compra de

grandes cantidades. Los programas de descuento con varios descuentos no son raros en órdenes

grandes. En la tabla 12.2 aparece un programa típico de descuentos por cantidad. Como se

observa en la tabla, el precio normal del artículo es de $5. Cuando se ordenan a un mismo tiempo

de 1,000 a 1,999 unidades, el precio por unidad baja a $4.80; cuando la orden es de 2,000 o más

unidades, el precio unitario es de

$4.75. Como siempre, la administración debe decidir cuánto y cuándo ordenar. Sin embargo,

frente a la oportunidad de ahorrar dinero con los descuentos por cantidad, ¿cómo toma estas

decisiones el administrador de operaciones?

Al igual que con otros modelos de inventario analizados hasta ahora, la meta global es minimizar

el costo total. Dado que el costo unitario para el tercer descuento mostrado en la tabla 12.2 es el

más bajo, usted podría interesarse en comprar 2,000 unidades o más, sólo para aprovechar el

costo más bajo del producto. Sin embargo, aun con el precio de descuento, colocar una orden por

esa cantidad podría no minimizar el costo total de su inventario. Es seguro que entre más suba la

cantidad de descuento más bajará el costo del producto. Pero los costos de mantener suben

porque las órdenes son más grandes. Por lo tanto, en los descuentos por cantidad el intercambio

más importante es entre un costo del producto más bajo y un costo de mantener más alto.

Cuando se incluye el costo del producto, la ecuación para el costo total anual del inventario se

puede calcular como sigue:

Costo total = Costo de preparación + Costo de mantener + Costo del producto o bien

TC=DQS+Q2H+PD

Donde:

Q = Cantidad ordenada

D = Demanda anual en unidades

S = Costo de ordenar o preparar por orden o por preparación

P = Precio por unidad

H = Costo de mantener por unidad por año

Ahora debemos determinar la cantidad que minimizará el costo total anual del inventario. Como

existen varios descuentos, este proceso implica cuatro pasos:

Paso 1: Para cada descuento, calcule el valor del tamaño óptimo de la orden Q* usando la

siguiente ecuación:

Q=√ 2DSIPObserve que el costo de mantener es IP en lugar de H. Puesto que el precio del artículo es un

factor del costo anual de mantener, no es posible suponer que el costo de mantener es constante

cuando el precio unitario cambia para cada descuento por cantidad. Así, es común expresar el

costo de mantener (I) como porcentaje del precio unitario (P), y no como un costo constante por

unidad por año, H.

Paso 2: Para cualquier descuento, si la cantidad a ordenar es muy baja como para calificar para el

descuento, ajuste la cantidad a ordenar hacia arriba hasta la menor cantidad que califique para el

descuento. Por ejemplo, si para el descuento 2 de la tabla 12.2, Q* fuera de 500 unidades, su valor

se ajustaría a 1,000 unidades. Observe el segundo descuento de la tabla 12.2.

Las órdenes que están entre 1,000 y 1,999 unidades califican para un 4% de descuento.

Entonces, si Q* es menor que 1,000 unidades, la cantidad de la orden se ajustará a 1,000

Unidades.

El razonamiento del paso 2 puede no ser obvio. Si la cantidad a ordenar, Q*, está por debajo del

intervalo que califica para el descuento, una cantidad ubicada dentro de este rango todavía puede

resultar en el costo total más bajo. Como se muestra en la figura 12.7, la curva del costo total se

descompone en tres curvas de costo total diferentes. Hay una curva de costo total para el primer

descuento (0 ≤ Q ≤ 999), para el segundo (1,000 ≤ Q ≤ 1,999)), y para el tercero (Q ≥ 2,000).

Observe la curva del costo total (TC) para el descuento 2. El valor Q* para el descuento 2 está

debajo del intervalo del descuento, que va de 1,000 a 1,999 unidades. Como se muestra en la

figura, la cantidad menor permitida en este intervalo, 1,000 unidades, es la cantidad que minimiza

el costo total. Así, el segundo paso es necesario para asegurar que no se descartará una orden que

podría generar el costo mínimo. Observe que se puede descartar una cantidad a ordenar

Calculada en el paso 1 que sea mayor que el intervalo que califica para un descuento.

Paso 3: Usando la anterior ecuación del costo total, calcule un costo total para cada Q*

determinada en los pasos 1 y 2. Si fue necesario ajustar Q* hacia arriba por ser menor que el

intervalo de la cantidad aceptable, asegúrese de emplear el valor ajustado para Q*.

Paso 4: Seleccione la Q* que tenga el costo total más bajo, como se calculó en el paso 3. Ésta será

la cantidad que minimizará el costo total del inventario. Veamos cómo se puede aplicar este

procedimiento con un ejemplo:

Modelo de descuento por cantidad

Wohl’s Discount Store tiene en inventario carritos de carreras. Recientemente le ofrecieron un

programa de descuentos por cantidad para estos carritos. Este programa por cantidades se

presenta en la tabla 12.2.

Así, el costo normal de los carritos es de $5.00. Para órdenes de entre 1,000 y 1,999 unidades, el

costo unitario baja a $4.80; para 2,000 unidades o más, el costo unitario es de sólo $4.75. Además,

el costo de ordenar es de $49.00 por orden, la demanda anual es de 5,000 carritos de carreras, y el

cargo por mantener el inventario como porcentaje del costo, I, es del 20%, o 0.2. ¿Qué cantidad

ordenada minimizará el costo total del inventario?

Método: Seguiremos los cuatro pasos que se acaban de describir para un modelo de descuentos

por cantidad.

Solución: El primer paso es calcular Q* para cada descuento de la tabla 12.2. Esto se hace de la

siguiente manera:

El segundo paso es ajustar hacia arriba los valores de Q* que son menores que el intervalo

permitido para el descuento. Como está entre 0 y 999, no necesita ajustarse. Como está por

debajo del intervalo permisible de 1,000 a 1,999, debe ajustarse a 1,000 unidades. Lo mismo

sucede para: debe ajustarse a 2,000 unidades. Después de este paso, se deben probar las

siguientes cantidades a ordenar en la ecuación del costo total:

El tercer paso es usar la ecuación de costo total (12-9) y calcular el costo total para cada cantidad a

ordenar. Este paso se realiza con ayuda de la tabla 12.3, la cual presenta los cálculos para cada

nivel de descuento mostrado en la tabla 12.2.

El cuarto paso es seleccionar la cantidad a ordenar con el menor costo total. Si observa la tabla

12.3, verá que una cantidad a ordenar de 1,000 carritos de carreras minimiza el costo total. Sin

embargo, también verá que el costo total por ordenar 2,000 carritos es sólo un poco mayor que el

costo por ordenar 1,000 carritos. Entonces, si el costo del tercer descuento baja, por ejemplo a

$4.65, esta cantidad podría ser la que minimizara el costo total del inventario.

Razonamiento: El tercer factor de costo del modelo de descuento por cantidad, costo anual del

producto, es ahora una variable importante con impacto en el costo final y en la decisión. Para

compensar una gran cantidad de cortes de precio se necesitan aumentos importantes en los

costos de ordenar y mantener.

MODELOS DE PERIODOS FIJOS

En un sistema de periodo fijo, el inventario se cuenta sólo en algunos momentos, como cada

semana o cada mes. Es recomendable contar el inventario y hacer pedidos en forma periódica en

situaciones como cuando los proveedores hacen visitas de rutina a los clientes y levantan pedidos

para toda la línea de productos o cuando los compradores quieren combinar los pedidos para

ahorrar en costos de transporte.

Otras empresas operan en un periodo fijo para facilitar la planeación del conteo del inventario;

por ejemplo, el Distribuidor X llama cada dos semanas y los empleados saben que es preciso

contar todos los productos del Distribuidor X.

Los modelos de periodo fijo generan cantidades de pedidos que varían de un periodo a otro,

dependiendo de los índices de uso. Por lo general, para esto es necesario un nivel más alto de

inventario de seguridad que en el sistema de cantidad de pedido fija. El sistema de cantidad de

pedido fija supone el rastreo continuo del inventario disponible y que se hará un pedido al llegar al

punto correspondiente. En contraste, los modelos de periodo fijo estándar suponen que el

inventario sólo se cuenta en el momento específico de la revisión. Es posible que una demanda

alta haga que el inventario llegue a cero justo después de hacer el pedido. Esta condición pasará

inadvertida hasta el siguiente periodo de revisión; además, el nuevo pedido tardará en llegar. Por

lo tanto, es probable que el inventario se agote durante todo el periodo de revisión, T, y el tiempo

de entrega, L. Por consiguiente, el inventario de seguridad debe ofrecer una protección contra las

existencias agotadas en el periodo de revisión mismo, así como durante el tiempo de entrega

desde el momento en que se hace el pedido hasta que se recibe.

MODELO DE PERIODOS FIJOS CON INVENTARIO DE SEGURIDAD

En un sistema de periodo fijo, los pedidos se vuelven a hacer en el momento de la revisión (T), y el

inventario de seguridad que es necesario volver a pedir es:

Inventario deseguridad=zσ T+L

La ilustración 1 se muestra un sistema de periodo fijo con un ciclo de revisión de T y un tiempo de

entrega constante de L. En este caso, la demanda tiene una distribución aleatoria alrededor de

una media d. La cantidad a pedir, q, es;

Donde:

q =Cantidad a pedir

T =El número de días entre revisiones

L =Tiempo de entrega en días (tiempo entre el momento de hacer un pedido y recibirlo)

d=Demanda diaria promedio pronosticada

z =Número de desviaciones estándar para una probabilidad de servicio específica

σ T+L =Desviación estándar de la demanda durante el periodo de revisión y entrega

I =Nivel de inventario actual (incluye las piezas pedidas)

Nota: La demanda, el tiempo de entrega, el periodo de revisión, etc., pueden estar en cualquier

unidad de tiempo como días, semanas o años, siempre y cuando sean consistentes en toda la

ecuación.

En este modelo, la demanda (d) puede ser pronosticada y revisada en cada periodo de revisión o

se puede utilizar el promedio anual, siempre y cuando sea apropiado. Se supone que la demanda

tiene una distribución normal.

EJEMPLO 17.5: Cantidad que se va a pedir

La demanda diaria de un producto es de 10 unidades con una desviación estándar de 3 unidades.

El periodo de revisión es de 30 días y el tiempo de entrega de 14 días. La gerencia estableció la

política de cubrir 98% de la demanda con las existencias. Al principio de este periodo de revisión,

hay 150 unidades en el inventario.

¿Cuántas unidades se deben pedir?

SOLUCIÓN

La cantidad que se va a pedir es:

q=d (T+L )+z σT+L−I

¿10 (30+14 )+ zσ T+L−150

Antes de completar la solución, se necesita encontrarσ T+L y z. Para encontrar σ T+L, se usa la idea,

como antes, de que la desviación estándar de una secuencia de variables aleatorias

independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de las varianzas. Por tanto, la desviación

estándar durante el periodo σ T+Les la raíz cuadrada de la suma de las varianzas para cada día:

σ T+L=√∑i=1

T+L

σd2

Como cada día es independiente y σ d es constante:

σ T+L=√(T +L)σd2=√ (30+14 )(3)2=19.90

El valor z para P = 0.98 es 2.05.

Entonces, la cantidad a pedir es

q=d (T+L )+z σT+L−I

¿10 (30+14 )+2.05 (19.90 )−150=331unidades

Para garantizar una probabilidad de 98% de que el inventario no se va a agotar, es necesario pedir

331 unidades en este periodo de revisión.

ESTABLECIMIENTO DE INVENTARIOS DE SEGURIDAD

El modelo anterior supone que la demanda es constante y conocida. Sin embargo, en la mayor

parte de los casos, la demanda no es constante, sino que varía de un día para otro. Por lo tanto, es

necesario mantener inventarios de seguridad para ofrecer cierto nivel de protección contra las

existencias agotadas. El Inventario de seguridad se define como las existencias que se manejan

además de la demanda esperada.

En una distribución normal, ésta sería la media. Por ejemplo, si la demanda mensual promedio es

de 100 unidades y se espera que el próximo mes sea igual, si se manejan 120 unidades, se tienen

20 unidades de inventario de seguridad.

El inventario de seguridad se puede determinar con base en varios criterios diferentes. Un

enfoque común es que una compañía establezca que cierto número de semanas de suministros se

van a almacenar en el inventario. Sin embargo, es mejor utilizar un enfoque que capte la

variabilidad en la demanda.

Por ejemplo, un objetivo puede ser algo así como “establecer el nivel de inventario de seguridad

de modo que sólo haya 5% de probabilidad de que las existencias se agoten en caso de que la

demanda exceda las 300 unidades”. A este enfoque de establecer los inventarios de seguridad se

le conoce como enfoque de probabilidad.

El enfoque de probabilidad.- Es muy fácil utilizar el criterio de la probabilidad para determinar los

inventarios de seguridad. Con los modelos descritos en este capítulo, se supone que la demanda

en un periodo tiene una distribución normal con una media y una desviación estándar. Una vez

más, recuerde que este enfoque sólo considera la probabilidad de quedarse sin inventario, no la

cantidad de unidades faltantes. Para determinar la probabilidad de un faltante durante el periodo,

simplemente se traza una distribución normal para la demanda esperada y se observa el lugar de

la curva en que cae la cantidad disponible.

Se dan a continuación ejemplos sencillos para ilustrar lo anterior. Supóngase que se espera que la

demanda sea de 100 unidades durante el próximo mes y se sabe que la desviación estándar es de

20 unidades.

Si se empieza el mes con 100 unidades solamente, se sabe que la probabilidad de faltantes es de

50%. La mitad de los meses se espera que la demanda sea mayor de 100 unidades; la mitad de los

meses se espera que sea menor de 100 unidades. Tomando esto en cuenta, si se pide la cantidad

de inventario suficiente para un mes y se recibe a principios de ese mes, a la larga se acabará el

inventario en seis meses del año.

Si las unidades faltantes no son aceptables, seguramente se va a preferir manejar un inventario

adicional para reducir el riesgo de que se agote. Una idea podría ser manejar 20 unidades

adicionales. En este caso, se pediría la cantidad necesaria para un mes, pero se programaría la

llegada del pedido cuando todavía se tienen 20 unidades en el inventario. Esto daría inventarios de

seguridad para reducir la probabilidad de que se agoten las existencias. Si la desviación estándar

asociada con la demanda es de 20 unidades, entonces se manejan inventarios de seguridad que

equivalen a una desviación estándar. Revisando la distribución normal estándar acumulada

(apéndice E) y si se desplaza una desviación estándar hacia la derecha de la media, se obtiene una

probabilidad de 0.8413. De modo que, aproximadamente 84% del tiempo no se espera que se

agoten las existencias y 16% del tiempo, sí. Ahora, se pide cada mes, cabe esperar que el

inventario se agote aproximadamente dos meses al año (0.16 X 12 =1.92).

Es común que las compañías utilicen este enfoque para establecer en 95% la probabilidad de que

el inventario no se agote. Esto significa que se manejarían alrededor de 1.64 desviaciones estándar

de los inventarios de seguridad, o 33 unidades (1.64 X20 =32.8) para el ejemplo. Una vez más,

recuerde que esto no quiere decir que se van a pedir 33 unidades adicionales cada mes, sino que

se pueden pedir las unidades correspondientes a un mes en cada ocasión, pero programar su

recepción de modo que se tengan 33 unidades en el inventario en el momento en que llegue el

pedido. En este caso, se espera que el inventario se agote cada 0.6 meses al año, o que ocurra una

vez en 20 meses.

MODELO DE CANTIDAD DE PEDIDO FIJA CON INVENTARIOS DE SEGURIDAD

Un sistema de cantidad de pedido fija vigila en forma constante el nivel del inventario y hace un

pedido nuevo cuando las existencias alcanzan cierto nivel, R. El peligro de tener faltantes en ese

modelo ocurre sólo durante el tiempo de entrega, entre el momento de hacer un pedido y su

recepción. Como muestra la ilustración 17.7, se hace un pedido cuando la posición del inventario

baja al punto de volver a pedir, R. Durante este tiempo de entrega, L, es posible que haya gran

variedad de demandas. Esta variedad se determina a partir de un análisis de los datos sobre la

demanda pasada o de un estimado (en caso de no contar con información sobre el pasado).

El inventario de seguridad depende del nivel de servicio deseado, como ya se vio. La cantidad que

se va a pedir, Q, se calcula de la manera normal considerando la demanda, el costo de faltantes, el

costo de pedido, el costo de mantenimiento, etc. Es posible usar un modelo de cantidad de pedido

fija para calcular Q, como el modelo simple Qopt que se estudió arriba. Entonces, se establece el

punto de volver a pedir para cubrir la demanda esperada durante el tiempo de entrega más el

inventario de seguridad determinados por el nivel de servicio deseado. Por lo tanto, la diferencia

clave entre un modelo de cantidad de pedido fija en el que se conoce la demanda y otro en el que

la demanda es incierta radica en el cálculo del punto de volver a pedir. La cantidad del pedido es la

misma en ambos casos. En los inventarios de seguridad se toma en cuenta el elemento de la

incertidumbre.

El punto de volver a pedir es

R=d L+z σ L

Donde:

R = Punto de volver a pedir en unidades

=Demanda diaria promedio

L =Tiempo de entrega en días (tiempo transcurrido entre que se hace y se recibe el pedido)

z =Número de desviaciones estándar para una probabilidad de servicio específica

=Desviación estándar del uso durante el tiempo de entrega

El término z es el inventario de seguridad. Observe que si estas existencias son positivas, el

efecto es volver a pedir más pronto. Es decir, R sin inventario de seguridad simplemente es la

demanda promedio durante el tiempo de entrega. Si el uso en el tiempo de entrega se espera que

sea de 20, por ejemplo, y se calcula que el inventario de seguridad será de 5 unidades, el pedido se

hará más pronto, cuando queden

25 unidades. Mientras más extenso sea el inventario de seguridad, más pronto se hará el pedido.

Cálculo de

La demanda durante el tiempo de reemplazo es en realidad un estimado o un pronóstico del uso

esperado del inventario desde el momento de hacer un pedido hasta el momento en que se

recibe. Puede ser un número simple (por ejemplo, si el tiempo de entrega es de un mes, la

demanda se puede tomar como la demanda del año anterior dividida entre 12), o la suma de las

demandas esperadas durante el tiempo de entrega (como la suma de las demandas diarias

durante un tiempo de entrega de 30 días). Para la situación de la demanda diaria, d puede ser la

demanda pronosticada utilizando cualquiera de los modelos en el capítulo 15 sobre el pronóstico.

Por ejemplo, si se utilizó un periodo de 30 días para calcular d, un promedio simple sería:

Donde n es el número de días.

La desviación estándar de la demanda diaria es

Como d se refiere a un día, si el tiempo de entrega se extiende varios días, se puede utilizar la

premisa estadística de que la desviación estándar de una serie de ocurrencias independientes es

igual a la raíz cuadrada de la suma de las varianzas. Es decir, en general;

σ L=√σ12+σ 22+σ32+…+σL2

Por ejemplo, supóngase que se calcula que la desviación estándar de la demanda es 10 unidades al

día. Si el tiempo de entrega de un pedido es de cinco días, la desviación estándar para el periodo

de cinco días, ya que cada día se puede considerar independiente, es

σ 5=√(10)2+(10)2+(10)2+(10)2(10)2=22.36

A continuación, es necesario encontrar z, el número de desviaciones estándar del inventario de

seguridad.

Supóngase que se quiere que la probabilidad de que el inventario no se agote durante el tiempo

de entrega sea 0.95. El valor z asociado con una probabilidad de 95% es 1.64 (véase el apéndice E

o utilice la función NORMSINV de Excel). Dado lo anterior, el inventario de seguridad se calcula

como sigue:

Compárense ahora los dos ejemplos. La diferencia entre ellos es que, en el primero, la variación en

la demanda se expresa en términos de la desviación estándar durante todo el tiempo de entrega;

mientras que en el segundo, se expresa en términos de la desviación estándar por día.

EJEMPLO 1: Cantidad económica de pedido

Considere un caso de cantidad económica de pedido en el que: demanda anual D =1 000 unidades,

cantidad económica de pedido Q =200 unidades, probabilidad deseada de que el inventario no se

agote P =0.95, desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega L =25 unidades y

tiempo de entrega L =15 días.

Determine el punto de volver a pedir. Suponga que la demanda es más de un año de 250 días

hábiles.

SOLUCIÓN

En el ejemplo;

d=1000250

=4 y el tiempo de entrega es de 15 días. Se usa la ecuación:

R=d L+z σ L

En este caso, z es 1.64

Al completar la solución para R se tiene:

R=4 (15 )+1.64 (25 )=60+41=101unidades

Esto indica que, cuando el inventario disponible baje a 101 u n i da de s, es necesario pedir 200

más.

EJEMPLO 17.4: Cantidad de pedido y punto de volver a pedir

La demanda diaria de cierto producto tiene una distribución normal con una media de 60 y una

desviación estándar de 7. La fuente de suministro es confiable y mantiene un tiempo de entrega

constante de seis días. El costo de hacer el pedido es de 10 Soles y los costos de mantenimiento

anuales son de 0.50 dólares por unidad.

No hay costos por faltantes y los pedidos no cubiertos se cubren tan pronto como llega el pedido.

Suponga que las ventas ocurren durante los 365 días del año. Encuentre la cantidad de pedido y el

punto de volver a pedir para satisfacer una probabilidad de 95% de que el inventario no se agote

durante el tiempo de entrega.

SOLUCIÓN

En este problema se necesita calcular la cantidad de pedido Q, así como el punto de volver a pedir

R.

d=60σ L=7

D=60(365)

S=10 soles

L=6

La cantidad de pedido óptima es:

Qopt=√ 2DSH =√ 2 (60 ) (365 )(10)0.50

= √876000=936unidades

Para calcular el punto de volver a pedir, es necesario calcular la cantidad de producto utilizada

durante el tiempo de entrega y sumarla al inventario de seguridad.

La desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega de seis días se calcula a partir

de la varianza de cada día. Como la demanda de cada día es independiente;

σ L=√∑i=1

L

σd2=√6(7)2=17.15

Una vez más, z es 1.64.

R=d L+z σ L=60 (6 )+1.64 (17.15 )=388unidades

Para resumir la política derivada en este ejemplo, se hace un pedido de 936 unidades siempre que

el número de unidades restantes en el inventario baja a 388.

CONCLUCION

El inventario representa una inversión importante para muchas compañías. Esta inversión

con frecuencia es mayor de lo que debería ser porque para muchas empresas es más fácil

tener un inventario “por si acaso” en lugar de un inventario “justo a tiempo”. Los

inventarios son de cuatro tipos:

1. Materias primas y componentes comprados

2. Trabajo en proceso

3. Mantenimiento, reparación y operación (MRO)

4. Bienes terminados

En este capítulo se estudiaron el inventario independiente, el análisis ABC, la exactitud de

los registros, el conteo cíclico, y los modelos de inventario que se usan para controlar

demandas independientes. El modelo EOQ, el modelo de la cantidad económica a

producir, y el modelo de descuentos por cantidad se pueden resolver usando Excel,