MODELOS DE POLIDISPERSIONES BIFÁSICAS CON …ricabib.cab.cnea.gov.ar/22/1/1Gimenez.pdfdistribución...

TESIS DOCTORAL CARRERA DE DOCTORADO EN INGENIERÍA NUCLEAR

MODELOS DE

POLIDISPERSIONES BIFÁSICAS

CON APLICACIONES EN SEGURIDAD NUCLEAR

Marcelo Oscar Giménez

Ing. Marcelo Oscar Giménez Dr. Alejandro Clausse Doctorando Director

Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía Atómica

Julio 2004

RESUMEN

Numerosas aplicaciones tecnológicas, científicas, medicinales y ambientales requieren del entendimiento de la dinámica de polidispersiones multifase (e.g., inyectores, refrigeración, farmacología, emisiones industriales, etc.). En lo que respecta al área nuclear, la eventual liberación de productos de fisión y actínidos en caso de un hipotético accidente grave en un reactor se haría en forma de gases y aerosoles, cuyo transporte en el circuito primario y contención es necesario evaluar para el diseño de los sistemas de seguridad y licenciamiento de la instalación. La refrigeración de los elementos combustibles en dos fases es otra aplicación que requiere del modelado de flujos con estas características. En esta tesis se presentan modelos adecuados para el estudio y la comprensión de la dinámica de sistemas polidispersos (aerosoles y burbujas) transportados en un medio continuo y en ambientes confinados. Con respecto a la aplicación a la dinámica de aerosoles, el modelo desarrollado parte de una formulación estadística para describir la evolución del sistema en función del tamaño de las partículas, considerando el transporte por el gas, la sedimentación, difusión, sustentación, coagulación, termoforesis y condensación. La ecuación de balance es del tipo integro-diferencial no lineal, cuya resolución se realiza utilizando el Método de los Momentos, en donde se propone una forma funcional para describir la distribución del volumen de las partículas. Se obtiene de esta forma un sistema acoplado de ecuaciones de convección-difusión con fuente, que describe la dinámica de cada uno de los parámetros que caracterizan dicha distribución. Este sistema es resoluble numéricamente a un costo computacional muy atractivo, que, a su vez, permite abordar el modelado de las heterogeneidades espaciales del aerosol. En base a dicho modelo se desarrolla uno complementario que permite cuantificar coeficientes de sensibilidad de funcionales de respuesta respecto de incertezas en parámetros del modelo o de las condiciones del problema a resolver. Este modelo se basa en la teoría de perturbaciones, usando el Formalismo Diferencial y resulta de gran utilidad tanto para estudios teóricos como para el diseño de experimentos. Se realizan diversas comparaciones del modelo, tanto en una como en dos dimensiones, con soluciones analíticas y datos de bibliografía y se analiza cuidadosamente los efectos de los mecanismos físicos que intervienen en la dinámica del aerosol. Se presta particular atención a las consecuencias del modelado de gradientes espaciales de concentración y a la validez de la hipótesis de homogeneidad espacial utilizada comúnmente en modelos de cálculo. Por un lado, de la comparación con modelos espacialmente homogéneos se han observado desviaciones y por otro diferencias de más de un orden de magnitud entre distintos puntos del dominio, principalmente debido al acople entre coagulación y sedimentación, sustentación y coagulación y termoforesis, que harían inadecuada la hipótesis de homogeneidad espacial. En general el modelo desarrollado muestra una buena capacidad de responder a los fenómenos físicos involucrados, siempre y cuando éstos no produzcan una distorsión de la forma funcional adoptada para describir la distribución en tamaño del aerosol, como es el caso de sedimentación pura. Como contribución adicional y extensión del modelo, se aplicó la formulación desarrollada para resolver el transporte de burbujas en un dominio vertical, modelando la distribución en tamaño, la dinámica de las mismas y su distribución espacial. El modelo es comparado exitosamente con resultados experimentales.

ABSTRACT Many technological, scientific and environmental areas require of the understanding of multiple-phase, polydisperse systems. Particularly, in nuclear safety area, under hypothetical severe accident conditions, the fission products are released as gases and airborne particles. In the present thesis a contribution to the modeling of confined polydisperse systems (aerosols and liquid-gas) is presented. A family of one and two dimensional models was developed, describing the impact of the particles size on the aerosol evolution, taking into account the transport mechanisms by the carrying media, settling, lift, thermophoresis, diffusion, coagulation and condensation, considering the spatial dependence. The aerosol general dynamic balance equation -no-linear integral-differential equation-, is treated by means of the Moments Method, imposing a prescribed volume size distribution, and obtaining a model based in the first few moments. This yields to a relatively simple convection-diffusion set of coupled equations, that describes the evolution of the parameters that characterize the size distribution, with a low computational cost that allows to deal the heterogeneities of the spatial distribution of the aerosol. A complementary model, based also on the Moments Method, is developed to perform sensitivity analysis due to uncertainties in the constitutive equations and in the input parameters. The Perturbative Method, Differential-formalism, is used to develop a set of sensitivity equations, which are useful for designing experiments and theoretical studies.

The model results are compared with exact solutions and numerical and experimental data extracted from the open literature. Various physical phenomena involved in different simulated case are analysed in detail. Particularly, the study is oriented to the analysis of the concentration gradients and the validation of the aerosol well-mixed hypothesis, typically used in present numerical codes. Deviations were observed from the comparison with models that use this hypothesis, finding also variation in the concentration of one order of magnitude or more at different points of the domain. In general this is due to the coupling between coagulation and settling, lift and coagulation and thermophoresis, which showed the situations in which homogenization fails. The model showed good performance to represent the aerosols dynamics, whenever no distortion of size spectrum is present (e.g., the case of settling when no other physical mechanisms present). As a final contribution and extension of the methodology, a model to simulate the transport and dynamics of bubbly gas-liquid flows was developed, considering the axial spatial dependence of bubbles distribution. The results are successfully compared with experimental data of a bubble column.

Por y para ellos,

mis queridos padres, Ana y Cacho

mi querida familia, Britta, Ezequiel, Aldana y Melisa

i

INDICE

CAPITULO I ................................................................................................................................1

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS POLIDISPEROS BIFÁSICOS ...........1

1 INTRODUCCION ................................................................................................................1 1.1 AEROSOLES “NUCLEARES” ...................................................................................4 1.2 FÍSICA DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES Y SU MODELADO .......................6 1.3 PRINCIPAL HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE AEROSOLES............................................................................9 1.4 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE AEROSOLES................11 1.5 BASE EXPERIMENTAL...........................................................................................11

2 OBJETIVO DE LA TESIS .................................................................................................14

3 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS .....................................................................................14

CAPITULO II .............................................................................................................................17

MODELO UNIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE AEROSOLES .....................................17

1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................17 1.1 PROPUESTA..............................................................................................................19

2 MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN DE POISSON......................19 2.1 Momento de orden cero ..............................................................................................20 2.2 Momento de orden uno ...............................................................................................21 2.3 TÉRMINO DIFUSIVO...............................................................................................22

2.3.1 Cálculo del coeficiente Dρ ..................................................................................23 2.3.2 Cálculo del coeficiente Dε...................................................................................23

2.4 TÉRMINO CONVECTIVO .......................................................................................23 2.4.1 Cálculo del coeficiente Uρ ..................................................................................25 2.4.2 Cálculo del coeficiente Uε...................................................................................25

2.5 TÉRMINO DE CONDENSACIÓN ...........................................................................25 2.5.1 Cálculo del coeficiente Gε...................................................................................26

2.6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN..............................................................................27 2.6.1 Coagulación Browniana......................................................................................28 2.6.2 Coagulación por sedimentación..........................................................................30

3 MODELO NUMÉRICO .....................................................................................................34

4 RESUMEN Y CONCLUSIONES ......................................................................................38

CAPITULO III............................................................................................................................41

COMPARACIÓN DEL MODELO Y ANÁLISIS DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES ....41

1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................41

2 SEDIMENTACIÓN............................................................................................................42 2.1 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS ...........................42 2.2 SOLUCIÓN ALTERNATIVA ...................................................................................44 2.3 SOLUCIÓN “HOMOGÉNEA”..................................................................................46

ii

2.4 RESULTADOS NUMÉRICOS.................................................................................. 46

3 EVOLUCIÓN CON COAGULACION SIN SEDIMENTACIÓN.................................... 49 3.1 BREVE DISCUSIÓN SOBRE COAGULACIÓN..................................................... 56

4 ESTACIONARIO CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN ................................. 57

5 EVOLUCIÓN CON CONDENSACIÓN SIN SEDIMENTACIÓN.................................. 61

6 ESTACIONARIO CON CONDENSACIÓN Y SEDIMENTACIÓN............................... 62

7 EVOLUCIÓN CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN ....................................... 64 7.1 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN BROWNIANA ....................................... 65 7.2 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN GRAVITACIONAL ............................... 72 7.3 SEDIMENTACIÓN, COAGULACIÓN BROWNIANA Y GRAVITACIONAL .... 80

8 AEROSOLES EN UN MEDIO CONVECTIVO............................................................... 83

9 RESUMEN Y CONCLUSIONES...................................................................................... 89

CAPITULO IV ........................................................................................................................... 91

MODELO BIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE AEROSOLES CASOS DE ESTUDIO.. 91

1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................................. 91

2 ECUACIONES DE BALANCE......................................................................................... 91

3 SUSTENTACIÓN .............................................................................................................. 93 3.1 MOMENTO INTERFACIAL .................................................................................... 94

3.1.1 Fuerza de sustentación........................................................................................ 94 3.1.2 Fuerza de arrastre................................................................................................ 95

3.2 VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS .................................................................... 96

4 TERMOFORESIS ............................................................................................................ 100

5 TÉRMINO CONVECTIVO: SUSTENTACIÓN - MOMENTOS CERO Y UNO ......... 101

6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN ................................................................................... 102

7 MODELO NUMÉRICO................................................................................................... 103

8 TRASPORTE DE AEROSOLES EN UN DUCTO CON FLUJO DE AIRE.................. 106 8.1 FLUJO DE AIRE DESCENDENTE ........................................................................ 106

8.1.1 Sin coagulación................................................................................................. 106 8.1.2 Con coagulación ............................................................................................... 112

8.2 FLUJO DE AIRE ASCENDENTE .......................................................................... 116 8.2.1 Sin coagulación................................................................................................. 117 8.2.2 Con coagulación ............................................................................................... 120

9 CASO DE COMPARACIÓN Y ESTUDIO I: CONTENCIÓN NAUA.......................... 122 9.1 CARACTERIZACIÓN DE LA SIMULACIÓN...................................................... 123 9.2 MODELADO ........................................................................................................... 126 9.3 RESULTADOS ........................................................................................................ 127

10 CASO DE COMPARACIÓN II: EXPERIMENTO STORM -TERMOFORESIS...... 136 10.1 MODELADO Y RESULTADOS............................................................................. 138

11 RESUMEN Y CONCLUSIONES................................................................................ 142

iii

CAPITULO V...........................................................................................................................145

MODELO PARA ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES145

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................145 1.1 MÉTODO PERTURBATIVO: RESUMEN TEÓRICO ..........................................146

1.1.1 Formalismo Diferencial ....................................................................................148

2 CASO DE VERIFICACIÓN I: ESTACIONARIO DE SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN .....................................................................................................................149

2.1 ECUACIONES ADJUNTAS ...................................................................................151 2.2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD .............................................................................152

2.2.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................153 2.2.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................154

3 CASO DE VERIFICIACIÓN II: EVOLUCIÓN CON SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN CONSIDERANDO HOMOGENEIDAD ESPACIAL...............................156

3.1 ECUACIONES ADJUNTAS ...................................................................................158 3.2 ANÁLISIS PERTURBATIVO.................................................................................158

3.2.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................159 3.2.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................160

4 ECUACIONES GENERALES ADJUNTAS PARA ESTUDIOS DE SENSIBILIDAD DE LA EVOLUCIÓN DE AEROSOLES ......................................................................................162

5 CASO DE ESTUDIO III: EVOLUCIÓN DE PARTÍCULAS EN UN RECINTO .........167 5.1 ANÁLISIS PERTURBATIVO.................................................................................168

5.1.1 Funcional de respuesta 1...................................................................................170 5.1.2 Funcional de respuesta 2...................................................................................171 5.1.3 Funcional de respuesta 3...................................................................................172

6 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS CASOS ANALIZADOS...........................173

7 CONCLUSIONES ............................................................................................................176

CAPITULO VI .........................................................................................................................179

MODELO DE DINÁMICA DE FLUJO POLIDISPERSO LÍQUIDO-GAS - VERIFICACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES .......................................................................................179

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................179

2 DESARROLLO DEL MODELO EN BASE AL MÉTODO DE LOS MOMENTOS ....181 2.1 TÉRMINO CONVECTIVO .....................................................................................181

2.1.1 Momento de orden cero ....................................................................................184 2.1.2 Momento de orden uno .....................................................................................186

2.2 TÉRMINO DE COALESCENCIA ..........................................................................187 2.3 TÉRMINO DE ROTURA ........................................................................................189

3 VERIFICACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES Y ESTUDIO ............................191 3.1 COMPARACIÓN CON LOS DATOS EXPERIMENTALES ................................191 3.2 ESTUDIO COMPLEMENTARIO ...........................................................................194

3.2.1 De sensibilidad..................................................................................................194 3.2.2 Variación del flujo de aire de entrada ...............................................................198

4 CONCLUSIONES ............................................................................................................202

iv

CONCLUSIONES GENERALES............................................................................................ 205

APORTES DERIVADOS DE LA TESIS ................................................................................ 212

NOMENCLATURA................................................................................................................. 213

REFERENCIAS ....................................................................................................................... 215

APÉNDICE A........................................................................................................................... 221

COMPARACIÓN DE RESULTADOS CON DISTINTOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y CONVERGENCIA ESPACIAL............................................................................................... 221

APÉNDICE B........................................................................................................................... 223

ECUACIONES DE TRANSPORTE DE AEROSOLES MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL .................................................................................. 223

1 MÉTODO DE LOS MOMENTOS .................................................................................. 223

2 COMPARACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS USANDO DISTRIBUCIONES LOGNORMAL Y DE POISSON........................................................... 225

APÉNDICE C........................................................................................................................... 227

MODELO BIDIMENSIONAL: CASOS DE ESTUDIO DE CONVERGENCIA DE LA SOLUCIÓN .............................................................................................................................. 227

1 SUSTENTACIÓN ............................................................................................................ 227

2 TERMOFORESIS ............................................................................................................ 233

AGRADECIMIENTOS............................................................................................................ 235

1

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE SISTEMAS

POLIDISPEROS BIFÁSICOS

1 INTRODUCCION Un flujo de dos fases consta de un fluido continuo de transporte y de una segunda fase dispersa en éste, que es arrastrada. La fase continua puede ser tanto un líquido como un gas y la fase dispersa puede ser sólida, líquida o gaseosa. Cuando la fase dispersa presenta una cierta distribución en tamaños, al sistema se lo conoce como polidisperso. En particular en esta tesis nos centraremos en el modelado de sistemas gas-líquido o gas-sólido y líquido-gas.

Se denomina aerosol a un conjunto de partículas, ya sea en estado líquido o sólido, suspendidas en un gas, constituyendo éstas la fase dispersa. Los diámetros de las partículas en suspensión, catalogados como aerosoles, cubren en general un espectro amplio que va desde unos pocos nanometros hasta unos 100 µm. Las partículas generadas en procesos de combustión, como en el transporte automotor, generación eléctrica con combustibles fósiles y quemado de madera, tienen diámetros comprendidos entre los manómetros y el micrón. El polvo generado o resuspendido por el viento, el polen y la sal de mar proveniente de gotas de rompientes de olas, son generalmente mayores que el micrón llegando a valores del orden de los 100 µm. A los aerosoles se los suele denominar de distintas maneras, dependiendo de su origen o su apariencia, como humos, polvos, niebla, neblina, nube, smog y spray -en su denominación en inglés-. En la Figura I.1 se muestran distintos rangos de partículas y su clasificación o denominación más frecuente.

En la atmósfera, tanto en ambientes urbanos como rurales, se pueden llegar a observar concentraciones del orden de 108 partículas/cm3, cuyo origen es mayoritariamente por condensación de gases, combustión, desintegración de sólidos o por procesos biológicos. A estos procesos de generación de aerosoles se los suele clasificar según sean naturales (erosión, rompientes de olas, volcanes, incendios, polinización, etc.) o producto de actividades antropogénicas (industria, minería, transporte, et.).

2 – Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos

Las emisiones de este segundo grupo, en particular de contaminantes, suelen ser percibidas por las personas como “normales”, dado que se produce, por su carácter de permanentes y la convivencia cotidiana con éstas, un cierto grado de acostumbramiento a su exposición, hecho que a su vez lleva a una minimización –subjetiva- del riesgo asociado. Sin embargo su impacto, tanto ambiental como en la salud humana es considerable (principalmente por la interacción de las partículas con las vías respiratorias) y no siempre ha sido bien evaluado debido al carácter aleatorio y distribuido de las fatalidades inducidas. En un estudio epidemiológico sobre el impacto en la salud de partículas finas, conocidas como PM2.5 (Particulate Matter 2,5µm -Environment Protection Agency de EEUU, EPA, 2004), realizado por Abt Associates, Clean Air Task Force, en EEUU y publicado en el 2000, arroja cifras realmente significativas. En este estudio se concluye que la contaminación con partículas producto de centrales eléctricas que queman combustibles fósiles producen alrededor de 30.100 muertes por año tanto por problemas respiratorios como cardíacos, 18.600 casos de bronquitis crónica y 603.000 ataques de asma. Sin embargo el impacto en la salud de micropartículas no es un tema de reciente preocupación. Casos severos de contaminación ocurridos en Los Angeles y Londres a mediados de siglo, sumados a un desarrollo tecnológico que requería entender el comportamiento de los aerosoles, hicieron que a partir de los años 50 la investigación en este tema tomara real dimensión. Otro aspecto a tener en cuenta es el comportamiento de los aerosoles en la atmósfera. Éstos tienen un papel importante ya que, por un lado proveen centros de nucleación para la condensación del vapor y la formación de nubes, y por otro afectan la capacidad de la atmósfera para absorber la energía emitida por la tierra o de atenuar la radiación solar, siendo relevante su modelado para predecir efectos de calentamiento o enfriamiento atmosférico. Otro aspecto relacionado con la nucleación es la producción de niebla que suele afectar al transporte automotor y aéreo. Por otro lado, numerosas aplicaciones científicas, médicas y tecnológicas, como ser la industria alimenticia, de pinturas, de manufactura de materiales en general (fibras, catalizadores, cerámicos, etc.) y sobre todo la relacionada con la combustión (inyectores) hacen uso de distintos elementos en forma de aerosoles, cuyos aspectos de generación y dinámica requieren de un profundo entendimiento para la optimización del proceso tecnológico. En lo que respecta a la producción eléctrica por energía nuclear, en caso de un hipotético accidente en un reactor con fusión de núcleo, en donde se ha postulado la falla extrema de uno o varios sistemas de procesos, de los sistemas de seguridad demandados para mitigar el incidente y de las acciones de recuperación, los productos de fisión y actínidos se liberarían del combustible hacia la contención del reactor en forma de gases, vapores y partículas, interactuando entre sí, determinando una dinámica (de aerosoles) que es necesario evaluar para el cálculo de la eventual liberación al medio ambiente.

Introducción a la dinámica de sistemas polidisperos bifásicos - 3

Figura I.1.- Rango de partículas y su clasificación. Reproducido de Standford Research

Institute International.


1.1 AEROSOLES “NUCLEARES”

Las centrales nucleares están diseñadas para un funcionamiento seguro, estableciéndose una serie de niveles de protección sucesivos, consistentes en barreras físicas y medidas con el objetivo de cumplir las funciones de seguridad, que son control de potencia, control de la refrigeración y contención de los radionucleidos. Este nivel de protección se alcanza recurriendo a fenómenos físicos que contribuyen en forma intrínseca a la seguridad y con sistemas de seguridad redundantes y diversos, que llevan a la planta a un estado controlado luego de la ocurrencia de un incidente operacional. Sin embargo el criterio de defensa en profundidad utilizado en la industria nuclear impone el análisis y concreción de medidas de mitigación para la eventual ocurrencia simultánea de la falla de sistemas de procesos y de los sistemas de seguridad demandados para controlar la perturbación inicial. Es por ello que se postula para el análisis este escenario accidental extremo, que de no mediar acciones de recuperación por parte de los operadores, podría derivar en un accidente severo es decir con fusión de núcleo. En este escenario los productos de fisión y actínidos se liberarían del combustible hacia el circuito primario y luego hacia la contención del reactor en forma de gases, vapores y partículas, junto con otros materiales como los constituyentes de las barras de control y los estructurales (IAEA-TECDOC-1127, 1999). Para tratar de mitigar el improbable accidente severo, existen sistemas, ya sean activos o pasivos, que tienen el objetivo de reducir las consecuencias radiológicas en el público. La función de estos sistemas es la de reducir el inventario de radionucleidos en suspensión en la contención, además de retardar la liberación en caso de una eventual falla de la misma, de forma tal de permitir tanto el decaimiento radiactivo como la actuación de los procesos naturales de remoción. A modo de ejemplo se puede mencionar que si la contención fallase en la primera hora, cuando los productos de fisión están en la fase de aerosol, se liberaría al medio ambiente del orden del 80 % del inventario de los más volátiles. Por otro lado si transcurriesen del orden de 5 días entre el accidente y la rotura de la contención, habrá suficiente tiempo para que los procesos naturales de remoción y deposición de aerosoles actúen, y la liberación se reduciría a la diez milésima parte del inventario o menos (Wilson R., 1985). Estas estimaciones concuerdan con lo sucedido en el accidente ocurrido en 1979 en la central de Three Mile Island en EEUU, en donde el yodo radiactivo liberado a la atmósfera fue varios órdenes de magnitud menor que el liberado desde el combustible, quedando la mayoría disuelto en agua, al formar una sal con el cesio, tanto en la contención como en el circuito primario. Se explica así el papel protagonista de la última barrera de ingeniería que es la contención del reactor y de los aerosoles (forma final en la que concurren los productos de fisión a excepción de los gases nobles) en la evaluación del posible escape de material radioactivo al medio ambiente. Siendo casi una verdad de perogrullo decir que si el edificio de la contención no falla, no puede haber liberación de material radiactivo en un accidente nuclear. Por lo tanto, el tiempo y la forma de la falla de la misma son decisivos para determinar la magnitud de la liberación de radioactividad.

Este escape de material constituye el denominado Término Fuente caracterizado por la forma química y física de dicho material, la secuencia temporal de la liberación y la energía del mismo, y es utilizado para estudios de impacto radiológico y ambiental (Zoulalian A., 1995), y para el diseño de los sistemas de mitigación.

En general, los estudios del comportamiento del reactor durante accidentes severos, muestran que a pesar de las diferencias en el diseño de las centrales nucleares y en las secuencias accidentales, la liberación de productos de fisión y otros materiales hacia la contención puede ser determinada globalmente en términos del grado de fusión y relocalización del combustible,


la integridad del recipiente de presión y el ataque de los materiales fundidos del núcleo al hormigón de la cavidad o base del reactor. Es por ello que es posible distinguir claramente tres fases de liberación de productos de fisión: la que ocurre dentro del recipiente, durante la falla del recipiente de presión – ya sea en forma temprana o tardía- y la liberación fuera del recipiente, directamente dentro del edificio de la contención. En la primera fase, los gases nobles, Kr y Xe, luego de ser liberados del combustible conjuntamente con otros gases (H2) pueden fugarse casi en su totalidad hacia la contención debido a su gran volatilidad. Este fenómeno no ocurre con los productos de fisión semivolátiles como el Cs, I y Te, que pueden quedar retenidos en el circuito primario. Estos elementos son volátiles a las temperaturas elevadas en las que se encuentra el núcleo degradado, al enfriarse pueden condensar o combinarse químicamente para formar especies menos volátiles o disolverse en el agua. Estos productos de fisión pueden encontrarse como partículas líquidas o sólidas. La resuspensión y revolatilización de los productos depositados en las estructuras del primario serían los fenómenos dominantes durante la segunda fase, que incluye la rotura del recipiente de presión. La presencia de aire y en particular oxígeno cambia radicalmente la química reductora observada hasta ese momento. Luego de la supuesta rotura del recipiente de presión del reactor, los productos de fisión no-volátiles, junto con otros materiales no radioactivos, pueden ser liberados en la violenta interacción del núcleo fundido con el hormigón de la base de la contención, siendo ésta la tercera fase de liberación. Esta es una fase extrema, en la que el combustible alcanza masivamente la fusión y se llegaría a vaporizar parcialmente. En este proceso de liberación de productos de fisión muy probablemente se generen partículas sólidas. A su vez, debe tenerse en cuenta que en la contención, con una atmósfera cargada de vapor, las partículas absorberán agua, contribuyendo este hecho a aumentar la precipitación de las mismas sobre las distintas superficies, favoreciendo su remoción. El comportamiento o evolución de estos elementos en forma de gases o partículas en el circuito primario y contención, conjuntamente con la evolución de las distintas variables termohidráulicas, determinan las características del mencionado Término Fuente y servirá para determinar las condiciones de contorno o requerimientos para el diseño de los sistemas de seguridad de mitigación y para fines de licenciamiento de la instalación nuclear. Los aerosoles “nucleares” cubren un rango amplio de tamaños que va desde 0.01 a 10 µm y diversas especies químicas, cuya naturaleza y tasa de reacción no está bien entendida, siendo este uno de los campos de mayor investigación en Seguridad Nuclear en la actualidad. Por otro lado y sobre todo debido a su comportamiento en la contención de los reactores, debe ponerse especial énfasis en el modelado de las variaciones espaciales de la concentración de partículas, debido a los grandes volúmenes presentes en la contención y al carácter no lineal de los fenómenos involucrados. En particular en esta tesis se tratará la dinámica de los aerosoles en ambientes cerrados como cañerías y la contención de reactores, poniendo especial énfasis en la distribución espacial de los mismos.


1.2 FÍSICA DE LA DINÁMICA DE AEROSOLES Y SU MODELADO

Diversos procesos afectan o gobiernan la dinámica de los aerosoles (Friedlander S. K., 1977; Denis R., 1976; Williams M.M.R., 1991). Éstos pueden ser trasladados por el gas que fluye y a su vez pueden moverse respecto de él; esto último ocurre si las partículas que lo forman están sometidas a fuerzas externas o si poseen suficiente inercia que les impide seguir los cambios de la velocidad del gas. Por otro lado pueden difundir si su concentración espacial no es uniforme. Nuevas partículas pueden formarse por nucleación de vapores saturados o por desintegración mecánica de masas mayores. Las partículas existentes pueden aumentar o disminuir su tamaño debido a los fenómenos de condensación y evaporación, respectivamente. Además pueden incrementar su tamaño y disminuir en cantidad por coagulación. Finalmente pueden depositarse sobre superficies debido a la difusión, sedimentación o por impacto debido a su inercia. La cinética de estos procesos depende fuertemente del tamaño de las partículas y de la concentración de las mismas y en menor grado de su densidad, forma, carga eléctrica, de las propiedades del gas que las contiene, de las características del movimiento del mismo y de la geometría del sistema. Una magnitud de particular importancia para la descripción de los sistemas de aerosoles es la función densidad o concentración de partículas ),,( vtrn � . Definida tal que ),,( vtrn � dv es el número de partículas por unidad de volumen de gas en la posición r� , en el instante t, que tiene un volumen comprendido entre v y v+dv. La evolución de ),,( vtrn � debido a los procesos enumerados anteriormente se puede describir mediante la siguiente ecuación de balance, citada en la bibliografía como “ecuación general de la dinámica de aerosoles” o “ecuación de balance para la población de partículas” (Williams M.M.R., 1986):

)v,t,r(St

)v,t,r(nt

)v,t,r(n

)v,t,r(n)v,t,r(D.)]v,t,r(n)v,t,r(U[.t

)v,t,r(n

coagcrec

�

��

��

�

�

+

∂∂

+

∂∂

+

=∇∇−∇+∂

∂

(I. 1)

El término ).( nU

�

∇ modela la divergencia del flujo de partículas de volumen v que son transportadas por el gas, siendo ),,( vtrU � el vector suma de las velocidades del gas )),(( tru � y de las velocidades originadas por fuerzas aplicadas sobre las partículas como ser las originadas por la gravedad (Vs(v)) -sedimentación-, por gradientes térmicos (Vth) -termoforesis-, y por un flujo de vapor (Ve) -difusioforesis- (Loyalka, 1991, Capítulo 7). Se supone además que el campo de velocidades )),(( tru � está desacoplado de ),,( vtrn � , de manera que la partícula es transportada sin perturbarlo. El término ∇.(D∇n) representa la divergencia del flujo por difusión de partículas de tamaño v, relativo al gas, con un coeficiente de difusión D, dependiente del volumen de la partícula y de las características del gas. Este mecanismo pasa a tener mayor importancia que la sedimentación para diámetros de partículas por debajo de 0.1 micrón.

El término crect

)v,t,r(n

∂∂ �

representa la tasa de transferencia neta, por unidad de volumen de

gas, de partículas desde otros volúmenes al volumen v, ya sea por evaporación o condensación.


El término )v,t,r(S � representa la fuente neta de aerosoles. Puede estar compuesto por partículas que se originan por nucleación o que provienen de otros compartimentos. También podría incluir la captura de aerosoles por gotas de agua generadas por sistema de rociado de la contención (o por la lluvia si es que se modela dispersión atmosférica) eliminándolas del gas que las transportaba, representando este término para este último caso a un sumidero.

El sumando coagt

)v,t,r(n

∂∂ �

es la tasa de transferencia neta, por unidad de volumen de gas, de

partículas de otros volúmenes al tamaño v por coagulación, es decir son creadas cuando dos partículas con un volumen total v, colisionan y se adhieren. Partículas con volumen v se pierden cuando colisionan y se adhieren con otras. Esta transferencia es proporcional a la concentración de partículas que participan de la coagulación y se puede expresar de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) duunv,uKvnduunuvnu,uvKtn

0

v

0coag2

1

∫∫∞

−−−=

∂∂ (I. 2)

en donde K(v, u) es el núcleo de coagulación y se ha eliminado en la escritura por simplicidad la dependencia espacial y temporal en la función )v,t,r(n � . El primer término representa la ganancia de partículas con volumen v y el segundo término la pérdida hacia otros volúmenes. Hay diferentes mecanismos de coagulación que dan distinta dependencia del tamaño de la partícula. Debido a que las partículas grandes sedimentan a mayor velocidad que las de menor tamaño, pueden barrer a las más pequeñas a lo largo de su camino durante la sedimentación. Estas partículas grandes, incapaces de responder a variaciones rápidas de la velocidad del gas a causa de su inercia cruzan líneas de corriente e impactan con otras partículas o con estructuras. El movimiento Browniano y la difusión turbulenta pueden mover partículas pequeñas a través de las líneas de corriente del gas que las transporta y por lo tanto interceptar a otras. Se distinguen, entonces, los mecanismos de coagulación por movimiento Browniano, de coagulación por sedimentación, de coagulación originada por el movimiento turbulento del gas que las transporta y por impacto debido a la inercia de las partículas. Otros mecanismos, previamente mencionados y modelados en el término convectivo, que afectan al transporte de aerosoles son la difusioforesis o deposición por flujo de Stefan (Bayer C., 1995), y la termoforesis (Durnaz P., 1995). Debido al proceso de condensación de un vapor sobre una superficie, el mismo tendrá una velocidad neta hacia aquella (flujo de Stefan). Entonces las partículas suspendidas en un gas con concentración no uniforme, experimentarán una fuerza que responde a la diferencia de impactos moleculares en un lado respecto de otro. Este mecanismo será relevante en accidentes con alta concentración de vapor en la contención y condensación sobre estructuras. No será tratado en el presente trabajo.

La deposición por termoforesis puede llegar a ser un mecanismo relativamente importante en situaciones particulares cuando hay gradientes importantes de temperatura (5000 K/m) y en tubos con diámetros pequeños. En esta condición las partículas experimentarán una fuerza que responderá a los impactos de moléculas más energéticas en una cara respecto de la otra. En el caso de reactores nucleares se espera que este mecanismo domine la deposición dentro de los tubos de los generadores de vapor, sobre todo si hay flujo laminar, debido a la dependencia con el gradiente de temperatura y siempre y cuando el lado secundario de los mismos esté refrigerado. La velocidad de termoforesis depende de la relación entre el diámetro de la


partícula y el camino libre medio del gas que la transporta y de la relación entre la conductividad de la partícula y del gas.

Un aspecto adicional a tener en cuenta en el modelado de las partículas es la forma de las mismas. Gotas con tamaños menores que 1 mm son esféricas, pero la mayoría de los aerosoles, principalmente aquellos sólidos, no lo son. Algunos tienen formas geométricas regulares, como la cúbica en partículas de sal marina o cilíndrica en bacterias o fibras. Otros, tales como los aglomerados de partículas o los productos de la erosión tienen formas irregulares. Su forma afecta a la fuerza de arrastre y por lo tanto a su velocidad de sedimentación. Las ecuaciones para el arrastre y la velocidad de sedimentación están basadas en partículas esféricas. Bajo estas condiciones y asumiendo el Reynolds de la partícula menor que uno, Stokes derivó la conocida y ampliamente utilizada expresión para el cálculo de la velocidad terminal de una partícula:

µρ18

dgV

2p

S =

Un factor de corrección, llamado factor de forma dinámico, se aplica para corregir el efecto de la forma en el movimiento de las partículas (Hinds W. C., 1982). Éste se define como el cociente entre la fuerza de resistencia real de la partícula no esférica (FD) respecto de la de una esfera que tiene el mismo volumen y velocidad:

e

D

dV3Fµ

χ =

donde de es el diámetro equivalente, y el denominador es la fuerza de arrastre dada por la Ley de Stokes para partículas esféricas. La velocidad de sedimentación con esta corrección resulta:

χµρ

18dg

V2ep

S =

Por ejemplo para un cubo χ = 1.08, para un cilindro (L/D = 4) con su eje axial alineado con la dirección del flujo χ = 1.07 y para grupos de 2, 3 y 4 esferas en arreglo compacto, χ vale 1.12, 1.15 y 1.17 respectivamente (Davies C.N., 1979). Distintas definiciones del diámetro de las partículas surgen a partir de esta consideración. Uno de ellos es el de Stokes, dS, que es el diámetro de una esfera que tiene la misma densidad y velocidad que la partícula en cuestión. Otro es el aerodinámico, da, que es el diámetro de una esfera con densidad unitaria (ρp=ρ0 =1000 kg/m3) que tiene la misma velocidad de sedimentación. La ecuación anterior puede, entonces escribirse en términos de estos diámetros como:

µρ

µρ

χµρ

18dg

18dg

18dg

V2a0

2Sp

2ep

S ===

De esta forma el diámetro de Stokes estandariza partículas de varias formas teniendo la misma propiedad aerodinámica, mientras que el diámetro aerodinámico estandariza no solo la forma sino que también la densidad. Por ejemplo una partícula de cuarzo (χ aproximadamente 1.36) con un diámetro equivalente de = 5 µm y densidad ρp= 4000 kg/m3, posee una velocidad terminal de 0.22 cm/s, un diámetro de Stokes dS = 4.3 µm y uno aerodinámico de 8.6 µm.


Una gran mayoría de los detectores de partículas, en particular aquellos que miden la distribución en tamaño de una población dada, se basan en el comportamiento aerodinámico de las mismas y están calibrados con partículas esféricas con densidad unitaria, midiéndose por lo tanto el diámetro aerodinámico de las mismas. Este es el caso de los impactadores de cascada o los que usan la técnica de tiempo de vuelo, luego de acelerar las partículas. Esta caracterización, basada en las propiedades aerodinámicas de las partículas, importa cuando se pretende analizar los efectos sobre la salud o el filtrado de ambientes (Willeke K., 1993). También existen otras definiciones y en general están asociadas a la forma de medirlos, tal es el caso de instrumentos basados en las propiedades ópticas de la partícula (Dennis R., 1978; Willeke K., 1993). Por otro lado es importante llamar la atención sobre la complejidad de los fenómenos físicos involucrados en la dinámica de aerosoles. Es por ello que creemos relevante propagar las incertezas de los coeficientes que caracterizan los distintos procesos, en parámetros como la concentración total, para poder evaluar con cierto grado de confidencia las consecuencias de un contaminante. La necesidad de este tipo de análisis de sensibilidad es resaltada por Williams M.M.R. (1990).

1.3 PRINCIPAL HIPÓTESIS SIMPLIFICATIVA PARA LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE AEROSOLES

La ecuación (I.1) que describe la dinámica de aerosoles, es una ecuación integro diferencial no lineal debido a los términos de coagulación, difusión y deposición. La resolución de esta ecuación en general requiere un considerable esfuerzo numérico, con el consiguiente consumo de tiempo de cálculo. Estos hechos hacen que un tratamiento directo de esta ecuación no resulte práctico o viable según los mecanismos físicos que se pretenda simular. La simplificación más importante y usual que se hace a la ecuación de balance de aerosoles es la de homogeneidad espacial, que consiste en suponer que éstos están bien mezclados, es decir que la concentración o la densidad espacial es homogénea, es decir que n(r,t,v) es prácticamente constante hasta la proximidad de la pared. Bajo esta hipótesis e integrando en un dominio dado, la ecuación (I.1) se reduce a, (Williams M.M.R., 1986):

)t,v(Sdt

)t,v(dndt

)t,v(dn)t,v(n)t,v(Rdt

)t,v(dn

coagcrec+

+

=+ (I. 3)

donde R(v,t) es la tasa efectiva de remoción de partículas, y se expresa como:

difthdsp

p

vvvvU

Vol)UU(A

)t,v(R

��

�

��

+++=

+⋅=

(I. 4)

siendo A y Vol el área de deposición y el volumen del domino, respectivamente, U la velocidad media del fluido, sv� la velocidad de sedimentación por gravedad, δ/Dvd =� la velocidad equivalente por difusión, con D el coeficiente de difusión y δ el espesor de la capa


límite difusiva, thv� la velocidad equivalente por deposición por termoforesis y difv� la velocidad equivalente de deposición por difusioforesis.

Con respecto al término de coagulación, proceso que depende cuadráticamente con la concentración de partículas, la hipótesis de “buen mezclado” implica que el promediado en volumen de este término no lineal sea igual al producto de los promedios, error difícil de estimar cuya importancia no debe ser olvidada, (Williams M. M. R., Loyalka S. K., 1991, página 115-116) (Wilson R., 1985).

Los efectos espaciales, generalmente se tratan compartimentando al volumen considerado, en subcompartimentos o macrovolúmenes en donde se sigue suponiendo homogeneidad espacial, utilizando funciones de acople entre los mismos (Simpson et al., 1989). Esta aproximación en general se hace con motivos de facilitar el tratamiento de dicha ecuación integro-diferencial, pero sin un fundamento teórico que lo avale. En un casos simple como el de sedimentación pura en un recinto, al comparar la solución exacta con la aproximada obtenida luego de promediar espacialmente la densidad de aerosoles, indica que cuando aún permanecen en el recinto el 30 % de las partículas, hay un error del 40 % en el modelo homogéneo, y este error tiende a un valor constante del 93 % aproximadamente para tiempos mayores, (Williams, M.M.R., 1986).

Los códigos desarrollados para describir el comportamiento de los aerosoles en la contención de reactores y en el circuito primario, como ser AEROSOLS-CEA, AEROSIM-UKAEA (Zoulalian A., 1995), ASTD, CONTAIN-SNL, HAARM-Atomics International, MAEROS-SNL (Gelbard, 1991), NAUA-KfK (Bunz et all, 1983), RAFT-ANL (Hontañón E., 1993), VICTORIA (Heanes T. J., 1992) y TRAP-MELT-BNL (Jordan H.,1985), por citar a los más conocidos y difundidos hacen uso de la hipótesis fundamental que considera a los aerosoles perfectamente mezclados, es decir postulando la no existencia de inhomogeneidades espaciales en la distribución de los aerosoles. Cualquier efecto que dependa de la inhomogeneidad espacial, es tenido en cuenta tomando un promedio espacial de la ecuación que gobierna la dinámica en todo el volumen de control y simulando una capa límite virtual con espesor prefijado (Fernandes & Loyalka, 1996). Además al considerar el fuerte comportamiento no lineal de los aerosoles y la dependencia de las tasas de distintos procesos con el tamaño de la partícula, no resulta claro cómo tal efecto pueda ser incorporado cuando se realiza la hipótesis de “buen mezclado”. Park (1989) concluye que el efecto de la inhomogeneidad espacial puede ser sustancial en la estimación del Término Fuente, dependiendo de la condición del sistema. Por lo tanto la hipótesis de buen mezclado necesita más investigación y clarificación. Finaliza diciendo que sería de interés en conjunción explorar también el uso de tasas de procesos con dependencia espacial más realistas. Precisamente Fisher y Kanzleleiter (1999) en referencia a la experiencia alcanzada de las investigaciones experimentales (series DEMONA, VANAM y KAEVER) y de los ejercicios de validación de códigos (NAUA, CONTAIN, MELCOR, FIPLOC) llegan a la conclusión de que la hipótesis temprana de condición homogénea en la contención es irreal y no da necesariamente una estimación conservativa para la estimación de la actividad liberada.


1.4 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE AEROSOLES

La ecuación (I.1) es analíticamente intratable y para resolverla suele requerirse, aún para los núcleos de coagulación más sencillos, un considerable esfuerzo numérico (Williams M. M. R. and Loylaka S., 1991; Williams M. M. R., 1986). Soluciones aproximadas para núcleos de coagulación constantes fueron planteadas por Barrett J.C. (2002). Una forma de resolución es discretizar la distribución o espectro en tamaño de la población de partículas, en grupos Nk(t) como una función del tiempo, siendo k el número de grupos de volúmenes. Aunque esta forma puede ser considerada como una rigurosa representación del sistema, es realmente restrictivo tratar con un sistema de ecuaciones discretas debido al enorme rango de volúmenes a considerar, (Seinfeld J. H., 1998) abarcando diámetros con una diferencia de más de 3 órdenes de magnitud. Por otro lado un problema reconocido en dicha técnica de modelado seccional es la difusión numérica a través de los bordes de cada grupo de volúmenes (Whitby, 1997; Seigneur et al., 1986). En particular Chang-Yu (1998) analizó este problema en detalle, comparando distintas alternativas de tratamiento del intercambio de masa entre grupos concluyendo que los errores por difusión numérica pueden ser importantes para coagulación y condensación. Otro forma que se ha propuesto para la simulación de la dinámica de aerosoles multicomponentes es el método de Monter Carlo (Kourti N., Schatz A., 1998) con homogeinización espacial para resolver la interacción entre partículas de distinta especie y volumen, siendo claramente la mayor limitación los tiempos de cálculo extremadamente largos. Una técnica elegante propuesta para la resolución de la ecuación general dinámica de aerosoles, que reduce notoriamente el costo computacional, es utilizar el Método de los Momentos en donde se utiliza una distribución prefijada para la dependencia del tamaño de una población de partículas. Entonces, la base racional de la solución de la ecuación general por dicho método es que la forma funcional de la distribución permanecerá valida a lo largo de la historia del aerosol. El cambio en la distribución del tamaño de las partículas se verá caracterizado por la variación temporal de los parámetros que describen la forma funcional adoptada. Esta distribución deberá satisfacer los primeros momentos de la ecuación de balance -tantos parámetros como tenga dicha distribución-, lo cual conduce a ecuaciones diferenciales relativamente más sencillas para cada uno de ellos.

1.5 BASE EXPERIMENTAL

Diversos experimentos sobre la dinámica de aerosoles se han llevado a cabo desde los años 50, en donde se empezó a percibir la importancia de entender la física involucrada, dado el impacto en la salud producido por el transporte urbano, las emisiones industriales, la generación eléctrica con combustible fósiles en conjunción con fenómenos naturales locales, tanto geográficos como atmosféricos. Sucesos de la alta polución sumamente graves relacionados con la salud ocurridos en Los Ángeles y Londres, dispararon la investigación en el área. En particular el ocurrido en esta última ciudad en 1952 causó, durante los 5 días que duró, más de 3000 muertes, 5 veces más que la tasa normal. Este evento se originó por una inversión de temperatura en la capa límite atmósférica en pleno invierno, que no permitió la dispersión y dilución de los humos del carbón provenientes de emisiones de hornos, estufas e industrias.


Los primeros experimentos se orientaron a estudiar aspectos aislados de la física de los mismos. En los últimos años la investigación en el área de accidentes severos en reactores nucleares estuvo centrada en el comportamiento de los aerosoles en la contención, involucrando experiencias de las denominadas integrales, tanto en escala reducida como en contenciones con dimensiones comparables a las reales. En todos los casos es importante tener como referencia el volumen del recipiente o contención en donde se desarrollan los experimentos y compararlos con el volumen de la contención de un PWR (Pressure Water Reactor) clásico que es del orden de 105 m3 y la de un BWR (Boiling Water Reactor) de unos 104 m3. El conocimiento actual y la base de datos sobre el comportamiento de los aerosoles en contención fue originado principalmente en una serie de experimentos conocidos como LACE (Light Water Reactor Aerosol Containment Experiments en Handford Energy Development Laboratory) y ACE, ambos en EEUU, DEMONA, KAEVER y VANAM en Alemania, MARVIKEN en Suecia, Falcon en Inglaterra, AHMED y VICTORA en Finlandia y PHEBUS y PITEAS en Francia, estos últimos aún en desarrollo, (Schöck W. et all, 1987; Fisher K., 1999; Poss G. y Wever D., 1997; Mäkynen J. M. et al., 1997; Wright A. L, 1988; Hosemann et al., 1988; Saldo V., 1997, Wilson R., 1985, Zoulalian A., 1995, Clement B. et al., 2003). Una breve descripción de algunos de estos experimentos se presenta a continuación: DEMONA: es un programa experimental llevado adelante por Battelle-Frankfurt, con fondos

del gobierno alemán y suizo. El objetivo fue demostrar la efectividad de la remoción de aerosoles por medios naturales, considerando en algunos casos la formación de niebla. Se inyectan aerosoles a un recinto de ¼ de escala de la contención de Biblis B, con un volumen de 640 m3. Los aerosoles estaban constituidos por mezclas de Ag, Fe, U, Sn y Zr. Los complejos casos experimentales realizados pusieron de manifiesto las grandes diferencias entre los datos y los resultados de los códigos (Fisher K. 1999).

VANAM: continuación del programa anterior con mayor compartimentación, mejor

instrumentación y aspectos termohidráulicos orientados a secuencias accidentales más realistas. En relación con DEMONA el resultado de la comparación con modelos numéricos fue más alentador y mostró claramente que la problemática de multicompartimentos y las inhomogeneidades locales de las distribuciones son gran importancia (Fisher K. 1999).

LACE: extenso programa bajo la dirección y ejecución de Westinghouse Handford Energy

Development Laboratory con financiación del EPRI. El objetivo fue la medición de la retención de aerosoles en el primario y del cambio que sufren durante el transporte en cañerías y de la deposición en un edificio auxiliar, simulando en algunos casos un by-pass a la contención. En particular la serie LA2 estudió la evolución de aerosoles en una contención simulada cuya altura es de aproximadamente 20 m y un volumen de 852 m3, con de pérdidas al exterior. El problema de las mediciones fue que el muestreo dentro del recipiente no fue extensivo (sólo 4 posiciones) y con dos de ellas ubicadas en la proximidad de las fugas simuladas, con lo cual no fue posible concluir directamente sobre del buen mezclado de los aerosoles (homogeneidad espacial). Los códigos han hecho un trabajo pobre en la descripción de los datos experimentales (Williams M.M.R., Capítulo 8, 1991).

MARVIKEN: serie de experimentos integrales a escala, realizado en la planta nuclear

Marviken en Suecia, con fondos de la NRC y EPRI. Los aerosoles inyectados fueron Cs, ICs, hidróxido de Cs y Teluro. Se midió retención en circuito primario, presurizador, tanque


de alivio y en un simulado recipiente de presión ( 134 m3) en donde se incluyen además aerosoles con compuestos metálicos (Williams M.M.R., Capítulo 8,1991).

AHMED: serie de experimentos realizados por VVT de Finlandia para estudiar el efecto de las

distintas condiciones termohidráulicas en la contención, sobre todo con elevada humedad relativa, sobre aerosoles higroscópicos. El recipiente es cilíndrico con un volumen es de 1.81 m3. Las mediciones fueron realizadas utilizando equipos con distintos métodos de medición como ser impactadores de cascada, por tiempo de vuelto, cámaras de condensación, ópticos y medición de masa por oscilación del colector. Las mediciones han sido de buena calidad en condiciones controladas (Mäkynen J.M. et al., 1997).

Phebus FP: este programa internacional se inició en 1988 y aún continua con la realización de

experimentos integrales. Una sección de un elemento combustible parcialmente quemado es colocado en una cápsula presurizada y refrigerada en un reactor experimental con el objetivo de producir fisiones. Al cortar la refrigeración se inicia el proceso de fusión o degradación del combustible con liberación del material radiactivo al circuito, el cual simula al circuito primario de un reactor incluyendo a los tubos de los generadores de vapor, para finalmente liberar el material y gases a un recipiente que simula una contención. El informe final del primer ensayo denominado FPT0 fue publicado recientemente (Clement B. et al., 2003). El objetivo, aparte del estudio de la fusión del combustible, es la medición de la deposición en los tubos de los generadores de vapor por termoforesis y la deposición en la contención.

Se puede decir que los experimentos de gran escala como DEMONA de KfK, MARVIKEN o Phebus FP, del tipo integrales y con fuertes acoples entre el flujo de aire y los aerosoles, en presencia de muchos de los fenómenos físicos explicados anteriormente actuando simultáneamente, dificultan el entendimiento y discernimiento de la importancia relativa de cada uno de ellos en las distintas etapas de los transitorios realizados. Experimentos de menor escala o simples no han cubierto un rango amplio de parámetros como sería deseable. En general el costo de los experimentos con aerosoles es muy elevado (costo total de las series MARVIKEN V, DEMONA y LACE superior a 30 millones de dólares estadounidenses) y esta ha sido, junto con la interferencia de la medición con las partículas, una de las mayores limitaciones al desarrollo experimental. En la inmensa mayoría de los casos los datos experimentales y las condiciones en las cuales los mismos fueron generados, no están disponibles en la literatura abierta o su presentación es incompleta (Haware S. K et al., 1997), para poder reproducir numéricamente el experimento y ser utilizados como verificación de los modelos en desarrollo. En general son de propiedad y disponibilidad de los participantes de estos proyectos, es por ello que sólo se ha podido acceder lamentablemente a pocos datos experimentales. Estos experimentos han mostrado que diferentes compuestos se distribuyen y comportan en forma diferente. Especies gaseosas se distribuirán en forma homogénea, principalmente por convección al comienzo y luego por difusión, siendo la convección turbulenta mucho más efectiva que la última. Por otro lado, los aerosoles pueden distribuirse de una manera completamente distinta. Una distribución espacial no homogénea puede encontrarse aún si hay un mezclado inicial importante, observándose que compartimentos con concentraciones bajas en una fase temprana, luego presentan concentraciones aún más altas que el promedio. Esto se debe a los procesos de remoción de aerosoles, los cuales dependen fuertemente de las características iniciales de la población de partículas y de las condiciones termohidráulicas locales. En particular sobresale el fenómeno de barrido por sedimentación y coagulación, el cual depende del tamaño de las partículas y de su concentración, sumándose el de crecimiento


por condensación relacionado con las condiciones del medio. Dicha estratificación de aerosoles se observó en compartimentos aislados en los experimentos de la serie LACE. Esta característica también fue detectada en algunos experimentos de la serie DEMONA, con varios compartimentos y en el experimento M3 de la serie VANAM (Kanzleiter T., 1993). 2 OBJETIVO DE LA TESIS El objetivo general de esta tesis es contribuir al avance general en el modelado y el conocimiento de la dinámica de sistemas polidispersos bifásicos, con aplicación principal al transporte de aerosoles y de burbujas. Para ello se desarrollará un modelo que permita simular el transporte en recintos cerrados y profundizar el estudio de la dinámica, considerando los acoples entre los diversos fenómenos físicos que intervienen, incluyendo el tratamiento de los efectos de la distribución espacial de dicha población de partículas o burbujas. Los objetivos particulares son:

• Explorar la aplicación del método de los momentos para la resolución de la ecuación general de transporte de aerosoles y de burbujas, utilizando una función prefijada para la distribución de tamaño de partículas, para obtener ecuaciones diferenciales de convección-difusión con fuente, más fácilmente resolubles. Para ello se analizarán las fortalezas y debilidades del método a través de la comparación con soluciones analíticas, con otros métodos y resultados experimentales, mediante la simulación numérica de un amplio rango de procesos físicos para el caso de aerosoles como ser sedimentación, difusión, coagulación, condensación, sustentación y termoforesis, actuando en forma aislada o en conjunto, y para burbujas, el transporte debido a la fuerza boyante, la coalescencia y la rotura, incluyendo distintos patrones de flujo.

• Estudiar si el modelado de los efectos de distribución espacial redunda en gradientes de

concentración de aerosoles significativos y en evoluciones temporales que los modelos actuales que usan la hipótesis de homogeneidad espacial no podrían predecir.

• Desarrollar una herramienta que complemente al modelo de dinámica de aerosoles y

que permita la realización de estudios de sensibilidad respecto de incertezas en los parámetros de dicho modelo y en las condiciones tanto de borde como iniciales.

3 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS En la presente tesis se desarrolla la formulación de un modelo que permite describir la dinámica de aerosoles, incluyendo un modelo para el tratamiento de incertezas. Se aplican para el estudio de algunos temas de interés, involucrando los fenómenos de convección, sedimentación, difusión, coagulación, sustentación y termoforesis. También se realiza una derivación del método para el modelado de la dinámica de burbujas considerando su


distribución en tamaño, con el objetivo de mostrar la potencialidad del mismo en otro tipo de flujos bifásicos.

En el capítulo 2 se desarrolla el modelo unidimensional para describir la evolución temporal y variación espacial de una población polidispersa (compuesta por distintos tamaños) de partículas, haciendo uso del método de los momentos para derivar ecuaciones más sencillas que la ecuación general de balance de aerosoles. Se usa como distribución prefijada a la de Poisson para describir la distribución en tamaño de las partículas. Se derivan expresiones para los coeficientes de difusión y condensación, la velocidad de sedimentación y los términos de coagulación Browniana y gravitacional. En el capítulo 3 se realizan diversas comparaciones del modelo con soluciones analíticas y datos de bibliografía procedentes de cálculos realizados con el código AEROSIM de UK-Atomic Energy Authority, código que asume homogeneidad en la distribución espacial de la población de partículas. Se analizan los gradientes espaciales y su origen. En el capítulo 4 se desarrolla y presenta un modelo bidimensional, geometría axial y radial, que incorpora el modelado de la fuerza de sustentación debido a la presencia de las partículas en un campo de velocidades con vorticidad no nula, flujo laminar y el transporte radial por termoforesis. Esto permite ampliar el modelado -y análisis- de la distribución radial de partículas en un tubo, dando las bases para el modelado de la deposición en paredes. Se analizan distintos casos y se realizan comparaciones con datos de simulación numérica de bibliografía de la contención experimental NAUA y del experimento de deposición por termoforesis denominado STORM. En el capítulo 5 se desarrolla un modelo para realizar estudios de sensibilidad debido a incertezas tanto en los parámetros del modelo como en las condiciones de borde e iniciales. Dicho modelo está basado en el Método Perturbativo, Formalismo Diferencial que permite obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales para los adjuntos de las variables del problema para calcular la variación temporal de los coeficientes de sensibilidad de un dado observable respecto de los parámetros perturbados. Se analizan distintos casos partiendo de situaciones relativamente simples, en donde se analiza por separado la evolución temporal de una población homogénea de aerosoles y la distribución espacial en estado estacionario, para luego presentar un caso completo en donde se hace uso del análisis de estos casos sencillos para explicar los resultados finales. A modo de ejemplo se obtienen coeficientes de sensibilidad de algunos parámetros del modelo y de su variación dinámica. Finalmente en el capítulo 6, a modo de ampliación del espectro de problemas bifásicos a ser resueltos, se realiza la aplicación del modelo desarrollado para aerosoles al caso de transporte de burbujas en un dominio vertical, sin intercambio de masa entre fases y con equilibrio térmico entre ellas, incorporando las correspondientes ecuaciones constitutivas para la velocidad de burbujas, coalescencia y rotura. El objetivo es aportar al entendimiento de la dinámica de una distribución de burbujas, régimen tipo “bubbly y slug”, considerando el modelado de gradientes espaciales. Se realiza una comparación con resultados experimentales y se analizan casos con variación temporal de la población de burbujas.

17

CAPITULO II

MODELO UNIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE

AEROSOLES

1 INTRODUCCIÓN La ecuación general de transporte de aerosoles descripta en el Capítulo I es una ecuación integro-diferencial no lineal en derivadas parciales, es analíticamente intratable y requiere de un considerable esfuerzo numérico para resolverla, aún para los núcleos de coagulación más sencillos (Williams M. M. R. and Loylaka S., 1991; Williams M. M. R., 1986). Una alternativa de resolución es discretizar dicha ecuación en grupos de tamaños de partículas y considerar al aerosol distribuido espacialmente en forma homogénea, de forma tal de contrapesar la complejidad agregada al tener que resolver tantas ecuaciones como grupos de tamaño de partículas se modele. Es decir se considera la concentración de partículas para cada grupo en forma discreta, Nk(t), como una función del tiempo, siendo k el número de grupos de volúmenes en que se divide el espectro de partículas. Aunque esta forma puede ser considerada como una rigurosa representación del sistema, es realmente limitante tratar con ecuaciones discretas debido al enorme rango de volúmenes a considerar, (Seinfeld J. H., 1998), ya que se suelen abarcar, durante una evolución de una población de aerosoles, diámetros con una diferencia de hasta 3 órdenes de magnitud. El problema puede complicarse aún más si se incorpora el modelado de la componente espacial. Por otro lado un problema reconocido en dicha técnica de modelado seccional es la difusión numérica a través de los bordes de cada grupo de volúmenes (Whitby, 1997; Seigneur et al., 1986). Gelbard (1990) resolvió parcialmente este problema de crecimiento puro de cada grupo de volumenes en que discretiza la distribución en tamaño, desarrollando una técnica de bordes móviles, pero ésta no puede ser aplicada cuando el proceso incluye coagulación. Un método atractivo propuesto para la resolución de la ecuación integro-diferencial que describe la dinámica de aerosoles que reduce el costo computacional es el Método de los Momentos, en donde se asume o prefija una forma funcional para describir la distribución del tamaño de una población de partículas. La base racional de la solución de la ecuación general por dicho método es que la forma funcional de la distribución permanecerá válida a lo largo de

18 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles la historia del aerosol. La evolución de la distribución del tamaño de las partículas se verá descripta a través de la variación temporal de los parámetros de la forma funcional adoptada. Esta distribución deberá satisfacer los primeros momentos de la ecuación de balance -tantos parámetros como tenga dicha distribución-, lo cual conduce a ecuaciones diferenciales relativamente más sencillas. En la mayoría de las situaciones, en donde no hay más de una fuente de partículas o reacciones químicas que puedan hacer que dicha distribución posea varios máximos, los distintos mecanismos físicos actuantes harán que la distribución en tamaño sea del tipo unimodal. Los mecanismos de coagulación y condensación hacen que el tamaño de la partícula crezca. Por otro lado la evaporación lleva a una disminución del volumen medio al igual que la sedimentación o impacto por inercia en estructuras o filtros, ya que estos dos últimos mecanismos remueven a aquellas de mayor tamaño. La rotura de cadenas de partículas generadas por el mecanismo coagulación también limita el tamaño de los mismos. La difusión, preponderante cuando las partículas tienen diámetros inferiores a las décimas de micrón, hace incrementar la remoción de éstas en superficies y filtros. En general todos estos fenómenos físicos llevan a que la distribución en tamaño posea un único máximo. Shumann en 1940, en los inicios del estudio de aerosoles, sugiere que “desde la naturaleza del problema uno se inclina a suponer que debería haber una tendencia a aproximar una misma distribución asintóticamente, sin importar cual pudiera ser la condición inicial”. Swift y Friedlander (1964) analizaron la posibilidad de que la evolución de los aerosoles preserve la forma funcional de la distribución en tamaño con el tiempo y concluyen que esto es posible en fenómenos como la coagulación y la condensación, mientras que para la sedimentación pura no hay forma de que la forma funcional se preserve en el tiempo, es decir su forma cambia de un tipo de distribución a otra. Es más, como se explicará más adelante en este capítulo, dicha función se verá recortada en los volúmenes mayores, constituyendo ésta una de las limitaciones del método. Por otro lado, bajo hipótesis de distribución espacial homogénea de los aerosoles Seigneur et al. (1986) demostraron, para varias situaciones de interés involucrando coagulación Browniana y condensación, que el método de los momentos se compara favorablemente con los métodos más intensivos desde el punto de vista de computo, como el J-Space (Williams M.M.R. y Loyalka S., 1991) o el seccional –en donde se discretiza la distribución en tamaño. Barrett et al. (1998) comparan, bajo la misma hipótesis de homogeneidad que los autores anteriores, al método de los momentos con la resolución con elementos finitos (método seccional), y concluyen que da resultados con precisión comparable con esquemas más complicados, siendo este método es más fácil de implementar. Kielkiewcz M (1994), analizó la precisión del método de los momentos comparando la solución obtenida con este método y soluciones exactas de evoluciones temporales de aerosoles bajo hipótesis de homogeneidad espacial cuando sólo actúan condensación y remoción, concluyendo que el método asegura errores pequeños, aún cuando los primeros momentos cambian en varios órdenes de magnitud en el intervalo de tiempo analizado y que puede ser usado con garantía para modelar la dinámica de aerosoles. Un avance en la caracterización de distribuciones multimodales -distribución en tamaño compuesta de múltiples poblaciones de aerosoles y cada una originada en distintas fuentes- es el método denominado “Modal Aerosol Dynamics”, que asume un ensamble de dos distribuciones lognormales y desarrolla un modelo usando el Método de los Momentos con la hipótesis de homogeneidad espacial (Whitby, 1997).

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 19 1.1 PROPUESTA

En el presente trabajo, para la resolución de la ecuación general de dinámica de aerosoles, se propone utilizar el Método de los Momentos, empleando una función prefijada para la distribución de tamaño de partículas, a fin de obtener ecuaciones diferenciales de convección-difusión con fuente más fácilmente resolubles. La distribución en volumen de las partículas, n(z,t,v), seleccionada para formular el presente modelo de dinámica de aerosoles es la distribución de Poisson debido a su simplicidad, pues queda determinada por sólo dos parámetros. Otros autores como M.M.R. Williams y S. Loyalka (1991) o Simpson D. R. (1989), han propuesto distribuciones como la Log-normal, la gama y la gamma modificada, de forma tal de tener más flexibilidad para describir a una población dada al tener éstas un mayor número de parámetros. En particular, el uso de la Log-normal se debe a su característica que permite obtener algunas soluciones analíticas o que es más fácilmente integrable.

Como uno de los objetivos de este trabajo es investigar el comportamiento espacial de los aerosoles, modelando los gradientes de concentración, se agrega una mayor complejidad en la resolución numérica respecto de la resolución estándar del problema que considera homogeneidad espacial; por lo tanto la selección de la distribución de Poisson en parte compensa dicho incremento de la complejidad, sin resignar por este hecho calidad en el modelado. En particular se sospecha que la búsqueda de otras distribuciones en parte tendría su origen en la hipótesis de homogeneidad en la distribución espacial de los aerosoles. De todos modos el modelo puede ser extendido utilizando otro tipo de distribución. 2 MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN DE POISSON En la presente sección se describe el modelo desarrollado para simular la evolución de aerosoles en base al Método de los Momentos. Se presenta inicialmente el modelado unidimensional, correspondiente a la dirección vertical, coordenada z. Bajo esta hipótesis la ecuación general de dinámica de aerosoles (I.1) se reduce a:

)v,t,z(St

)v,t,z(nt

)v,t,z(n

)v,t,z(nz

)v(Dz

)]v,t,z(n)v,t,z(U[zt

)v,t,z(n

coagcrec+

∂∂+

∂∂+

=∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

(II. 1)

Si se quisiese incluir la deposición en una superficie perpendicular a la dirección axial, por ejemplo modelar la deposición por difusión, termoforesis o difusioforesis en las paredes de un tubo, estas pueden ser incluidas en el término fuente/sumidero S(z,t,v) y modeladas según (I.4) en la posición axial deseada. La forma funcional que se propone para caracterizar la distribución en volumen de los aerosoles, como ya se mencionó, es la de Poisson de primer orden:

0v/v

00 e

vvn)v,t,z(n −= (II. 2)

20 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles donde v es el volumen del aerosol y “no” y “vo” son parámetros arbitrarios que dependen de z y t. Tomando el momento de orden cero de la ecuación (II. 2), se obtiene:

000

/

0

0

00

0 vndvevvndvnM vv

∫∫∞

−∞

=== (II. 3)

M0 es el número total de partículas por unidad de volumen, denominado “densidad espacial de partículas” o “concentración” y se lo identifica con la letra griega “ρ”, siendo función de z y t. El momento de orden uno de dicha distribución resulta:

200

0

/2

0

0

01 20 vndvev

vndvnvM vv

∫∫∞

−∞

=== (II. 4)

que representa a la fracción del volumen ocupado por las partículas, y se lo identifica con la letra griega “ε”. El valor medio del volumen de las partículas en términos de los momentos de orden cero y uno es:

00

1 v2MMv == (II. 5)

De las ecuaciones (II.3) y (II.5) es posible evaluar los parámetros “no” y “vo” en términos de ρ(z,t) y v (z,t) y reemplazando su expresión en la distribución de Poisson, ecuación (II. 2), se tiene:

)t,z(vv2

2 e)t,z(v

v)t,z(4)v,t,z(n−

= ρ (II. 6)

Ecuación que relaciona la densidad de partículas de volumen v, con la densidad y volumen medio de la población total. También es posible rescribir los momentos de orden cero y uno, como:

)t,z()t,z(v)t,z(M

)t,z(M

1

0

ερ

ρ

==

= (II. 7)

A continuación se obtienen las ecuaciones de balance para las variables ρ(z,t) y ε(z,t) que surgen de reemplazar la distribución de Poisson para el tamaño de las partículas, ecuación (II.6) en la ecuación (II. 1) y tomar luego los momentos de orden cero y uno.

2.1 MOMENTO DE ORDEN CERO

Integrando la Ecuación (II.1) para todos los volúmenes de partículas se tiene:

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 21

∫

∫ ∫∫∫∫

∞

∞ ∞∞∞∞

+

++∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂

0 crec

0 0 coag000

dvdtdn

dvdtdndvSdv)

znD(

zdv

z)nU(dv

tn

(II. 8)

Por simplicidad se obvia en n y U la escritura de su dependencia de z, t, v; en “ρ y ε” de su dependencia de z y t, y en D de su dependencia con v. Usando la definición de ρ se rescribe la ecuación anterior en términos más adecuados, correspondientes a un ecuación de convección difusión con fuente:

ρρρρ ρρρ SC

z)D(

z)U(

t 2

2

+=∂

∂−

∂∂

+∂∂ (II. 9)

En donde se han definido las siguientes expresiones:

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnDDρ ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnUU ρ ;

dvdtdnC

coag∫

∞

=0

ρ ; ∫∞

=0

dvSSρ

(II. 10)

2.2 MOMENTO DE ORDEN UNO

Tomando el momento de orden uno de la Ecuación (II.1), se obtiene:

∫

∫ ∫∫∫∫

∞

∞ ∞∞∞∞

+

++∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂

0 crec

0 0 coag000

dvdtdnv

dvdtdnvdvSvdv)

znD(vdv

z)nu(vdv

tnv

(II. 11)

Empleando la definición de ε, la ecuación anterior se rescribe de la siguiente manera:

εεεε εεε GS

z)D(

z)U(

t 2

2

+=∂

∂−

∂∂

+∂∂ (II. 12)

En donde:

22 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvnv

dvnDvDε ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvnv

dvnUvUε ;

dvdtdnvG

crec∫

∞

=0

ε ; ∫∞

=0

dvvSSε

(II. 13)

Las ecuaciones en derivadas parciales (II. 9) y (II. 12), acopladas y no-lineales, permiten obtener la evolución de ρ(z,t) y ε(z,t) que caracterizan el estado del sistema de aerosoles. El momento de orden cero representa la variación temporal de la densidad de partículas y es por ello que el término de condensación no aparece, dado que este mecanismo sólo afecta la masa de aerosoles y sí en cambio aparece el de coagulación ya que éste reduce el número de partículas. El momento de orden uno representa la variación de la “fracción de volumen ocupada por partículas” que hay en el recinto considerado. Dicha variable es adimensional y al ser multiplicada por la densidad de la partícula y por el volumen de gas que se considera, representa la masa total de las partículas en dicho recinto. Es por esto que en la ecuación (II. 12) el término de coagulación es nulo ya que la “masa” o la “fracción de volumen” no varían por dicho mecanismo. Sí en cambio aparece el término de condensación y/o evaporación.

2.3 TÉRMINO DIFUSIVO

Para modelar el término difusivo se propone el coeficiente de difusión correspondiente a la difusión Browniana de partículas en un gas, dado por la relación de Stokes-Einstein, (Wilson R., 1985 ), en donde se asume que el tiempo de relajación de la partícula es menor que el tiempo entre fluctuaciones debido a su interacción con las moléculas del fluido que la rodean (Seinfeld John H., Pandis Spyros N., 1998):

d3CTKD c

µπ= (II. 14)

Donde: T = temperatura K = constante de Boltzmann

µ = viscosidad del gas Cc = factor de Cunningham d = diámetro de la partícula Cc tiene en cuenta la corrección por deslizamiento o por efectos de que el aerosol se encuentra en un medio continuo, sometido a impactos moleculares. Su inclusión en el modelo debe ser considerada cuando se modelan partículas con diámetros del orden de decenas de los nanometros. Cc depende del diámetro d de la partícula y de λ, el camino libre medio del gas:

)]/55.0(exp4.0257.1[)/2(1 λλ ddCc −++= (II. 15)

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 23 En principio se supone Cc = 1, esto es razonable para tamaños de partículas del orden o mayores que 0.5 µm. Para la obtención de los coeficientes Dρ y Dε es conveniente expresar (II. 14) en función del volumen v de la partícula, resultando:

3/1−= vD α ; µπ

α 3/2183.0 TK= (II. 16)

2.3.1 Cálculo del coeficiente Dρρρρ

Utilizando la definición de Dρ, ecuación (II. 10) y utilizando las ecuaciones (II. 6) y (II. 16) se tiene:

dvevv

tzD vv

o

/23/22

4),( −∞

∫= αρ (II. 17)

La solución de este tipo de integrales son las funciones Gamma, resultando para este caso:

3/52 )/2()(4),( 3/5

vvtzD −

Γ= αρ (II. 18)

Resolviendo, finalmente se obtiene:

3/1135.1),( −= vtzD αρ (II. 19)

2.3.2 Cálculo del coeficiente Dεεεε

Partiendo de la definición Dε , ecuación (II. 13) y empleando las ecuaciones (II. 6) y (II. 16), se tiene que:

dvevv

tzD vv

o

/23/52

4),( −∞

∫= αε

(II. 20)

Integrando:

3/82 )/2()3/8(4),(

vvtzD Γ= α

ε (II. 21)


3/1946.0),( −= vtzD αε (II. 22)

2.4 TÉRMINO CONVECTIVO

El término convectivo de la ecuación general de dinámica de aerosoles modela el transporte de partículas por el movimiento del gas y la velocidad de sedimentación por acción de la gravedad. En el presente tratamiento unidimensional la dirección de la velocidad del gas portador de las partículas (u(z,t)) tiene la misma dirección que la velocidad de las partículas

24 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles (Vs(v)). Si se desea modelar conductos horizontales, la remoción por sedimentación se puede incluir en el término S(z,t,v). La velocidad de sedimentación de las partículas está dada por la velocidad de Stokes en donde se desprecian los términos inerciales, es decir se asume que las partículas “nacen” con la velocidad de estado estacionario o terminal (Zoulalian A., 1995):

2ps d

18g

)v(Vµρ

= (II. 23)

en donde µ es la viscosidad del gas, ρp la densidad de la partícula y d su diámetro. Dicha expresión es válida para Reynolds (Re) de la partícula (longitud característica: diámetro) menores que la unidad, de no ser así, correcciones para el coeficiente de arrastre deben ser introducidas. Por ejemplo, esta corrección debiera aplicarse para partículas con diámetros mayores que 50 µm en aire a presión atmosférica. Por otro lado en dicha expresión no se incluye la corrección cuando el tamaño de la partícula se aproxima al camino libre medio de las moléculas en al aire, por estar fuera del alcance del presente modelo o rango de aplicación esperado del mismo. Para caracterizar a la dinámica de la partícula se suele utilizar la constante de movilidad, B, régimen de Stokes, definida a partir del cociente entre la velocidad terminal y la fuerza aplicada sobre la partícula:

FVB s= (II. 24)

En este caso la fuerza es el peso de la partícula. El producto de la constante de movilidad por la masa de la partícula, mp, es una magnitud frecuente en la mecánica de aerosoles y útil para el análisis de su dinámica. Ésta tiene unidades de tiempo y se la conoce como tiempo de relajación, τ. En términos del diámetro de la partícula se tiene que:

2

18dBm p

p µρ

τ == (II. 25)

Este tiempo caracteriza al requerido por una partícula para ajustarse o relajar su velocidad a una nueva condición de fuerzas. El tiempo para alcanzar la velocidad terminal se evalúa como tres veces el tiempo de relajación. Por ejemplo para gotas de agua con diámetros de 1 y 10 micrones vale 1.1 10-5 y 9.4 10-4 segundos, respectivamente. Estos valores sustentan la hipótesis de que la partícula “nace” con su velocidad terminal. La expresión de la velocidad, ecuación (II.23), en términos de la variable de interés, el volumen de la partícula, es:

3/2)( vVvV fs = ; µ

ρπ

gV p

f 92

43 3/2

= (II. 26)

La velocidad de la partícula resultante es U(z,t,v) y es igual a la suma de las velocidades del gas y de sedimentación:

)v(V)t,z(u)v,t,z(U s+= (II. 27)

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 25 2.4.1 Cálculo del coeficiente Uρρρρ

Utilizando la definición de Uρ , ecuación (II.10) y las ecuaciones (II.6), (II. 26) y (II. 27), se tiene que:

∫∞ −

+=0

23/5

2

4),(),( dvev

vV

tzutzU vv

fρ (II. 28)

Resolviendo resulta:

3/2947.0),(),( vVtzutzU f+=ρ (II. 29)

2.4.2 Cálculo del coeficiente Uεεεε

Utilizando ahora la definición de Uε , ecuación (II.13) y las ecuaciones (II.6), (II. 26) y (II. 27), se tiene que:

∫∞ −

+=0

23/8

3

4),(),( dvev

vV

tzutzU vv

fε (II. 30)

Integrando resulta:

3/2263.1),(),( vVtzutzU f+=ε (II. 31)

2.5 TÉRMINO DE CONDENSACIÓN

El fenómeno de condensación hace que las partículas crezcan, produciéndose un desplazamiento del espectro en volumen hacia valores mayores, (Seinfiel, Capítulo 12, 1998). Este es un fenómeno que puede dominar en la fase temprana de un accidente jugando un papel relevante en el crecimiento de las partículas, y por lo tanto favoreciendo los procesos de coagulación gravitacional y sedimentación, (Stock, J.D.R., 1987; Hontañon E., 1993). Se supone en este trabajo que el aerosol y el vapor que condensa son de la misma especie. De no ser así se debería realizar un seguimiento de la masa de la partícula y del líquido condensado, a través de ecuaciones de balance. Se define a Iv(v) como la razón de cambio de volumen de una partícula de volumen v debido a la transferencia de masa desde la fase gaseosa a la líquida, depositada sobre la partícula, y se puede expresar como

)(63.3

)(

,

32

3/1

iepip

iic

cv

PpTR

MDGcon

vGvIdtdv

−=

==

ρπ

(II. 32)

donde Di es el coeficiente de difusión de la especie “i” en aire, Mi es el peso molecular, y R la constante de los gases ideales. La diferencia entre la presión de vapor lejos de la partícula de la

26 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles especie “i”, pi, y la presión de equilibrio del vapor, peq,i, genera la fuerza impulsora para el transporte de dicha especie. Lo que interesa evaluar es el cambio de la población n(v, z, t) debido a condensación, es decir:

condt)t,z,v(n

∂∂

Si se considera del mencionado espectro, una “rodaja” en torno del volumen arbitrario “v”, delimitado por (v-∆v/2, v+∆v/2), se tiene que el número de partículas en ella al tiempo t y posición z, es n(v,z,t) ∆v. Como resultado de la condensación y del consiguiente crecimiento, las partículas “entran” desde la izquierda y “salen” por la derecha. La tasa instantánea de entrada desde la izquierda es proporcional al número de partículas en el borde izquierdo de dicha “rodaja” y a su tasa de crecimiento Iv(v-∆v/2, t). Por la derecha se tiene que la salida hacia volúmenes mayores es igual a n(v+∆v/2, z, t) Iv(v-∆v/2, t). Luego de un período de tiempo ∆t, el número de partículas dentro de está rodaja cambiará de n(v, z, t) ∆v a n(v, z, t+∆t) ∆v. Esta variación del número será igual al flujo neto hacia la rodaja durante dicho período, resultando (se omite la dependencia espacial por razones de simplicidad solamente):

t)t,2/vv(n)t,2/vv(It)t,2/vv(n)t,2/vv(I

v)t,v(nv)tt,v(n

vv ∆∆+∆+−∆∆−∆−

=∆−∆∆+ (II. 33)

Reagrupando los términos y tomando los límites para ∆v y ∆t, tendiendo a cero se tiene:

v)t,2/vv(n)t,2/vv(I)t,2/vv(n)t,2/vv(I

lim

t)t,v(n)tt,v(nlim

vv0v

0t

∆∆−∆−−∆+∆+

−

=∆

−∆+

→∆

→∆

(II. 34)

y como los límites son por definición igual a las derivadas parciales se tiene finalmente, incluyendo de nuevo la notación de la dependencia espacial, que:

)]t,z,v(n)t,z,v(I[vt

)t,z,v(nv∂

∂−=∂

∂ (II. 35)

2.5.1 Cálculo del coeficiente Gεεεε

Utilizando ahora la definición de Gε , ecuación (II.13) y la ecuación (II. 35), resulta:

∫∞

∂∂−=

0v dv)]t,z,v(n)t,z,v(I[

vvGε

Reemplazando la tasa de condensación, e integrando por partes, se obtiene:


∫∞ −

=0

vv2

3/42

c dvevv

G4G ρε (II. 36)

Resolviendo se tiene:

3/1943.0 vGG c ρε = (II. 37) O en términos de ε y ρ:

3/13/2943.0 ερε cGG = (II. 38)

2.6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN

El término de coagulación se usa para describir el proceso de adhesión o unión de dos partículas cuando ellas se tocan. Tal colisión ocurre debido a la existencia de una velocidad relativa entre ellas. Los diferentes mecanismos de coagulación presentan distintas dependencias con tamaño de los aerosoles, (Payne J.F.B. y Skyrme G., 1993; Williams M.M.R., Loyalka S., 1991). Coagulación por movimiento Browniano generalmente domina cuando las partículas tienen un tamaño pequeño (menor que el micrón) y la concentración es elevada. Coagulación por sedimentación (distinta velocidad de caída de las partículas que interactúan por acción de la gravedad) domina en concentraciones relativamente bajas y con tamaños mayores de partículas. Otro mecanismo de coagulación es el originado por la turbulencia del gas, en donde domina la inercia de las partículas. Los distintos procesos de coagulación existentes entre las partículas se modelan a través del núcleo de coagulación K(u, v). Este núcleo se lo puede interpretar como la “probabilidad” de que dos partículas de volumen u y v colisionen. Se realizan además correcciones debido a la influencia del fluido en la colisión (fuerzas hidrodinámicas), fuerzas electrostáticas y otras, ya a que estos efectos no están considerados en los núcleos de coagulación entre dos partículas y se introducen como factores de eficiencia, que en el presente trabajo por simplicidad se asumen unitarios. Por otro lado es importante mencionar que las expresiones analíticas para los distintos mecanismos de coagulación a utilizar fueron desarrolladas bajo hipótesis que implican ciertas limitaciones (Williams y Loyalka, 1991). Las principales son:

1. Todas las partículas son esféricas antes y después de la colisión. 2. Los mecanismos de coagulación son aditivos.

La primer hipótesis parece ser la más fuerte. Formas distintas a la esférica aumentan la fuerza de arrastre y por lo tanto se reduce la velocidad de sedimentación. Por otro lado aumenta la sección eficaz de colisión, afectando también la coagulación. El factor de eficiencia generalmente reduce el ritmo de coagulación. Estos factores son empíricos y una validación experimental es necesaria. En el presente trabajo se asume que la partícula resultante es esférica, hipótesis válida si se encuentra en estado líquido. La segunda fuente potencial de errores se origina en la suposición de aditividad de la tasa de coagulación de los distintos mecanismos actuantes, esta es una práctica comúnmente utilizada.

28 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles La racionalidad debajo de esta hipótesis es que un mecanismo domina sobre los restantes, tal es el caso de coagulación Browniana y gravitacional, la primera dominará ampliamente para partículas por debajo de las décimas de micrón y la gravitacional por sobre este valor, sin embargo la naturaleza de esta aproximación no es clara (Williams & Loyalka, Sección 4.10, 1991). Este error puede llegar a ser alrededor del 30 % en el peor caso respecto de la solución exacta correspondiente a los mecanismos de coagulación Browniano y gravitacional. Finalmente, en la mayoría de los casos se espera que para una dada condición hidrodinámica un mecanismo domine sobre los otros y por lo tanto esta hipótesis no introducirá grandes errores. Errores mucho más significantes resultarán del uso de correlaciones derivadas u obtenidas para geometrías relativamente simples a la geometría compleja de un reactor nuclear y para las condiciones en donde las propiedades de las partículas y las condiciones del fluido no son bien conocidas. (Wilson R. 1985; Williams M.M.R., 1986)

2.6.1 Coagulación Browniana

Debido a los impactos aleatorios de las moléculas del gas, las partículas pequeñas describen un movimiento aleatorio. Este comportamiento puede ser predicho a través del mecanismo de difusión Browniano, (Williams M.M.R., Loyalka S, Capítulo 4, 1991). Si el tamaño de las partículas es mucho mayor que el camino libre medio molecular, se puede asumir que el movimiento de la partícula está gobernado por mecanismos hidrodinámicos clásicos y el núcleo de coagulación se expresa como:

)rr()DD(4)v,u(K 2121B ++= π (II. 39) donde r1 y r2 son los radios de las partículas de volumen u y v respectivamente, y D1 y D2 los correspondientes coeficientes de difusión de dichas partículas en el gas. En función de los volúmenes u y v, la expresión anterior resulta:

( )µ3

2;2,3131 TkCcon

uv

vuCvuK BBB =

+

+= (II. 40)

El término Cρ , ecuación (II. 10), se obtiene tomando el momento de orden cero de la expresión general de coagulación (I.2), en donde se le agrega el supraíndice B para distinguir al presente mecanismo modelado:

duunvuKdvvnduuvnunvuvKdvCv

oB

o

v

oB

o

B )(),()()()(),(2

1∫∫∫∫

∞∞

−−−=ρ (II. 41)

Tomando además el momento de orden uno y sabiendo que éste es nulo, ya que por coagulación la masa se conserva, se tiene que:

duunuvKdvvuvduunuvnuuvKdvvv

oB

o

v

oB

o)(),()()()(),(

2

1∫∫∫∫

∞∞

=−−

(II. 42)

con n(z,t,v) reescrito de la siguiente manera:

bvevbn −= ρ2 ; v/2b = (II. 43)

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 29 se puede evaluar en la ecuación (II. 42) la integral cuyos extremos varían entre 0 y v, sin tener que resolverla directamente. Substituyendo n(v,z,t) en dicha ecuación se obtiene:

dueubvuKebvdueuvuuuvKbdvv bu

oB

bv

o

bvB

v

oo

−∞

−∞

−∞

∫∫∫∫ =−− ρρρ 22224 ),()(),(2

1

(II. 44)

Simplificando se tiene que:

dueuvuKevduuvuuuvKdvev bu

oB

bv

o

v

oB

bv

o

−∞

−∞

−∞

∫∫∫∫ =−− ),()(),( 2

2

1 (II. 45)

Por las características del núcleo de coagulación la integral entre 0 y v, se puede expresar como:

3)(),( vcduuvuuuvKv

oB =−−∫ (II. 46)

y definiendo:

dueuvuKvf bu

oB

−∞

∫= ),()( (II. 47)

Reemplazarlo (II. 45) y (II. 45), en la ecuación (II. 45), se tiene:

dvevfvdvev bv

o

bv

o

c −∞

−∞

∫∫ = )(24

2 (II. 48)

Integrando resulta:

dvevfvbc bv

o

−∞

∫= )(12

25

(II. 49)

Reordenando la ecuación del momento de orden cero, (II. 41), y reemplazando la integral definida entre 0 y v, por c v3 tenemos:

−= ∫ ∫∞ ∞

−−

o o

bvbvB dvvfevdvevcbC )(2

324ρρ (II. 50)

Resolviendo:

−= ∫∞

−

o

bvB dvvfevb

cbC )(34

24ρρ (II. 51)

Reemplazando, luego, c por su equivalente se tiene:

−= ∫∫∞

−−∞

o

bvbv

o

B dvevfvdvevfvbbC )()(4

224ρρ (II. 52)

Resolviendo ahora f(v) y utilizando el núcleo de coagulación Browniana se tiene:


dueuuv

vuKTvf

o

bv∫∞

−

+

+=3/13/1

23

2)(µ

(II. 53)

Esto es:

Γ+Γ+= )()(2

32)( 3/5

3/73/5

3/1

3/13/72 bv

vbbKTvfµ

(II. 54)

Reemplazando f(v) en la ecuación de BCρ y resolviendo las integrales a través de funciones gamma se obtiene:

2

320745.2 ρµρTKC B −= (II. 55)

Para partículas en aire resulta:

216B 10x18.3C ρρ−−= (II. 56)

2.6.2 Coagulación por sedimentación

Los aerosoles al estar sometidos al efecto de la gravedad sedimentan y debido a su dispersión en tamaño tienen distinta velocidad de caída. Esto produce choques que conducen a la coalescencia. Para este mecanismo de coagulación el núcleo KG puede escribirse de la siguiente forma (Williams M.M.R., Loyalka S, Capítulo 4, 1991):

|VV|)rr()r,r(K 2s1s2

2121G −+= π (II. 57)

Es decir el núcleo de coagulación es proporcional a la sección transversal de las partículas en consideración (radios r1 y r2) y a la velocidad relativa entre ambas. Vs es la velocidad de sedimentación, que según la ley de Stokes se puede expresa como:

rgmVs µπ6

= (II. 58)

Reemplazando la expresión de la velocidad en (II.57) y rescribiendo en función de los volúmenes u y v de las partículas que colisionan y de la densidad de las mismas se tiene:

( ) ( ) 3/23/223/13/1, vuuvCvuK grG −+=

con: 3/1

43

6

=πµ

ρ gC p

gr

(II. 59)

El término GCρ se obtiene tomando el momento de orden cero de la ecuación (I.2):


duunvuKdvvnduuvnunuuvKdvCo

Go

v

oG

o

G )(),()()()(),(5.0 ∫∫∫∫∞∞∞

−−−=ρ (II. 60)

Para el cálculo de GCρ se resolverán las integrales de los núcleos de coagulación de cada sumando de la ecuación anterior por separado y luego se tomará el momento. Por lo tanto en forma simplificada se tiene:

dvIIvndvICoo

G )(∫∫∞∞

−=ρ (II. 61)

Escribiendo n(v) como:

bvevbn −= ρ2 con v/2b =

Se tiene que la integral I es:

[ ]∫ −−−+−=v

oduuuvuuvuuvAI )()()(5.0 3/13/123/13/1 ; (II. 62)

con: bv

gr24 eCbA −= ρ

Como la integral está definida entre 0 y v se puede eliminar el valor absoluto si se rescribe de la siguiente manera:

( )( ) ( )[ ] ( ) duuuvuuvuuvAIv

o−−−+−= ∫ 3/23/2

2/ 23/13/1 (II. 63)

en donde se elimina el factor 0.5 ya que la integral se toma entre 0 y v/2. Desarrollando se llega a:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] duuuvuuvuuvuuvAIv

o∫ −−−−−+−=2/

3/723/43/423/7 22 (II. 64)

Integrando por partes y luego de una cuidadosa resolución, finalmente se obtiene que:

3/1306175.0 vAI = (II. 65) La integral II, luego de utilizar la ecuación (II. 59) y la expresión de n(v), resulta:

( )∫∞

−−+=o

bvgr dueuvuuvbCII 3/23/223/13/12 ρ (II. 66)

que puede rescribirse como:

( ) ( ) ( ) ( )

−++−+= ∫∫∞

−−

v

bvv

o

bv dueuvuuvdueuuvuvBII 3/23/23/13/13/23/223/13/1 (II. 67)

Donde, ρ2bCB gr= . Sumando y restando:


( ) ( )∫ −−+v

o

bu dueuvuuv 3/23/223/13/1 (II. 68)

en la ecuación previa, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )

−++−+= ∫∫ −∞

−v

o

bu

o

bu dueuuvuvdueuvuuvBII 3/23/223/13/13/23/223/13/1 2

(II. 69)

Si definimos la integral del primer sumando como II1 y la del segundo como II2, se tiene que: II = B (II1 + II2 ) a) Resolución de la integral II1:

Desarrollando se tiene que:

( )∫∞

−++−−=o

bu dueuuvuvuvII 3/723/13/43/41 22 (II. 70)

Luego de integrar se llega a:

( ) ( ) 3/1033/73/4

211

9204

381

3/43/4bbb

Vvb

II Γ++Γ−−=

(II. 71)

b) Resolución de la integral II2: Desarrollando se tiene que:

dueuuvvuuvII buv

o

−∫ −−+= )22( 3/723/13/43/42 (II. 72)

La integral de los sumandos que contienen potencias enteras de u tiene solución analítica, las restantes, con potencias fraccionarias de u, se resuelven numéricamente. Por lo tanto resulta:

( ) ( )

−+

−−−

−−−−=

−−−22

12

02

0

23/1

02

3/42 12212 IIIIbu

be

bbeuvbu

bevII

vbuvbuvbu

(II. 73)

Donde II1

2 corresponde a la integral con potencia 4/3 de u y II 22 a la integral con potencia a

la 7/3,


( )

−+−

++++−−= −−−

−

22

12

3/13

3/13

3/42

23/1

2

3/4

23/4

2

4

44212

IIIIvb

evb

veb

eb

vvb

vbvb

evII bvbvbvbv

(II. 74)

Reagrupando:

−+−+

+++−−= − 2

212

3/132

3/43/1

33/4

23/7

2

3/43/7

244422 IIIIvbb

vvb

vb

vbb

vb

veII bv (II. 75)


−+−+

++= − 2

212

3/132

3/43/1

33/4

2

3/7

24432 IIIIvbb

vvb

vbb

veII bv (II. 76)

Rescribiendo la ecuación (II. 61) con las integrales I y II, se tiene:

dvIIIIBvndvICoo

G )()( 21 +−= ∫∫∞∞

ρ (II. 77)

Y reemplazándolas por sus expresiones, se obtiene:

( )

−−= ∫

∞−

o

bvG dvevIIIIvBbC 22

12

3/162 2055.0ρρ (II. 78)

Las integrales:

∫∫∫ −∞

−−∞

=v

o

bu

o

bvbv

odueuvdvevdvevII 3/41

2 2

dvdueuevdvevII bu

o

v

o

bvbv

o

−∞

−−∞

∫ ∫∫ = 3/722

(II. 79)

se resuelven numéricamente, obteniéndose el siguiente resultado:

3/1612 07355.0 vdvevII bv

o=−

∞

∫

3/1622 0182.0 vdvevII bv

o=−

∞

∫ (II. 80)

Finalmente reemplazando en (II. 78) las ecuaciones (II. 80) y sustituyendo B por su igual, se obtiene:

23/4gr

G vC9835.0C ρρ −= (II. 81) Que, expresada en términos de ε y ρ, resulta:

323/49835.0 ρερ grG CC −= (II. 82)

34 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles 3 MODELO NUMÉRICO Para la resolución de las ecuaciones de balance, del tipo convección-difusión, no homogéneas, se usa la técnica de diferencias finitas. Para ello se discretiza el dominio temporal [0, Tfin] en intervalos de tiempo ∆t, siendo i un nodo genérico del mismo y el dominio espacial [0, L] en intervalos espaciales ∆z, siendo j un nodo genérico del mismo. Se han ensayado distintos esquemas numéricos como el explícito (condicionalmente estable, orden de consistencia O(∆t, ∆z)), implícito (incondicionalmente estable, O(∆t, ∆z)),), o esquemas de paso múltiple (predictor-corrector) como el de Lax-Wendroff, (Marshall G., 1985; Le Veque R., 1994; Hirsh C., Vol 1 y 2 1992). Como es natural del esquema explícito se requiere un paso de tiempo pequeño y menor que el de Courant (limitación originada por el término convectivo) de forma tal de que el esquema sea estable. Un esquema implícito permitiría relajar dicho paso de tiempo pero, precisamente por el tipo de término fuente (coagulación) y su acople con la sedimentación, la solución presenta diferencias importantes en los resultados con el esquema explícito. Si se desea reducir dicha diferencia se termina con pasos de tiempo comparables con el explícito perdiéndose por lo tanto la ventaja que ofrece el método implícito. En cuanto al tratamiento numérico del término convectivo, la aproximación “aguas arriba” con un esquema explícito, permitiría reproducir la solución exacta, eliminando prácticamente la difusión numérica si el Courant fuera lo suficientemente cercano a uno (Courant =1 implica difusión numérica nula, aunque el esquema sería inestable). En el presente caso, con una velocidad de transporte dependiente del escalar que se transporta y con gradientes importantes de dicho escalar, no es factible eliminar la difusión numérica en todo el domino. Un esquema como el de Lax Wendroff usa la aproximación centrada para la derivada espacial del flujo y es de orden dos en tiempo y espacio. Pero, por otro lado, al ser centrado este esquema requiere una condición de contorno numérica (artificial) a la salida (convectivo puro), lo que agrega una complejidad más. En general Lax Wendroff trabaja bien en regiones “suaves” o de gradientes pequeños (Leveque R, 1994). Se programó también este esquema, con una extrapolación de orden cero en el espacio para la condición de borde a la salida y se intentó resolver el problema presentado en la sección III.7.2. Este esquema sin limitadores de flujo predecía concentraciones negativas durante la evolución en presencia de gradientes de concentración importantes o fracciones de masa en suspensión negativas cuando la misma era pequeña, precisamente por incorporar información de “aguas abajo” en donde la concentración y la fracción de masa eran mayores. Limitadores de flujo podrían resolver este problema al menos parcialmente, pero no se indagó dicha alternativa. Finalmente se optó por un esquema semimplícito (O(∆t2)) ya que capta razonablemente los fuertes acoples y no linealidades del sistema, en particular entre coagulación y sedimentación que dependen de la solución del problema, al incorporar la información no sólo del paso de tiempo anterior sino del actual. En particular se usa el esquema semimplícito de Crack-Nicolson (incondicionalmente estable) a excepción del término difusivo cuyo modelado es explícito. También se optó por un esquema “aguas arriba” en el término de las derivadas espaciales de primer orden. El sistema de las ecuaciones numéricas discretas –acopladas- se resuelve en forma iterativa, partiendo del esquema explícito conociendo las condiciones iniciales y de borde, aceptando un error de convergencia del uno por mil. En todos los casos se

Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles - 35 decidió respetar el límite de Courant dado por el término convectivo. En general, los problemas tratados (distintas combinaciones de los fenómenos físicos modelados) quedan representados por ecuaciones hiperbólicas –con o sin fuente- con un término convectivo o de primer orden cuyo peso frente al término disipativo o difusivo –no siempre simulado- es preponderante. Para obtener el modelo numérico el dominio se discretiza en forma equiespaciada. Cada nodo se encuentra ubicado en el centro de un volumen de control y tanto la concentración como la fracción de volumen ocupada por las partículas, corresponden los valores promedio en dicho volumen. Las expresiones discretas de cada uno de los términos de la ecuación para ρ en un nodo genérico, se muestran a continuación, en donde i denota la posición axial del nodo, n el instante de tiempo y los subíndices e y s identifican las caras de entrada y salida del volumen correspondiente a cada nodo. Término temporal:

tt

ni

ni

n

i ∆−

≈∂∂ ++ ρρρ 11

Transporte:

zUU

zUU

zU i

zi

ze

zs

z

i

z

∆−

≈∆−

≈∂

∂ − ])()[(])()[()( 1ρρρρρ ρρρρρ

Difusión:

211

11

)()(2)(

)()()()(

)()(

)(

zDDD

zz

DDz

DD

z

zD

zD

zD

z

iii

iiii

es

i

∆

+−≈

∆

∆−

−∆−

≈

∆

∂∂

−∂

∂

≈

∂∂

∂∂

−+

−+

ρρρ

ρρρρ

ρρ

ρ

ρρρ

ρρρρ

ρρ

ρ

36 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles Término independiente:

i

i

SS

CC

)(

)(

ρρ

ρρ

≈

≈

Finalmente se tiene para la concentración de partículas:

∂∂

−++

+

∂∂

∂∂+

∂∂

−+∆+=

+

+

i,1n

z

i,ni,n

zni

1ni

z)U(

CS5.0

z)D(

zz)U(

CS5.0t

ρρρ

ρρρρ

ρ

ρρρρ

Procediendo en forma análoga para la fracción de volumen ocupada por partículas, se tiene:

∂∂

−++

∂∂

∂∂+

∂∂

−+∆+=

+

+

i,1n

z

i,ni,n

z

eeni

1ni

z)U(

GS5.0

z)D(

zz)U(

GS5.0t

εεε

εε

ε

εεεε

El modelo desarrollado fue programado en un código de simulación en lenguaje FORTRAN 77, y fue denominado TRANSAER-1D. Inicialmente se lee un archivo de entrada de los parámetros de la simulación, se realiza la verificación de coherencia de los mismos, tiene un bloque de inicialización, otro de cálculo y finalmente otro de graficación. Un diagrama de flujo se muestra en la Figura I.1, en donde p representa a las variables concentración y fracción de volumen ocupada por partículas y f(p,z) representa a la ecuación de transporte. En el Apéndice A se muestran dos figuras correspondientes a la simulación del caso de la sección 7.2 (convectivo puro con coagulación: ecuaciones hiperbólicas no lineales y no homogeneas), en donde se comparan los resultados del método de Crank-Nicolson con distinto número de nodos espaciales, mostrando la convergencia de los resultados al aumentar la cantidad de nodos. También se compara para un mismo número de nodos el método explícito con el de Crack-Nicolson. Las diferencias surgen en la zona de mayor variación temporal de los escalares, pero siempre dentro de valores razonables y menores a los que pueden presentarse por la utilización de una nodalización espacial no convergida.


Figura I.1: Diagrama de flujo del esquema de cálculo

Lectura y verificación coherencia de los datos de entrada

Inicialización constantes y parámetros de los modelos

Evaluación explícita de la ecuación de transporte (semilla término implícito):

nn zpftpp ),(* ∆+=

Evaluación semimplicita de la ecuación de transporte

)),(),((5.0 *

1* zpfzpftpp i

nni −+∆+=

¿Convergencia?

ε≤−

−

−*

1

*1

* )(

i

ii

ppp

Iteración de convergencia esquema:

i = i+1

Fin

Avance temporal 1+= nn pp

Avance espacial

t = t + ∆t

No

*1i

n pp =+

38 – Modelo unidimensional de dinámica de aerosoles 4 RESUMEN Y CONCLUSIONES Se ha desarrollado un modelo unidimensional para la resolución de la ecuación de transporte de aerosoles incluyendo los términos de transporte. Los principales mecanismos han sido incluidos, aunque fácilmente podría incluirse otros como la deposición y coagulación turbulenta. Sustentación y termoforesis serán incluidos en el modelo bidimensional, de todos modos estos mecanismos de transporte en la dirección radial, podrán ser modelados luego de una integración radial de la ecuación de balance en el término sumidero. La evaporación puede ser modelada en el término denominado condensación si la presión parcial es menor que la de saturación en el medio de transporte, simplemente cambiará el signo en la correspondiente ecuación constitutiva. En la Tabla II.1 se resumen los términos obtenidos para cada uno de los mecanismos modelados. Las ecuaciones macroscópicas de dinámica de aerosoles obtenidas, ecuaciones (II. 9) y (II. 12), constituyen un sistema de ecuaciones no lineales del tipo convección-difusión, si bien el tratamiento realizado al término difusivo de agrupamiento no resulta con una estructura típica. Para el rango de aplicabilidad del modelo, aerosoles del orden de las décimas del micrón hasta algunas centenas de micrones, el transporte es completamente predominante, (Peclet= U L/D es del orden de 105 a 1013). Entonces el sistema se puede analizar como un sistema hiperbólico, al haber despreciado los términos difusivos, dado que sus autovalores resultan reales y distintos ( uvV728.1;uvV692.0 32

f232

f1 +=+= λλ ) y representan físicamente las velocidades de transporte o propagación de perturbaciones de pequeña amplitud o las pendientes de las líneas características –si el punto de vista es ahora matemático- en el espacio-tiempo. Es por ello que es posible obtener soluciones de invariantes que se transportan sobre dichas características como se verá más adelante. En este problema, dicha velocidad es función o depende de la solución del problema y por lo tanto varía punto a punto. Un estudio sobre las soluciones de las ecuaciones del presente modelo y teniendo en cuenta valores típicos de las variables y parámetros fue realizado por Basombrío F. (1997), analizando las soluciones de ondas viajeras, resaltando que éstas son netamente predominantes. En particular, entonces, para la resolución numérica del presente problema se deberá tener en cuenta que las condiciones de contorno físicas se deberán aplicar a la entrada del ducto o tubería, en donde la información “vendrá” la desde “aguas arriba”, siempre y cuando el problema se limite a sedimentación en con flujo de aire estanco o descendente. Esto último representa condiciones equivalentes a las de flujo supersónico (Hirsch C., Vol. 2, 1992). En caso de flujo de aire ascendente podría darse la situación de que las partículas que son arrastradas hacia posiciones superiores, crezcan por coagulación y debido a su mayor tamaño ya no puedan ser transportadas por el gas y sedimenten. Este último problema no es abordado en la presente tesis.


Coeficientes Poisson Ecuación constitutiva

Uρ ( ) 3/2947.0, vVtzu f+

µρ

πg

V pf 9

243 3/2

=

Uε ( ) 3/2263.1, vVtzu f+

Ley de Stokes

Dρ 3/1135.1 −vα

µπα 3/2183.0 TK=

Dε 3/1946.0 −vα

Difusión Browniana, relación de Stokes-Einstein

GCρ 23/49835.0 ρvCG−

3/1

43

6

=πµ

ρ gC p

G

Coagulación por sedimentación, ley de Stokes

BCρ 20745.2 ρBC−

µ32 TkCB =

Coagulación Browniana, relación de Stokes-Einstein

εG 3/1943.0 vGc ρ

)(63.3

,

32

iepip

iic Pp

TRMDG −=

ρπ

Condensación

Tabla II.1.- Resumen de los coeficientes de cierre del modelo según una

distribución de Poisson

41

CAPITULO III

COMPARACIÓN DEL MODELO Y ANÁLISIS DE LA

DINÁMICA DE AEROSOLES

1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se simulan distintas combinaciones de los fenómenos físicos modelados, desde casos simples a más complejos, tanto en condiciones estacionarias como en transitorias, utilizando el método de los momentos con el código programado denominado TRANSAER-1D. Los resultados numéricos se comparan a modo de verificación tanto del modelo como del método computacional con distintas soluciones analíticas de casos simplificados de la ecuación de aerosoles. Por otro lado esta metodología sirve también para avanzar en forma progresiva en el estudio de la influencia de los distintos fenómenos físicos actuando en forma aislada, para luego pasar a problemas más complejos y facilitar su análisis, en donde los acoples y efectos no lineales son relevantes. Soluciones analíticas pueden hallarse para la evolución temporal de una población de partículas cuando los mecanismos de coagulación Browniana, gravitacional, condensación y sedimentación actúan en forma pura. En condiciones estacionarias puede hallarse la distribución espacial de los aerosoles para los mecanismos de sedimentación y coagulación o sedimentación y condensación actuando simultáneamente. También se realizan comparaciones con datos extraídos de simulaciones realizadas por Williams (1986) con un código de amplio uso en el cálculo de la evolución de los aerosoles en contención en caso de accidentes severos, denominado AEROSIM-UK-AEA (Silberberg, 1979). Este código utiliza la hipótesis de homogeneidad espacial y el método seccional para obtener una solución numérica de la ecuación general de dinámica de aerosoles.

42 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles 2 SEDIMENTACIÓN La ecuación general de aerosoles para el caso de sedimentación de partículas polidispersas actuando como único fenómeno físico, en un recinto sin circulación de aire, se reduce a la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( ) 0t,z,vnt,z,vUzt

t,z,vn =+∂∂

∂∂ (III.1)

donde U(v, z, t) es la velocidad de sedimentación de las partículas con volumen v. Como se supone que éstas nacen con su velocidad final, U depende solamente del volumen. Con la condición inicial n(v, z, 0) = no(v, z) y usando el método de las características, ya que la ecuación (III.1) es del tipo hiperbólica, con la velocidad de transporte del escalar dependiente de la solución del problema, la solución de la ecuación (III.1) es:

( ) ( )( )tvUz,vnt,z,vn o += (III.2)

2.1 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS

Si se supone que inicialmente las partículas tienen una distribución uniforme en z (altura), siendo z = H la parte superior de un recipiente y z = 0 el piso, y además poseen una distribución de Poisson para el volumen de las partículas, la condición inicial se puede expresar de la siguiente manera:

( ) ( )∫ −=H

zo dxxz

HvfNozvn δ)(, (III.3)

Se tiene que la solución de la ecuación de sedimentación (III.2), es:

( ) ( ) ( )( )dxxtvUzvfHNotzvn

H

z−+= ∫δ,, (III.4)

Integrando para los distintos volúmenes de partícula, se obtiene la densidad espacial de las mismas en el recinto considerado:

( ) ( ) ( )( ) dxxtvUzvfdvHNotz

o

H

z−+= ∫ ∫

∞

δρ , (III.5)

Cambiando el orden de integración:

( ) ( ) ( )( ) dvxtvUzvfdxHNotz

o

H

z−+= ∫∫

∞

δρ , (III.6)

Empleando la siguiente relación para la velocidad de las partículas:

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 43

( ) 3/2vVvU f= Y haciendo el siguiente cambio de variables:

tvVy f3/2=

zxy −=*

Resulta:

( ) ( ) ( ) dyyyytV

yfdxtVH

Notzfo

H

zf

*23, 2/1

2/3

2/3 −

= ∫∫

∞

δρ (III.7)

Suponiendo una distribución de Poisson para el volumen inicial de las partículas,

( )

−=

02

0 vv2exp

vv4vf (III.8)

Y reemplazando se tiene:

( ) ( ) ( ) dyyytV

yv

ydxvHtV

Notzfo

H

zf

*2exp16,2/3

0

22

03 −

−= ∫∫

∞

δρ (III.9)

Integrando se obtiene:

( ) ( ) ( )

−−−= ∫2/3

223

2exp16,tVzx

vzxdx

vHtVNotz

fo

H

zof

ρ (III.10)

Definiendo sTt=τ con 32

0vVHT

fs = y reordenando la expresión previa, se llega a la siguiente

expresión para la densidad espacial de partículas:

( ) dxzx

Hz

zx

Hz

HNoz

H

Z

−

−

−

= ∫2/32/3

2/3

22

23 12exp16,ττ

τρ (III.11)

Haciendo el siguiente cambio de variables:

2/31

−=zxξ ; con

zdxd 3/1

23 ξξ =

Se obtiene:

44 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles

( ) ξξτ

ξτ

τρξ

dHz

Hz

HNoz

H

o

−

= ∫2/3

2/3

3

23

2exp4, (III.12)

Donde: 2/3

1

−=zH

Hξ . Integrando por partes la ecuación (III.12) se obtiene finalmente la

solución buscada:

( )

−−

−+−=23

23

23

230 12exp1211,

Hz

Hz

HN

z τττρ (III.13)

2.2 SOLUCIÓN ALTERNATIVA

Para el presente caso de sedimentación a partir de una condición inicial de distribución uniforme de las partículas en el dominio, la solución anterior también se puede obtener a partir de la interpretación directa de la física del problema. Inicialmente en todo el recinto las partículas tienen una distribución de Poisson. A media que empieza a transcurrir el tiempo, las partículas más grandes (mayor velocidad de sedimentación) son las primeras en desaparecer en un volumen dado o posición axial. Si una partícula con un volumen dado está ubicado en la parte superior del recinto, ésta no será reemplazada por partículas similares dado que el contorno superior del recinto está cerrado, es decir que no entran partículas. Por lo tanto la distribución inicial propuesta se irá recortando como se muestra en la Figura III.1, generándose un frente que llamamos de “corte”. Por otro lado, partículas con volúmenes menores que el de corte que se van de una dada posición, son reemplazadas por idénticas que vienen de una posición superior, por lo tanto n(v,z,t) será n(v,z,0) si v < vc, hasta que llegue dicho frente.

S e n tid o d e a v a n c ete m p o ra l d e l f re n te

v c

V o lu m e n

Figura III.1: Distribución de una población de partículas con sedimentación pura en donde se visualiza el corte debido a la falta de partículas por remoción por sedimentación y el avance

temporal del volumen de corte

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 45 Entonces, luego de un tiempo arbitrario t después de iniciado el transitorio, llega a la posición genérica z la partícula que estaba en H con un volumen que llamamos de corte, vc, dado que ésta sería la última partícula con ese volumen en aparecer en dicha posición z. En función de la velocidad de sedimentación de dicha partícula, se puede escribir la siguiente relación:

tzH)v(V cs

−= (III.14)

Si utilizamos la expresión de Stokes para la sedimentación se tiene:

23

fc Vt

zHv

−=

Definiendo HtvV f

320=τ y reordenando la expresión previa, se tiene:

0

23/1 vHzvc

−=τ

(III.15)

Entonces partiendo de la definición de ρ, ecuación (II.7), y utilizando la distribución de Poisson, pero integrando hasta el volumen de corte en vez de hasta infinito, dado que no hay partículas en dicha posición a partir del tiempo t con volúmenes mayores que el de corte, se tiene:

dvevv

HN4dv)0,z,v(n)t,z(

c0

c v

0

vv2

20

0v

0 ∫∫−

==ρ

Integrando por partes y simplificando, se tiene que:

+−=

−0

c

vv2

0

c0 evv2

11HN

)t,z(ρ

Reemplazando por la definición de vc, se obtiene finalmente la expresión buscada:

( )

−−

−+−=23

23

23

230 12exp1211,

Hz

Hz

HN

z τττρ (III.16)

El mismo procedimiento se aplica a la fracción de volumen ε:

dvevv

HN

dvtzvnvtzcc v

vvv

∫∫−

==0

2

20

20

0

04

),,(),(ε

Integrando por partes se obtiene:


++−=

−0

2

20

2

0

00 2211),( v

vcc

c

evv

vv

HvNtzε

Sustituyendo, finalmente la expresión del volumen de corte resulta:

( )

−−

−+

−+−=23

23

3

3

23

2300 12exp121211,

Hz

Hz

Hzv

HN

z ττττε (III.17)

2.3 SOLUCIÓN “HOMOGÉNEA”

La ecuación (III.1) bajo hipótesis de homogeneidad espacial en un recinto de altura H, se reduce a:

( ) ( ) ( ) 0,,, =+ tvnHvU

tdtvnd

Cuya solución es:

( ) ( ) tHvUevntvn /)(0, −=

Siendo n0(v)=N0 f(v) , y para la distribución inicial, al igual que antes, se asume una Poisson:

0

2

20

00 exp

4)( v

v

vvN

vn−

=

Reemplazando la condición inicial en la expresión de la solución e integrando para todos los volúmenes de las partículas se llega a la siguiente expresión:

( ) dveevvN4

0

)v/v(v/v2

0

0 3/200∫

∞−−= ττρ (III.18)

2.4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Se realiza la simulación numérica con el programa TRANSAER-1D para el siguiente conjunto de datos:

H = 1 m radio medio inicial =3.4 10-7 m ρ0 = 1010 partículas/m3

Se utiliza un número de Courant de 0.5 y 501 nodos espaciales. La convergencia espacial se observa a partir de 300 nodos aproximadamente. Los resultados correspondientes a la evolución de la densidad o concentración de partículas en distintos puntos del recinto se

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 47 muestran en la Figura III.2, en donde z = 0 corresponde a la parte superior del dominio. En la Figura III.3 se muestra la distribución espacial de dicha variable en distintos tiempos. En ambas figuras se comparan los resultados numéricos con la solución exacta. La densidad espacial y la fracción de partículas fueron normalizados con sus respectivos valores iniciales; el tiempo es adimensionalizado con el que tarda una partícula con el radio medio inicial en recorrer el recinto, Ts = H / Vs = 71500 segundos ≈ 20 horas, siendo τ = t/TS. Se puede observar una disminución progresiva, a distintas distancias desde la parte superior del recinto, de la concentración a medida que transcurre el tiempo luego de haber permanecido relativamente constante. Esta disminución es consecuencia de la sedimentación y la falta de reposición de partículas desde posiciones superiores, hecho que se origina en la propagación de la condición de contorno superior de no ingreso de partículas al recinto.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 Exacta Transaer Posición 0.01 m 0.25 m 0.50 m 0.75 m 1.0 m

ρ

τFigura III.2: Sedimentación: evolución de la población de partículas en distintas posiciones.

Comparación entre la solución exacta y programa TRANSAER-1D


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Exacta Transaer ττττ 0.1 0.4 0.7 1.0

ττττ = 1

ττττ

= 0.4

ττττ

= 0.7

ττττ

=0.1

ρ

Posición (m)

Figura III.3: Sedimentación: Distribución espacial de la densidad de aerosoles a distintos tiempos. Comparación entre solución exacta y programa TRANSAER-1D

En la Figura III.4 se comparan los valores promedios en el recinto de la solución exacta y la del código TRANSAER-1D. La curva correspondiente a la solución exacta fue obtenida integrando numéricamente en todo el domino la solución (III.21), la del código también se obtuvo por integración numérica de los valores en cada nodo. También se grafica la solución de la ecuación (III.26), modelo homogéneo, obtenida integrando numéricamente, que a su vez coincide con la evaluada por Williams y Loyalka (1991). Puede observarse que la solución numérica se aparta de la exacta al aumentar τ, lo cual indica que el modelo de Poisson falla para este caso, al menos a partir de tiempos algo inferiores a aquel que tardaría una partícula con el volumen medio en recorrer todo del dominio. De todos modos los resultados son mejores que los obtenidos con la solución analítica a partir del modelo homogéneo. La razón de la separación respecto de la exacta puede entenderse analizando la distribución de tamaño de partículas en el tiempo y en el espacio, es decir mediante la deducción realizada en la sección previa, a través de la interpretación física ejemplificada en la Figura III.1, en donde se muestra la función distribución cualitativa de las partículas según su tamaño para un punto arbitrario del recinto. El corte que se observa en la distribución se debe a la falta de partículas con tamaños mayores en dicho punto debido a que las mismas han desaparecido por la sedimentación. Dado que el modelo fuerza a un ajuste con una distribución de Poisson en todos los lugares e instantes, éste pierde precisión al transcurrir el tiempo es decir a medida que el frente avanza.


0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Exacta Transaer Homogeneo

ρ

τFigura III.4: Sedimentación: Evolución de la concentración promedio en todo el recinto. Comparación entre solución exacta, programa TRANSAER-1D y solución a partir de la

ecuación general homogénea Es importante aclarar que cualquier mecanismo (coagulación, condensación, etc.) que genere partículas de tamaños superiores mejorará la solución obtenida con el método de los momentos. En tal sentido Kielkiewicz (1994), cuando analiza el error de la predicción de la evolución de los aerosoles calculada por el Método de los Momentos bajo hipótesis de homogeneidad espacial, bajo los mecanismos de sedimentación sola, condensación sola y ambas juntas, concluye que el mecanismo de sedimentación pura hace que los errores en el número de partículas y en la masa total crezcan con el tiempo. Este estudio se fundamenta en un análisis matemático sin explicar la causa física, tal como se hace en el presente trabajo. Cuando se analizan los dos fenómenos actuando en conjunto, los errores en los mencionados parámetros se incrementan con el tiempo pero son pequeños respecto del caso anterior, aun cuando los cambios en dichos parámetros son de varios ordenes de magnitud en el período analizado. 3 EVOLUCIÓN CON COAGULACION SIN SEDIMENTACIÓN La evolución de una población de partículas bajo solamente coagulación (i. e. sin sedimentación, difusión, condensación ni fuente) a partir de una dada condición inicial, queda descripta por la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) duunvuKvnduunuvnuuvKdt

tzvdn v

∫∫∞

−−−=00

,,),,(2

1 (III.19)

50 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles Como el fenómeno de coagulación no es un mecanismo de transporte, no ocurrirán variaciones espaciales respecto de la condición inicial. Tampoco habrá cambios en la fracción de volumen ocupada por las partículas, solamente se observarán cambios en el número de partículas existentes. Se analizarán dos casos: coagulación Browniana y por sedimentación. Ambos casos son estrictamente una abstracción de la realidad. Sin embargo, el primero no sería un caso tan alejado de la misma, dado que en un hipotético accidentes severo, durante la fusión de núcleo las partículas generadas tendrían un diámetro inferior al micrón, con lo cual la sedimentación es despreciable y en ausencia de condensación, la coagulación Browniana dominaría la dinámica de los aerosoles. En cambio el segundo caso sí representa claramente un caso irreal ya que coagulación gravitacional no es posible que ocurra sin sedimentación. Pero como matemáticamente es posible encontrar una solución analítica a partir de las ecuaciones de momento, su modelado y estudio permite por un lado contrastar el modelo numérico y por otro analizar efectos separados. Las ecuaciones (II.9) y (II.12), en términos de ρ y v , se reducen para coagulación Browniana:

2

320745.2)( ρµ

ρ TKdt

td −=

00 v)t(v)t( ρρ =

(III.20)

Mientras que para coagulación por sedimentación se tiene que:

2349835.0)( ρρ vCdt

tdgr−=

00 v)t(v)t( ρρ = (III.21)

Donde 0ρ y 0v son las condiciones iniciales de las respectivas variables de estado. Definiendo los tiempos característicos:

023

ρµ

TKBT =

en donde se excluye la constante 2.0745 que surge de tomar el momento de orden cero, ecuación (II.52); y

31

3400

3400 3

461

== πρρµ

ρ vgvC pgrG

T

en donde también se excluye la constante 0.9835 que aparece luego de tomar el momento de orden cero en el término de coagulación, ecuación (II.79). Integrando (III.20), para coagulación Browniana y definiendo τB = t/TB , resulta:

( )10745.2)( 0

+=

BB τ

ρτρ (III.22)


)()( 00

BB

vv

τρρτ =

Definiendo τG = t/TG e integrando la ecuación (III.21) se obtienen las expresiones que describen la evolución de las partículas considerando coagulación por sedimentación:

3

0 39835.01)(

−= G

Gτρτρ

)()( 00

GG

vv

τρρτ =

(III.23)

Las ecuaciones anteriores se resuelven para el siguiente conjunto de datos:

sTsT

smKgx

mkgKT

mrmpart

G

B

p

19700652

//108.1

/1000300

104.3

/10

5

3

70

3130

===

===

=

−

−

µ

ρ

ρ

En la Figuras III.5 y III.6 se grafican la concentración de aerosoles y el radio medio para coagulación Browniana y gravitacional, respectivamente, dadas por las soluciones exactas y las numéricas, estas últimas obtenidas con el programa TRANSAER-1D. Para el valor del radio medio inicial escogido y en general para valores inferiores al micrón, dominará en el corto plazo el mecanismo de coagulación Browniana frente al gravitacional. Sin embargo, a largo plazo este último será más eficiente como mecanismo de aglutinamiento de partículas y, en conjunto con la sedimentación, constituirán un proceso eficiente de remoción de aerosoles de un recinto dado. En dichas figuras se puede observar lo antes mencionado, el proceso Browniano lleva a un aumento temprano del tamaño pero a medida que hay menos partículas en el dominio, éste pierde eficacia, mientras que el gravitacional aumenta su tasa al incrementarse el tamaño de las partículas, reduciendo rápidamente la concentración. A un tiempo similar, por ejemplo t = 40000 s, τG ≈ 2, τB ≈ 60, el proceso de coagulación gravitacional ha reducido la concentración en más de un orden de magnitud respecto del Browniano. Los resultados numéricos concuerdan con los analíticos durante toda la evolución.


0 20 40 60 80 1001E-3

0.01

0.1

1

10

100

Numérico Analíticoρρρρ rmedio

Tiempo característico coagulación Browniana = 650 s

τBFigura III.5: Coagulación Browniana: evolución de la concentración de partículas

y del radio medio de las partículas normalizada el valor inicial. Comparación con la solución analítica obtenida a partir de las ecuaciones de momento.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.51E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

100


Tiempo característico coagulación gravitacional = 19700 s

τGFigura III.6: Coagulación gravitacional: evolución de la concentración de partículas

y del radio medio normalizados con los respectivos valores iniciales. Comparación con la solución analítica obtenida a partir de las ecuaciones de momento.


A modo de verificación con resultados numéricos externos obtenidos con otros métodos de resolución, los resultados de coagulación Browniana, calculados con el método de los Momentos con distribución de Poisson (código TRANSAER-1D), son comparados con resultados obtenidos con el código AEROSIM y con la solución analítica calculada a partir del método de los Momentos con una distribución Lognormal (modelo con homogeneidad espacial), datos extraídos de Williams (1986). El código AEROSIM es un código para el cálculo de la evolución de aerosoles en la contención de reactores en caso de accidentes severos, desarrollado por la Autoridad Nuclear de Inglaterra (UK-AEA). El modelo de este código está basado en la hipótesis de homogeneidad espacial de los aerosoles en el recinto y en el método seccional para evaluar la distribución en volumen de las partículas, resuelto mediante un esquema en diferencias finitas. En cuanto a la distribución Lognormal, ésta está caracterizada por tres parámetros: la cantidad total de partículas, el volumen medio y σ (parámetro arbitrario relacionado con la varianza). Ver Apéndice B en donde se obtienen las respectivas ecuaciones en base a la distribución Lognormal. Es válido aclarar que al usar una Lognormal es necesario plantear una tercera ecuación para dicho parámetro y que el mismo será una función del tiempo y del espacio. Para el presente caso Williams usó como valor inicial σ0 = ln(4/3) = 0.29 En la Figura III.7 se comparan los resultados, tiempo en escala logarítmica para visualizar mejor los datos, observándose una excelente coincidencia. En particular de la solución analítica en base a la distribución Lognormal calculada por Williams, surge que para

69.02ln, =→∞→ στ , con lo cual no habría una gran distorsión en la amplitud del espectro y la diferencia con la Poisson (más rígida en este sentido dado que sólo queda caracterizada por dos parámetros) es despreciable. En el Apéndice B se muestran las expresiones de las ecuaciones constitutivas (sedimentación, difusión y coagulación) resultantes de utilizar una distribución de Poisson y una Lognormal para los momentos de orden cero y uno. Por comparación se deducen los valores que debería tener σ para que los coeficientes de dichas expresiones concuerden. Para el caso particular de coagulación Browniana surge que σ debe ser igual a 0.65, valor muy próximo al asintótico calculado por Williams para este caso.


0.1 1 10 1000.01

0.1

1

Transaer: Poisson Aerosim (Williams 1986) Lognormal (Williams 1986)

τB Figura III.7: Coagulación Browniana: comparación de la evolución de la concentración de

partículas normalizada con el valor inicial con el código AEROSIM (Williams 1986)

En la Figura III.8 se comparan los resultados de coagulación por sedimentación calculados con el método de los Momentos con distribución de Poisson (código TRANSAER-1D), con la solución analítica calculada en base al método de los Momentos utilizando una Lognormal y con el código AEROSIM; los dos últimos extraídos de Williams (1986). Los datos de la referencia fueron evaluados hasta τG =2, y se presentan con la corrección observada por Barret (1998) en el cómputo del valor inicial del parámetro σ de la Lognormal. Barret informa que Williams usó en realidad un valor de σ0 = ln(2) en vez de σ0 = ln(4/3) como declara en su Tabla 3. Con respecto al código AEROSIM, se presentan los resultados para 40 y 1000 secciones o grupos de tamaños discretos utilizados para resolver por el método seccional la ecuación general de balance. La incialización de la distribución en estos casos se hace también con una función Lognormal. Barret no informa del mismo error en la simulación con AEROSIM hecha por Williams, de ser así se justificaría la mayor tasa de coagulación calculada por este código. En este caso la dispersión entre los resultados es notoria. En particular el método de los Momentos con una Lognormal falla, debido a que el parámetro σ, relacionado con la varianza (momento de segundo orden) se hace infinito antes de que la concentración se anule (en τG = ln2 = 0.557), es decir el espectro tiende a una distribución uniforme. Dicho método pero con la distribución de Poisson predice que la concentración se anula en τG =3.05, tendiendo a este punto de manera más suave, como puede verse en la Figura III.9 (ordenada en escala lineal). Es importante aclarar que en la práctica tal situación patológica no ocurrirá, dado que hay sedimentación y las partículas con mayor tamaño serán removidas limitando el proceso de coagulación. El método de los momentos con Poisson es el que predice en todo instante una menor tasa de coalescencia. En la etapa final, al igual que con otras distribuciones, tiende a concentración nula, mientras que el seccional no.

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 55 También puede observarse la gran cantidad de grupos o secciones (del orden de 1000) necesarias para obtener la convergencia de la solución del código AEROSIM (casos de 40 y 1000 nodos). Esto da una pauta de la gran cantidad de ecuaciones a resolver por el método seccional (una por grupo) si se quisiese modelar la derivada espacial del flujo de partículas, ya que en cada nodo espacial, que pueden ser varios cientos, habría que resolver, al menos para este caso, unas 1000 ecuaciones para obtener la distribución en volumen de las partículas.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.01

0.1

1

Transaer Aerosim: n1000 (Williams 1986) Aerosim: n40 (Williams 1986) LogNormal (Williams 1986)

τG

Figura III.8: Coagulación gravitacional: comparación de la evolución de la concentración de partículas normalizada con el valor inicial con datos de Williams (1986) con σ = ln(4/3)


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Transaer Aerosim: n1000 (Williams 1986) Aerosim: n40 (Williams 1986) LogNormal (Williams 1986)

τG

Figura III.9: Coagulación gravitacional: comparación de la evolución de la concentración de partículas normalizada con el valor inicial con datos de Williams (1986). Ordenada en escala

lineal

3.1 BREVE DISCUSIÓN SOBRE COAGULACIÓN

La solución para coagulación Browniana, ecuación (III.22) puede ser rescrita de la siguiente manera al explicitar la variable temporal nuevamente:

+

=

0

13

20745.2

1)(

ρµ

ρtKT

t

De esta ecuación se puede deducir que, a medida que transcurre el tiempo, la concentración de partículas se hace independiente del valor inicial ρ0. Cuanto mayor sea el valor inicial, más rápido será el proceso de coagulación y de manera más temprana la concentración “sobreviviente” de partículas se hará independiente del valor inicial. Más aún, se puede demostrar que la forma funcional de la distribución también se aproxima a una forma que es independiente de la forma inicial de distribución del volumen de las partículas, siempre y cuando el núcleo de coagulación sea una función del tamaño de las partículas con orden menor que la unidad, como es el caso de coagulación Browniana (Wilson R., 1985).

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 57 La distribución en tamaño asintótica alcanzada se la denomina espectro auto mantenido (en inglés shelf-preserving spectrum) y ha sido computada por Hindy y Lilly (1965), Friedlander y Wang (1966). Si dicha distribución o forma funcional se alcanza y se conserva en el tiempo -gracias a los mecanismos físicos actuantes-, entonces la información de la concentración y forma iniciales desaparecen y tienen una menor influencia en el comportamiento subsiguiente de los aerosoles. Esta es una consecuencia extremadamente importante para el modelado del Término Fuente, dado que hace que la distribución inicial en volumen conformada por procesos diversos y no siempre bien entendidos durante la fusión del núcleo del reactor, evolucione hasta hacerse independiente de la condición inicial a medida que el tiempo transcurre, con lo cual se facilita o se simplifica enormemente el modelado. Para las concentraciones esperables en caso de accidente severo el tiempo característico de coagulación Browniana es del orden de centenas de segundos, intervalo muy breve teniendo en cuenta tiempos característicos del proceso de los aerosoles en la contención, que pueden ser de varios días. En particular esto resulta ser válido además, dado que los tamaños esperables de partículas son menores al micrón en donde prevalece la coagulación Browniana, no la gravitacional ni la sedimentación, justificando la aproximación inherente al método empleado en este trabajo. Coagulación gravitacional aislada o pura no cumple el mencionado requisito ya que depende del volumen con potencia 4/3, y es por ello que el método de los momentos falla o que distribuciones iniciales distintas conducen a resultados dispares. De todos modos no es válido pensar que este mecanismo de coagulación actúe en forma pura como es el caso del Browniano, ya que el origen del mismo es la sedimentación, mecanismo que inherentemente eliminará o removerá preferentemente a las partículas de mayor tamaño, limitando el crecimiento de las mismas. 4 ESTACIONARIO CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN El problema estacionario de sedimentación con coagulación por sedimentación, asumiendo una fuente de partículas en la parte superior del recinto, tiene solución exacta y será utilizada como verificación del modelo numérico. La ecuaciones en base al método de los Momentos con distribución de Poisson, ecuaciones (II.9) y (II.12), y utilizando las ecuaciones constitutivas obtenidas en el capítulo II para la velocidad de sedimentación y coagulación Browniano o por sedimentación según el caso, ecuaciones (II.27), (II.29), (II.55) y (II.80), se reducen para coagulación Browniana, en donde la coordenada espacial se toma como positiva en el sentido descendente, a:

232

19.2)( ρρf

B

VC

zdvd −=

( ) 0vzd

d 35 =ρ

(III.24)

y para coagulación por sedimentación a:

34232

039.1)( vVC

zdvd

f

gr ρρ −= (III.25)


( ) 0vzd

d 35 =ρ

Suponiendo ρ =ρcc y ccvv = en la parte superior del recinto (definido como entrada), resolviendo e integrando el sistema de ecuaciones (III.24) se obtienen para coagulación Browniana las expresiones de la distribución de la concentración y el volumen medio:

5/7cc2/3

cc

z)5.11(1)(

ρ

ρρ

vVC

z

f

B

cc

+=

7/3

3/2 )11.51( zvVCv(z)v cc

ccf

Bcc ρ+=

(III.26)

y de igual manera a partir de las ecuaciones (III25), se tiene para coagulación por sedimentación:

5/3

3/2 11.039

)(

+

=

zvVC

z

ccccf

gr

cc

ρ

ρρ

)1039.1( 3/2 += zvVC

v(z)v ccccf

grcc ρ

(III.27)

Las ecuaciones anteriores pueden ser rescritas en términos de los tiempos característicos de coagulación gravitacional y Browniana TG y TB respectivamente y el tiempo característico de sedimentación Ts , definidos en las secciones previas. Para coagulación Browniana se tiene:

7/5

5.111

)(

+

=

Hz

TT

z

B

s

ccρρ

7/3

5.111

+=

Hz

TT

v(z)vB

scc

(III.28)

y para coagulación por sedimentación resulta:

5/3

1.0391

)(

+

=

Hz

TT

z

G

s

ccρρ

+=

Hz

TT

v(z)vG

scc 1.0391

(III.29)

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 59 Para ambos casos aparecen los cocientes entre los tiempos característicos de sedimentación y coagulación. En particular para coagulación gravitacional, si en (III.27) reemplazamos las expresiones de los coeficientes Cgr y Vf,, ecuaciones (II.59) y (II.26) respectivamente, se obtienen las siguientes expresiones analíticas:

3532cccc )1z(1.256

(z)+

=vcc

ρρρ

cccccc vzv(z)v += 35256.1 ρ

Se puede observar que la gravedad y las propiedades del fluido portador y de las partículas no aparecen ya que éstas tienen efecto contrario en los mecanismos de coagulación y sedimentación, ya que un aumento por ejemplo de la densidad de la partículas incrementa la velocidad de las partículas y su remoción del recinto, lo que a su vez limita el número de partículas y por ende la tasa de coagulación. Estos casos se resuelven para las siguientes condiciones geométricas y de contorno:

m7104.3ccmedioradio

3m/part1310cc

m1H

−=

=

=

ρ

La solución estacionaria numérica obtenida con el código TRANSAER-1D converge para una distancia entre nodos de 0.025 m (200 celdas). La misma fue obtenida mediante la simulación de un transitorio a partir de valores iniciales iguales a los fijados para la condición de contorno. En la Figura III.10 se comparan favorablemente las soluciones numéricas para ρ y el radio medio, con la solución exacta para coagulación Browniana y gravitacional; en donde z = 0 corresponde a la parte superior del recinto. Como era de esperar dados los valores del tamaño medio de las partículas y de la concentración elegidos para la condición de contorno, el mecanismo dominante es el Browniano. Para realizar y facilitar la comparación con datos de bibliografía se adimensionaliza la coordenada espacial con la longitud característica de cada caso, para coagulación Browniana ΛB =TB H / Ts = 9.1x10-3 m y para coagulación por sedimentación ΛG = TG H / Ts = 0.275 m. Los resultados numéricos se muestran en la Figura III.11, en función de la variable adimensional ξ = z/ΛB,G. También se incluyen los resultados de la solución analítica obtenida por Williams 1986 con el método de los Momentos con una distribución Lognormal para coagulación gravitacional y sedimentación. En este caso también asume un valor inicial para σ = ln(4/3) = 0.29. La solución calculada por Williams para coagulación por sedimentación predice que para

69.02ln, =→∞→ σξ . Es decir, la distribución Lognormal al incluir la sedimentación no tiende a una uniforme ( ∞→σ ) como en el caso patológico de evolución bajo coagulación pura. Según la Tabla 1 del Apéndice B, en donde se comparan las ecuaciones constitutivas obtenidas con una Poisson y una Lognormal, los valores que tendría que tener σ para que coincidan las expresiones de las velocidades y la coagulación por sedimentación varían entre 0.42 y 0.49. Es decir, valores comprendidos entre el inicial y el asintótico de la Lognormal. Es por ello que para coagulación gravitacional con sedimentación las soluciones estacionarias

60 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles evaluadas por una distribución Lognormal (solución analítica a partir de las ecuaciones de Momento) y una de Poisson son similares.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Coag. por sedimentación

Coag. por sedimentación

Coag. Browniana

Coag. Browniana


Longitud (m)

Figura III.10: Concentración y radio medio de partículas a lo largo del recinto normalizada con los respectivos valores de la condición de contorno

0.01 0.1 1 100.01

0.1

1

Browniana: Transaer por Sedimentación: Transaer por Sedimentación: Lognormal (Williams 1986)

Longitud adimensional ξξξξ

Figura III.11: Concentración de partículas normalizada con la condición de contorno en función del parámetro adimensional ξ = z/Λ.


5 EVOLUCIÓN CON CONDENSACIÓN SIN SEDIMENTACIÓN La evolución de una población de aerosoles considerando condensación como único fenómeno que interviene, tiene solución analítica a partir de las ecuaciones de momento. En este caso las ecuaciones (II.9) y (II.12) y utilizando la ecuación constitutiva de condensación (II.38), se reducen a:

3132943.0

0

ερε

ρ

cGdtd

dtd

=

=

(III.30)

Si suponemos como condición inicial 0ρρ = y 0εε = , la solución de dicho sistema de ecuaciones es:

( ) 23320c0

0

tvG629.01)t( −+=

=

εε

ρρ (III.31)

Se resuelve el este caso con el programa TRANSAER-1D y la solución analítica utilizando los siguientes datos:

ρ0= 1013 partículas/m3 radio medio inicial de la distribución =3.4 10-7 m Di = 0.02 cm2/s Mi = 18 g/mol f = 1 (partícula esférica) T = 300 K R = 8.314 J/mol /K µp = 1000 Kg/m3 pi - peq,i = 5 10-4 N/m2

Con lo cual se tiene que Gc = 5.62 10-17 m2/s. El tiempo característico de condensación se

define como C

G Gv0=τ . Para este caso particular resulta TG = 28 340 segundos, y se lo usa para

adimensionalizar la variable temporal. La evolución de la fracción de volumen normalizada con el valor inicial, se muestra en la Figura III.12, en donde se observa un crecimiento continuo de las partículas dado que no hay ningún mecanismo de remoción postulado. El modelo numérico responde correctamente.


0 1 2 3 4 50

5

10

solución numérica solución analítica

Fr

acci

ón d

e vo

lum

en

ττττ

Figura III.12: Fracción de volumen ocupada por las partículas normalizada.

Comparación de los resultados con la solución analítica

6 ESTACIONARIO CON CONDENSACIÓN Y SEDIMENTACIÓN Considerando solamente los mecanismos de condensación y sedimentación, bajo hipótesis estacionarias, por ejemplo considerando una fuente permanente de partículas en el extremo superior de un tubo y manteniendo constante la presión parcial de vapor (fuente infinita de vapor), las ecuaciones (II.9) y (II.12) se reducen a:

3132943.0)(

0)(

ερε

ρ

ε

ρ

cGdzUd

dzUd

=

=

(III.32)

en donde se toma la coordenada z en la dirección vertical, sentido descendente positivo, con su origen en la parte superior del recinto. La solución analítica de las ecuaciones diferenciales anteriores, con condiciones de borde ρ = ρcc y ε = εcc en la parte superior del recinto, luego de reemplazar las expresiones de Uρ y Uε , simplificar e integrar, es:


4/13/4

2

9955.01

+=

=

cc

cc

f

Ccc

cccc

zVG

ερεε

εερρ

(III.33)

Se resuelve el problema en forma numérica usando el código TRANSAER-1D y se lo compara con la solución analítica considerando los mismos datos que el caso anterior en un recinto de 10 m de altura. La solución numérica estacionaria fue obtenida a partir de la simulación de un transitorio a partir de valores iniciales iguales a los establecidos en la condición de contorno. La solución exacta y la numérica se comparan favorablemente en la Figura III.13. La parte superior del recinto corresponde a la posición 0 metros. La concordancia entre los resultados numéricos con los analíticos es buena, los nodos utilizados para la discretización espacial son de 0.025 m, la convergencia espacial se observa a partir de los 0.10 m para el conjunto de datos seleccionado. En este caso, a diferencia del que se modela coagulación con sedimentación, la masa total en suspensión crece debido al aumento del tamaño de las partículas al condensar el vapor sobre ellas. La reducción en la concentración que se observa hacia la salida del tubo se debe al aumento de la velocidad de las partículas al aproximarse a dicha posición, por aumento de su volumen por condensación. Se llega a un estado estacionario debido a que el proceso de remoción que produce la sedimentación limita el crecimiento de las partículas. Barret (1998) en su trabajo de comparación de distintos métodos aproximados de resolución de la ecuación general de aerosoles concluye que la implementación de la condensación en el método de los momentos es fácil, tal como se desprende del presente trabajo, comparada con lo complejo que resulta computar los cambios de volumen por este mecanismo en métodos como el seccional, debido a problemas numéricos. También concluye que el método de los momentos produce resultados precisos.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Solución analítica numérica

ρ ε

Longitud (m)

Figura III.13: Distribución a lo largo del recinto de la fracción de volumen ocupada por las partículas y de la concentración normalizadas con los valores de la condición de

contorno. Comparación de los resultados con la solución analítica

7 EVOLUCIÓN CON COAGULACIÓN Y SEDIMENTACIÓN Se simulan con el código TRANSAER-1D y analizan a continuación casos de evolución de una población de partículas considerando sedimentación y coagulación Browniana o gravitacional, modelando los gradientes espaciales de concentración. Los datos de la simulación y los resultados fueron extraídos de bibliografía (Williams, 1986) y son usados como referencia del modelo desarrollado. Estos datos, presentados en la citada referencia, fueron obtenidos con el código AEROSIM-UK-AEA, código de amplio uso para el cálculo de la evolución de aerosoles en la contención en reactores en caso de accidentes severos. El modelo de este código está basado en la hipótesis de homogeneidad espacial de los aerosoles en el recinto y usa el método seccional para evaluar la distribución en volumen de las partículas. Respecto del uso del código AEROSIM-UK como referencia, Williams aclara que no hay que considerar a dicho código como exacto, simplemente que produce valores razonablemente precisos, aunque hay cuestionamientos sobre su convergencia para ciertos procesos de coagulación como el originado por sedimentación, por gradientes de velocidad del gas portante o por turbulencia. Por otro lado, dado el modelo homogéneo utilizado por este código, la comparación entre ambos códigos será solamente posible con los promedios espaciales.

Se modelan tres casos:

a) Sedimentación y coagulación Browniana. b) Sedimentación y coagulación gravitacional o por sedimentación. c) Sedimentación, coagulación Browniana y por sedimentación.

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 65 Inicialmente se asume que los aerosoles se encuentran distribuidos homogéneamente en un recinto de altura H. Los datos del problema se detallan a continuación: H = 10 m ρ0 = 9.15 x 1013 part/m3 radio medio inicial = 3.4 x 10-7 m

T = 300 K µ = 1.8 10-5 Kg/m/s ρp = 1000 Kg/m3

Por otro lado es importante mencionar que la distribución inicial para el tamaño de las partículas dada al código AEROSIM es una Lognormal, mientras que en el código TRANSAER-1D es una Poisson. Para la solución numérica se utiliza una malla con 1001 nodos y un número de Courant de 0.75

7.1 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN BROWNIANA

Se presentan a continuación los resultados de la evolución de una población de partículas debido a la acción de la sedimentación y la coagulación Browniana en un recinto (z = 0 corresponde al techo y z = H a la parte inferior del mismo), con una distribución espacial inicial de partículas homogénea. Se supone que no hay fuente de partículas, por lo tanto la condición de contorno para las ecuaciones de la concentración de partículas y la fracción de volumen es nula. Los resultados se muestran normalizados con el valor inicial. Se toma como tiempo de referencia el tiempo que tarda una partícula con el radio medio inicial en recorrer la altura H del recinto, que para este caso resulta ser ts = 7.15x105 segundos. Este tiempo característico de sedimentación se usa para normalizar la variable temporal, siendo τ el tiempo adimensional. La evolución de la densidad de partículas, la fracción de volumen y el radio medio de las partículas a distintas alturas se muestran en las Figuras III.14, 15 y 16, respectivamente. En dichas figuras se grafican también los resultados del código AEROSIM-UK (Williams M.M.R., 1986). Desde los primeros instantes, debido al mecanismo de coagulación por movimiento Browniano de las partículas se produce un crecimiento gradual y espacialmente homogéneo del volumen medio de la población y una reducción en la concentración. Este mecanismo es autolimitado dado que es proporcional al cuadrado de la concentración de partículas. Luego se puede observar la conformación de un máximo en el volumen medio ya a que la sedimentación empieza a tener relevancia debido al aumento del tamaño y al efecto de remoción que ésta causa en la reducción del número de partículas. Este mecanismo limita directamente la tasa de coagulación y elimina de una zona dada a las partículas de mayor tamaño, reduciendo, por lo tanto, el volumen medio de la población. En τ = 0.02 aproximadamente, se observa que el máximo volumen medio ocurre a la salida, como era de esperarse dado que éstas partículas han recorrido todo el recinto. Coincidentemente con la evolución a lo largo del recinto de este máximo se observa un incremento en el ritmo de disminución en la concentración, quiebre que se puede apreciar en las curvas de la Figura III.14 en torno del mencionado instante en las evoluciones correspondientes a los 5 y 10 m. En cuanto a la fracción de masa, inicialmente se mantiene prácticamente constante debido a la escasa sedimentación dado el tamaño inicial de partículas (único mecanismo modelado de remoción de partículas del recinto), para luego comenzar a decrecer cuando la sedimentación toma importancia.


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Aerosim z = 0.0 m z = 0.1 m z = 1.0 m z = 5.0 m z = 10.0 m

ρ/ρ

0

τ

Figura III.14: Sedimentación y coagulación Browniana: evolución de la densidad de partículas normalizada, a distintas alturas en el recinto

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1


ε/ε0

τFigura III.15: Sedimentación y coagulación Browniana: evolución de la fracción de volumen

ocupada por partículas, normalizada y a distintas alturas en el recinto


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 10

1

2

3

4

5

6

7

8


r/r0

τFigura III.16: Sedimentación y coagulación Browniana: evolución del radio medio normalizado

a distintas alturas en el recinto

Las distribuciones a lo largo del recinto de la densidad, la fracción de volumen ocupada por las partículas y del radio medio normalizados, en distintos instantes se muestra en las Figuras III.17, 18 y 19, respectivamente. Inicialmente, se puede apreciar una disminución global y gradual de la cantidad de partículas y un aumento homogéneo del volumen medio. La masa suspendida en el recinto no varía en los primeros instantes dado que la coagulación conserva esta magnitud y la sedimentación es pobre, o puesto en otros términos el tiempo característico de coagulación es mucho menor que el de sedimentación, es decir el sistema evoluciona inicialmente como si existiese sólo coagulación Browniana. A partir de aproximadamente τ = 0.004, se observa en el perfil axial de la concentración de partículas una mayor disminución en la parte superior del recinto debido al incremento de la velocidad de las partículas, al igual que en el perfil de la masa suspendida. Este hecho revela claramente el incremento de la sedimentación y la remoción que ésta causa, apuntado anteriormente. Es importante tener en cuenta que en las posiciones próximas al techo, las partículas de mayor tamaño que se van de las mismas no son reemplazadas por otras equivalentes que provengan de posiciones superiores, como sucede en posiciones inferiores, antes de que llegue la propagación de la condición de contorno de no entrada de partículas. Este frente o fenómeno de barrido de masa también se puede visualizar en la reducción del radio medio que se produce desde las posiciones superiores a las inferiores, Figura III.19. Este fenómeno de acople entre posiciones superiores e inferiores no puede ser predicho por un modelo homogéneo, aunque en el presente caso no parece tener un papel sumamente relevante si interesaren sólo variables integrales, aunque por ejemplo si se realizasen mediciones a un nivel ubicado cerca de la parte superior del recinto (contención) podrían dar indicación de una relativamente baja masa suspendida, mientras que a nivel de piso ésta podría ser de dos órdenes de magnitud mayor.


0 2 4 6 8 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

τ = 5x10-5

τ = 0.001 τ = 0.004 τ = 0.01 τ = 0.02 τ = 0.05 τ = 0.1

ρ/ρ0

Posición (m)

Figura III.17: Sedimentación y coagulación Browniana: distribución axial de partículas normalizada, en distintos instantes.

0 2 4 6 8 101E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

ε/ε0

τ = 0.004 τ = 0.01 τ = 0.02 τ = 0.05 τ = 0.1 τ = 1.

Posición (m)

Figura III.18: Sedimentación y coagulación Browniana: distribución de la fracción de volumen ocupada por partículas normalizada, en distintos tiempos


0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

τ = 0.004 τ = 0.01 τ = 0.02 τ = 0.05 τ = 0.1 r/r0

Posición (m)

Figura III.19: Sedimentación y coagulación Browniana: distribución del radio medio de la población de partículas normalizado, en distintos tiempos

En la Figura III.20 se comparan los valores promedios de la concentración de partículas y la fracción de volumen y en la III.21, el radio medio, obtenidos por integración numérica de los resultados del código TRANSAER-1D, con los respectivos valores del código AEROSIM-UK. También se incluyen los resultados obtenidos de aplicar el método de los Momentos con distribución de Poisson a la ecuación general de dinámica de aerosoles promediada en el espacio, ecuación (I.3), utilizando las mismas ecuaciones constitutivas que TRANSAER-1D, detalladas en el capítulo II (citado en las figuras como “Poisson Homogéneo”). El comportamiento durante la primera fase de la evolución, en donde domina el proceso de coagulación Browniana, los valores promedio coinciden. Entre τ = 0.01 y 0.06, TRANSAER-1D evalúa mayor sedimentación que AEROSIM y que el mismo modelo base de TRANSAER-1D pero con homogeinización espacial. Esto implica una reducción en el número de partículas suspendidas, en la fracción de masa y una consecuente limitación del proceso de coagulación, reflejado en un menor volumen medio de la distribución de partículas. Este menor tamaño promedio de partículas (menor velocidad de sedimentación) hace que hacia el final de la simulación se obtenga un mayor número de partículas en el recinto respecto de AEROSIM aunque, circunstancialmente, similar masa suspendida. Es relevante hacer notar que, aunque desde un punto de vista radiológico importaría la masa suspendida (si se analiza dosis externa), la capacidad de penetración y retención en las vías respiratorias depende del radio de las partículas, es decir una situación puede ser más perjudicial que otra a pesar de tener igual masa en suspensión, simplemente por una mayor deposición en pulmón al estar la masa distribuida con un radio medio distinto.

70 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles El modelo con distribución de Poisson y homogeneidad espacial calcula una situación similar a AEROSIM, no reflejando el acople entre coagulación y sedimentación que predice el modelo con simulación de las variaciones espaciales de la población de aerosoles, resultados que avalan el origen de las diferencias entre AEROSIM y TRANSAER-1D, entre τ = 0.01 y 0.06. El modelo homogéneo con Poisson se aparta de los resultados predichos por AEROSIM a partir de τ = 0.1. Similar resultado fue observado por Williams (1986) al utilizar una distribución Lognormal con el método de los Momentos, siempre con homogeneidad espacial. A modo de referencia en la Figura III.22 se comparan los resultados del modelo con distribución de Poisson con los mencionados resultados provenientes de utilizar una distribución Lognormal, que posee tres parámetros que la caracterizan. La diferencia es mínima, apenas distinguible a largo plazo, al igual que en coagulación Browniana pura.

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Aerosim Transaer Poisson promedio homogéneoρρρρ εεεε

τ

Figura III.20: Sedimentación y coagulación Browniana: comparación de ρ y ε promedios en el recinto normalizados, de los códigos AEROSIM, TRANSAER-1D y método Momentos con

Poisson modelo homogéneo


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Aerosim promedio Transaer Poisson homogéneo

r/r0

τFigura III.21: Sedimentación y coagulación Browniana: comparación del radio medio promedio normalizado entre los códigos AEROSIM, TRANSAER-1D y método Momentos con Poisson

modelo homogéneo

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Modelos homogéneosMétodo de los Momentos Poisson Lognormal Williams (1986)ρρρρ εεεε

τFigura III.22: Sedimentación y coagulación Browniana: ρ y ε promedios en el recinto

normalizados, calculados con el método de los Momentos con Poisson y con Lognormal (Williams 1986), ambos con modelo homogéneo

72 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles 7.2 SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN GRAVITACIONAL

Los resultados de la evolución de aerosoles debido a los fenómenos de sedimentación y coagulación gravitacional en un recinto a partir de una distribución inicial homogénea de partículas se presentan y analizan en la presente sección. En este caso, al igual que en el anterior, no se modela fuente de partículas en dicho recinto. La evolución de la densidad de partículas, la fracción de volumen y el radio medio de las partículas a distintas alturas, se muestran en las Figuras III.23, 24 y 25, respectivamente. Se usa el mismo tiempo de adimensionalización que en el caso anterior y las variables antes mencionadas se normalizan con sus correspondientes valores iniciales. Se comparan los resultados con el valor promedio dado por el código AEROSIM-UK (Williams 1986). Inicialmente al igual que en el caso anterior se observa un proceso de reducción del número de partículas, prácticamente sin disminución de la masa en suspensión, debido a la baja velocidad de sedimentación inicial. La remoción de masa adquiere importancia a partir de aproximadamente τ = 0.01 cuando se produce un crecimiento acelerado del volumen medio de las partículas, más intenso que en el caso anterior, pues el mecanismo de coagulación es proporcional no solo al cuadrado del número de partículas, como en la Browniana, sino también al volumen medio (potencia 4/3). Al sedimentar las de mayor volumen barren a las partículas en posiciones inferiores, haciendo que la coagulación aumente aun más, constituyendo este acople un mecanismo muy eficiente de remoción de partículas en suspensión. Este fenómeno se observa a lo largo de todo el recinto, potenciándose en las posiciones inferiores, a excepción del nodo más próximo al techo en donde la disminución, en todo momento, es gradual y está gobernada por la sedimentación. De nuevo y al igual que en el caso anterior este fenómeno de barrido se autolimita debido a la reducción de la concentración de partículas, aunque se alcanzan concentraciones de partículas mucho menores, que en el caso anterior Luego de este barrido que ocurre en torno de τ = 0.01, la concentración en las posiciones inferiores, no así la masa total en suspensión, comienza a aumentar paulatinamente como consecuencia de la llegada, por sedimentación, de partículas pequeñas que quedaron en suspensión en las posiciones superiores. Posteriormente la concentración de partículas vuelve a disminuir a medida que la concentración en posiciones superiores se reduce por efecto de la sedimentación. En este caso las diferencias con el código de referencia son notorias, reflejadas en forma más clara en la evolución del volumen medio.


1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1 Aerosim z = 0 m z = 0.1 m z = 0.5 m z = 1.0 m z = 3.0 m z =10.0 m

ρ/ρ0

τ

Figura III.23: Sedimentación y coagulación gravitacional: evolución de la densidad de partículas normalizada, en distintas alturas

1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Aerosim z = 0 m z = 0.1 m z = 0.5 m z = 1.0 m z = 3.0 m z =10.0 m

ε/ε0

τFigura III.24: Sedimentación y coagulación gravitacional: evolución de la fracción de sólido en

suspensión normalizada, a distintas alturas


1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Aerosim z = 0 m z = 0.1 m z = 0.5 m z = 1.0 m z = 3.0 m z =10.0 m

r/r0

τFigura III.25: Sedimentación y coagulación gravitacional: evolución del radio medio

normalizado, a distintas alturas La distribución espacial de la densidad, fracción de volumen ocupada por las partículas en el recinto y el radio medio de la población de aerosoles, en distintos instantes, se muestran en las Figuras III.26, 27 y 28 respectivamente. El cero corresponde a la parte inferior del recinto. En ellas se puede apreciar el mencionado efecto de mayor barrido y remoción en la parte inferior que en la superior. En la distribución espacial de partículas se observa la conformación gradual de un pico en la parte superior del recinto, a partir de τ = 0.005, correspondiente a partículas pequeñas que quedan remanentes dado que allí la coagulación ha sido menos efectiva. Las ubicadas en posiciones inferiores fueron barridas por las de mayor tamaño al sedimentar y en las superiores no hay aporte de partículas por sedimentación. En los perfiles de la distribución de masa en suspensión se puede observar claramente el avance del “frente de barrido” desde posiciones superiores hacia las inferiores. Se observan diferencias de concentración de más de un orden de magnitud entre las mencionadas posiciones y de hasta un orden de magnitud en la masa en suspensión. Cuando las más grandes ya sedimentaron, quedan solo las de menor tamaño, principalmente en la parte superior del recinto, que caerán lentamente haciendo que la concentración aumente en las posiciones inferiores durante un cierto lapso de tiempo, para luego disminuir gradualmente presentando un comportamiento similar al caso anterior.


0 2 4 6 8 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

τ = 0.001 τ = 0.005 τ = 0.07 τ = 0.01 τ = 0.02 τ = 0.1 τ = 1.0 τ = 5.0

ρ/ρ0

Posición (m)

Figura III.26: Sedimentación y coagulación gravitacional: Distribución de la densidad espacial de partículas normalizada en distintos instantes

0 2 4 6 8 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

τ = 0.007 τ = 0.0085 τ = 0.09 τ = 0.095 τ = 0.02 τ = 0.1 τ = 0.5 τ = 1.0

ε/ε0

Posición (m)

Figura III.27: Sedimentación y coagulación gravitacional: Distribución de la fracción de volumen ocupada por partículas normalizada, en distintos instantes


0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

τ = 0.007 τ = 0.0085 τ = 0.09 τ = 0.095 τ = 0.02 τ = 0.1 τ = 0.5 τ = 1.0

rmed / rmed0

Posición (m)

Figura III.28: Sedimentación y coagulación gravitacional: distribución del radio medio de la población normalizado, en distintos instantes

Los valores promedios de la concentración de partículas y la fracción de volumen ocupada, obtenidos por integración numérica de los resultados del código TRANSAER-1D, son comparados en la Figura III.29 con los resultados del código AEROSIM-UK. También se incluyen los resultados obtenidos de aplicar el método de los Momentos con distribución de Poisson a la ecuación general de dinámica de aerosoles promediada en el espacio, ecuación (I.3), utilizando las mismas ecuaciones constitutivas que TRANSAER-1D, detalladas en el Capítulo II (indicado como Poisson Homogéneo). En la Figura III.30 se compara el radio medio calculado por los distintos programas. Inicialmente y hasta aproximadamente τ = 0.004, el código AEROSIM evalúa mayor coagulación, reduciendo el número de partículas, resultado coherente al observado en coagulación gravitacional sin sedimentación, teniendo en cuenta que la variable temporal se encuentra adimensionalizada en un caso con el tiempo característico de coagulación, mientras que el presente caso se lo hace con el de sedimentación. Se observa, además, que en dicho período la fracción de masa calculada por AEROSIM disminuye, resultado atribuible a una mayor sedimentación y claramente visible en el mayor volumen medio calculado por AEROSIM antes de τ = 0.004. Por lo tanto el código de referencia limita el proceso de coagulación en forma anticipada respecto de TRANSAER-1D. Este último evalúa un proceso de coagulación inicialmente más lento, pero en torno a τ = 0.01 dicho proceso se acelera notoriamente, reflejado en un significativamente mayor volumen medio de la distribución de partículas. Hasta τ = 0.01 los modelos en base a una distribución prefijada de Poisson coinciden. A posteriori debido al efecto espacial de barrido antes mencionado, ambas evoluciones se

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 77 separan. La homogénea evalúa una disminución abrupta tanto en ρ como en ε debido a una mayor tasa de coagulación y posterior sedimentación, mientras que la heterogénea como fue explicado anteriormente predice una disminución mucho más gradual luego del barrido y principalmente dominada por sedimentación de partículas pequeñas provenientes de las posiciones superiores, al final del transitorio. Esta separación entre los resultados del modelo homogéneo y del heterogéneo en torno de τ = 0.01 valida la interpretación dada acerca del acople espacial entre partículas. Por otro lado, dada la coincidencia entre los modelos en base a Poisson antes de τ = 0.01, la inclusión del modelado de los gradientes espaciales pareciera no justificar la diferencia entre TRANSAER-1D y AEROSIM hasta τ = 0.01. Diferencia, entonces, que podría atribuirse al modelado en base al Método de los Momentos con distribución de Poisson. Otra explicación puede ofrecerse a partir de las condiciones iniciales de la distribución en tamaño de las partículas: en el presente modelo se utiliza la distribución de Poisson y mientras que AEROSIM fue inicializado en el trabajo de referencia con una distribución Lognormal, distribución que a igual volumen medio que la Poisson, predice una mayor cantidad de partículas en tamaños mayores, circunstancia que hace que el efecto de la coagulación gravitacional tenga relativamente más importancia inicialmente. Por otro lado la mencionada diferencia no afecta significativamente en el caso Browniano, ya que dicho proceso depende solamente del cuadrado de la concentración y no del volumen de las partículas. Finalmente en las Figuras III.31 y III.32 se compara la concentración, fracción de masa y radio promedios en el recinto, normalizados con sus respectivos valores iniciales, de los modelos con hipótesis de homogeneidad espacial: AEROSIM, Momentos con Lognormal, ambos extraídos de Williams (1989) y Momentos con Poisson. Se agrega la comparación con la Lognormal como referencia del uso de distintas distribuciones. Se observa que los resultados en base a ésta evolucionan inicialmente entre los valores de AEROSIM y la Poisson, para finalmente al igual que la Poisson subestimar la población remanente respecto del método seccional. La evolución del radio medio de la Lognormal tiene un comportamiento más similar al de la Poisson.


1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Aerosim Transaer Poisson promedio homogéneoρ ε

τ Figura III.29: Sedimentación y coagulación gravitacional: ρ y ε promedio normalizados de los

códigos Aerosim, TRANSAER-1D y método Momentos con Poisson modelo homogéneo

1E-4 1E-3 0.01 0.1 11

10

100

Aerosim promedio Transaer Poisson homogéneo

r/r0

τFigura III.30: Sedimentación y coagulación gravitacional: radio medio promedio normalizado

de los códigos Aerosim, TRANSAER-1D y método Momentos con Poisson modelo homogéneo


1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1 Modelos Homogéneos Aerosim Poisson Lognormal(Williams) (Williams 1989)ρ ε

τFigura III.31: Sedimentación y coagulación gravitacional: Comparación de modelos

homogéneos: Aerosim, método Momentos con Poisson y Lognormal modelo homogéneo

1E-4 1E-3 0.01 0.1 11

10

100

Modelos Homogéneos

Aerosim (Willimas 1989) Poisson Lognormal (Willimas 1989)

r/r0

τFigura III.32: Sedimentación y coagulación gravitacional: radio medio promedio normalizado de los modelos que usan la hipótesis de homogeneidad espacial: Aerosim y método Momentos

con Poisson modelo homogéneo

80 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles 7.3 SEDIMENTACIÓN, COAGULACIÓN BROWNIANA Y GRAVITACIONAL

En la presente sección se presentan y analizan los resultados de la evolución de una población de partículas en un recinto a partir de una distribución inicial homogénea de partículas, sin fuente, considerando sedimentación y coagulación gravitacional y Browniana, en este caso ambos actuando simultáneamente. La evolución de la densidad de partículas y de la fracción de volumen integradas en el espacio, calculadas con el código TRANSAER-1D se comparan en la Figura III.33 con los resultados de asumir homogeneidad espacial y resolver la ecuación de transporte con el método de los Momentos con distribución de Poisson y una Lognormal. Está última extraída de Williams (1986), para este caso dicho autor no presenta resultados correspondientes al código AEROSIM. El tiempo se adimensionaliza al igual que en el caso anterior con el tiempo característico de sedimentación y las variables antes mencionadas se normalizan con sus correspondientes valores iniciales. En la Figura III.34 se compara el radio promedio en todo el recinto normalizado con la condición inicial calculado por los tres modelos. De nuevo el uso de la Lognormal conduce a una reducción más temprana de la masa de partículas en suspensión debido a un aumento más temprano de la coagulación, proceso que se puede observar a través del radio medio, acoplado con la remoción por sedimentación. Williams reporta un aumento del parámetro σ (asociado a la dispersión de la Lognormal) de aproximadamente 25 veces, es decir un aplanamiento importante del espectro en tamaños, hecho que induce a un mayor cálculo de la tasa de coagulación gravitacional.

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1 Transaer Poisson Lognormal promedio homogéneo homogéneo (Williams 1986)ρ ε

τFigura III.33: Sedimentación y coagulación Browniana y gravitacional: Comparación de los

resultados de TRANSAER-1D promediados en el dominio con modelos homogéneos: método Momentos con Poisson y Lognormal.


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1

10

20

30

40

50

60

70

80

promedio Transaer Poisson homogéneo Lognormal homogéneo

(Williams 1986) r/r0

τFigura III.34: Sedimentación y coagulación Browniana y gravitacional: Comparación del radio

medio normalizado del código TRANSAER-1D promediado en el dominio y método Momentos homogéneo con Poisson y Lognormal

Finalmente a modo de cierre y comparación de los distintos mecanismos de coagulación actuando, en las Figuras III.35, 36 y 37 se muestra la concentración de partículas, la fracción de volumen ocupada por partículas y el radio medio, respectivamente, resultantes de integrar numéricamente en todo el dominio los valores calculados por TRANSAER-1D. Los datos están normalizados con sus respectivos valores iniciales. Al igual que los casos anteriormente analizados de coagulación sin sedimentación se observa que la Browniana actúa en forma más temprana produciendo un aumento de tamaño de partículas mayor. Cuando se incluye coagulación por sedimentación ambos mecanismos conducen a una remoción más eficaz de aerosoles del recinto en consideración. El valor máximo del radio medio está dominado por la coagulación gravitacional y no parece estar influenciado significativamente por el modelado o no de la Browniana, constituyendo la sedimentación el mecanismo de remoción de las partículas del dominio, limitando su crecimiento.


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Coag Browniana Coag por sedimentación Coag Browniana y por sedimentación

ρ/ρ0

τFigura III.35: TRANSAER-1D: Comparación de la concentración de partículas según los

distintos mecanismos de coagulación modelados. Valores promedio.

1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 11E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1


ε/ε0

τFigura III.36: TRANSAER-1D: Comparación de la fracción de volumen ocupada por partículas

según los distintos mecanismos de coagulación modelados. Valores promedio.


1E-5 1E-4 1E-3 0.01 0.1 1

1

10


r/r0

τ

Figura III.37: TRANSAER-1D: Comparación del radio medio de la distribución de partículas según los distintos mecanismos de coagulación modelados. Valores promedio.

8 AEROSOLES EN UN MEDIO CONVECTIVO Con el fin de estudiar la heterogeneidad espacial durante transitorios en un medio convectivo, se analizó, bajo condiciones de modelado unidimensional, la dispersión de una fuente de aerosoles en un flujo de gas descendente a lo largo de un recinto de altura H, considerando coagulación Browniana y gravitacional, difusión Browniana y sedimentación. La fuente de partículas se encuentra en la parte superior del mismo, siendo la velocidad del gas (Uo) descendente. Inicialmente, la totalidad del tubo se encuentra vacío y la fuente comienza a inyectar partículas a una tasa constante de concentración y fracción de masa: sρ� y sε� . En el

instante τc, se hace decrecer sρ� exponencialmente (τd: tiempo medio), manteniendo el radio medio constante durante todo transitorio. La evolución general de la fuente se puede observar en la Figura III.38.


0.00.0

τ

s.ρ

cτ

Fuen

te d

e pa

rtíc

ulas

Figura III.38: Evolución temporal de la fuente de partículas

en la parte superior del recinto El tiempo se normaliza con el que tarda una partícula con volumen medio 0v en recorrer el recinto, siendo ττττ el tiempo adimensionalizado, se tiene:

( )

tH

UvV oof +=

3/2

τ

Se asume que la dispersión ocurre como consecuencia de la combinación simultánea de sedimentación, difusión y procesos de coagulación gravitacional y Browniana. Los parámetros que caracterizan el problema son:

H = 1.8 m sρ� = 50 x 1010 s-1 m-3

sε� = 0.002094 s-1 r0 = 10 x 10-6 m Uo = 0.10 m/s τc = 1.0 ττττd = 0.2 Temp = 300 K µgas = 1.8 x 10-5 Kg/m/s ρp = 1000 kg/m3

La Figura III.39 muestra la evolución de ρ y ε en diferentes posiciones. Los valores de estas variables son normalizados con el número de partículas producidas en un segundo y el volumen medio de las partículas de la fuente. Un estado intermedio estacionario es alcanzado en todo el tubo durante el período de fuente constante. Un pico de ρ y ε se observa antes de llegar al estado estacionario, en posiciones inferiores a la fuente, el cual se conforma primero por la llegada de partículas por sedimentación, aumento de la concentración, y luego por la disminución de la misma, como consecuencia del posterior efecto de la coagulación que se viene desarrollando desde posiciones superiores y por acople con la sedimentación produce un “barriendo” de partículas en posiciones inferiores. Los sucesivos estados de este frente o pico pueden ser reconocidos en la Figura III.40, donde los perfiles espaciales de ρ y ε son representados en diferentes momentos.

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 85 La distribución del volumen medio de la partícula a lo largo del recinto, durante el período de decaimiento de la fuente, puede ser observada en la Figura III.41. Se pueden distinguir dos frentes que se mueven desde la parte superior a la inferior del recinto. El primero se debe al ingreso de nuevas partículas a la región inferior, y el segundo al aumento del volumen medio originado por la coagulación de partículas al ir aumentando la concentración.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.010-4

10-3

10-2

10-1

100

z=0.0m

z=1.0m

z=1.8m ε ρ

τ

Figura III.39: Aerosoles en un medio convectivo: Evolución de ρ y ε adimensionales en distintas posiciones


0.0 0.5 1.0 1.5 2.010-3

10-2

10-1

100

τ=0.6

τ=0.6

τ=0.45

τ=0.3 τ=0.15

Curvas del estado estacionario ε ρ

z (m)

Figura III.40: Aerosoles en un medio convectivo: Distribución de ρ y ε adimensionales a lo largo del recinto en distintos instantes durante el período de fuente constante

0.0 0.5 1.0 1.5 2.01

10

100

τ=0.45

Frente coagulación

Frente avance

τ=0.9

τ=0.6

τ=0.3

v

τ=0.15

z (m)Figura III.41: Aerosoles en un medio convectivo: Distribución del volumen medio adimensional a lo largo del recinto a distintos instantes durante el período de fuente

estacionaria.

Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles - 87 Durante el período de disminución de la fuente, un frente se propaga en forma descendente, produciendo el incremento transitorio de ρ observado en las posiciones más bajas en la Figura III.39. Esto ocurre ya que la coagulación se reduce paulatinamente, por disminución de la concentración en la región más alta y pequeñas partículas llegan con menos probabilidad de coagular. Finalmente ρ decrece siguiendo la velocidad de disminución de la fuente. La Figura III.42 muestra los perfiles espaciales sucesivos de ρ y ε durante el decaimiento de la fuente.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.010-3

10-2

10-1

100

τ=1.6

τ=1.4

τ=1.2

τ=1.0

distribución estacionaria inicial ε ρ

z (m)

Figura III.42: Aerosoles en un medio convectivo: Distribución de ρ y ε a lo largo del recinto en distintos instantes durante el período de decaimiento de la fuente

La Figura III.43 muestra la proyección en el espacio de fases ρ y ε adimensionales, en diferentes posiciones, para una velocidad del gas de 10 m/s. El estado estacionario se encuentra marcado con un punto. Es interesante observar los efectos dinámicos en las posiciones más bajas. La llegada de la onda de partículas es asociada con las posiciones de la trayectoria, cuando ρ toma valores superiores a los del valor estacionario.

La Figura III.44 muestra un estudio paramétrico efectuado a fin de analizar la influencia de la velocidad del gas en la dispersión de aerosoles. Las proyecciones en el espacio de fases correspondientes al estado transitorio en z = 1.0 m, son representadas para diferentes velocidades del gas portante. Los flujos más altos conducen a bajas concentraciones en las cercanías de la fuente. Esto reduce el efecto de coagulación en la zona superior, con el consecuente menor barrido en la zona inferior. Por lo tanto la concentración de partículas en la zona inferior es mayor con flujos altos de gas que con flujos bajos. También la compleja dinámica causada por el acople de la sedimentación y coagulación se observa claramente a medida que el flujo disminuye.


10-3 10-2 10-110-4

10-3

10-2

10-1

Steady State Point

Uo = 0.10 m/s z = 1.8m z = 1.0m z = 0.0m

ρ

ε

Figura III.43: Aerosoles en un medio convectivo: Diagrama de fase de ρ y ε adimensionales a distintas posiciones para U0 = 0.10 m/s

10-3 10-2 10-110-4

10-3

10-2

10-1

Condición inicial estacionaria z = 1.0 m Uo=0.15m/s Uo=0.10m/s Uo=0.05m/s Uo=0.0 m/s

ρ

ε

Figura III.44: Aerosoles en un medio convectivo: Diagrama de fase de ρ y ε adimensionales para distintas velocidades en z = 1.0 m/s


9 RESUMEN Y CONCLUSIONES

En este capítulo se simularon distintos casos, tanto estacionarios como evolutivos, con el fin de compararlos con soluciones analíticas o numéricas extraídas de bibliografía y verificar el correcto funcionamiento del modelo numérico y de las ecuaciones constitutivas programadas. Se puede concluir que el modelo numérico responde correctamente. También se analizaron los efectos de cada uno de los mecanismos programados sobre la dinámica de una población de partículas y de los acoples entre ellos. Además se compararon los resultados de la evolución aerosoles bajo coagulación y sedimentación con el código AEROSIM de la autoridad nuclear del Reino Unido, que usa el método seccional y la hipótesis de homogeneidad espacial para resolver la ecuación general de dinámica. La solución numérica de sedimentación actuando en forma aislada, es decir como único mecanismo presente, reproduce aceptablemente la solución analítica exacta, hasta tiempos comparables con el que tarda una partícula con el volumen medio en recorrer la altura recinto. Para tiempos mayores la solución numérica se aparta de ésta dado que la física del problema hace que la distribución real en tamaño se vaya recortando en los tamaños mayores, hecho que el Método de los Momentos no puede simular. Es importante aclarar que cualquier mecanismo como la coagulación o condensación, que genere partículas de tamaños superiores mejorará la solución obtenida con el método de los momentos. También se compara favorablemente el presente modelo respecto de la solución que se obtiene de un modelo en donde se usa la hipótesis de homogeneidad espacial, ya que esta última se aparta de la exacta desde los primeros instantes. Los resultados numéricos para la dinámica de coagulación Browniana actuando en forma aislada como con sedimentación en condiciones estacionarias, presentan una muy buena concordancia con las soluciones analíticas. El caso de evolución de una población actuando bajo estos dos mecanismos, fue comparado con datos de bibliografía obtenidos con el código AEROSIM. Inicialmente dado que la coagulación Browniana actúa homogéneamente en todo el recinto no se observan diferencias, luego cuando el tamaño de las partículas se incrementa y la sedimentación empieza a tener efecto, se produce un barrido de partículas del recinto no evaluado por dicho código. Se observan de nuevo gradientes importantes de concentración y tamaño de partículas. Coagulación Gravitacional actuando en forma aislada es una abstracción, a diferencia del mecanismo anterior que en etapas temprana de liberación, correspondería a una situación más realista. Este mecanismo es el que presenta el mayor acople con la sedimentación, dado que se potencia la eficiencia de la coagulación al aumentar el tamaño de las partículas, pero a su vez, esto favorece la remoción por caída, produciendo un barrido muy eficiente en posiciones inferiores, que a su vez limita el proceso de coagulación. Esta circunstancia no es evaluada por el programa AEROSIM, con el que se comparan los resultados, mostrando diferencias a mediano y largo plazo. Se observan gradientes espaciales importantes. En general se puede decir que el proceso Browniano lleva a un aumento temprano del tamaño, pero a medida que hay menos partículas en el dominio, éste pierde eficacia, mientras que el gravitacional aumenta su tasa al incrementarse el tamaño de las partículas, reduciendo rápidamente la concentración. A mediando término (τG ≈ 2, τB ≈ 60) el gravitacional resulta ser más efectivo.

90 – Comparación del modelo y análisis de la dinámica de aerosoles Además de analizar el mecanismo Browniana se puede deducir que, a medida que transcurre el tiempo, la concentración de partículas se hace independiente del valor inicial. Se puede demostrar (Wilson R., 1985) que la forma funcional que presenta éste mecanismo hace que la distribución también se aproxime a una forma que es independiente de la forma inicial de distribución del volumen de las partículas. Esta es una consecuencia importante para el modelado del Término Fuente, dado que hace que la distribución inicial en volumen, conformada por procesos diversos y no siempre bien entendidos durante la fusión del núcleo del reactor, evolucione hasta hacerse independiente de la condición inicial a medida que el tiempo transcurre, con lo cual se facilita o se simplifica el modelado. Para las condiciones esperables en caso de accidente severo, se espera precisamente que coagulación Browniana prevalezca, no así la gravitacional ni la sedimentación, justificando la aproximación inherente al método empleado. Con respecto a condensación, la concordancia entre los resultados numéricos con los analíticos es muy buena y su implementación no reviste dificultad alguna, comparada con lo complejo que resulta computar los cambios de volumen por este mecanismo en métodos como el seccional, debido a problemas numéricos (Barret, 1998). Por último con el fin de estudiar la heterogeneidad espacial durante transitorios en un medio convectivo, se analizó la dispersión de una fuente de aerosoles en un flujo de gas descendente a lo largo de un recinto considerando coagulación Browniana y gravitacional, difusión y sedimentación. Para velocidades de gas altas la coagulación se ve reducida con lo cual se observa un menor barrido (mayor concentración) en la zona inferior, respecto de casos con velocidades bajas o nulas. De nuevo se observan gradientes espaciales importantes y frentes relacionados con el incremento de la coagulación y la sedimentación que un modelo homogéneo fallaría en evaluar.

91

CAPITULO IV

MODELO BIDIMENSIONAL DE DINÁMICA DE

AEROSOLES CASOS DE ESTUDIO

1 INTRODUCCIÓN La validez de la homogeinización espacial, como ya se ha analizado previamente, es un área que requiere particular atención cuando se modelan contenciones pequeñas, experimentos en vasijas, o el transporte de aerosoles en el circuito primario. El caso más evidente es el transporte a lo largo de los tubos del generador de vapor en secuencias accidentales como la que puede originarse como consecuencia de la de rotura de dichos tubos. Este evento implica una pérdida de refrigerante hacia el circuito secundario, que de no ser mitigada y el núcleo quearía sin refrigeración y se alcanzaría la fusión del mismo con liberación de productos de fisión al sistema secundario, produciéndose un eventual by-pass de la contención. Es de esperar que en todos estos estos casos se presenten gradientes importantes en la distribución espacial de las partículas, en donde aplicar la hipótesis de homogeneidad espacial puede ser errónea. Por lo tanto, de considerar el comportamiento altamente no lineal de los aerosoles y la fuerte dependencia de los procesos (coagulación, sedimentación, difusión, sustentación, etc.) con el tamaño de las partículas, surge el interés por expandir el modelado unidimensional a uno bidimensional con geometría cilíndrica y de esta forma estudiar los efectos locales radiales de distribución del material particulado en tuberías. En este capítulo presentaremos una primera aproximación a este problema. En particular se pretende modelar la difusión, termoforesis y la fuerza de sustentación radial sobre la partícula cuando ésta se traslada en un campo de velocidades con vorticidad no nula, cuya dirección podrá ser hacia o desde la pared, según el sentido de circulación del gas portante. En todos los casos el perfil de velocidades del gas portante deberá ser dado como condición externa, asi como el perfíl térmico cuando se desee evaluar la deposición radial por termoforesis. 2 ECUACIONES DE BALANCE La ecuación (I.1) expresada en coordenadas cilíndricas, (z, r) de forma tal de representar el transporte de aerosoles en conductos, en donde la dirección vertical –axial- coincide con la coordenada z, resulta:

92 - Modelo bidimensional de dinámica de aerosoles – Casos de estudio

)v,t,r,z(St

)v,t,r,z(n)v,t,r,z(nz

r)v(Dr

)]v,t,r,z(n)v,t,r,z(Ur[rr

1)]v,t,r,z(n)v,t,r,z(U[zt

)v,t,r,z(n

coag

rz

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

(IV. 1)

Se puede observar que se desprecia la difusión de partículas en la dirección z respecto del término convectivo en esa misma dirección (para el rango de interés el Peclet= U L/D es del orden de 105 a 1013). Se la incluye en la componente radial dado que el transporte de partículas por este mecanismo podría ser comparable, si el diámetro de las partículas es menor a las décimas del micrón, con las velocidades de la partícula en dicha dirección debido a la fuerza de termoforesis que se origina por gradientes de temperatura o la de sustentación que se origina al trasladarse la partícula en un campo de velocidades con vorticidad no nula. Para diámetros mayores la difusión radial podría despresiare y el transporte radial será debido a las fuerzas de sustentación o termoforesis. Empleando el mismo procedimiento que el descripto en el Capítulo II se obtienen las ecuaciones correspondientes al momento de orden cero y uno:

ρρρρρ ρρρρ SC

rD

rrrz

UrUr

rt

zr

+=

∂∂

∂∂−

∂∂

+∂

∂+

∂∂ )(1)()(1

εεεε εεεε S

rDr

rrzU

rUr

rt

zr

=

∂∂

∂∂−

∂∂

+∂

∂+

∂∂ )(1)()(1

(IV. 2)

En las ecuaciones anterires se ha dejado de explicitar la dependencia con (z,r,t,v) por razones de espacio y simplicidad. Las siguientes expresiones:

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnDDρ ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvnv

dvnDvDε

∫∞

=0

dvSSρ ; ∫∞

=0

dvvSSε

dvdtdnC

coag∫

∞

=0ρ

(IV. 3)

corresponden a los coeficientes de difusión, y términos de coagulación y fuente. Las velocidades –asociadas al transporte de partículas y de fracción de volumen ocupada por partículas- se descomponen en la componente z, que representa la velocidad del medio más la velocidad de sedimentación y en la componente r que representa a la suma de las velocidades de la partícula debido a la sustentación y a la termoforesis:

Modelo bidimensional de dinámica de aerosoles – Casos de estudio - 93

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnUU

zzρ ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnUU

rrρ (IV. 4)

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvnv

dvnUvU

zzε ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvnv

dvnUvU

rrε (IV. 5)

Las expresiones para los términos de difusión, coagulación, fuente y las componentes en la dirección z de la velocidad son iguales a las derivadas anteriormente para el modelo unidimensional. En el caso particular de la coagulación se modela la originada por diferencias en la componente axial de la velocidad de las partículas, debido a la sedimentación. A continuación se obtienen los términos para las velocidades Uρ y Uε para la componente radial teniendo en cuenta la fuerza de sustentación. Luego se presentará la física asociada a la termoforesis y la expresión para el cálculo de la velocidad de la partícula debida a este mecanismo. En el modelado siempre se asumirá que la velocidad que tiene la partícula es la final o terminal para las condiciones imperantes en la posición en que se encuentra, (ver Capítulo II, sección 2.4). 3 SUSTENTACIÓN La fuerza de sustentación surge cuando una partícula se encuentra en un campo de velocidades con vorticidad no nula. Por ejemplo, si una partícula que se traslada paralelamente a una pared plana, en un fluido con un flujo de corte uni-direccional paralelo a la pared, experimentará una fuerza en la dirección normal a ésta (Saffman, 1995; Mc Laughlin, 1991, 1993 y 1994). Esta fuerza transversal fue estudiada por Saffman mediante métodos perturbativos, asumiendo que los términos inerciales debido al tensiones de corte, en la ecuaciones de Navier-Stokes, son grandes comparados con los términos inerciales debido a la velocidad relativa de la partícula respecto del gas y que el Reynold para el fluido, tomando como longitud característica a la dimensión de la partícula, es menor que uno. Por otro lado, Saffman mostró que el efecto de rotación de la esfera (partícula), inducido por el fluido, genera una fuerza de sustentación que actúa en la misma dirección que la debida al gradiente de velocidad del fluido, pero su contribución es de segundo orden (Cherukat P. & Mc Laughlin, 1994). De la revisión bibliográfica surge que el modelado de la fuerza transversal originada por la sustentación no está completamente entendida y en muchos casos se omite su modelado. En particular en el problema de aerosoles debido a su menor tamaño dicha fuerza es debil en comparación con la de burbujas con diámetros del órden o mayores que el milímetro. Por otro lado la realización de experimentos involucrando partículas del orden de los micrones posee una alta complejidad dado que la medición puede perturbar el sistema. Mollinger A., (1996), ha medido la fuerza de sustentación de partículas en contacto con la pared, pero para tamaños del orden de 120 micrones, siendo ésta el único experimento encontrado con tamaños tan pequeños, pero aun superiores más de un orden de magnitud respecto del rango de interés del presente trabajo.


3.1 MOMENTO INTERFACIAL

A continuación se detallan las fuentes de momento interfacial que se modelan para deducir las expresiones de la velocidad radial y axial de las partículas.

3.1.1 FUERZA DE SUSTENTACIÓN

La fuente de momento interfacial de sustentación para las partículas se puede expresar como (Drew & Lahey 1979):

)u()uu(CM gpgLgpSustp

��

�

×∇×−= ρα (IV. 6)

Donde CL es el coeficiente de sustentación o de lift. Dado que la velocidad del gas en la dirección radial y angular (θ) es nula y se considera al flujo desarrollado, el rotor sólo tiene

componente en la dirección θ, r

u zg

∂∂

−= ,θϖ . Resolviendo luego el producto vectorial de la

velocidad relativa con el rotor resultan las fuentes de momento por sustentación por componente:

ru

uC

)uu(CM

z,grelz,pLgp

z,pz,gLgpSust

r,p

∂∂

=

−−=

ρα

ϖρα θ

(IV. 7)

ru

uCM z,gr,pLgp

Sustz,p ∂

∂= ρα (IV. 8)

3.1.1.1 Coeficiente de sustentación

Saffman [1965] propone para la fuerza de sustentación la siguiente expresión, para ϖθ positivo:

21

,2615.1

=

gg

relrppg

SustSaffman udF

µϖρµ θ

(IV. 9)

Si ϖθ es negativo, el signo del miembro de la derecha de la ecuación (IV.9) deber ser cambiado y ϖθ reemplazado por su magnitud en el argumento de la raiz cuadrada (Mc. Laughlin, 1991). Las hipótesis de validez de dicha expresión son de medio infinito (campo perturbado del fluido por la partícula no entra en contacto con la pared) y que:


21Gp

z,g

g

2p

G

g

relpp

ReRe

1r

udRe

1udRe

<<

<<∂

∂=

<<=

ν

ν

(IV. 10)

Estas condiciones se verifican para el rango de interés, partículas del orden del micrón y flujo laminar (Ref < 1000), ReG (Re de Saffman) y Rep (Re de Stokes) con varios órdenes de magnitud por debajo de la unidad y con ReG

1/2 entre 20 y 200 veces mayor que el Rep , según se ecuentre la partícula próxima al centro o a la pared del tubo, respectivamente. Dado que la fuerza de sustentación es igual a la integral volumétrica de la fuente de momento por sustentación, en la dirección radial resulta:

∫=

vol

Sustr,p

21

gg

relr,p

2pg dvolMud615.1

µϖρµ θ (IV.11)

Reemplazando ecuación (IV.8) en (IV.11), integrando en el volumen de la partícula y finalmente despejando el coeficiente CL, resulta:

21

,08.3

=

θϖρµ

g

g

pSaffmanL d

C (IV.12)

Leighton & Acrivos (1985) evaluaron la fuerza de sustentación cuando la partícula se encuentra en contacto con la pared -su velocidad es nula-. Su modelado debe ser incluído si se pretende considerar la resuspensión de partículas depositadas en paredes dado que el sentido de ésta es siempre hacia el centro de la tubería. En el presente modelo se considera que las partículas que impactan contra la pared del tubo quedan allí retenidas y no regresan al fluido.

3.1.2 FUERZA DE ARRASTRE

La fuerza de arrastre es la que experimenta la partícula al moverse a una velocidad uniforme en un fluido viscoso. La fuente de momento interfacial por arrastre para las partículas es:

|uu|)uu(d

C43M pgpg

p

gDp

Arrp

��

�

−−=ρ

α (IV.13)

En donde CD es el coeficiente de arrastre o drag y es en general función del Reynolds de la partícula. La fuente de momento expresada por componentes, considerando que la velocidad del gas en la dirección r es nula, resulta:

2r,p

p

Dgp

Arrr,p u

dC

43Mρ

α−= (IV. 14)


||)(43

,,,,, zpzgzpzgp

Dgp

Arrzp uuuu

dC

M −−=ρ

α (IV. 15)

Suponiendo que el régimen es de Stokes, el coeficiente de arrastre es:

pg

gz,pz,gp

pD

d|uu|Re

Re24C

µρ

−=

=

(IV. 16)

Por lo tanto el término de fuente de momento para ambas coordenadas, resulta :

rpp

gp

relrp

p

gp

Arrrp u

du

dM ,2,2, 1818

µα

µα −== (IV. 17)

rel

z,p2p

gpz,pz,g2

p

gp

Arrz,p u

d18)uu(

d18M

µα

µα =−= (IV. 18)

3.2 VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS

Para la derivación de los términos de velocidad radial originada por fuerzas de sustentación se partirá de las ecuaciones de balance de momento lineal en las coordenadas (z,r), tanto para el gas como para las partículas. Como resultado también se obtendrá la expresión ya usada para sedimentación de las partículas. Para ello se usa un modelo de fluido de dos fases adaptado a dispersiones diluidas de inclusiones densas como es el caso de las partículas. Entre varias clases de promediado, Ishii (1975) mostró que el promediado temporal Euleriano se adapta a flujos dispersos donde el transporte es fuertemente dependiente de las fluctuaciones locales instantáneas de las variables. Cuando el promediado es aplicado a las ecuaciones microscópicas de flujos de dos fases, resultan ecuaciones macroscópicas que definen los campos promedio de dos pseudofluidos (Ishi & Mishima, 1984). La ecuación de momento para un sistema de dos fases (k=g, p) en donde las partículas son el medio disperso se pueden escribir de la siguiente manera (Armand, 1998; Carrica, 1998):

izkki,kReij,kij,kk

jj,kj,kkk

jj,kkk gM)]TT([

x)uu(

x)u(

tδρααραρα �

�

�� +++∂∂=

∂∂+

∂∂

(IV. 19)

en donde xj es la coordenada espacial, i es el índice de interfase, Tk,ij es el tensor de tensiones que lo podemos expresar como una presión más las tensiones de corte, Re

ij,kT tensor de tensiones


de Reynolds. El último término de la derecha de la ecuación de momento es la fuente volumétrica de momento por fuerza externa como lo es la gravedad. No se considera flujo de momento interfacial por cambio de fase dado que en el presente modelo no se incluye la condensación o evaporación sobre los aerosoles. Finalmente kiM

�

son las fuente de tensiones interfaciales:

∑+∂∂−

∂∂= kik

jkik

jkik 'M

xxpM

��

ατα (IV. 20)

donde ∑ ki'M

�

son las fuentes de momento de interés en el presente problema que son debidas a fuerzas de “arrastre”y “sustentación”. Si despreciamos la inercia del gas y de las partículas (i.e., asumimos que la velocidad terminal de las partículas se alcanza rápidamente), y si también despreciamos las tensiones de corte, al igual que las tensiones turbulentas o de Reynolds Re

ij,kT (i.e., aerosoles que no modifican el campo de velocidades del gas), la ecuación (IV.20) resulta, tomando la coordenada z con sentido positivo descendente: Para las fase gas (k=g): coordenada z)

gMpz ggzgg ραα ++−∂∂= ,)(0 (IV. 21)

con:

Arrz,g

gz,g M

zpM +

∂∂

=α

(IV. 22)

coordenada r)

r,gg M)pr(rr

10 +−∂∂= α (IV. 23)

con:

Sustrg

Arrrg

grg MM

rr

rpM ,,, ++

∂∂

=α

(IV. 24)

Desarrollando las derivadas, reemplazando las expresiones para la fuente de momentos se obtiene: coordenada z)

0, =++∂∂− gM

zp

ggArr

zgg ραα (IV. 25)

coordenada r)


rgg Mrp

,0 +∂∂−= α (IV. 26)

Dado que el flujo se asume desarrollado (variación radial de la presión nula) se tiene que la ecuación para la coordena radial (r ) se reduce a:

rgM ,0 = (IV. 27)

Para las fase partícula (k=p): coordenada z)

gMpz ppzpp ραα ++−∂∂= ,)(0 (IV. 28)

con: Sust

zpArr

zpp

zp MMz

pM ,,, ++∂∂

=α

(IV. 29)

coordenada r)

r,pp M)pr(rr

10 +−∂∂= α (IV. 30)

con: Sust

rpArr

rpp

rp MMr

rrpM ,,, ++

∂∂

=α

(IV. 31)

Desarrollando las derivadas, reemplazando las expresiones para la fuente de momento, considerando flujo desarrollado (variación radial de la presión nula), se obtiene: coordenada z)

0, =++∂∂− gM

zp

ppzpp ραα (IV. 32)

coordenada r)

r,pM0 = (IV. 33)

Dado que zgzp MM ,, −= , de ecuaciones (IV. 25) y (IV. 32) y considerando αp<<1 se obtiene la variación de la presión en z:

ggzp

gppgg ρραρα ≈+=∂∂ )( (IV. 34)


Tomando la ecuación (IV. 32) y reemplazando las ecuaciones para la derivada de la presión los términos de arrastre y sustentación, ecuaciones (IV. 34), (IV. 18) y (IV. 8) respectivamente, se tiene, luego de simplificar αp, que:

018)( ,,,2 =

∂∂

++−r

uuCu

dg zg

rpgLrel

zpgp

gp ρµρρ (IV. 35)

De la ecuación (IV. 33), reemplazando los términos de arrastre y sustentación para la partícula componente radial, ecuaciones (IV. 14) y (IV.6) respectivamente, resulta:

0r

uuCu

d18 z,grel

z,pgLr,pg2p

=∂

∂+− ρµ (IV. 36)

El sistema de ecuaciones resultante (IV. 35) y (IV. 36) constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: las velocidades relativas de la partícula en las direcciones z y r, supuesto conocida la velocidad del gas y su perfil en la dirección radial. Luego de resolver dicho sistema, resulta la siguiente expresión para la velocidad de sedimentación de la partícula (dirección axial):

2, 18

)(p

g

pgp

relzp d

gFu

µρρ −

= (IV. 37)

Donde:

∂∂

+

=2

,2

181

1

rudC

Fzg

g

pLg

p

µρ

(IV. 38)

Para diámetros de partículas del orden de 10 micrones y velocidades del gas del orden del metro por segundo el término del denominador del factor Fp, es del orden de 10-6, con lo cual dicho factor puede ser considerado igual a 1, entonces la expresión (IV. 37) resulta en la conocida velocidad de Stokes. Explicitando la velocidad de la partícula en la dirección axial se tiene:

2,, 18

)(p

g

pgpzgzp d

gFuu

µρρ −

−= (IV. 39)

Si la velocidad del gas es positiva –sentido descendente en este caso- y dado que la densidad de la partícula es mayor que la del gas, la partícula se movera con una velocidad mayor que la del gas, es decir “adelantando” al fluido; si la velocidad de sedimentación es menor que la del gas y éste se mueve en sentido ascendente, velocidad negativa, la partícula será arrastrada, velocidad absoluta menor que la del gas y “atrasará” respecto de éste. Para la componente radial se tiene:

ru

dg

CFu zgp

g

pggLprp ∂

∂−= ,4

2, 324)(

µρρρ

(IV. 40)


Dado que la densidad de la partícula es mayor que la del gas y si la velocidad del gas es en el sentido de z creciente, sentido de la fuerza de gravedad, el gradiente de la velocidad en la dirección radial será negativo. Por lo tanto la componente radial de la velocidad de la partícula tendrá signo positivo y la partícula se movera hacia la pared del tubo, Figura IV.1a. O tal cual lo expresa Saffman (1965), si la partícula va más rápido que el fluido –leading the flow-, el efecto inercial originado por un gradiente de una magnitud dada, moverá a la partícula lejos del eje del tubo. Si el flujo de gas es ascendente, el gradiente es positivo y dicha velocidad tendrá signo negativo, las partículas se trasladarán hacia el centro del tubo, Figura IV.1b. A decir, nuevamente, de Saffman, si la partícula “atrasa” respecto del fluido –lagging the flow- se generará una fuerza hacia el eje. Si el caso fuese de burbujas desplazandose en un líquido, siendo el gas ahora el medio disperso y el líquido el continuo, el efecto será el opuesto.

a: Caso flujo de gas descendente

(leading the fluid)

b: flujo de gas ascendente

(lagging the fluid)

Figura IV.1: Fuerza de sustentación

4 TERMOFORESIS Una partícula suspendida en un gas en presencia de un gradiente de temperatura experimenta una fuerza neta que la hace mover en el sentido decreciente de la temperatura. Este fenómeno, llamado termoforesis puede ser muy efectivo en remover partículas con diámetros del orden del micrón o menores. Termoforesis es un mecanismo importante en la retención de aerosoles en el circuito primario de reactores, principalmente en secuencias accidentales que involucran la circulación de gases por los tubos de los generadores de vapor. En secuencias accidentales graves la temperatura de los gases a la salida del núcleo puede ser de varios cientos de grados mayores que las temperaturas de las estructuras y en particular a la de los generadores de vapor, si es que se mantiene la alimentación de refrigerante al lado secundario de los mismos. Análisis teóricos

r

up,z

Fsust

z

Fsust

r

z up,z

Fsust


con base experimental postulan la siguiente forma funcional para la velocidad de termoforesis (Hinds W., 1982; Williams M. M. R., Loyalka S. K., 1991):

T/TKthVthg

g ∇−=ρµ

(IV.41)

En donde el coeficiente Kth refleja la dependencia con el pg r/Kn λ= , (λg el camino libre medio en el gas, rp el radio de la partícula) y el cociente entre las conductividades del gas y partícula. Para Kn mayores que aproximadamente 0.1 este coeficiente no depende del tamaño de las partículas ni de las propiedades físicas. El movimiento de traslación se produce por impactos diferenciales en la energía cinética de las moléculas del gas sobre la partícula. Para Kn menores (partículas del orden del micrón o mayores a presión atmosférica, o tamaños algo menores si ésta es mayor) la fuerza de termoforesis es causada por el deslizamiento del gas en la superficie de las partículas calentada no uniformemente. En condiciones estacionarias esta no uniformidad está determinada por el gradiente de temperatura del gas y depende fuertemente del cociente entre las conductividades del gas y de la partícula. A medida que este cociente se achica se observa una importante disminución de la velocidad de termoforesis dado que se establece un cortocircuito térmico a través de la partícula, afectando el gradiente del gas. Distintas correlaciones se encuentran en la literatura para modelar el coeficiente Kth, en particular en este trabajo se utilizará la de Epstein (Hontañon E., 1998):

)k/k21(k/k

5.1Kthpg

pg

+=

Al no presentar dependencia con el Kn, es decir con el diámetro de las partículas, las velocidades del término convectivo radial por termoforesis, momentos de orden cero y uno serán iguales entre sí y a la ecuación (IV.41). 5 TÉRMINO CONVECTIVO: SUSTENTACIÓN - MOMENTOS CERO Y UNO Una vez obtenidas las expresiones para la velocidad de las partículas por fuerza de sustentación, se evaluan los respectivos términos convectivos correspondientes a las ecuaciones de momento de orden cero y uno. La componente en la dirección vertical (z) de Uρ y Uε corresponden a las ecuaciones obtenidas en el Capítulo II, mientras que para cuantificar la componentes radiales, hace falta definir un perfil de la velocidad dentro del tubo, para ello se propone utilizar un perfil laminar, siendo umax la velocidad máxima –centro del tubo-, positiva sentido desdendente y R el radio del tubo:

)Rr1(uu 2

2

maxg −= (IV.42)

Por lo tanto la velocidad radial de las partículas, asumiendo que ρg<<ρp y usando la expresión aproximada (Fp=1), resulta:


422max, 162 p

g

gpLrp d

Rrg

uCuµρρ

= (IV.43)

Si se utiliza el coeficiente de sustentación propuesto por Saffman, y expresando la velocidad radial de la partícula en términos del volumen, resulta:

( ) vruR

gu

g

gprp

2/1max2/3

2/1

, 0257.0µρρ

= (IV.44)

Las componentes radiales de Uρ y Uε para modelar la velocidad de sustentación resultan finalmente de reemplazar la ecuación (IV.43) en las definiciones de dichas velocidades, ecuaciones (IV.4) y (IV.5) respectivamente:

vR

gruU

g

gpr23

2/121

max )(0257.0µρρ

ρ =

vR

gruU

g

gpr23

2/121

max )(0385.0µρρ

ε =

(IV.45)

6 TÉRMINO DE COAGULACIÓN Para modelar la coagulación por diferencia de velocidades o cinemática (denominada anteriormente por sedimentación) se usa la relación presentada en el capítulo II, cuya expresión para el momento de orden cero resulta: (Loyalka, 1991):

( ) ( ) ( ) dvunvnvuKduC Gcoag ∫ ∫∞ ∞

−=0 0

,2

1ρ (IV.46)

Con:

||)(),( 212

2121 VVrrrrKG

��

−+= π Es decir el núcleo de coagulación es proporcional a la sección transversal de las partículas en consideración (ri : radio de las partículas) y a la velocidad relativa entre ambas. Al modelarse el sistema en dos dimensiones la velocidad de las partículas tendrá una componente radial y otra axial, por lo tanto haciendo composición de velocidades dicha expresión resulta:

[ ] [ ]2222121 )()()()()(),( uVvVuVvVrrrrK rrzzG −+−+= π (IV.47)

Donde Vz es la componente axial de la velocidad dada por la ley de Stokes y Vr la componente radial originada por la fuerza de sustentación. Esta última depende de la posición radial, por lo tanto habría que resolver la integral de coalescencia para cada posición, es decir para cada nodo, situación que hace que sea dependiente del problema a tratar y del número de nodos que se elija, situación poco práctica. De todos modos dicha expresión no tiene solución analítica para las expresiones de la velocidad. Es por ello que para acotar la influencia de cada una de las


componentes, se resuelve la integral de la ecuación (IV.46) con el núcleo de coagulación considerando solo la fuerza de arrastre por un lado y por otro la de la gravedad en forma independiente. Usando la expresión (IV.44) para la velocidad radial, reemplazando en (IV.47) y resolviendo la integral en forma numérica se llega a la siguiente expresión:

( ) 23/52/1max2/3

2/1

096.0 ρµρρ

ρ vruR

gC

g

gpsust −= (IV.48)

Haciendo el cociente entre el término de coagulación por sustentación, ecuación anterior, y el de coagulación por sedimentación, ecuación (II.80), se tiene:

( ) 3/12/12max

2/1

dim /94.0 vRruCC

g

gse

sust

=

µρ

ρ

ρ (IV.49)

Esta relación aumenta con el diámetro de la partícula. Suponiendo una velocidad del gas de 2 m/s en un tubo con R = 0.01 m y que el gas portante es aire, se tiene para el punto de máxima pendiente (r = R), que:

pse

sust

dCC

2300dim =ρ

ρ

Entonces, por ejemplo para una partícula de 10 µm, dicha relación vale 0.023. Es decir, el aporte de la componente radial de la velocidad al proceso de coagulación puede despreciarse para el rango de interés, dp<10 µm. 7 MODELO NUMÉRICO Para la resolución numérica de las ecuaciones (IV.2) se emplea un esquema explícito, aproximando los término de transporte tanto axial como radial con derivadas en atraso y centradas para el difusivo, el término de coagulación que tiene una dependencia cuadrática con la concentración de partículas se linealiza en su dependencia del paso de tiempo actual (Press W., 1989; Patankar, 1980) El dominio radial se discretiza ubicando el primer nodo en el centro del tubo y el último en la pared en donde se establece, de ser necesario, la condición de contorno requerida por el proceso difusivo. Cada nodo se encuentra ubicado en el centro de un volumen de control y tanto la concentración como la fracción de volumen ocupada por las partículas, corresponden los valores promedio en dicho volumen. Las expresiones discretas de cada uno de los términos de la ecuación para ρ en un nodo genérico, se muestran a continuación y surgen de plantear la conservación del escalar en el volumen en consideración, en donde i denota la posición axial del nodo, j la radial, n el instante de tiempo y los subíndices int y ext identifican las caras interna y externa del volumen correspondiente a cada nodo, que también se identifican con j+1/2 y j-1/2. Para la fracción ocupada por partículas se procede en forma análoga.


Término temporal:

tt

nj,i

1nj,i

∆−

≈∂∂ + ρρρ

Transporte axial:

z])U()U[(

z])U()U[(

z)U( 1j,i

zj,i

zint,i

zext,i

zz

∆−

≈∆−

≈∂

∂ −ρρρρρ ρρρρρ

Transporte radial:

)rr(r])U(r)U(r[

)rr(r2])Ur()Ur[(2

)rr(])Ur()Ur[(2

r)Ur(

r1

2/1j2/1jj

1j,ir

2/1jj,ir

2/1j

intextj

int,ir

ext,ir

2int

2ext

int,ir

ext,irr

−+

−−+

−−

≈

−

−≈

−

−≈

∂∂

ρρ

ρρρρρ

ρρ

ρρρρρ

Difusión radial:

)rr(r

)rr()D()D(

r)rr(

)D()D(r

)rr(

)rr()D()D(

r)rr(

)D()D(r2

)rr(

r)D(

rr

)D(r2

r)D(

rrr

1

2/1j2/1jj

1jj

1j,ij,i2/1j

j1j

j,i1j,i2/1j

22/1j

22/1j

1jj

1j,ij,i2/1j

j1j

j,i1j,i2/1j

2int

2ext

int,iext,i

−+

−

−−

+

++

−+

−

−−

+

++

−

−−

−−−

≈

−

−−

−−−

≈

−

∂∂

−∂

∂

≈

∂∂

∂∂

ρρρρ

ρρρρ

ρρ

ρ

ρρρρ

ρρρρ

ρρ

ρ

Término independiente:

n

n

j,i

nj,i

1nj,ij,i

n

SS

ddC

)(CC

ρρ

ρρρ ρ

ρρ

≈

−+≈ +


Para el nodo radial central (i, j=1) las expresiones conteniendo derivadas respecto del radio se aproximan de la siguiente manera a partir de plantear la conservación del escalar en el volumen en consideración (cilindro en este caso) y la condición de simetría o flujo nulo en el centro: Transporte radial:

2/1j

1,ir

ext

ext,ir

0r

r

r)U(2

r

)U(2r

)Ur(r1

+=

=≈∂

∂ ρρρ ρρρ

Difusión radial:

2/11

12

1,i2,i

ext

ext,i

0r r

)rr()D()D(

2

r

r)D(

2

r)D(

rrr

1

+=

−−

≈∂

∂

≈

∂∂

∂∂

ρρρ

ρ

ρρρρ

La velocidad radial debido a la fuerza de sustentación depende de la posición radial y del volumen de la partícula, se usa para calcular los flujos entrantes y salientes en la frontera del volumen, radios rj+1/2 o rj-1/2 respectivamente y se evalúa usando un esquema aguas arriba para el escalar volumen medio, como se detalla a continuación:

≈= vR

gruU

g

gpr23

2/121

max )(0257.0µρρ

ρ

velocidad hacia la pared:

jijg

gp vrR

gu ,

212/123

2/121

max0257.0 +≈µρρ

: para evaluar el flujo saliente

1,21

2/123

2/121

max0257.0 −−≈ jijg

gp vrR

gu

µρρ

: para evaluar el flujo entrante

velocidad hacia el centro:

jijg

gp vrR

gu ,

212/123

2/121

max0257.0 −≈µρρ

: para evaluar el flujo saliente

1,21

2/123

2/121

max0257.0 ++≈ jijg

gp vrR

gu

µρρ

: para evaluar el flujo entrante


El modelo desarrollado fue programado en un código de simulación en lenguaje FORTRAN 77, y en el presente trabajo será citado como TRANSAER-2D. En este código inicialmente se lee un archivo de entrada de los parámetros de la simulación, se realiza la verificación de coherencia de los mismos, tiene un bloque de inicialización, otro de cálculo e integración y finalmente otro de graficación. 8 TRASPORTE DE AEROSOLES EN UN DUCTO CON FLUJO DE AIRE En la presente sección se simula la evolución de una población de partículas, con una densidad espacial o concentración de 1011 partículas/m3 y con un radio medio de 2 µm (Rep ≈ 10-3 y ReG ≈10-4 ), en un tubo de 2 m de altura y 0.01 m de radio, en donde circula un flujo de aire con una velocidad máxima (centro del tubo) de 1.2 m/s (flujo laminar, Re ≈ 1000). La densidad de las partículas (U3O8) es de 8300 kg/m3. Las partículas se encuentran distribuidas inicialmente dentro del tubo en forma homogenea, tanto en la dirección radial como axial. Se asumen valores idénticos para caracterizar dicha población a la entrada del tubo, siendo ésta la condición de contorno del problema. También se postula que las partículas que impacten contra la pared del tubo se depositarán allí y no serán resuspendidas. Se simulan dos casos: flujo descendente y ascendente del gas, considerando sedimentación axial y movimiento radial de las partículas por sustentación, incluyendo el efecto de la coagulación. Para la malla radial se realizó una discretización variable con una mayor concentración de nodos en la pared y en el centro. Se observa una convergencia en aproximadamente 120 nodos radiales. Se tomaron 196 nodos siendo el de menor tamaño de 10-5 m, próximo a la pared y el mayor de 1.1 10-4 m, a medio radio desde centro del tubo. En la dirección axial se eligieron 81 nodos (∆z = 0.025 m). Ver Apéndice C.

8.1 FLUJO DE AIRE DESCENDENTE

8.1.1 SIN COAGULACIÓN

Se analiza inicialmente la sedimentación de partículas en un tubo vertical sin coagulación, con flujo de gas descendente y con régimen laminar. En las Figuras IV.2, IV.3 y IV.4 se muestran los perfiles radiales a la salida del tubo (z = 2 m, flujo descendente), de la concentración, la fracción de volumen ocupada por las partículas y el volumen medio, a distintos instantes a partir de la condición inical homogénea. Las mencionadas variables fueron normalizadas con los valores de la condición de contorno. El tiempo se adimensionalizó con el que tarda una partícula con volumen medio igual al de la condicion de contorno en recorrer el tubo. En aproximadamente 50 veces dicho tiempo se alcanza la condición estacionaria a la salida del tubo, determinada por el transporte radial. Si artificialmente no se modelara el transporte vertical, (descendente en este caso) y sólo se incluyera el transporte radial por sustentación, se observaría sólo un movimiento de partículas hacia la pared, tendiendo la solución a una concentración nula de partículas. Esto ocurriría ya que no arrivan partículas a un volumen dado desde posiciones superiores y no hay fuente de


partículas en la parte central del tubo. Durante este proceso se observarían perfiles radiales de concentración en donde la misma iría rápidamente a cero en el centro del tubo y más lentamente en la proximidad de la pared, siempre observándose mayor concentración a medida que el radio aumenta. Si ahora, a este caso se le agrega (condición de contorno) una fuente de partículas en el centro del tubo, con características iguales a la condición inicial, se alcanza un estado estacionario, con un perfil radial de concentración máximo en el centro, que disminuye rápidamente hacia la pared del tubo (geometría radial). Esto se debe a la acción de la fuerza de sustentación, modelada a través de la velocidad de sustentación de la partícula, que aumenta a medida que la misma se acerca a la pared. Entonces, el presente caso que estamos modelando con condición de contorno de una fuente de partículas en el extremo superior del tubo distribuidas radialmente en forma uniforme, se puede entender en parte teniendo en cuenta los casos hipotéticos recién planteados, como una especie de caso híbrido. La sedimentación y transporte axial por el gas hacen las veces de fuente de partículas desde una posición superior a una inferior. En la parte central del tubo la concentración de partículas disminuirá for efecto de la fuerza de sustentación, a pesar de que este efecto es leve debido al pequeño gradiente de la velocidad (perfil laminar) en dicha zona, y a que el flujo radial es nulo en el centro, en forma análoga al primer caso hipotético explicado. Sin embargo debido a la aparición de partículas desde posiciones superiores (que oficia de fuente) habrá reposición parcial y se alcanzará un estacionario, con concentración no nula. En la proximidad inmediata a la pared, el flujo de partículas hacia la misma alcanzará el máximo valor (máximo gradiente radial de la velocidad del gas) y por ende la remoción de partículas, haciendo que la concentración baje en dicha zona a pesar del aporte axial por sedimentación y del radial desde la zona de radios intermedios del tubo (entre el centro del tubo y la pared). Por otro lado, la zona de radios intermedios tendrá un aporte radial de partículas además del proveniente por sedimentación y arrastre del gas, presentandose por lo tanto, mayores concentraciones que en el centro del tubo y que en la periferia. En lo que respecta al volumen medio, dado que la velocidad radial resultante es proporcional al volumen de las partículas, las de mayor tamaño serán las más removidas y es por ello que a lo largo del radio del tubo, éste disminuye, siendo más notable en la zona central, por haber una baja reposición axial y en la periférica. El estado estacionario local se alcanza primero en la zona central para luego progresivamente establecerse hacia la periferia, en función del transporte radial de partículas hacia esa zona, como puede observarse en las mencionadas figuras.


0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

ΤΤΤΤ = 0.1 ΤΤΤΤ = 1 ΤΤΤΤ = 2 ΤΤΤΤ = 5 ΤΤΤΤ = 8 ΤΤΤΤ = 50

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura IV.2: Flujo descendente: Perfiles radiales de la densidad de partículas adimensional a distintos tiempos, a la salida del tubo (z = 2 m)

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00


Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)

Figura IV.3: Flujo descendente: Perfiles radiales de la fracción de volumen ocupada por las partículas adimensional a distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2 m)


0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00


Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m)

Figura IV.4: Flujo descendente: Perfiles radiales del volumen medio de las partículas adimensional a distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2 m)

En las Figuras IV.5, IV.6 y IV.7 se muestran los perfiles radiales estacionarios a distintas distancias desde la entrada –parte superior del tubo- de la concentración de las partículas, la fracción de volumen ocupada y el volumen medio de la distribución. Todas estas variables disminuyen su magnitud a mayor distancia de la entrada del tubo, debido a los procesos de remoción radial por impacto con la pared, originado por la sustentación, que en particular favorece la remoción de partículas con volúmenes mayores. Finalmente a modo ilustrativo, en la Figura IV.8 se muestran los valores de las componentes radiales y axiales de la velocidad de la partícula con el volumen medio en función del radio del tubo, a la salida del mismo. Como puede verse la velocidad de sedimentación es como mínimo, en el presente caso de análisis, dos órdenes de magnitud mayor que la originada por la fuerza de sustentación.


0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura IV.5: Flujo descendente: Perfil radial estacionario de la densidad de partículas adimensional en distintas posiciones axiales

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)

Figura IV.6: Flujo descendente: Perfil radial estacionario de la fracción de volumen ocupada por las partículas adimensional en distintas posiciones axiales


0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m)Figura IV.7: Flujo descendente: Perfil radial estacionario del volumen medio de las partículas

adimensional en distintas posiciones axiales

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0101E-5

1E-4

1E-3

0.1

1

Vel

ocid

ad (c

m/s

)

Radio (m)

sedimentación sustentación

Figura IV.8: Flujo descendente: Perfil radial de la velocidad de la partícula con volumen medio: componente axial dada por la sedimentación y componente radial originada por la

fuerza de sustentación, a la salida del tubo


8.1.2 CON COAGULACIÓN

Al incluir coagulación gravitacional en la simulación, la remoción radial de partículas se verá levemente incrementada ya a que este fenómeno hace aumentar el volumen medio de la población de partículas y por ende la velocidad radial media por sustentación -proporcional al volumen de las mismas si se considera la correlación de Saffman. Pero antes de pasar a la comparación directa con el caso anterior, se analizará progresivamente la introducción de la coagulación –de casos simples a más complejos-, con el objetivo de ayudar a la explicación del problema. Se modelan entonces, cuatro casos, todos con sedimentación sin difusión radial, que son:

a) Coalescencia por sedimentación, con un perfil radial de velocidad uniforme, sin fuerza de sustentación. El objetivo es establecer un caso base o de referencia, equivalente al modelo unidimensional con componente sólo en la dirección axial.

b) Coalescencia por sedimentación, con un perfil radial de velocidad laminar, sin fuerza

de sustentación. El objetivo es analizar el efecto en la coagulación del tiempo de residencia de la partícula en el recinto, al variar la velocidad del gas con el radio del tubo.

c) Coalescencia por sedimentación, con un perfil radial de velocidad laminar, con fuerza

de sustentación. El objetivo es estudiar un caso completo.

d) Sin coalescencia, con fuerza de sustentación. El objetivo es estudiar el efecto de la fuerza de sustentación aislada como referencia de la importancia de la misma en el proceso. Se corresponde con el caso simulado en la sección anterior.

En las Figuras IV.9 y IV.10 se comparan los perfiles radiales estacionarios de la densidad espacial de partículas y del volumen medio, a la salida del tubo. En el caso a) al simularse un perfil de velocidad uniforme con el radio, no hay variación radial de estas variables, la concentración disminuye por debajo del valor de la condición de contorno a la entrada del tubo, mientras que el volumen aumenta debido a la coagulación; este caso sirve como referencia de los casos siguientes y simula uno modelado unidimensional. Al introducir en el modelado un perfil de velocidad laminar, caso b), la concentración y volumen medio coinciden con el caso anterior en el centro del tubo. A medida que el radio aumenta el tiempo de residencia de las partículas aumenta –la velocidad del gas disminuye- y por lo tanto la probabilidad de coagulación también aumenta, disminuyendo notablemente la concentración y aumentando el volumen a más del doble. Al modelar la fuerza de sustentación, caso c) la cantidad de partículas en el centro disminuye, debido al transporte radial hacia la pared, al igual que el volumen medio. Este efecto se puede comparar con el caso d) en el que no se modela coagulación y sí la fuerza de sustentación. Se observa una menor concentración y un mayor volumen medio de la distribución de partículas al modelarse la coagulación. En la proximidad de la pared se presenta una mayor cantidad de partículas que en el caso b), debido al traslado por sustentación. Finalmente, debido a la mayor importancia relativa del movimiento por sustentación de las partículas más grandes y por lo tanto de su remoción hacia la pared, el volumen medio disminuye.


0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.0100.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Caso (a): Sin fza. de sust. y con coag.: perfil veloc uniforme Caso (b): Sin fza. de sust. y con coag.: perfil veloc laminar Caso (c): Con fza. de sust. y con coag.: perfil veloc laminar Caso (d): Con fza. de sust. y sin coag.: perfil veloc laminar

Den

sida

d (-)

Radio (m)Figura IV.9: Flujo descendente y coagulación: comparación de perfiles radiales estacionarios

de la concentración de partículas adimensional, salida del tubo, casos a), b), c) y d)

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

1.0

1.1

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

Caso (a): Sin fza. de sust. y con coag.: perfil veloc uniforme Caso (b): Sin fza. de sust. y con coag.: perfil veloc laminar Caso (c): Con fza. de sust. y con coag.: perfil veloc laminar Caso (d): Con fza. de sust. y sin coag.: perfil veloc laminar

Volu

men

med

io (-

)

Radio (m)Figura IV.10: Flujo descendente y coagulación: comparación de perfiles radiales estacionarios

del volumen medio de las partículas adimensional, salida del tubo, casos a), b), c) y d)


En las Figuras IV.11, IV.12 y IV.13 se comparan los resultados de la simulación completa, en donde se modela sedimentación, transporte por el gas, el efecto por sustentación y la coagulación gravitacional, con el caso presentado en la sección 8.1.1, en donde no se modelaba coagulación. En dichas figuras se muestran los perfiles radiales estacionarios de la concentración, fracción de volumen ocupada y el volumen medio de la distribución, a distintas distancias desde la entrada (parte superior del tubo). El acople entre la coagulación y la remoción de partículas debido a la fuerza de sustentación se presenta a lo largo de todo el radio del tubo, teniendo mayor incidencia en la zona cercana a la pared en donde la coagulación se ve favorecida por la concentración de partículas de mayor volumen que produce la sustentación. Todo este proceso en dicha zona termina favoreciendo la sedimentación o en otros términos el aumento de la velocidad de las partículas respecto del gas y por lo tanto la disminución de la fracción de masa como puede observarse en la Figura IV.12.

0.0000 0.0002 0.0004 0.008 0.0100.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Coagulación: sin con

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura IV.11: Flujo descendente: Comparación del perfil radial estacionario de la densidad de partículas adimensional en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación. Detalle


0.0000 0.0002 0.0004 0.008 0.009 0.0100.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c. d

e vo

lum

en (-

)

Radio (m)Figura IV.12: Flujo descendente: perfil radial estacionario de la fracción de volumen ocupada por las partículas, adimensional, en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación. Detalle

0.0000 0.0002 0.0004 0.008 0.009 0.010

0.96

1.00

1.04

1.08

1.12

1.16


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m) Figura IV.13: Flujo descendente: Comparación del perfil radial estacionario del volumen

medio de las partículas adimensional en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación. Detalle


Finalmente en la Figura IV.14 se comparan los flujos de partículas y de masa hacia la pared en r = R de los casos con y sin coagulación, normalizados con los respectivos flujos axiales de entrada al tubo. En el caso que no se modela la coagulación el volumen medio cerca de la pared disminuye a mayores distancias desde la entrada, ya que debido a que la fuerza de sustentación, las partículas de mayor volumen son las removidas. Por lo tanto ambos flujos disminuyen. Al incluir coagulación el volumen medio se incrementa en la proximidad de la pared y también a mayores distancias de la entrada, contrapesando la remoción de las de mayor tamaño originada por la fuerza de sustentación. El resultado neto es un aumento leve del flujo de partículas cerca de la entrada y una menor disminución respecto del caso sin coagulación del flujo de masa a mayores distancias de la entrada. Por lo tanto las pérdidas por deposición en pared serán mayores.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0008

0.0009

0.0012

0.0013

0.0014

(-)

Longitud (m)

Coagulación sin con

Flujo de partículas Flujo de masa

Figura IV.14: Flujo descendente: comparación del flujo de partículas y de masa hacia la pared

en r = R , normalizados con los respectivos flujos axiales de entrada al tubo, con y sin coagulación

8.2 FLUJO DE AIRE ASCENDENTE

Se presentan a continuación los resultados de la simulación de un flujo de gas ascendente, con regimen laminar a lo largo de un tubo. Al igual que en el caso anterior el tubo tiene 2 m de altura y 0.01 m de radio. El flujo de aire ascendente tiene una velocidad de 1.2 m/s. La concentración es de 1011 partículas/m3 y el radio medio es de 2 µm. Las partículas se encuentran inicialmente homogeneamente distribuídas en el tubo. Se fija como condición de


contorno en la parte inferior del tubo los mencionados valores que caracterizan a la distribución en volumen de las partículas. En este caso la posición axial cero corresponde a la parte inferior del tubo que a su vez es la entrada de partículas. El problema modelado corresponde a una situación en donde las partículas son arrastradas por el gas hacia arriba.

8.2.1 SIN COAGULACIÓN

Las partículas en presencia de un flujo laminar ascendente experimentarán una fuerza hacia el centro del tubo, produciéndose gradualmente un aumento de la concentración en la zona central y por lo tanto un vaciamiento progresivo desde la pared hacia el centro. De no simularse artificialmente el transporte vertical la solución tendería con el tiempo a la acumulación total de partículas en el centro del tubo. Al incluirse en el modelado el arrastre de partículas desde la parte inferior hacia la superior se alcanzará un situación estacionaria entre el flujo neto radial hacia el centro del tubo y el aporte de partículas desde posiciones inferiores. En las Figuras IV.15, IV.16, IV.17 y IV.18 se muestran los perfiles radiales, a la salida del tubo (z = 2m), de la concentración de partículas, la fracción de volumen ocupada y del volumen medio, a distintos instantes luego de dejar evolucionar al sistema a partir de la condición inical homogénea, correspondientes al caso en donde se modela sedimentación, difusión radial y velocidad de sustentación. En todos los casos dichas variables fueron adimensionalizadas con los valores de la condición de contorno. El tiempo se adimensionalizó con el tiempo que tarda una partícula con el volumen medio de la condición de contorno en recorrer el tubo. En aproximadamente 50 veces el tiempo caracterísitico se alcanza la condición estacionaria a la salida del tubo. Debido al proceso de migración radial se observa una disminución de la concentración en la proximidad de la pared y un aumento o acumulación (también debido a la geometría cilíndrica) de partículas en el resto de la zona central del tubo. En particular debido a la disminución con el radio de la velocidad de sustentación de las partículas se produce un máximo relativo en la zona cercana –pero no próxima- a la pared. Ver detalle en Figura IV.16. Por otro lado y respondiendo a la condición natural de flujo radial cero en el centro del tubo se observa un aumento en la cantidad de partículas en la zona central del tubo. Similar evolución y distribución radial se observa con la fracción de masa. El volumen medio disminuye en la proximidad de la pared dado que las partículas de mayor tamaño tienen una mayor velocidad radial que las pequeñas. Por otro lado y como consecuencia de lo anterior, en el resto del radio del tubo debido al mayor flujo de partículas con volúmenes grandes, la distribución de las partículas se desplazará hacia tamaños mayores.


0.000 0.001 0.008 0.0100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ΤΤΤΤ = 0.1 ΤΤΤΤ = 2 ΤΤΤΤ = 5 ΤΤΤΤ = 10 ΤΤΤΤ = 50

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura IV.15: Flujo ascendente: Perfiles radiales de la densidad de partículas adimensional a distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2m)

0.008 0.009 0.0100.97

0.98

0.99

1.00

1.01

1.02

1.03


Den

sida

d (-

)

Radio (m)Figura IV.16: Flujo ascendente: Perfiles radiales de la densidad de partículas adimensional a

distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2m). Detalle


0.000 0.001 0.008 0.0100.0

0.4

0.8

1.2


Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)Figura IV.17: Flujo ascendente: Perfiles radiales de la fracción de volumen ocupada por las

partículas adimensional a distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2m).

0.000 0.001 0.008 0.0100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m)Figura IV.18: Flujo ascendente: Perfiles radiales del volumen medio de las partículas

adimensional a distintos tiempos a la salida del tubo (z = 2m)


8.2.2 CON COAGULACIÓN

Los perfiles radiales estacionarios, al incluir coagulación en la simulación, de la concentración de las partículas, el volumen medio de la distribución y la fracción de volumen ocupada por partículas, a distintas distancias desde la entrada –parte inferior del tubo-, se comparan en las Figuras IV.19, IV.20, y IV.21 con los respectivos perfiles del caso anterior en donde no se modeló coagulación gravitacional. Como consecuencia directa de la coagulación la concentración de partículas disminuye a lo largo del radio del tubo, respecto del caso anterior. Dicha reducción relativa es más notoria en la zona en donde el caso anterior mostraba un máximo relativo, que es en la cercanía de la pared (entre los radio 0.097 y 0.093 m aproximadamente), dado que este mecanismo es proporcional al cuadrado de la densidad espacial. Siendo, en coherencia, en esa zona en donde se observa un notorio aumento, relativo al caso anterior, del volumen medio de las partículas debido a la coagulación, aumento que se realimenta con el producido por la fuerza de sustentación. Por dicho acople también se produce un incremento neto de la fracción de masa o volumen ocupada por las partículas en dicha zona, como puede verse en el detalle de la Figura IV.22, y una reducción en la zona próxima a la pared (radios entre 0.097 m aproximadamente y la pared) debido al transporte hacia el centro por sustentación.

0.000 0.001 0.006 0.008 0.0100.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura IV.19: Flujo ascendente: Comparación del perfil radial estacionario de la densidad de partículas adimensional en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación.


0.000 0.001 0.006 0.008 0.0100.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m)Figura IV.20: Flujo ascendente: Comparación del perfil radial estacionario del volumen medio de las partículas adimensional en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación.

0.000 0.001 0.006 0.008 0.0100.96

0.98

1.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

1.14

1.16

1.18

1.20


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)Figura IV.21: Flujo ascendente: perfil radial estacionario de la fracción de volumen ocupada

por partículas, adimensional, en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación.


0.0080 0.0085 0.0090 0.0095 0.01000.96

0.98

1.00

1.02

1.04


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)

Figura IV.22: Flujo ascendente: perfil radial estacionario de la fracción de volumen ocupada por las partículas, adimensional, en distintas posiciones axiales, con y sin coagulación. Detalle

9 CASO DE COMPARACIÓN Y ESTUDIO I: CONTENCIÓN NAUA En la presente sección se realiza una comparación del modelo con datos numéricos obtenidos de bibliografía correspondientes a la simulación realizada por Park y Loyalka (1989) de la evolución de aerosoles en el recipiente de la instalación experimental NAUA El objetivo principal es. realizar un aporte al entendimiento del modelado de la evolución de una población de micropartículas, sobre todo en aspectos relacionados con los gradientes radiales de concentración en la contención de un reactor. La vasija NAUA, es un recipiente cilíndrico de unos 3.4 m3, cuyas dimensiones se muestran en la Tabla IV.1, con un generador de pequeñas partículas de U3O8 ubicado a lo largo de la línea central de la misma. Esta publicación es previa a la realización de mediciones y lamentablemente en la bibliografía pública disponible no se encontraron los resultados experimentales.


Datos de la contención Dimensiones de modelado

Tipo de geometría cilíndrica

volumen (m3) 3.39

radio, RC (m) 0.71

altura, HC (m) 2.14

Tabla IV.1: Datos geométricos del recipiente NAUA

9.1 CARACTERIZACIÓN DE LA SIMULACIÓN

El modelo utilizado por Park y Loyalka (1989) para la resolución de la ecuación general de aerosoles es el denominado seccional. Se compartimenta el espectro de tamaño de partículas en un número finito de grupos, y se resuelven tantas ecuaciones como grupos se hayan escogido. Se integra espacialmente en la componente axial (altura del recinto) y se discretiza la componente radial, correspondiente al término de difusión, resultando un modelo homogéneo en la dirección axial. En dicho trabajo Park y Loyalka modelan la evolución de una población de partículas considerando sedimentación, difusión Browniana, coagulación gravitacional y Browniana. Inicialmente asumen una distribución Lognormal para la masa de las partículas en cada uno de los nodos radiales en que se compartimenta el dominio:

)]ln18/()/(lnexp[1ln23

)(),( 2200 σ

σπ gvvv

mrfrvm −=

(IV.50)

donde:

m0 = concentración de masa total inicial vg = mediana inicial de la distribución (masa)

σ = desviación estándar inicial basada en la masa de las partículas f(r) = factor de forma para la distribución radial de la concentración de partículas Para el factor de forma radial asumen un perfil cosenoidal como condición inicial:

= r

R2cos)r(f

c

π

Los parámetros usados para la simulación se muestran en la Tabla IV.2, (Park y Loyalka, 1989).


Parámetro

Naturaleza del aerosol U3O8

Densidad material del aerosol, ρp, (g/cm3) 8.3

Gas aire

temperatura del gas, (K) 373

viscosidad del gas, (g/cm.s) 2.172 x 10-4

densidad del gas, (g/cm3) 9.45 x 10-4

Concentración de masa total inicial, m0 (g/cm3) 3.6 x 10-6

Mediana inicial de la distribución de la masa, en masa de la partícula, (g)

5.2 x 10-12

Diámetro de la partícula correspondiente a la mediana inicial de la distribución de la masa, MMD, (m)

1.06 x 10-6

Desviación estándar geométrica inicial, σg 2.0

Número de grupos usados por el método Seccional

16

Tabla IV.2: Datos característicos del aerosol modelado y del gas portante

Para obtener los valores para inicializar la distribución de Poisson es necesario realizar ciertas conversiones. Lo que se pretende hacer es usar el mismo volumen medio para ambas distribuciones y no ajustar la Poisson a la Lognormal, dado que ambas son relativamente distintas, sobre todo en la zona de tamaños de partículas grandes en donde la Lognomal decae mucho más lentamente. Para una distribución Lognormal es posible obtener a partir del MMD (Tabla IV.2, mass median diameter: diámetro que parte en igual cantidad la masa de la distribución) el diámetro de la mediana, es decir el diámetro en el cual la cantidad de partículas a izquierda y a derecha es la misma, definido en inglés como CMD (count median diameter), (Hinds, 1982, Capítulo 4):

])(ln3[exp 2g

MMDCMDσ

=

Luego, el diámetro de la masa media, md , cuya definición es (Hinds, 1982, Capítulo 4):

3/13

= ∑

Ndn

d iim


se puede calcular a partir del CMD, como:

])(ln5.1exp[ 2gm CMDd σ=

Este diámetro es equivalente al diámetro del volumen medio: vd , que se calcula a partir del cociente entre los momentos de la distribución de orden uno y cero, es decir ε/ρ = v . El valor obtenido será utilizado para caracterizar a la distribución de Poisson, conjuntamente con la concentración de partículas, ρ0, que se calcula de la siguiente relación:

vm

pρρ 0

0 =

En la Tabla IV.3 se resumen los valores de obtenidos.

Parámetro Valor

MMD, Lognormal (m) 1.06 x 10-6

CMD, Lognormal (m) 2.51 x 10-6

md , Lognormal = vd , Poisson (m) 5.164 x 10-6

ρ0 , concentración inicial de partículas, Lognormal y Poisson (partículas/m3)

6.015 x 1012

Tabla IV.3: Datos característicos de las distribuciones Lognormal y Poisson

En la Figura IV.23 se comparan las distribuciones Lognormal (en base a la ecuación IV.50) y la distribución de Poisson (en base a la ecuación II.6), de acuerdo a los parámetros de las Tablas IV.2 y IV.3 respectivamente. Se observa que la Lognormal da un mayor número de partículas que la Poisson para radios mayores que 0.7 micrones y menores que 0.015 micrones aproximadamente, es decir presenta una mayor dispersión que la Poisson. Las integrales de ambas distribuciones en el volumen de las partículas entre cero e infinito dan uno.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.00E+000

4.00E+018

8.00E+018

1.20E+019

1/m

3

diámetro (µm)

Poisson Lognormal

Figura IV.23: Comparación de las distribución de Poisson y la Lognormal utilizada para inicializar la evolución de los aerosoles en el método Seccional.

9.2 MODELADO

Dado que la distribución de Poisson difiere de la Lognormal y a que Park y Loyalka (1989) utilizan la hipótesis de homogeneidad espacial en la componente vertical, la comparación con los resultados obtenidos por ellos usando el modelo completo (bidimensional) no resulta inmediata, al menos para justificar eventuales diferencias. Es por ello que a partir del presente modelo se desarrolló uno bajo dicha hipótesis, es decir integrando en altura, resultando el siguiente conjunto de ecuaciones, a partir de IV.2:

ρρρρρ ρρρρ SC

r)D(

rrr

1H

Ur

)Ur(r1

t C

dimser

+=

∂∂

∂∂−+

∂∂

+∂∂

εεεε εεεε S

r)D(r

rr1

HU

r)Ur(

r1

t C

dimser=

∂∂

∂∂−+

∂∂+

∂∂

(IV.51)

Donde en este caso, ρ y ε, son función de r y t. Las velocidades, coeficientes de difusión, término de coagulación y fuente son función de dichas variables de estado y por ende también de r y t.


Al igual que en el trabajo de Park y Loyalka se asume que el aire no circula, que el gradiente de la concentración es nulo en r = 0, al igual que la concentración de partículas en la pared (r = RC). En la presente simulación se utiliza una nodalización radial con nodos igualmente espaciados, al igual que el caso de referencia. Para obtener la concentración espacial de masa promediada espacialmente, a partir de la fracción de masa, ε(r,t) se realiza la siguiente integración:

CC

H

0

R

0p

HR

dr)t,z,r(rdz2)t(m

C C

π

επρ ∫ ∫=><

La integral se evalúa numéricamente mediante el método de Simpson.

9.3 RESULTADOS

Para el modelado del presente caso se utilizan 201 nodos verticales, componente z, y 71 nodos radiales para ambos modelos (modelo completo y el homogéneo en z) al igual que en el trabajo de referencia. La integración de las ecuaciones se hace en forma explícita, con un número de Courant de 0.75. En la figura IV.24 se compara la evolución de la concentración de masa promedio m(t) de los modelos en base a la distribución de Poisson con el seccional (Park y Loyalka, 1989) –caso de referencia-, durante 20000 segundos (datos disponibles). Debido a que no hay aporte de partículas, dicha magnitud decrece en el tiempo. Los modelos con homogeinización espacial en la componente vertical, muestran una evolución similar, mientras que el otro se aparta, luego de la primera hora, debido al efecto de barrido vertical, producido por el acople entre coagulación (Browniana, inicialmente, luego gravitacional) con la sedimentación. Salvo en los primeros instantes, la difusión radial tiene una influencia despreciable.


0 5000 10000 15000 200000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Con

cent

raci

ón

[ µg/

cm3 ]

Tiempo [s]

Park y Loyalka: Modelo Seccional, homogeneo en z Modelo Momentos: homogeneo en z Modelo Momentos, discretización espacial

Figura IV.24: Comparación de la evolución de los aerosoles entre un modelo seccional y el de

momentos, con y sin homogeneidad espacial con la altura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Con

cent

raci

ón m

odel

o m

omen

tos

(µgr

/cm

3 )

Concentración modelo seccional homogeneo en altura (µgr/cm3)

Homogéneo en z Discretización en z

Figura IV.25: Comparación de la concentración de puntos a iguales tiempos de los distintos

modelos tomando como referencia al seccional


En la Figura IV.25 se grafica la concentración calculada con el método de los Momentos en función de los datos de referencia, tiempo a tiempo, con el fin de facilitar la comparación con la simulación de referencia (datos de la ordenada). La diferencia entre el modelo seccional y el de los Momentos (error máximo del 23%), ambos con homogeinización espacial en la altura del recinto, puede atribuirse a la diferencia entre la distribución Lognormal inicial de las partículas usada por Park y Loyalka y la Poisson usada en el método de los Momentos, al menos inicialmente, en donde es de esperarse que la forma funcional de la distribución no se distorsione severamente, si esa fuera la situación. En el caso de referencia se observa una disminución inicial mayor de la concentración probablemente por la distribución inicial tomada (Lognormal) y la desviación estándar, que impone una mayor dispersión en el espectro de partículas que la Poisson, hecho que favorece el proceso de coagulación gravitacional y la remoción por sedimentación. Es por ello que la derivada segunda es distinta en los primeros segundos. Si se aumentase el diámetro medio inicial de la distribución de Poisson en aproximadamente un 50%, siempre conservando la masa total en suspensión (se reduce la concentración inicial de partículas), se obtiene una tasa de disminución de la concentración similar a la simulación de referencia. Por otro lado, se puede decir que a pesar de la imposición de una distribución prefijada para todo el transitorio al utilizar el método de los Momentos, el resultado es satisfactorio. Dicha diferencia es mucho menor que la que se observa respecto del modelo en donde se modelan gradientes de la concentración con la altura, el cual predice al finalizar la simulación una concentración casi un orden de magnitud menor. Con respecto de la importancia de los mecanismos de coagulación, se observa (según el modelo en base a la Poisson y con las condiciones iniciales deducidas) que la Browniana es la dominante al comienzo de la evolución y condiciona el comportamiento posterior, en donde la gravitacional contribuye a seguir aumentando el tamaño cuando la cantidad de partículas ha disminuido, pasando a estar dominada por la sedimentación de partículas de mayor tamaño. Si, como se mencionó anteriormente, se incrementa el volumen medio, la coagulación gravitacional tendrá más importancia desde el inicio del transitorio. En la Figura IV.26 se puede visualizar lo antes descrito, en donde se comparan los resultados anteriores con dos simulaciones: una realizada considerando sólo coagulación Browniana y la otra incluyendo sólo la gravitacional.


0 5000 10000 15000 200000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Con

cent

raci

ón

[ µg/

cm3 ]

Tiempo [s]

Park y Loyalka: Modelo Seccional, homogeneo en z Modelo Momentos: homogeneo en z Modelo Momentos: homogeneo en z - Coag Grav Modelo Momentos: homogeneo en z - Coag Brow

Figura IV.26: Comparación de la evolución de los aerosoles entre un modelo seccional y por

momentos, con homogeneidad espacial con la altura, con y sin coagulación Browniana y gravitacional.

Con el objetivo de visualizar y analizar la distribución radial de las partículas y su evolución, en las Figuras IV.27, IV.28 y IV.29 se muestran los perfiles radiales de la concentración de partículas, fracción de masa y volumen medio adimensionales, obtenidos con el método de los Momentos con homogeinización espacial en la altura. Dichas variables fueron adimensionalizadas con sus respectivos valores iniciales correspondientes al centro del recinto. En la Figura IV.30 se muestra el radio medio de las partículas sin adimensionalizar. Como consecuencia del factor de forma cosenoidal utilizado para fijar la distribución radial inicial de partículas, el mecanismo de coagulación (proporcional al cuadrado de la concentración de partículas) hace que la cantidad de partículas decrezca más en la zona central que en la periférica. Luego por el aumento del volumen medio de la población la sedimentación actúa con mayor peso relativo contribuyendo a eliminar partículas del recinto. La concentración de partículas varía inicialmente más que la fracción de masa pues el mecanismo de coagulación conserva esta última magnitud y la sedimentación es aun débil. El volumen medio crece hasta aproximadamente los 10000 segundos, período en que la coagulación domina respecto de la sedimentación, para luego comenzar a decrecer (zona central) cuando se invierte la importancia relativa entre ambos mecanismos. En la Figura IV.29 se puede ver que los perfiles radiales a los 10000 y 20000 segundos se cruzan, en la zona central el volumen medio es menor a los 20000 segundos que a los 1000 segundos, mientras que en la proximidad de la pared ocurre lo contrario. Esto ocurre porque en esta última zona hay aún un mayor número de partículas que en la zona central y por lo tanto la coagulación sigue dominando respecto de la sedimentación. Esto es un claro ejemplo de los acoples entre los distintos mecanismos y la dependencia espacial del problema.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71E-3

0.01

0.1

1

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Con

cent

raci

ón n

orm

aliz

ada

Radio (m)

Figura IV.27: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial de la concentración total de partículas normalizado

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.01

0.1

1

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Frac

ción

de

mas

a no

rmal

izad

a

Radio (m)

Figura IV.28: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial de la fracción de masa de partículas normalizado


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1

10

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Vol

umen

med

io n

orm

aliz

ado

Radio (m)

Figura IV.29: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial del volumen medio de las partículas normalizado

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Rad

io m

edio

(mic

rone

s)

Radio (m)

Figura IV.30: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial del radio medio de las partículas


En las Figuras IV.31 y IV.32 se muestran los perfiles radiales normalizados de la concentración de partículas con radio en torno a los 0.07 y 0.4 micrones respectivamente, función f(r,t), a distintos tiempos. El primer radio es menor que el radio medio inicial y es representativo de aquellos tamaños en donde inicialmente hay un número importante de partículas. Mientras que el segundo es indicativo de aquellos radios mayores que el medio inicial, en donde hay pocas partículas. En el primer caso se observa que la cantidad de partículas disminuye principalmente debido a la acción de la coagulación Browniana, que elimina con mayor probabilidad a las de menor tamaño, haciendo que el volumen medio de la población aumente. Para el radio de 0.4 micrones se observa un aumento de la concentración en la parte central del recinto respecto de la cantidad inicial hasta los 1000 segundos aproximadamente. Tiempo en que el valor del radio medio (Figura IV. 28) de la población tiene valores algo inferiores a los 0.4 micrones (la moda es menor que el valor medio). Luego la cantidad de partículas decrece al seguir actuando la coagulación y aumentando el volumen medio, conjuntamente con la sedimentación.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Per

fil d

e de

nsid

ad n

orm

aliz

ado

[f(r)

]

Radio (m)

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Figura IV.31: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial de la concentración

(densidad) normalizado, f(r), de partículas con radio en torno a los 0.07 micrones. Tamaño representativo de aquellos en donde la cantidad de partículas disminuye por coagulación.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.01

0.1

1

10

t = 0 s t = 1000 s t = 3000 s t = 5000 s t = 10000 s t = 20000 s

Per

fil d

e de

nsid

ad n

orm

aliz

ado

[f(r)

]

Radio (m)

Figura IV.32: Modelo de los momentos homogéneo en altura: perfil radial de la concentración

(densidad) normalizado, f(r), de partículas con radio en torno a los 0.4 micrones. Tamaño representativo de aquellos en donde la cantidad de partículas aumenta por la coagulación de

partículas menores.

Por último con el objetivo de analizar la distribución axial de las partículas, en las Figuras IV.33, 34 y 35 se comparan los perfiles axiales de la fracción de masa a distintos tiempos entre los modelos con y sin homogeneidad espacial en altura, en el centro del recinto (r = 0), zona intermedia (r = 0.35 m) y próxima a la pared (r = 0.7 m) respectivamente. Los valores se encuentran normalizados con el valor inicial de la zona central. El techo se corresponde con z = 0 y el piso con z = 2.14 m. Las rectas corresponden precisamente al caso con homogenización espacial, y se puede observar que el valor de la concentración disminuye homogéneamente con el tiempo. El valor en t = 0 va disminuyendo de una figura a otra debido al factor de forma radial cosenoidal, f(r), fijado. En los resultados obtenidos modelando el gradiente espacial en z del flujo de partículas se puede ver que la fracción de masa disminuye paulatinamente desde el techo hacia el piso. En las tres posiciones radiales graficadas, se observa, para un mismo instante y a distintas alturas del recinto, diferencias de más de un orden de magnitud, mostrando el origen de la diferencia con los resultados de los modelos homogéneos (Figura IV.24).


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fracc

ión

de m

asa

adim

ensi

onal

altura (m)

Con depend. Homogeneoespacial

t = 0 seg t = 1000 seg t = 3000 seg t = 5000 seg t = 10000 seg

Figura IV.33: comparación del perfil axial de la fracción de masa normalizada, entre los

modelos con y sin homogeneidad espacial en altura, en r = 0, a distintos tiempos

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Con depend. Homogeneoespacial


fracc

ión

de m

asa

adim

ensi

onal

altura (m)

Figura IV.34: comparación del perfil axial de la fracción de masa normalizada entre los modelos con y sin homogeneidad espacial en altura, en r = 0.35 m, distintos tiempos


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Con depend. Homogeneoespacial


fracc

ión

de m

asa

adim

ensi

onal

altura (m)

Figura IV.35: comparación del perfil axial de la fracción de masa normalizada entre los

modelos con y sin homogeneidad espacial en altura, en r = 0.7 m, distintos tiempos 10 CASO DE COMPARACIÓN II: EXPERIMENTO STORM -TERMOFORESIS Con el objetivo de estudiar la deposición en cañerías por termoforesis se realizó el proyecto STORM, patrocinado por la OECD/NEA en el Joint Research Centre de la European Commision (JRC), entre 1997 y 1999. Para ello se construyó un circuito experimental, realizándose luego un ejercicio internacional de comparación de distintos códigos denominando International Standard Poblem 40, Aerosol Deposition and Resuspensión (STORM-ISP-40, 1998). En este ejercicio participaron instituciones como el CIEMAT de España con el código VICTORIA, CEA de Francia con los códigos AEROSOLS-B2 y Sophaeros, Kurchatov de Rusia con el código Melcor al igual que KINS de Korea, la Universidad de Pisa de Italia con el código Ecart al igual que ENEL, JAERI de Japón con el ART, la Universidad de Bochum y Karlsuhe de Alemania con los códigos Athlet-CD y Marie respectivamente, entre otros participantes. Todos los códigos a excepción del Marie, hacen un modelado Euleriano y usan el método seccional para el tratamiento de la distribución en tamaño y asumen la hipótesis de homogeneidad espacial o de buen mezclado en cada celda computacional axial, que en general no son más de 10. No hay tratamiento radial del transporte de las partículas. El código Marie modela con la aproximación de Monte-Carlo el desplazamiento de las partículas (STORM-ISP-40, 1998).


El circuito experimental consta de una cámara de mezclado de unos 10 m3 en donde se inyectan aerosoles de SnO2, que tienen una conductividad de 11 W/m/K y una densidad de 4000 kg/m3. Éstos se encuentran en suspensión en una mezcla de distintos gases. En particular en el experimento SR11, cuyo objetivo es medir en un tubo horizontal la deposición por termoforesis, la mezcla de gases está compuesta por aire, vapor sobrecalentado, Ni, Ar y He, a una presión de 6 bares y a una temperatura de aproximadamente 400 ºC. Desde la cámara de mezclado los aerosoles son inyectados a un tubo horizontal de 0.063 m de diámetro y 5 m de longitud, a una velocidad media de 3.6 m/s aproximadamente. El diámetro medio de la distribución en tamaño es de 0.43 micrones y el caudal másico es de 3.83 x 10-4 kg/s. Los caudales másicos de cada uno de los gases inyectados se muestran en la Tabla IV.4. La viscosidad, densidad y conductividad de cada uno se muestra en la Tabla IV.5 (Perry, 1992).

Gas Caudal másico (kg/s)

Vapor 0.0106

Nitrógeno 0.00547

Aire 0.00573

Argón 0.00719

Helio 0.00012

Total 0.0296

Tabla IV.4: Caudales másicos de los gases portantes

Gas Viscosidad (10-5 Pa . s)

Densidad (kg/m3)

Conductividad (W/m/K)

Vapor 2.45 1.93 0.055

Nitrógeno 2.95 3.04 0.052

Aire 3.20 3.15 0.054

Argón 3.90 4.34 0.036

Helio 3.20 4.31 0.285

Valor promedio 2.88 2.62 0.050

Tabla IV.5: Viscosidad y densidad de los gases portantes


La temperatura de la pared, cara interna, a la entrada del tubo es de 252 ºC y disminuye a razón de 10 ºC/m hacia la salida. La temperatura media del gas es de unos 123 ºC por sobre la temperatura de la pared, manteniéndose esta diferencia a lo largo del tubo. El mecanismo de deposición principal estimado (más del 90%) es por termoforesis. Luego de 9000 segundos de inyección, se mide por atenuación gamma lo depositado en las paredes internas del tubo. Se observó, mediante mediciones realizadas con impactadores de cascada a la entrada y salida del tubo, que el diámetro medio de la distribución en tamaño de las partículas permaneció prácticamente constante a lo largo del tubo. Se puede concluir, por lo tanto, que la deposición o remoción por termoforesis, para las condiciones de este experimento, es independiente del tamaño de las mismas. Vale la pena recordar que el Knudsen ( pg r/Kn λ= , λg: camino libre medio en el gas, rp: radio de la partícula) es un número adimensional, que junto con el cociente entre las conductividades del gas y de la partícula, caracterizan a la velocidad de la partícula por termoforesis. Dado que dicha velocidad se hace independiente de ambos números adimensionales a partir de aproximadamente Kn = 0.1 (Hontañon E., 1998), se puede deducir que para este experimento este número es del orden o mayor a dicho valor. En el documento de referencia (STORM-ISP-40, 1998) se explicita que el valor es de aproximadamente uno, lo que justifica la correlación utilizada para termoforesis. Para el presente caso, según las conductividades de la mezcla de gases y la de la partícula, la constante Kth en la expresión de Epstein resulta igual a 0.0068.

10.1 MODELADO Y RESULTADOS

La simulación numérica de este experimento fue realizada con el programa TRANSAER-2D, utilizando un perfil radial de velocidad del gas turbulento (Reynolds del gas aproximadamente 20000) y otro equivalente para la distribución radial de la temperatura del gas dado que el número de Prandtl es aproximadamente 1 (El-Wakil, 1978) según las siguientes expresiones:

7/1maz

7/1max

)R/r1(T)r(T

)R/r1(U)r(U

−=

−=

En la subcapa térmica laminar se asume un perfil para la distribución radial de la temperatura con caída más abrupta, donde el exponente n es un parámetro a ajustar.

))R/r(1(T)r(T nmaz −−−−====

El punto de intersección de estas dos curvas se podría interpretar como el espesor de la capa límite térmica laminar, δT, cuyo valor debería ser del orden de Nu/DHT =δ , (Hontañon E., 1998, Incropera F.R., 1999), en donde DH es el diámetro hidráulico y Nu el número de Nusselt, evaluado en este caso a partir de la correlación de Dittus-Boelter. Como condición de contorno se fija a la entrada del tubo el diámetro medio de la distribución igual a 0.43 micrones (ante falta de información se asume que los aerosoles tienen un distribución de Poisson) y una concentración de partículas (deducida a partir del caudal másico de aerosoles, la velocidad media, la densidad de los mismos y la relación v/ερ = ) de 2.56 1014 partículas/m3.


En el presente caso no se modela sedimentación, coagulación, fuerza de sustentación ni difusión ya que su efecto es despreciable en la remoción de partículas dado el tiempo de residencia del aerosol en el tubo y el diámetro medio de la distribución. Se usaron 101 nodos axiales y 601 nodos radiales, la convergencia espacial se observa aproximadamente a partir de 51 nodos axiales y 401 radiales, ver Apéndice C. Los valores numéricos de la masa depositada por unidad de área, a lo largo del tubo, durante 9000 segundos, se comparan con los datos experimentales en la Figura IV.36, para n = 100. El cruce de los perfiles se produce a 2 x 10-4 m de la pared del tubo, el valor teórico de δT según la correlación anterior es de aproximadamente 5 x 10-4 m. Los picos en la deposición que se observan en estos últimos se corresponden con los lugares en donde se encuentran las bridas de acopes entre los distintos tramos de cañería y de la salida. La variación de la velocidad de termoforesis a lo largo del tubo evaluada en la proximidad de la pared, calculada según la correlación de Epstein, se muestra en la Figura IV.37

0 1 2 3 4 50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Mas

a de

posi

tada

(kg/

m2)

Longitud (m)

Datos experimentales: STORM TRANSAER-2D

Figura IV.36: STORM - Masa depositada par unidad de área en 9000 s: comparación modelo

2D con los datos experimentales


0 1 2 3 4 50.000056

0.000058

0.000060

0.000062

0.000064

Vel

ocid

ad (m

/s)

Longitud (m)

Figura IV.37: Velocidad de las partículas por termoforesis

Por otro lado resulta interesante obtener la solución que surge de homogeneizar radialmente la ecuación de balance, es decir realizando un modelo unidimensional, dirección axial. Esta aproximación es la que realizan los códigos Eulerianos antes mencionados utilizados en el ejercicio internacional STORM-ISP-40. Para ello se modeló la remoción por termoforesis en el programa TRANSAER-1D en el término independiente o sumidero de las ecuaciones de momento de orden cero (conservación de la concentración de partículas) y orden uno (conservación de la fracción de masa), construidos a partir de la integración radial de la ecuación de transporte, resultando:

RadioV2

t

RadioV2

t

th

termof

th

termof

εεεεεεεε

ρρρρρρρρ

====∂∂∂∂∂∂∂∂

====∂∂∂∂∂∂∂∂

La velocidad de termoforesis se calcula aproximando el gradiente como el cociente entre la diferencia de la temperatura media del fluido y la de la pared, y el espesor de la capa límite laminar δT :

TTKthVth

Tg

g

δρµ ∆−=

En la Figura IV.38 se muestra la comparación para δT = 2x10-4 m y δT = 3x10-4 m, siendo este último valor el que hace coincidir aproximadamente la masa por unidad de área depositada a la entrada con el modelo bidimensional.


En el caso homogéneo en r (una dimensión), el flujo de deposición por termoforesis depende de ρ o ε, según sea la ecuación para las partículas o la fracción de masa. Estas variables son promedio radiales en una dada posición z, cuyos valores son prácticamente constantes o disminuyen muy poco a lo largo del tubo. Por otro lado, la velocidad de termoforesis aumenta con z dado que la temperatura de pared disminuye axialmente (la diferencia entre la temperatura de la pared y la del fluido permanece constante). Es por ello que la masa depositada aumenta con z como se puede observar en la Figura IV.38. En la Figura IV.39 se compara la fracción de masa (promedio radial, modelo homogéneo o 1D) y en la proximidad de la pared (modelo 2D). Igual tendencia o una deposición constante a lo largo del tubo fue predicha por todos los códigos utilizados en el mencionado ejercicio internacional (STORM-ISP-40, 1998). En el modelo bidimensional, tanto la concentración como la fracción de masa cerca de la pared disminuyen debido a la remoción por termoforesis, acentuándose ésta con z, según muestra la Figura IV.39. Esta disminución es mayor que el aumento de la velocidad de termoforesis, por lo tanto el flujo hacia la pared disminuye con z. Por eso este modelo muestra una acumulación de masa de partículas axialmente decreciente, al igual que los datos experimentales.

0 1 2 3 4 50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Mas

a de

posi

tada

(kg/

m2)

Longitud (m)

STORM: Datos experimentales TRANSAER-2D TRANSAER-1D: δ

Τ=2x10-4m

TRANSAER-1D: δΤ=3x10-4m

Figura IV.38: Distribución de la masa depositada por unidad de área en 9000 s, comparación modelos 1D y 2D.


0 1 2 3 4 5

0.000045

0.000050

0.000055

0.000060

0.000065

0.000070

0.000075

0.000080

0.000085

TRANSAER-1D: δΤ=3x10-4m

TRANSAER-2D

Frac

ción

de

mas

a

Longitud (m)

Figura IV.39: Distribución de la fracción de masa de las partículas en situación estacionaria, comparación modelos 1D: valor homogéneo en r y 2D: valor en la proximidad de la pared

11 RESUMEN Y CONCLUSIONES En este capítulo se ha presentado un modelo bidimensional para la resolución de la ecuación de transporte de aerosoles incluyendo el tratamiento de los términos espaciales de transporte convectivo y difusivo. Los mecanismos de transporte modelados son en la dirección axial: arrastre del gas y sedimentación; en la dirección radial: sustentación y termoforesis. Se incluye la difusión radial por movimiento Browniano. Condensación o evaporación, coagulación y fuente de partículas también son modelados. Otros mecanismos como la deposición y coagulación turbulenta, transporte radial por difusioforesis también podrían ser incluidos sin mayores dificultades. En la Tabla IV.6 se presentan las expresiones de las ecuaciones constitutivas resultantes para cada uno de los mecanismos modelados. Se estudió el transporte en un tubo vertical con flujo de gas ascendente y descendente, considerando el desplazamiento radial de partículas debido a la fuerza de sustentación en régimen laminar con coagulación. Debido al sentido de la fuerza, este mecanismo solo remueve partículas hacia la pared del tubo en caso de flujo descendente y es potenciado al incluirse la coagulación, dado que la velocidad de radial es proporcional al volumen de las partículas. Se compararon los resultados entre las simulaciones de la contención NAUA realizadas por Park y Loyalka (1989) con un modelo seccional, con discretización radial y homogeinización


axial y con el presente modelo. Se modeló la evolución de una población de partículas de U3O8, con una distribución inicial radial cosenoidal, bajo los mecanismos de difusión radial, coagulación gravitacional y Browniana, y sedimentación. Se observó que los mecanismos dominantes son la coagulación y la sedimentación, no así la difusión, lo que conduce a concluir que las principales diferencias que se observan están originadas con el tratamiento homogéneo espacial en la dirección axial. Del modelo homogéneo utilizando el Método de los Momentos con distribución de Poisson y de la comparación con los resultados de referencia se puede concluir que a pesar de la imposición de una distribución prefijada para todo el transitorio al utilizar el método de los Momentos, el resultado es satisfactorio. Esta diferencia es mucho menor que la que se observa respecto del modelo en donde se modelan gradientes de la concentración con la altura, el cual predice al finalizar la simulación una concentración casi un orden de magnitud menor. Con el objetivo de comparar el modelo desarrollado en general y en particular el modelo de termoforesis se simuló numéricamente el experimento STORM-ISP-40 (1998). Se utilizó como parámetro de ajuste una curva para la distribución radial de temperatura en la capa límite térmica, que precisamente determina el espesor de la misma. El valor obtenido es del orden del evaluado en forma teórica a través del Nusselt. Los resultados de la comparación son satisfactorios y se puede concluir que la correlación de Epstein utilizada es adecuada. La inclusión del modelado de la distribución radial de los aerosoles permite explicar el gradiente axial de deposición observado en los datos experimentales. Con el modelo desarrollado, pero radialmente homogeneo, incluyendo la deposición por termoforesis en el término sumidero se evalúa una deposición axial levemente creciente, coherente con lo calculado por códigos comerciales que usa dicha hipótesis.


Coeficientes Poisson Ecuación constitutiva

Uρ ( ) 3/2947.0,, vVtzru f+

µρ

πg

V pf 9

243 3/2

=

Uε ( ) 3/2263.1, vVtzu f+

Sedimentación, ley de Stokes

SUρ v

Rg

rug

gp23

2/121

max )(0257.0µρρ

SUε v

Rg

rug

gp23

2/121

max )(0385.0µρρ

Sustentación, correlación de Saffman

TU ρ TTkk

kk

g

g

pg

pg /)/21(

/5.1 ∇

+−

ρµ

TUε TTkk

kk

g

g

pg

pg /)/21(

/5.1 ∇

+−

ρµ

Termoforesis, correlación de Epstein

Dρ 3/1135.1 −vα

µπα 3/2183.0 TK=

Dε 3/1946.0 −vα

Difusión Browniana, relación de Stokes-Einstein

GCρ 23/49835.0 ρvCG−

3/1

43

6

=πµ

ρ gC p

G

Coagulación por sedimentación, ley de Stokes

BCρ 20745.2 ρBC−

µ32 TkCB =

Coagulación Browniana, relación de Stokes-Einstein

εG 3/1943.0 vGc ρ

)(63.3

,

32

iepip

iic Pp

TRMDG −=

ρπ

Condensación

Tabla IV.6: Resumen de los coeficientes de cierre del modelo distribución de Poisson

145

CAPITULO V

MODELO PARA ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LA

DINÁMICA DE AEROSOLES

1 INTRODUCCIÓN

Evaluar la influencia de incertezas en observables o funcionales de respuesta cuando se desea estimar las consecuencias de un contaminante es de suma importancia. En particular, en el caso del modelado de aerosoles, este tipo de análisis de sensibilidad cobra importancia debido a la complejidad de los fenómenos físicos involucrados y a la cantidad de incertezas aun presentes en la formulación de su comportamiento (Williams M.M.R., 1990).

En el Nivel II del Análisis Probabilístico de Seguridad de plantas nucleares (INSAG, 1992), (que abarca la liberación de los productos de fisión desde el combustible, y transporte en el circuito primario y contención) se han introducido recientemente análisis de sensibilidad e incertidumbres. El principal interés de esto es la identificación de los modelos y parámetros que más contribuyen a la incertidumbre final que acompaña al cálculo del riesgo de una instalación nuclear. En general la realización de un estudio de sensibilidad e incertidumbres en el Nivel II del APS requiere la evaluación reiterada del término fuente, un número elevado de veces, variando los modelos y bases de datos incluidos en los códigos o proporcionados por el usuario como datos de entrada. En este caso, la economía del tiempo de cálculo es una exigencia práctica, lo que indica que un avance en la técnica empleada es necesario.

Un menor costo de cómputo para el analista puede ser logrado por medio de los denominados Métodos Perturbativos. Una de las ventajas es que éstos permiten calcular en forma genérica la sensibilidad de un funcional de respuesta en relación con el conjunto completo de los parámetros del modelo sin la necesidad previa de su selección. Además, los métodos perturbativos son relativamente simples de implementar. Sin embargo ellos presentan el inconveniente de estar restringidos al análisis del comportamiento lineal en torno de un punto específico. Diferentes autores [Gandini, 1987; Cacuci et al., 1980] han propuesto distintos formalismos perturbativos y esquemas de mayor orden están siendo desarrollados.

146 - Modelo para análisis de sensibilidad de la dinámica de aerosoles

En particular estos métodos no han sido aplicados al problema del transporte de aerosoles y es en este punto en donde se presenta en este trabajo una contribución al modelado, derivando un conjunto de ecuaciones para ser usadas en estudios de sensibilidad tanto respecto de los parámetros del modelo, como del problema a resolver. Para la derivación de dichas ecuaciones y de los coeficientes de sensibilidad de los funcionales de respuesta, se utiliza el Método Perturbativo, Formalismo Diferencial (Andrade Lima F. R., et al., 1998), aplicado al modelo desarrollado basado en el Método de los Momentos con distribución de Poisson.

Las ecuaciones en derivadas parciales en el tiempo y en la posición obtenidas por el método de los momentos con distribución de Poisson para el tamaño de las partículas, se encuentran acopladas en las variables ρ y ε y en sus derivadas, y poseen términos fuertemente no lineales, con la consiguiente dificultad en su resolución numérica. Es por ello que se aplicará inicialmente el análisis de sensibilidad, mediante el Método Pertubativo utilizando el Formalismo Diferencial, a ecuaciones simplificadas en donde sea posible obtener la solución analítica de manera de lograr una adecuada referencia para la validación de la aplicación numérica del método. Posteriormente se incorporan todos los términos de las ecuaciones diferenciales para modelar los distintos fenómenos físicos de manera de abarcar la totalidad del problema y obtener un conjunto de ecuaciones que podrá ser utilizado para distintos estudios de incertezas asociado al transporte de micropartículas.

Primeramente se presenta una introducción breve a la teoría del Método Perturbativo, Formalismo Diferencial. Luego, con el objetivo de corroborar si la metodología es apropiada para estudios de sensibilidad en problemas de transporte de aerosoles, se estudian casos relativamente simples. El primero de ellos es un caso estacionario y el segundo corresponde a una evolución temporal en donde se aplica la hipótesis de homogeneidad espacial. En ambos casos el problema se reduce a ecuaciones diferenciales ordinarias. Finalmente se obtienen las ecuaciones generales adjuntas para estudios de sensibilidad y se resuelve un caso de evolución temporal considerando la distribución espacial del aerosol con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

1.1 MÉTODO PERTURBATIVO: RESUMEN TEÓRICO

Un sistema de k ecuaciones no lineales acopladas puede escribirse formalmente como:

0)p),r(f(m�

��

�

� = (V. 1) donde m� incluye en general operaciones entre las variables en el espacio de fases. El vector de estado que describe el comportamiento del sistema es:

=

)(

)()(

)( 2

1

rf

rfrf

rf

k�

…

�

�

�

�

(V. 2)

que tiene como componentes a las variables de estado )r(f k

� , las cuales son función del vector posición en el espacio de fases:

Modelo para análisis de sensibilidad de la dinámica de aerosoles - 147

=

L

21

r

rr

r…

� (V. 3)

Las componentes km (k = 1, 2, .., k) son funciones no lineales de f

�

y de los vectores de los parámetros del sistema,

=)r(p

)r(p)r(p

)r(p

I

21

�

…

�

�

�� (V. 4)

Las condiciones de contorno de ecuación (V.2) están formalmente dadas como:

0)p),r(f(C s

�

��

��

= (V. 5) donde sr� define un punto en la superficie de borde en el espacio de fases. Un funcional de

respuesta )p),r(f(R ��

�

se define como:

><= + )r(f)r(S)p),r(f(R �

�

�

�

��

�

(V. 6) donde +S

�

es una función dada y los símbolos “< >” indican integración en las coordenadas del espacio y se introducen por simplicidad. Es de interés evaluar la sensibilidad o variación del funcional de respuesta, δR, respecto de perturbaciones en los parámetros del sistema δpi. Las variaciones a primer orden de R, para perturbaciones en todos los parámetros del sistema se deducen de (V.6) y puede ser escrita como:

[ ]∑=

++ ><+><=I

1ip/p/i ii

fSfSpR��

δδ (V. 7)

donde:

ip/ p

SSi ∂

∂ ++ =

�

�

y i

p/ pff

i ∂∂�

�

= (V. 8)

Por lo tanto para evaluar δR, es necesario conocer

ip/f�

. Dicho término se obtiene de la

expansión de la ecuación perturbada 0)p,f(m ''' �

�

�

� =

∑=

=

+=−=I

i iii p

fHpmppfmpfmm

1

''' 0),(),(�

�

�

�

�

��

�

��

∂∂

∂∂δδ (V. 9)

donde H es un operador (matriz) Jacobiano con derivadas de Fréchet:


==

K

K

2

K

1

K

K

2

2

2

1

2

K

1

2

1

1

1

fm

fm

fm

fm

fm

fm

fm

fm

fm

fmH

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

�

��

�

�

�

�

(V. 10)

De ecuación (V.9) se deduce que el término entre corchetes debe ser nulo, lo que requiere que:

)p(SfH ip/ i

��

= (V. 11) donde:

ii p

m)p(S

∂∂ �

�

−= (V. 12)

Y con condiciones de contorno:

0pf

fC

pC

srrii

�

�

�

��

��

=

×+

=∂∂

∂∂

∂∂

(V. 13)

Este sistema de ecuaciones es lineal dado que el operador matriz y el término fuente no son funciones del vector estado. Desafortunadamente para calcular

ip/f�

, usando la ecuación (V.11)

se debe dar la dependencia de ip/f

�

con los parámetros pi . Para salvar este obstáculo es

conveniente hacer uso del operador adjunto *H y de las funciones adjuntas f* utilizando el formalismo diferencial (Oblow, 1974).

1.1.1 Formalismo Diferencial

Para la determinación del coeficiente de sensibilidad, se define el operador adjunto *H a partir de H mediante la expresión:

),( /*

/***

/ iii ppp ffPfHffHf��

+><=>< (V. 14) donde *f

�

es el vector adjunto de f�

y P( *f�

, ipf /

�

) es el concomitante bilineal y es evaluado

en la frontera del espacio de fases. El término >< +ipfS /

��

de la ecuación (V.7) es evitado al

imponer que el vector ** fH�

en el sistema anterior sea igual al +S�

que aparece en el funcional de respuesta. De esta forma el sistema adjunto resulta:

+= SfH ** ��

con 0)f(C ** ��

= (V. 15)


Por lo tanto, la conveniente selección de condiciones de borde permiten calcular el concomitante bilineal a partir de los términos conocidos de

ipf /�

evaluados en el límite del espacio de las fases. Se elige dicha opción en el formalismo diferencial para las ecuaciones homogéneas (V.15) para obtener la mayor simplificación matemática. La ecuación (V.14) puede ser escrita entonces, como:

),()( /**

/ ii pip ffPpSfSf��

+><=>< + (V. 16) y el coeficiente de sensibilidad queda dado por:

),()( /**

/ ii pipii

ffPpSffSpR��

+><+><= +∑ ∂∂ (V. 17)

2 CASO DE VERIFICACIÓN I: ESTACIONARIO DE SEDIMENTACIÓN Y

COAGULACIÓN Una solución exacta puede obtenerse al considerarar en condiciones estacionarias sedimentación y coagulación de partículas a lo largo de un tubo de longitud L, con condiciones de contorno de cccc y ερ en la parte superior de dicho tubo, como se vió en el Capítulo III. Por ende también podrán obtenerse los coeficientes de sensibilidad exactos del observable o funcional de respuesta, respecto de los parámetros perturbados y ser usados como referencia de los obtenidos por el método perturbativo a modo de verificación. Las ecuaciones generales (II.9) y (II.12), luego de sustituir las ecuaciones constutivas para la velocidad y coagulación, (II.10) y (II.13) respectivamente, se reducen a las siguientes expresiones en donde z es la coordenada vertical:

( )

[ ]

[ ]zr

f

Vadzd

Vadzd

pfm

T

f

f

=

=

=

+

+=

ερ

εραε

εραρ

,

0

32

35

,3531

3234

�

�

�

�

(V. 18)

Con a = 0.947 y grC9835.0=α [Capítulo II]. La solución exacta de estas ecuaciones en términos de ερ y , es:


3/5

32236531

)()(

)()(

=

+= −−−

cccc

ccccccf

zz

zVa

z

εερρ

εεραε

(V. 19)

Se resuelven las ecuaciones para el siguiente problema, en donde z = 0 corresponde a la parte superior y es la entrada de partículas al recinto vertical y z = L es la parte inferior o de salida:

5-cc

3-18

313cc

102.57)0z(v)0z()0z(m102.57)0z(v

m7.1)0z(partículaslasdemedioradiom/partículas10)0z(

m5L

========

=====

=

ρεε

µρρ

Los resultados numéricos obtenidos para ε, vyρ en todo el dominio, normalizados con sus respectivos valores de contorno, se muestran en las Figuras V.1 y V.2. Se observa un crecimiento del tamaño de las partículas y una disminución de la concentración y de la fracción de volumen ocupada por las partículas a medida que nos alejamos de la parte superior del recinto debido a la coagulación gravitacional.

0 1 2 3 4 51E-4

1E-3

0.01

0.1

1

ε ρ

Posición (m)

Figura V.1: Distribución de ρ y ε normalizados. Solución numérica


0 1 2 3 4 50

25

50

75

100

125

Vol

. med

io n

orm

Posición [m]

Figura V.2: Distribución del volumen medio de las partículas normalizado. Solución numérica

2.1 ECUACIONES ADJUNTAS

Para obtener los coeficientes de sensibilidad, deben ser deducidas las ecuaciones adjuntas y el concomitante bilineal. Esto puede hacerse antes de seleccionar el funcional de respuesta y los parámetros a perturbar, lo cual resulta en una ventaja del método. Para el presente caso el

operador fmH �

�

∂∂= resulta:

+

+=

− (.)Va9

10(.)dzd(.)

aV92

(.)Va9

10(.)Va9

20(.)dzd

H3231

f

3532

f

31

34

f

3231

f

εραεραεραερα

(V. 20)

Donde el símbolo (.) representa en forma genérica la función en la que se va a aplicar el operador. El operador adjunto *H se obtiene a partir de la ecuación (V.15) por comparación de términos, luego de sustituir H . Al aplicar dicho operador al vector de variables adjuntas, sistema (V.16) se obtienen las ecuaciones diferenciales adjuntas:

+

+−

=++−

=++−

ε

ρ

ρεραεεραε

εεραρεραρ

SVa9

10Va9

10dz

d

SaV9

2Va9

20dz

d

*31

34

f

*3231

f

*

*3532

f

*3231

f

*

(V. 21)

con ρ* y ε* nulos en z = L . De la comparación de términos surge la siguiente expresión para el concomitante bilineal:


( ) 0/*

0/*

/* , == −−= ziziiffP εερρ

��

(V. 22)

La solución numérica de las ecuaciones adjuntas, se implementó utilizando un esquema en diferencias finitas al igual que con las ecuaciones originarias. Considerando las ecuaciones en su expresión genérica, se tiene:

+=+− S)f(Fdzfd *

*��

�

(V. 23)

Discretizando el dominio [0, L] y siendo i los nodos del mismo se tiene:

])([ *1

*1

* +++ +∆−= SfFzff iii

��

(V. 24) La incógnita es, en este caso, el valor de las variables f* en el nodo i, siendo el valor conocido el del nodo i+1, pues la condición de contorno de los adjuntos está dada en el nodo i = N (correspondiente a z =L). Dado que las ecuaciones están acopladas se resuelven conjuntamente.

2.2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Se analiza la respuesta ante incertidumbres en los siguientes parámetros:

[ ]ccccfVp ερα ,,,=� Éstos parámetros seleccionados a modo de ejemplo están relacionados con las constantes del núcleo de coagulación gravitacional, la velocidad de sedimentación y las condiciones de borde. Por lo tanto el vector S(i) que contiene la derivada de las ecuaciones respecto de los parámetros, cambiadas de signo, resulta:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0S;Va3

2VS

0S;Va1

32S

0S;Va3

5VS

0S;Va3

5S

cc3531

2f

f

cc3531

f

cc2f

3234

f

ccf

3234

==

=−=

==

=−=

ρερα

εερα

ρερα

εερα

εε

εε

ρρ

ρρ

(V. 25)

y el concomitante se reduce a:


)1,0(,

)0,1(,

)0,0(,,0

0/0/*

0/0/*

0/0/

====

====

====

iiccicc

iiccicc

iifi

quedadopsiP

quedadopsiP

quedadoVpsiP

ερεε

ερρρ

ερα

2.2.1 Funcional de respuesta 1

El primer observable o funcional de respuesta que se analiza es la fracción de volumen ocupada por las partículas promediada en todo el dominio [0, L]:

( ) ( )zdzzLL

Lεεε 11

0== ∫ (V. 26)

La expresión analítica del mismo se obtiene de reemplazar la solución exacta, ecuación (V.19) en la ecuación (V.26) y luego integrando en el dominio [0, L]:

+−=

3135

cc31

ccf

cc31

cc31cc

f

VaL

L

Va3εραεε

ραε (V. 27)

El valor exacto normalizado con la condición de contorno de la fracción de volumen es 0.0997 y el numérico es 0.0996. Para el presente observable se tiene que:

0S;0S

0S;L1S

i/

i/

==

==

++

++

ρρ

εε

(V. 28)

Conociendo el valor de las variables de estado a lo largo del dominio y el valor de S+ es posible resolver las ecuaciones de los adjuntos. Los coeficientes de sensibilidad respecto de los parámetros perturbados se calculan a partir de la ecuación (V.17), por resolución numérica y usando el valor de las variables de estado, las adjuntas, las funciones S(i) y el concomitante bilineal. En la Tabla V.1 se comparan los coeficientes calculados a partir de las soluciones analítica y numérica. Se puede observar una excelente concordancia entre ambos. Un incremento en la constante de coagulación y en ρ hace disminuir el valor del observable debido a que ambos parámetros incrementan la coagulación, haciendo que aumente el volumen medio de las partículas y por ende su velocidad media, hecho que implica un mayor efecto de remoción. Estos dos parámetros no afectan directamente a la sedimentación, sí como consecuencia de la coagulación. Mientras que un aumento en la constante de sedimentación sí lo hace, reduciendo el número de partículas dentro del dominio –menor tiempo de residencia-. Es por ello que se reduce la probabilidad de coagulación y por lo tanto el efecto de barrido se ve disminuido, resultando finalmente en un incremento del volumen ocupado por las partículas. El coeficiente de sensibilidad resulta positivo. Un aumento del valor de contorno de ε, manteniendo constante ρ implica un aumento directo del volumen y lleva a una mayor


velocidad de las partículas. El efecto resultante es equivalente al de aumentar la constante de sedimentación, resultando un coeficiente también positivo.

Solución exacta Método Perturbativo

αε

εα

∂∂ -0.585 -0.586

f

f

VV

∂∂ ε

ε 0.585 0.587

cc

cc

εε

εε

∂∂ 0.610 0.612

cc

cc

ρε

ερ

∂∂ -0.195 -0.195

Tabla V.1: Comparación de los coeficientes de sensibilidad exactos y derivados mediante

el Método Perturbativo, ambos normalizados

2.2.2 FUNCIONAL DE RESPUESTA 2

El segundo funcional de respuesta seleccionado es la fracción de volumen ocupadas por las partículas a la salida del dominio [0, L], la expresión genérica resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zLzdzzLzLL

εδεδε −=−= ∫0 (V. 29)

y su expresión exacta es:

3223cc

65cc

31cc

f)L

Va()L( −−− += εεραε (V. 30)

El valor exacto normalizado con la condición de contorno de la fracción de volumen es de 0.0414 que coincide con el valor numérico. Para el presente observable que se analiza, las funciones S+ se reducen a:

( )

0S;0S

0S;LzS

i/

i/

==

=−=

++

++

ρρ

εε δ (V. 31)

Se resuelven las ecuaciones adjuntas (V.21) para obtener el valor de las variables adjuntas, utilizando las expresiones S+, para poder evaluar luego numéricamente los coeficientes de sensibilidad del observable respecto de los parámetros seleccionados. Es importante hacer en este punto una disquisición sobre la programación de la función δ para la resolución de las ecuaciones adjuntas, y de la interpretación de la condición de contorno nula


para los adjuntos en z = L. La integración numérica de las ecuaciones adjuntas se puede realizar en el intervalo [0, L] o [0,L), es decir incluir el punto L o no en el dominio. Si éste se incluye, la función δ(z-L) de +

εS debe ser considerada en la programación. La integral de la ecuación diferencial para ε*, ecuación (V.21) (en este caso en un entorno ξ de L) resulta:

1)(9

109

10 *3/1

3/4*3/23/1** =−=

++− ∫∫

+

−

+

−+−

ξ

ξ

ξ

ξξξ δρ

εραεεραεε

L

L

L

L ffLL dzLzdz

Vadz

Va

Si ahora nos referimos a la expresión numérica de la ecuación diferencial del adjunto, ecuación (V.24), y considerando el intervalo de integración ∆z comparable al intervalo 2ξ y comparando término a término con la ecuación anterior, la función δ(z-L) debe ser programada como δ(z-L) =1/∆z en el nodo correspondiente a z = L. Si en el modelo numérico no se incluye el límite z = L, la función δ(z-L) no tiene que ser programada y directamente +

εS será igual a cero. Sin embargo, en este caso es preciso deducir cual será la condición de contorno para las funciones adjuntas en z = L-ξ , sabiendo que su valor es nulo, importancia cero, en z =L. Partiendo de la expresión del observable, (V.29), y reemplazando la función δ(z-L) por su igual, ecuación (V.21), se tiene:

∫ −

++−=

L

L ffdzz

VaVadzdL

ζερ

εραεεραεε )(

910

910)( *

31

34*3231

*

Por el teorema del valor medio los términos que no contienen derivadas se anulan y la integral anterior se reduce, luego de aproximar ε(z) = ε(L), a:

∫∫ −−−=−=

L

L

L

Ldz

dzdLdz

dzdzL

ζζ

εεεεε**

)()()(

Resolviendo la integral y simplificando ε(L), se tiene:

)L()L()L(1 *** ζεζεε −=−+−=

dado que ε*(L) es nulo. Entonces la condición de contorno de ε* en z = L-ξ vale uno y +

εS deberá ser programada igual a cero. Luego de resolver las ecuaciones adjuntas, ya sea en el intervalo [0, L] o [0, L), se evalúan los coeficientes de sensibilidad a partir de la expresión (V.17) reemplazando en ella el valor de las variables de estado, de las adjuntas, de las funciones S(i) y el concomitante. Los resultados se comparan con los del cálculo exacto, obtenidos derivando la expresión (V.30) respecto de los parámetros seleccionados, en la Tabla V.2. Puede observarse que el acuerdo es muy bueno y la tendencia respecto del signo es igual que para el observable o funcional de respuesta anterior.


Solución exacta Método perturbativo

( )( )α

εεα

∂∂ L

L -0.661 -0.660

( )( )f

f

VL

LV

∂∂ ε

ε 0.661 0.663

( )( )cc

cc LL ε

εεε

∂∂ 0.559 0.559

( )( )cc

cc LL ρ

εερ

∂∂ -0.220 -0.219

Tabla V.2: Comparación de los coeficientes de sensibilidad exactos y derivados

Mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados

3 CASO DE VERIFICIACIÓN II: EVOLUCIÓN CON SEDIMENTACIÓN Y COAGULACIÓN CONSIDERANDO HOMOGENEIDAD ESPACIAL

Otro caso sencillo y de interés surge al considerar la evolución de una dada población de partículas en un recinto de altura L, bajo la influencia de los fenómenos de sedimentación y coagulación gravitacional, considerando que la distribución espacial es homogénea en dicho dominio, es decir bajo la hipótesis de buen mezclado. Este caso es descripto por a las siguientes expresiones derivadas de las ecuaciones generales obtenidas por el método de los momentos, con condiciones inciales 00 y ερ :

ρρρρ C

zUz

t

L=

∂∂

+∂∂

∫0

))((

0))((

0=

∂∂

+∂∂

∫L

zUz

tεεε

(V. 32)

Donde ρ, ε y Cρ son las variables promediadas en z. Explicitando la dependencia del término convectivo con las variables de estado e integrando en el espacio se tiene que:


( )

[ ]

[ ]tr

f

LV

bt

LV

at

pfm

T

f

f

=

=

=

+∂∂

++∂∂

=

ερ

ρεε

εραερρ

,

0,

3/2

3/5

3/43/23/23/1

�

�

�

�

(V. 33)

Siendo b=1.263, ecuación (II.29). La solución numérica se implementó con un esquema explícito. Los resultados numéricos de la evolución de ρ y ε en todo el dominio, obtenidos a partir de los siguientes datos se muestran en la Figura V.3.

sTtvtt

mtv

mtpartículaslasdemedioradiompartículast

fin 3000102.57)0()0()0(

102.57)0(

7.1)0(/10)0(

5-0

318-

3130

=======

==

=====

ρεε

µρρ

0 500 1000 1500 2000 2500 30001E-8

1E-6

1E-4

0.01

1

100

10000

ρ ε volumen medio

Tiempo(s)

Figura V.3: Evolución de una población de aerosoles con hipótesis de homogeneidad espacial


3.1 ECUACIONES ADJUNTAS

De las ecuaciones (V.32) se deduce el operador H , que resulta:

+

−

+

+

+

=

(.)35(.)

32

(.)34

32(.)

32

31

3/23/5

3/13/23/1

3/1

3/43/2

ρε

ρε

εραερ

ρε

αρε

LVb

dtd

LVb

LVa

LVa

dtd

Hff

ff

(V. 34)

Usando la definición (V.14) del operador adjunto y reemplazando H en el término de la derecha de dicha expresión, integrando por partes y comparando con el término de la izquierda, se deduce *H . A partir de éste se construyen las siguientes ecuaciones para los adjuntos:

+

+

=

+

+

+∂

∂−

=

−

+

+∂

∂−

ε

ρ

ερερερα

ερε

ερερ

ρε

αρερ

SLVb

LVa

t

SLVb

LVa

t

ff

ff

*3/2

*3/13/23/1*

*3/5

*3/1

3/43/2*

35

34

32

32

32

31

(V. 35)

con ** y ερ nulos en t = Tfin. Los términos restantes de la definición (V.14), que no constituyen el operador adjunto, conforman el concomitante bilineal:

( ) Tfin

0i/*Tfin

0i/*

i/* f,fP εερρ −−=

��

(V. 36)

3.2 ANÁLISIS PERTURBATIVO

Se analiza la respuesta ante incertezas en los siguientes parámetros, en forma similar que en el caso anterior:

[ ]0,0,, ερα fVp =� Parámetros relacionados con las constantes de coagulación gravitacional y de la velocidad de sedimentación y las condiciones iniciales del problema. El vector S(i) resulta para este caso:


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0;

0;0

0;

0;

03/2

3/5

0

03/23/1

03/43/2

=−=

==

=−=

=−=

ρρε

εα

ρερ

εερα

εε

εε

ρρ

ρρ

SLbVS

SS

SLaVS

SS

f

f

(V. 37)

El concomitante bilineal se reduce a:

)1,0(,

)0,1(,

)0,0(,,0

0/0/0*0

0/0/0*0

0/0/

====

====

====

iii

iii

iifi

quedadopsiP

quedadopsiP

quedadoVpsiP

ερεε

ερρρ

ερα


Se elige en este caso como observable a la fracción de volumen ocupada por las partículas promedio durante la evolución en el intervalo [0, Tfin]:

( ) ( )tdttTfinTfin

Tfinεεε 11

0== ∫ (V. 38)

El valor resultante del observable normalizado con el volumen medio inicial para el problema propuesto es de 0.5037. Considerando el observable propuesto, se tiene que:

0S;0S

0S;Tfin

1S

i/

i/

==

==

++

++

ρρ

εε

(V. 39)

Se resuelven numéricamente las ecuaciones de los adjuntos conociendo el valor de las variables de estado a lo largo de la evolución y el valor de las funciones S+. Luego se evalúan los coeficientes de sensibilidad respecto de los parámetros perturbados a partir de la ecuación (V.17). En la Tabla V.3 éstos son comparados con los calculados a partir de la resolución numérica de las ecuaciones (V.33) modificando los correspondientes parámetros del modelo y de entrada y realizando el cociente incremental respecto del valor nominal. Los resultados son muy buenos. A diferencia del caso anterior se puede observar que el signo del coeficiente de


sensibilidad respecto de Vf es negativo. Es decir que durante el tiempo de observación

(promediado) el efecto resultante de un aumento de la velocidad de sedimentación lleva a una reducción de la fracción de masa suspendida. En particular el valor de este coeficiente es un orden de magnitud menor que los otros. La explicación de este efecto será dada al final de este capítulo en la comparación de los distintos casos analizados.

Por otro lado, un incremento en el valor inicial de ε, (se mantiene igual el valor inicial de la concentración de partículas lo que implica un aumento del volumen medio) conduce a una mayor probabilidad inicial de coagulación de partículas y remoción, por lo tanto el coeficiente de sensibilidad asociado es negativo. Un aumento del valor inicial de ρ incrementa la coagulación, pero como el valor inicial de ε se mantiene constante y ε es igual al producto de ρ y el volumen medio de las partículas, el valor inicial de éste último debe disminuir. Como consecuencia, baja la velocidad de sedimentación inicial y por ende la remoción. Por otro lado una disminución de dicho volumen medio inicial implica una menor tasa de coagulación y crecimiento de las partículas, lo que limita la remoción por sedimentación. Estos efectos a causa de la reducción del volumen medio prevalecen respecto al originado por el incremento de ρ y hace que la fracción de masa en suspensión aumente, resultando un coeficiente de sensibilidad positivo.

Cálculo directo

∆∆∆∆pi/pi =1 %

Método Perturbativo

αε

εα

∂∂ -0.98 -0.98

f

f

VV

∂∂ ε

ε -0.021 -0.023

0

0

εε

εε

∂∂ -0.32 -0.32

0

0

ρε

ερ

∂∂ 0.34 0.34

Tabla V.3: Comparación de los coeficientes de sensibilidad por cálculo directo y los

obtenidos mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados


Se elige como segundo observable a analizar a la fracción de volumen ocupado por las partículas en t = Tfin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttfintdttTfintTfinTfin

εδεδε −=−= ∫0 (V. 40)


El valor resultante del observable normalizado con la fracción de volumen inicial ocupada por las partículas es de 1.42 10-5. Para este observable, se tiene que:

( )

)1,0(,

)0,1(,

)0,0(,,0

0;0

0;

0/0/0*0

0/0/0*0

0/0/

/

/

====

====

====

==

=−=

++

++

iii

iii

iifi

i

i

quedadopsiP

quedadopsiP

quedadoVpsiP

SS

STfintS

ερεε

ερρρ

ερα

δ

ρρ

εε

(V. 41)

Se resuelve el sistema de ecuaciones de los adjuntos conociendo el valor de las variables de estado a lo largo de la evolución y el respectivo valor de S+. Los resultados del análisis de sensibilidad respecto de los parámetros perturbados, tanto del cálculo directo como los obtenidos a través del Método Perturbativo, se muestran a continuación, de nuevo se puede observar una muy buena concordancia entre ambos. Como en todos los observables anteriores, un incremento en la constante de coagulación sigue resultando en un coeficiente de sensibilidad negativo. Mientras que el coeficiente respecto de la constante de sedimentación evaluada a los 3000 s (tiempo arbitrario) vuelve a ser positiva como en el Caso I. La tendencia respecto de las condiciones iniciales es igual al funcional de respuesta anterior. En general se observan valores mucho mayores que en los casos anteriores y están asociados, como se verá más adelante, a la crisis originada en el barrido por el fuerte acople entre coagulación y sedimentación en torno de los 1500 segundos, hecho que sirve para medir el impacto de este fenómeno en la evolución de la población.

Cálculo directo ∆∆∆∆pi/pi =1 %


( )( )α

εεα

∂∂ Tfin

Tfin -16. -16.

( )( )

f

f

VTfin

TfinV

∂∂ ε

ε

5.

4.9

( )( )

0

0 TfinTfin ε

εεε

∂∂ -17. -17.

( )( )

0

0 TfinTfin ρ

εερ

∂∂ 2.1 2.1

Tabla V.4: Comparación de los coeficientes de sensibilidad obtenidos por cálculo directo y de los derivados mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados


4 ECUACIONES GENERALES ADJUNTAS PARA ESTUDIOS DE SENSIBILIDAD

DE LA EVOLUCIÓN DE AEROSOLES Una vez verificada la aplicabilidad del Método Peturbativo Formalismo Diferencial a casos particulares, se pasa a derivar las ecuaciones generales adjuntas que permitan realizar estudios de sensibilidad de una población de aerosoles bajo sedimentación, difusión y coagulación Browniana y gravitacional, durante condiciones evolutivas y modelando la variación espacial. El sistema completo de ecuaciones (II.9) y (II.12), se reescribe por simplicidad en términos de los flujos convectivos de partículas, φρ, y de la fracción de masa, φε, resultando:

( ) 0)(

)(

,

2

2

2

2

=

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂

∂−

∂∂

+∂∂

=

zD

zt

CzD

ztpfmεε

ρρρ

εφε

ρφρ�

�

�

(V. 42)

donde:

Brgr

BG

f

f

CC

CCC

VbU

VaU

0745.2;9835.0

23/43/2

3/2

3/5

3/23/1

==

−−=+=

==

==

βα

ρβεραρεεφ

ερρφ

ρρρ

εε

ρρ

siendo:

[ ][ ]tzr

f T

,,

== ερ

�

El operador fmH �

�

∂∂= , resulta para este caso:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ](.))((.)(.)

(.))((.)

(.)(.))((.)

(.)(.))((.)(.)

2

2

/22

2

2

/21

/2

2

/12

/2

2

/11

εεεε

ρερε

ερερερ

ρρρρρρ

εφ

εφ

ρφ

ρφ

Dzzt

H

Dzz

H

CDzz

H

CDzzt

H

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂−

∂∂=

−∂∂−

∂∂=

−∂∂−

∂∂+

∂∂=


donde:

3/23/1/3/1

3/4

/

3/2

/

3/5

/

3/1

/

3/2

/

34;2

32

35

;3

2

32

;3

ρεαε

ρβρεα

ρ

ρε

εφφ

ρε

ρφφ

ερ

εφ

φρε

ρφ

φ

ρερ

ρρρ

εεε

ερε

ρερ

ρρρ

−=∂∂

=−−=∂∂

=

=∂∂

=

−=∂∂

=

=∂∂

=

=∂∂

=

CC

CC

VbVb

VaVa

ff

ff

3/13/2

3/43/1

32

)(;3

)(

3)(;

34

)(

=∂

∂=

=∂∂

=

−=∂

∂=

=∂

∂=

ερα

εεε

ρεα

ρεε

ερα

ερ

ρερα

ρρ

ρ

εεε

ερε

ρερ

ρρρ

dd

dd

dDDdDD

cDD

cDD

Usando la definición de operador adjunto, ecuación (V.14), en donde, en este caso, el símbolo “< >” representa la integración doble en tiempo y espacio, y reemplazando H en el término de la derecha de dicha ecuación, se obtiene:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∂∂−

∂∂

+

∂∂−

∂∂

+∂

∂

+

−

∂∂−

∂∂

+

−

∂∂−

∂∂

+∂

∂=

ii

iii

iii

iiii

i

Dzz

Dzzt

CDzz

CDzzt

fHf

/2

2//*

/2

2///*

///2

2//*

///2

2///*

/*

)()(

)()(

)()(

)()(

ρερφ

ε

εεεφεε

εερεφ

ρ

ρρρρφρρ

εερε

ρεεε

ερερερ

ρρρρρρ��

Integrando por partes y resolviendo, resulta:


[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] dtDz

dtDz

dtz

Dz

dtDz

dtDz

dzdt

zD

zt

dtDz

dtDz

dtCz

Dz

dtDz

dtDz

dzdt

Cz

Dzt

fHf

Tfin

a

L

i

Tfin

a

L

i

Tfin

a

Liii

Tfin

a

L

i

Tfin

a

L

i

LTfin

i

Tfin

a

Li

iii

Tfin

a

L

i

Tfin

a

L

i

Tfin

a

Liiii

Tfin

a

L

i

Tfin

a

L

i

LTfin

i

Tfin

a

Li

iiiii

∫∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

∫∫

∫∫

∂∂+

∂∂−

+∂∂−

∂∂−+

∂∂+

∂∂−

++

∂∂−

∂∂−

∂∂−+

∂∂+

∂∂−

+−∂∂−

∂∂−+

∂∂+

∂∂−

++

−∂∂−

∂∂−

∂∂−=

0/

*

0/

*

0*

//2

*2

/

*

//

0/

*

0/

*

00/

*0

*//

2

*2

/

*

//

*

/

0/

*

0/

*

0*

//*

//2

*2

/

*

//

0/

*

0/

*

00/

*0

*//

*//2

*2

/

*

//

*

//*

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

ρεερεε

ερφεερεφρ

εεεεεε

εεεεφ

εεεεφεεε

ερρερρ

ρεφρερρερφε

ρρρρρρ

ρρρρφ

ρρρρρρφρρρ

ρερε

ρερερε

εεεε

εε

εεεε

ερερ

ερερερερ

ρρρρ

ρρ

ρρρρρρ��

Comparando el desarrollo anterior con el término de la izquierda en la definición del adjunto, se deduce el operador *H :


(.))((.)(.)

(.)(.))((.)

(.))((.)

(.)(.))((.)(.)

2

2

/*22

/2

2

/*21

2

2

/*12

/2

2

/*11

zD

ztH

Cz

Dz

H

zD

zH

Cz

Dzt

H

∂∂−

∂∂−

∂∂−=

−∂∂−

∂∂−=

∂∂−

∂∂−=

−∂∂−

∂∂−

∂∂−=

εεεε

ερερερ

ρερε

ρρρρρρ

εφ

ρφ

εφ

ρφ

(V. 43)

así como también la siguiente expresión para el concomitante bilineal P:

( )

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

dzdz

dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtdt

dtdtffP

L

ti

L

ti

Tend L

zi

Tend

zi

Tend L

zi

Tend

zi

Tend L

zi

Tend

zi

Tend L

zi

Tend

zi

Tend

zi

Tend

zi

Tend

zi

Tend

zii

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

==

==

==

==

==

==

==

++

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

++

+=

00/

*

00/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

0 0/

*

00

*//

00

*//

00

*//

00

*///

*

)()(

)()(

)()(

)()(

,

εερρ

εερεερ

ρεερεε

ερρερρ

ρρρρρρ

ερφεεφ

ρεφρρφ

εεεε

ρερε

ερερ

ρρρρ

ρεεε

ερρρ��

(V. 44)


Resultando las siguientes ecuaciones para los adjuntos:

+

+

=−∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

=−∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂−

εερεεερεεερ

ρρρρερρρερρ

ρεερρεφρφε

ρεερρεφρφρ

SCz

Dz

Dzzt

SCz

Dz

Dzzt

*/2

*2

2

*2*

/

*

/

*

*/2

*2

2

*2*

/

*

/

*

)()(

)()(

(V. 45)

Con ** ερ y nulos en t = Tfin para todo z y en z = L para todo t. La solución numérica de las ecuaciones adjuntas se implementó utilizando un esquema en diferencias finitas. Se considera el dominio [0, Tfin] en intervalos de tiempo ∆t, donde i es un nodo genérico del mismo, y el dominio [0, L] discretizado en intervalos espaciales ∆z, siendo j un nodo genérico del mismo, como muestra la figura. La discretización debe ser coincidente con la realizada para las ecuaciones de balance. El sistema de ecuaciones de los adjuntos se expresa en forma explícita en el tiempo y con un esquema upwind en el término de las derivadas espaciales del término convectivo y centrada en el difusivo. Los datos en el problema adjunto se conocen en los nodos Ifin para todo j y en j= N para todo i, y por lo tanto en (Ifin, N). Entonces en función de dichas condiciones de borde y finales, se resuelve de derecha a izquierda y desde arriba hacia abajo, según el Esquema V.1. Es decir se conocen los valores de los adjuntos en los nodos genéricos (i+1, j+1), (i+1, j) e (i, j+1), siendo la incógnita los valores en (i, j). Los coeficientes que acompañan a las derivadas y el término independiente, se evalúan en (i+1,j). De esta forma las ecuaciones de los adjuntos quedan desacopladas, por lo tanto las incógnitas ε* y ρ* en (i, j) se despejan directamente de la derivada temporal sin necesidad de iterar.

Tiempo

I=Ifin (ε* y ρ* = 0)

(I+1, J): dato

(I+1, J+1): dato

(I, J): incógnita

(I, J+1): dato

I=1, J=1 Espacio (coordenada z) J=N (ε* y ρ* = 0)

Esquema V.1: Esquema de resolución de las ecuaciones de los adjuntos


5 CASO DE ESTUDIO III: EVOLUCIÓN DE PARTÍCULAS EN UN RECINTO A continuación se resuelve y analiza la evolución temporal, conjuntamente con algunos coeficientes de sensibilidad, de una población de partículas en un recinto de altura L, a partir de condiciones iniciales 00 y ερ a lo largo de todo el dominio y con condiciones de contorno

cccc y ερ en z = 0, entrada al mismo. Los datos del problema propuesto se transcriben a continuación y son coherentes con los utilizados en los casos anteriores de modo tal de facilitar la explicación del presente caso basándose en los análisis anteriores.

5-

313

5-0

3130

102.57)0,(

7.1)0,(/10)0,(

102.57),0(

7.1),0(/10),0(

5

===

=====

===

=====

=

cc

cc

zt

mztpartículaslasdemedioradiompartículaszt

contornodeCondiciónzt

mztpartículaslasdemedioradiompartículaszt

inicialCondiciónmL

εεµ

ρρ

εεµ

ρρ

Los resultados numéricos obtenidos de la evolución de vy, ερ normalizados con sus respectivos valores iniciales y en distintos puntos del dominio, se muestran en la siguiente Figura V.4.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000Volumen medio

Fracción de masa (ε)

Densidad de particulas (ρ)

VAR

IABL

ES

NO

MAL

IZAD

AS

25% de L 50% de L 75% de L 100% de L

Tiempo (s)

Figura V.4: Evolución de la población de aerosoles


Inicialmente hay un incremento gradual del volumen medio de las partículas y una remoción lenta por sedimentación. Como en el caso previo a los 1500 segundos aproximadamente, el barrido de partículas es incrementado por la coagulación y la sedimentación a medida que las partículas caen, por incremento de la sección eficaz de choque y su velocidad. Sin embargo como se continúa en este experimento numérico inyectando partículas por la parte superior, el aerosol tiende a una condición estacionaria a lo largo del tubo, la cual es la solución encontrada en el primer caso de prueba analizado en este capítulo. La evolución inicial, incluyendo el pico en el segundo caso de la evolución de una población bajo homogeneidad espacial es coherente o similar a la mostrada en la Figura V.4 del presente caso.

5.1 ANÁLISIS PERTURBATIVO

Siguiendo el mismo procedimiento que en los casos anteriores se analizarán los coeficientes de sensibilidad debido a incertezas en los siguientes parámetros de control:

[ ]T00ccccf ,,,,V,p ερερα=�

en donde se incluyen tanto las condiciones de borde como las iniciales. Consecuentemente el vector S(i), ecuación (V.12), resulta para este caso:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0;0;

0;0;0

0;0;)(

0;0;

03/2

3/5

0

03/23/1

03/43/2

==

∂∂−=

===

==∂∂−=

==−=

ccf

cc

ccf

cc

SSz

bVS

SSS

SSz

aVS

SSS

ρρρε

εεα

ρρερ

εεερα

εεε

εεε

ρρρ

ρρρ

(V. 46)

El concomitante, según el parámetro perturbado se reduce a:

0:;00, // ===⇒= PresultayVpsi iifi ερα


[ ]

[ ] dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtdtP

resultaypsi

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

az

Tfin

az

tzitzibci

∫∫

∫∫

∫∫

==

==

==

==

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

+=

==⇒=

0 0

*

0 0

*

0 0

*

0 0

*

0*

/0*

/

,0/,0/

)()(

)()(

:;01

ρερε

ρρρρ

ρερρ

εεεε

ρρρρ

εφρφ

ερρ

[ ]

[ ] dtDz

dtDz

dtDz

dtDz

dtdtP

resultaypsi

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

z

Tfin

az

Tfin

az

tzitzibci

∫∫

∫∫

∫∫

==

==

==

==

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

+=

==⇒=

0 0

*

0 0

*

0 0

*

0 0

*

0*

/0*

/

,0/,0/

)()(

)()(

:;10

εεεε

ερερ

εεερ

ερερ

ρρρρ

εφρφ

ερε

∫

∫

===

===

===⇒=

===⇒=

Tfin

ttzitzii

L

ttzitzii

dzPresultapsi

dzPresultapsi

00

*0,/0,/0

00

*0,/0,/0

:;1,0

:;0,1

εερε

ρερρ



Se elige como primer observable a la fracción de volumen de las partículas promedio en todo el recinto [0, L] durante toda la evolución, con Tfin = 6000 s:

( ) ( )tzdzdttzTfinLTfinL

TfinL,, 111

00εεε == ∫∫ (V. 47)

El valor resultante del observable normalizado con la fracción de masa inicial para el problema propuesto es de 0.515. Para este caso S+ resulta:

0S;0S

0S;Tfin

1L1S

i/

i/

==

==

++

++

ρρ

εε

(V. 48)

Se resuelve el problema de los adjuntos conociendo el valor de las variables de estado a lo largo de la evolución y de S+, con 500 nodos espaciales y Ncourant = 0.25. Luego se cuantifican los coeficientes de sensibilidad para cada parámetro, cuyos valores se muestran en la Tabla V.5 junto con los calculados directamente. Estos últimos fueron calculados disminuyendo y aumentando el parámetro seleccionado un 1% respecto del valor nominal.

Cálculo directo

∆∆∆∆pi/pi Coeficiente de sensibilidad

-0.01 0.01


αε

εα

∂∂ -0.78 -0.75 -0.76

f

f

VV

∂∂ ε

ε 0.095 0.097 0.095

cc

cc

εε

εε

∂∂ 0.18 0.19 0.20

cc

cc

ρε

ερ

∂∂ -0.066 -0.05 -0.069

0

0

εε

εε

∂∂ -0.14 -0.15 -0.14

0

0

ρε

ερ

∂∂ 0.26 0.26 0.25

Tabla V.5: Comparación de los coeficientes de sensibilidad

obtenidos por cálculo directo y mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados El coeficiente relacionado con la coagulación, al igual que en los casos anteriores sigue siendo negativo, el de la sedimentación positivo y los relacionados con las condiciones de borde coinciden en signo con el Caso I (también problema de condiciones de contorno). Igual coincidencia se observa respecto del Caso II respecto de las condiciones iniciales. Por otro lado se presenta una asimetría respecto de los valores de los coeficientes calculados en forma directa


evaluados a la izquierda y a derecha del valor nominal, lo que refleja la no linealidad del problema.


Se selecciona como segundo observable o funcional de respuesta a la fracción de volumen de las partículas promedio a lo largo del recinto evaluada en Tfin = 6000 s:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTfintdtdztTfintTfinLL

Tfin Lεδεδε −=−= ∫ ∫

11

0 0 (V. 49)

El valor resultante del observable normalizado con la fracción de masa inicial para el problema propuesto es de 0.103. Considerando el observable propuesto, se tiene que:

( )

0;0

0;1

/

/

==

=−=

++

++

i

i

SS

STfintL

S

ρρ

εε δ

(V. 50)

Las ecuaciones adjuntas se resuelven con 500 nodos espaciales y Ncourant = 0.25, conociendo el valor de las variables de estado en el dominio y a lo largo de la evolución y los valores de S+. Los coeficientes de sensibilidad se muestran en la Tabla V.6.

Cálculo directo ∆∆∆∆pi/pi

Coeficiente de sensibilidad -0.01 0.01

Método

Perturbativo

αε

εα

∂∂ )Tfin(

)Tfin( -0.55 -0.54 -0.56

f

f

V)Tfin(

)Tfin(V

∂∂ ε

ε 0.58 0.58 0.58

cc

cc )Tfin()Tfin( ε

εεε

∂∂ 0.66 0.65 0.63

cc

cc )Tfin()Tfin( ρ

εερ

∂∂ -0.20 -0.20 -0.21

0

0 )Tfin()Tfin( ε

εε

ε∂

∂ 0.0016 0.0022 0.0029

0

0 )Tfin()Tfin( ρ

εε

ρ∂

∂ -0.0033 -0.033 -0.0034

Tabla V.6: Comparación de los coeficientes de sensibilidad por cálculo directo y derivados

mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados


Se observa una muy buena concordancia entre los evaluados con el Método Perturbativo y mediante el cálculo directo. En particular se puede notar que los coeficientes de sensibilidad respecto de las condiciones iniciales son dos órdenes de magnitud, aproximadamente, menor que el resto. Esto se debe a que la influencia de las mismas disminuye a medida que el instante de observación se aleja del inicial, tendiendo a cero a medida que se acerca a la condición estacionaria. Se puede observar un incremento del valor de los coeficientes de sensibilidad respecto de la condición de contorno respecto del observable anterior, dado, que en ese caso, los coeficientes estaban promediados en el tiempo, en donde inicialmente la influencia de la condición de borde era baja.


Como último funcional de respuesta a evaluar su sensibilidad respecto de los parámetros de control escogidos, se selecciona a la fracción de volumen de las partículas en Tfin = 6000 s, en la posición L= 5 m:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTfintLzdtdztTfintLzTfinLTfin L

εδδεδδε −−=−−= ∫ ∫0 0, (V. 51)

El valor resultante del observable normalizado con la fracción de masa inicial para el problema propuesto es de 0.04. Considerando el observable propuesto, se tiene que:

( ) ( )

0S;0S

0S;TfintLzS

i/

i/

==

=−−=

++

++

ρρ

εε δδ

(V. 52)

Se resuelven las ecuaciones adjuntas con 500 nodos espaciales y Ncourant = 0.25 y se obtiene el valor de las variables adjuntas a lo largo del dominio y durante toda la evolución, valores que son usados para evaluar los coeficientes de sensibilidad. Los resultados se muestran en la Tabla V.7 junto con los evaluados por cálculo directo. Se observa una muy buena concordancia. De nuevo se manifiesta la menor sensibilidad respecto de las condiciones iniciales y la misma tendencia en cuanto al signo que en el caso anterior.


Cálculo directo

∆∆∆∆pi/pi Coeficiente de sensibilidad

-0.01 0.01


αε

εα

∂∂ )Tfin,L(

)Tfin,L( -0.43 -0.44 -0.44

f

f

V)Tfin,H(

)Tfin,H(V

∂∂ ε

ε 0.82 0.81 0.82

cc

cc )Tfin,L()Tfin,L( ε

εε

ε∂

∂ 0.94 0.91 0.92

cc

cc )Tfin,L()Tfin,L( ρ

εε

ρ∂

∂ -0.36 -0.37 -0.36

0

0 )Tfin,L()Tfin,L( ε

εε

ε∂

∂ 0.033 0.037 0.042

0

0 )Tfin,L()Tfin,L( ρ

εε

ρ∂

∂ -0.037 -0.036 -0.037

Tabla V.7: Comparación de los coeficientes de sensibilidad por cálculo directo y derivados

mediante el Método Perturbativo, ambos normalizados

6 ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS CASOS ANALIZADOS Finalmente resulta interesante realizar un análisis comparativo entre los tres casos analizados, la distribución espacial en estado estacionario (Caso I), la evolución de una población homogénea de aerosoles (Caso II) y el caso evolutivo considerando distribución espacial de los aerosoles (Caso III). Para el análisis se elige como referencia al segundo observable del último caso: el valor promedio a lo largo del recinto de la fracción volumétrica de aerosoles evaluado a un tiempo dado.

Los resultados de la Tabla V.6, a excepción de los coeficientes de sensibilidad a la condición inicial, pueden ser comparados con los coeficientes del primer observable analizado en el Caso de verificación I -la solución estacionaria de una población de aerosoles- dado que las condiciones de borde son las mismas, tendiendo el Caso III a la solución estacionaria del Caso I. Los valores de los observables difieren levemente debido a que a los 6000 segundos, tiempo en que es evaluado el presente observable y por ende los coeficientes de sensibilidad, el estado estacionario no se ha alcanzado completamente, por limitaciones de memoria, ya que se debe almacenar el valor de cada variable en cada nodo espacial para cada instante temporal evaluado.


Otro análisis interesante es la evaluación de la evolución temporal de los coeficientes de sensibilidad, es decir observar cómo varía el coeficiente del observable seleccionado con el tiempo. Esto servirá para visualizar el cambio de signo del coeficiente de sensibilidad de la fracción de masa en el Caso II (población homogénea) respecto de la velocidad de la constante de sedimentación, cuando es evaluado en un tiempo dado o cuando es promediado (temporal) durante la evolución.

Los valores de los coeficientes relacionados con las constantes de sedimentación, coagulación y condición de borde, se muestran en la Figura 5. En la Figura 6 se muestra una ampliación de un rango de los mismos. Se puede ver que todos los coeficientes varían según el fenómeno físico que está dominando en el proceso. Los relacionados con la condición de borde, tienen poca importancia al principio, dado que la evolución depende de las condiciones iniciales. Luego aumentan a medida que transcurre el tiempo y se tiende a la condición estacionaria, dominada por las condiciones de contorno. El coeficiente de Vf cambia de signo según la importancia de la sedimentación respecto de la coagulación durante la evolución, mientras que los otros coeficientes mantienen su signo. Es decir durante la primera parte pesa la remoción originada por un aumento de la sedimentación que lleva a una disminución –transitoria- de la masa en suspensión, pero ésta a su vez limita el barrido originado por la coagulación que se produce entorno de los 1500 s, mecanismo muy eficiente en remover partículas, con lo cual un aumento de esta constante de sedimentación resulta a posteriori en una mayor masa remanente en suspensión. Es por ello que el observable 1 del Caso II da negativo en el tiempo de integración (promediado), en donde pesa la primera parte y el observable 2 (valor puntual al final de la simulación numérica) del mismo caso, es positivo.

0 2000 4000 6000 8000 10000-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Coeficiente desensibilidad:

alfa Vf εbc ρbc

Tiempo (s)

Figura V.5: Caso III, observable 2. Evolución de los coeficientes de sensibilidad


0 2000 4000 6000 8000-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

Coeficiente de sensibilidad:

alfa Vf εbc ρbc

Tiempo(s)

Figura V.6: Caso III, observable 2, ampliación. Evolución de los coeficientes de sensibilidad.

Finalmente es interesante hacer una comparación de los coeficientes de sensibilidad respecto de las constantes de la velocidad de sedimentación y de coagulación del observable valor promedio a lo largo del recinto de la fracción volumétrica de aerosoles (Caso III, observable 2) con el observable fracción volumétrica de aerosoles espacialmente homogéneos (Caso II, observable 2), ambos evaluados en los mismos instantes durante la evolución. Es válido realizar esta comparación dado que el comportamiento de población de aerosoles en el corto y mediano plazo es similar, aunque la misma será cualitativa ya que los modelos son distintos –homogeneidad vs. modelado del gradiente espacial- .

En la Figura V.7 se muestran estos dos coeficientes para cada observable. Se puede ver que las tendencias y el cambio de signo en el coeficiente de Vf concuerdan, a pesar de que la solución converge a largo plazo a distintos valores debido a que el del Caso II tiende a una solución con un dominio vacío de partículas y el Caso III a una solución estacionaria.


0 1000 2000 3000-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Caso III

Caso II:Homogeneous aerosol

alfa Vf

Tiempo(s)

Figura V.7: comparación de coeficientes de sensibilidad del Caso II y III,

observables 1 y 2, respectivamente

7 CONCLUSIONES Se obtuvieron las ecuaciones para realizar estudios de sensibilidad de aerosoles mediante el Método Perturbativo Formalismo Diferencial. Se tomaron como base las ecuaciones de estado del modelo de los Momentos con distribución de Poisson, aproximación unidimensional. Se modelan los términos de sedimentación, difusión y coagulación. A modo de ejemplo de empleo y derivación, se analizaron coeficientes de sensibilidad para la fracción volumétrica de aerosoles, funcionales de respuesta tanto promedio como puntuales, respecto de parámetros como las constantes de los términos de sedimentación y de coagulación, y las condiciones iniciales y de borde, en donde se asumen incertezas. Como validación o verificación del método se aplicó inicialmente a casos simples, ecuaciones estacionarias considerando distribución espacial y a ecuaciones evolutivas considerando homogeneidad espacial. Los resultados fueron comparados satisfactoriamente con soluciones analíticas y con cálculo directo de los coeficientes de sensibilidad. Luego un caso más general fue analizado considerando la evolución de una población de aerosoles con dependencia espacial. Como era de esperarse, debido a la selección de estos casos y las condiciones iniciales o de borde, se encontró coherencia entre los valores y tendencias de los coeficientes de sensibilidad, cuyos signos dependen de la competencia entre la coagulación y la sedimentación y de la importancia de una respecto de la otra en una determinada circunstancia.


Finalmente cabe agregar que a pesar del alto grado de no linealidad de las ecuaciones, el Método Perturbativo Formalismo Diferencial da resultados satisfactorios, permitiendo hacer un cálculo de los coeficientes de sensibilidad de una manera rápida y versátil, luego de obtenidas las ecuaciones adjuntas, para un sinnúmero de parámetros cuyas incertezas se desea propagar o para distintos funcionales de respuesta cuya sensibilidad se desea evaluar.

179

CAPITULO VI

MODELO DE DINÁMICA DE FLUJO POLIDISPERSO

LÍQUIDO-GAS - VERIFICACIÓN CON DATOS

EXPERIMENTALES

1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se describe la ampliación y aplicación del modelo de transporte de aerosoles desarrollado anteriormente, para simular la evolución de micropartículas en aire a un nuevo problema: el de transporte de burbujas polidispersas en un medio continuo líquido. Para ello se incorporan las particularidades de la fenomenología del transporte de un fluido bifásico gaseoso-líquido, mediante nuevas ecuaciones constitutivas, principalmente para el cálculo de la velocidad de ascenso de las burbujas. La evolución y transporte de una población de burbujas a lo largo de un tubo se resolverá en forma unidimensional, considerando los fenómenos de transporte por el fluido y por fuerza boyante, y de coalescencia y rotura. No se modelará intercambio de masa ni energía entre las fases líquida y gaseosa.

En contraposición al problema de aerosoles, partículas sólidas o líquidas transportándose en un medio menos denso –gaseoso-, aquí se analizará el movimiento e interacción de burbujas en un medio más denso, que es el agua. Al igual que antes interesa analizar la función distribución n(v,r,t) dv dr, que en este caso representa el número de burbujas con volumen comprendido entre v y v+dv, que se encuentran en un entorno r y r+dr, en el instante t. La ecuación de balance unidimensional que describe el proceso resulta:

coalrotura tvtzn

tvtznvtznvtzU

ztvtzn

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂ ),,(),,()],,(),,([),,( (VI. 1)

en donde U es la velocidad relativa de las burbujas al medio. Se desprecia la difusión de burbujas frente al transporte axial. No se considera, por simplicidad en el modelo o por asumir equilibrio térmico entre ambas fases, los fenómenos de condensación y evaporación, no

180 - Modelo de dinámica de polidispersiones líquido-gas

habiendo ninguna limitación propia del método en hacerlo. Sí se modelan la coalescencia y la rotura de burbujas como mecanismos que afectan la cantidad total de las mismas. El término de coalescencia resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) duunvuKvnduunuvnuuvKtn v

coal∫∫

∞−−−=

∂∂

00,,

2

1 (VI. 2)

con la siguiente ley para el núcleo de coalescencia, proporcional a la diferencia de velocidades entre partículas y a la sección eficaz de choque (Williams 1991):

( )α

α

ππ

−

−=

−+

=

116111

)()()(43),( 23131

32

Fe

vUuUuvFevuK

(VI. 3)

La expresión anterior coincide con la utilizada para coagulación de partículas a excepción del factor Fe. Éste surge de considerar a las burbujas como sistema denso, en donde por un lado modela efectos de apantallamiento, reduciendo la probabilidad de interacción entre burbujas y por otro al considerar el incremento de la eficiencia de coalescencia al ser el volumen ocupado por las burbujas comparable con el volumen total (Guido G., 1992). El término de rotura se puede expresar como (Navarro et al, 1991):

∫∫ −==

∂∂ ∞ v

vroturaduvnuvBduvnvuBvR

tn

0)(),()(),(2)( (VI. 4)

siendo B(u,v) la tasa de rotura de una burbuja de volumen u, en dos hijas de volúmenes v y v-u. El primer término de la derecha representa la ganancia de burbujas con volumen v debido a rotura de mayores y el segundo es la pérdida de burbujas con volumen v debido a su rotura. Pueden realizarse distintas aproximaciones para resolver este problema. Politano M. (2001) usa el método seccional, en donde se discretiza el espectro de tamaños en un número finito de grupos y se modela la evolución de cada grupo de tamaños y la interacción entre ellos, resolviéndose tantas ecuaciones como grupos haya para cada posición. En el presente trabajo se aborda este problema basado en una formulación estadística, asumiendo que la distribución en volumen de las burbujas tendrá una función prefijada. A priori ésta parece ser una hipótesis aventurada, pero su validez será analizada en el presente trabajo en regímenes de flujo tipo “bubbly” y transición a flujo “tipo tapón” (Wallis, 1969). En particular se toma la distribución de Poisson, ecuación II.2, para describir dicha distribución n(v,z,t). Los dos primeros momentos representan respectivamente el número total de burbujas N(z,t) y la fracción de vacío α(z,t). El volumen medio de las burbujas, t)(z,v , se evalúa como el cociente entre el momento de orden uno y el de orden cero. La ecuación de Poisson reescrita en términos de estos parámetros con sentido físico, resulta:

Modelo de dinámica de polidispersiones líquido-gas - 181

vv

evvNtzvn

2

24),,(−

= (VI. 5)

En la ecuación anterior se ha omitido la escritura de la dependencia en N y α de las variables espacial y temporal por simplicidad. 2 DESARROLLO DEL MODELO EN BASE AL MÉTODO DE LOS MOMENTOS Tomando los momentos de orden cero y uno de la ecuación (VI. 1) se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

0z

)U(t

RCz

)UN(tN

NNN

=∂

∂+

∂∂

+=∂

∂+

∂∂

ααα (VI. 6)

donde:

∫

∫

∞

∞

=

=

0

0

)()(1

)()(1

dvvnvUvU

dvvnvUN

U N

αα

( ) ( ) ( ) duunvnuvKduCN ∫∫∞∞

−=00

,2

1

dvvRRN ∫∞

=0

)(

(VI. 7)

Se puede observar que, en forma equivalente al caso de los aerosoles, los fenómenos de coalescencia y rotura (términos CN y RN) afectan sólo a la cantidad total de partículas y no a la fracción de vacío.

2.1 TÉRMINO CONVECTIVO

Para cuantificar el término convectivo se deben proveer relaciones constitutivas para la velocidad de las burbujas y su dependencia con el volumen, que serán deducidas de las ecuaciones unidimensionales de conservación de momento para el líquido, subíndice l, y para el gas, subíndice g, asumiendo las densidades de ambas fases constantes, ρl y ρg. Dichas ecuaciones resultan:


gMz

Uz

Pz

Ut

Ut

gMz

Uz

Pz

Ut

Ut

gggg

gggggggggg

llll

llllllllll

αρµαααραρ

αρµαααραρ

++∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂

++∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂

)2(

)2(

2

2

(VI. 8)

Siendo Ug y Ul las velocidades de las fases gaseosa y líquidas respectivamente, g la gravedad, P

la presión y:

2

0

0

])([)(4

3

)(

)()(

1)(

)(

lglgD

arrastre

gl

ggarrastreg

gl

gg

UvUvd

CT

dvvMM

zPvTvM

dvv

v

−−=

−=

∂∂

+=

=+

=

∫

∫

∞

∞

ρα

α

αα

αα

(VI. 9)

Donde el coeficiente de arrastre para una burbuja aislada en un líquido en reposo, CD, se modela en tres regiones según Wallis (1969) (Politano M, 2001):

214.01b

2b

glD

214.01b52.056.1

b

04.1l

04.2l

glD

bb

D

G02.4Re2si)1(gRe

)(46.1C

G02.4Re2si)1(gRe

)(45.24C

Stokesdearrastredeecoeficient;2Resi)1(Re24C

−

−

<<−−=

<<−−

=

<−=

ασ

ρρ

αµρ

ρρ

α

(VI.10)

Siendo Reb, el número de Reynolds de la burbuja:

dUvU

l

lglb µ

ρ −=

)(Re (VI.11)


donde d es el diámetro de la burbuja y µ y ρ la viscosidad y la densidad del líquido respectivamente. El grupo adimensional G1 se define como:

3

4

1 σρµ

l

lgG = (VI.12)

Si se supone condiciones estacionarias, que el líquido está en reposo (Ul =0), que la presión es igual en el seno del líquido y en las burbujas (i.e., efecto de la tensión superficial despreciable frente a la presión o burbujas no muy pequeñas), que no hay efectos de la gravedad en el gas (i.e., densidad del gas mucho menor que la del líquido, válido a presiones cercanas a la atmosférica), que no hay inercia en el gas, ni fuerzas viscosas, ni efectos de rotación, ni tensiones de Reynold y despreciando el término de masa virtual respecto del término de arrastre, Tarrastre, las ecuaciones de momento para cada fase se reducen a:

)v(TzP)v(0

gdv)v(TzP0

arrastreg

ll0

arrastrel

+∂∂−=

+−∂∂−= ∫

∞

α

αρα

(VI.13) (VI.14)

Integrando en el volumen la ecuación (VI.14) para el vapor y luego sumando con la ecuación para el líquido (VI.13) resulta, luego de simplificar términos:

gdzdP

ll ρα−= (VI.15)

Reemplazando esta ecuación en la (VI.13b) para el vapor, se tiene que:

)v(U)v(d4

C3g)v( 2

glgD

llg ραραα −=− (VI.16)

Reemplazando en la ecuación anterior el coeficiente de arrastre (VI.10) y expresando en términos de la variable independiente v, finalmente se obtiene la velocidad de la burbuja aislada en un medio infinito, para cada una de las tres regiones modeladas para el CD, se introduce el símbolo “∞” en la velocidad:

6133

328.122

3211

)(

)(

)(

−∞

∞

∞

=

=

=

vVvU

vVvU

vVvU

bg

bg

bg

(VI.17)

Siendo:


l

lb

gV

µρ

π

32

1 43

92

=

328.152.0

76.02 4

333.0

=

πµρ

l

lb gV

5.061

3 3435.1

=l

bVρσπ

Es importante notar que para las regiones 1 y 2 la velocidad de la burbuja se incrementa con el tamaño mientras que en la región 3 ocurre lo contrario. La velocidad de ascenso de la burbuja en un medio infinito se corrige utilizando el modelo de Drift-flux (Zuber & Findlay 1965) para medios finitos y no diluidos. Para un flujo volumétrico j = jg + jl , siendo jg la velocidad superficial del vapor y jl la del líquido y con la velocidad de la fase gaseosa ug= jg /α , resulta la siguiente relación (Zuber & Findlay 1965):

∞+= gg UjCu 0

Donde C0 es el coeficiente que modela el efecto de distribución radial de las burbujas en un tubo. Para burbujas pequeñas, región 2, se asume en este trabajo C0=1.3 y C0=1.1 para burbujas en la región 3.

2.1.1 MOMENTO DE ORDEN CERO

Una vez obtenidas las expresiones para la velocidad de la burbuja en función de su tamaño se evalúan las velocidades UN para cada región. Para el régimen de Stokes se tiene, luego de reemplazar la expresión (VI.17) en la expresión de la velocidad para el momento de orden cero (VI.7), que:

dvevvV

U vvbN

2

0

352

141

−∞

∫= (VI.18)

Integrando para todo el espectro de tamaños y considerando que el mismo se encuentra en la región 1 (de Stokes), resulta:

321bN vV947.0U

1= (VI.19)

Esta expresión coincide con la deducida para el caso de aerosoles. Suponiendo ahora que todo el espectro de burbujas se encuentra en la región 2, se tiene para el momento de orden cero:

dvevvV

U vvbN

2

0

328.42

242

−∞

∫= (VI.20)

Integrando resulta:

328.12941.0

2vVU bN = (VI.21)


Si la distribución en tamaño de las de burbujas se ubica mayoritariamente con la región 3 se tiene que:

dvevvV

U vvbN

2

0

652

343

−∞

∫= (VI.22)

Integrando resulta:

6130558.1

3

−= vVU bN (VI.23) Ahora bien, se puede esperar que el espectro de burbujas abarque más de una región que caracteriza al coeficiente de arrastre, por lo tanto la integración en volumen deberá compartimentarse. En general estas integrales incompletas no tienen solución analítica. Por ejemplo si el espectro en tamaño se encuentra, o evoluciona, mayoritariamente en las regiones 2 y 3, se tiene:

+= −

∞− ∫∫−

dvevVdvevVv

U vv

vb

vvv

bNc

c 2653

2

0

328.422

432

(VI.24)

Donde vc es el volumen de burbuja de transición de la región 2 a la 3, deducido de Reb = 2. La resolución de estas integrales se realizó en forma numérica. Para ello se normaliza el volumen con el volumen medio, resultando:

vdevvV4vdevvV4U v2

v

656/13b

v2v

0

328.43/28.12bN

c

c

32

−∞

−− ∫∫ +=−

(VI.25)

Los volúmenes adimensionalizados se distinguen por el símbolo “ ^ ”. De esta forma para cada

cv se realiza la integración y se obtiene el coeficiente que acompaña a cada término, siendo éste, por lo tanto función de dicho volumen de corte adimensional que variará al cambiar el espectro de volumen de las burbujas – distinto volumen medio-. Finalmente estos coeficientes se ajustan con una sigmoidea obteniéndose la siguiente expresión:

6/136.236.2

c

36.2c

3b

3/28.167.267.2

c

67.2c

2bN

v)735.0v(

v1V056.1

v)026.1v(

vV941.0U

32

−

+−+

+=

−

(VI.26)

Se puede observar que para cv grandes, es decir distribuciones con volumen medio chico respecto de vc , el segundo término tiende a cero mientras que el primero tiende a la expresión (VI.20). Si la tendencia es la opuesta, hacia cv chicos, el primer término se anulará y el segundo tenderá a la expresión (VI.22).


2.1.2 MOMENTO DE ORDEN UNO

La expresión para Uα para la región 1, resulta de reemplazar la expresión régimen de Stokes, Ecuación (VI.17), en la correspondiente ecuación (VI.7), resultando:

dvevvVN

U vvb 2

0

382

141

−∞

∫=αα (VI.27)

Integrando y expresando Nv α= , se tiene que:

321b vV263.1U

1=α (VI.28)

Esta expresión es equivalente a la obtenida para sedimentación de aerosoles. Siguiendo el mismo esquema pero ahora para la región 2, el término del momento de orden uno resulta:

dvevvVN

U vvb 2

0

3/28.72

242

−∞

∫=αα (VI.29)

Resolviendo la integral, se obtiene:

3/28.12141.1

2vVU b=α (VI.30)

Si la distribución de burbujas se corresponde con la región 3 se tiene que:

dvevvVN

U vvb 2

0

6/112

343

−∞

∫=αα (VI.31)

Integrando resulta:

613968.0

3

−= vVU bα (VI.32) Si se considera que el espectro en tamaño se encuentra, o evoluciona, mayoritariamente en las regiones 2 y 3, se tiene:

+= −

∞− ∫∫−

dvevVdvevVv

U vv

vb

vvv

bc

c 26/113

2

0

328.723

432α

(VI.33)

Donde vc es el volumen de burbuja de transición de la región 2 a la 3, deducido de Reb = 2. La resolución de estas integrales se realizó en forma numérica, para ello se normaliza el volumen con el volumen medio, resultando:

vdevvV4vdevvV4U v2

v

6116/13b

v2v

0

328.73/28.12b

c

c

32

−∞

−− ∫∫ +=−α (VI.34)

Los volúmenes adimensionalizados se distinguen por el símbolo “ ^ ”. De esta forma para cada

cv se realiza la integración y se obtiene el coeficiente que acompaña a cada término, siendo éste, por lo tanto función de dicho volumen de corte adimensional que cambiará al cambiar el


espectro de volumen de las burbujas – distinto volumen medio-. Finalmente estos coeficientes se ajustan con una sigmoidea obteniéndose la siguiente expresión:

6/191.291.2

291

33/28.1

18.318.3

18.3

2 )23.1ˆ(ˆ1968.0

)52.1ˆ(ˆ141.1

32

−

+−+

+=

−v

vv

Vvv

vVU

c

cb

c

cbα (VI.35)

Al igual que en el caso del momento de orden cero, se puede observar que para cv grandes, es decir distribuciones con volumen medio chico respecto de cv el segundo término tiende a cero mientras que el primero tiende a la expresión (VI.30). Si la tendencia es la opuesta, el primer término se anulará y el segundo tenderá a la expresión (VI.32).

2.2 TÉRMINO DE COALESCENCIA

El término de coalescencia para burbujas es equivalente al de coagulación visto para aerosoles correspondiente al mecanismo gravitacional. La expresión para el momento de orden cero resulta de integrar en el volumen la ecuación (VI.2), que luego de algo de manipulación algebraica (Loyalka, 1991) se reduce a:

( ) ( ) ( ) dvunvnvuKduCcoal ∫ ∫∞ ∞

−=0 0

,2

1ρ (VI. 36)

En este caso la coalescencia viene dada por diferentes velocidades de ascenso de las burbujas en la columna de líquido. En el caso de los aerosoles, la ley de Stokes es válida para sedimentación en todo el rango de interés de las partículas, mientras que en el caso de burbujas no se observa dicha situación. Los cambios en la topología de las burbujas y en el patrón de flujo se presentan en un espectro de tamaños mucho más reducido. Por lo tanto la ley de la velocidad de las burbujas en función del volumen cambiará en el intervalo de interés y por lo tanto el integrando en la ecuación (VI.3), pudiendo darse el caso de que por ejemplo U(u) responda a la velocidad de la región 2 dada por Wallis y U(v) a la 3, dificultando la realización de la integración y la obtención de una expresión analítica para el término de coalescencia de la ecuación de transporte de la densidad de burbujas –momento de orden cero-. Por simplicidad en esta primera aproximación al problema, se propone obtener las expresiones de dicho término como si el espectro en tamaños estuviese en sólo en una región y luego realizar un pesaje entre los términos obtenidos para las distintas regiones según la distancia del volumen medio de la población respecto del volumen de transición entre dichas regiones. La ecuación deducida para el término de coagulación de aerosoles de la ecuación de momento de orden cero es aplicable si el régimen de la burbuja es el de Stokes –Re de la burbuja<2-. Simplemente de comparar las expresiones de la velocidad de la burbuja, ecuación (VI.17) , con la de las partículas, ecuación (II.23), surge que las propiedades son las del líquido en vez de las del aire, y que la densidad es la del fluido en vez de la de la partícula. Esta última diferencia se origina en haber despreciado la densidad del vapor frente a la del líquido para el primer caso (la de la fase dispersa frente a la del medio de transporte) y en el segundo caso en haber despreciado la densidad del aire frente a la de la partícula (la del medio de transporte frente a la de la fase dispersa). Por lo tanto el proceso de cálculo de la integral del momento de orden cero y el resultado son los mismos que en el caso de aerosoles. Entonces se tiene, para el núcleo de coalescencia en términos de los volúmenes de las burbujas:


( ) ( )

3/1

l

l1coal

3/23/223/13/11coal1

43

)1()1(

6g

C

vuuvCv,uK

16/11

−−=

−+=

παα

µρ

(VI.37)

El término de coalescencia de la ecuación de momento cero, resulta equivalente al del caso de coagulación gravitacional de aerosoles, por lo tanto se tiene que:

23/411 9835.0 NvCC coalN −= (VI.38)

A modo de verificación se resolvió en forma numérica la integral que resulta de reemplazar (VI.37) en (VI.36), obteniéndose el mismo resultado. Si el espectro de tamaños se ubica en la región 2 de velocidades dada por Wallis, se tiene para el núcleo de coalescencia, expresado en función del volumen de las burbujas:

( ) ( )3/2

22coal3/28.13/28.123/13/1

2coal2 43

)1()1(VbC;vuuvCv,uK 16/11

−−

=−+=πα

απ

(VI.39)

Reemplazando la ecuación anterior en (VI.36), resulta:

( ) dvevvuuvdueuvNCC vvvu

coalN2

0

3/28.13/28.123/13/1

0

24

2

228 −∞∞ −

∫∫ −+−= (VI.40)

Reescribiendo el término del valor absoluto de manera que siempre resulte positivo y partiendo correspondientemente la respectiva integral, se tiene luego de algo de álgebra, que:

( )

( )

−++

−+−=

−∞

∞−−

∫

∫ ∫

dvev)uv(uv

dvev)vu(uv2dueuvN8CC

vv2

0

3/28.13/28.123/13/1

0

vv2v

0

3/28.13/28.123/13/1vu24

2

2coal2N

(VI.41)

La integral doble correspondiente al segundo sumando resulta igual a cero por simetría, mientras que la integral doble correspondiente al primer término, momento incompleto, no tiene solución analítica. Por lo tanto se procedió a realizar la integración numérica de la misma, resultando:

23/28.322 62533.0 NvCC coalN −= (VI.42)


Por último si el espectro de tamaños se ubica en la región 3 de velocidades o tamaños de burbujas dado por Wallis, se tiene para el núcleo de coalescencia, expresado en función del volumen de las burbujas:

( ) ( )

3/2

33coal

6/16/123/13/13coal3

43

)1()1(VbC

;vuuvCv,uK

16/11

−−=

−+= −−

πααπ

(VI.43)

Reemplazando la ecuación anterior en (VI.36) se tiene:

( ) dvevvuuvdueuvNCC vvvu

coalN2

0

6/16/123/13/1

0

24

2

338 −

∞−−

∞− ∫∫ −+−= (VI.44)

Reescribiendo el término del valor absoluto de manera que siempre resulte positivo y partiendo en coherencia la respectiva integral, se tiene que:

( )

( )

−+

+

−+−=

−∞

−−

∞−−−−

∫

∫ ∫

dvevuvuv

dvevvuuvdueuvNCC

vv

vvv

vucoalN

2

0

6/16/123/13/1

0

2

0

6/16/123/13/124

2

33

)(

)(28

(VI.45)

La integral doble correspondiente al segundo sumando resulta nula por simetría, mientras que la integral doble correspondiente al primer término, momento incompleto, no tiene solución analítica. Por lo tanto se procedió a realizar la integración numérica de la misma, resultando:

25.033 268.0 NvCC coalN −= (VI.46)

2.3 TÉRMINO DE ROTURA

El término de rotura se expresa como (Navarro et al., 1991):

∫∫ −=

∂∂

∞ v

vroturaduvnuvBduunvuB

tn

0

)(),()(),(2 (VI.47)

donde B(u,v) es el ritmo de rotura de una burbuja de volumen u, dando origen a dos burbujas de volúmenes v y u-v respectivamente. Considerando que cada burbuja se rompe en dos hijas de igual tamaño, se tiene que:

)2/()(),( uvubvuB −= δ (VI.48) Reemplanzando la ecuación anterior en (VI.30) se tiene:


∫∫ −−−=

∂∂ ∞ v

vrotura

duvuvnubduunuvubtn

0

)2/()()()()2/()(2 δδ (VI.49)

Redefiniendo la primera integral de modo de resolver adecuadamente la delta de Dirac, se tiene:

∫∫ −−−=

∂∂ ∞ v

vrotura

duvuvnubudunuvubtn

02/

)2/()()()2/()()2/()(4 δδ (VI.50)

)()()2()2(4 vnvbvnvbtn

rotura

−=

∂∂ (VI.51)

Tomando el momento de orden cero de la ecuación anterior y resolviendo se obtiene:

∫

∫∫

∫∫

∞

∞∞

∞∞

=

−=

−=

0

00

00

)()(

)()()2()2()2(2

)()()2()2(4

dvvnvb

dvvnvbvdvnvb

dvvnvbdvvnvbRN

(VI.52)

Para el núcleo b(v), la tasa de rotura, se asume el mecanismo de rotura dominado por la gravedad, que prevalece para burbujas mayores que un volumen dado, denominado crítico de rotura, vr, cuyo valor está dado por (Prince & Blanch, 1990; Politano, 2001):

2/3

434

=

gWevr ρ

σπ

donde el número de Weber adoptado es We= 100 (Politano, 2001). Otro mecanismo de rotura es el inducido por turbulencia (Luo y Svensen, 1996), no modelado en el presente trabajo dado que sólo se pretende realizar una introducción al modelado de flujos bifásicos de agua mediante el método de los momentos, pero cuyo modelado puede ser introducido sin mayores problemas siguiendo los pasos de este trabajo.

Tasa de rotura 1: Prince & Blanch (1990) proponen para la tasa de rotura inducida por la fuerza gravitatoria, una función sigmoidea:

)()( 22

2

rvvvvb+

= β (VI.53)


con β = 104 s-1. Reemplazando la expresión para la tasa de rotura en (VI.35) y utilizando la expresión de la distribución de Poisson, se tiene:

∫∞

−

+=

0

222

3

2 )(4 dve

vvv

vNR vv

rN

β (VI.54)

Normalizando al volumen de las burbujas y al volumen crítico con el volumen medio, resulta:

∫∞

−

+=

0

ˆ222

3

ˆ)ˆˆ(

ˆ4 vdevv

vNR v

rN β (VI.55)

Esta integral se resuelve numéricamente, realizando sucesivas integraciones para distintos rv , y ajustando luego una sigmoidea en función de dicho volumen, resultando:

+−=

706.0ˆˆ1 56.1

56.1

r

rN v

vNR β (VI.56)

Tasa de rotura 2: Una solución analítica puede obtenerse si se hace uso de la función de Heavyside para modelar la tasa de rotura por la fuerza gravitatoria:

)()( cvvHvb −= β (VI.57)

Reemplazando la expresión para la tasa de rotura en (VI.35) y utilizando la expresión de la distribución de Poisson, se tiene:

∫∫∞

−∞

==cc v

vv

vN dvev

vNdvvnR 2

2

4)( ββ

vvrN e

vvNR /21

2 −

+= β (VI.58)

3 VERIFICACIÓN CON DATOS EXPERIMENTALES Y ESTUDIO A continuación se muestran los resultados de la comparación con las mediciones y un estudio complementario de sensibilidad a los parámetros del modelo y de dinámica.

3.1 COMPARACIÓN CON LOS DATOS EXPERIMENTALES

Con el modelo desarrollado se simula el experimento realizado por Qazi (1993) y se comparan los resultados numéricos obtenidos con las variables medidas, con el objetivo de realizar una verificación del modelo y programa computacional. El experimento consistió en la inyección


de oxígeno a través de un disco con poros en la parte inferior de una columna de agua en reposo y a presión atmosférica. Se midió la fracción de vacío por atenuación gama a distintas alturas. El experimento se repitió a distintos caudales de oxígeno, cubriendo un rango de velocidades superficiales de jg = 0.024 m/s a jg = 0.236 m/s. Es importante aclarar que la fracción de vacío obtenida por dicho método no es estrictamente volumétrica, como la definición que se utiliza en el presente modelo y que en la mencionada referencia no se proporcionan bandas de error. Dado que no se modela el proceso de generación y desprendimiento de burbujas desde el disco poroso, como condición de contorno para la simulación se utiliza la velocidad superficial y la fracción de vacío medida a los 6 cm al igual que lo hiciera Politano M. (2001) con lo cual lleva a perderse lamentablemente el modelado de la física en los primeros centímetros del tubo. Como condición de entrada es necesario proveer una combinación de dos cualquiera de los siguientes de datos, la fracción de vacío, el volumen medio y densidad total de burbujas. La fracción de vacío es conocida de los datos experimentales – dato a los 6 cm- y el volumen medio se deduce de la velocidad superficial provista en los datos experimentales, haciendo uso de las correlaciones para el cálculo de la velocidad en función del volumen de las burbujas, teniendo en cuenta la corrección por Drift-flux, y asumiendo líquido estanco. Si el espectro de burbujas se ubica por ejemplo en dos regiones se hace un pesaje entre las velocidades de cada región considerando la distancia del volumen medio de la distribución respecto del volumen de transición, resultando un proceso iterativo. En la Tabla VI.1 se resumen los datos de entrada deducidos para cada experimento realizado variando el caudal de oxígeno de entrada al tubo, la velocidad superficial y la fracción de vacío corresponden a la posición 6 cm desde la entrada tomados de Guido et al, (1994) y Politano (2001).

jg (m/s) αααα0 Radio medio (m)

Densidad (m-3)

0.024 0.17 0.00040 6.4 108

0.071 0.41 0.00031 3.2 109

0.118 0.47 0.00036 2.3 109

0.188 0.41 0.00067 3.2 108

0.236 0.41 0.00081 1.8 108

Tabla VI.1: Datos experimentales y de entrada calculados, correspondientes a 6 cm de la

entrada al tubo

En los datos experimentales correspondientes a Qazi (1993) se observa en dicha posición una histéresis en la fracción de vacío que corresponden a mediciones realizadas haciendo el barrido para distintos caudales de oxigeno en forma creciente y decreciente. En todos los casos los datos de la Tabla VI.1 corresponde a la condición de barrido en forma creciente.


Considerando el agua a presión atmosférica y a 20 oC, los radios de burbuja de transición entre las regiones 1 - 2 y 2 – 3 son 8 10-5 y 0.001 m respectivamente. Por lo tanto en todos los casos el radio obtenido para la condición de contorno corresponde a la región 2, siendo el caso de jg = 0.236 m/s el que se encuentra más próximo a dicha transición. De todos modos como la distribución asumida abarca principalmente la región 2 y 3, los valores obtenidos para el radio surgieron del pesaje entre ambas velocidades, utilizando como peso la distancia entre valor medio de la distribución de burbujas respecto del radio de transición entre ambas regiones. El radio crítico de rotura correspondiente a We = 100 es 0.0136 m y la constante de proporcionalidad para la probabilidad de rotura es 104. La eficiencia de coalescencia se ajustó para que los resultados numéricos coincidan con los datos experimentales correspondientes al caso de jg = 0.071 m/s. Se obtuvo un valor de 0.06 para la coalescencia evaluada con velocidades según la ley correspondiente a la región 2. Para la región 3 se toma un valor unitario. Politano (2001) obtuvo para dichas eficiencias mediante el ajuste de la curva de jg = 0.118 m/s, el valor de 0.03 para burbujas pequeñas, habiendo asumido el valor unitario para la eficiencia de la coalescencia entre burbujas de Taylor con cualquier otra burbuja pequeña. En la Fig. VI.1 se comparan los resultados numéricos con los datos experimentales (puntos) (Guido et al, 1994) correspondientes a los perfiles estacionarios de la distribución axial de fracción de vacío. Se puede observar que existe un mínimo en la fracción de vacío. Éste se debe a que la velocidad de las burbujas en función del radio presentan un máximo. En la región 2 la velocidad aumenta con el radio de las burbujas, mientras que en la tres decrece (Wallis, Fig 9.2 y Tabla 9.1, 1969). Debido a la coalescencia, el volumen de las burbujas aumenta y como la condición de borde deducida para el volumen medio de las burbujas corresponde a un valor en la región 2, la velocidad de las mismas aumenta, reduciéndose la fracción de vacío. Cuando el volumen medio supera al de transición, las burbujas de mayores tamaños reducen su velocidad, volviendo a aumentar la fracción de vacío, hasta que se alcanza una condición de estado totalmente desarrollado –para cada flujo de oxígeno-, que surge del balance entre la tasa de rotura y la de coalescencia. Para el caso de jg = 0.236 m/s, dado que el volumen medio se encuentra próximo a la transición de región, el mínimo es apenas notorio y el estado desarrollado se alcanza rápidamente. Se observa que los resultados numéricos son muy satisfactorios, sobre todo considerando el amplio rango de velocidades superficiales modelado (un orden de magnitud). Lo cual corrobora la validez de usar una función prefijada para la distribución en tamaño de las burbujas.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6jg = 0.236 m/s

jg = 0.188 m/s

jg = 0.118 m/s

jg = 0.024 m/s

jg = 0.071 m/s

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Figura VI.1: Comparación de los resultados numéricos (líneas con símbolos vacíos) con datos experimentales (símbolos llenos)

3.2 ESTUDIO COMPLEMENTARIO

3.2.1 DE SENSIBILIDAD

Como complemento se realiza un estudio paramétrico de sensibilidad de la fracción de vacío respecto de distintos parámetros del modelo. Para ello se toma como referencia el caso de jg = 0.071 m/s. En la Figura VI.2 se muestran los resultados para una variación de ±20% en la eficiencia de la coalescencia en la región 2. Ésta domina principalmente en la primera mitad del tubo, afectando por ende la zona de transición de una región a otra, produciendo un desplazamiento hacia posiciones superiores del mínimo de fracción de vacío al reducirse dicha eficiencia, ya que el crecimiento se ve demorado. No se observa una variación de la fracción de vacío mínima en dicho punto, ni del valor en la zona superior del tubo, zona de flujo desarrollado en donde la tasa de rotura domina y limita el crecimiento de burbujas. La variación de la eficiencia de la coalescencia en la región 3, Figura VI.3, afecta al tramo superior del tubo, el valor de la fracción de vacío en la zona desarrollada y en menor medida que el caso anterior debido a la modulación o competencia que aparece en esta zona debido a la rotura de burbujas.


También se analizó la influencia de la corrección por flujo denso, Figura VI.4, el hecho de no considerarla, afecta a todo el perfil axial de vacío pero en menor medida que la eficiencia de la coalescencia. En la Figura VI.5 se muestran los resultados para una variación de ±50% en la tasa de rotura. Se puede observar que la misma afecta al tramo superior, flujo desarrollado, en donde se presentan las burbujas de mayor tamaño, su influencia es relativamente baja en el proceso global dado que el radio medio de las burbujas en esa zona -de unos 3mm- es mucho menor que el valor de rotura crítico deducido de asumir We = 100. Una variación del 10% en el coeficiente de distribución radial de burbujas, modifica la velocidad y por ende a la tasa de coalescencia, afectando por lo tanto a la ubicación de la mínima fracción de vacío y al valor correspondiente a la zona de estado desarrollado, Figura VI.6. Se muestra también el resultado de no modelar a lo largo del tubo la corrección por Drift-flux. Al ser mucho menor la velocidad de las burbujas, el tiempo de permanencia de las mismas en el dominio es mayor aumentando notoriamente la coalescencia de burbujas, hecho que acerca el punto de mínima fracción de vacío a la entrada y hace aumentar el valor del estado desarrollado en el tramo superior. Finalmente en la Figura VI.7 se muestra una variación de ±10% en la condición de entrada de la fracción de vacío, afectando sólo la zona de desarrollo como era de esperarse.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Base CoalReg2 +20% CoalReg2 -20%

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Figura VI.2: Variación en la eficiencia de coalescencia para la región 2 de velocidades según Wallis


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Base CoalReg3 +20% CoalReg3 -20%

Figura VI.3: Variación en la eficiencia de coalescencia para la región 3 de velocidades según Wallis

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Base sin corrección flujo denso en coalescencia

Figura VI.4: Comparación sin corrección por flujo denso en la coalescencia (1-11/16 α)/ (1-α) (tomado de Guido, 1992)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Base Breakup +50% Breakup -50%

Figura VI.5: Variación de la tasa de rotura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Base C0 +10% C0 -10% C0=0.0 (sin corrección por Drift-flux)

Figura VI.6: Variación en el C0 y caso sin Drift-flux


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Frac

ción

de

vaci

o

Posición axial (m)

Base Fracc Vacio c. de c. +10% Fracc Vacio c. de c. -10%

Figura VI.7: Variación de la condición de contorno de la fracción de vacío

3.2.2 VARIACIÓN DEL FLUJO DE AIRE DE ENTRADA

A continuación se muestran los resultados numéricos obtenidos al realizar un barrido de la condición de contorno de velocidad superficial entre 0.01 m/s y 0.275 m/s, con el objetivo de comparar más ampliamente el modelo con los datos experimentales. Para ello se simularon los distintos estados estacionarios –correspondientes a cada velocidad superficial-, obteniéndose cada uno como una evolución de la distribución axial estacionaria del caso anterior. Estos fueron comparados con las mediciones a 13 y 49 cm reportadas por Qazi (1993). Como condición de contorno, tal como se explicara anteriormente, se toman los valores de fracción de vacío a 6 cm. Para velocidades superficiales de gas iguales y mayores que jg = 0.071 m/s se mantiene constante la fracción de vacío de entrada en 0.41, según parece ser la tendencia observada en los datos experimentales. Ésta condición de borde (a los 6 cm) se compara con los datos experimentales en igual posición en la Figura VI.8. En las Figuras VI.9 y 10 se comparan los resultados con los valores experimentales a los 13 y 49 cm, respecto de la placa orificio, en donde se puede observar una muy buena concordancia para todos los valores de velocidad superficial modelados. Finalmente en la Figura VI.11 se muestra en un sólo gráfico los resultados numéricos del barrido de velocidades superficiales en distintas posiciones, en donde se puede apreciar la transición entre los regímenes de flujo presentes y el desarrollo del perfil de vacío.


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frac

ción

de

vaci

o

Jg (m/s)

Simulación Datos experimentales

Figura VI.8: Comparación de las mediciones correspondiente a la posición de 6 cm de la

fracción de vacío a distintas velocidades superficiales, con la condición de contorno fijada para la simulación

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frac

ción

de

vaci

o

Jg (m/s)



fracción de vacío a distintas velocidades superficiales, con los resultados numéricos


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frac

ción

de

vaci

o

Jg (m/s)



fracción de vacío a distintas velocidades superficiales, con los resultados numéricos

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Frac

ción

de

vaci

o

Jg (m/s)

c.de contorno (6cm) 8 cm 13 cm 18 cm 24 cm 30 cm 40 cm 49 cm 65 cm

Figura VI.11: Resultados numéricos de la fracción de vacío en función de la velocidad superficial a distintas posiciones una vez alcanzada la condición de estado estacionario.


Finalmente, en las Figuras VI.12 13, se muestran las evoluciones de los perfiles axiales de la fracción de vacío al cambiar la velocidad superficial de 0.024 a 0.071 m/s y de ésta última a 0.118 m/s respectivamente, de forma tal de presentar resultados que muestren la capacidad de modelado de transitorios. Se puede observar el frente de vacío avanzando hacia posiciones superiores y como se va alcanzando paulatinamente el perfil estacionario, para la nueva condición de contorno, desde la parte inferior a la superior

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

Estacionario jg=0.024 m/s 0.5 s 1.3 s 2.3 s 3.3 s Estacionario jg=0.071 m/s

Frac

ción

de

vaci

o

Posición (m)

Figura VI.12: Evolución de los perfiles axiales de fracción de vacío entre los perfiles estacionarios de jg = 0.024 m/s y jg = 0.071m/s, a distintos tiempos luego de la transición desde

la primera a la segunda velocidad superficial.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

Estacionario jg=0.071 m/s 0.2 s 0.7 s 1.2 s 2.0 s Estacionario jg=0.118 m/s

Frac

ción

de

vaci

o

Posición (m)

Figura VI.13: Evolución de los perfiles axiales de fracción de vacío entre los perfiles estacionarios de jg = 0.071m/s y jg = 0.118 m/s, a distintos instantes luego de la transición

desde la primera a la segunda velocidad superficial

4 CONCLUSIONES Se desarrolló un modelo para evaluar la dinámica del transporte de burbujas polidispersas, incorporando las correspondientes ecuaciones constitutivas, en un dominio vertical con régimen de flujo tipo “bubbly” y transición a “slug”. El modelo fue contrastado con datos provenientes de un experimento en el que se inyectan distintos caudales de aire en el extremo inferior de un tubo vertical que contiene líquido estanco. Se midió la distribución axial de la fracción de vacío. Como parámetro de control se eligió la eficiencia de la coalescencia en el régimen bubbly para el caso de de jg = 0.071 m/s, obteniéndose un valor de valor de 0.06, comparable al obtenido por Politano (2001). Los resultados numéricos obtenidos, mostraron una buena concordancia con las mediciones, sobre todo teniendo en cuenta el amplio rango de velocidades superficiales modelado. En particular se predice correctamente el mínimo en la fracción de vacío tanto su valor como en la posición axial. Esto corrobora la validez del uso de una función prefijada para la distribución en tamaño de las burbujas, al menos para éstas condiciones. La aproximación realizada para la resolución de la integral de coalescencia, al realizarla sólo por región, no parece distorsionar los resultados. Por otro lado se complementa la comparación con los datos experimentales con un estudio de sensibilidad respecto de los parámetros del modelo. Los valores que se brindan a continuación


corresponden al caso de jg = 0.071 m/s tomado como referencia. Una disminución en un 20% de la eficiencia de la coalescencia en la región 2 lleva a un desplazamiento hacia la parte superior del tubo de la ubicación de la transición entre régimen 2 y 3 en un 21%, ya que el proceso de coalescencia es menor y se necesita una mayor distancia para alcanzar dicha zona de transición. Un aumento en igual porcentaje adelanta la transición en un 13% mostrando cierta no linealidad. No se observa una variación de la fracción de vacío mínima en dicho punto, como era de esperarse dado que no se modifica la velocidad de la burbuja, ni del valor en la zona superior del tubo, zona de flujo desarrollado en donde la tasa de rotura domina y limita el crecimiento de burbujas. Una variación de ±20% en la eficiencia de la coagulación en la región 3 afecta la distribución de la fracción de vacío en la zona superior en 4%, y con signo opuesto a la variación del parámetro, ya que una mayor coalescencia produce tamaños mayores de burbujas las que a su vez tienen mayor velocidad, lo que lleva a un menor tiempo de residencia de las burbujas y por ende a una menor fracción de vacío. Esta baja propagación se debe a que el fenómeno de rotura rige en esta zona modulando la variación del tamaño de burbuja. La corrección por flujo denso en el núcleo de coalescencia afecta la distribución a lo largo de todo el canal, sin embargo no modifica el valor de la fracción de vacío mínima. Al no afectar a la velocidad de la burbuja, sólo lo desplaza hacia posiciones superiores en un 8%, y el valor de la fracción de vacío en la zona superior en menos del 1%. Una variación de la tasa de rotura afecta a la zona de mayores tamaños de burbujas como era de esperarse, región 3. Un incremento lleva a una disminución de la fracción de vacío en la parte superior del tubo, ya que un menor tamaño de burbuja tiene mayor velocidad (región 3); un incremento del 50% produce una disminución del 2.5% y una disminución de la tasa en igual porcentaje, lleva a un incremento del vacío en 5%. La variación del parámetro de distribución radial de burbujas del modelo de Drift-flux, C0, afecta toda la distribución axial de burbujas. Si no se incluye la corrección por Drift-flux de la velocidad de las burbujas, la distribución axial de vacío se aparta notablemente de los valores experimentales, por ejemplo la zona de cambio de régimen se desplaza hacia la entrada en más de un 50% y la fracción de vacío en dicho punto aumenta un 34%, mientras que el valor de esta variable a la salida del tubo lo hace en un 50%. Claramente en este caso al afectarse la velocidad de la burbuja en relación a la fracción de vacío, se modifica el valor del mínimo correspondiente a la transición. Finalmente una variación en la condición de contorno de la fracción de vacío afecta sólo la zona de desarrollo.

205

CONCLUSIONES GENERALES

En el marco de esta tesis se inició una nueva línea de investigación en la CNEA, relacionada con el modelado de un sistema de micropartículas suspendidas en aire denominado aerosol. Se ha obtenido un conocimiento y comprensión amplios en el tema, para aplicaciones tanto en el área de seguridad nuclear (diseño y licenciamiento) como de impacto ambiental. Se desarrolló un modelo adecuado para el estudio de la dinámica de aerosoles polidispersos, con un único componente, en ambientes cerrados como ser la contención de un reactor y tuberías del sistema primario. Se puso particular atención en el modelado de la distribución espacial con el objetivo de estudiar su influencia en los resultados, dado que la hipótesis de homogeneidad espacial es una de las limitaciones más fuertes utilizadas hasta ahora en los códigos de simulación de aerosoles. Este modelo fue complementado con otro que permite realizar análisis de sensibilidad de funcionales de respuesta respecto de incertezas en los distintos parámetros de las correlaciones y de la simulación, modelo desarrollado en base el Método Perturbativo, Formalismo Diferencial. También se extendió el modelado y análisis al transporte de un sistema bifásico, líquido-vapor, como es el caso del desarrollo de burbujas en un tubo vertical. Es importante mencionar que en general el costo de los experimentos con aerosoles es muy elevado, y este ha sido, junto con la interferencia de la medición con las partículas, una de las mayores limitaciones al desarrollo experimental. En la inmensa mayoría de los casos, los datos experimentales y las condiciones en las cuales los mismos fueron generados, no están disponibles en la literatura abierta o su presentación es incompleta como para poder reproducir numéricamente el experimento y ser utilizado para verificación del modelo en desarrollo. En general los datos experimentales son de propiedad y disponibilidad de los participantes de estos proyectos y han servido para validación de los códigos numéricos propietarios con valor comercial. Es por ello que lamentablemente aun no se ha podido acceder a datos experimentales que hubiesen servido para la verificación total del modelo desarrollado. De todos modos la comparación con soluciones analíticas, simulaciones de otros códigos y datos experimentales de fenómenos aislados permite tener un aceptable grado de confianza respecto de los modelos y la programación numérica. Se han realizado dos publicaciones internacionales en Annals of Nuclear Energy (Williams M.M.R., editor), una sobre el modelo dinámico, casos de verificación y estudio (Giménez M. et al., 1995) y otra sobre el modelo para análisis de sensibilidad (Giménez M. et al., 2003). También se realizaron presentaciones en congresos internacionales (Giménez M., 1994 y 2001a). Parte la presente tesis se desarrolló en el contexto del Proyecto de Investigación Científica y Tecnológica, Métodos Perturbativos y Análisis de Sensibilidad en Ciencias de la Ingeniería, subproyecto: Ciencia de Aerosoles, FONSyT, 1998-2000. Sobre el modelo y la dinámica de aerosoles El método propuesto para la resolución de la ecuación integro-diferencial que describe la dinámica de los aerosoles es el de los Momentos, en donde se asume o prefija una función para

206 – Conclusiones

describir la distribución del tamaño de una población de partículas. En este trabajo se utilizó la distribución de Poisson. La base racional de la resolución de la ecuación general por dicho método es que la forma funcional de la distribución permanecerá válida a lo largo de la historia del aerosol. La evolución de la distribución del tamaño de las partículas se verá descripta a través de la variación temporal de los parámetros que caracterizan a la función adoptada. Esta distribución deberá satisfacer los primeros momentos de la ecuación de dinámica -tantos como parámetros tenga la distribución-, lo cual conduce a ecuaciones diferenciales relativamente más sencillas que permiten simular la evolución de los aerosoles. Este modelo puede aplicarse en situaciones en donde no hay más de una fuente de partículas o reacciones químicas que hagan que la distribución en tamaño posea varios máximos debido a la forma funcional unimodal adoptada. En general los diversos mecanismos físicos harán, actuando en conjunto, que la distribución en tamaño sea del tipo unimodal. Los mecanismos de coagulación y condensación hacen que el tamaño de la partícula crezca. Por otro lado la evaporación lleva a una disminución del volumen medio de la distribución al igual que la sedimentación, el impacto por inercia en estructuras o filtros y la fuerza de sustentación, pues estos mecanismos remueven a las partículas de mayor tamaño en forma preferencial. La rotura de cadenas de partículas generadas por el mecanismo de coagulación también limita el tamaño de los mismos. La difusión, preponderante cuando las partículas tienen diámetros inferiores a las décimas de micrón, hace incrementar la remoción de éstas en superficies y filtros. Por otro lado la simplificación más importante y usual que se hace a la ecuación de balance de aerosoles es la de homogeneidad espacial, que consiste en suponer que éstos se encuentran bien mezclados, es decir que la concentración o densidad espacial es homogénea. Esta hipótesis de modelado parte de la necesidad de reducir el tiempo de cómputo, originado en la mayoría de los casos por el uso de métodos seccionales para resolver la ecuación general de transporte de aerosoles. Al considerar el fuerte comportamiento no lineal de los aerosoles y la dependencia de las tasas de los distintos procesos con el tamaño de las partículas, no resulta claro cómo éstos pueden ser incorporados correctamente cuando se realiza la hipótesis de “buen mezclado”. El modelo desarrollado incluye las derivadas espaciales en los términos convectivo y difusivo, de forma tal de poder simular eventuales gradientes en la concentración. Se realizaron diversas comparaciones del modelo con soluciones analíticas y datos de bibliografía, y se analizó cuidadosamente los efectos de los mecanismos físicos que intervienen en la dinámica del aerosol. En particular el estudio se focalizó en el modelado de gradientes espaciales de concentración y de la validez de la hipótesis de homogeneidad espacial utilizada comúnmente en modelos de cálculo. El modelo desarrollado muestra una buena capacidad de responder a los fenómenos físicos involucrados, siempre y cuando éstos no produzcan una distorsión respecto de la forma funcional adoptada para describir la distribución en tamaño del aerosol, como es el caso de sedimentación de aerosoles polidispersos actuando en forma aislada. Precisamente en este último caso, de la comparación de la solución numérica por Momentos con la solución analítica exacta y la analítica a partir de la hipótesis de homogeneidad espacial, se observa que la numérica coincide con la exacta hasta aproximadamente un tiempo que corresponde al que tarda una partícula de volumen medio en recorrer todo el dominio. Luego se aparta de la misma, lo cual indica que el modelo de Poisson falla a largo plazo para este caso. Esto se debe a que la distribución real en tamaño se va recortando para volúmenes de partículas grandes ya que éstas han desaparecido del dominio, mientras que el modelo por Momentos sigue imponiendo en todo instante una distribución no nula para todo el rango de tamaños. De todos modos los resultados son sustancialmente mejores que los que se obtienen con la solución

Conclusiones –

207

analítica con homogeneidad espacial del aerosol, la cual se aparta de la exacta a partir de los primeros instantes. En cuanto a coagulación actuando como único mecanismo físico, se puede concluir que, para el núcleo Browniano, el modelo presenta una excelente concordancia tanto con resultados de otros códigos como con soluciones analíticas. En particular dada la característica de este núcleo (dependencia con el tamaño de las partículas con orden menor que la unidad), la forma funcional de la distribución se aproxima a una que es independiente de la forma inicial con que se distribuye el volumen de las partículas, y que a su vez permanece invariante en el tiempo. Esta es una consecuencia muy importante para el modelado del Término Fuente, dado que hace que la distribución inicial en volumen conformada por procesos diversos y no siempre bien entendidos durante la fusión del núcleo del reactor, evolucione hasta hacerse independiente de la condición inicial a medida que el tiempo transcurre, con lo cual se facilita o se simplifica enormemente el modelado. Para las concentraciones esperables en caso de accidente severo, el tiempo característico de coagulación Browniana es del orden de centenas de segundos, intervalo muy breve teniendo en cuenta los tiempos característicos del proceso de los aerosoles en la contención, que pueden ser de varios días. En particular esto es válido porque los tamaños de partículas esperables cuando prevalece la coagulación Browniana (no la gravitacional ni la sedimentación) son menores al micrón, justificando la aproximación inherente al método empleado en este trabajo. Por otro lado la coagulación gravitacional actuando en forma aislada o pura no cumple el mencionado requisito ya que depende del volumen con potencia 4/3, y es por ello que, en ese caso, el método de los momentos falla o que distribuciones iniciales distintas conducen a resultados dispares. De todos modos este mecanismo de coagulación nunca actúa en forma aislada en la realidad, es decir sin transporte por sedimentación, como lo es prácticamente el caso del Browniano, ya que el origen del primero es la diferencia de velocidad de sedimentación entre partículas. Los resultados obtenidos de coagulación y sedimentación actuando en forma simultánea fueron contrastados con los obtenidos por Williams M.M.R. (1986) con el código AEROSIM, código que posee un método seccional para evaluar la distribución en tamaño de las partículas y bajo la hipótesis de homogeneidad espacial. En el caso de coagulación Browniana y sedimentación se observa entre τ = 0.01 y 0.06 una mayor sedimentación que AEROSIM originada en el acople entre coagulación y sedimentación, lo que conduce a diferencias de fracción de masa con la altura de varios órdenes de magnitud. Esto implica una reducción en el número de partículas suspendidas, en la fracción de masa y una consecuente limitación del proceso de coagulación, lo que conduce a un menor volumen medio de la distribución de partículas. Este menor tamaño promedio de partículas (menor velocidad de sedimentación) hace que hacia el final de la simulación se obtenga un mayor número de partículas en el recinto respecto de AEROSIM aunque, circunstancialmente, la masa suspendida sea similar. Es relevante hacer notar que, aunque desde un punto de vista radiológico o toxicológico importaría la masa suspendida (si se analiza dosis externa para el primer caso), la capacidad de penetración y retención en las vías respiratorias depende del radio de las partículas; o sea que una situación puede ser más perjudicial que otra a pesar de tener igual masa en suspensión, simplemente por una mayor deposición en pulmón al estar la masa distribuida con un radio medio distinto. Por lo tanto, se puede decir que el efecto de la inhomogeneidad espacial sobre la distribución en tamaño, dependiendo de la naturaleza del sistema, puede ser sustancial en la estimación del Término Fuente.


Además la comparación incluyó a un modelo desarrollado en base al método de los Momentos con distribución de Poisson con homogeneidad espacial, el cual calcula una situación similar a AEROSIM, no reflejando el acople entre coagulación y sedimentación que predice el modelo con simulación de las variaciones espaciales de la población de aerosoles. Estos resultados avalan el origen de las diferencias entre AEROSIM y TRANSAER-1D, entre τ = 0.01 y 0.06. Sobre la comparación con AEROSIM del caso de sedimentación y coagulación gravitacional se observó un acople espacial más importante que con coagulación Browniana, reflejado en un importante barrido incremental por sedimentación desde posiciones superiores a las inferiores, lo que lleva a una mayor diferencia con el código de referencia. Se observan, por ejemplo durante dicho barrido, diferencias en la concentración de partículas entre la parte superior y la inferior de más de tres órdenes de magnitud. Para este caso también se utilizó un modelo homogéneo en base a la distribución de Poisson, observándose coincidencia entre los modelos en base a Poisson antes del mencionado barrido. La inclusión del modelado de los gradientes espaciales pareciera no justificar la diferencia entre TRANSAER y AEROSIM antes de dicho fenómeno de acople. Esta discrepancia podría atribuirse a una característica intrínseca del Método de los Momentos o a la diferencia entre las distribuciones iniciales del tamaño de las partículas. En el presente modelo se utiliza la distribución de Poisson, mientras que AEROSIM fue inicializado, en el trabajo de referencia, con una distribución Lognormal (que a igual volumen medio predice una mayor cantidad de partículas de tamaños mayores que la Poisson), lo que hace que la coagulación gravitacional sea más importante inicialmente. Por otro lado la mencionada diferencia no afecta significativamente en el caso Browniano, ya que dicho proceso depende solamente del cuadrado de la concentración y no del volumen de las partículas. Esta limitación del modelo o influencia de la condición inicial (menos flexible que un modelo seccional) deberá tenerse en cuenta en casos donde la coagulación gravitacional sea un fenómeno importante, y eventualmente salvarse con un estudio de sensibilidad. De todos modos debe tenerse en cuenta que, respecto del uso del código AEROSIM como referencia, Williams aclara que no hay que considerar a dicho código como exacto, simplemente que el mismo produce valores razonablemente precisos, aunque hay cuestionamientos sobre su convergencia para ciertos procesos de coagulación como coagulación por diferencia de velocidades, tal es el caso de coagulación por sedimentación, o debido a gradientes de velocidad del gas portante o por turbulencia. Con respecto de la importancia de los mecanismos de coagulación, se corroboró que el browniano es el dominante al comienzo de la evolución, siempre y cuando el radio medio de la distribución fuera del orden o menor que el micrón. Ésta, a su vez condiciona el comportamiento posterior, en donde la coagulación gravitacional contribuye a seguir aumentando el tamaño cuando la cantidad de partículas ha disminuido y el proceso pasa entonces a estar dominado por la sedimentación de partículas, al ser éstas de mayor tamaño. Se ha observado que la coagulación puede tener tiempos característicos mucho más pequeños que los de mezclado o transporte (generalmente asociados a la convección natural en recintos), hecho que debilita la hipótesis de homogeneidad espacial, causando variaciones en la concentración y fracción de masa ocupada por partículas de más de un orden de magnitud. Gradientes que en general se deben a los acoples entre el aumento del volumen de las partículas por coagulación y el consecuente incremento de la sedimentación. Sobre el efecto de la fuerza de sustentación, estudiado con el modelo bidimensional, éste sería un mecanismo de remoción de aerosoles hacia las paredes de las cañerías en tramos descendentes y no así en ascendentes u horizontales ya que la misma se ejerce hacia el centro del tubo. Se observó un acople positivo entre la coagulación y la fuerza de sustentación que

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incrementa la remoción, efecto claramente espacial en donde un modelo homogéneo fallaría en predecir. La importancia como mecanismo de remoción hacia la pared respecto de otros se magnifica para radios de partículas mayores a algunos micrones (esperables en el sistema primario de un reactor si hay alta humedad o un proceso de coagulación importante). De todos modos, estas conclusiones son preliminares pues el modelado cubrió sólo el rango laminar, siendo importante resaltar la gran cantidad de modelos encontrados en bibliografía, y que no siempre son coherentes entre sí, o que son aplicados a esferas de tamaños mayores que la centena de micrones. En particular en el problema de aerosoles, la dificultad en el desarrollo de modelos razonables o su validación se magnifica, debido al pequeño tamaño de las partículas y a la dificultad de realizar experimentos. En cambio en el transporte de burbujas, dicha fuerza es mayor (burbujas con diámetros del órden o mayor que los milímetros) y este fenómeno cobra relavancia en la distribución radial de vacío. Respecto del fenómeno de termoforesis, relevante en cuanto en la deposición en superficies frías, como la ocurrida en los tubos que representan a los generadores de vapor en el experimento Phebus-FP (2004), se realizó una comparación del modelo bidimensional con datos generados en el experimento STORM-ISP-40 (1998). Se verificó como adecuada la correlación de Epstein para las condiciones del mismo (Kn ≈ 1), habiéndose usado como único parámetro de control un perfil para la capa térmica laminar, relacionado con su espesor. Los resultados son muy satisfactorios. En particular se evaluó una disminución de la masa depositada por unidad de área hacia la salida del tubo, al igual que lo muestran los resultados experimentales y en contraposición con lo calculado por códigos que realizan homogeinización espacial. Éstos calculan una deposición constante o levemente creciente, como se evaluó con una simulación propia homogénea en el radio o sea unidimensional. Finalmente es importante resaltar la necesidad de continuar el estudio y la aproximación numérica del perfil térmico y turbulento, realizando estudios más profundos o incluso acoplando programas o modelos que evalúen el perfil radial de la velocidad y la temperatura, alternativa factible dada la no perturbación del campo por las partículas. Como conclusión general sobre esta parte se puede afirmar que, a pesar de la imposición de una distribución prefijada para todo el transitorio al utilizar el método de los Momentos, el resultado es satisfactorio respecto de modelos que realizan un tratamiento discreto de la distribución en tamaño de las partículas. Dicha diferencia suele ser menor que la que se observa cuando se asume homogeneidad en la distribución espacial de aerosoles, como surge de la comparación con la solución exacta de sedimentación pura, o con un modelo seccional al simular la contención NAUA, o con la evolución de una población de aerosoles bajo sedimentación y coagulación simulados por Williams (1985) con el código AEROSIM. Sobre estudios de sensibilidad de aerosoles

En el modelado de aerosoles los estudios de sensibilidad cobran importancia debido a la complejidad de los fenómenos físicos involucrados y a la cantidad de incertezas aun presentes en la formulación para describir su comportamiento. Es por ello que, en base al desarrollo del Método de los Momentos con distribución de Poisson para describir la dinámica de aerosoles, se realizó un modelo que permite cuantificar coeficientes de sensibilidad de funcionales de respuesta respecto de incertezas en parámetros del modelo o en las condiciones del problema a resolver. Este modelo se basa en la teoría de perturbaciones, usando el Formalismo Diferencial y resulta de gran utilidad tanto para estudios teóricos como para el diseño de experimentos.


Se analizaron coeficientes de sensibilidad de la fracción volumétrica de aerosoles, funcionales de respuesta tanto promedio como puntuales, respecto de las constantes de los términos de sedimentación y de coagulación, y condiciones iniciales y de borde en donde se supone que están las mayores incertezas. Este análisis nunca había sido aplicado al problema del transporte de aerosoles. Como verificación del método se simularon primeramente casos simples, ecuaciones estacionarias considerando distribución espacial y ecuaciones evolutivas considerando homogeneidad espacial. Los resultados fueron comparados satisfactoriamente con soluciones analíticas o con el cálculo directo de los coeficientes de sensibilidad. También se presentó un caso más general que considera la evolución de una población de aerosoles con dependencia espacial. Se verificó, como era de esperarse debido a la selección de estos casos y a las condiciones iniciales o de borde, la coherencia entre los valores y tendencias de los coeficientes de sensibilidad de los casos simples y el más complejo. Con respecto al estudio de la evolución temporal de los coeficientes de sensibilidad, se constató que los coeficientes de sensibilidad de la masa promedio o la puntual, tanto en tiempo como en espacio, respecto de incertezas en distintos parámetros, varían según el fenómeno físico que esté dominando la dinámica de los aerosoles. Los relacionados con la condición de borde, tienen poca importancia al principio, dado que la evolución depende de las condiciones iniciales. Luego aumentan a medida que transcurre el tiempo y se tiende a la condición estacionaria (de ser éste el caso) dominada por las condiciones de contorno. El coeficiente de sensibilidad respecto de la constante de sedimentación cambia de signo según la importancia relativa de la sedimentación con la coagulación durante la evolución. Por ejemplo, en un proceso de sedimentación y coagulación, inicialmente pesa la remoción originada por la sedimentación que lleva a una disminución –transitoria- de la masa en suspensión; sin embargo, esto a su vez limita posteriormente la coagulación, mecanismo muy eficiente en remover partículas, con lo cual resulta al final una mayor masa remanente en suspensión respecto del caso nominal. El coeficiente de mayor sensibilidad es el correspondiente a la constante de coagulación y su signo para el observable seleccionado es negativo, presentando una variación temporal de un orden de magnitud entre distintos instantes de la evolución. En general los valores de los coeficientes de sensibilidad son relevantes, es por ello que se sugiere siempre y cuando sea posible, evaluar la influencia de las incertezas en distintos parámetros que caracterizan los distintos procesos, para poder evaluar con cierto grado de confianza las consecuencias de un contaminante o el denominado Término Fuente. Finalmente cabe agregar que a pesar del alto grado de no linealidad de las ecuaciones, el Método Perturbativo, Formalismo Diferencial, ha dado resultados satisfactorios, permitiendo evaluar coeficientes de sensibilidad de distintos funcionales de respuesta para un sinnúmero de parámetros cuyas incertezas se desea propagar, de una manera rápida y versátil, resultando de gran utilidad tanto para estudios teóricos como para el diseño de experimentos. Sobre el modelo y la dinámica de flujos líquido-gas Como extensión del método aplicado a sistemas bifásicos de sólidos o líquidos en suspensión gaseosa, se formuló un modelo para resolver el transporte de burbujas, incorporando las correspondientes ecuaciones constitutivas, en un dominio vertical con régimen de flujo tipo “bubbly” y transición a “slug”, modelando la distribución en tamaño de las burbujas, su dinámica y distribución espacial. El modelo fue contrastado con un experimento en el cual se inyectan distintos caudales de aire en el extremo inferior de un tubo vertical que contiene líquido estanco, en donde se midió la

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distribución axial de la fracción de vacío. Los resultados numéricos obtenidos, usando como único parámetro de control la eficiencia de la coalescencia en el régimen bubbly, mostraron una buena concordancia con las mediciones, sobre todo considerando el amplio rango de velocidades superficiales modelado (un orden de magnitud). En particular se predice adecuadamente el mínimo observado en la fracción de vacío (transición de régimen 2 a 3, patrones bubbly y slug) (Wallis, 1969). Esto corrobora la validez del uso de una función prefijada para la distribución en tamaño de las burbujas, al menos para éstas condiciones. El estudio se complemento con un análisis de sensibilidad respecto de los parámetros del modelo como ser eficiencia y la corrección por flujo denso de la coalescencia, la tasa de rotura, el modelo de Drift-flux y de la condición de contorno. La no linealidad del problema se manifiesta a través de un cambio de distinto valor absoluto según sea el signo de variación del parámetro de estudio. Variaciones en la eficiencia de la coalescencia en la región de flujo tipo bubbly y la inclusión del modelo de Drift-flux o el parámetro de distribución radial, son los que más impactan en los resultados. Continuidad del desarrollo Relacionado con la hipótesis de homogeneidad espacial sugerimos la realización de experimentos específicos, no del tipo integrales, para acotar su utilización y validar específicamente el modelo desarrollado. Por otro lado consideramos como un paso necesario incorporar el acople con modelos de cálculo de flujo. El método desarrollado lo permitiría dada su ventaja respecto del seccional en cuanto al tiempo de cálculo, y de esta forma profundizar en el análisis en la proximidad de paredes y curvas, en particular para los casos de deposición por impacto, termoforesis y sustentación. Con respecto a coagulación se sugiere continuar incorporando nuevos núcleos de como ser por flujo turbulento.

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APORTES DERIVADOS DE LA TESIS

La realización de esta tesis ha permitido obtener el conocimiento de la física de un sistema complejo y la capacidad de análisis de resultados a través la interpretación de la importancia relativa de los distintos fenómenos físicos actuantes según las diversas condiciones, tanto de contorno como las inherentes al sistema. Esto permitirá continuar con el desarrollo de códigos o el uso adecuado (no del tipo caja negra) de los códigos integrales desarrollados para el modelado de la Fase II del Análisis Probabilístico de Seguridad (simulación de secuencias graves con fusión de núcleo y cálculo del Término Fuente) en donde la dinámica de aerosoles, los procesos termohidráulicos y el comportamiento de materiales (degradación del núcleo) a altas temperaturas, se tratan en forma conjunta. Como fruto de esta tesis surgieron temas que dieron inicio a nuevos trabajos, tanto experimentales como teóricos, en el área de evaluación de impacto ambiental relacionada con la dispersión de contaminantes gaseosos y material particulado en la atmósfera (Caputo M. et al., 2000, 2001a, 2002), resaltando la aplicación para el Informe Preliminar de Seguridad de Australia (Caputo M., 2001b) y una publicación en Atmospheric Environment (Caputo M., Giménez M. y Schlamp M., 2003) En cuanto al desarrollo de capacidad experimental en el tema, en paralelo con la realización de esta tesis, se puede mencionar el diseño, montaje y puesta en marcha de una cadena de generación y medición de partículas. La cadena de generación está conformada por un atomizador de salida constante, que permite obtener partículas líquidas o sólidas mediante secado, ya sea a partir de soluciones (Korochinsky S. y Giménez M., 1997) o de partículas de poliestireno-latex en suspensión acuosa, en un rango que va desde las décimas hasta cinco micrones. También se incluye el tratamiento de los aerosoles para su secado de ser necesario, mediante el tránsito a través de un tubo hecho con una malla de alambre y rodeado por sílica gel y/o a través de un intercambiador de calor tipo tubos concéntricos de aire. La cadena de medición cuenta con distintas boquillas de aspiración, dos equipos complementarios que permiten obtener la distribución en tamaño de los aerosoles, uno por impactación (MOUDI) y posterior pesaje y otro por tiempo de vuelo (Aerodynamic Particle Sizer TSI-APS330). También se desarrolló un sistema de dilución para evitar la saturación de los equipos de muestreo que consiste en la bifurcación del flujo de aerosoles, una corriente es filtrada y sirve para diluir a la otra correspondiente a la toma mediante capilares o agujas hipodérmicas (Giménez M. et al., 1998). Se han realizado distintos trabajos o aplicaciones como ser la tipificación de la distribución en tamaño para homologación de un nuevo nebulizador ultrasónico desarrollado por la empresa Dysem bajo el marco de la Ley de Innovación Tecnológica, la medición de la contaminación por material particulado emitido por automotores en el centro de la ciudad de S. C. de Bariloche, la caracterización de la mesa de flujo laminar y procedimientos para su uso adecuado en la sala ¨limpia¨ de neonatología del Hospital Zonal de Bariloche (Giménez M. et al., 2001b), y la medición de aerosoles y en particular de pólenes en la base del Cerro Otto. Este estudio se realiza en instalaciones del Teleférico Fundación Furman, en colaboración con investigadores del Conicet, Univ. Nacional del Comahue, para caracterizar la estacionalidad de los mismos y brindar soporte a estudios epidemiológicos relacionados con alergias y realizar a futuro, teniendo como base mediciones de parámetros atmosféricos, pronósticos de incidencia de alergia. En curso se encuentra el desarrollo del método experimental de prueba y calibración del sistema de detección de aerosoles en chimenea del reactor de Australia RRR.

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NOMENCLATURA

Descripción Unidades C Término de coagulación (tasa) m-3 s-1 CL Constante de sustentación - Cc Factor de Cunningham - D Coeficiente de difusión m2/s dp Diámetro de la partícula d g Gravedad m/s2

G Término de condensación (tasa) s-1 H Altura m j Velocidad superficial m/s K Constante de Boltzmann J/K KB Núcleo de coagulación Browniana m3 s-1

KG Núcleo de coagulación Gravitacional o por sedimentación m3 s-1 Mi Peso molecular g/mol N Concentración espacial de burbujas m-3 p Presión Pa r Coordenada radial o radio de la partícula m Re Número de Reynolds - R Constante de los gases J/mol /K S Fuente de partículas de volumen v, por unidad de

volumen y tiempo m-6 s-1

T Temperatura del gas K U Velocidad m/s v Volumen de la partícula m3

v Volumen medio de la distribución m3

Vf Constante del término de velocidad de sedimentación m-1 s-1 Vs velocidad de sedimentación m/s z Coordenada axial m α Fracción de vacío - ε Fracción del volumen ocupada por partículas - λg Camino libre medio en el gas m µ Viscosidad del gas kg/m/s ρ Concentración espacial de partículas m-3 ρg Densidad del gas kg/m3 ρp Densidad de las partículas kg/m3

σ Tensión superficial N/m Subíndice o supraíndice:

cc Condición de contorno g Gas 0 Condición inicial l Líquido max Valor máximo p Partícula

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220 – Referencias

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221

APÉNDICE A

COMPARACIÓN DE RESULTADOS CON DISTINTOS

MÉTODOS NUMÉRICOS Y CONVERGENCIA

ESPACIAL

En la Figura I se comparan los resultados del problema descrito en la sección 7.2, obtenidos con un esquema numérico explícito y el de Crack-Nicolson, para una malla de 1001 nodos (∆x = 0.10 m). En la Figura II se comparan los resultados obtenidos con este último método con 101, 501 y 1001 nodos, de modo de visualizar la convergencia de la solución al variar la malla.

1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

εεεε

ρρρρ

τ

ρρρρ εεεε Crank-Nicolson Explícito

Figura I: Comparación entre esquema explícito y de Cranck-Nicolson, 1001 nodos

222 - Apéndice A: Convergencia numérica

1E-4 1E-3 0.01 0.1 1 101E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

εεεε

ρρρρ

Crank-Nicolson

τ

ρρρρ εεεε N=101 N=501 N=1001

Figura II: Esquema de Cranck-Nicolson: convergencia espacial

223

APÉNDICE B

ECUACIONES DE TRANSPORTE DE AEROSOLES

MÉTODO DE LOS MOMENTOS CON DISTRIBUCIÓN

LOGNORMAL

1 MÉTODO DE LOS MOMENTOS

El propósito de este Apéndice es determinar el sistema de ecuaciones derivado de la ecuación (I.1) a través del método de los momentos, cuando la distribución en volumen del aerosol se postula que es una función Lognormal:

( ) ( )

−=

σπσ 2/ln

exp12

,,2

oo vvv

nvtrn (34)

donde no, vo y σ son parámetros arbitrarios y funciones de la posición y del tiempo.

El momento de orden n se obtiene multiplicando por vn y luego integrando sobre todo el dominio de v, es decir, sobre el intervalo (0, ∞ )

dvvvtrnM nn ∫

∞=

0),,( (35)

Por lo tanto el momento de orden n es:

[ ]2/exp 200 σnvnM n

n = (36)

La función distribución n(r, t, v) se obtiene a través de los parámetros n0 (r, t), v0 (r, t), y σ (r, t). Para ello, es suficiente obtener tres ecuaciones diferenciales en estas variables. Al calcular

224 - Apéndice B

los tres primeros momentos de la ecuación (1) surgen naturalmente tres variables, que son los momentos Mn (n = 0, 1, 2)

ρ=== ∫∞

0 00 ),,( ndvvtrnM (37)

εσ === ∫∞

2/

0001 ),,( evndvvvtrnM (38)

φσ === ∫∞

2

0

200

22 ),,( evndvvvtrnM (39)

Notar que ρ representa la densidad de partículas, ε la fracción de volumen ocupada por las mismas, y =v ε / ρ es el volumen medio de las partículas al igual que al emplear la distribución de Poisson. De las ecuaciones (4) a (6) es fácil obtener:

ρ=0n

2/0 σevv =

σρφ ev 2=

Esto implica que basta conocer ρ(r, t), ε (r, t) y φ (r, t) para resolver n (r, t, v). Los tres primeros momentos de la ecuación (1) forman el sistema de ecuaciones diferenciales acoplado necesario para cerrar el problema. Por simplicidad, sólo se considera una geometría unidimensional, sin que haya restricciones para extender el método a mayores dimensiones. El sistema que se obtiene sin considerar el término de crecimiento, y suponiendo que el coeficiente de la difusión sólo es función del volumen, es:

( ) ( ) ρρρρ ρρρ SCDUzt z

+=∂∂−

∂∂+

∂∂

2

2

(40)

( ) ( ) ρεε εεε SDUzt 2z

2=

∂∂−

∂∂+

∂∂ (41)

( ) ( ) φφφφ φφφ SCDUzt z

+=∂∂−

∂∂+

∂∂

2

2

(42)

donde:

Apéndice B – −−−−

225

∫

∫∞

∞

=0

0

dvn

dvnUU ρ ;

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvn

dvnDDρ

dvtnC

coag∫∞

∂∂=

0ρ ; dvSS ∫∞

=0ρ

( 43)

∫

∫∞

∞

=

0

0

dvvn

dvvnUU ε ;

∫

∫∞

∞

=0

0

dvvn

dvvnDDε ; dvvSS ∫

∞=

0ε (44)

∫

∫∞

∞

=0

2

0

2

dvvn

dvvnUUφ ;

∫

∫∞

∞

=

0

2

0

2

dvvn

dvvnDDφ

dvvtnC

coag

2

0∫∞

∂∂=φ ; dvvSS 2

0∫∞

=φ

( 45)

A diferencia de la densidad y la fracción de volumen, el momento de orden dos carece de un sentido físico claro y debe ser analizado simplemente como la dispersión de la distribución Lognormal. Conociendo la dependencia de U, D, S y del término de coagulación, con el volumen v (a través de relaciones constitutivas), se pueden calcular las expresiones anteriores en función de ρ, ε y φ, lo que permite resolver el sistema de ecuaciones de difusión y convección (7) a (9). Las expresiones de estas funciones se resumen en la siguiente sección, extraídas de Williams (1986) y Korochinsky y Giménez (1997) 2 COMPARACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS USANDO

DISTRIBUCIONES LOGNORMAL Y DE POISSON La distribución de Poisson a diferencia de la Lognormal, sólo tiene dos parámetros que dependen de la posición y del tiempo y por lo tanto da origen a dos ecuaciones diferenciales cuyas variables son los momentos de orden cero y uno. Como es de esperarse, la dependencia con los primeros momentos (densidad y fracción de volumen) es similar en ambas distribuciones, convirtiéndose las constantes obtenidas con Poisson en funciones del tercer parámetro de la log-normal, como puede verse en la tabla comparativa que se encuentra a continuación. En ella se comparan las ecuaciones constitutivas para la velocidad, difusión y coagulación obtenidas asumiendo una distribución de Poisson y una Lognormal, y se muestra el valor de σ que deberían tener la distribución Lognormal para que coincidan dichas ecuaciones.

226 - Apéndice B

Poisson Log-normal σσσσ0

Uρ ( ) 3/2947.0, vVtzu f+ ( ) 9/13/2, −+ ηvVtzu f 0.49

Uε ( ) 3/2263.1, vVtzu f+ ( ) 9/53/2, ηvVtzu f+ 0.42

Dρ 3/1135.1 −vα 9/23/1 ηα −v 0.57

Dε 3/1946.0 −vα 9/13/1 −− ηα v 0.50

GCρ 23/49835.0 ρvCG−

+

− − ηηηηρ ln312ln

32 9/19/23/42 ErfErfvCG

0.44

BCρ 20745.2 ρBC− ( )9/12 1 ηρ +− BC 0.65

Tabla 1.- Comparación de las ecuaciones constitutivas según una distribución de Poisson

y una Lognormal

227

APÉNDICE C

MODELO BIDIMENSIONAL: CASOS DE ESTUDIO DE

CONVERGENCIA DE LA SOLUCIÓN

1 SUSTENTACIÓN En la presente sección se analiza la convergencia de los resultados al variar la nodalización radial del caso presentado en el Capítulo IV sección 8.1.1. Esta simulación corresponde a la evolución de una población de partículas caracterizada por una distribución de Poisson con una densidad espacial o concentración de 1011 partículas/m3 y con un radio medio de 2 µm (Rep ≈ 10-3 y ReG ≈10-4 ), en un tubo de 2 m de altura y 0.01 m de radio, en donde circula un flujo de aire desdendente con una velocidad máxima (centro del tubo) de 1.2 m/s (flujo laminar, Re ≈ 1000). La densidad de las partículas (U3O8) es de 8300 kg/m3. Las partículas se encuentran distribuidas inicialmente dentro del tubo en forma homogenea, tanto en la dirección radial como axial. Se asumen valores idénticos para caraterizar dicha población a la entrada del tubo, siendo ésta la condición de contorno del problema. También se postula que las partículas que impacten contra la pared del tubo se depositarán allí y no serán resuspendidas. Se simulan flujo descendente, considerando sedimentación axial y movimiento radial de las partículas por sustentación. Se realizaron distintas simulaciones variando la nodalización radial, en todas ellas se mantuvo la misma discretización axial con 81 nodos (∆z = 0.025 cm). Se utilizó una nodalización con intervalos radiales uniformes (fijos) y otra con intervalos variables con una mayor concentración de nodos en la pared y en el centro. Para esta última alternativa se observa una convergencia en aproximadamente 120 nodos radiales. El caso que se muestra y se compara con los de nodalización fija se hizo con 196 nodos, siendo el de menor tamaño de 10-5 m, próximo a la pared y el mayor de 1.1 10-4 m, a medio radio desde centro del tubo. En las Figuras 1, 4 y 7 se muestran los perfiles radiales estacionarios a distintas distancias desde la entrada –parte superior del tubo- de la concentración de las partículas, la fracción de volumen ocupada y el volumen medio de la distribución. Todas estas variables disminuyen en magnitud a medida que aumenta la distancia desde la entrada, y es debido a la remoción radial por impacto en la pared del tubo, movimiento originado por la sustentación que, a su vez, favorece la remoción de las partículas con volúmenes más grandes. En las Figuras 2, 5 y 8 se comparan dichas variables para la nodalización variable y la fija con 401 nodos, en ellas se muestra solo en la proximidad de la pared y del centro ya que son las zonas de mayor gradiente. En las Figuras 3, 6 y 9 se comparan los resultados para mallas fijas de 101, 201 y 401 nodos.

228 - Apéndice C

Se observa una convergencia espacial en la zona de radios intermedios y en la proximidad de la pared para nodalizaciones de 101 o más nodos, y es precisamente en esta última zona donde reside la importancia de la convergencia espacial dado que la remoción o pérdidas de partículas en la pared dependen de la concentración en dicha zona. En el centro del tubo, en donde hay gradientes más pronunciados, es en donde la convergencia no es tan buena, aunque el intervalo de observación es inferior a la décima de milímetro.

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-

)

Radio (m)

Figura 1: Perfiles radiales estacionarios de la densidad en distintas posiciones axiales, el cero corresponde a la entrada o parte superior del tubo

Apéndice C –

229

0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

variabl fijan=196 n=401

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-)

Radio (m) Figura 2: Comparación de los perfiles radiales estacionarios de la densidad en distintas

posiciones axiales entre nodalización fija y variable

0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

fijan=401 n=201 n=101

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Den

sida

d (-)


posiciones axiales entre nodalización fija con 101, 201 y 401 nodos

230 - Apéndice C

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m)

Figura 4: Perfiles radiales estacionarios de la fracción de volumen en distintas posiciones axiales, el cero corresponde a la entrada o parte superior del tubo

0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)



Apéndice C –

231

0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

fijan=401 n=201 n=101

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Frac

c de

vol

umen

(-)

Radio (m) Figura 6: Comparación de los perfiles radiales estacionarios de la fracción de volumen a

distintas posiciones axiales entre nodalización fija con 101, 201 y 401 nodos

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m)

Figura 7: Perfiles radiales estacionarios del volumen medio en distintas posiciones axiales, el cero corresponde a la entrada o parte superior del tubo

232 - Apéndice C

0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00


0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m) Figura 8: Comparación de los perfiles radiales estacionarios del volumen medio en distintas


0.0000 0.0001 0.0098 0.0099 0.01000.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

fijan=401 n=201 n=101

0.0 m 0.5 m 1.0 m 1.5 m 2.0 m

Vol

umen

med

io (-

)

Radio (m) Figura 9: Comparación de los perfiles radiales estacionarios de volumen medio a distintas

posiciones axiales entre nodalización fija con 101, 201 y 401 nodos

Apéndice C –

233

2 TERMOFORESIS En la presente sección se analiza la convergencia radial y axial de los resultados al variar la nodalización del caso de contrastación con los datos experimentales de deposición por termoforesis realizados en el circuito STORM, presentados en el capítulo VI. En la Figura 10 se muestra la convergencia espacial radial utilizando 201, 301, 401, 601 y 701 nodos, para 101 nodos axiales. En la Figura 11 se muestra la convergencia espacial axial al simular casos con 51 y 101 nodos axiales, para 201, 301 y 401 nodos radiales.

0 1 2 3 4 50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Mas

a de

posi

tada

(kg/

m2)

Longitud (m)

Datos experimentales: STORM Nodos axiales: 101 - radiales: 201 Nodos axiales: 101 - radiales: 201 Nodos axiales: 101 - radiales: 201 Nodos axiales: 101 - radiales: 201 Nodos axiales: 101 - radiales: 201

Figura 10: convergencia espacial radial

234 - Apéndice C

0 1 2 3 4 50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Mas

a de

posi

tada

(kg/

m2)

Longitud (m)

Datos experimentales: STORM Nodos axiales: 101 - radiales: 201 Nodos axiales: 101 - radiales: 301 Nodos axiales: 101 - radiales: 401 Nodos axiales: 51 - radiales: 201 Nodos axiales: 51 - radiales: 301 Nodos axiales: 51 - radiales: 401

Figura 11: convergencia espacial axial, para los casos de 201, 301 y 401 nodos radiales

235

AGRADECIMIENTOS

A la vida… y a todos aquellos que me han ayudado a transitarla, con

yerros y aciertos, desalientos y triunfos…, siempre para seguir

creciendo y aprendiendo de ella con felicidad.

Y a ustedes especialmente: Alejo Clausse, Micky Schlamp, Alicia

Vertullo, Marcelo Caputo, Pablo Zanocco y Fernando Andrade Lima,

que me han ayudado a que esta tesis se concretara, con lo cotidiano, con

lo técnico y con lo humano.

A la Comisión Nacional de Energía Atómica y al Instituto Balseiro, y a

todos los compañeros que hacen que éstas sigan teniendo vida, y por

supuesto por haberme brindado el ámbito adecuado para el desarrollo

de esta tesis.

PUBLICACIONES CIENTÍFICAS

Sensitivity analysis of the aerosolstransport equation

Marcelo O. Gimeneza,*, Miguel A. Schlampa,Fernando R. A. Limab

aCentro Atomico Bariloche, Comision Nacional de Energıa Atomica 8400 S. C. de Bariloche, ArgentinabCentro Regional de Ciencias Nucleares, Comissao Nacional de Energia Nuclear, Rua Conego Barata,

999, Tamarineira, CEP 50110-120, Recife, Pernambuco, Brazil

Received 10 February 2003; accepted 3 March 2003

Abstract

The aerosol dispersion equations, to perform sensitivity analysis due to uncertainties inmodel and input parameters, based on the moments method considering the spatial depen-dence, settling, diffusion and coagulation mechanisms, are presented. The Perturbative

Method Differential-formalism is used to develop this set of equations. Two verification casesare solved initially concerning settling and gravitational coagulation: the steady state aerosoldistribution in a vertical tube, and the evolution of a homogeneous aerosol population. The

results are compared with analytical results and numerical ones obtained varying the per-turbed parameters around their nominal values. Finally, the method is applied to analyze theaerosol transport in a 1-D vertical domain considering both space and time dependence; the

sensitivity coefficients of the aerosol volume fraction with respect to global parameters relatedwith the gravitational coagulation kernel, settling velocity and boundary conditions arededuced and analyzed.

# 2003 Elsevier Science Ltd. All rights reserved.

1. Introduction

The influence of uncertainties in response-functionals or observable-variables iscrucial when modeling complex physical phenomena. There are many uncertainties

Annals of Nuclear Energy 30 (2003) 1247–1266

www.elsevier.com/locate/anucene

0306-4549/03/$ - see front matter # 2003 Elsevier Science Ltd. All rights reserved.

doi:10.1016/S0306-4549(03)00053-7

* Corresponding author. Fax: +54-2944-445299.

E-mail address: [email protected] (M.O. Gimenez).

http://www.sciencedirect.com



http://www.elsevier.com/locate/anucene/a4.3d

mailto:[email protected]

in aerosol behavior, as well as in their general mathematical formulation. These factsincrease the importance of performing sensitivity analyses (Williams, 1990).The most popular methodology for performing sensitivity analysis is to run the

transport models several times, in order to build a response surface, i.e. the obser-vable as a function of the input or model parameters. However, this could beexpensive, slow and sometimes impracticable. On the other hand, better computa-tional cost and efficiency of analysis could be achieved by means of PerturbativeMethods. One of the advantages is that they allow us to calculate in a general way,the sensitivity of a response-functional regarding the complete set of system para-meters without the need for a previous selection. In addition, Perturbative Methodsare simple to implement. However, their use is restricted to the analysis of the linearbehavior around a specific point. This difficultly can be bypassed using high-orderschemes proposed by different authors (Gandini, 1987; Cacuci et al., 1980). Thefirst-order approach is used in this paper due to its simplicity and speed and to thegood results obtained, with the aim of developing a set of equations that allow oneto perform a sensitivity study of aerosols and verifying Perturbative Methodapplicability to non-linear equations.

1.1. Aerosol transport equations

The concept of an aerosol is generally applied to a suspension of fine par-ticles in a gaseous environment, which is usually produced by the dispersionof contaminant material. The particles are carried by the gas, which canmove simultaneously with respect to the transport environment. Differentprocesses, such as coagulation, sedimentation, diffusion, convection, growth,and deposition, among others govern the particle system evolution (Williamsand Loyalka, 1991). A way to describe, mathematically, an aerosol system isby means of the distribution function n(v,r,t) dv, which represents the numberof particles per unit of volume around the point r, at time t, with particlevolume between v and v+dv. This function is the solution of a non-linear integral-differential conservation Eq. (1).

@nðr; t; vÞ

@tþ D½Uðr; t; vÞnðr; t; vÞ� � r:Dðr; t; vÞrnðr; t; vÞ ¼

�@nðr; t; vÞ

@t

� �growth

þ@nðr; t; vÞ

@t

� �coag

þSðr; t; vÞ ð1Þ

In Eq. (1) the different terms represent, from left to right, the temporal variation,convection, diffusion, change due to particle growth, coagulation and source. Ingeneral Eq. (1) is analytically intractable. Therefore, the one-dimensional simplifiedequations derived by the method of the moments (Williams, 1986; Kielkiewicz,1994) based on a first-order Poisson distribution to describe the volume-size depen-dence of the distribution function (Gimenez et al, 1995) are used to perform thesensitivity analysis of the present aerosol dispersion study:

1248 M.O. Gimenez et al. / Annals of Nuclear Energy 30 (2003) 1247–1266

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@z�@2ð"D"Þ

@z2¼ 0 ð2Þ

where �, is the number of particles per unit volume of space, that is the spatialdensity or concentration of particles and " is the volume of particulate per unitvolume of space, that is the fraction of volume occupied by the particles, and bothare function of the position z, and time t. The latter is related with the mean par-ticle volume v�, by v� ¼ "=�. The velocities U� and U", based on the Stokes velocity,are:

U� ¼ aVfv�2=3;U" ¼ bVfv�

2=3

with: a ¼ 0:947; b ¼ 1:263; Vf ¼3

4�

� �2=32�p9�

g ð3Þ

The diffusion coefficients, D� and D", based on Brownian diffusion, are:

D� ¼ cdv�1=3;D" ¼ ddv�

1=3

with: c ¼ 1:135; d ¼ 0:946;d ¼kT

1621=3�2=3�ð4Þ

where k is the Boltzmann constant, T is the gas temperature and � is the gas visc-osity. C� represents the decrease of number of particles due to coagulation. Forgravitational coagulation the term is:

CG� ¼ �"4=3�2=3 with: ¼ 0:0827g

�p6�

ð5aÞ

where �p is the density of the individual particles, and for Brownian coagulation it is:

CB� ¼ ��2 with: ¼ 1:383

KT

�ð5bÞ

It is assumed that the individual coagulation mechanisms may be added linearly.

1.2. Perturbative method

A general problem of a system of k nonlinear-coupled equations can be written as(Andrade Lima et al., 1993, 1998):

m*ð f*

ðr*Þ; p

*Þ ¼ 0

*

ð6Þ

where ~mm includes, in general, operations with the variables in the space of thephases. The state vector describing the system behavior, ~ffð~rrÞ ¼ f1ð~rrÞ; f2ð~rrÞ; . . . ; fKð~rrÞ

� �,

M.O. Gimenez et al. / Annals of Nuclear Energy 30 (2003) 1247–1266 1249

includes the state variables fkðr*Þ, which are function of the position vector in the

phase space, ~rr ¼ r1; r2; :::; rLf g. The components mk (k=1, 2, .., K) are nonlinearfunctions of ~ff and of the system parameter vectors, ~ppð~rrÞ ¼ p1ð~rrÞ; p2ð~rrÞ; . . . ; pIð~rrÞ

� �.

The boundary conditions to Eq. (6) are formally given as ~CC ð ~ffð~rrsÞ; ~ppÞ ¼ ~00, where ~rrsdefines a point on the boundary surface of phase space. A response-functionalR ð~ffð~rrÞ; ~ppÞ is defined as:

R f*

ðr*Þ; p

*� �

¼ S*þðr

*Þ f

*

ðr*Þ

D Eð7Þ

where S*þ is an assigned function and where brackets hi, indicating integration over

the phase-space coordinates in the whole system, have been introduced for simpli-fying the notation. In a sensitivity analysis the variation R is evaluated resultingfrom a perturbation pi of all or some of the system parameters. The first-ordervariation of R, for perturbations of the system parameters, is represented by:

R ¼XIi¼1

pi < S*þ=pi

f*

> þ < S*þ f

*

=pi >h i

; where: S*þ=pi

¼@S

*þ

@pi; f

*

=pi ¼@ f

*

@pi

The term f*

=pi is obtained from the expansion of the perturbative equation

m*’ð f

*

’; p*’Þ ¼ 0

*

around a reference solution of f*

up to first order. Thus,

m*

¼ m*’ð f

*

’; p*’Þ �m

*ð f*

; p*Þ ¼

XIi¼1

pi@m

*

@piþH

@ f*

@pi

( )¼ 0

*

ð9Þ

H ¼@�m

*

@ f* ¼

@�m1@f1

@�m1@f2

@�m1@fK

@�m2@f1

@�m2@f2

@�m2@fK

@�mK

@f1

@�mK

@f2

@�mK

@fK

266666664

377777775

ð10Þ

where H is a Jacobian matrix operator in which Frechet derivatives are performed.Therefore, for arbitrary variations pi, it is necessary for:

H f*

=pi ¼ S*

ðpiÞ; where S*

ðpiÞ ¼ �@�m

*

@pið11Þ

The boundary conditions to Eq. (11) are obtained as:

@C*

@piþ@�C

*

@ f* �

@ f*

@pi

!j~rr¼~rrs¼ 0

*

ð12Þ

The sensitivity coefficient relevant to a given system parameter p will then be:


@R

@ p¼ S

*þ=p f

*D E

þ S*þ f

*

=p

D Eð13Þ

Eq. (11) is linear since the matrix operator and the source term are not functionsof the derived state vector, depending only on the system parameter. So, for eachparameter of interest to the study of a given functional, a new Eq. (11) should besolved to obtain f

*

=p that, then enters into Eq. (13) to obtain the sensitivity coeffi-cient. In others words, for any given functional, n parameters to be analyzed willresult in n equations to be solved. For one, or for a limited number of functionals,the problem is posed of determining a different expression for the sensitivity coeffi-cient, so that the term S

*þ f

*

=p

D Eis replaced by another one implying functions calcu-

lated at unperturbed conditions in number equivalent to that of the functionals to beanalyzed. With this objective, the adjoint associated to Eq. (11) will be used, asshown in the following.

1.2.1. Differential formalismFor the determination of the sensitivity coefficient, the adjoint operator H� is

defined from H by the expression:

f*

=pH� f

*�

D E¼ f

*�H f

*

=p

D Eþ P f

*�; f

*

=p

� �ð14Þ

where f*� is the vector adjoint of f

*

and P( f*�, f

*

=p) is the bilinear concomitant of f*� and

f*

=p evaluated on the boundary of phase space. The term�S*þ f

*

=p

�from Eq. (13) is

avoided by making that the source term vector in the adjoint system equal to vector S*þ

appearing in the response-functional. Therefore, the adjoint system can be written as:

H� f*� ¼ S

*þ

C*�ð f

*�Þ ¼ 0

*

ð15Þ

So, the convenient choice of the boundary conditions allows one to calculate thebilinear concomitant from the known terms of f

*

=p evaluated on the phase spacelimit. The option for the homogeneous Eq. (15) is chosen in order to obtain thelargest mathematical simplifications when applied to the differential formalism. Eq.(14) can be written as:

f*

=p S*þ

D E¼ f

*� S

*

ðpÞD E

þ P f*�; f

*

=p

� �ð16Þ

and the sensitivity coefficient is given by:

@R

@ p¼ S

*þ=p f

*D E

þ f*� S

*

ðpÞD E

þ P f*�; f

*

=p

� �ð17Þ


2. T
est cases
Two simple cases of the aerosol transport are studied initially, based on the one-dimensional aerosol moment Eqs. (2). This is presented to assess the applicability ofthe differential formalism by means of comparing the derived exact sensitivity coeffi-cients, or calculated directly from the numerical solution with the ones obtained withthe perturbative method. Moreover, these cases will help, when the whole equationsystem is analyzed, to understand the aerosol behavior and the sensitivity results.

2.1. Steady-state settling and gravitational coagulation

An exact analytical solution of Eqs. (2) can be obtained when sedimentation andgravitational coagulation are considered in steady-state condition along a vertical tubeof lengthL. Boundary conditions are set for � ¼ �bc and " ¼ "bc at the top (aerosol inletat z=0). Exact sensitivity coefficients can consequently be obtained and used as refer-ence of those obtained with the Perturbative Method. For this case, Eqs. (2) reduce to:

~mm ~ff; ~pp� �

¼

d�

dzþ5

3

aVf�4=3"2=3

d"

dzþ2

3

aVf�1=3"5=3

2664

3775 ¼ 0 ð18Þ

~ff ¼ �; "½ �T; ~rr ¼ z½ �

The solution of Eqs. (18) is:

"ðzÞ ¼

aVf�1=30 "�5=6bc zþ "�3=2bc

� ��2=3

; �ðzÞ ¼ �bc"ðzÞ

"bc

� �5=3ð19Þ

2.1.1. Adjoint equationsTo obtain the sensitivity coefficients the adjoint equations and the bilinear con-

comitant must be obtained. This can be done before having selected the responsefunctional and the parameters to be perturbed, which results in an advantage of themethod. Applying the differential formalism methodology to Eqs. (18), the follow-ing adjoint equations are obtained:

�d

dz�� þ

20

9

aVf�1=3"2=3�� þ

10

9

aVf

�4=3

"1=3"� ¼ Sþ

�

�d

dz"� þ

10

9

aVf�1=3"2=3"� þ

2

9

aVf��2=3"5=3�� ¼ Sþ

"

ð20Þ

with �� and "� equal zero in z=L. The following general expression for the bilinearconcomitant is also obtained:


P ~ff �; ~ff=i

� �¼ ��=ijz¼0þ"�"=ijz¼0 ð21Þ

2.1.2. Results and sensitivity analysisEqs. (18) are solved for the following conditions:

L ¼ 5 m

�bc ¼ �ðz ¼ 0Þ ¼ 1013 particles=m3

aerosol mean radius ðz ¼ 0Þ ¼ 1:7 �m

"bc ¼ "ðz ¼ 0Þ ¼ 2:57 10�4

The exact spatial distribution of �, " and v� are shown in Fig. 1, where the valuesare normalized with the respective boundary values. No differences were found inthe numerical solution using a finite difference upwind scheme, respect to the exactone and used then to solve the sensitivity coefficients. Particles growth and concen-tration decrease is observed towards the tube outlet (z=L) due to the coagulationmechanism and particle velocity increase.

As an example let us analyze the sensitivity of the average fraction of volumeoccupied by particles along the tube to the parameter vector ~pp ¼ ; Vf; �bc; "bc

� �.

The selected parameters to be perturbed are related to the gravitational coagulationkernel, Eq. (5), settling velocity, Eq. (3), and the boundary conditions for � and ".Mathematically this observable can be expressed as:


Fig. 1. Steady-state case: distribution along the tube of the normalized �, " and v�.

"� ¼1

L

ðL0

" zð Þdz ¼1

L" zð Þ

� �ð22Þ

The analytical expression of this observable is obtained replacing Eq. (19) inEq. (22) and integrating over the domain [0, L],

"� ¼3aVf

L�1=3bc0

"1=3bc � "bc þL

aVf�1=3bc "5=3bc

� �1=3" #ð23Þ

The value of the observable normalized with "bc, is 0.0997. The S+ functions,deduced from Eq. (22), and their derivatives respect to the parameters pi, are:

Sþ" ¼

1

L; Sþ

" =i ¼ 0; Sþ� ¼ 0; Sþ

� =i ¼ 0 ð24Þ

and used to solve the adjoint equations using a finite-difference up-wind scheme.After having selected the pi parameters, the S

*

ðpiÞ vector, given by Eq. (11), isobtained differentiating the state equations; thus:

S� ð Þ ¼ �5

3

�4=3"2=3

aVf; S� "bcð Þ ¼ 0; S� Vf

� ¼5

3

�4=3"2=3

aV2f

; S� �bcð Þ ¼ 0

S" ð Þ ¼ �2

3

1

aVf�1=3"5=3; S" "bcð Þ ¼ 0; S" Vf

� ¼2

3

aV2f

�1=3"5=3; S" �bcð Þ ¼ 0 ð25Þ

and the bilinear concomitant can be evaluated, and results:

P ¼ 0 if pi ¼ ;Vf; as �=ij0¼ 0; "=ij0¼ 0�

P ¼ ��z¼0 if pi ¼ �bc; as �=ij0¼ 1; "=ij0¼ 0�

P ¼ "�z¼0 if pi ¼ "bc; as �=ij0¼ 0; "=ij0¼ 1�

ð26Þ

The observable sensitivity to the pi parameters (sensitivity coefficient) is calculatedwith Eq. (17), using the calculated adjoint-variables, the S

*

ðpiÞ vector and theresultant bilinear concomitant, Eq. (26). The results are shown in Table 1 and com-pared with the exact ones obtained by derivation of Eq. (23) with respect to each oneof the selected parameters. An excellent agreement is observed. An increment in thecoagulation constant and in � at the boundary make to diminish the observable-variable. Both parameters contribute to increase the coagulation effect, that leads toan increment in the volume of the particles and therefore in their velocity, whichleads to a greater sweeping effect, remaining fewer mass in the domain. Thereforethe respective sensitivity coefficients are negative. These two parameters do notaffect the settling term directly, but as consequence. While an increment in the con-stant Vf increases it directly, reducing the number of particles in the domain.Therefore, the coagulation effect is reduced, limiting the particles growth and the


sweeping effect. All this process results in an increment of the response functionaland in a positive sensitivity coefficient. An increment in the boundary value for ",keeping constant �, leads to a direct increment in the response functional, thereforethe respective sensitivity coefficient is positive.

2.2. Homogeneous aerosol evolution

Another simple case of interest arises when equations ~mm�~ff; ~pp for settling and

gravitational coagulation are integrated in space, that is, considering aerosol spatialhomogeneity. Then aerosol evolution from initial conditions �0 and "0 can beobtained through the following equations:

~mm ~ff; ~pp� �

¼

d�

dtþ a

Vf

L�1=3"2=3 þ �2=3"4=3

d"

dtþ b

Vf

L"5=3=�2=3

264

375 ¼ 0 ð27Þ

~ff ¼ �; "½ �T; r� ¼ t½ �

2.2.1. Adjoint equationsThe following equations for adjoint-variables are deduced:

�d��

dtþ

1

3

aVf

L

"

�

� �2=3þ2

3"4=3=�1=3

!��

2

3

bVf

L

"

�

� �5=3"� ¼ Sþ

�

�d"�

dtþ

2

3

aVf

L

�

"

� �1=3þ4

3�2=3"1=3

� �� þ

5

3

bVf

L

"

�

� �2=3"� ¼ Sþ

"

ð28Þ

with �� and "� equal to zero at t=Tend . In this case the bilinear concomitant is:


Table 1

Steady-state case: sensitivity coefficients for the volume fraction occupied by particles averaged along the

tube

Sensitivity coefficient
Exact solution Perturbative Method
"�

@"�

@
�0.585 �0.586
Vf

"�

@"�

@Vf
0.585 0.587
"bc"�

@"�

@"bc
0.610 0.612
�bc"�

@"�

@�bc
�0.195 �0.195

P ~ff�; ~ff=i

� �¼ ��=ijt¼0þ"�"=ijt¼0 ð29Þ

2.2.2. Results and sensitivity analysisEq. (27) are numerically integrated using a finite-difference semi-implicit scheme,

and solved for the following conditions:

L ¼ 5 m; Tend ¼ 3000 s

�ðt ¼ 0Þ ¼ �0 ¼ 1013 particles=m3

aerosol mean radius ðt ¼ 0Þ ¼ 1:7 mm

"ðt ¼ 0Þ ¼ "0 ¼ 2:57 10�4

The evolutions of �; " and v� are shown in Fig. 2, normalized with their respectiveinitial values. Initially, there is a gradual increase in the mean particle volume and aslow particle removal by sedimentation. At about 1500 s, the depletion of particles isenhanced by coagulation and sedimentation as particles fall, due to the increase ofthe particles cross-section and the settling velocity. Furthermore, the mean particlevolume decreases. At the beginning the coagulation mechanism governs the process,while after the sweeping effect, sedimentation prevails. It is important to say thatwhen only sedimentation governs the process, the model fails to predict aerosolevolution. The hypotheses of a distribution function for aerosol volume size depen-dence is no more applicable. That is because, from a given time, the particles withthe largest volume disappear from the domain due to settling, cutting off the tail ofthe particle volume distribution.


Fig. 2. Homogeneous case: evolution of the normalized �, " and v�.

The set of parameters to be perturbed is the same as in the previous case, but inthis case the initial condition of the aerosol population, �0 and "0, are includedinstead of the boundary conditions. Therefore S

*

ðpiÞ results:

S� ð Þ ¼ ��2=3"4=3; S� "0ð Þ ¼ 0; S� Vf

� ¼ �

a

L�1=3"2=3; S� �0ð Þ ¼ 0

S" ð Þ ¼ 0; S" "0ð Þ ¼ 0; S" Vf

� ¼ �

b

L"5=3=�2=3; S" �0ð Þ ¼ 0 ð30Þ

and the bilinear concomitant is reduced to:

P ¼ 0; if pi ¼ ; Vf ) �=ij0¼ 0; "=ij0¼ 0�

P ¼ ��t¼0; if pi ¼ �0 ) �=ij0¼ 1; "=ij0¼ 0�

P ¼ "�t¼0; if pi ¼ "0 ) �=ij0¼ 0; "=ij0¼ 1� ð31Þ

In this case the selected response functional is the fraction of volume occupied byparticles at t=Tend, that is:

" Tendð Þ ¼

ðTend

0

t� Tendð Þ " tð Þdt ¼ t� Tendð Þ " tð Þ� �

ð32Þ

This observable variable was selected in order to apply the method to a punctualvalue instead of an average one as it was done in the previous case. Its value,normalized with "0, is 1.4 10

�5. The S+ functions deduced from the previousequation and their derivative respect to the perturbed parameters, are:

Sþ" ¼ t� Tendð Þ and Sþ

" =i ¼ 0; Sþ� ¼ 0 and Sþ

� =i ¼ 0 ð33Þ

and used to solve the adjoint equations. Once the adjoint-variables are evaluatedalong the domain the observable sensitivity to the pi parameters is calculated withEq. (17), using the particular expressions for S

*

ðpiÞ, P and S+, Eqs. (30), (31) and(33), respectively. The sensitivity coefficients evaluated directly by modifying theparameters around their nominal values in the state Eq. (27) and by means of thePerturbative Method are compared satisfactorily in Table 2. As in the previous case-both observable-variables are similar-, an increment in the coagulation and settlingvelocity constants results in negative and positive sensitivity coefficients respectively.An increment in the initial value of ", leads to an initial higher probability for par-ticles coagulation and removal by settling as the particles average volume isincreased; the resultant sensitivity coefficient is negative. An increment in the initialvalue of �, increases coagulation. As the initial value of " is kept constant, the initialaverage volume of the particles decreases and therefore their settling velocity,remaining more particles in the domain, prevailing this effect respect to the previousone. Therefore it is predicted a positive sensitivity coefficient due to variation in theinitial value of �.


3. Sensitivity analysis of the aerosol moments general equation

Once the applicability of the Perturbative Method to particular cases has beentested, the adjoint equations of an aerosol population under settling, diffusion andconsidering gravitational and Brownian coagulation during transient conditions,modeling spatial variations are derived as follow. Considering these physical phe-nomena for an aerosol, Eqs. (2) are rewritten as:

~mm ~ff; ~pp� �

¼

@�

@tþ@��

@z�@2ð�D�Þ

@z2� C�

@"

@tþ@�"

@z�@2ð"D"Þ

@z2

2664

3775 ¼ 0

where :

�� ¼ �U� ¼ aVf�1=3"2=3

�" ¼ "U" ¼ bVf"5=3=�2=3 ð34Þ

and ~ff ¼ �; "½ �T; r� ¼ z; t½ �

3.1. General adjoint equations

To obtain the adjoint equations of Eqs. (34), the operatorH is evaluated, and results:

H11 ¼@

@tð:Þ þ

@

@z��=�ð:Þ� �

�@2

@z2ð�D�Þ�ð:Þ� �

� C�=�ð:Þ

H12 ¼@

@z��="ð:Þ� �

�@2

@z2ð�D�Þ"ð:Þ� �

� C�="ð:Þ

H21 ¼@

@z�"=�ð:Þ� �

�@2

@z2ð"D"Þ�ð:Þ� �

H22 ¼@

@tð:Þ þ

@

@z�"="ð:Þ� �

�@2

@z2ð"D"Þ"ð:Þ� �

ð35Þ


Table 2

Evolutionary case: sensitivity coefficients of the volume fraction occupied by particles at t=Tend

Direct calculation (#pi/pi=0.01) Perturbative Method
" Tendð Þ

@" Tendð Þ

@
�16.3 �16.2
Vf

" Tendð Þ

@" Tendð Þ

@Vf
4.95 4.94
"0" Tendð Þ

@" Tendð Þ

@"0
�17.4 �17.3
�0" Tendð Þ

@" Tendð Þ

@�0
2.11 2.09

e:
wher � � ��=� ¼
@��

@�¼

aVf

3

"

�

2=3

; ��=" ¼@��

@"¼2aVf

3

�

"

� �1=3

�"=� ¼@�"

@�¼ �

2bVf

3

"

�

� �5=3; �"=" ¼

@�"

@"¼5bVf

3

"

�

� �2=3

C�=� ¼@C�

@�¼ �

2

3"4=3=�1=3 � 2�; C�=" ¼

@C�

@"¼ �

4

3"1=3�2=3

and

�D�

� �¼

@�D�

@�¼4cd

3

�

"

� �1=3; ð�D�Þ" ¼

@�D�

@"¼ �

cd

3

�

"

� �4=3

"D"ð Þ�¼@"D"

@�¼

dd

3

"

�

� �2=3; ð"D"Þ" ¼

@"D"

@"¼2dd

3

�

"

� �1=3
Replacing H from Eq. (35) in the right term of the definition of the adjunct
operator H*, Eq. (14), and expressing it in terms of the adjunct functions �� and "�,simplifying and grouping the terms and then comparing with the left term, theadjunct operator H* and the bilinear concomitant are deduced. Finally, the generalequations for the adjunct-variables are obtained:

�@��

@t� ��=�

@��

@z� �"=�

@"�

@z� ð�D�Þ�

@2��

@z2� ð"D"Þ�

@2"�

@z2� C�=��

� ¼ Sþ�

�@"�

@t� ��="

@��

@z� �"="

@"�

@z� ð�D�Þ"

@2��

@z2� ð"D"Þ"

@2"�

@z2� C�="�

� ¼ Sþ"

ð36Þ

� �
As � and " are set equal to zero at t=Tend and at z=L, the following generalexpression for the bilinear concomitant results:
P ~ff�; ~ff=i

� �¼

ðTend

0

!!!!��=��=i��

!!!!z¼0

dtþ

ðTend

0

!!!!��=""=i��

!!!!z¼0

dtþ

ðTend

0

!!!!�"=""=i"�

!!!!z¼0

dt

þ

ðTend

0

!!!!�"=��=i"�

!!!!z¼0

dt�

ðTend

0

!!!!�� @

@zð�D�Þ��=i� �!!!!

z¼0

dt

þ

ðTend

0

!!!! @��@zð�D�Þ��=i

!!!!L

z¼0

dt�

ðTend

0

!!!!�� @

@zð�D�Þ""=i� �!!!!

z¼0

dt

þ

ðTend

0

!!!! @��@zð�D�Þ""=i

!!!!L

z¼0

dt�

ðTend

0

!!!!"� @

@zð"D"Þ��=i� �!!!!

z¼0

dt

þ

ðTend

0

!!!! @"�@z ð"D"Þ��=i

!!!!L

z¼0

dt�

ðTend

0

!!!!�� @

@zð"D"Þ""=i� �!!!!

z¼0

dt

þ

ðTend

0

!!!! @��@zð"D"Þ""=i

!!!!L

z¼0

dtþ

ðL0

!!!!��=i!!!!t¼0

dzþ

ðL0

!!!!"�"=i!!!!t¼0

dz

ð37Þ


Case-study and sensitivity analysis
3.2.
As an example of the methodology application the sensitivity of two observablevariables to variation in parameters related with settling and coagulation is calcu-lated during an aerosol evolution under settling, diffusion and gravitational coagu-lation mechanisms. In order to simulate the aerosol evolution, Eqs. (34) areintegrated numerically using a finite-difference semi-implicit scheme with up-wind-ing in the convective term. To perform the sensitivity study, the numerical solutionof the adjunct equations, Eqs. (36), was implemented using the same finite-differencescheme as for the state-variable equations. The aerosol evolution under the follow-ing set of conditions, in coherence with the previous cases, is simulated:

L ¼ 5 m

Tend ¼ 6000 s

Initial condition :

�ðt ¼ 0; zÞ ¼ �0 ¼ 1013 particles=m3

aerosol mean radius ðt ¼ 0; zÞ ¼ 1:7 mm

"ðt ¼ 0; zÞ ¼ "0 ¼ 2:57 10�4

Boundary condition:

�ðt; z ¼ 0Þ ¼ �bc ¼ 1013 particles=m3

aerosol mean radius ðt; z ¼ 0Þ ¼ 1:7 mm

"ðt; z ¼ 0Þ ¼ "bc ¼ 2:57 10�4

The evolutions of �; " and v� are shown in Fig. 3, normalized with their initialvalues. Initially, there is a gradual increase in the particles mean volume and a slowparticle removal by sedimentation. As in the previous case at about 1500 s, thedepletion of particles is enhanced by coagulation and sedimentation as particles fall,due to the increase of the particle cross-section and the settling velocity. Nevertheless,as particles are being injected at the top of the tube, the aerosol finally tend to a steadystate condition along the tube, which is the solution found in the first case of this paper.The initial evolution, including the peak in the average volume of the particles, is incoherence with the aerosol evolution predicted in the second analyzed case.The following set of control parameters is chosen: ~pp ¼ ; Vf; �bc; "bc

� �. It is

related to coagulation and sedimentation constants and to the boundary conditions.Consequently, the derivatives of the equations to these pi parameters can beobtained form Eq. (34):

S� ð Þ ¼ ��2=3"4=3; S� "bcð Þ ¼ 0; S� Vf

� ¼ �a

@

@zð�1=3"2=3Þ; S� �bcð Þ ¼ 0 ð38Þ

S" ð Þ ¼ 0; S" "bcð Þ ¼ 0; S" Vf

� ¼ �b

@

@z"5=3=�2=3�

; S" �bcð Þ ¼ 0


and the bilinear concomitant, from Eq. (37), is:

if pi ¼ ; Vf ) �=i ¼ 0 and "=i ¼ 0; it results : P ¼ 0 ð39Þ

if pi ¼�bc ) �=ijz¼0;t¼ 1 and "=ijz¼0;t¼ 0; it results :

P ¼

ðTend

0

��=��

!! !!z¼0

dtþ

ðTend

0

�"=�"�

!! !!z¼0

dt

�

ðTend

0

��@

@zð�D�Þ�� !!!!

!!!!z¼0

dtþ

ðTend

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ð40Þ

if pi ¼"bc ) �=ijz¼0;t¼ 0 and "=ijz¼0;t¼ 1; it results :

P ¼

ðTend

0

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ðTend

0

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@zð"D"Þ"

!!!!!!!!z¼0

dt

ð41Þ


Fig. 3. Normalized �, " and v� evolution at different positions along the tube.

3.2.1. Observable variable 1The fraction of volume occupied by particles averaged in time and space is chosen

as a parameter of interest to analyze its sensitivity to the selected parameters and totest the application of the method in a response functional that implies a doubleintegration. It expression is:

"�� ¼1

L

1

Tend

ðL0

ðTend

0

" z; tð Þdtdz ¼1

LTend" z; tð Þ

� �

The observable value, normalized with "0, is 0.3053. The S+ functions are:

Sþ" ¼

1

L

1

Tend; Sþ

" =i ¼ 0; Sþ� ¼ 0; Sþ

� =i ¼ 0

They are replaced in Eq. (36) to obtain the adjoint-variables by numerical resolu-tion. Then the observable sensitivity to the pi parameters is calculated with Eq. (17)and Eqs. (38)–(41). The sensitivity coefficients calculated directly by numericalresolution of the state equations (changing the respective input and model para-meters) and by means the Perturbative Method are shown in Table 3. The sametendency like in the first analyzed case is predicted regarding the sign of the sensi-tivity coefficients.

3.2.2. Observable variable 2Another observable-variable of interest is the average fraction of particles at

t=Tend:

"� Tendð Þ ¼

ðTend

0

ðL0

1

L t� Tendð Þ" tð Þdzdt ¼

1

L t� Tendð Þ" tð Þ

� �

The observable value, normalized with the initial mean particle fraction, is 0.1029.Once the observable vas been defined, the S+ function and its derivative respect tothe perturbed parameters are obtained:

Sþ" ¼

1

L t� Tendð Þ; Sþ

" =i ¼ 0; Sþ� ¼ 0; Sþ

� =i ¼ 0

and replaced in the adjoint equations. The numerically calculated adjoint-vari-ables along the domain are used to quantify the observable sensitivity to the piparameters by means of Eq. (17) and Eqs. (38)–(41). The sensitivity coefficientscalculated modifying the perturbed input and model parameters regarding thenominal values in the numerical resolution of Eqs. (34) and by means of thePerturbative Method are compared in Table 4. A very good agreement can beobserved.


These results can be compared with the ones obtained in the first case analyzed,the aerosol steady state solution, because the present case tends to it as both havethe same boundary conditions. The direct calculated sensitivity coefficients and theobtained with the present method slightly differ from the steady state ones. Thisdifference can be explained because at 6000 s, the time when the present observable-variable is quantified, the steady state is still not reached and because lower resolu-tion was used in the spatial mesh that the domain was discretized. The ‘‘evolution’’of these coefficients can be appreciated in Figs. 4, and 5, that is the observable-variable evaluated at different times. It can be noticed that some of them change thesign depending on the perturbed parameter influence in the settling and coagulationterms and in the relative and temporal changing importance of these phenomenaduring the aerosol population evolution.Another comparison can be done between the sensitivity coefficients of the second

analyzed case, spatially homogenous aerosol evolution, with the ones of the presentcase, as the selected response functionals are similar in essence. In Fig. 6 the sensi-tivity coefficients for coagulation and settling velocity constants are compared.Again coherence between the results can be observed, in spite of the medium andlong-term evolution discrepancy between both cases, as the present case tendstowards a steady state condition while and the other to a depleted domain.


Table 4

Sensitivity coefficients of the volume fraction occupied by particles, spatially averaged, at Tend

Direct calculation (#pi/pi=0.01) Perturbative Method
"�ðTendÞ

@"�ðTendÞ

@
�0.55 �0.56
Vf

"�ðTendÞ

@"�ðTendÞ

@Vf
0.58 0.58
"bc"�ðTendÞ

@"�ðTendÞ

@"bc
0.65 0.63
�bc"�ðTendÞ

@"�ðTendÞ

@�bc
�0.20 �0.21
Table 3

Sensitivity coefficients of the volume fraction occupied by particles averaged in time and space

"��

@"��

@
�0.765 �0.76
Vf

"��

@"��

@Vf
0.096 0.096
"bc

"��

@"��

@"bc
0.188 0.197
�bc

"��

@"��

@�bc
�0.0678 �0.0685


Fig. 4. Sensitivity coefficients of the average fraction of volume occupied by particles at different times.

Fig. 5. Zoom: sensitivity coefficients of the average fraction of volume occupied by particles at different

times.

4. Conclusions

Equations to perform aerosol sensitivity analysis were obtained by means of thePerturbative Method Differential Formalism. The adopted state equations to modelthe aerosol behavior are the one-dimensional diffusion-convection ones, derivedusing the method of moments, with a Poisson particle size distribution. Particle set-tling, diffusion and gravitational and Brownian coagulation are modeled. The sen-sitivity coefficients of the particles volume fraction, punctual values in time or spaceas well as average ones, respect to global parameters related with the coagulationkernel, settling velocity and the initial conditions were obtained as an example of theuse of the methodology.The sensitivity analysis was performed for some particular cases, focusing initially

on aerosol dispersion considering gravitational coagulation and settling, as bench-mark. It was applied to stationary equations, considering spatial distribution ofaerosols, and to evolutionary equations considering aerosol spatial homogeneity.The results were compared against analytical solutions and direct equation pertur-bation. Following this, a more general case considering aerosol evolution and spacedependence was analyzed, modeling diffusion, settling and coagulation. As it wasexpected, because of the selection of the simulated cases and input conditions,coherence was found between the aerosol behavior between the different cases andbetween the sensitivity coefficient results. It is also important to mention that thepresent results are limited to the same conditions inherent to the moment methodthat uses a prescribed particle size dependence function. Finally it can be said that,


Fig. 6. Comparison between sensitivity coefficients of the observable-variables for the second and the last

analyzed cases at different times.

in spite of the high degree of non-linearity of the equations, the PerturbativeMethod, Differential Formalism gives accurate results.

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