Modelos Deterministas:Optimizacin LinealSitio Espejo para Amrica LatinEsta es la versin en Espaol del sitio Web principal en Ingls, el cual se encuentra disponible en:Linear ProgrammingUSA Site

Un modelo de Optimizacin Matemtica consiste en una funcin objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de optimizacin son usados en casi todas las reas de toma de decisiones, como en ingeniera de diseo y seleccin de carteras financieras de inversin . Esta pagina web presenta ejemplos focalizados y estructurados para la formulacin de problemas de optimizacin, diseo de la estrategia optima y herramientas de control de calidad que incluyen validacin, verificacin y anlisis post-solucin.Profesor Hossein Arsham

MENU1. Introduccin y resumen2. Optimizacin: Programacin Lineal (PL)3. Problema Dual: Construccin y Significado4. Manejo de Incertidumbres mediante Modelacin de Escenarios5. El Mtodo Simplex Clsico6. Programas Lineales Generales con Enteros7. Herramientas para el Proceso de Validacin de Modelos

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Optimizacin: Programacin Lineal (PL)1. Introduccin y resumen2. Optimizacin3. Programacin Lineal (PL)4. Proceso de Formulacin de un Problema de PL y su Aplicacin El Problema del Carpintero Un Problema de Mezcla Otras Aplicaciones Comunes de PL5. Mtodo de Solucin Grfica6. Vnculo entre Programacin Lineal y Sistemas de Ecuaciones7. Extensin a Mayores Dimensiones8. Ejemplo Numrico: el Problema del Transporte9. Conceptos y Tcnicas de Aprendizaje Asistidos por Computadora10. Cmo Interpretar los Resultados del Paquete de Software LINDO11. Implementaciones de Computacin con el Paquete WinQSB12. Cmo Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Utilizando un Software de PL?

Problema Dual1. Problema Dual: Construccin y Significado2. El Problema Dual del Problema del Carpintero y su Interpretacin3. Errores de Redondeo cometido por los Gerentes4. Clculo de los Precios Sombra5. Comportamiento de los Cambios en los Valores RHS del Valor Optimo6. Interpretacin Incorrecta del Precio Sombra7. El Precio Sombra es Siempre No Negativo?8. Precios Sombra Alternativos

Manejo de Incertidumbres mediante Modelacin de Escenarios:Anlisis de Sensibilidad y Anlisis de Especificidad

1. Introduccin2. Clculo de Rangos de Sensibilidad para Problemas Pequeos3. Qu es la Regla del 100% (regin de sensibilidad)4. Aadir una nueva restriccin5. Suprimir una restriccin6. Reemplazar una restriccin7. Aadir una variable (por ejemplo, introducir un nuevo producto)8. Suprimir una variable (es decir, cancelar un producto)9. Problema de asignacin ptima de recursos10. Determinacin de la mnima utilidad neta del producto11. Indicadores de metas12. Clculo de minimax y maximin en una sola corrida13. Situaciones de ms por menos y menos por ms

El Mtodo Simplex Clsico1. Introduccin2. Mtodo Algebraico3. Pivoteando Operaciones en Filas4. El Mtodo Simplex

Programas Lineales Generales con Enteros1. Introduccin2. Aplicacin mixta de programacin con enteros: restricciones "Y-O"3. Programas lineales con enteros 0 - 14. Aplicaciones para formulacin de presupuestos de inversiones5. Problemas de scheduling (planificacin de turnos)6. Programacin con restricciones no binarias7. Optimizacin combinatoria8. Programacin no lineal

Herramientas para el Proceso de Validacin de Modelos1. Introduccin2. Ilimitacin3. Soluciones Optimas Mltiples (soluciones ptimas Innumerables)4. No Solucin (PL no-factible)5. Degeneracin6. Redundancia entre las Restricciones7. PL sin Vrtices8. PL con Soluciones Ilimitadas, y Soluciones Optimas Mltiples9. Sobre las Variables de Decisin Bsicas y No-Bsicas10. PL sin Ninguna Solucin Interna11. PL sin Ninguna Solucin Interna, y Limitada12. PL con Puntos Interiores como Soluciones Optimas13. La Solucin Optima Generada por un Paquete de PL no es Obtenidas por Otro14. La Tabla Optima del Simplex Proporciona una Solucin Dual?15. La Conversin a la Forma Estndar Podra Distorsionar la Regin de Factibilidad16. Remover las Restricciones de Igualdad Mediante la Sustitucin Podra Cambiar el Problema17. Interpretacin Errnea del Precio Sombra18. Es el Precio Sombra Siempre no-Negativo?19. Precios Sombra Alternativos20. Situaciones Mas- por- Menos y Menos- por -Mas

Introduccin y ResumenLos problemas de toma de decisiones se pueden clasificar en dos categoras: modelos de decisin determinsticos y modelos de decisin probabilsticos. En los modelos deterministicos, las buenas decisiones se basan en sus buenos resultados. Se consigue lo deseado de manera "deterministica", es decir, libre de riesgo. Esto depende de la influencia que puedan tener los factores no controlables, en la determinacin de los resultados de una decisin y tambin en la cantidad de informacin que el tomador de decisin tiene para controlar dichos factores.Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al problema constante de mejorar (por ejemplo, optimizar) el rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operacin y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable cumpliendo a la vez con las reglamentaciones gubernamentales establecidas, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representacin sinttica o modelo del sistema fsico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas.Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografa es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen. La presin arterial puede utilizarse como un modelo de la salud de una persona. Una campaa piloto de ventas puede utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo producto. Por ltimo, una ecuacin matemtica puede utilizarse como un modelo de la energa contenida en un determinado material. En cada caso, el modelo captura algn aspecto de la realidad que intenta representar.Ya que un modelo slo captura determinados aspectos de la realidad, su uso puede no ser apropiado en una aplicacin en particular porque no captura los elementos correctos de la realidad. La temperatura es un modelo de las condiciones climticas pero puede ser inapropiado si uno est interesado en la presin baromtrica. Una foto de una persona es un modelo de la misma pero brinda poca informacin acerca de sus logros acadmicos. Una ecuacin que predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de produccin por unidad. Por lo tanto, la utilidad del modelo depende del aspecto de la realidad que representa.Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los elementos apropiados de la realidad si lo hace de una manera distorsionada o sesgada. Una ecuacin que pronostica el volumen mensual de ventas puede ser exactamente lo que el gerente de ventas quiere pero podra generar grandes prdidas si arroja constantemente clculos de ventas altos. Un termmetro que lee de ms (o de menos) tendra poca utilidad para realizar un diagnstico mdico. En consecuencia, un modelo til es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisin.Un modelo matemtico es una ecuacin, desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del sistema fsico representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida en las ciencias fsicas, en el campo de la ingeniera, los negocios y la economa.Un modelo ofrece al analista una herramienta que puede manipular en su anlisis del sistema en estudio, sin afectar al sistema en s. Por ejemplo, supngase que se ha desarrollado un modelo matemtico para predecir las ventas anuales como una funcin del precio de venta unitario. Si se conoce el costo de produccin por unidad, se pueden calcular con facilidad las utilidades anuales totales para cualquier precio de venta. Para determinar el precio de venta que arrojar las utilidades totales mximas, se pueden introducir en el modelo distintos valores para el precio de venta, uno a la vez, determinando las ventas resultantes y calculando las utilidades anuales totales para cada valor de precio de venta examinado. Mediante un proceso de prueba y error, el analista puede determinar el precio de venta que maximizar las utilidades anuales totales.Lo ideal sera que si el modelo matemtico es una representacin vlida del rendimiento del sistema, mediante la aplicacin de las tcnicas analticas adecuadas, la solucin obtenida a partir del modelo debera ser tambin la solucin para el problema del sistema. As, la efectividad de los resultados de la aplicacin de cualquier tcnica operativa es en gran medida una funcin del grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio.A fin de definir las condiciones que nos conducirn a la solucin del problema del sistema, el analista primero debe identificar un criterio segn el cual se podr medir el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento del sistema o medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida generalmente se define en trminos de un ndice costo/beneficio.El modelo matemtico que describe el comportamiento de la medida de efectividad se denomina funcin objetivo. Si la funcin objetivo es describir el comportamiento de la medida de efectividad, debe capturar la relacin entre esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida flucte. Las variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisin y parmetros. Una variable de decisin es una variable que puede ser directamente controlada por el decisor. Tambin existen algunos parmetros cuyos valores pueden ser inciertos para el decisor. Esto requiere un anlisis de sensibilidad despus de descubrir la mejor estrategia. En la prctica, resulta casi imposible capturar la relacin precisa entre todas las variables del sistema y la medida de efectividad a travs de una ecuacin matemtica. En cambio, el analista de IO/CA debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lgica la relacin matemtica entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relacin matemtica es la funcin objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio.La formulacin de una funcin objetivo que tenga sentido normalmente es una tarea tediosa y frustrante. Los intentos de desarrollo de una funcin objetivo pueden terminar en un fracaso. Esto puede darse porque el analista elige el conjunto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien, si el conjunto es el adecuado, porque no identifica correctamente la relacin entre estas variables y la medida de efectividad. En un nuevo intento, el analista trata de descubrir las variables adicionales que podran mejorar su modelo descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia. No obstante, slo se puede determinar si estos factores realmente mejoran el modelo una vez realizadas la formulacin y prueba de nuevos modelos que incluyan las variables adicionales. Todo el proceso de seleccin y rechazo de variables puede requerir reiteraciones mltiples hasta desarrollar una funcin objetivo satisfactoria. En cada iteracin, el analista espera lograr alguna mejora en el modelo, aunque no siempre se tiene tanta buena suerte. Por lo general, el xito final es precedido por una serie de fracasos frustrantes y pequeos progresos.En cada etapa del proceso de desarrollo, el analista debe evaluar la correspondencia o validez del modelo. Normalmente se emplean dos criterios para realizar esta determinacin. El primero implica la experimentacin del modelo: someter el modelo a una serie de condiciones y registrar los valores asociados de la medida de efectividad dada por el modelo en cada caso. Si la medida de efectividad vara de manera antinatural con una sucesin de condiciones de entrada, es posible que la funcin objetivo no sea vlida. Por ejemplo, supngase que se desarrolla un modelo destinado a calcular el valor de mercado de viviendas unifamiliares. El modelo debe expresar el valor de mercado en dlares como una funcin de la superficie cubierta en pies cuadrados, cantidad de dormitorios, cantidad de baos y tamao del lote. Despus de desarrollar el modelo, el analista lo aplica a la tasacin de distintas viviendas, con distintos valores para las caractersticas mencionadas y descubre que el valor de mercado desciende a medida que aumenta la superficie cubierta expresada en pies cuadrados. Dado que este resultado no concuerda con la realidad, el analista cuestionara la validez del modelo. Por otro lado, supngase que el modelo es tal que el valor de las viviendas es una funcin creciente de cada una de las cuatro caractersticas citadas, como generalmente es de esperar. Si bien este resultado es alentador, no necesariamente implica que el modelo es una representacin vlida de la realidad, dado que la tasa de aumento de cada variable puede ser excesivamente alta o baja. La segunda etapa de la validacin del modelo requiere una comparacin de los resultados del modelo con los resultados obtenidos en la realidad.

OptimizacinLa humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar la larga bsqueda de fuentes ms efectivas de alimentos al comienzo y luego de materiales, energa y manejo del entorno fsico. Sin embargo, relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuantitativa, primero en palabras y despus en notaciones simblicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales era la bsqueda de lo "mejor" o lo "ptimo". Generalmente, los gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el nivel de rendimiento, es decir, un problema de "bsqueda de objetivo". Cabe destacar que estas palabras normalmente no tienen un significado precisoSe han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto debera escribirse en una expresin matemtica que contenga una o ms variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en trminos generales, es qu valores deberan tener estas variables para que la expresin matemtica tenga el mayor valor numrico posible (maximizacin) o el menor valor numrico posible (minimizacin). A este proceso general de maximizacin o minimizacin se lo denomina optimizacin.La optimizacin, tambin denominada programacin matemtica, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor produccin o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera ms eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas de optimizacin generalmente se clasifican en lineales y no lineales, segn las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes de software para resolver problemas de optimizacin. Por ejemplo, LINDO o WinQSB resuelven modelos de programas lineales y LINGO y What'sBest! resuelven problemas lineales y no lineales.LaProgramacin Matemtica, en general, aborda el problema de determinar asignaciones ptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar la/s que maximiza/n o minimiza/n alguna cantidad numrica tal como ganancias o costos.El objetivo de la optimizacin global es encontrar la mejor solucin de modelos de decisiones difciles, frente a las mltiples soluciones locales.

Programacin Lineal (PL)La programacin lineal muchas veces es uno de los temas preferidos tanto de profesores como de alumnos. La capacidad de introducir la PL utilizando un abordaje grfico, la facilidad relativa del mtodo de solucin, la gran disponibilidad de paquetes de software de PL y la amplia gama de aplicaciones hacen que la PL sea accesible incluso para estudiantes con poco conocimiento de matemtica. Adems, la PL brinda una excelente oportunidad para presentar la idea del anlisis what-if o anlisis de hiptesis ya que se han desarrollado herramientas poderosas para el anlisis de post optimalidad para el modelo de PL.La Programacin Lineal (PL) es un procedimiento matemtico para determinar la asignacin ptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicacin prctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificacin de la produccin. Problemas de transporte, distribucin, y planificacin global de la produccin son los objetos ms comunes del anlisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario ms frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calcul que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informtico de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.La programacin lineal aborda una clase de problemas de programacin donde tanto la funcin objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la dcada del 40. Rara vez una nueva tcnica matemtica encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prcticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo terico tan exhaustivo en un perodo tan corto. Hoy en da, esta teora se aplica con xito a problemas de presupuestos de capital, diseo de dietas, conservacin de recursos, juegos de estrategias, prediccin de crecimiento econmico y sistemas de transporte. Recientemente la teora de la programacin lineal tambin contribuy a la resolucin y unificacin de diversas aplicaciones.Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el trmino "programacin" tiene un significado distinto cuando se refiere a Programacin Lineal que cuando hablamos de Programacin Informtica. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar clculos. La capacitacin en una clase de programacin tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programacin. De hecho, el trmino "programacin lineal" se acu antes de que la palabra programacin se relacionara con el software de computacin. A veces se evita esta confusin utilizando el trmino optimizacin lineal como sinnimo de programacin lineal.Cualquier problema de PL consta de una funcin objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayora de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se dar cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia.Sin deseo, no hay dolor.Puede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?Qu es una funcin:una funcin es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una mquina de moler caf es una funcin que transforma los granos de caf en polvo. La funcin (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado regin factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores mximo y mnimo.Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:1. 1. La funcin objetivo debe serlineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estn elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);2. 2. El objetivo debe serya sea la maximizacin o minimizacinde una funcin lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y3. 3. Lasrestricciones tambin deben ser lineales. . Asimismo, la restriccin debe adoptar alguna de las siguientes formas (,, O =, es decir que las restricciones de PL siempre estncerradas).Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a1. Este problema tan sencillo no tiene solucin.Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimizacin como un problema de PL. El siguiente problema es un problema de PL?Max X2sujeta a:X1 + X20X12- 40Aunque la segunda restriccin parece "como si" fuera una restriccin no lineal, esta restriccin puede escribirse tambin de la siguiente forma:X1-2, y X22.En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.Para la mayora de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamao de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como "producir acero con bajo contenido de carbono", y "producir acero con alto contenido de carbono". Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una funcin objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisin. El problema es determinar la mejor combinacin de niveles de actividades, que no utilice ms recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los das. Afortunadamente, el software de programacin lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado.Elmtodo Simplexes un algoritmo de solucin muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

Proceso de Formulacin de un Problema de PL y su AplicacinPara formular un problema de PL, recomiendo seguir los siguientes lineamientos generales despus de leer con atencin el enunciado del problema varias veces.Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisin, los parmetros, la funcin objetivo y un conjunto de restricciones. Al formular un determinado problema de decisin en forma matemtica, debe practicar lacomprensin del problema (es decir, formular un Modelo Mental)leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formlese las siguientes preguntas generales:1. Cules son las variables de decisin? Es decir, cules con las entradas controlables? Defina las variables de decisin con precisin utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables tambin se conocen como actividades controlables, variables de decisin y actividades de decisin.2. Cules son los parmetros? Vale decir cules son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numricos constantes dados. Defina los parmetros con precisin utilizando nombres descriptivos.3. Cul es el objetivo? Cul es la funcin objetivo? Es decir, qu quiere el dueo del problema? De qu manera se relaciona el objetivo con las variables de decisin del dueo del problema? Es un problema de maximizacin o minimizacin? El objetivo debe representar la meta del decisor.4. Cules son las restricciones? Es decir, qu requerimientos se deben cumplir? Debera utilizar un tipo de restriccin de desigualdad o igualdad? Cules son las conexiones entre las variables? Escrbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemtica.Recuerde que laregin factible tiene poco o nada que ver con la funcin objetivo (minim. o maxim.).Estas dos partes en cualquier formulacin de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La funcin objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la regin factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas limitaciones / condiciones para lograr su objetivo.A continuacin, se incluye un problema ilustrativo muy sencillo. Sin embargo, el abordaje del problema es igual para una gran variedad de problemas de toma de decisin, mientras que el tamao o la complejidad pueden variar. El primer ejemplo es un problema de mix de productos y el segundo es un problema de mezcla.

El Problema del CarpinteroDurante un par desesiones de brain-stormingcon un carpintero (nuestro cliente), ste nos comunica que slo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situacin.Elobjetivoes determinar cuntas mesas y sillas debera fabricar paramaximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrndonos en un horizonte de tiempo, es decir, unplazo de planificacin, , para revisar nuestra solucin semanalmente, si fuera necesario. Para saber ms acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero yobservar lo que sucede y medirlo que necesitamos parapara formular (para crear un modelo de)su problema. Debemosconfirmarque su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.El problema del carpintero se trata de determinar cuntas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer unafuncin objetivoLa funcin objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dlares o dcimas de dlares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmenteprovienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitacin proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitacin proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de produccin requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del da y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son slo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulacin de PL es la siguiente:Maximizar 5 X1 + 3 X2Sujeta a:2 X1 + X240 restriccin de mano de obraX1 + 2 X250 restriccin de materialestanto X1 como X2 son no negativas.Este es unmodelo matemticopara el problema del carpintero. Lasvariables de decisin, es decir, lasentradas controlablesson X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo sonlineales(las variables de decisin estn elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denominadenomina Factores Tecnolgicos (matriz). El perodo de revisin es de una semana, un perodo conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (flucten) lasentradas controlables(todos los parmetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificacin tan corto, debemos realizar elanlisis what-if o de hiptesispara responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos decontrolar el problema, es decir,actualizar la solucin prescripta.Ntese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificacin, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser nmeros enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad tambin se denominan "restricciones implcitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionara bien para este problema si el Carpintero contina fabricando estos productos. Los artculos parciales simplemente se contaran como trabajos en proceso y finalmente se transformaran en productos terminados, en la siguiente semana.Podemos intentarresolverX1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solucin) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologas preferidas (ms eficientes y efectivas), conocidas como lasTcnicas de Soluciones de Programacin Linealestn disponibles en el mercado en ms de 4000 paquetes de software de todo el mundo.Lasolucin ptima, es decir, laestrategia ptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas.Programamoslas actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (ptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Estasolucin prescriptasorprendi al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el sola fabricar ms mesas que sillas.Contratar o no contratar a un ayudante?Supngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, por cuntas horas?X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es:Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3Sujeta a:2 X1 + X240 + X3 restriccin de la mano de obra con horas adicionales desconocidasX1 + 2 X250 restriccin de materialesEn esta nueva condicin, veremos que la solucin ptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos ptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debera contratar a un ayudante por 60 horas. Qu pasara si slo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qu pasara si" (what-if) se estudia en la seccin sobre anlisis de sensibilidad en este sitio Web.

Un Problema de MezclaEl taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulacion. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulacion toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. Joe paga a los mecanicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. Joe desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.Esto es una pregunta de programacin linear. Una porcin de un cambio del aceite o del ajuste no es factible.X1 = Cambios del aceite, ajusteX2 = AjusteMaximizar 7X1 + 15X2Sujeta a:X130 Cuenta De la Flota20X1 + 60X24800 De trabajo tiempo8X1 + 15X21750 Primas MateriasX10, X20.El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formatar el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideracin el coste de trabajo.

Otras Aplicaciones Comunes de PLLa programacin lineal es una herramienta poderosa para seleccionar alternativas en un problema de decisin y por consiguiente se aplica en una gran variedad de entornos de problemas. La cantidad de aplicaciones es tan alta que sera imposible enumerarlas todas. A continuacin, indicamos algunas de las principales aplicaciones que cubren las reas funcionales ms importantes de una organizacin empresarial.Finanzas:el problema del inversor podra ser un problema de seleccin del mix de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas ms restricciones distintas. Otro problema de decisin implica determinar la combinacin de mtodos de financiacin para una cantidad de productos cuando existe ms de un mtodo de financiacin disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del mtodo de financiacin. Por ejemplo, se puede financiar con fondos internos, con deuda a corto plazo o con financiacin intermedia (crditos amortizados). Puede haber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de financiacin, as como tambin restricciones financieras que exijan determinadas relaciones entre las opciones de financiacin a los efectos de satisfacer los trminos y condiciones de los prstamos bancarios o financiacin intermedia. Tambin puede haber lmites con respecto a la capacidad de produccin de los productos. Las variables de decisin seran la cantidad de unidades que deben ser financiadas por cada opcin de financiacin.Administracin de Produccin y Operaciones:muchas veces en las industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefaccionar y distintas clases de aceite para motor. Segn el margen de ganancia actual de cada producto, el problema es determinar la cantidad que se debera fabricar de cada producto. Esta decisin est sujeta a numerosas restricciones tales como lmites de las capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima, demandas de cada producto y polticas gubernamentales con respecto a la fabricacin de determinados productos. En la industria de productos qumicos y de procesamiento de alimentos existen problemas similares.Recursos Humanos:los problemas de planificacin de personal tambin se pueden analizar con programacin lineal. Por ejemplo, en la industria telefnica, la demanda de servicios de personal de instalacin / reparacin son estacionales. El problema es determinar la cantidad de personal de instalacin / reparacin y reparacin de lneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada mes a fin de minimizar los costos totales de contratacin, despido, horas extras y salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra, acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para contratar. Este ejemplo es opuesto a la hiptesis de divisibilidad. Sin embargo, los niveles de fuerza laboral de cada mes normalmente son lo suficientemente altos como para poder redondear al nmero entero ms cercano sin problemas, siempre y cuando no se violen las restricciones.Marketing:se puede utilizar la programacin lineal para determinar el mix adecuado de medios de una campaa de publicidad. Supngase que los medios disponibles son radio, televisin y diarios. El problema es determinar cuntos avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocacin de un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la campaa publicitaria, sujeto a una serie de restricciones. Dado que cada medio puede proporcionar un grado diferente de exposicin a la poblacin meta, puede haber una cota inferior con respecto a la exposicin de la campaa. Asimismo, cada medio puede tener distintos ratings de eficiencia para producir resultados deseables y por consiguiente puede haber una cota inferior con respecto a la eficiencia. Adems, puede haber lmites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio.Distribucin:otra aplicacin de programacin lineal es el rea de la distribucin. Considere un caso en el que existen m fbricas que deben enviar productos a n depsitos. Una determinada fbrica podra realizar envos a cualquier cantidad de depsitos. Dado el costo del envo de una unidad del producto de cada fbrica a cada depsito, el problema es determinar el patrn de envo (cantidad de unidades que cada fbrica enva a cada depsito) que minimice los costos totales. Este decisin est sujeta a restricciones que exigen que cada fbrica no pueda enviar ms productos de los que tiene capacidad para producir.

Mtodo de Solucin GrficaDado que somos una especie visual (especialmente la cultura estadounidense), debido a nuestro sistema educativo, muchas de las herramientas de enseanza escolar utilizadas en la actualidad son de naturaleza grfica. Les enseamos a leer mostrndoles figuras de las cosas. Les enseamos a contar mostrndoles el orden de los nmeros. En consecuencia, nuestros receptores visuales se agudizan a expensas de otras funciones cognitivas. Tambin he descubierto que las personas de negocios responden mejor a los grficos y a los cuadros que a los nmeros.Procedimiento para el Mtodo Grfico de Solucin de Problemas de PL:1. El problema es un problema de PL? La respuesta es afirmativa si y slo si:Todas las variables estn elevadas a la primera potencia y son sumadas o restadas (no dividas ni multiplicadas). La restriccin debe adoptar alguna de las siguientes formas (,, o =, es decir que las restricciones de PL siempre estn cerradas), y el objetivo debe ser de maximizacin o minimizacin.Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a. Este problema tan sencillo no tiene solucin.2. Puedo utilizar el mtodo grfico? La respuesta es afirmativa si la cantidad de variables de decisin es 1 o 2.3. Utilice papel milimetrado. Grafique cada restriccin, una por una, como si fueran igualdades (como si todoy, es = ) y luego trace la lnea.4. A medida que se crea cada lnea, divida la regin en 3 partes con respecto a cada lnea. Para identificar la regin factible para esta restriccin en particular, elija un punto en cualquier lado de la lnea y coloque sus coordenadas en la restriccin, si satisface la condicin, este lado es factible, de lo contrario el otro lado es factible. En el caso de restricciones de igualdad, slo los puntos sobre la lnea son factibles.5. Elimine los lados que no son factibles.Una vez graficadas todas las restricciones, debe generarse una regin factible no vaca (convexa), salvo que el problema sea no factible.6. Cree (como mnimo) dos lneas de igual valor desde la funcin objetivo, fijando la funcin objetivo en dos nmeros distintos cualquiera. Grafique las lneas resultantes. Al mover estas lneas paralelas, encontrar el vrtice ptimo (punto extremo), si es que existe.En general, si la regin factible se encuentra dentro del primer cuadrante del sistema de coordenadas (es decir si X1 y X20), entonces, para los problemas de maximizacin, usted debe mover la funcin objetivo de igual valor (funcin iso) paralela a s mismalejos del punto de origen(0, 0), como mnimo, teniendo a la vez un punto en comn con la regin factible. Sin embargo, para los problemas de minimizacin, debe realizar lo opuesto, es decir, mover la funcin objetivo de igual valor (funcin iso) paralela a s mismaacercndola al punto de origen, a su vez teniendo como mnimo un punto en comn con la regin factible. El punto comn proporciona la solucin ptima.Recuerde que las restricciones de PL proporcionan los vrtices y las esquinas.Un vrticees la interseccin de 2 lneas o en general, n hiperplanos en problemas de PL con n variables de decisin.Una esquinaes un vrtice que adems es factible.Un Ejemplo Numrico: El Problema del CarpinteroMaximizar 5 X1 + 3 X2Sujeta a:2 X1 + X240X1 + 2 X250and both X1, X2 are non-negative.

Nota:Existe una alternativa del abordaje de la funcin objetivo de igual valor (funcin iso) con problemas que tienen pocas restricciones y una regin factible acotada. Primero busque todas las esquinas, tambin llamadas puntos extremos. Luego, evale la funcin objetivo en los puntos extremos para llegar al valor ptimo y a la solucin ptima.Por ejemplo, en el problema del carpintero, la regin factible convexa proporciona los puntos extremos con las coordenadas que figuran en la siguiente Tabla:Valor de la Funcin Objetivo en cada Esquina o Punto Extremo

Elecciones del DecisorCoordenadas de los Puntos ExtremosFuncin de los Ingresos Netos

Cantidad de Mesas o SillasX1, X25 X1 + 3 X2

No fabricar ninguna mesa ni silla0, 00

Fabricar todas la mesas posibles20, 0100

Fabricar todas las sillas posibles0, 2575

Fabricar una combinacin de productos10, 20110

Dado que el objetivo es maximizar, de la tabla anterior surge que el valor ptimo es 110, el cual se obtiene si el carpintero sigue la estrategia ptima de X1 = 10 y X2 = 20.La principal deficiencia del mtodo grfico es que se limita a resolver problemas lineales que tengan slo 1 o 2 variables de decisin. Sin embargo, la conclusin principal y til a la que podemos arribar a partir del anlisis de los mtodos grficos es la siguiente:Si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los puntos extremos..La prueba de esta afirmacin surge de los resultados de los siguientes dos hechos:Hecho N 1:La regin factible de cualquier programa lineal es siempre un conjunto convexo.Debido a que todas las restricciones son lineales, la regin factible (R.F.) es un polgono. Adems, este polgono es un conjunto convexo. En cualquier problema de PL que tenga ms de dos dimensiones, los lmites de la regin factible son partes de los hiperplanos, y la regin factible en este caso se denomina poliedro y tambin es convexa. Un conjunto convexo es aquel en el cual si se eligen dos puntos factibles, todos los puntos en el segmento de la lnea recta que une estos dos puntos tambin son factibles. La prueba de que la regin factible de los programas lineales son siempre conjuntos convexos surge por contradiccin. Las siguientes figuras ilustran ejemplos de los dos tipos de conjuntos: un conjunto no convexo y un conjunto convexo.

El conjunto de la regin factible en cualquier programa lineal se denominapoliedroy si est acotado se denominapolitopo.Hecho N 2:El valor iso de una funcin objetivo de un programa lineal es siempre una funcin lineal.Este hecho surge de la naturaleza de la funcin objetivo de cualquier problema de PL. Las siguientes figuras ilustran las dos clases tpicas de funciones objetivo de igual valor (funcin iso).

De la combinacin de los dos hechos expresados arriba surge que si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los puntos extremos.Para superar la deficiencia del mtodo grfico, utilizaremos esta conclusin til y prctica en el desarrollo de un mtodo algebraico aplicable a problemas de PL multidimensionales.La convexidad de la regin factible de los programas lineales facilita la resolucin de problemas de PL. Debido a esta propiedad y a la linealidad de la funcin objetivo, la solucin es siempre uno de los vrtices. Asimismo, dado que la cantidad de vrtices es limitada, todo lo que debemos hacer es buscar todos los vrtices factibles y luego evaluar la funcin objetivo en dichos vrtices para encontrar el punto ptimo.En el caso de programas no lineales, el problema es mucho ms difcil de resolver porque la solucin podra estar en cualquier parte dentro de la regin factible, en el lmite de la regin factible o en un vrtice.Por suerte, la mayora de los problemas de optimizacin empresarial son lineales y es por eso que la PL es tan popular. Hoy en da, existen ms de 400 paquetes de software en el mercado para resolver problemas de PL. La mayora se basa en la bsqueda de vrtices. Esto equivale a pasar de un vrtice a otro cercano en busca de un punto ptimo.

Vnculo entre Programacin Lineal y Sistemas de EcuacionesGeorge Dantzig la programacin lineal es estrictamente "la teora y la solucin de sistemas lineales de desigualdad". Probablemente ya ha notado que las soluciones bsicas de un programa lineal son las soluciones de los sistemas de ecuaciones que constan de restricciones en una posicin obligatoria.Por ejemplo, en el caso del Problema del Carpintero, se pueden calcular todas las soluciones bsicas, tomando dos ecuaciones cualquiera y resolvindolas al mismo tiempo. Luego, se utilizan las restricciones de las otras ecuaciones para verificar la factibilidad de esta solucin. Si es factible, esta solucin es una solucin bsica factible que proporciona las coordenadas de un punto extremo de la regin factible. Para ilustrar el procedimiento, considere las restricciones del Carpintero en la posicin obligatoria (es decir todas con signo =):2X1 + X2 = 40X1 + 2X2 = 50X1 = 0X2 = 0Aqu tenemos 4 ecuaciones con 2 incgnitas. Existen como mximo C42= 4! / (2! 2!) = 6 soluciones bsicas. Si resolvemos los seis sistemas de ecuaciones resultantes tenemos:Seis Soluciones Bsicas con Cuatro Soluciones Bsicas FactiblesX1X25X1 + 3X2

1020110*

040No factible

200100

02575

500No factible

000

Cuatro de las soluciones bsicas que figuran arriba son soluciones bsicasfactiblesque satisfacen todas las restricciones y pertenecen a los vrtices de la regin factible. Al incluir la solucin bsica factible en la funcin objetivo, podemos calcular el valor ptimo. Entonces, de la tabla anterior surge que la solucin ptima es X1 = 10, X2 = 20, con un valor ptimo de US$110. Este abordaje puede aplicarse para resolver problemas de PL de ms dimensiones.

Extensin a Mayores DimensionesEl Mtodo Grfico se limita a resolver problemas de PL con una o dos variables de decisin. Sin embargo, proporciona una clara ilustracin de dnde se encuentran las regiones factibles y no factibles as como tambin los vrtices. Desarrollar una comprensin visual del problema contribuye a un proceso de pensamiento ms racional. Por ejemplo, ya vimos que: si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los vrtices de su regin factible (una esquina o punto extremo). Como resultado, lo que debemos hacer es buscar todos los puntos de interseccin (vrtices) y luego examinar cul de todos los vrtices factibles proporciona la solucin ptima. Ahora, aplicando conceptos de Geometra Analtica, sortearemos esta limitacin de la visin humana. El Mtodo Algebraico est diseado para extender los resultados del mtodo grfico a problemas de PL multidimensionales, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo numrico.Ejemplo Numrico: el Problema del TransporteEl objetivo es encontrar la manera ms efectiva de transportar productos. La siguiente tabla presenta un resumen de la oferta y la demanda en cada origen (por ejemplo: el depsito) O1, O2 y destino (por ejemplo: el mercado) D1 y D2, junto con el costo unitario de transporte.Matriz de Costo Unitario de Transporte

D1D2Oferta

O12030200

O21040100

Demanda150150300

Xij representa la cantidad de productos enviados desde el origen i hasta el destino j. La formulacin de PL del problema de minimizacin del costo total de transporte es la siguiente:Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22Sujeta a:X11 + X12 = 200X21 + X22 = 100X11 + X21 = 150X12 + X22 = 150todas Xij0Como este problema de transporte es equilibrado (oferta total = demanda total) todas las restricciones estn en forma de igualdad. Adems, cualquiera de las restricciones es redundante (si se suman dos restricciones cualquiera y se resta otra obtenemos la restriccin restante). Borremos la ltima restriccin. El problema entonces queda as:Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22Sujeta a:X11 + X12 = 200X21 + X22 = 100X11 + X21 = 150todas Xij0Este problema de PL no se puede resolver mediante el mtodo grfico. Sin embargo, el mtodo algebraico no tiene ninguna limitacin con respecto a la dimensin de PL. Ntese que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisin restringidas. Fijando cualquiera de las variables en cero obtenemos:X11X12X21X22Costo Total de Transporte

0200150-50

No factible

2000-50150No factible

1505001008500

5015010006500*

Ahora poniendo cualquier y dos (o ms) las variables para poner cero de a, es fcil de ver, inspeccionando las tres ecuaciones que todas las otras soluciones son no factible.Por lo tanto, la estrategia ptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con un costo total de transporte mnimo de US$6.500.Si lo desea, puede resolver este problema con Modul Net.Exe en el paquete WinQSB para verificar estos resultados.Para obtener una versin ms detallada del Mtodo Algebraico, visite el sitioToward the Simplex Method

Conceptos y Tcnicas de Aprendizaje Asistidos por ComputadoraDebemos ser precavidos al cuestionar nuestra intuicin y demostrar porqu debemos aprender mediante un instrumento que en este curso es un paquete de software. Todos los alumnos de Fsica y Qumica realizan experimentos en los laboratorios para conocer bien los temas de estos dos campos de estudio. Usted tambin debe realizar experimentos para comprender los conceptos de la Ciencia de Administracin. Por ejemplo, debe utilizar paquetes de software para realizar anlisiswhat-ifo de hiptesis. El software le permite observar los efectos de la variacin de los valores dados.Los programas lineales reales siempre se resuelven por computadora. Por lo general las computadoras utilizan el mtodo simplex para llegar a las soluciones. Los coeficientes de la funcin objetivo se denominan coeficientes de costos (porque histricamente durante la Segunda Guerra Mundial, el primer problema de PL fue un problema de minimizacin de costos), coeficientes tecnolgicos y valores RHS (o valores del lado derecho). Esta es la manera perfecta de aprender conceptos del anlisis de sensibilidad. Como usuario, usted puede darse el lujo de ver resultados numricos y compararlos con lo que usted espera ver.El paquete LINDO es un software muy utilizado para problemas de PL. Se puede bajar una versin para Windows gratuita en la pgina Home de LINDO enLINDO, http://www.lindo.com. En este sitio se explica como ejecutar e interpretar los resultados del paquete LINDO.Precaucin! Antes de utilizar cualquier software, verifique que sea confiable.Aqu encontrar una Gua de Software de PL para su revisin:LP Software Guide.

Cmo Interpretar los Resultados del Paquete de Software LINDOEn este curso, utilizamos paquetes de software con dos objetivos distintos. Queremos realizar muchosexperimentos numricosutilizando paquetes de software como herramientas para resolver muchos problemas a fin dever por nosotros mismos, y comprender todos los conceptos tericos (como por ejemplo, los precios sombra) contenidos en los temas del curso. Esto comprende tambin las herramientas de computacin disponibles en la Web. Por ltimo, aprendemos a usar e interpretar los resultados de los paquetes de software a fin deresolver problemas prcticos de gran tamao.Lindo es un paquete de software muy popular que resuelve problemas lineales. La aplicacin LP/ILP de WinQSB realiza las mismas operaciones que Lindo pero de una manera mucho ms fcil de usar.El nombre LINDO es la abreviatura en ingls deLinearINteractiveDiscreteOptimization (Optimizacin Lineal Discreta e INteractiva). Aqu la palabra "discreta" significa pasar de una solucin factible bsica a la siguiente en lugar de desplazarse por toda la regin factible en busca de la solucin bsica factible ptima (si la hubiere).Al igual que todos los paquetes de PL, tal como WinQSB, Lindo emplea el mtodo simplex. Junto con la solucin del problema, el programa tambin proporciona un anlisis comn de sensibilidad de los Coeficientes de la Funcin Objetivo (denominados Coeficientes de Costos) y el RHS de las restricciones. A continuacin, presentamos una explicacin de los resultados del paquete LINDO.Supngase que usted desea correr el Problema del Carpintero. Inicie el paquete LINDO (o WinQSB). Desde el teclado escriba lo siguiente en la venta actual:MAX 5X1 + 3X2S.T. 2X1 + X240X1 + 2X250End{MAX 5X1 + 3X2, Sujeta a 2X1 + X240 X1 + 2X250, Fin }NOTA:1. La funcin objetivo no debera contener ninguna restriccin. Por ejemplo, no se puede ingresar Max 2X1 + 5.2. Todas las variables deben aparecer en el lado izquierdo de las restricciones, mientras que los valores numricos deben aparecer en el lado derecho de las restricciones (es por eso que a estos nmeros se los denomina valores RHS o valores del lado derecho).3. Se presupone que todas las variables son no negativas. No ingrese las condiciones de no negatividad.Si desea obtener todas Tablas Simplex, entonces Haga clic en "Reports" (Informes) y luego elija "Tableau" (Tabla), luego haga clic en "Solve" (Resolver) y elija "Pivot" haga clic en "OK" (Aceptar), "Close" (Cerrar), "Cancel" (Cancelar), contine de esta manera hasta que aparezca el mensaje "Do? Range (Sensitivity) Analysis" (Desea realizar un anlisis de rango [de sensibilidad]?). Seleccione "Yes" (S), si lo desea. Despus de minimizar la ventana actual, ver el resultado que puede imprimir para su anlisis gerencial. De lo contrario, haga clic en "Solve" (Resolver), y luego elija "Solve" (Resolver).Es conveniente copiar el problema de PL de la primera ventana y luego pegarlo en la parte superior de la pgina de resultado.En la parte superior de la pgina aparece la tabla inicial y a lo largo de la parte superior de la tabla figuran las variables. La primera fila de la tabla es la funcin objetivo. La segunda fila es la primera restriccin. La tercera fila es la segunda restriccin y as sucesivamente hasta enumerar todas las restricciones en la tabla.Despus de la tabla inicial aparece un enunciado que indica la variable de entrada y la variable de salida. La variable de salida est expresada como la fila donde se colocar la variable de entrada. Luego se imprime la primera tabla de iteraciones. Se sigue ingresando sentencias y continan las iteraciones de la tabla continan hasta llegar a la solucin ptima.La siguiente sentencia, `LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2' (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 2) indica que se encontr la solucin ptima en la iteracin 2 de la tabla inicial. Inmediatamente debajo aparece el ptimo del valor de la funcin objetivo. Este es el dato ms importante que le interesa a todo gerente.Muchas veces, aparecer un mensaje que lo sorprender: "LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0" (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 0). Cmo puede ser paso 0? No es necesario primero desplazarse para encontrar un resultado...? Este mensaje es muy confuso. Lindo lleva un registro en su memoria de todas la actividades previas realizadas antes de resolver cualquier problema que usted ingrese. Por lo tanto, no muestra exactamente cuntas iteraciones fueron necesarias para resolver el problema en cuestin. A continuacin presentamos una explicacin detallada y una solucin para saber con exactitud la cantidad de iteraciones: Supngase que usted corre el problema ms de una vez o resuelve un problema similar. Para saber cuntas iteraciones lleva realmente resolver un problema en particular, debe salir de Lindo y luego reingresar, volver a escribir y a presentar el problema. De esta manera aparecer la cantidad exacta de vrtices (excluyendo el origen) visitados para llegar a la solucin ptima (si es que existe) en forma correcta.Despus de esto sigue la solucin del problema, es decir la estrategia para fijar las variables de decisin a fin de lograr el valor ptimo antes mencionado. Esto aparece con una columna de variables y una columna de valores. La columna de valores contiene la solucin del problema. La reduccin de costos asociada con cada variable se imprime a la derecha de la columna de valores. Estos valores se toman directamente de la tabla simplex final. La columna de valores proviene del RHS. La columna de reduccin de costos proviene directamente de la fila indicadora.Debajo de la solucin, aparecen los valores de las variables de holgura / excedente de la tabla final. Los valores de las variables de holgura / excedente para la solucin final figuran en la columna `SLACK OR SURPLUS' (HOLGURA O EXCEDENTE). Los precios sombra relacionados aparecen a la derecha. Recuerde: Holgura representa la cantidad que sobra de un recurso y Excedente representa el exceso de produccin.La restriccin obligatoria se puede encontrar buscando la variable de holgura / excedente con el valor de cero. Luego, examine cada restriccin para encontrar la que tenga slo esta variable especificada. Otra manera de expresar esto es buscar la restriccin que exprese igualdad en la solucin final.Debajo, aparece el anlisis de sensibilidad de los coeficientes de costos (es decir de los coeficientes de la funcin objetivo). Cada parmetro de coeficiente de costos puede variar sin afectar la solucin ptima actual. El valor actual del coeficiente se imprime junto con los valores de lmite superior e inferior permitidos para que la solucin siga siendo ptima.Debajo aparece el anlisis de sensibilidad para el RHS. La columna de "filas" imprime el nmero de fila del problema inicial. Pro ejemplo, la primera fila impresa ser la dos porque la fila uno es la funcin objetivo. La primera restriccin es la fila dos. El RHS de la primera restriccin est representado por la fila dos. A la derecha, aparecen los valores para los cuales el valor RHS puede cambiar manteniendo la validez de los precios sombra.Ntese que en la tabla simplex final, los coeficientes de las variables de holgura / excedente en la fila objetivo proporcionan la unidad del valor del recurso. Estos nmeros se denominan precios sombra o precios duales. Debemos tener cuidado al aplicar estos nmeros. Slo sirven para pequeos cambios en las cantidades de recursos (es decir, dentro de los rangos de sensibilidad del RHS).Cmo crear condiciones de no negatividad (variables libres): Por omisin, prcticamente todos los paquetes de software de resolucin de problemas de PL (como por ejemplo LINDO) presuponen que todas las variables son no negativas.Para cumplir con este requerimiento, convierta cualquier variable no restringida Xj en dos variables no negativas reemplazandocadaXj por y - Xj. Esto aumenta la dimensionalidad del problema slo en uno (introducir una variable y) independientemente de cuntas variables sean no restringidas.Si cualquier variable Xj est restringida a ser no positiva, reemplace cada Xj por - Xj. Esto reduce la complejidad del problema.Resuelva el problema convertido y luego vuelva a ingresar los valores de las variables originales.Ejemplos NumricosMaximizar -X1sujeta a:X1 + X20,X1 + 3X23.El problema convertido es:Maximizar -y + X1sujeta a:-X1 - X2 + 2y0,-X1 - 3X2 + 4y3,X10,X20,and y0.La solucin ptima para las variables originales es: X1 = 3/2 - 3 = -3/2, X2 = 3/2 - 0 = 3/2, con valor ptimo de 3/2.Para detalles acerca de los algoritmos de solucin, visite el sitio WebArtificial-Free Solution Algorithms, ejemplo N 7.

Implementaciones de Computacin con el Paquete WinQSBUtilice el mdulo LP/ILP de su paquete WinQSB para cumplir dos objetivos: resolver grandes problemas y realizar experimentos numricos para comprender los conceptos presentados en las secciones LP y ILP.Tipo de variable:seleccione el tipo de variable desde la pantalla "Problem Specification" (Especificacin del Problema) (la primera pantalla que aparece al ingresar un nuevo problema); para programacin lineal, utilice la opcin predeterminada "Continuous" (Continua).Formato de datos de entrada:seleccione el formato de datos de entrada desde la pantalla "Problem Specification" (Especificacin del Problema). Normalmente, es preferible utilizar el formato Matrix (Matriz) para ingresar los datos. En el formato Normal, el modelo aparece ya ingresado. Este formato puede ser ms conveniente cuando se debe resolver un problema grande con muchas variables. Puede desplazarse por los formatos seleccionando el botn "Switch to the" (Cambiar a ...) del men Format (Formato).Identificacin de Variables / Restricciones:es conveniente cambiar los nombres de las variables y las restricciones para facilitar la identificacin del contexto que representan. Los nombres de las variables y las restricciones se pueden cambiar desde el men Edit (Edicin).Autoajuste de ancho de columnas (Best Fit):Con el botn "best fit" del men Format (Formato) cada columna puede tener su propio ancho.Resolver buscando la solucin ptima (si es que existe):Seleccione "Solve the problem" (Resolver el problema) desde el men "Solve and Analyze" (Resolver y Analizar), o utilice el cono "Solve" (Resolver) que se encuentra en la parte superior de la pantalla. Esto genera un "Combined Report" (Informe Combinado) que brinda la solucin y los resultados adicionales (reduccin de costos, rangos de optimalidad, holgura / excedente, rango de factibilidad y precios sombra).Resolver mediante el Mtodo Grfico:seleccione el mtodo grfico desde el men "Solve and Analyze" (Resolver y Analizar) (slo se puede utilizar para problemas de dos variables). Tambin puede hacer clic en el cono Graph (Grfico) en la parte superior de la pantalla. Puede ajustar los rangos X-Y despus de resolver el problema y de que aparezca el grfico. Elija el men Option (Opcin) y seleccione los nuevos rangos desde la lista desplegable.Soluciones Optimas Alternas (si es que existen):despus de resolver el problema, si aparece un mensaje que le informa: "Alternate solution exists!!" (Existe una solucin alterna!!), para ver todas las soluciones ptimas de los puntos extremos elija el men Results (Resultados) y luego seleccione "Obtain alternate optimal" (Obtener ptimo alterno). Visite tambin la seccin Soluciones Mltiples de este sitio Web para ver algunas advertencias.Notas:Utilice el archivo de Ayuda ("Help") del paquete WinQSB para aprender cmo funciona.Para ingresar problemas en el software QSB; para una restriccin tal como X1 + X250, el coeficiente es 1 y debe ingresarse de esta manera en el software. Para cualquier variable que no se utilice en esa restriccin en particular (por ejemplo si el problema tuviera X3 pero no fuera parte de la restriccin mencionada) simplemente deje la celda en blanco para esa restriccin.Puede cambiar la direccin de una restriccin haciendo clic en la celda.Para construir el dual de un determinado problema, haga clic en Format (Formato), luego seleccione "Switch to the Dual Form" (Cambiar a la forma dual).

Cmo Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Utilizando un Software de PL?Ya dijimos que en el Mtodo Algebraico de resolucin de problemas de PL, debemos resolver algunos sistemas de ecuaciones. Por consiguiente, existe un vnculo entre los paquetes de software para resolver problemas de PL y aquellos que sirven para resolver sistemas de ecuaciones. Supngase que tenemos un sistema de ecuaciones muy grande que queremos resolver y tenemos un paquete de software de resolucin de problemas de PL pero no tenemos ningn paquete de resolucin de sistemas de ecuaciones. La pregunta es "Cmo se puede utilizar un paquete de software de PL para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones?" Los siguientes pasos esbozan el proceso de resolucin de cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante un paquete de resolucin de problemas de PL.1- Debido a que los paquetes de resolucin de problemas de PL requieren que todas las variables sean no negativas, por cada variable substituya Xi = Yi - T en todas partes.2- Cree un objetivo artificial, como por ejemplo minimizar T3- Las restricciones del problema de PL son las ecuaciones del sistema despus de las sustituciones mencionadas en el paso 1.Ejemplo numrico: resolver el siguiente sistema de ecuaciones2X1 + X2 = 3X1 -X2 = 3Dado que el paquete WinQSB acepta PL en diversos formatos (a diferencia de LINDO), la resolucin del problema utilizando WinQSB es sencilla:Primero, cree una PL con un objetivo artificial como por ejemplo Max X1, sujeta a 2X1 + X2 = 3, X1 - X2 = 3, y tanto X1 como X2 sin restriccin de signo. Luego, ingrese esta PL en el mdulo LP/ILP para arribar a la solucin.Si usted utiliza un paquete de software de PL que requiere que todas las variables sean no negativas, primero substituya X1 = Y1 - T y X2 = Y2 - T en ambas ecuaciones. Tambin necesitamos una funcin objetivo. Fijemos una funcin objetivo artificial como por ejemplo minimizar T. El resultado es la siguiente PL:Min TSujeta a:2Y1 + Y2 - 3T = 3,Y1 - Y2 = 3.Utilizando cualquier software de PL, como Lindo o WinQSB, llegamos a la solucin ptima Y1 = 3, Y2 = 0, T = 1. Ahora, sustituya esta solucin de PL en ambas transformaciones X1 = Y1 - T y X2 = Y2 - T. Esto nos da los valores numricos para nuestras variables originales. Por ende, la solucin del sistema de ecuaciones es X1 = 3 - 1 = 2, X2 = 0 - 1 = -1, la cual se puede verificar fcilmente.

Problema Dual: Construccin y SignificadoAsociado a cada problema (primario) de PL existe un problema correspondiente denominado problema dual. La siguiente clasificacin de las restricciones de las variables de decisin resulta til y fcil de recordar para construir el problema dual.------------------------------------------------------------------------------Construccin del Problema DualObjetivo: Max (por ejemplo las utilidades)

Tipos de restricciones:

una restriccin usual

= una restriccin limitada (estricta)

una restriccin inusual

Objetivo: Min (por ejemplo los costos)

Tipos de restricciones:

una restriccin usual

= una restriccin limitada (estricta)

una restriccin inusual

Tipos de variables:

0 una condicin usual

... sin restriccin de signo

0 una condicin inusual

---------------------------------------------------------------------------Existe una correspondencia uno a uno entre el tipo de restriccin y el tipo de variable utilizando esta clasificacin de restricciones y variables tanto para los problemas primarios como los duales.Construccin de Problemas Duales:- Si el problema primario es un problema de maximizacin, entonces su problema dual es un problema de minimizacin (y viceversa).- Utilice el tipo de variable de un problema para determinar el tipo de restriccin del otro problema.- Utilice el tipo de restriccin de un problema para determinar el tipo de variable del otro problema.-Los elementos RHS de un problema se transforman en los coeficientes de la funcin objetivo del otro problema (y viceversa).- Los coeficientes de la matriz de las restricciones de un problema son la transposicin de los coeficientes de la matriz de las restricciones del otro problema.Puede verificar las reglas de construccin del problema dual utilizando su paquete WinQSB.Ejemplos Numricos:Considere el siguiente problema primario:min x1 - 2x2sujeta a:x1 + x22,x1 - x2-1,x23,x1, x20.Siguiendo la regla de construccin antes mencionada, el problema dual es:max 2u1 - u2 + 3u3sujeta a:u1 + u21,u1 - u2 + u3-2,u10,u20,u30El Problema Dual del Problema del Carpintero:Maximizar 5X1 + 3X2sujeta a:2X1 + X240X1 + 2X250X10X20El problema dual es:Minimizar 40U1 + 50U2Sujeta a:2U1 + U25U1 + 2U23U10U20Aplicaciones:usted puede utilizar la dualidad en una amplia gama de aplicaciones tales como:- En algunos casos, puede ser ms eficiente resolver el problema dual que el primario.- La solucin dual proporciona una interpretacin econmica importante tal como los precios sombra (es decir, los valores marginales de los elementos RHS) que son los multiplicadores Lagrangianos que demuestran una cota (estricta) del valor ptimo del problema primario y viceversa. Histricamente, el precio sombra se defini como la mejora en el valor de la funcin objetivo por aumento unitario en el lado derecho, porque el problema generalmente adoptaba la forma de una mejora de maximizacin de utilidades (es decir, un aumento). El precio sombra puede no ser el precio de mercado. El precio sombra es por ejemplo el valor del recurso bajo la "sombra" de la actividad comercial. Se puede realizar unanlisis de sensibilidad,es decir un anlisis del efecto de pequeas variaciones en los parmetros del sistema sobre las medidas de produccin, calculando las derivadas de las medidas de produccin con respecto al parmetro.- Si una restriccin en un problema no es obligatoria (en otras palabras, el valor LHS o valor del lado izquierdo) concuerda con el valor RHS), la variable asociada en el problema es cero. De manera inversa, si una variable de decisin en un problema no es cero, la restriccin asociada en el otro problema es obligatoria. A estos resultados se los conoce como Condiciones Complementarias de Holgura.- Obtener el rango de sensibilidad del RHS de un problema partiendo del rango de sensibilidad del coeficiente de costos del otro problema y viceversa.Para ms detalles y ejemplos numricos, lea los siguientes artculos:A. Benjamin, Sensible Rules for Remembering Duals_ S-O-B Method,SIAM Review, 37, 85-87, 1995.H. Arsham, An Artificial-Free Simplex Algorithm for General LP Models,Mathematical and Computer Modelling, 25, 107-123, 1997.

El Problema Dual del Problema del Carpintero y su InterpretacinEn esta seccin, construiremos el Problema Dual del Problema del Carpintero y presentaremos la interpretacin econmica del mismo.Recordemos los parmetros de entrada no controlables del Problema del Carpintero:Datos de entrada no controlables

MesasSillasDisponible

Mano de obra2140

Materia prima1250

Ingresos netos53

Y su formulacin de PLMaximizar 5 X1 + 3 X2Sujeta a:2 X1 + X240 restriccin de mano de obraX1 + 2 X250 restriccin de materialestanto X1 como X2 son no negativas.Donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas a fabricar.Supngase que el Carpintero desea contratar un seguro para sus ingresos netos. Digamos que:U1 = el monto en dlares pagadero al Carpintero por cada hora de trabajo perdida (por enfermedad, por ejemplo),U2 = el monto en dlares pagadero al Carpintero por cada unidad de materia prima perdida (por incendio, por ejemplo).Por supuesto que el corredor de seguros intenta minimizar el monto total de US$(40U1 + 50U2) pagadero al Carpintero por la Compaa de Seguros. Sin embargo, como es de esperar, el Carpintero fijar las restricciones (es decir las condiciones) para que la compaa de seguros cubra toda su prdida que equivale a sus ingresos netos debido a que no puede fabricar los productos. En consecuencia, el problema de la compaa de seguros es:Minimizar 40 U1 + 50 U2Sujeta a:2U1 + 1U25 ingresos netos por una mesa1U1 + 2U23 ingresos netos por una sillaU1, U2 son no negativas.Si implementa este problema en un paquete de software, ver que la solucin ptima es U1 = US$7/3 y U2 = US$1/3 con el valor ptimo de US$110 (el monto que el Carpintero espera recibir). Esto asegura que el Carpintero pueda manejar su vida sin inconvenientes. El nico costo es la prima que le cobra la compaa de seguros.Como puede ver, el problema de la compaa de seguros est estrechamente relacionado con el problema original.Segn la terminologa del proceso de diseo de modelos de IO/CA, el problema original se denomina Problema Primario mientras que el problema relacionado se denomina Problema DualTal como vimos en el Problema del Carpintero y su Problema Dual, el Valor Optimo es siempre el mismo para ambos problemas. Esto se denominaEquilibrio Econmicoentre el Problema Primario y el Problema Dual.Errores de Redondeo cometido por los Gerentes:tenga cuidado siempre que redondee el valor de los precios sombra. Por ejemplo, el precio sombra de la restriccin de recursos en el problema anterior es 8/3, por ende, si usted desea comprar ms de este recurso, no debera pagar ms de US$2.66. Sin embargo, siempre que usted quiera vender cualquier unidad de este recurso, no debera hacerlo a un precio inferior a US$2.67.Podra darse un error similar si usted redondea en los lmites de los rangos de sensibilidad. Como siempre, hay que prestar atencin porque el lmite superior e inferior deben redondearse para abajo y para arriba, respectivamente.

Clculo de los Precios SombraAhora ya sabe quelos precios sombra son la solucin del problema dual. Aqu tenemos un ejemplo numrico.Calcule el precio sombra para ambos recursos en el siguiente problema de PL:Max -X1 + 2X2sujeta a:X1 + X25X1 + 2X26tanto X1 como X2 son no negativas.La solucin de este problema primario (utilizando por ejemplo el mtodo grfico) es X1 = 0, X2 = 3, con el sobrante S1 = 2 del primer recurso mientras que el segundo recurso se utiliza por completo, S2 = 0.Los precios sombra son la solucin del problema dual:Min 5U1 + 6U2Sujeta a:U1 + U2-1U1 + 2U22tanto U1 como U2 son no negativas.La solucin del problema dual (utilizando por ejemplo el mtodo grfico) es U1 = 0, U2 = 1 que son los precios sombra para el primer y el segundo recurso, respectivamente. Fjese que siempre que la holgura / excedente de una restriccin no es cero, el precio sombra relacionado con ese RHS de la restriccin es siempre cero,pero puede no darse el caso contrario. En este ejemplo numrico S1 = 2 (es decir, el valor de holgura del RHS 1 del problema primario), que no es cero; por lo tanto U1 es igual a cero tal como es de esperar.Considere el siguiente problema:Max X1 + X2sujeta a:X11X21X1 + X22todas las variables de decisin0.Utilizando un paquete de software, puede verificar que el precio sombra para el tercer recurso es cero, mientras que no hay sobrante de ese recurso en la solucin ptima X1 =1, X2 = 1.

Comportamiento de los Cambios en los Valores RHS del Valor OptimoPara estudiar los cambios direccionales en el valor ptimo con respecto a los cambios en el RHS (sin restricciones redundantes y con todos los RHS0) distinguimos los dos casos presentados a continuacin:Caso I: Problema de MaximizacinPara restriccin de: cambio en la misma direccin. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminucin en el valor ptimo sino que ste aumenta o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.Para restriccin de: cambio en la direccin opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento en el valor ptimo sino que ste disminuye o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.Para restriccin de =: el cambio puede ser en cualquier direccin (ver la seccin Ms por Menos en este sitio).Caso II: Problema de MinimizacinPara restriccin de: cambio en la direccin opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento del valor ptimo sino que ste disminuye o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria).Para restriccin de: cambio en la misma direccin. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminucin del valor ptimo sino que ste aumenta o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.Para restriccin de =: el cambio puede ser en cualquier direccin (ver la seccin Ms por Menos en este sitio).Interpretacin Incorrecta del Precio SombraEl Precio Sombra nos indica cunto cambiar la funcin objetivo si cambiamos el lado derecho de la correspondiente restriccin. Esto normalmente se denomina "valor marginal", "precios duales" o "valor dual" para la restriccin. Por lo tanto, el precio sombra puede no coincidir con el "precio de mercado".Por cada restriccin del RHS, el Precio Sombra nos indica exactamente cunto cambiar la funcin objetivo si cambiamos el lado derecho de la restriccin correspondiente dentro de los lmites fijados por el rango de sensibilidad del RHS.Por consiguiente, por cada valor RHS, el precio sombra es el coeficiente del cambio en el valor ptimo causado por cualquier aumento o disminucin admisible en el RHS dentro del cambio admisible.Precio Sombra = Cambio en el Valor Optimo / Cambio en el RHS,Dado que el cambio en el RHS est dentro del rango de sensibilidad.Desafortunadamente, existen interpretaciones errneas con respecto a la definicin del precio sombra. Una de ellas indica: "En los problemas de programacin lineal, el precio sombra de una restriccin es la diferencia entre el valor optimizado de la funcin objetivo y el valor de la funcin objetivo, evaluada de manera opcional, cuando el RHS de una restriccin aumenta en una unidad". El ltimo sitio Web establece lo siguiente "Precios Sombra: los precios sombra para un problema de programacin lineal son las soluciones para su correspondiente problema dual. El precio sombra i es el cambio en la funcin objetivo que resulta del aumento en una unidad en la coordenada i de b. Un precio sombra tambin es el monto que un inversor tendra que pagar por una unidad de un recurso para comprarle la parte al fabricante."Un anti-ejemplo:Considere la siguiente PL:Max X2sujeta a:X1 + X222.5X1 + 4X210Donde ambas variables de decisin son no negativas.El problema tiene su solucin ptima en (0, 2) con un valor ptimo de 2.Supngase que quiere calcular el precio sombra del primer recurso, es decir el RHS de la primera restriccin.Si cambiamos el RHS de la primera restriccin aumentndolo en una unidad tenemos:Max X2sujeta a:X1 + X232.5X1 + 4X210donde ambas variables de decisin son no negativas.El nuevo problema tiene la solucin ptima (0, 2.5) con un valor ptimo de 2.5.Entonces, pareciera "como si" el precio sombra de este recurso es 2.5 - 2 = 0.5. De hecho, el precio sombra de este recurso es 1, el cual se puede verificar construyendo y resolviendo el problema dual.El motivo de este error se torna obvio si observamos que el aumento admisible para mantener la validez del precio sombra del primer recurso es 0.5. El aumento en 1 excede el cambio admisible del primer valor RHS.Ahora supngase que cambiamos el mismo valor RHS en + 0.1 que es admisible. Entonces el valor ptimo del nuevo problema es 2.1. Por consiguiente, el precio sombra es (2.1 -2) / 0.1 = 1. Es necesario prestar mucha atencin al calcular los precios sombra.Si usted quiere calcular el precio sombra de un valor RHS sin tener su rango de sensibilidad, puede obtener los valores ptimos de dos perturbaciones como mnimo. Si el ndice de cambio en ambos casos arroja los mismos valores, entonces este ndice es realmente el precio sombra. A modo de ejemplo, supngase que perturbamos el RHS de la primera restriccin en +0.02 y -0.01. Si resolvemos el problema despus de estos cambios utilizando un software de PL, obtenemos los valores ptimos de 2.02 y 1.09, respectivamente. Como el valor ptimo para el problema nominal (sin ninguna perturbacin) es igual a 2, el ndice de cambio para los dos casos es: (2.02 - 2)/0.02 = 1, y (1.09 - 2)/(-0.01) = 1, respectivamente. Como estos dos ndices coinciden, podemos concluir que el precio sombra del RHS de la primera restriccin es de hecho igual a 1.El Precio Sombra es Siempre No Negativo?Probablemente se est preguntando si el precio sombra de un valor RHS es siempre no negativo. Todo depende de la formulacin del problema primario y de su correspondiente dual. Lo importante es recordar que el precio sombra de un determinado valor RHS es el ndice de cambio del valor ptimo con respecto al cambio en ese RHS, dado que el cambio se encuentra dentro de los lmites de ese RHS.Considere el siguiente ejemplo numrico:Max 3X1 + 5X2Sujeta a:X1 + 2X250-X1 + X210X1, X2 son no negativas.Nos interesa saber el precio sombra del valor del RHS 2 = 10. El problema dual es:Min 50U1 + 10U2Sujeta a:U1 - U232U1 + U25U10, mientras que U20Esto se puede verificar con el software WinQSB. La solucin del problema dual es U1 = 8/3, U2 = -1/3. Por lo tanto, el precio sombra del valor RHS 2 = 10 es U2 = -1/3. Es decir que por cada aumento (disminucin) unitario en el RHS2, el valor ptimo del problema primario disminuye (aumenta) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 est dentro de los lmites de sensibilidad.Para otra versin del mismo problema primario, fjese que el problema puede escribirse de la misma manera, cambiando la direccin de la segunda restriccin de desigualdad:Max 3X1 + 5X2Sujeta a:X1 + 2X250X1 - X2-10X1, X2 son no negativas.El problema dual de este problema primario ahora es:Min 50Y1 - 10Y2Sujeta a:Y1 + Y232Y1- Y25tanto Y1 como Y2 son no negativasNuevamente, la formulacin dual puede verificarse utilizando el software WinQSB. La solucin de este problema dual es Y1 = 8/3 y Y2 = 1/3. Entonces, el precio sombra del valor del RHS 2 = -10 es Y2 = 1/3. Vale decir que por cada aumento (disminucin) unitario en el valor RHS 2, el valor ptimo del problema primario aumenta (disminuye) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 esta dentro de los lmites de sensibilidad.Como ya debe haber notado, ambos problemas duales son iguales al sustituir U1 = Y1, y U2 = -Y2. Esto significa que los precios sombra obtenido para RHS 2 = 10, y RHS 2 = -10 tienen el mismo valor con el signo opuesto (como es de esperar). Por ende,, el signo del precio sombra depende de cmo se formule el problema dual, aunque el significado y su interpretacin son siempre los mismos.Precios Sombra AlternativosSupngase que tenemos una PL que tiene una nica solucin ptima. Es posible tener ms de un conjunto de precios duales?S, es posible. Considere el siguiente problema:Min 16X1 + 24X2sujeta a:X1 + 3X262X1 + 2X24todas las variables de decisin0.Su dual es:Max 6U1 + 4U2sujeta a:U1 + 2U2163U1 + 2U224todas las variables de decisin0,Este problema dual tiene diversas soluciones alternativas, tales como, (U1 = 8, U2 = 0) y (U1 = 4, U2 = 6). Todas las combinaciones convexas de estos dos vrtices tambin son soluciones.Existen casos generales para los cuales los precios sombra no son nicos. Como en el ejemplo anterior, siempre que exista redundancia entre las restricciones, o si la solucin ptima es "degenerada", puede haber ms de un conjunto de precios duales. En general, las restricciones lineales independientes son condicin suficiente para que exista un nico precio sombra.Considere el siguiente problema de PL con una restriccin redundante:Max 10X1 + 13X2sujeta a:X1 + X2 = 1X1 + X2 = 1X1+2X2 = 2y todas las variables son no negativas.Si corremos el problema dual en Lindo vemos que X1 = 0, X2 = 1, con precios sombra (0, 13, 0).Si utilizamos WinQSB para este problema, obtenemos X1 = 0, X2 = 1 con distintos precios sombra (0, 7, 3).En el caso de redundancia, los precios sombra obtenidos con un paquete de PL pueden no coincidir con aquellos obtenidos con otro paquete de software.

Manejo de Incertidumbres mediante Modelacin de Escenarios:Anlisis de Sensibilidad y Anlisis de EspecificidadEl entorno comercial muchas veces es impredecible e incierto debido a factores tales como cambios econmicos, reglamentaciones pblicas, dependencia de subcontratistas y proveedores, etc. Los gerentes generalmente se ven inmersos en un entorno dinmico e inestable donde aun los planes a corto plazo deben re-evaluarse constantemente y ajustarse de manera incremental. Todo esto requiere una mentalidad orientada al cambio para hacer frente a las incertidumbres. Recuerde que lassorpresas no forman parte de una decisin slida.El hombre utiliza construcciones (modelos) matemticas e informticas para una variedad de entornos y propsitos, con frecuencia para conocer los posibles resultados de uno o ms planes de accin. Esto puede relacionarse con inversiones financieras, alternativas de seguros (asegurar o no asegurar/cunto), prcticas industriales e impactos ambientales. El uso de modelos se ve perjudicado por la inevitable presencia de incertidumbres, que surgen en distintas etapas, desde la construccin y corroboracin del modelo en s hasta su uso. Normalmente su uso es el culpable.Toda solucin a un problema de toma de decisiones se basa en determinados parmetros que se presumen como fijos. El anlisis de sensibilidad es un conjunto de actividades posteriores a la solucin que sirven para estudiar y determinar qu tan sensible es la solucin a los cambios en las hiptesis. Estas actividades tambin se denominan anlisis de estabilidad, anlisis what-if o de hiptesis, modelacin de escenarios, anlisis de especificidad, anlisis de incertidumbre, anlisis de inestabilidad numrica, inestabilidad funcional y tolerancia, anlisis de post optimalidad, aumentos y disminuciones admisibles y muchos otros trminos similares que reflejan la importancia de esta etapa del proceso de modelacin. Por ejemplo, anlisis de sensibilidad no es el trmino tpico empleado en la econometra para referirse al mtodo de investigacin de la respuesta de una solucin frente a perturbaciones en los parmetros. En econometra, esto se denomina esttica comparativa o dinmica comparativa, segn el tipo de modelo en cuestin.Se puede hacer frente a las incertidumbres de una manera ms "determinista". Este abordaje tiene distintos nombres tales como "modelacin de escenarios", "modelacin determinista", "anlisis de sensibilidad" y "anlisis de estabilidad". La idea es generar, de manera subjetiva, una lista ordenada de incertidumbres importantes que supuestamente podran tener un mayor impacto sobre el resultado final. Esto se lleva acabo antes de focalizarse en los detalles de cualquier "escenario" o modelo.Resulta vital comprender la influencia de lo antedicho en el plan de accin sugerido por el modelo por las siguientes razones:Pueden presentarse distintos niveles de aceptacin (por el pblico en general, por los decisores, por las partes interesadas) a distintos tipos de incertidumbre.Distintas incertidumbres tienen distintos impactos sobre la confiabilidad, robustez y eficiencia del modelo.La relevancia del modelo (su correspondencia con la tarea) depende en gran medida del impacto de la incertidumbre sobre el resultado del anlisis. Las sorpresas no forman parte de las decisiones ptimas slidas.Existen numerosos ejemplos de entornos donde esto es aplicable, tales como: Construccin de indicadores (econmicos / ambientales) Anlisis y pronstico de riesgo (ambiental, financiero, de seguros,...) Optimizacin y calibracin de modelos (per se)A continuacin, sigue una lista abreviada de las razones por las cuales se debe tener en cuenta el anlisis de sensibilidad:Toma de decisiones o desarrollo de recomendaciones para decisores: Para probar la solidez de una solucin ptima. Las sorpresas no forman parte de las decisiones ptimas slidas. Para identificar los valores crticos, umbrales, o valores de equilibrio donde cambia la estrategia ptima. Para identificar sensibilidad o variables importantes. Para investigar soluciones sub-ptimas. Para desarrollar recomendaciones flexibles que dependan de las circunstancias. Para comparar los valores de las estrategias de decisin simples y complejas. Para evaluar el riesgo de una estrategia o escenario.Comunicacin: Para formular recomendaciones ms crebles, comprensibles, contundentes o persuasivas. Para permitir a los decisores seleccionar hiptesis. Para comunicar una falta de compromiso a una nica estrategia. El decisor debe incorporar algunas otras perspectivas del problema tal como perspectivas culturales, polticas, psicolgicas, etc. en las recomendaciones del cientfico de administracin.Aumentar la comprensin o aptitud del sistema: Para estimar la relacin entre las variables de entrada y las de salida. Para comprender la relacin entre las variables de entrada y las de salida. Para desarrollar pruebas de las hiptesis.Desarrollo del modelo: Para probar la validez o precisin del modelo. Para buscar errores en el modelo Para simplificar el modelo. Para calibrar el modelo. Para hacer frente a la falta o insuficiencia de datos. Para priorizar la adquisicin de informacin.Lista abreviada de casos en los que se debe considerar la realizacin de un anlisis de sensibilidad:1. Con el control de los problemas, el anlisis de sensibilidad puede facilitar la identificacin de regiones cruciales en el espacio de los parmetros de entrada.2. En ejercicios de seleccin, el anlisis de sensibilidad sirve para localizar algunos parmetros influyentes en sistemas con cientos de datos de entrada inciertos.3. Se utilizan tcnicas de anlisis de sensibilidad basados en varianza para determinar si un subconjunto de parmetros de entrada puede representar (la mayor parte de) la varianza de salida.4. El punto (3) puede utilizarse para la reduccin del mecanismo (descartar o corregir partes no relevantes del modelo) y para la extraccin de un modelo (construir un modelo a partir de otro ms complejo). Ver tambin el problema de la "relevancia" del modelo: los parmetros del conjunto de entrada del modelo son relevantes con respecto a la tarea del modelo?5. El punto (3) tambin puede utilizarse para la identificacin del modelo identificando las condiciones experimentales para las cuales su capacidad para discriminar dentro del modelo se encuentra en su punto mximo.6. Al igual que en el punto (5), el anlisis de sensibilidad puede utilizarse para la calibracin del modelo, para determinar si los experimentos con sus incertidumbres relacionadas permitirn la estimacin de los parmetros. Esto es particularmente til frente a problemas mal condicionados (mal formulados).7. El anlisis de sensibilidad puede complementarse con algoritmos de bsqueda / optimizacin; identificando los parmetros ms importantes, el anlisis de sensibilidad puede permitir que se reduzca la dimensionalidad del espacio donde se realiza la bsqueda.8. Como una herramienta de aseguramiento de calidad, el anlisis de sensibilidad asegura que la dependencia de la salida (resultado) de los parmetros de entrada del modelo tenga una similitud fsica y una explicacin.9. Para resolver un problema inverso, el anlisis de sensibilidad sirve como una herramienta para extraer parmetros incorporados en modelos cuyos resultados no se correlacionan fcilmente con la entrada desconocida (por ejemplo en cintica qumica, para extraer las constantes cinticas de sistemas complejos a partir del ndice de rendimiento de los componentes).10. Para asignar recursos en el rea de I&D de manera ptima, el anlisis de sensibilidad muestra donde vale la pena invertir a fin de reducir el rango de incertidumbre del modelo.11. El anlisis de sensibilidad puede determinar cuantitativamente qu parte de la incertidumbre de mi prediccin se debe a incertidumbre paramtrica de la estimacin y cunto a incertidumbre estructural.Errores de redondeo cometido por los gerentes:como siempre, se debe prestar atencin al redondear el valor de los lmites de los rangos de sensibilidad. El lmite superior y el lmite inferior deben redondearse hacia abajo y hacia arriba respectivamente para que sean vlidos.Anlisis de sensibilidad vs. programacin estocstica:el anlisis de sensibilida