ÍNDICE

TEMA Paginaintroducción 23 Modelos hidráulicos 33.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica 63.1.2 Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Euler y Reynolds 10PROBLEMAS 143.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos 163.2 Flujo en orificios, compuertas y vertedores 17PROBLEMAS 20

3.2.1 Coeficientes de velocidad , contracción y gasto y sus aplicaciones 22

PROBELMAS 26

3.3 Dispositivos de medición 28

3.3.1 Tubo de Pitot 28

PROBLEMAS 28

3.3.2 Tubo de Venturi 29

PROBLEMAS 31

3.3.3 Rotámetro 34

Conclusión 35

Bibliografía 36

Introducción

1

En mecánica de fluidos el riguroso tratamiento matemático de los problemas, con base exclusivamente en los métodos analíticos, no siempre permite llegar a la solución completa, a menos que se planteen hipótesis simplificadoras que, además de restar generalidad a la solución, pueden llegar a falsear los resultados a tal grado que no tengan relación alguna con el comportamiento real del fenómeno. Por otra parte, debido a la variedad de problemas, muchas veces resulta difícil establecer las condiciones de frontera previas a cualquier solución matemática.

En otros casos, las soluciones analíticas se deben plantear de tal manera que no se ignoren los aspectos físicos del fenómeno y que determinados puntos de la respuesta queden supeditados a la experimentación.

En este trabajo de investigación se estudiara y resolverá algunos problemas de lo mencionado anteriormente.

3.- Modelos Hidráulicos

2

Los modelos hidráulicos han encontrado creciente aplicación para controlar y modificar diseños analíticos de estructuras hidráulicas. Mediante el uso de modelos físicos es posible experimentar a costos relativamente bajos y con economías substanciales de tiempo, hasta obtener condiciones óptimas.

Lo anterior en ningún caso significa que una técnica substituya a la otra. Sería un error suponer que una serie de resultados y de reglas sencillas obtenidas de la investigación experimental supla un tratamiento racional del mismo, pudiendo ocurrir que dichos resultados tuvieran validez solo en el intervalo de valores para el cual se efectuaron las mediciones.

Además, aun cuando fuera posible hacer un estudio exhaustivo del fenómeno, resulta necesario tomar en consideración una serie de factores de índole apreciativa que limitan la extrapolación y generalización de las respuestas.

La adecuada combinación del análisis matemático y la verificación experimental permite superar esos obstáculos, restringiendo la hipótesis a aquellas cuya experiencia y razonamiento físico han mostrado no tener serios efectos sobre las características esenciales del fenómeno.

Mientras el tratamiento empírico recalca el desarrollo algebraico de una formula deducida de la investigación experimental, a menudo con poca justificación física, el análisis racional intenta una solución completa para la función correcta y las constantes numéricas involucradas. Por otra parte, la mecánica de fluidos emplea los principios del análisis dimensional para incorporar las variables, que la experiencia ha demostrado como esenciales, en una expresión adimensional básica, sistemática y matemáticamente ordenada; asimismo, toda vez que sea posible se desarrolla, al menos aproximadamente, la interrelación funcional de los diferentes miembros de esta expresión.

Por último, 1a investigación experimental suministra las constantes numéricas y la verificación esencial sobre la exactitud del análisis; también trae consigo el estudio de las

3

características del flujo aunadas a las propiedades del fluido y a las condiciones de frontera o geometría del mismo. Así, por ejemplo, el estudio experimental completo del empuje de un flujo sobre un cilindro significaría variar la velocidad v0 y utilizar varios fluidos de distintas características, así como cilindros de diferente diámetro, para determinar el coeficiente de arrastre en cualquier condición imaginable.

Una investigación en este sentido representaría un trabajo formidable casi imposible de realizar; sin embargo, una planeación adecuada de las combinaciones de las diversas variables que ocurren en cada problema permite llegar a generalizaciones realmente extraordinarias con el menor esfuerzo, costo y tiempo; muchas veces con una presentación muy simple. Para este caso particular es suficiente estudiar la variación del coeficiente de arrastre, mediante la simple variación del parámetro adimensional -llamado de Reynolds- que involucra todos estos factores, para obtener una relación sencilla.

La técnica seguida para encontrar las combinaciones posibles se apoya en el empleo de parámetros dimensionales formados con las diferentes variables del problema, que permite la transposición de los resultados de un modelo físico a la estructura real. La teoría de la similitud que satisface esta necesidad fue establecida por Kline: "Si dos sistemas obedecen al mismo grupo de ecuaciones y condiciones gobernantes, y si los valores de todos los parámetros y las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas deben de exhibir comportamientos similares con tal de que exista una solución única para el grupo de ecuaciones y condiciones."

Los principales parámetros dimensionales de utilidad en la dinámica de fluidos se obtienen de las ecuaciones del movimiento de los fluidos. No obstante lo anterior, si se conocen las variables importantes que intervienen en un problema, el llamado análisis dimensional un constituye un procedimiento sencillo y puramente matemático para determinar los parámetros más aplicables en cada caso.

La experimentación se basa en la construcción y operación de un modelo reducido a escala cuyo tamaño se supedita a factores como espacio disponible, capacidad de las instalaciones del costo del modelo, efectos de escala, etcétera. Para la operación se requieren los aparatos y dispositivos que midan las características hidráulicas del escurrimiento: gastos, velocidades, presiones, tiempos, etcétera.

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Laboratorio de hidráulica que contiene modelos hidráulicos a escala

Modelo para el diseño hidráulico

Modelo hidráulico

5

3.1- Similitud geométrica, cinemática y dinámica.

Similitud geométrica

Considere dos flujos, como los mostrados en la fig. 5. 1, que se designaran como modelo y prototipo. Mientras que el primero tiene, en general, dimensiones menores que el segundo y es el que se reproduce en el laboratorio, el segundo representa la estructura real por construir.

Figura 5.1. Similitud dinámica entre dos flujos del modelo y el prototipo (a y b)

La similitud geométrica implica, de un modo estricto, que sea igual la relación de todas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los flujos ciertas dimensiones se seleccionan y además, se designan con p al prototipo y con m al modelo (Fig. 5.1), la similitud geométrica significaría, por ejemplo, que

le=Sp

Sm

Donde le es la escala de líneas que cuantifica el tamaño relativo de los dos sistemas.

6

Una consecuencia de la similitud geométrica exacta es que la relación de áreas y volúmenes en ambos sistemas se puede expresar en términos del cuadrado y del cubo de le, esto es:

Ae=le2

V c=le2

En algunos casos, es factible que la similitud geométrica exista solo en lo que se refiere a las dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar distorsionadas con otra escala de líneas (como el caso de los modelos de ríos o de puertos) donde el conservar las misma escala de líneas en las tres direcciones significaría tener tirantes muy pequeños en los modelos. Se tendrían así, por ejemplo, escalas de líneas de dimensiones verticales y horizontales, como sigue:

lev=H P

Hm

=Sp

Sm

…

leh=Bv

Bm

…

La similitud geométrica se extiende también a la rugosidad superficial de las paredes que limitan al flujo, pues si el modelo tiene un tamaño igual a un décimo del prototipo (l¿¿e=10)¿ , entonces la altura de las proyecciones de las rugosidades debe estar en la misma relación. Esto es difícil de lograr en la práctica, por lo que en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en la dimensión longitudinal de la conducción respecto a las otras dos dimensiones, con objeto de lograr la misma relación de pérdidas de energía en ambas estructuras.

7

Similitud cinemática y dinámica.

La similitud cinemática entre dos sistemas de flujo se interpreta como la semejanza geométrica entre líneas de corriente de ambos flujos, sin distorsión o con ella. La similitud dinámica implica que haya similitud dinámica implica que haya similitud geométrica, o bien, distorsionada, además que sea la misma relación de las fuerzas dinámicas en puntos homólogos.

En la similitud dinámica al igual que en la similitud geométrica, existen escalas de velocidades, viscosas, de fuerzas, tiempos, densidades, viscosidades, etcétera, que miden la relación entre las características de los flujos o propiedades de los fluidos utilizados en los mismos y referidas a dos puntos R homólogos, que se designaran con el símbolo hasta ahora utilizados, pero añadiendo el subíndice e (escala).por ejemplo pe , μe , ve se refieren a los propiedades de los fluidos que se utilicen en el prototipo y el modelo.

Además por definición sabemos que:

(5.1a)

ve=l et e

(5.1b)

t e=leve

(5.1c)

Qe=AeV e

(5.1d)

ae=let e2

(5.1e)

pe=yege

(5.1d)

8

ve=μe

pe

Con las definiciones de escala antes dadas, la ecuación equivalente para el prototipo es

(5.2)

¿∂(

vm2

2)

∂sm+( le

ve t n )∂vm

∂tm

Los términos entre paréntesis, de esta ecuación, relacionan las diferentes escalas utilizadas y es igualmente valido utilizar los recíprocos (exceptuando el ultimo).por ejemplo igualando el primero con el que corresponde al de la aceleración convectiva (de valor de 1), por definición de escalas, resulta lo siguiente:

(5.3)

p p v p2

p p

=Pm vm

2

pm

Esto es, para que haya similitud dinámica, por lo que respecta a la fuerza de presión, es necesario que el parámetro Eu=pv2/ p sea el mismo en el modelo y en el prototipo. En general, p representa la diferencia de presiones Δp, entre dos puntos de flujo o entre un punto y la presión atmosférica. Este parámetro es adimensional y es la relación entre la fuerza de inercia y la debida al gradiente de presiones.

9

3.1.2- Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Reynolds y Euler

Cuando se divide la fuerza que actúa en un fenómeno hidráulico por la fuerza de inercia (siempre está presente), se obtiene un numero adimensional el cual debe ser el mismo en el modelo y prototipo en punto homólogos, cuando se cumpla la similitud dinámica. Las expresiones adimensionales, en el lenguaje hidráulico se les designan como leyes de similitud.

Por medio de un razonamiento análogo se obtuvieron cuatro parámetros adimensionales a saber:

Eu= fuerzade inerciafuerzade presion

= p v2

∆ p

ℜ= fuerzade inerciafuerza viscosa

= vlμ/ p

= vlv

Fr2= fuerzade inerciafuerzagravitacional

= v2

gl

S=aceleracion localfuerzade inercia

= lvt

El primer parámetro de los obtenidos arriba se llama número de Euler y rige aquellos fenómenos donde son preponderantes los cambios ∆ p de las presiones. Con p=γ /g y h=∆ p/ γ, se escribe comúnmente así:

(5.4)

Eu= pv2

∆ p= v2

gh

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Parámetro que tiene importancia en fenómenos de flujo ocasionados por una gradiente de presiones donde la densidad y la aceleración del fluido intervienen primordialmente en el fenómeno y las fuerzas viscosas pierden importancia.

Es decir, el movimiento depende de la forma del flujo, con una configuración prácticamente invariable de las líneas de corriente. Esto ocurre en problemas de flujo a presión como en la tuberías, orificios, válvulas, compuertas, distribución local de presiones sobre un obstáculo, etcétera.

El segundo número se llama de Reynolds y se acostumbrar a escribir:(5.5)

ℜ= vlv

Es válido en aquellos flujos a poca velocidad donde las fuerzas viscosas son las más importantes. Un número de Reynolds grande indica una preponderancia marcada de las fuerzas de inercia sobre las viscosas, como por ejemplo - el flujo turbulento, en que la viscosidad tiene escasa importancia y el fenómeno depende solo del número de Euler. Cuando este es pequeño depende de ambos números.

El número de Reynolds se usa a menudo como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de naves áreas, cuerpos sumergidos en un flujo, medidores de gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las características del flujo están sujetas a efectos viscosos.

El tercer número se llama de Froude y en general se representa como la raíz cuadrada de la relación de fuerzas, es decir:

Fr= v

√gl

El número de Froude tiene importancia en flujos con velocidades grandes que ocurren por la acción exclusiva de la gravedad; tal es el caso del flujo turbulento a superficie libre, donde los efectos viscosos son despreciables. A medida que aumenta el número de Froude, mayor es la reacción inercial de cualquier fuerza; en tanto disminuye, mayor es el efecto de la fuerza gravitacional. Cuando el flujo es horizontal, la acción del peso desaparece y con ella la influencia del número de Froude.

Finalmente, en aquellos problemas de flujo no permanente en los que la periodicidad del fenómeno es importante, el número llamado de Strouhal caracteriza su acción. Si se considera que la frecuencia del fenómeno periódico es f=1/t, se tiene que

(5.7)

11

S= flv

Donde t representa una dimensión típica del cuerpo obstruyendo el flujo y v una velocidad típica dentro del flujo. Este número es importante en flujos relacionados con la formación de vórtices, movimiento de ondas, efectos de vibración en cuerpos colocados en un flujo, etcétera y representa la raíz cuadrada de la relación de una fuerza hidroaerodinámica (que actúa para restaurar el equilibrio en la configuración de un flujo) y la fuerza de inercia de la masa oscilante del fluido.

Como ya se había señalado, para lograr similitud dinámica es necesario que los números antes definidos resulten iguales en el modelo y en el prototipo. En la práctica no se pueden satisfacer todos los parámetros de manera simultánea y se da preferencia a aquel o aquellos que tengan mayor importancia en el flujo.

Sistemas de presión. En este caso, los cambios de presión se deben a una combinación de los efectos dinámicos producidos por la aceleración, viscosidad y gravedad. En el caso común de un flujo de densidad constante, el efecto de gravedad es una distribución de presiones hidrostáticas, superpuesta a una presión variable debida a otros efectos, de ahí que el número de Reynolds sea el más importante y deba ser igual en modelo prototipo, esto es:

(5.8)

V e leve

=1

Donde V e es la escala de velocidad y ve de viscosidad cinemática; resulta entonces lo siguiente:

(5.9)

V e=V e

le=

μe

pe l e

La escala de tiempos es

(5.10)

t e=leV e

=le2

ve

12

La de aceleraciones

(5.11)

ae=V e

te=ve2

le3 =

μe2

pe2le3

La de las fuerzas viscosas

(5.12)

F e=mea0=pe le3 μe

2

pe2 le3=

μe2

pe

Y por último depresiones

(5.13)

Pe=Fe

Ae

=μe2

pe le2

Al utilizar el criterio de semejanza de Reynolds puede demostrarse que las fuerzas gravitacionales se anulan y no tiene, por lo tanto, efectos sobre las características del flujo. Sin embargo, en la mayoría de los estudios con modelos el número de Reynolds varía desde 1 x106 a 20 x106, por la cual la utilización de este criterio de semejanza es poco usual en la práctica.

13

PROBLEMA 5.1

Un dispositivo de investigación se encuentra sostenido por una barra cilíndrica de 0.15 m de diámetro, la cual a su vez está sujeta a una lancha y sumergida verticalmente en aguas profundas a 15°C, donde la velocidad, por el movimiento de la lancha, alcanza 3m/seg. Se desea determinar la fuerza de resistencias en la barra (inducida por el movimiento) con un modelo geométricamente similar, de 0.03 m de diámetro, en un túnel de viento de presión variable, donde es posible lograr velocidades hasta de 30m/seg, a una temperatura de 15°C.

Solución

Suponiendo que el túnel de viento se opera a 30m/seg, se puede obtener la densidad del aire, requerida por la condición de que el número de Reynolds sea igual en los dos sistemas. Para la temperatura de 15°C las escalas de viscosidad de ambos fluidos, de velocidades y de líneas son, respectivamente

μe=μp

μm=1.18 X10

−4

2.0 X 10−6=0.59 X 102

V e=V p

V m

= 330

=0.1

pe=μe

V e le=

(0.59 X 102)0.1 X 5

=118.0

Debido a que la densidad del agua es p=101.87 kg∗seg2/m4, la de aire debe ser

pm= 101.87

1.18 X102=0.8633 kg∗seg2/m4

Como la densidad del aire a presión atmosférica estándar es 0.125 kg∗seg2/m4, el túnel debe controlarse con una presión de 6 atm, aproximadamente, para alcanzar la densidad deseada.

14

De la ecuación (5.12) la escala de fuerza es

F e=(0.59 X 102)2

1.18 X 102=29.5

La fuerza de resistencia en prototipo será entonces:

F p=29.5 Fm

PROBLEMA 5.3

Determinar las escala de velocidad, gasto y fuerzas, para un modelo construido a escala

le=100 de una obra de excedencias que descargara un gasto de 10000 m3

seg.

Solución

El fenómeno que se presenta está sujeto a la ley de Froude, por lo que si se aplica la Ec. (5.14) la escala de velocidades resulta:

V e=√100=10

O sea, que para obtener las velocidades del prototipo se necesita multiplicar por 10 las velocidades medidas en el modelo.

De la Ec. (5.16), la escala de gastos vale:

Qe=1005 /2=100000

Entonces el gasto que deberá fluir en el modelo es

Qm=10000100000

=0.1 m3

seg=100< ¿

seg¿

La escala de fuerzas, para γ e=1, de la Ec. (5.17) resulta ser

F e=1 X1003=1000000

15

3.1.3- Planeación y construcción de modelos hidráulicos

El uso de modelos físicos a escala reducida, llamados simplemente modelos hidráulicos, implica que éstos deben ser semejantes al prototipo, para lo cual debe satisfacerse las leyes de similitud Geométrica, Cinemática y Dinámica, que en conjunto relacionan magnitudes físicas homólogas definidas entre ambos sistemas.

Cuando se va a realizar una comparación con respecto a la similitud geométrica se definen puntos homólogos sobre los cuales se definen magnitudes tales como velocidad, presión, etc.; de igual manera se definen lados, superficies y volúmenes homólogos. La similitud geométrica implica una relación constante para cualquier longitud L, esta relación es denominada escala de líneas de longitudes. Cuando la comparación entre el prototipo y modelo es con respecto a un movimiento, se establece entonces la similitud cinemática; ésta se cumple cuando los patrones la forma de los patrones de flujos homólogos son iguales en cualquier tiempo, es decir, hay similitud en el movimiento de los sistemas. Es por esto que la relación de velocidades entre estos puntos debe ser constante y es denominada escala de velocidades. Es un requisito que se cumpla con la similitud geométrica para que se cumpla la similitud cinemática.

El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, de Coriolis, etc. Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas.

En el diseño de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los factores típicos que gobiernan su comportamiento y por lo tanto su modelación y diseño. A continuación se presentan algunos ejemplos:

Tipo de estructura factores de diseño típicos

1. ESTRUCTURAS DE CONTROL Descarga niveles de agua.a. tomas Velocidad, pérdidas, presión.

b. Muros de contención (fuerzas), vibraciones, inestabilidades

c. Compuertas Vórtices, demanda de aire, sedimentos.

16

d. Ataguías Hielo, cavitación, oleajes.

e. Divisoras de aguas Patrones de flujo

2. CONDUCCION Niveles de agua, perdidas.a. Vertederos Velocidades, perdidas, entrada.b. Canales De aire, cavitación.c. Túneles

3. DISPARADORES DE ENERGIA Niveles de agua, perdidas.a. Ampliaciones abruptas Presión, vibración, demanda de aire.b. Difusores Cavitación, abrasión, oleaje.c. Pantallas

3.2- Flujo en orificios, compuertas y vertedores

Con el fin de tomar en cuenta los parámetros no considerados en la formulación teorice de un fenómeno, suelen considerar coeficientes de corrección a los valores teóricos obtenidos que proporcionen valores reales.

El flujo a través de orificios, vertederos y compuertas son ejemplos típicos donde estos coeficientes encuentran aplicación.

- Coeficiente de descarga.

El coeficiente de descarga “Cd” es la relación entre el caudal real que pasa a través de un dispositivo y el caudal real.

Cd= caudal real/caudal ideal

- Coeficiente de velocidad.

El coeficiente de velocidad “Cv” es la relación entre la velocidad media real en la sección recta de la corriente y la velocidad media ideal que se tendría son rozamiento.

Cv= velocidad media real/velocidad media ideal

- Coeficiente de contracción.

17

El coeficiente de contracción “Cc” es la relación entre el área de la sección recta contraída de una corriente y el área del orificio a través del cual fluye el fluido.

Cc = área de flujo contraído/área de orificio

Se cumple que Cd= Cv*Cc

Flujo en orificios

18

Flujo en compuertas.

Q=Cd b*a √2*g*y1

19

Cd = coeficiente de descarga

B = ancho de compuerta

A = abertura de compuerta

Y1 = profundidad del flujo aguas arriba de la compuerta.

Flujo en vertederos

b = ancho del vertedero

h = carga de aguas arriba del vertedero

Cd = coeficiente de descarga (en un vertedero son contracciones laterales puede emplearse Cd = 0.61 + 0.08 h/w).

20

PROBLEMAS

21

Problema de vertidor

22

3.2- Coeficientes de velocidad, contracción y gasto y sus aplicaciones.

Los coeficientes de velocidad, en un orificio, son básicamente experimentales. Sin embargo, en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la frontera del control del chorro en contacto con el aire, la sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica de radio igual al del orificio (figura3.2.1-1). Para hacer lo anterior, se designa como v1 la velocidad de una partícula sobre la semiesfera de radio R, trazada en la Fig. 3.2.1-1 cuya direcciones radial al centro de la semiesfera.

La superficie de la semiesfera vale:

(3.6)

A1=2π R2

Y la correspondiente a la sección contraída:

(3.7)

A0=C0 A=C0 π R2

Fig. 3.2.1-1 Derivación del coeficiente de contracción para orificio de pared delgada.

De la ecuación de continuidad se obtiene:

v1=A0A1

V

Sustituyendo las ecuaciones (3-6) y (3-7) en esta resulta que:

(3.8)

23

v1=12C0V

Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento, es necesario conocer la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela al eje del orificio de las velocidades v1, sobre la superficie de la semiesfera, vale v1cosθ; es decir, que la variación según la ley cosenoidal como se muestra en la Fig. 3.2.1-2. De este modo, la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la igualación del volumen del cilindro V 1π R

2 con el volumen encerrado por la superficie de ley cosenoidal; ósea:

V 1=v1π R2

∬A

θ

cosθ dA

Y, con cosθ=√R2−r2

R,dA=2 πr dr entonces:

V 0=2v1R3

∫0

R

√R2−r 2rdr

La integración conduce al estado siguiente:

V 0=−2v13R3

[ (R2−r2 )32 ]

¿−2v13 R3

[−R3 ]

Finalmente se tiene que:

V 0=32v1 (3-9)

Sustituyendo la Ec. (3-8) en la (3-9) resulta:

V 0=C0

3V (3-10)

Por tanto, es posible evaluar los coeficientes β que interviniera en la ecuación de la cantidad de movimiento. Por una parte, el coeficiente β para la sección contraída vale 1,

24

Fig. 3.2.1-2 distribución de las componentes de la velocidad

pues se supone que la distribución de la velocidad coincide con la media; sin embargo, el coeficiente β para la semiesfera tiene un valor distinto de 1 y resulta al saber:

(3.11)

β1=∬A

θ

v12 cosθdA

AV s2

De la Fig. 3.2.1-2, dA=2 πr dr y además

sen2θ= r2

R2;cos2θ=1− r2

R2

Con estas expresiones y considerando la Ec. (3-8) el valor de β1 es:

β1=1

AV s2∫0

R C02V 2

3 (1− r2

R2 )2πr dr=¿¿

¿ 1AV s

2

C02V 2

2 [ πR22 − πR2

4 ]Y de la Ec. (3-10) resultan entonces que:

(3.12)

β1=9

π R2C c2V 2C c

2V 2 πR2

8=98=1.125

Es necesario conocer las fuerzas que impulsan al volumen de agua limitado por la sección contraída y las ecuaciones de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actúala presión p. la ecuación de Bernoulli para la línea de corriente, aplicada a este punto, es:

H=z+ pγ+va2

2 g

Si se acepta que la carga Hes muy grande en comparación con el radio del orificio, puede entonces despreciarse z y, por tanto, sobre toda la semiesfera la presión será constante y de valor:

25

p=γ (H−v12

2g )

Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es :

(3.13)

pA=γ (H−v12

2g )AEn la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es

γgC c AV

La cual se acelera desde la velocidad media V s sobre la semiesfera, expresada por la Ec. (3-10), hasta la velocidad media V en la sección contraída. Así, de acuerdo con las Ecs. (3-8), (3-10), (3-12) y (3-13), la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue:

γ A [H− 12g (C cV

2 )2]= γ

gA CcV (V−9

8C c

3V )

Por otra parte, de la Ec. (3-2) se tiene que

H= 1C v2+

V 2

2g

Con lo cual resulta:

V 2

2g [2Cc−34C c+

14C02− 1

C v2 ]=0

O bien eliminando la carga de velocidad, se tiene que:

( 34−14 )C c

2−2C0+1

C v2=0

26

Por tanto:

C c2−4C c+

2

C v2=0

Debido a que C0debe ser menor que 1, la raíz valida en estas ecuaciones la correspondiente al signo negativo del radical; asi, se obtiene la ecuación:

(3.14)

C c=2−√4− 2C02

En la tabla 3-1 se presentan los valores de C v y Cd calculados de la Ec. (3-14), para diferentes valores de C v y de la definición Cd.

TABLA 3-1 COEFICIENTES DE GASTO DE LA EC. 3-14C v 1 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95C c 0.586 0.60 0.615 0.631 0.647 0.664Cd 0.586 0.594 0.603 0.612 0.621 0.631

PROBLEMA.

Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, son función exclusivamente del número de Reynolds. De acuerdo con los resultados de diferentes investigadores para orificios circulares sus valores tienen la variación mostrada en la Fig. 3.2.1-4. Se observa que para números de Reynolds Re>105, los coeficientes C v ,C c y Cdson independientes de dicho número y adquieren los valores constantes siguientes:

C v=0.99C c=0.605Cd=0.60

27

De la tabla 3-1 se tiene que para C v=0.99 , la Ec. (3-14) proporcionan los valores C c=0.60 y Cd=0.594 que coinciden prácticamente con los coeficientes experimentales arriba indicados.

Por definición de contracción, para un orificio circular se obtiene(3.15)

D=√ 1C v

Dc

Y con C c=0.605, D=1.285D c o bien Dc=0.778D.

Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura los coeficientes C v ,C c y Cd, son prácticamente los mismos en la Fig. 3.2.1-4. En este caso (en lugar de D) en el numero de Reynolds se utiliza la misma dimensión adel orificio y en la ecuación (3-14) correspondiente a su área A=ab (b es la dimensión del orificio).

28

3.3- Dispositivos de medición (tubo de Venturi, tubo de Pitot, rotámetro)

3.3.1 Tubo de Pitot

El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en movimiento (como las aguas de un río), debido a la presión, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli:

V1= c √2 gH

Dónde:

H es la carga total que produce el flujo en m (altura de líquido)

C es el coeficiente de descarga, puede escribirse en relación al coeficiente de velocidad y al de contracción.

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PROBLEMAS

1.-Un tubo de Pitot, teniendo un coeficiente de 0.98, se emplea para medir la velocidad del agua en el centro de una tubería. La altura de presión de estancamiento es 5.58m y la altura de presión estática en la tubería es de 4.65m. ¿Cuál es la velocidad?

Solución:

Si el tubo se adapta y posiciona correctamente, un punto de velocidad cero (punto de estancamiento) se desarrolla en B enfrente del extremo abierto del tubo (véase figura 9-1). Aplicando el teorema de Bernoulli desde A en el líquido en reposo asta B se tiene

( pAw + v2 A2g

+0)=( pBw +0+0) Entonces, para un fluido ideal desprovisto de fricción

V 2 A2g

= pBw

− pAw

ó VA = √2g ( pbw − pAw )

Para el tubo real debe introducirse un coeficiente c que depende de la forma del tubo. La velocidad real para el problema anterior seria

VA = c √2 g( pbw − pAw ) = 0.98 √2g (5.58−4.65 ) = 4.18 m/s

PROBLEMA 2.- A través de un conducto fluye aire, y el tubo de Pitot estático que mide la velocidad está conectado a un manómetro diferencial conteniendo agua. Si la desviación del manómetro es 10 cm, calcular la velocidad del aire, suponiendo que el peso específico del aire es constante e igual a 1.22 kg/cm3 y que el valor del coeficiente del tubo es 0.98

Solución:

Para el manómetro diferencial,

(PB-PA)/ w = (10/100) (1000/1.22) = 82 m aire.

30

Entonces, V = 0.98√19.6 (82 ) = 39.3 m/s

3.3.2 Tubo de Venturi

El efecto Venturi (también conocido tubo de Venturi) consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión al aumentar la velocidad después de pasar por una zona de sección menor, llamada “garganta”. Si en esta parte estrecha se introduce el extremo de otro conducto o tubo, se produce una aspiración del fluido contenido en él. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano: Giovanni Battista Venturi (1746-1822).

Se puede deducir una expresión para la rapidez de flujo v1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando

v2=√ 2 g∆ H

(1−( A2A1 )2

)De esta fórmula, podemos concluir que entre mayor sea la diferencia de alturas entre los dos tubos, mayor debe ser la velocidad del fluido en el estrechamiento. También podemos ver (un poco más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la velocidad en la parte estrecha.

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H

Figura ejemplo 1

1 2

Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas partes. Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la velocidad del líquido se obtiene con la siguiente expresión:

Además de determinar la velocidad de los fluidos en un conducto, el efecto Venturi tiene otras aplicaciones: el suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un tubo de Venturi; los rociadores o atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican este efecto.

PROBLEMA 1.- Por un tubo de Venturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule:

a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo?

Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad:

(1)Q=A1 v1=A2 v2

A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli:(2)

P1−P2=12ρ (v22−v1

2 )

El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura.

32

Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 – P2 se calcula a partir de la diferencia de alturas H que es dato, entre los dos tubos manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P1 – P2 = 2gH, como es el caso de los dos tubos manométricos midiendo la diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos:

v1=A2A1

v2

Por lo que

v12=( A2A1 )

2

. v22

Y la ecuación (2) queda:

ρg∆ H=12ρ v2

2(1−( A2A1 )2

)Despejando v2 de la ecuación anterior:

v2=√ 2 g∆ H

(1−( A2A1 )2

)=√ 2 g∆ H

(1−( d2d1 )4

)=√ 2 x 9.8m/ s(0.3m)

(1−(3 /4 pulg1 pulg )4)

=2.93m /s

Entonces el gasto, ecuación (1), será:

Q=A2V 2=2.85x 10−4m2 x2.93m /s=8.35 x 10−4m3/s=0.835<¿ s

PROBLEMA 2 Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, h =8 cm, como se muestra en la figura. El diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito

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Figura ejemplo 2.Bomba manual para rociar.

AAireh

Líquido

Aire

tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular:

a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta, P, mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura h.

b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba.

Solución inciso a) La altura h que sube el líquido desde el depósito está directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.

(1)

∆ P=ρI g∆h

Donde I es la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,

∆ P=750Kg /m3 x 9.8m /s2 x0.08m=588Pa=0.085 lb / pulg2

Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vacío con la boca.

Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli es:

(2)

∆ P=P1−P2=12ρ (v22−v1

2)

Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad

(3)

A1 v1=A2 v2

Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:

34

(3)

v12=

A22

A12 v2

2

Y

∆ P=12ρ(v22− A2

2

A12 v2

2)=12 ρ v22(1− A22

A12 )

Despejando v2:

v2=√ 2∆ P

ρair(1− A22

A12 )

=√ 2 x588 Pa

1.3Kg /m3(1−0.0034

0.0254 )=30m /s

Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):

v1=A2A1

v2=0.32

2.5230m / s=0.42m / s=42cm /s

Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y se presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen.

Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en P1 y recopilar información sobre el fenómeno de cavitación debido a la baja presión en un tubo de Vénturi.

rotámetros

Este instrumento es un medidor de caudal en tuberías con caídas de presión constante y de área variable. Consiste de un flotador que funciona como indicador y se mueva libremente en el interior de un tubo vertical cónico, el tubo posee un extremo angosto en la parte inferior. Por este extremo se encuentra la entrada del fluido, cuando el flujo se activa, en ese momento el flotador comienza a funcionar hasta que el área anular, entre la pared del tubo y el flotador, sea tal que la caída de presión dentro del tubo vertical sea suficiente para equilibrar al flotador.

Cuando se trata de presiones bajas, el tubo cónico es de vidrio y para hacer mediciones cuando existen presiones altas, el tubo es de metal, este se encuentra graduado con una

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escala lineal. Dependiendo de la posición en la que se indique que se equilibre el flotador, el caudal o gasto del fluido en la tubería será distinto.

El fundamento sobre el funcionamiento del rotámetro se basa en que el empuje realizado es directamente proporcional al desplazamiento del émbolo, basándose en el principio de Arquímedes que dice: “Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje vertical y hacia arriba al peso del líquido, desalojándolo”. La altura en la que se desplace el flotador será equivalente a un determinado flujo. Cuando aparte del caudal es necesario conocer la velocidad del desplazamiento, se puede despejar V en la fórmula de la continuidad, la cual es: Q=VA, despejando la velocidad, queda: V=Q/A; en esta fórmula, Q=caudal, V=velocidad, A=Área del rotámetro.

CONCLUSIÓN

En conclusión La condición fundamental que debe cumplir un modelo hidráulico es la de reproducir adecuadamente las condiciones naturales. Si se trata de estudiar una presa derivador, primero debe reproducirse el río en un modelo hidráulico. El modelo es también un río y como tal debe cumplir las leyes de la hidráulica fluvial. Es más debe reproducirse correctamente el río que estamos estudiando

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BIBLIOGRAFIA

MECANICA DE FLUIDOS Y MAQUINAS HIDRAULICAS, SEGUNDA EDICION. - CLAUDIO MATAIX. EDICIONES CASTILLO.

MECANICA DE FLUIDOS APLICADA -ROBERT L.MOTT EDITORIAL PEARSON, - cuarta edición universidad de Dayton

MECANICA DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICATEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS -Aut. RANAL GILES SERIE SCHAUM- edit. Magraw Hill

HIDRAULICA GENERAL – GILBERTO SOTELO AVILA- volumen 1- Editores Noriega

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