MODELOS MATEMÁTICOS MEZCLAS

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Consideremos un tanque mezclador en el cual se ha disuelto cierta cantidad deSal 𝐶0 en un fluido de volumen 𝑉0. Se introduce en el tanque otra solución salinacon una densidad 𝛿𝑒 a una velocidad 𝑄𝑒, al mismo tiempo sale del tanque la solución con una densidad 𝛿𝑠 a una velocidad 𝑄𝑠

𝛿𝑠𝑄𝑠

𝛿𝑒𝑄𝑒

𝑪𝟎

𝑽𝟎

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Al ingresar solución al tanque la concentración de sal que había inicialmente en el tanque va ha variar con el tiempo al igual que el volumen en el tanque Como la cantidad de sal cambia en el tanque podemos plantear una ecuación diferencial que represente esa razón de cambio

𝛿𝑠𝑄𝑠

𝛿𝑒𝑄𝑒

𝑪𝟎

𝑽𝟎

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La razón de cambio de la cantidad de sal en el tanque en el tiempo tes Igual a a diferencia entre la razón de entrada y la razón de salida dela solución salina

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝑅𝑒 − 𝑅𝑠

La razón de entrada de la solución salina 𝑅𝑒 es igual al producto entre La densidad de entrada de la solución 𝛿𝑒 y la velocidad de entrada 𝑄𝑒

𝑅𝑒 =𝛿𝑒 ∗ 𝑄𝑒

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La razón de salida de la solución salina 𝑅𝑠 es igual al producto entre La densidad de salida de la solución 𝛿𝑠 y la velocidad de salida 𝑄𝑠

La densidad de salida de la solución es igual a la relación entre la cantidad de sal 𝐶 𝑡 que se encuentra en el tanque en cualquier instante 𝑡y el volumen 𝑉 𝑡 de solución en el tanque en cualquier instante 𝑡

𝛿𝑒=𝐶 𝑡

𝑉 𝑡

El volumen de solución en el tanque puede cambiar o permanecer constanteeso dependerá de las velocidades 𝑄𝑒 , 𝑄𝑠, de entrada y salida de la solución

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Si la velocidad de entrada de la solución 𝑄𝑒 es mayor que la velocidad de salida 𝑄𝑠de la solución el volumen aumenta, pues la diferencia de velocidades es positiva.

𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 > 0

Si la velocidad de entrada de la solución 𝑄𝑒 es menor que la velocidad de salida 𝑄𝑠de la solución el volumen disminuye, pues la diferencia de velocidades es negativa

𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 < 0

Si la velocidad de entrada de la solución 𝑄𝑒 es igual a la velocidad de salida 𝑄𝑠 dela solución el volumen permanecerá constante, pues la diferencia de velocidadeses cero

𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 = 0

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Por lo tanto el volumen de solución 𝑉 𝑡 que se encuentra en el tanque en cualquier instante 𝑡 será igual al volumen inicial 𝑉0 de la solución mas la variación de volumen en cualquier instante 𝑡

𝑉 𝑡 = 𝑉0 + 𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 𝑡

Como nos interesa conocer en cuanto varia el volumen 𝑉 𝑡 del tanque podemoscalcular esa variación de volumen como el producto entre la diferencia de lasvelocidades 𝑄𝑒 , 𝑄𝑠, de entrada y salida de la solución y el tiempo t

Variación de 𝑉 𝑡 = 𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 𝑡

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Y tomando en cuenta cada uno de los datos analizados tenemos que la ecuacióndiferencial que representa la velocidad con la que cambia la cantidad de sal en eltanque al tiempo 𝑡 es

𝑑𝐶 𝑡

𝑑𝑡= 𝑄𝑒 ∗ 𝛿𝑒 −

𝐶 𝑡

𝑉0 − 𝑄𝑒 − 𝑄𝑠 ∗ 𝑡𝑄𝑠

Al resolver la ecuación diferencial podemos conocer la cantidad de sal en eltanque en cualquier instante t

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝑅𝑒 − 𝑅𝑠

Como la velocidad con la que cambia la cantidad de sal en el tanque es Igual a

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE