Ricardo Alejos

Ecuaciones Diferenciales

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Modelos Matemáticos

Segunda Ley de Newton y la Ley de la Gravitación Universal

Problema1

Enunciado Según la ley de la gravitación universal de Newton,

la aceleración de caída libre de un cuerpo, como el

satélite que aparece en la figura, que cae desde una

gran distancia hasta la superficie terrestre no es la

constante . Además, la aceleración es inversa-

mente proporcional al cuadrado de la distancia desde

el centro de la Tierra, ⁄ , donde es la cons-

tante de proporcionalidad. Utilice la segunda ley de

Newton y su ley de gravitación universal para dedu-

cir una ecuación diferencial para la distancia .

Solución

Para el caso de un objeto que está sobre la superficie

terrestre (o muy cerca de ella), la aceleración con la

que cae un objeto es . En este caso, la distan-

cia entre el centro de la tierra y el objeto que cae es

casi igual al radio de la Tierra ( ), por lo que pode-

mos decir que y por lo tanto la constante

sería:

Ya conociendo esta constante, podemos obtener la

ecuación diferencial para . La segunda ley de New-

ton dicta que la suma de todas las fuerzas aplicadas a

una masa debe ser igual a su masa por su acelera-

ción. Si la fuerza de atracción es

El signo negativo es porque la dirección de esta

fuerza es hacia abajo, mientras nosotros considera-

remos que la dirección positivas es hacia arriba.

Entonces la ecuación diferencial que buscamos es:

Y si dividimos la ecuación entre y reacomodamos

los términos obtenemos finalmente:

Esta ecuación es una ecuación diferencial no lineal y

no es trivial darle solución, sin embargo, seguramen-

te sus soluciones deben describir con precisión el

movimiento de un objeto a cualquier distancia de la

Tierra (tanto dentro como fuera de ella) a conse-

cuencia del fenómeno de la fuerza de gravedad.

Problema 2

Enunciado

Suponga que se taladra un orificio hasta el centro de

la tierra y que una bola de boliche de masa se deja

caer dentro, como se muestra en la figura. Construya

un modelo matemático que describa el movimiento

de la bola. En el tiempo establezcamos: indica la

distancia desde el centro de la Tierra hasta la masa

, representa la masa de la porción de la Tierra

dentro de una esfera con radio , y denota la den-

sidad constante de la Tierra.

Ricardo Alejos

Ecuaciones Diferenciales

2

Solución La Ley de Gravitación Universal establece que la

fuerza de gravedad experimentada por dos objetos

que se atraen mutuamente es proporcional al produc-

to de sus masas e inversamente proporcional al cua-

drado de la distancia que los separa, es decir:

Donde es la constante de proporcionalidad. En

este caso, las dos masas que interactúan son la de la

bola de boliche ( ) y la porción esférica de Tierra

de radio (es decir, ). Esta última, a su vez es el

volumen de dicha esfera por la densidad :

Por lo que la fuerza experimentada por la bola de

boliche (siempre hacia el centro de la tierra) es:

Manipulando igual el signo de esta fuerza igual que

en el ejercicio anterior, obtenemos a través de la

Segunda Ley de Newton la ecuación de movimiento

de la bola de boliche:

Despejando algunos términos y eliminando el tér-

mino finalmente obtenemos:

Curiosidades Este tipo de ecuaciones diferenciales tienen solucio-

nes muy peculiares: oscilatorias. En particular la

ecuación que hemos obtenido como solución al ejer-

cicio anterior tiene muchas soluciones de la forma

( ) (√

) (√

)

Donde las constantes y dependen de las condi-

ciones iniciales del problema (desde que punto y a

qué velocidad fue lanzada la bola de boliche).

La gráfica anterior ilustra diferentes soluciones (es-

caladas) posibles para la ecuación que planteamos,

todas ellas con velocidad inicial cero pero con dife-

rentes posiciones iniciales. ¡En realidad la bola de

boliche nunca dejará de caer!

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4

2

2

4