Modelos matemáticos de sistemas físicoset17elca.yolasite.com/resources/Sistemas_De_Control... ·...

E.T. Nº 17 - Brig. Gral.

Don Cornelio Saavedra Distrito Escolar XIII

Región V

6º Año

Área Electrónica

Apunte teórico 4

Prof.: Ing. Alejandro Demolli

Hoja 1 de 22

SISTEMAS DE CONTROL

MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS

Sistemas mecánicos de traslación

Estudiaremos las siguientes variables puestas en juego en estos sistemas:

posiciónx t )( velocidadxdt

dxv t

)( naceleracióxdt

xd

dt

dva t

2

2

)(

Ej.) Para un Mov. Rectilíneo Uniforme:

A su vez, los sistemas mecánicos de traslación lineales se caracterizan por

tres parámetros que son:

M: Es la masa de todo cuerpo y representa su capacidad para almacenar energ-

ía cinética.

K: Es la elastancia de todo cuerpo y representa su capacidad para almacenar

energía potencial.

B: Es el rozamiento o coeficiente de viscosidad de todo cuerpo y representa su

capacidad para transformar un tipo de energía en otra.

1) Ley de Newton:

xMFM

.

2) Ley de Hook:

F ).( ifK xxKF

FK

xKFK .

).( 12 xxKFK

x1 x2

x K

x(t)

t

1

2

2 1

FM: Es la fuerza de inercia que la masa

M opone a la fuerza F aplicada.

FK: Es la fuerza elástica de reacción a la fuerza F aplicada al resorte

.

M

Referencia

inercial

F x

FM

xi xf K

v(t)

t

cte=1



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Apunte teórico 4


Hoja 2 de 22

3) Leyes que rigen el rozamiento:

a) Fricción entre cuerpos:

).( 12 xxBFB

b) Amortiguador:

xBF

xxBF

B

B

.

).( 12

4) Sistemas de palancas:

Ejemplo:

FB: Fuerza de rozamiento

que se opone a la acción de F

Referencia

inercial

B

K

M

0

x(t)

f(t)

Cuerpo 1

Cuerpo 2

F

FB

x1

x2

x1 x2 B

x B

M

0

x(t)

f(t)

fB(t)

fK(t)

fM(t)

Diagrama de cuerpo libre:

Fuerzas de reacción

Fuerza de acción

y2

y1

F1

F2

a

b

bFaFMM

b

y

a

yTg

FF .. 2121

21

1

2

2

1

F

F

y

y

b

a



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Hoja 3 de 22

KsBsM

ss

F

x

xsx

xsx

KsBsMs

F

x

xKsBsMF

xKxsBxsMF

xKxBxMf

ffff

ffff

xff

ss

ss

ss

ssss

tttt

tKtBtMt

tMtKtBt

text

..)(

.

.

..

1)(

)...(

.....

...

0

m. result :bien o 0

2

)(

2

)(

)()(

2

)(

2

)(

)()()(

2

)(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(ext

Analogía electromecánica:

ExIFR

BL

KCM

LS

RCS

S

CSLSR

sI

E

CSLSR

EI

CS

E

LS

E

R

EI

IIII

ss

sss

s

ssLsRs C

11

1.

1..

.

11

1)(

..

11.

.1.

2

)()(

)()()(

)(

)()()()(

R L C

i(t) e(t)

(CIN)

I(s) E(s)

IR IL IC

R L C



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Hoja 4 de 22

Circuito equivalente:

s

FFffSi

KsBsM

ss

F

x

KsBsMs

F

x

xKsBsMF

xKxsBxsMF

xKxBxMF

FFFFffff

stt

ss

ssss

ssss

sKsBsMstKtBtMt

0

)()(0)(

2

2

)(

2

)(

)()()(

2

)(

)()()()(

)()()()()()()()(

.

..)(

..

1)(

)...(

.....

...

Teorema del valor inicial:

)()0( .lim ss

t xsx

Teorema del valor final (para hallar el régimen permanente):

)(0

)( .lim ss

t xsx

B

K

M

0

x

f(t)

xx ó

fM fB

fK

B K f(t) M



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Hoja 5 de 22

0)...(

.

...

2

0

)0(

2

)(

)0(

KSBSMs

Fsx

KSBSM

Fsx

t

s

t

0..

.

..

.

0..

.

0...

.

)...(.

2

2

0

)(

0

2

0

2

2

0

)0(

2

0

)(

0

2

0

)0(

0

2

0

)(

KSBSM

SFx

M

F

S

K

S

BM

F

KSBSM

SFx

KSBSM

SFx

SKBSM

F

KSBSM

SFx

K

F

KSBSMs

Fsx

t

t

t

t

t

Otro Ejemplo:

s

s

s s

s s

0s

0s

0s

M2

M1 B12

K12

K20

F2(t) F1(t)

x2(t) x1(t)

B20 B10

f(t)

x(t)

t

t

F0

F0/K

t

t

)(tx

F0/M

)(tx



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Hoja 6 de 22

Pasos:

1º) Identificar cuántos puntos de distinto desplazamiento existen en el sistema (En

nuestro caso: x1 y x2).

2º) Dibujar el circuito equivalente:

3º) Expresar matemáticamente las ecuaciones que se desprenden del análisis del

circuito.

)(220122012

2

2)(11212)(2

22020

2

221122112)(2

2

)(21212)(1121012

2

1)(1

21122112110

2

1)(1

2112211211011B12K12B10 M1)(1

1

.)().(.)..(

)...()(.).(

)

)..(.).(.

).(. ).( )...(

)..

()(.

...X.MF F F F

)

sss

s

sss

s

s

XKKSBBSMXSBKF

XKSBSMXXSBXXKF

xNodo

XSBKXKSBBSMF

XXSBXXKXSBSMF

XXBXXKXBF

xNodo

4º) Hallar la transferencia pedida, mediante reducción de bloques.

Matriz

transferencia

F1(s)

F2(s) x2(s)

x1(s)

G11

G12

G22

G21 +

+ +

+

F1

F2

2121111 .. FGFGx

2221212 .. FGFGx

M2 M1

x1

x2

K12

B12

B10 B20

0

K20 f1(t) f2(t)

FK12

FB12

FK20

FB20 FM2 FM1 FB10



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Hoja 7 de 22

Ejemplo de sist. electromecánico: Instrumento de hierro móvil

)(21

2

)( )...( ss xKKSBSMF

Elementos mecánicos animados con movimiento de rotación

1)

).( 1212 KTTT KKK

2)

).( 12 BTB

)s(bb)s(

)s(

)s(b

I .KF

L.SR

E . AI

LSR .

1

A Kb

21

2 ..

1

KKSBSM

E(s) Ib(s) F(s) x(s)

TK2 TK1 K

θ2 θ1

T = cupla ≡ I = Intens. corriente

θ = de rotación

K = constante elástica del eje

TB B

2 1

= velocidad angular ω = dt

d

B = coeficiente de rozamiento angular

M

x(t)

B K1 K2 f(t)

Amp.

A ib L

R e(t)

A.e(t)

?)(

.

sE

x

iKf bb

B L y R

e(t)

K1 K2

0 x(t)

Amp.

(A)

M



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Hoja 8 de 22

3)

Ejemplos:

1)

)(.

)(

2

)(

)()( ....

.

.

sS

s

s

ss

J

B

JB

SJSBT

JT

BT

TTT

BSJs

TJSBT

JSSBT

ss

ss

.

1)().(

)..(

)()(

)(

2

)(

Diagrama de bloques:

2) Sistema mecánico de rotación con tren de engranajes:

.JTJ

J = momento de inercia

= aceleración angular = 2

2

dt

d

dt

d

TJ

J

J

Eje rígido Volante

B

T θ ?)( s

T

J

θ

T B

TB

TJ

BSJ .

1

T

J1

J2

JL

T

θ

θ1

θ2 θL

B1

B2

BL

N1= Nº de dientes engranaje 1

N2

Eje conductivo ó de la carga

Carga

Eje del motor

?)s(T

L



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Hoja 9 de 22


2L2

2

L

2

22

2L222

2

L2

2

22

112

111111

2

1

).S.BS.BS.JS.J(T

.S.B.S.B.S.JS.JT

).S.BS.J(TTT.S.B.S.JT

Resultando:

J1 J2 JL

1 L 2

n 12 . n

T1 T2

n

n

TT 1

2

T B1 B2 BL

SBSJ ..

1

1

2

1 n

n SBSBSJSJ LL .... 2

2

2

2

+ _ T

T1

T2

θ1

θ2

θ2

2

1

N

Nn

relación de engranajes

2

1

1

2

T

T

2

1

1

2

2

1

T

T

N

Nn

... 2211 cteNN

Trabajo mecánico

2211 .. TT

Potencia mecánica

2211 .. TT

S.BBS.JJnS.BS.J

n)s(

T L2

2

L2

2

1

2

1

2



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Hoja 10 de 22

3)

θ) θ2)

).( LKT LL

T

L SBSJK )...().( 2

SBSJT L

L

..

12

Sistemas de nivel de líquidos

Trabajaremos con líquidos ideales, es decir, incompresibles y sin variación de

densidad con la temperatura.

Caudal volumétrico t

volqe

líq

si dtqdvoldt

dvolqctevol ee .:

dhAdvolhAvol ..

JL T

θ

1

1

1

θL K B

dt

dpAqe .

JL

L K

B T

dt

dhAq

dhAdtq

e

e

.

..

h

Área “A”

qe p0

hP .

Peso específico

dphddhdp .

Caudal de entrada

Presión atmosférica

presión en el fondo



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Hoja 11 de 22

)()()( ... sst ESCIdt

deCi


Agregado de válvula:


Condición de equilibrio:

R

P

R

PPP

R

Pq

dt

dpCq

qqq

s

alm

salme

00

.

XC1

P

qe

AC capacitancia

qe

qs

qalm

R

P0

P

qe p0

qs

p0

válvula

R



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Hoja 12 de 22

)()()(

)()(

)()()(

..1..

..1

.

.1

.

.1

..

.

ssse

sse

ssse

e

HR

RCSH

RCSQ

PR

CSQ

PR

PSCQ

R

P

dt

dpCq

)()(

)()(

)()()(

.

...

).1..()(

ssS

ssalm

sssalmse

e

HR

Q

HCSQ

QQQ

RCS

Rs

Q

H

Ejemplo:

qe

P0

P

C R )()( .

.

ss HP

hp

..

1

CS

R

Qe Qalm

Qs

H + _

a b

y

kv

qe

he

href

h

R

qs

P0

ykq ve .

a b y

hhref eh

error

b

hh

a

y ref



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Hoja 13 de 22

Para variar href habría que variar la altura del punto de apoyo de la palanca.

Actuador hidráulico lineal

Se puede demostrar que la transferencia de este sistema es:

( )( )hSζ1S

Khs

X

X1

-=

≅ Relación

integral

→0ζS

Kh (s)

X

Xh si 1⇒→

Descarga Descarga

b

a kv

..

1

CS

R

+ + _ _ href he

h

h y qe

qs

qalm



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Hoja 14 de 22

Agregando un sistema de palanca, acorde con la siguiente figura:

La transferencia será ahora:

( )pS

abs

X

X

ζ.+1

/=

2

1

Si pζ → 0 , lo cual en la práctica es fácil de lograr:

( )sX

X

2

1 ≅ →

a

b relación lineal

ACTUADORES ELECTROMECÁNICOS

Producen una potencia mecánica en base a una potencia eléctrica o viceversa (motores ó gene-radores). Existen con movimiento de rotación y traslación y por ser dispositivos de potencia gene-ralmente se encuentran en la parte final de la cadena directa del lazo de realimentación.

Control de velocidad en motores eléctricos Entre todas las aplicaciones posibles de la electrónica de potencia, merece especial atención la variación de velocidad de motores eléctricos. Los variadores de velocidad constituyen, en efecto, un campo de aplicación de los convertidores estáticos particularmente importante; su estudio nos permitirá, además, ver mejor las posibilidades que ofrecen los convertidores estáticos. Los equipos industriales utilizan cada día más arrastres de velocidad variable. Ello es debido, en parte, a la necesidad de dar al dispositivo arrastrado, la velocidad óptima en cada una de las fa-ses de un proceso. Pero sobre todo es debido a los progresos realizados en la automatización que requiere realimentar la velocidad de cada uno de los motores que actúan sobre diversos puntos de un mismo conjunto. La obtención de velocidades variables, a partir de la red trifásica de frecuencia constante que constituye normalmente la fuente de energía eléctrica disponible, se realiza actualmente en exce-lentes condiciones mediante el conjunto formado por rectificadores con tiristores y motor de co-rriente continua.

Descarga Descarga



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Hoja 15 de 22

Por otra parte, con los recientes adelantos en la conversión de energía, las técnicas de control y las microcomputadoras, las propulsiones de motores de CA se vuelven cada vez más competiti-vas en relación con las propulsiones de CC. Debido a ésto, cada día hay más interés en los variadores de velocidad para motores asíncro-nos, basados en la modulación de ancho de pulsos (PWM), los cuales están cubriendo gran par-te de las aplicaciones, pero aún quedan algunas aplicaciones que solamente las pueden cubrir los motores de CC. Aunque la tendencia futura mira hacia las propulsiones de CA, quizás pasen algunos años hasta que los variadores de velocidad para control de motores asíncronos desplace totalmente a los variadores para motores de CC. Los motores de CC, pueden proporcionar un alto par motor de arranque y también permiten el control de la velocidad en un amplio rango. Los métodos de control de la velocidad, por lo gene-ral son más simples y menos costosos que los de los variadores de CA. Los motores de CC jue-gan un papel significativo en las propulsiones industriales. Tanto los motores de CC excitados en serie como los de excitación independiente se utilizan normalmente con controladores de velocidad variable, aunque tradicionalmente los motores en serie se han utilizado para aplicaciones de tracción. Debido a los elementos de conmutación, los motores de CC no son adecuados para aplicaciones de muy alta velocidad y requieren más man-tenimiento que los motores de CA. Los rectificadores controlados proporcionan una tensión de salida de CC variable a partir de una tensión fija de CA. Los rectificadores controlados y los pulsados tienen una gran aplicación en el control industrial y en las propulsiones de velocidad variable, con niveles de potencia que van desde fracciones de KW hasta varios megavatios. Por lo general, los rectificadores controlados se utilizan para controlar la velocidad de los moto-res de CC tal y como se muestra en la figura 1. Una alternativa sería un rectificador de diodos seguido por un pulsador (ó PWM), como el que se muestra en la figura 2.



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Hoja 16 de 22

Otro caso, similar al de la figura Nº2, lo constituye la propulsión de trolebuses o trenes de ferro-carril, donde la alimentación es de corriente continua a través de una línea, mientras el pulsador se encuentra instalado junto al motor del vehículo. En este caso, en lugar de usar rectificadores controlados, se usan troceadores y la regulación de la tensión se hace a través de PWM. La disposición se vé en la figura Nº3.

Motor de corriente continua El colector se compone por delgas (contactos de cobre), conectadas a los extremos de bobinas que componen la armadura. Al girar el rotor, las escobillas van haciendo contacto con las delgas y de esta manera hacen llegar la tensión al bobinado de armadura. Fuerza en cada espira del rotor: F = B.ia .ℓ Donde: B= Inducción magnética del bobinado de campo ia= Intensidad de corriente de armadura l= longitud de las espiras que cortan líneas de fuerza del campo

Si ic =cte ⇒ control por armadura

Si ia =cte ⇒ control por campo

Figura Nº4



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Hoja 17 de 22

Ecuaciones que intervienen en el motor:

NrliaA

....)espira área(

magn.) Øc(flujoB.ia.l.r.Nespiras) rotor).N(N F.r(radioT

.ia.ØcKT 1

.Øc.Keb 2cemf ω

En estas ecuaciones, K1 y K2 son constantes constructivas del motor.

Control por armadura

Si ic =cte ⇒ Øc =cte


Pel = Pmec ia.eb = T.ω

TbbT

K=KTK•K

T ..

Lado eléctrico:

sEbsIaLa.SRasEa

s/r

V

ωω.Keb

A

m.N.KT

b

T

ebK

TK

b

T

→

→ia

ia

s .KsEb T

JL



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Hoja 18 de 22

Lado mecánico:

aargC

LL

2

L

Motor

LM

2

MT s.S.BS.Js.S.BS.JsIa.KsT

2

T

T

2

T

TL

KB

JS1B

Ra

LaS1Ra

K

KBS.JSLaRa

Ks

Ea

Como vemos, esta transferencia presenta un denominador de orden 2; es decir, 2 constantes de tiempo, una de naturaleza eléctrica y la otra mecánica. Para simplificar el resultado, asumiremos que en general se cumple que:

1.S

K

1KRa.B

Ra.JS

KRa.B

K

em

m

2

T

2

T

T

Siendo:

eB

Ra

KB

J

KRa.B

Ra.J2

T

2

T

em

la cte. de tiempo electromecánica

2

T

Tm

KRa.B

KK

:y la Ganancia del motor

Si ea=Ea0.μ(t) S

EasEa 0

+ - LaSRa .+

1

KT ( ) ( )SBBSJJ LMLM +++

12

S

KT

Ea

Eb

Ia T θL

2

T

2

TL

K.SS

B

LB

MBS

J

LJ

MJSLaRa

K.Ss

Ea

La

X La

« Ra

2

T

T

2

T

TL

KRa.BRa.J.S

K

K1B

J.SRa.B

Ks

Ea

la cual presenta ahora un denominador de orden 1

(una única constante de tiempo)

Amortiguamiento de naturaleza electromecánica



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Hoja 19 de 22

Velocidad inicial: Velocidad final:

La velocidad del motor puede ser controlada mediante la variación de Ea, manteniendo Ec cons-tante. Entonces cuando la tensión aplicada a la armadura se eleva, la velocidad se elevará. La pérdida por la resistencia de la armadura es pequeña y la velocidad del motor sube casi propor-cionalmente con la tensión aplicada a la armadura. Pero hay un límite a la tensión que puede aplicarse a la armadura y ese límite es la tensión máxima permisible para la armadura, es la ten-sión nominal de la máquina. La velocidad del motor corresponde a la tensión de la armadura y a la tensión del campo deter-minado. Así la velocidad de un motor puede variarse debajo de su velocidad máxima, controlan-do la tensión de la armadura. Sería deseable que el motor pueda desarrollar un torque tan alto como sea posible, lo que se logra con la máxima tensión aplicada al campo. Aplicando una ten-sión más alta al campo, dado que este está cerca de la saturación, no se logra un aumento signi-ficativo del torque. Por otra parte, esto sólo produciría aumento de pérdidas en el bobinado. Dado que el calor total que desarrolla el motor de CC es un valor fijo que depende de la superficie de disipación y del sistema de enfriamiento, si aumentamos las pérdidas en el bobinado de campo, se debe disminuir la potencia disipada en la armadura, con lo que el resultado final puede ser una disminución en el torque. Aumentar la tensión de armadura sobre su valor nominal, no se recomienda porque ésta se dise-ña para dicho valor, entre otros puede haber problemas con la aislación. El torque que el motor puede entregar depende de la corriente de armadura y de la corriente del campo. Si el motor se opera continuamente, la corriente de armadura máxima no debe ser más alta que su valor nominal. Cuando las corrientes de armadura y de campo están en su nivel nominal, el motor genera el torque nominal. El torque máximo que el motor puede entregar continuamente por un largo período de tiempo, es el de su valor nominal y la velocidad debe cumplir que no ex-ceda el valor máximo. O sea que debe ser:

0 < ω < ωnom donde ωnom es la velocidad nominal del motor

La potencia desarrollada por el motor es:

Pamáx = Tmmáx .ω

El torque máximo que el motor puede entregar continuamente se llama Tm max,cont. Lo que se está mostrando en la ecuación, es el torque máximo que el motor puede entregar, y no el torque real que el motor entrega. El torque real que el motor entrega depende de la carga mecánica conec-tada a su eje. Si la velocidad del motor es aumentada más allá de su valor nominal, ésta puede lograrse manteniendo la tensión de la armadura en su valor nominal y debilitando el campo redu-ciendo la tensión aplicada a él. Cuando la velocidad del motor se aumenta de esta manera, la potencia máxima que puede desarrollar la armadura es fija. Eso significa que el torque máximo que el motor puede desarrollar sobre la velocidad nominal es:

Tmmax,cont = Eanom . Ianom donde ω > ω nom

ω Los diagramas de Pamax y Tmmax , pueden expresarse en función de la velocidad, como se obser-va en la siguiente figura.

L(s)

1.S

K

S

Eas

Ea.sEa

em

m0

01.S

K.Ea

Sem

m0

S

→∞→

→

s S.0 Lim t

m0

Sem

m0 K.Ea1.S

K.Ea

S

0→0→

→

s S.Lim t

L



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Hoja 20 de 22

En la figura Nº5 se pueden observar los valores máximos que el motor puede admitir. El diagra-ma se puede dividir en dos zonas de funcionamiento, la primera es la de “Cupla cte.” Y la segun-da de “Potencia cte.” En la zona de Cupla cte. la corriente de armadura Ia es cte., la corriente de excitación también es cte. por lo tanto lo será la cupla. Se entiende que estos son valores máx. de cupla que el motor puede entregar, pero la cupla la determina la carga. La potencia depen-derá de la tensión de armadura y de la velocidad que es una función casi directa de esta tensión. Cuando llegamos a la velocidad nominal, estamos en ese punto a la potencia máx. que el motor puede entregar, pero en general, los motores pueden desarrollar mayor velocidad, siempre y cuando no se sobrepase la potencia máxima. Para cumplir con estas exigencias, podemos man-tener la tensión de armadura y disminuir la corriente de excitación. Esto hará que la velocidad aumente, pero la cupla máxima irá decreciendo como se ve en la Figura Nº5. Esta zona donde la corriente de excitacíón es decreciente y la tensión de armadura es cte, se llama de Potencia cte. En la figura Nº6, podemos ver un sistema de control de un motor de CC en lazo abierto.



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Hoja 21 de 22

La etapa de potencia para impulsar un Motor de C.C. puede ser de variados diseños. Si ésta es de poca po-

tencia, en el orden del vatio hasta varios cientos de vatios, puede ser a transistores debido a su fácil manejo.

Si la potencia es mayor, en el orden de varios kilovatios, ya es conveniente el uso de tiristores. Estos pueden estar alimentados de una fuente monofásica o trifásica según la potencia del motor a impulsar. Hasta el orden de los 3 kilovatios, puede ser monofásica. Para mayores potencias ya debe ser trifásica. Ejemplo:

Un motor controlado por armadura se alimenta con 100 V y consume en régimen permanente 10 A, girando a 1200 rpm y entregando una potencia mecánica de 900 W. Las pérdidas mecánicas se han considerado dentro de la potencia entregada. Determinar: a) El valor de la resistencia de armadura. b) La nueva velocidad en rpm si se intercala en serie con la armadura una resistencia de 4Ω. c) El valor de la nueva corriente de armadura. d) El valor del nuevo par de arranque e) El amortiguamiento total visto por el motor. Repaso fórmulas y diagrama de aplicación:

Pa = Ea.Ia (1)

Pa = Pem + Ppa (2)

Ppa = Ia2.Ra (3)

Pem = Tm.f = Bmec. f2 (4)

Pem = Eb.Ia (5)

Eb = KT.f (6)

Km =2

T

T

KRa.Bmec

K

(7)

Tm = Bmec.f (8)

Tm = KT.Ia (9)

Ra

KBe

2T

Btot = Bmec + Be

Circuito equivalente en régimen permanente:

+ - LaSRa .+

1 KT

T ( ) ( )SBBSJJ LMLM +++

12 S

KT

T

Ea

Eb

Ia Tm θL



Región V

6º Año

Área Electrónica

Apunte teórico 4


Hoja 22 de 22

a) De (1): Pa = 100 V . 10 A = 1000 W

De (2): Ppa = Pa – Pem

= 1000 W – 900 W

= 100 W

De (3): Ra = 22 )A 10(

W100

Ia

Ppa = 1Ω

b) Ra = 4 Ω + 1 Ω = 5 Ω

f = Km . Ea

De (4): Bmec = 22 )seg/rad67,125(

W900

f

Pem

= 0,0572

2

rad

ws

De (5): Eb = V90A 10

W900

Ia

Pem

De (6): KT = rad

vs716,0

s/r67,125

v90

wf

Eb

De (7): Km = 2

T

T

KRa.Bmec

K

=

2

2

2

)r/vs716,0(5r

vs057,0

rad

vs716,0

= 0,897 vs

r

s/r7,89v100vs

r897,0wf = 857 rpm

c) De (9): Ia =r/ V.s716,0

J 11,5

K

Tm

T

Ia = 7,14 A

d) De (8): T = Bmec. f = 0,057 s/r7,89.r

ws2

2

= 5,11 Joule

e) Be = 102,05

)rad

vs716,0(

Ra

K2

2T

2

2

r

ws

Btot = Bmec + Be = 0,0572

2

r

ws+ 0,102

2

2

r

ws= 0,159

2

2

r

ws

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