1. Instituto Universitario PolitcnicoSantiago MarioExtensin Maturn Esc. Ing. Electrnica y ElctricaModelos matemticos. Diagramas de bloquesFacilitadora: Ing. Maringela PollonaisMaturn, mayo de 2011 2. Aplicaciones transformada de Laplace Circuito RLC serie Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff 3. Aplicaciones Transformada de Laplace Obteniendo la Transformada de Laplace, concondiciones iniciales igual a cero se obtiene : 4. Aplicaciones Transformada de Laplace Haciendo el cocientedelaseal de salidacon respecto alaentrada se tiene: Con esta relacin, se puede obtener la respuesta a diferentes seales de entrada tpicas y saber el comportamiento del sistema. 5. Aplicaciones Transformada de Laplace Sistema Masa Resorte Utilizando las leyes de Newton, se obtiene: d2ydy km 2 bky (t ) r (t ) dt dt b donde m es la masa, b es el coeficiente de friccinviscosa, k es la constante del resorte, y(t) es eldesplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada.m y(t)r(t) 6. Aplicaciones Transformada de Laplace Su transformada de Laplace es:M s 2Y ( s) sy (0) y(0)b sY ( s) y (0) KY ( s) R( s )considerando:y(0) 0, y (0) 0 2 Ms Y ( s) bsY ( s) KY ( s) R( s ) Y (s)12 R( s) Ms bs K 7. Funcin de TransferenciaLa funcin de transferencia de un sistema se define comola transformada de Laplace de la variable de salida y latransformada de Laplace de la variable de entrada,suponiendo condiciones iniciales cero. L c(t )Funcin de transferencia L r (t ) con condiciones inicialescero c(t ) salida r (t ) entrada 8. Funcin de TransferenciaObservaciones Es una descripcin entrada salida del comportamientodel sistema. Depende de las caractersticas del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada. No proporciona informacin acerca de la estructura interna del sistema. 9. Funcin de Transferencia Para el sistema:an y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 ya0 ybm u ( m ) b1ub0u donde y(t)=entrada y u(t)= salida nmAplicando Transformada de Laplace en ambos miembros queda: ( m) Y ( s) bm s b1s b0G( s) U ( s) an s ( n ) an 1s ( n 1) a1s a0 10. Funcin de Transferencia A la potencia ms alta del denominador de G(s) (ecuacin caracterstica) se le denomina orden del sistema. A las races de la ecuacin caracterstica se les denominan polos del sistema, mientras que a las races del numerador se le llaman ceros del sistema. 11. Diagrama de polos y ceros El diagrama de polos y ceros de la Funcin de Transferencia de un sistema es una grfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un smbolo o y los polos con un smbolo x . POLOS: p es un polo de un sistema si G(p) CEROS: c es un cero de un sistema si G(c) 0 12. Diagrama de polos y cerosUn sistema, que esta inicialmen te en reposo, se explica por la Funcion de Transferen cia( s 5)(s j ) H (s) ( s 3)(s 2)(s 2 6 s 25)( s 5)(s j ) H (s)( s 3)(s 2)(s 3 j 4)(s 3 j 4) los ceros del sistema seran c15, c 2 j los polos del sistema seranp1 3, p 22, p 3 3 j 4, p 4 3 j4 13. Diagrama de polos y ceros Representacin en el plano complejo j Imag(s) = j4 1 Re(s) =-5-3 -2-4 14. Modelo Matemtico En lneas generales, por modelo de un proceso se entiende una representacin de los aspectos esenciales del mismo. Los modelos han probado su utilidad en diferentes aspectos del diseo, operacin y desarrollo de procesos. 15. Modelo Matemtico Representan el proceso en trminos matemticos(smbolos), en cuanto a sus propiedades, caractersticas, yrelaciones internas y externas. Son extensivamente usadosen una gran cantidad de campos. Ventajas de los modelos matemticos: Lenguaje preciso, sin ambiguedades. Facilidad de manipulacin analtica e implementacincomputacional 16. Diagramas de Bloque Los diagramas de bloques de un sistema son bloquesoperacionales y unidireccionales que representan lafuncin de transferencia de las variables de inters. Ventajas: Representan en forma ms grfica el flujo de seales de un sistema. Con los bloques es posible evaluar la contribucin de cada componente al desempeo total del sistema. No incluye informacin de la construccin fsica del sistema (Laplace). 17. Diagramas de Bloque Elementos de un diagrama de bloques Funcin deVariable Variabletransferenciade entrada de salida G (s ) 18. Diagramas de Bloque Bloque: Representa la operacin matemtica que sufre laseal de entrada para producir la seal de salida. Lasfunciones de transferencia se introducen en los bloques. Alos bloques tambin se les llama ganancia. Flecha:Representa una y solo una variable. La punta de laflecha indica la direccin del flujo de seales. 19. Diagramas de Bloque Forma general Bifurcacin.P(s)R(s)E(s) G(s)C(s)+ B(s) H(s)Sumador 20. Diagramas de Bloque R(s) Entrada de referencia: Es la seal de entrada al sistema de control. C(s) Salida del sistema: Es la cantidad fsica que debe mantenerse en un valor predeterminado. P(s) Perturbaciones: Son seales que afectan la salida del sistema. 21. Diagramas de Bloque E(s) Seal activa de error: Esta seal es la diferencia entrela seal de entrada de referencia y la salida del sistema,acta sobre el bloque de control para mantener la salidade un valor deseado. B(s) Seal de retroalimentacin: Es la seal de salidadespues que pasa por el elemento H(s). 22. Diagramas de Bloque Sumadores: Representanoperaciones de adicin o sustraccin de las seales que intervienen. Tambin se les llama comparadores. (La adicin o sustraccin depende del signo con que las seales entran) 23. Diagramas de BloqueBifurcacin: Un punto de toma es aquel a partir del cualla seal de un bloque va de modo concurrente a otrosbloques o puntos de suma. 24. Diagramas de Bloque 25. Diagrama de bloques El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuacionesdinmicas que describen el comportamiento de cadacomponente a las que previamente se las aplica laTransformada de Laplace, conectando finalmente loscomponentes del diagrama de bloques completo. A partir del diagrama de bloques de un sistema se puedenrealizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir eldiagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente. Reduccin del diagrama de bloques original por aplicacin delas reglas del algebra de bloques. 26. Diagramas de bloques Funciones de transferencia De trayectoria directa. De lazo abierto. De lazo Cerrado. 27. Diagramas de bloques Funcin de transferencia trayectoria directaR(s) E(s) G(s) C(s) B(s)H(s)C (s)G (s)E (s) 28. Diagramas de bloques Funcin de transferencia de lazo abiertoR(s)E(s) G(s)C(s) + B(s)H(s)B( s)G( s) * H ( s)E ( s) 29. Diagramas de bloques Funcin de transferencia de lazo cerradoR(s) C(s) G(s) + - H(s) C ( s)G( s) R( s)1 G( s) * H ( s) 30. lgebra de bloques Representa las equivalencia que existen entre un conjuntode elementos de un diagrama de bloques agrupados en unaforma especfica. 31. lgebra de bloques Bloques en serie R(s) C(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s) G1(s) x G2(s) 32. lgebra de Bloques Bloques en paraleloG1(s)C(s)R(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s) + G2(s) 33. lgebra de Bloques Adelantar punto de bifurcacin X1(s)X2(s)G1(s) G2(s)X1(s) X2(s)G1(s)G2 ( s )G1 ( s ) 34. lgebra de bloques Atrasar un punto de bifurcacin X1(s) X2(s)G1(s) G2 ( s ) X1(s) X2(s) G1(s)G1(s)G2(s) 35. lgebra de bloques Adelantar un punto de sumaX1(s) X2(s)G1(s)G2(s)X2(s)X1(s)G1(s) G2 ( s ) G1 ( s ) 36. lgebra de bloques Atrasar un punto de sumaX1(s) X2(s) G1(s)G2 ( s )X2(s)X1(s)G1(s) G1(s)G2(s) 37. lgebra de bloques Propiedad asociativa de la suma X1 +X4X2 X3--X2 -X1+X4 -X3 38. lgebra de bloques Retroalimentacin R(s)G(s) C(s) + _ H(s)G (s)R(s) C(s) 1 G (s) H (s) 39. lgebra de bloques Tablas 40. lgebra de bloques Continuacin 41. Simplificacin de Diagramas deBloques Se basa en el uso del lgebra de bloques para agrupary sustituir partes de un diagrama inicial porequivalentes reducidos. Realizando esto en formasucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sloresultado o bloque, el cual representar la funcin detransferencia entre las seales involucradas. 42. Simplificacin de Diagramas de Bloques Ejemplos _R(S) + + 510 C(s) _H _ 1/10R(S) 510 C(S) _ 1/5H 43. Simplificacin de Diagramas de Bloques Continuacin _ 1/10 +R(S) 5 10 C(S) _ 1/5 H +R(S) 50 C(S) _ H/51/10 44. Simplificacin de Diagramas de Bloques Continuacin +R(S)50 C(S) _(10H+5)/50 G (s) R(s) C(s)1 G (s) H (s) 45. Simplificacin de Diagramas de Bloques Ejemplo Ha_ ++R(s) GaGb Gc C(s) _Hb1/Ga Ha _R(s) + + C(s)Ga Gb Gc _Hb 1/Gc 46. Simplificacin de Diagramas de Bloques Continuacin..1/Ga Ha _R(s) + + GaGb Gc C(s) _ Hb1/GcR(s) + C(s)GaGbGc _ (Ha/Ga)+(Hb/Gc)