Universidad Nacional de Tres de Febrero

Trabajo Práctico Nº 312 “Modulación Angular”

Comunicaciones

Agustín Arias

08/11/2012

PROBLEMA Nº1:

Dada la siguiente forma de onda modulada en FM:

φFM (t )=100 cos [2π∗107 t+30 sen (2π∗1000 t )]

Calcular:

1. Potencia normalizada de la portadora sin modular. (Pot. media)2. Potencia normalizada de la onda modulada. (Pot. media)3. Máxima desviación de fase.4. Máxima desviación de frecuencia.5. BW. y Nº. de bandas laterales.6. Si la amplitud de la modulante se reduce en 100 veces y la frecuencia varía a 5 KHz,

cual es el nuevo BW (ancho de banda), cual es la potencia media normalizada de la portadora modulada

Solución:

1. En primera instancia definimos la potencia de una señal FM según:

PφFM=

Ac2

T∫−T

2

T2

|cos (wt )|2dt=Ac

2

2

Entonces, la potencia normalizada de la portadora sin modular será:

¿¿2. Una de las principales características que tiene este tipo de modulación es que la

potencia de la señal se mantiene constante, haya o no haya mensaje. Por lo tanto, la potencia de la señal modulada será exactamente igual que la sin modular del punto anterior:

¿¿3. El desvío de fase (θ( t )) es:

30 sen (2π∗1000t )

Por lo tanto, el máximo desvío será cuando sen (2π∗1000 t ) valga uno:

θ( t )max=30

4. Sabiendo que:

β=∆ ff m

=30

Donde f m=1000 Hz

Se deduce que la máxima desviación de frecuencia es ∆ f=30 KHz

5. El ancho de banda (B.W.) para señales de FM se define de la siguiente manera (Regla de Carson)1:

B .W .=2N (β ) f m

Donde N (β ) es el número de bandas laterales significativas, y se define como:

N (β )=β+α

Siendo α=(0 ;1;2 ;3) según la calidad de transmisión. En este caso consideramos α=0. Entonces, el número de bandas laterales significativas será:

N (β )=β=30

Y el ancho de banda:

B .W .=2N (β ) f m=60 KHz

6. Al reducir 100 veces la amplitud de la señal modulante, el desvío de frecuencia también se verá reducido esa cantidad ya que el mismo es directamente proporcional a la amplitud de dicha señal:

∆ f=k f Am

Definimos entonces los tres nuevos parámetros:

∆ f '= ∆ f100

f m'=5 KHz

β '=∆ f '

f m '= ∆ f

100∗f m '= 30 KHz

100∗5 KHz=0,06

1 La regla de Carson es una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

B .W .=2N (β ) f m ; N (β )=(β+α ) ; α={ 2 ,1< β≤51 ,5< β≤20

0 , β>20

donde N (β ) es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia, al igual que en

Amplitud Modulada (AM) se define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y donde fm es el ancho de banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para la señal modulada). (Fuente: Wikipedia)

FM de banda angosta(NBFM)

Dado que β '=0,06 en este caso tenemos una señal modulada en FM de banda angosta (NBFM). Para este tipo de señales, el espectro resultante solo contiene componentes de frecuencia en ωc±ωm, por lo tanto el ancho de banda será:

B .W .=2 f m=10KHz

Como ya mencionamos anteriormente, la potencia en FM es constante con y sin modulación, por lo tanto:

¿¿

Se aprecia claramente que la potencia solo depende de la amplitud de la portadora, por lo tanto en este caso se mantiene invariante.

PROBLEMA Nº2:

Teniendo en cuenta que en la radiodifusión de FM se ha reglamentado el uso de una desviación de frecuencia de 75 KHz y una señal modulante cuya frecuencia puede variar entre 30 y 15000 Hz.

Determinar:

1. El ancho de banda necesario para este tipo de transmisión, teniendo en cuenta que se desea una alta calidad de recepción.

2. Comprobar que toda la banda de frecuencia posible de la señal modulante, produzca un BW de señal modulada que cumpla con las especificaciones

Solución:

1. Para calcular el ancho de banda que necesita una transmisora de FM que cumple con los requisitos reglamentados, debemos analizar lo que ocurre cuando la señal modulante es de frecuencia mínima (30 Hz) y cuando es de frecuencia máxima (15 KHz). Para esto calculamos el βmin y el βmax :

βmax=∆ ff min

=75000 Hz30 Hz

=2500

βmin=∆ ff max

=75000 Hz15000 Hz

=5

Ahora calculamos el ancho de banda para los valores de βmax y βmin utilizando la Regla de Carson:

¿¿

¿¿

2. Como se puede apreciar en el punto anterior, el mayor ancho de banda necesario es de 210 KHz, y se corresponde al βmin que implica una f max de 15 KHz. Dado que por normativa el ancho de banda para transmisoras de FM comercial no puede superar los 200 KHz, lo que se hace es filtrar en alta frecuencia a la señal (filtro para señales de gran potencia). Para cumplir con la norma, la frecuencia máxima de la señal moduladora (f max) debería ser:

200 KHz=2∆ f +4 f max

f max=200 KHz−2∗75 KHz

4=12,5KHz

PROBLEMA Nº3:

Dibujar la representación temporal de una portadora modulada para los casos de AM, FM, y PM (ωc≫ωmmax

) si la señal modulante es una onda:

1. Diente de sierra2. Sinusoidal

Solución:

1. Diente de sierra

Modulación en Amplitud (AM):

Fig.1: Modulación en AM con diente de sierra. Arriba: Señal portadora. Centro: Señal moduladora (Diente de sierra). Abajo: Señal modulada (AM)

Modulación en Frecuencia (FM):

Fig.2: Modulación en FM con diente de sierra. Arriba: Señal moduladora (Diente de sierra). Abajo: Señal modulada (FM)

Modulación de Fase (PM):

Fig.3: Modulación en PM con diente de sierra. Arriba: Señal moduladora (Diente de sierra). Abajo: Señal modulada (PM)

2. Sinusoidal

Modulación en Amplitud (AM):

Fig.4: Modulación en AM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (AM)

Modulación en Frecuencia (FM):

Fig.5: Modulación en FM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (FM)

Modulación de Fase (PM):

Fig.6: Modulación en PM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (PM)

PROBLEMA Nº4:

Se dispone de un generador de señal cosenoidal x (t)=cos(2π fm t), cuya frecuencia puede adoptar tres valores diferentes: fm1= 0,1kHz; fm2 =1 kHz y fm3 = 5 kHz.

Dicha señal será utilizada para realizar un ensayo sobre un modulador de FM, con una constante del modulador K f=30kHz /volt al cual se aplica alternadamente cada uno de los

tonos. Luego se repite el mismo ensayo sobre un modulador de PM cuya constante es K p=30

.

Se solicita:

1. Comparar el ancho de banda B necesario para cada modulador en cada uno de los tres casos. Extraer conclusiones.

2. Determinar para que frecuencia modulante los B son iguales.3. Considerando este último caso, B iguales, determinar las expresiones de la onda

modulada en frecuencia y fase en el caso de utilizar una portadora con las siguientes características: c (t )=3 cos(2π .106 t)

Solución:

1. En primer lugar vamos a definir las ecuaciones necesarias para calcular el ancho de banda necesario para los dos tipos de moduladores, FM y PM.

Como se definió en el Problema Nº 1, el factor β en FM se calcula como:

βFM=K f∗Am

f m=30∗103 Hz/V∗1V

f m

=∆ ff m

El ancho de banda B se definió según la Regla de Carson como:

BFM=2(βFM+1) f m (α=1)

Reemplazando

BFM=2K f+2 f m

Para el caso de PM, el factor βPM se obtiene según:

βPM=K p∗Am

Luego, el ancho de banda BPMserá:

BPM=2K p f m+2 f m

Por lo tanto, para los 3 casos de cada modulador se obtienen los siguientes resultados:

ANCHO DE BANDA [B]

X1(t)0,1 kHz X2(t)1 kHz X3(t)5 kHz

MODULADOR FM 60,2 KHz 62 KHz 70 KHz

MODULADOR PM 800 Hz 8 KHz 40 KHz

Estos resultados reflejan una característica muy clara y distintiva entre ambos sistemas de modulación: La relación entre frecuencia de la señal modulante y el ancho de banda necesario para transmitirla es completamente distinta en PM con respecto a FM. Mientras que en FM el ancho de banda varía entre 60,2 KHz y 70 KHz (diferencia de 9,8 KHz) para señales de entre 100 Hz y 5 KHz, en PM el ancho de banda varía entre 800 Hz y 40 KHz (diferencia de 39,2 KHz) para el mismo rango de frecuencia de la señal modulante.Esto se debe a la naturaleza de cada tipo de modulación ya que se ve claramente que el ancho de banda en PM aumenta de forma lineal con la frecuencia de la señal moduladora, tal como lo indica la definición de este tipo de señales.Por su parte, las señales de FM varían su frecuencia de forma no lineal, según la integral de la modulante, motivo por el cual el ancho de banda sufre alteraciones más pequeñas que en el caso de PM.

2. Los valores βFM y βPM serán iguales cuando se cumpla que:

2 K f+2 f m=2 K p f m+2 f m

f m=K f

K p

Por lo tanto, la frecuencia de la señal modulante será 10 KHz, y su ancho de banda 80 KHz.

3. Utilizando entonces f m=10 KHz, obtenemos βFM y βPM :

βFM=K f∗Am

f m=30∗103∗1V

10∗103 =3

βPM=K p∗Am=3∗1=3

Por lo tanto se obtienen:

φFM=3 cos [2π∗106 t+3 cos (2π∗103 t )]

φPM=3 cos [2π∗106 t+3 cos (2π∗103 t )]

Claramente se aprecia que debido a que los anchos de banda de cada tipo de modulación son iguales, sus β también lo son, por lo tanto las expresiones de φFMy φPM coinciden.

PROBLEMA Nº5:

Una señal de ángulo modulado tiene un Δf max1=20 Hz para una entrada senoidal de amplitud unitaria y frecuencia 50 Hz.

Se solicita:

1. Si la modulación utilizada es FM. Determinar el factor de multiplicación N necesario para producir un Δf max2=20KHz , cuando la frecuencia de la señal de entrada es de 100 Hz.

2. Ídem para PM.

Solución:

1. Debido a que la señal de entrada (modulante) tiene amplitud unitaria, el incremento N necesario para Δf max=20 KHz será:

¿¿

¿¿

20 KHz=N∗20 Hz

N=1000

2. Para el caso de PM, se debe considerar la frecuencia de la señal modulante (50 Hz), ya que el desvío máximo de frecuencia en este caso se define como:

¿¿

K p=20 Hzf m

=20 Hz50 Hz

=25

Por lo tanto para el valor de N se calcula del siguiente modo:

¿¿

N=20∗103 Hz∗52∗100Hz

=500

Estos resultados indican la clara dependencia que tiene el valor del desvío máximo de frecuencia en PM con la frecuencia del mensaje, y que dicha dependencia es lineal (duplicar la frecuencia conlleva a disminuir a la mitad el valor de N). Esto no ocurre con FM ya que el desvío máximo de frecuencia solo depende de K f y de la amplitud del mensaje.

PROBLEMA Nº6:

Con el objeto de realizar un ensayo sobre tres transmisores con modulación angular, se utiliza la señal de prueba senoidal x (t)=Am cos(2π∗f m∗t) con tres valores diferentes de amplitud y frecuencia. En la tabla siguiente se muestra el ancho de banda B utilizado por cada transmisor en función de la amplitud y la frecuencia de la señal modulante.

Determinar en cada caso si el sistema es de banda angosta o ancha e identificar el tipo de modulación de ángulo (FM o PM)

Solución:

Para poder identificar qué tipo de transmisor es cada uno, hay que tener en cuenta que la constante de demodulación es fija en cada equipo, por lo tanto al conocer el ancho de banda que utiliza cada uno según la frecuencia y la amplitud de la señal modulante es posible identificarlos.

Recordamos las ecuaciones para el ancho de banda de FM, PM y NBFM:

B .W .FM=2 N (β ) f m B .W .PM=2 N (β ) f m B .W .NBFM=2 f m

B .W .FM=2(β+1) f m B .W .PM=2(β+1) f m

B .W .FM=2 β f m+2 f m B .W .PM=2 β f m+2 f m

B .W .FM=2 K f Am+2 f m B .W .PM=2 K p Am f m+2 f m

Ahora se elige uno de estos tres tipos de modulaciones y se evalúa en qué transmisor la constante de demodulación se mantiene invariable a los cambios de frecuencia y amplitud de la señal modulante.

Evaluamos K f para el transmisor 3:

Se observa que K f se mantiene constante en cada caso, por lo tanto el transmisor 3 es de FM.

Evaluamos K p para el transmisor 2:

En este caso el valor de K p se mantiene invariante, por lo tanto el transmisor 2 es de PM.

Para el transmisor 1 se cumple que B .W .NBFM=2 f m, entonces el mismo es de NBFM.