MODULACION FM

PROBLEMA Nº1:

Dada la siguiente forma de onda modulada en FM:

φFM (t )=100 cos [2π∗107 t+30 sen (2π∗1000 t )]

Calcular:

1. Potencia normalizada de la portadora sin modular. (Pot. media)2. Potencia normalizada de la onda modulada. (Pot. media)3. Máxima desviación de fase.4. Máxima desviación de frecuencia.5. BW. y Nº. de bandas laterales.6. Si la amplitud de la modulante se reduce en 100 veces y la frecuencia varía a 5 KHz, cual es

el nuevo BW (ancho de banda), cual es la potencia media normalizada de la portadora modulada

Solución:

1. En primera instancia definimos la potencia de una señal FM según:

PφFM=

Ac2

T∫−T

2

T2

|cos (wt )|2dt=Ac

2

2

Entonces, la potencia normalizada de la portadora sin modular será:

¿¿2. Una de las principales características que tiene este tipo de modulación es que la potencia

de la señal se mantiene constante, haya o no haya mensaje. Por lo tanto, la potencia de la señal modulada será exactamente igual que la sin modular del punto anterior:

¿¿3. El desvío de fase (θ( t )) es:

30 sen (2π∗1000t )

Por lo tanto, el máximo desvío será cuando sen (2π∗1000 t ) valga uno:

θ( t )max=30

4. Sabiendo que:

β=∆ ff m

=30

Donde f m=1000 Hz

Se deduce que la máxima desviación de frecuencia es ∆ f=30 KHz

5. El ancho de banda (B.W.) para señales de FM se define de la siguiente manera (Regla de Carson)1:

B .W .=2N (β ) f m

Donde N (β ) es el número de bandas laterales significativas, y se define como:

N (β )=β+α

Siendo α=(0 ;1;2 ;3) según la calidad de transmisión. En este caso consideramos α=0. Entonces, el número de bandas laterales significativas será:

N (β )=β=30

Y el ancho de banda:

B .W .=2N (β ) f m=60 KHz

6. Al reducir 100 veces la amplitud de la señal modulante, el desvío de frecuencia también se verá reducido esa cantidad ya que el mismo es directamente proporcional a la amplitud de dicha señal:

∆ f=k f Am

1 La regla de Carson es una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

B .W .=2N (β ) f m ; N (β )=(β+α ) ; α={ 2 ,1< β≤51 ,5< β≤20

0 , β>20

donde N (β ) es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia, al igual que en

Amplitud Modulada (AM) se define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y donde fm es el ancho de banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para la señal modulada). (Fuente: Wikipedia)

Definimos entonces los tres nuevos parámetros:

∆ f '= ∆ f100

f m'=5 KHz

β '=∆ f '

f m '= ∆ f

100∗f m '= 30 KHz

100∗5 KHz=0,06

Dado que β '=0,06 en este caso tenemos una señal modulada en FM de banda angosta (NBFM). Para este tipo de señales, el espectro resultante solo contiene componentes de frecuencia en ωc±ωm, por lo tanto el ancho de banda será:

B .W .=2 f m=10KHz

Como ya mencionamos anteriormente, la potencia en FM es constante con y sin modulación, por lo tanto:

¿¿

Se aprecia claramente que la potencia solo depende de la amplitud de la portadora, por lo tanto en este caso se mantiene invariante.

PROBLEMA Nº2:

Teniendo en cuenta que en la radiodifusión de FM se ha reglamentado el uso de una desviación de frecuencia de 75 KHz y una señal modulante cuya frecuencia puede variar entre 30 y 15000 Hz.

Determinar:

1. El ancho de banda necesario para este tipo de transmisión, teniendo en cuenta que se desea una alta calidad de recepción.

2. Comprobar que toda la banda de frecuencia posible de la señal modulante, produzca un BW de señal modulada que cumpla con las especificaciones

Solución:

1. Para calcular el ancho de banda que necesita una transmisora de FM que cumple con los requisitos reglamentados, debemos analizar lo que ocurre cuando la señal modulante es de frecuencia mínima (30 Hz) y cuando es de frecuencia máxima (15 KHz). Para esto calculamos el βmin y el βmax :

FM de banda angosta

βmax=∆ ff min

=75000 Hz30 Hz

=2500

βmin=∆ ff max

=75000 Hz15000 Hz

=5

Ahora calculamos el ancho de banda para los valores de βmax y βmin utilizando la Regla de Carson:

¿¿

¿¿

2. Como se puede apreciar en el punto anterior, el mayor ancho de banda necesario es de 210 KHz, y se corresponde al βmin que implica una f max de 15 KHz. Dado que por normativa el ancho de banda para transmisoras de FM comercial no puede superar los 200 KHz, lo que se hace es filtrar en alta frecuencia a la señal (filtro para señales de gran potencia). Para cumplir con la norma, la frecuencia máxima de la señal moduladora ( f max) debería ser:

200 KHz=2∆ f +4 f max

f max=200 KHz−2∗75 KHz

4=12,5KHz

MODULACION DE FM Y PM

PROBLEMA Nº3:

Se dispone de un generador de señal cosenoidal x (t)=cos(2π fm t), cuya frecuencia puede adoptar tres valores diferentes: fm1= 0,1kHz; fm2 =1 kHz y fm3 = 5 kHz.

Dicha señal será utilizada para realizar un ensayo sobre un modulador de FM, con una constante del modulador K f=30kHz /volt al cual se aplica alternadamente cada uno de los tonos. Luego se

repite el mismo ensayo sobre un modulador de PM cuya constante es K p=30.

Se solicita:

1. Comparar el ancho de banda B necesario para cada modulador en cada uno de los tres casos. Extraer conclusiones.

2. Determinar para que frecuencia modulante los B son iguales.

3. Considerando este último caso, B iguales, determinar las expresiones de la onda modulada en frecuencia y fase en el caso de utilizar una portadora con las siguientes características: c (t )=3 cos(2π .106 t)

Solución:

1. En primer lugar vamos a definir las ecuaciones necesarias para calcular el ancho de banda necesario para los dos tipos de moduladores, FM y PM.

Como se definió en el Problema Nº 1, el factor β en FM se calcula como:

βFM=K f∗Am

f m=30∗103 Hz /V∗1V

f m

=∆ ff m

El ancho de banda B se definió según la Regla de Carson como:

BFM=2(βFM+1) f m (α=1)

Reemplazando

BFM=2K f+2 f m

Para el caso de PM, el factor βPM se obtiene según:

βPM=K p∗Am

Luego, el ancho de banda BPMserá:

BPM=2K p f m+2 f m

Por lo tanto, para los 3 casos de cada modulador se obtienen los siguientes resultados:

ANCHO DE BANDA [B]

X1(t)0,1 kHz X2(t)1 kHz X3(t)5 kHz

MODULADOR FM 60,2 KHz 62 KHz 70 KHz

MODULADOR PM 800 Hz 8 KHz 40 KHz

Estos resultados reflejan una característica muy clara y distintiva entre ambos sistemas de modulación: La relación entre frecuencia de la señal modulante y el ancho de banda necesario para transmitirla es completamente distinta en PM con respecto a FM. Mientras que en FM el ancho de banda varía entre 60,2 KHz y 70 KHz (diferencia de 9,8 KHz) para señales de entre 100 Hz y 5 KHz, en PM el ancho de banda varía entre 800 Hz y 40 KHz (diferencia de 39,2 KHz) para el mismo rango de frecuencia de la señal modulante.Esto se debe a la naturaleza de cada tipo de modulación ya que se ve claramente que el ancho de banda en PM aumenta de forma lineal con la frecuencia de la señal moduladora, tal como lo indica la definición de este tipo de señales.Por su parte, las señales de FM varían su frecuencia de forma no lineal, según la integral de la modulante, motivo por el cual el ancho de banda sufre alteraciones más pequeñas que en el caso de PM.

2. Los valores βFM y βPM serán iguales cuando se cumpla que:

2 K f+2 f m=2 K p f m+2 f m

f m=K f

K p

Por lo tanto, la frecuencia de la señal modulante será 10 KHz, y su ancho de banda 80 K Hz.

3. Utilizando entonces f m=10 KHz, obtenemos βFM y βPM :

βFM=K f∗Am

f m=30∗103∗1V

10∗103 =3

βPM=K p∗Am=3∗1=3

Por lo tanto se obtienen:

φFM=3 cos [2π∗106 t+3 cos (2π∗103 t )]

φPM=3 cos [2π∗106 t+3 cos (2π∗103 t )]

Claramente se aprecia que debido a que los anchos de banda de cada tipo de modulación son iguales, sus β también lo son, por lo tanto las expresiones de φFMy φPM coinciden.