Modulo 07-8!9!10 Valor Numerico de Una Expresion Algebraica

I E P Cristo Amigo Algebra 6to

SESIÓN Nº 01:

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO :1. Efectúa operaciones de adición y sustracción de expresiones algebraicas

II. ACTIVIDADES :A. INICIALES:

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS:

1.Adición de Expresiones Algebraicas: Para sumar expresiones algebraicas ya sean Monomio o Polinomio se agrupan los términos semejantes, y se efectúa como en una reducción de términos semejantes:

Ejemplo: 01: Halla: A(x) + B(x) Si: A (x) = 3x + 7y; B(x) = 7x – 4y

Tenemos: (3x + 7y) + (7x – 4y) agrupamos términos Semejantes (3x + 7x) + (7y – 4y) Por lo tanto la suma será: 10x + 3y

Ejemplo 02: Sumar: 2x + 4y; 6x – 5y

Tenemos (2x + 4y) + (6x – 5y) agrupamos términos Semejantes: (2x + 6x) + (4y – 5y)Por lo tanto la suma será: 8x – y

Ejemplo 03: Dados los polinomios P(x , y) = 2x3y2 + 4x2y – 5x + 2

Q(x , y) = - 2x3y2 – 3x2 y + 4x – 2; Hallar: P(x , y) + Q(x , y)

Solución:

P(x , y) + Q(x , y) = (2x3y2+ 4x2y–5x+2) + (-2x3y2–3x2 y + 4x–2) = 0 + x2y – x + 0Por lo tanto la suma será: P(x , y) + Q(x , y) = x2y – x

2.Sustracción de Expresiones algebraicas: Para hallar la diferencia de dos expresiones algebraicas, a la expresión minuendo se le suma el opuesto de la expresión sustraendo.

Nota: Si delante de un paréntesis existe un signo negativo, este se cambia a positivo y secambian los signos dentro del paréntesis.

Ejemplo 01: Dados los polinomios P(x) = -4x2 – 5x + 8; y Q(x) = 2x2 + 3x – 3 Hallar: P(x) –Q(x)

Solución: P(x) – Q(x) = (-4x2 – 5x + 8) – (2x2 + 3x – 3) multiplicar el signo 4x2 – 5x + 8 – 2x2 – 3x + 3 agrupamos términos Semejantes: (-4x2 – 2x2) + (-5x – 3x) + (8 + 3)

Por lo tanto: P(x) –Q(x) = -6x2 – 8x + 11

[Algebra 6to] Página 46

Si tenemos: P (x) = 5x2 + x + 2 ; Q (x) = 2x2 – x – 2 Esto es una demostración de adición y sustracción de expresiones algebraicasP ( x) + Q (x ) = 5x2 + x + 2 + (3x2- x – 2 ) = 5x2 + x + 2 + 3x2 – x – 2 = 8x2

P (x) – Q ( x ) = 5x2 + x + 2 – (3x2 – x – 2 ) = 5x2 + x + 2 – 3x2 + x + 2 = 2x2 + 2x + 4

M ódulo


C. COMPROBACIÓN :

1) Si M(x;y) = 5x – 6y + 8xy ^ Q(x;y) = 2xy + 6x. Hallar 2M(x,y) + 3Q(x;y)

2) Si P(x, y) = 13x2y3 + 10xy2 – 16xy y Q (x, y) = 5x2y3 – 9xy

Halla P(x;y) + Q(x;y)

3) Dados: M(x) = 2x3 + 3x2 – x – 1; P (x) = x3 – 5x + 3; Q(x) = -3x3 – 2x2 – x + 4.

Determinar: M(x) + P(x) + Q(x)

4) Halla: P (x) – Q (x) sabiendo que: P (x) = 8x7 – 5x2 + 6 – x4 ^ Q (x ) = 3x2 – x – 2x4 +

7x7

5) Dados: P (x; y) = x2 + 3x + 3y ^ Q(x ; y) = 5x2 – 3 ( x + y ) Halla P(x ; y) - Q(x; y)

6) De ( 6 a2 b – 7 ab2 – 8) restar ( 5 a2b + ab2 – 3 )

7) Si M = 4x + 8y – z; N = 7 – 2x – 10y; P = -3y + 5 – 8x. Determinar: M + N – P

8) Si R = 2x3 . 8x3 ^ T = 7x3 . 3x3 ¿En cuánto excede “T” a “R”?

9) If A = a3b4 + 8 a2b – 3a2b2 y B = 13 a2 b – 7a3 b4 – 7 a2 b2 Find A – B

10)If P (x) = 15x2 + 17x – 24 ; Q (x) = 12x2 – 11 x + 20 Find: 3 Q (x) – 2P (x)

D. FIJACION:

1) De [ (8x2 – 5x – 7) + (3x2 – 2x – 3) ] restar (2x2 – 5x – 8)

2) Si P(x, y)= 3x2y2 + 5xy – 7; Q(x, y) = 4x2y2 – 3xy – 5

a) Restar: P(x, y) de Q(x, y) b) De P(x, y) restar Q(x, y)

3) Resuelve W = (9x2 + 6x – 9) + (14x2 – 9x – 18) – (2x2 – 4x – 1)

4) Dados P = 6xy + 12x – 9y; Q = 0,3x + 0,5xy – 1,9y R = 1,4 xy – 0,2 x

Hallar: P – Q – R

5) Si A = 2x2 – x + 1 ; B = x2 – x + 1 ^ C = 5x2 – 3x + 2 .Determinar: A + B – C

6) Si P(x; y) = 8xy + 15xy – 18xy ^ Q(x; y) = -7xy – 12xy + 2xy. Hallar P(x; y) + Q(x;

y)

7) Dados: A(x) = 3x4 + 5x2 – 2x – 7; B (x) = 6x4 – 11x + 3; C(x) = -4x4 – 8x2 – 3x + 12.

Determinar A(x) – B(x) – C(x)

8) If T = 8x3 . 5x3 ^ K = 6x3 . 5x3 how much exceed “K” a “T”?



SESIÓN Nº 02:

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO:1. Efectúa operaciones sobre multiplicación de expresiones algebraicas

II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES:


1. Multiplicación de Monomios: Para multiplicar monomios en Z, se multiplican los coeficientes y los factores variables entre sí, recordando específicamente la multiplicación de potencias de bases iguales.Ejemplo 01: Multiplica:

(3 a2b2 ) ( 2 a2c2) ( 4 a2 b2c2) = 3 . 2 . 4 . a2 . a2 . a2 . b2 . b2 . c2 . c2 = 24 a6 b4 c4

Ejemplo 02: Si: M ( x;y ) = 4x2y3 ; N (x ; y ) = 3x3 + y2

Entonces M ( x; y ) por N (x,y ) = ( 4x2 y3) ( 3x2 y2) = 12x4y5

Ejemplo 03: Multiplica: 2a por 8a2 b7 Solución: (-2a)(8a2b7) = (-2 . 8) (a . a2b7) = -16a3 b7

Ejemplo 04: Multiplicar: 12x5 y9 por –5x4 z3

Solución: (12x5y9)(-5x4z3) = (12 . -5)(x5y9x4z3) = -60x9 y9 z3

2. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio el monomio se distribuye como factor con cada término del polinomio (propiedad distributiva) y luego se procede como multiplicación de monomio. Ejemplos:

a). Efectúa: 3x2(5x3 + 7x4y2) b) Efectúa: - 8 a (-2a2 – 5 a - 7) Solución: Solución: 3x2(5x3+ 7x4 y2) -8 a (-2a2 – 5a – 7) = - 8 a . -2a2 + -8 a . -5 a + -8a . -7 = 3x2 . 5x3+ 3x2 . 7x4y2 = 16a3 + 40 a2 + 56a = (3 . 5)(x2x3)+(3 . 7)(x2x4y2) = 15x5 + 21x6y2

c) Hallar el producto: - 4a3b2 (12a6b + 9ab4 – 5c4) Solución:

- 4a3b2 (12a6b + 9ab4 – 5c4) = - 4a3b2 . 12a6b+-4a3b2 . 9ab4+-4a3b2 . –5c4

= (- 4 . 12)(a3b2 . a6b)+(-4 . 9)(a3b2 . ab4)+(- 4 . -5)(a3b2 . c4) = - 48a9b3-36a4b6 + 20a3b2c4

3. Multiplicación de Polinomios : En este caso multiplicamos cada uno de los términos del primer factor por cada uno de los términos del segundo factor y luego reducimos términos semejantes. Se puede efectuar “uno bajo el otro” y “uno a continuación del otro”

Ejemplos: a). (x + y ) ( x – y ) = x2 – y2 b). ( x2 + x + 1) (3x+ 2) = 3x3 + 5x2 + 5x + 2


Si tenemos: x3 y 4x 5 y 2, esto es igual a: 4x 8 y3

Entonces si queremos multiplicar: 2x2 + y3 por 8x3y4 es (2x2y3) (8x3y4) = 16x5 y7

Por lo tanto el producto es 16x5 y7


C. COMPROBACION:

1) ¿Es 5x . (-4x3) = 20 x3 ?

2) In each box write the missing factor:

1) 2y2z = 12y6z4

2) 6y2z = 48 y6z4

3) 10m4np = 50 m5n6p3

4) -5 a9b4c = -45a12b7c

3) (-5 m5) . (8m2n) . (10 m7 n10)

4) (3 m8 n3 )(5 m2 + 8 n9 – 7m6 n13)

5) (5x4 y2 )(3x5 – 7y6 – 9x11y5)

6) (3x + 4)(2x – 5)

7) (3x2 – 7x – 2)(x + 4)

8) (x + 2y) ( x – 3y) . 3 xy3

9) (a + b ) ( a2 – ab + b2)

10)( x + 8 ) ( x – 7 ) . 5 x3

D. FIJACIÓN:

Find the product of the followings multiplications:

1) 5m (9 – m2)

2) x (3x2y – 15y + 12yx)

3) 4t(2t2 + 5t + 10)

4) 9ab(3a2 – 4ab + 6b2)

5) – 2m(m2 + n2 – p2)

6) 6ab(3a2 b + 5ab2)

7) – 5xy2(2x4y – 7x5y + 8xy3 )

8) – 3y(– 2x2 – 6xy + 5y2)

9) (x3y4 – 3x4 – 6y3)(x2 – y3)

10)(2yz – 3xy + 5)(2x – y)



SESIÓN Nº 03:

DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. OBJETIVO ESPECÍFICO: 1. Efectúa operaciones sobre división y potenciación de expresiones algebraicas

II. ACTIVIDADES:

A. INICIALES:


1. División de monomios : Para dividir monomios en Z, se dividen los coeficientes y los factores variables entre sí. Recuerda que para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes así:

a6 : a2 = a6 - 2 = a4 Ejemplo:a) Dividir: -12x4 : - 4x b) Dividir: 420x5 y7 : 21x3y2

Tenemos: Tenemos: -12x4: - 4x = (-12 : - 4) (x4 : x) 420x5y7 : 21x3y2 = (420: 21)(x5y7: x3y2)

-12x4 : - 4x = 3x3 420x5y7 : 21x3y2 = 20x2y5

2. División de un Polinomio entre un Monomio: En este caso dividimos cada término del polinomio entre el monomio y los cocientes los escribimos uno a continuación del otro.

Ejemplos:a). (8 a9 b2 – 10 a7 b4 – 20 a5b6) : ( - 2 a2 )

Respuesta – 4 a7 b2 + 5 a5 b4 + 10 a3 b6

b). (21xm -3xm + 2 + 6 xm + 4 ) : ( - 3x3 )Respuesta: - 7 xm – 3 + xm – 1 – 2 xm + 1

c).

3. Potenciación de Monomios : Para hallar la potencia de un monomio en Z eleva a dicha potencia el coeficiente y el factor variable. Recuerda que para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.

a) Halla la potencia: (5x3 )3 b) Halla la potencia: (-2x5)3

Tenemos: Tenemos: (5x3)3 = (5)3 (x3)3 (-2x5)3 = (-2)3 (x5)3

= (5x3)3 = 125x9 (-2x5)3 = -8x15

c) Hallar la potencia (8a4b6)2 d) Hallar la potencia [(3a2)2]5

Tenemos: Tenemos: (8a4b6)2 = (8)2 (a4b6)2 [(3a2)2]5 = (3a2)10

(8a4b6)2 = 64a8b12 [(3a2)2]5 = 310a20


Observa: a5 b6 : a3 b2 = a2 b4

Entonces: 24x3y2 : 6x y = 4 x2 y


C. COMPROBACION :

1) (-5m2 n5 n3)3

2) (2 x6 y3 z2)4

3) (82x3y4) (24x3y)

4) (42x6y5 – (21x3y7 + 35x5y2)) (7xy2)

5) (0,8x2y2 + 1,2x4y – 0,6x6) (–2x2)

6) (60x2y3 – 80x3y4 – 20xy3) (5y2)

7) (3xy3 – 5x2y2 + 4x2y3z) (–xy2)

8) (–6x3y2 + 9x4y4z – 12x2yz3) (–3xy)

9) Si P(x) = 2x2 – x + 1. Halla [P(x)]2

10) (18x2a + 3b yb + a z3a + 3) (9xa + 2b ya + b z3)

D. FIJACIÓN :

I. Responde:

1. ¿Es 36x3: -6x = 6 x2? ¿Por qué? 2. ¿Es -75ab : -3ab = 25ab? ¿Por qué?3. ¿Es –30xy z = 10xy z ?¿Por qué?

II. Solve: 1. (– 42m5 n4 r ) : 7mnr

2. (14b2 x2n) : ( 7 b xn)

3. ( - 21xn + 1 y2m- 3) : ( 3xny2m – 5 )

4. ( 6x5 – 12 y3 + 3m) : ( 3xn y2m – 5)

5. (6x5 – 12x3+ 3x) : ( - 3x)

6. (– 63 a2 b3 x4 ): ( - 9 a b2x2 )

7. (8 ax+2 b2)3 : ( 8 ax + 3 b2)2

8. (5xn+2 y 3n – 1 zn + 4) : ( 6xn – 1 y2n zn)



AUTO EVALUACIÓN Nº 06

I. INSTRUCCIÓN: Encierra con una circunferencia la alternativa que contiene la respuesta correcta.1. Si .Hallar

a. 3x2 y b. 2x2y c. 2xy2 d. 4x2y e. N. A2. Al efectuar: R (x;y) = x 3y2 + 7x 3y2 – 3x 3y2 +5x3y2 resulta axnym, halla “a + n + m”

a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. N. A3. Al efectuar: F (x;y) = 5x 4y3 - 7x 4y3 +6x 4y3 -2x4y3 resulta axnym, halla “a + n -m” a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. N. A

4. Efectuar:

a. 0 b. 2ª-b c. 2(a-b) d. 2(a+b) e. N. A5. Reducir:

a. a+b b. a-b c. 2a+b d. –a+c e. N. A6. Al multiplicar: se obtuvo como producto: , hallar a+b

a. 23 b. 24 c. 26 d. 28 e. N. A7. Al multiplicar: se obtuvo como producto: , hallar “a+n-m”

a. 32 b31 c. 34 d. 45 e. N. A 8. Si . Halla “A.B”

a. 32x2y5 b. 32x2y3 c. 16x5y2 d.32x5y2 e. N. A

9. Si , hallar

a. 2xy5 b. 2xy6 c. 4x3y6 d. 8x3y6 e. N. A

10. Si , hallar

a. x10y5 b. x20y10 c. x5y25 d. x25y5 e. N. AII. INSTRUCCIÓN: Efectúa los siguientes planteamientos y escribe la respuesta correcta

1. Si: , halla “A :B”

Rpta:…………………………………..

2. Si .

Hallar: Rpta:…………………………………..

3. Efectuar: Rpta:…………………………………..

4. Al reducir: , se obtiene: Rpta:…………………………………..

5.Reducir: Rpta:…………………………………..

6. Determinar: “A+B+C”, si:

Rpta:…………………………………..

7. Reducir: Rpta:…………………………………..

8. Al multiplicar: se obtuvo como producto: , hallar el valor de “n”

Rpta:…………………………………..

9. Al multiplicar: se obtuvo como producto: , hallar

Rpta:…………………………………..

10. Si efectuamos la división de: por el monomio , obtenemos:

Rpta:…………………………………..



SESIÓN Nº 01:

DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN - FACTOR COMÚN MONOMIOa.OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

1. Define la factorización de una expresión algebraica.2. Factoriza un polinomio indicando el Factor común monomio

b. DESARROLLO DE CONTENIDOS :A. INICIALES :

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS 1. FACTORIZACIÓN :

Factorizar un polinomio significa, poder expresarlo como un producto de dos o más polinomios.Ejemplo: 10x2y4z + 5x3 y3z – 15x4y5z = 5x2 y3z (2y + x – 3x2) Observa que el polinomio del primer término lo hemos expresado como producto de un MONOMIO por un POLINOMIO2. FACTOR COMÚN MONOMIO (F.C.M ):

Dado un polinomio cualquiera P (x , y; ...) llamamos Factor Común Monomio, al Monomio que multiplicado por otra expresión nos resulte: P ( x, y , ...)Ejemplo:

1. En el polinomio del ejercicio anterior el Factor Común Monomio es: 5x2y3z.2. Dado el polinomio 4x2y + 8x3z – 16x2 y ; el F. C. M es 4x2 ¿Porqué? 4x2( y + 2xz – 4y)3. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL F. C. M

Para encontrar el F.C. M de un polinomio se siguen los siguientes pasos:a. En primer lugar extraemos el Máximo Común Divisor de los coeficientes del polinomio.b. Observamos que variables se repiten en todos los términos del polinomio, luego extraemos

dichas variables con su menor exponente.c. El Factor Común Monomio será el producto del MCD de los coeficientes por las variables

comunes con su menor exponente.Nota: Para encontrar el otro factor dividimos cada término del polinomio dado entre el F . C . M..Ejemplos:a). Factoriza y denota el F.C. M del polinomio 36x2z4 + 12y5z4 + 18 a2b z4

Solución: a. Encontramos el M.C.D.(36 ; 12 ; 18) = 6 b. La única variable que se repite es: “z” y su menor exponente es 4 c. Por lo tanto el F.C.M. es 6z4 ; luego dividimos cada término del polinomio entre el F.C.M.

36x2z4 : 6z4 = 6x2 ; 12y5z4 : 6z4 = 2y5 ; 18 a2b z4 : 6z4 = 3 a2b por lo tanto: 36x2z4 + 12y5z4 + 18 a2b z4 = 6z4 ( 6x2 + 2y5 + 3 a2b)

b). Factorizar y denotar el F. C. M del polinomio: 40 a2 b5 + 8 a3 c4 + 16 a2 b4c.Solución: a. Encontramos el M.C.D. (40; 8;16) = 8b. La única variable que se repite es: “a” y su menor exponente es 2c. Por lo tanto el F.C.M. es 8 a2 ; luego dividimos cada término del polinomio entre el F.C.M.

40 a2b5 : 8 a2 = 5b5; 8 a3 c4 : 8 a2 = ac4; 16 a2 b4 c : 8 a2 = 2b4cPor lo tanto: 40 a2b5 + 8 a3 c4+ 16 a2 b4c = 8 a2 (5b5 + ac4 + 2b4c)

c). Factoriza: 15x3z2y + 18x2 z2 a4 – 21x5a6z2 M. C. D (15 ; 18 ; 21) = 3 x2z2 variables comunes con menor exponente. F.C.M. 3x2z2 por lo tanto :


Dado el polinomio36x4y3z + 12 a3y4 + 18 b5 y4 el F. C . M. es 6y3 porque:6y3 ( 6x4 z + 2 a3 y + 3 b5 y) = 36x4y3z + 12 a3y4 + 18 b5 y4. esto es el proceso de factorización; que estudiaremos en esta sesión de clase.

M ódulo


15x3z2y + 18x2 z2 a4 – 21x5a6z2 = 3x2z2 ( 5xy + 6 a4- 7x3a6 )

C. COMPROBACIÓN :

I. Factor:

1) 12 a2 b + 6 ab3

2) bx2 + by – b

3) (x + y ) a – ( x + y ) b + (x + y ) c

4) (m – 2) 2x + (x + 5 ) ( m – 2)

5) (x + 1 ) y + z ( x + 1 ) – ( x – 1 ) ( x + 1)

6) a (n + 2) + n + 2

7) x (a + 1) – a – 1

8) ay – by + cy

9) 9y2 – 81y

10) xy3 – x2y2 + x2y

11) 24x3 – 16x2 + 8x

D. FIJACIÓN :

1) 2m (x+4) + x +4

2) x2(a – 1) – y2(a -1)

3) (a + b)x – (a + b)y – a – b

4) 2x ( a – 1 ) – (a – 1)

5) 4b2x3 + 4b2x2 – 6b2x

6) 5 am3 – 10 am2 + 15 am

7) anb2 – a2nb3 + 3 a3nb4

8) m (p +1 ) – p – 1

9) 2a (m –n –p ) – m + n +p

10) 2ab(a + b – c) – 3(– a –b + c)



SESIÓN Nº 01:

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS :1. Define una ecuación2. Conoce y aplica las reglas prácticas para la resolución de ecuaciones

II. ACTIVIDADES : A. INICIALES :

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS. 1. ¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus variables. Llamamos ecuación de primer grado puesto que la variable tiene exponente ( 1 ). Consta únicamente de una variable.Ejemplos:

a). x + 5 = 8 , el conjunto solución “x” es {3}

1er Miembro 2do Miembrob). 2X + 2 = 4 , El conjunto solución de “x” es {1 }c). x – 4 = 10, El conjunto solución de “x” es {14 }

2. Resolución de una ecuación: consiste en hallar los valores de “x” que satisfacen. Estos valores reciben el nombre de soluciones o raíces, se agrupan en un conjunto llamado: Conjunto Solución.

*. Una ecuación de 1er grado con una incógnita tiene la siguiente forma general:

De donde despejamos “x” tenemos:

3. Procedimiento práctico de resolución de una ecuación:1. Suprimimos signos de colección o agrupación.2. efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.

3. Hacemos transposición de términos, escribimos la constante en uno de los miembros y los literales en el otro miembro de la ecuación..4. Despejamos la incógnita o variable

“Si una ecuación tiene sus términos con denominadores numéricos, multiplicamos a ambos miembros por el mínimo común múltiplo de tales denominadores, por la cual transformamos a la ecuación con otra equivalente sin denominadores”.Ejemplos:1). 4x – 10x + 15 = 8x – 13


Observa la siguiente ecuación: 25 x - 1 4 = 40 x - 44Observa que el conjunto solución es { 2 } porque: 25 ( 2 ) – 14 = 40 ( 2 ) – 44 50 – 14 = 80 – 44 36 = 36Veamos ahora en esta sesión un procedimiento que nos permite fácilmente encontrar el conjunto solución de una ecuación.

X =

a x + b = o

M ódulo


Reducimos términos semejantes : - 6x + 15 = 8x – 13Transponemos términos : - 6x – 8x = - 13 – 15Reducimos términos en cada miembro : - 14x = - 28Multiplicamos ambos miembros por (- 1) : (- 1) (-14x) = (-28) (-1)

14 x = 28

Despejamos la incógnita : x =

Obtenemos la solución o raíz : x = 2

2).Resuelve 5 –

Transponemos términos : 5 – 6 =

Reducimos término semejantes : -1 =

El divisor 6 pasa al primer : (-1) (6) = 5xmiembro como factor

Obtenemos la solución o raíz :

3). Efectúa: 8x – (5x + 2 ) = x + 2 + 4

8x – 5x – 2 = x + 2 + 4 3x – 2 = x + 6 3x – x = 6 + 2 2x = 8

x =

x = 44). Efectúa:

2 ( x + 3 ) = 4x – 8 2x + 6 = 4x – 8 6 + 8 = 4x – 2x 14 = 2x

7 = x5). 5 (2x – 4 ) = 2 (3x + 4 )

10x – 20 = 6x + 8 10x – 6x = 8 + 20

x =

x = 7

6). 14x – 15 + 2x = 2x + 40 + 3x14x + 2x – 2x – 3x = 40 + 15

11x = 55

x =

x = 5Nota: Al momento de hacer la transposición de términos debemos de tener en cuenta que los términos pasan con signo cambiado, es decir si están sumando pasan restando y viceversa; y al final el número que multiplica a la variable pasa dividiendo al segundo miembro. C. COMPROBACIÓN .

1) 3 (x + 1 ) + 4 ( 2 x – 1 ) = 5 ( x + 5 ) – 2 ( x – 3 )

2) 2 x + 8 – 3x = 4x + 15 – 2x3) 11x +3x – 2 = x + 64) 7 – 5x = 3x – 15) 40x + 97 = 120x – 636) 7 ( x – 2 ) + 3 = 4 ( 2x – 6 ) – 27) 5 ( x – 4) = 3 (x + 6)

8)

9)

10)

D. FIJACIÓN :Resolve:1) 8x – 4 – 2x = x + 3x – 42) 4x(x – 7) = 2x(2x – 13) + 10 3) 2(x – 1) – (x – 9) = 3(x – 1) + 8

4)

5)

6)

7) 5 x – 2 ( x – 6 ) = 2 x + 2 ( x – 1 )8) 2 (x + 2) – 3 (5 – x) = x + 5 (x – 3 )

9) 10)


-55-

-56-


SESIÓN Nº 02:

PROBLEMAS CON ECUACIONES

I. OBJETIVO ESPECÍFICO :

1.Plantea y resuelve problemas con ecuaciones.

II. ACTIVIDADES :

A. INCIALES :

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS :

Resolvamos los siguientes problemas:

1. Cuatro personas recibieron respectivamente la mitad, el doble, el tercio y el triple de otra persona. Además las cuatro juntas recibieron S/. 58 más que la otra. Luego una de ellas tiene:

a. S/. 12 b. S/. 24 c. S/. 18 d. S/. 48 e. S/. 8

Datos: “Las cuatro recibieron S/.58 más que la otra”

5x +

4x +

x = 12

Respuesta: “Una de ellas tiene: 2x = 2 (12) = 24

2.En cierto momento del día se observa que las horas transcurridas son el doble de las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es en ese momento?

Datos: Ecuación “La hora está dada por las

N° de horas del día : 24 2x + x = 24 horas transcurridas”Horas transcurridas : 2x 3x = 24 hora: 2x = 2 ( 8 ) = 16 h.Horas que faltan por transcurrir: x x = 8 4 p.m. Rpta.


Otra persona tiene: S/.x

1a persona : x

2a persona : 2x

3a persona : x

4a persona : 3x

¿Cuál es el número que sumando a 10 nos da 28?Solución: Representamos este número desconocido por “x” Que sumado a 10, o sea: x + 10 Nos da 28; o sea : x + 10 = 28.Resolviendo la ecuación tenemos: x = 28 – 10 x = 18Rpta: el número que se busca es 18.En esta sesión aprenderemos diversos tipos de problemas que se resuelven con ecuaciones.


3.La edad de Jorge es el triple de la edad de Juan, más cuatro años; dentro de 5años la relación entre ambas edades será como 18 es a 7 calcular la suma de ambas edades hace cinco años.

Datos: Hace 5 años Actual: Dentro de 5 años

Edad de Juan x - 5 x x + 5Edad de Jorge: 3x – 1 3x + 4 3x + 9

Ecuación:

Propiedades de proporción Luego:

7 ( 3x + 9 ) = 18 ( x + 5 ) *. Edad de Jorge hace 5 años =3x -1 = 21 x + 21x +63 = 18x + 90 3 (9 ) 1 = 26 años

21x – 18x = 90 – 63 *. Edad de Juan hace 5 años = x – 5 = 9 – 5 = 4 3x = 27 años x = 9 *. La suma de edades:

Hace 5 años es : 30 años.

C. COMPROBACIÓN :

1) Si se resta “x + 2” de cierto número, resulta “3x + 1”, ¿Cuál es ese número?

2) Un padre tiene “x” años y su hijo “y” años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de

su hijo?

3) La suma de tres números consecutivos es 30 .Halla el doble del mayor

4) La suma de dos números impares consecutivos es 48 .halla el triple del menor

5) Carlita compró 3 libros: Historia, Matemática e Inglés. El libro de Historia le costó 10

nuevos soles más que el libro de Inglés y la mitad de lo que le costó el libro de Matemática.

Si en total gasto 90 nuevos soles. ¿Cuánto fue el costo de cada libro?

6) El doble de un número, aumentado en 6 es 30 Halla la suma de cifras de dicho número.

7) La suma de 4 números consecutivos es 50. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor de

dichos números.

8) César es 18 años menor que Manuel. Si la suma de sus edades es 46 años ¿Cuántos años

tiene cada uno? ¿Cuántos años tendrán dentro de 5 años?

9) El triple de la edad de Melisa aumentado en 20 años es igual a 65 años ¿Qué edad tendrá

después de un lustro de años?

10) Which is the odd number such that added to the four odd that follow it, giving a total of

905?


-57-


D) FIJACIÓN

1) Cinco veces un número es 10 unidades más que el triple del mismo número. Halla el

cuádruplo del número.

2) La diferencia de dos números es el triple del número menor, menos uno. Si el mayor

es 83. Calcula la suma de cifras del número menor.

3) Hace 30 años María tenia la sexta parte de la edad que tiene ahora. ¿Qué edad tendrá

dentro de 4 años?

4) Manuel tiene el triple de la edad de Sara que tiene 12 años. ¿Cuántos años pasaran para

que la edad de Manuel sea el doble de la de Sara?

5) La diferencia de dos números es 32 y el mayor excede a la diferencia en 57 ¿Cuál es el

mayor de dichos números?

6) Sonia tuvo a los 24 años 2 hijos mellizos .Hoy las edades de los tres suman 57 años ¿Qué

edad tienen los mellizos?

7) ¿Qué número divide a 45 de modo que su cociente sea 6 y el residuo 3? Halla el doble de

dicho número, disminuido en 3

8) Halla 2 números consecutivos, cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los

cinco tercios del segundo. Da como respuesta el consecutivo del mayor de dichos

números.

9) La edad de Ernesto es el triple que la de Jaimito; si ambas edades suman 52 años.

¿Cuántos años cumple Jaimito el próximo año?

10) The sum of four consecutive numbers is 50. Find the double of the biggest.


-58-



I. INSTRUCCIÓN: Encierra con una circunferencia la alternativa que contiene la respuesta correcta.

1. Dada la siguiente expresión: Halla el valor de “x” a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) N. A

2. Halla el valor de “x” en la siguiente ecuación:

a) ½ b) ¼ c) -¼ d) -½ e) N. A

3. En la ecuación: halla: “x”

a) -2/19b) 19 c) 2/19 d) 3/19 e) N.A.

4. En la ecuación halla: halla: “x”

a) ½ b) -½ c) 1/3 d) -1/3 e) N.A.

5. Halla “x”

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.

6. En la ecuación: ; dar como respuesta: (5x)

a) 60 c) -55 c) 55 d) 65 e) N.A 7. Hallar el valor de “x – y”. Si ^

a) 10 b) 15 c) 12 d) 6 e) N. A8. Halla el valor de: “2x + 3y”. Si ^

a) 12 b) 18 c) 7 d) 20 e) N.A.

9. Halla el valor de x.y ^

a) 30 b) 12 c) 32 d) 18 e) N.A.10. La suma de las raíces de las siguientes ecuaciones es:

a) 0 b) 4 c) 8 d) 5 e) N.A.II. INSTRUCCIÓN: Escribe en los rectángulos la respuesta correcta.

1) La suma de las raíces que resultan al resolver la ecuación es:

2) Halla el valor de “x” Para las siguientes ecuaciones:

3) Teresa es hija de Rita y Juan es hijo de Teresa. Cuando Juan nació la edad de Rita era exactamente el doble de la edad de Teresa. Hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Juan, Rita asegura tener 45 años y Teresa dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Rita, Teresa y Juan es de 90 años. ¿Cuántos años ocultan cada una de las señoras?

4) El triple de la diferencia de las edades de Sandra y la de Andrés es igual al doble de la edad de Sandra disminuida en 8. ¿Cuál es el cuádruplo de la edad de Sandra si se sabe que Andrés tiene 13 años?


-59-


5) Raúl, Elías y Henry son hermanos. Elías tiene 11 años, Raúl tiene 5 años más que Henry y la suma de las edades de estos 2 últimos es igual a la edad de Elías. ¿Qué edad tendrá Henry dentro de 10 años?

6) ¿Cuántos alumnos asisten a la clase de Lógico Matemática, sabiendo que el número de los que asisten es inferior a 40 y que, disminuido dicho número en su mitad mas 8 resulta 4 veces su cuarta parte?

7) Si la suma de dos números es igual a la raíz cúbica del cuadrado de 27 y el producto de dichos números es la tercera parte de la suma de dichos números, hallar la suma de sus cuadrados?

SESIÓN Nº 01:

DESIGUALDAD – INTERVALOS

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:1. Define una desigualdad e identifica sus propiedades2. Define e identifica las clases de intervalos.

I. ACTIVIDADES

A. INICIALES :

Observa:

6 x < 10 es diferente a: 6 < x 10 porque:Su intervalo es: Su intervalo es:x [ 6;10 x < 6 ; 10]< a ; b

- 6 10 + - 6 10 + Existen otros casos de desigualdad , que será tratado en esta sesión.

B. DESARROLLO DE CONTENIDOS :Desigualdad.- Es la relación entre dos cantidades de diferente valor.Si a ≠ b a > b ó a < bClases de desigualdad:1. desigualdades absolutas.- Son aquella que son indiscutiblemente ciertas.

Ejemplos: a). 17 > 9 (V) b). – 5 < 2 ( V ) O también: son aquellas que se verifican para cualquier número racional que se le asigne a sus

variables. Así: x2 0 ( - 1 )2 > 0 1 > 0 ( V )

2. Desigualdad relativa o inecuación.- Son aquellas que se verifican sólo para ciertos valores de sus variables:Ejemplos: x + 3 > 7 “Esta desigualdad se verificas para valores mayores que 4”

x > 7 – 3 x > 4 C. S = { 5; 6 ; 7; ...}

Propiedades de la desigualdad1°). Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, el sentido de la

desigualdad no cambia.Ejemplos: 1). 9 > 5 9 + 4 > 5 + 4

13 > 9 El sentido “>” no cambia.


M ódulo-60-

20 > 10


2). x + 3 < 10 x + 3 – 3 < 10 – 3 (Hemos restado 3 ambos miembros

x < 7 El sentido “<” no cambia.2°). Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del

mismo sentido.Así.

1).

3°) Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo la desigualdad no cambia

Si se multiplican por un mismo número negativo la desigualdad se invierte.Ejemplo:

1).

2) . 7 < 9 ( 7x – 2 ) ( 9x – 2 )

- 14 > - 18

4°) Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta otra desigualdad del mismo que el minuendo. Ejemplos:

1)

2).

5°) Dos desigualdades entre números positivos del mismo sentido, se pueden multiplicar miembro a miembro, resulta otra desigualdad del mismo sentido.Ejemplos:

1).

2).

6°) Dos desigualdades entre números positivos, de sentido contrario, se pueden dividir miembro a miembro y resulta una desigualdad de sentido del dividendo.Ejemplo:

1). 30 > 10 2< 5

30: 2 > 10 : 5

7°) Si dividimos ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad “m” positiva el sentido de la desigualdad no cambia. Si dicha cantidad “m” es negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.

Ejemplos :15 > 10


13 > 4

4 < 14

14 < 21

50 > 21

32 < 55

15 > 2

-61-

-62-


15: 5 > 10 : 5 ( >) 3 > 2

1. 36 < 8136 : -9 > 81 : - 9 El sentido

- 4 > - 9 cambia


INTERVALO.

Definición.- Es el subconjunto de números reales, cuyos elementos “x” están comprendidos entre los extremos”a” y “b”.

Clases de Intervalos.1. Intervalo abierto .- Es el subconjunto de números reales comprendidos entre “a” y “b”. No incluye a

los extremos.Notación: < a; b > ó ] a ; b [ Donde x < a ; b > a < x < bRepresentación gráfica:

< a ; b >

- + a b

2. Intervalo Cerrado .- Es el subconjunto de números reales comprendidos entre “a” y “b”. incluye a los extremos “a” y “b”.Notación: [ a;b] Donde x [ a;b] a x bRepresentación gráfica:

[a ; b]

- + a b

3. Intervalos mixtos :3.1 Intervalo cerrado a la izquierda y abierta a la derecha. Ejemplo:

[a ; b>

- + - 3 4

- 3 x < 4 [ - 3 ; 4 >

3.2 Intervalo cerrado a la derecha y abierto a la izquierda. < a ; b ]

- -2 5 + - 2 < x 5 < - 2 ; 5 ]

3.3 Intervalo cerrado en “a” por la izquierda.[ a ; >

- a + a x <

3.4 Intervalo abierto en “a” por la izquierda< a ; >

- a + a < x <

3.5 Intervalo cerrado en “b” por la derecha< - ;b]

- b + - < x b

3.6 Intervalo abierto en “b”por la derecha.< - ; b >

- b + - < x < b

-63-

C. COMPROBACIÓN:

1) Escribe en el paréntesis V(verdadero) o F(falso) según corresponda.

a. 9 – 8 > 8 – 9 ( )

b. – 4 . 6 < - 6 . 4 ( )

c. – 6 < - 5 < 0 ( )

d. – 17 + 3 > - 20 + 3 > - 19 + 3 ( )

2) Expresa en forma de intervalo y grafica

a. 6 x < 13 b. – 4 < x < 5 c. – 6 < x 2 d. 9 > x > 4 e. – 11 x - 1

b. 10 x 3

3. If 9 >- 6write in the parenthesis the value of the proposals

a. 9 + 12 > - 6 + 12 ( )

b. 9 + ( - 7 ) > - 6 + ( - 7 ) ( )

c. – 3 . 9 > - 3 ( - 6 ) ( )

d. – 10 . 9 < - 10 ( - 6 ) ( )

D. FIJACIÓN

1. If a < 8 writes the value in the parenthesis

a. a + 3 < 8 + 3 ( )

b. a + ( - 2 )< 8 + ( - 2 ) ( )

c. a . 5 < 5 . 8 ( )

d. – 4 . a < - 4 . 8 ( )

e. – 1 . a > - 1 . 8 ( )

2. Expresa en forma de intervalo y grafica:

1) - 6 x < 17

2) -5 < x 16

3) -13 > x > 4

4) 11 x 3

5) – 4 < x-1 6

6) 3 x+1 > - 1

7) –9 x/2 < 18

8) – 6 x2+1 < 0

SESIÓN Nº 01:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES I. OBJETIVO ESPECÍFICO :

1. Aplica las propiedades de la desigualdad en la resolución de inecuaciones II.-ACTIVIDADES :

A. INICIALES :

B. DESARROLLO CONTENIDO :¿Qué es una Inecuación’Es un enunciado abierto que contiene uno de los signos < ; ; > ; Resolución de una Inecuación.- Consiste en hallar los valores de la variable que satisfacen la inecuación.Se resuelve en forma similar a la resolución de ecuaciones de primer grado, sólo teniendo cuidado con el sentido de la desigualdad. Ejemplos:Hallar el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:

1). x – 5 < 2x – 6 2). 5x – 12 > 3x – 4 x – 2x < - 6 + 5 5x – 3x > - 4 + 12 ( -1 ) ( - x ) < ( -1) ( -1) 2x > 8

x > 1 x >

C.S. = { 2;3;4; ...} x > 4 C.S. = { 5 ;6 ; 7; ...}

3). 3x + 6 – 12 > 2x – 8 – 4 4). 4x – 5 + x 5x – 4 + x 3x – 6 > 2x – 12 5x – 6x - 4 + 5 3x – 2x > - 12 + 6 ( - x 1 ) ( - 1 ) x > - 6 x - 1 C.S. = { - 5 ; -4 ;- 3 ; ...} C.S. = { -1; 0; 1; 2 ; ...}

5). 8 ( x + 2 ) – 22 > 2 ( x – 4 ) – 4 8x + 16 – 22 > 2x – 8 – 4 8x – 6 > 2x – 12 8x – 2x > - 12 + 6

x > x > -1

C.S. = { 0;1; 2;3;4; ...}

6). +

M.C.M ( 2;4;8) = 8 4x + 2x x + 15 4x + 2x – x 15 5x 15

x

C.S. = { ...;- 1; 0; 2; 3 }

COMPROBACIÓN:

Resolve:

M ódulo

Observa:7 > 5 Porque 7 – 5 = 28 < 11 Porque 8 – 11 = -3¿Cuándo una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b”?Cuando la diferencia ( a – b ) es positiva. ¿Cuándo una cantidad “a” es menor que otra cantidad “b”?Cuándo la diferencia (a-b) es negativa.¿Qué es una desigualdad?Es una expresión que indica cuando una cantidad es mayor o menor que otra.

-65-

1) 9x + 12 > 2x – 2

2) 9 – 5x + 10 < 7 – 3x + 6

3) 8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13

4) – 2 – 3x – 4 - 5 – 6 – 6x – 7

5) 7x + 2x – 1 < 7 + 2 – x

6) 4 + 3 ( x + 1 ) > 5 + 4 ( x – 1 )

7) 3x + 2 + x 3 + 5x + 1

8) 3 ( x + 2 ) + 1 > 22

9) > 2

10) < 2

C. FIJACIÓN :

Resolve:

1) 23 – 31x 24 – 20 x

2) 7x + 5x + 3x > 225

3) 6x + 10 > 4x – 16

4) 3x – 5 < 2x + 1

5) 10x + 4x + 2x < 14x + 2

6)

7) 1 – 2x + 3 – 4x > 2x – 28

8) 5x + 2x + x < 7x + 1

9)

10)4x + 8 < 12x + 6

11) > 5

3 ( x + 2 ) – 12 >

2 ( x – 4 ) – 4

SESIÓN Nº 02:

PROBLEMAS CON INECUACIONES

II. OBJETIVO ESPECÍFICO :1. Resuelve problemas con inecuaciones

II. ACTIVIDADES :

B. INICIALES : Obtener el menor número natural tal que 7 menos que 5 veces el número sea mayor que 63.

-66-

Resolución: Sea:”x” el número que buscamos del enunciado del problema planteamos la inecuación: 5x – 7 > 63

Entonces, resolvemos la inecuación así: 5x > 63 + 7 5x > 70 ; despejamos x.

x > ; x > 14 ( el menor número entero

que toma “x” es el número 15)Rpta: El menor número natural que es una solución de la inecuación en 15.

C. DESARROLLO DE CONTENIDOS :

PROBLEMAS CON INECUACIONES1. El número de bolas en un arbolito de navidad, disminuido en 12, y luego esta diferencia

dividida por 7; resulta mayor que 3. ¿ Cual es el menor número de bolas que pueden haber en dicho arbolito?.Solución:

Número de bolas = x x – 12 > 7 (3) Rpta = 34 x – 12 > 21

x > 21 + 12Inecuación x – 12 > 3 x > 33

7 C.S = { 34, 35, 36, ...}2. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es tal que, uno más el triple de dicho número es menor de

46, y uno más su cuádruplo es más que 53; si se me extravía una. ¿Cuántas pelotas me quedan?Solución:

N° de pelotas = xPrimera condición segunda condición Luego de ( I ) y ( II ) 1 + 3x< 46 1 + 4x > 53 13 < x < 15 3x < 46 – 1 4x > 53 – 1 x = 14

3x < 45 x > 52 como se extravía 1 me queda: x < 15 ... (I) x > 13 ... (II) 14 – 1 = 13 pelotas Rpta.

3. Mi abuelo es un gran profesor de matemática; cuando le pregunto su edad, me dice: “el doble de mi edad aumentando en uno es menor que 161; mientras que el triple disminuido en 2 es más que 232” ¿Cuál será la edad de mi abuelo dentro de dos años?Solución:

Sea la edad de mi abuelo = x años

1° condición del problema 2° condición del problema

2x + 1 < 161 3x – 2 > 232 2x < 181 – 1 3x > 232 + 2 2x < 160 3x > 234 x < 80 x > 78

La edad actual del abuelo es 78 < x < 80 x = 79 años Edad del abuelo dentro de 2 años: 79 + 2 = 81 años Rpta.

4.- La biblioteca “K” posee un número de libros que la biblioteca “J”, esta tiene menos libros que “L”. Pero más que “M”. ¿Cuál de las alternativas indica una relación correcta?

I. K > L II K < L III L > Ma. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. I y II e. II y IIISolución:K > J ; J < L J > M,

M < J < LLuego L > M c). Sólo III Rpta.

C. COMPROBACIÓN:

-67-

1) Si x < 3; 5] entonces:¿ x + 5 a que intervalo pertenece?2) Si x + 3 < 5 calcular el máximo valor de x 3) Obtener el mayor entero tal que cinco más siete veces el entero sea menor que cuarenta4) Si “x” es el mayor de los números enteros, tales que x < 12, “y” es el menor de los

números enteros tales que y > 4. Encontrar el valor de 3x – 2y5) ¿Cuál es el menor número natural que satisface la siguiente inecuación: 7(4x – 5) > 23x –

5?6) ¿Cuál es el mayor valor natural que satisface la siguiente inecuación: 7(x – 2) 4(5x –

9) – 4?7) Andrés compra dos veces el número de cuadernos de S/.5 que el de S/.8. Si no tiene más

de S/.360 para gastar en cuadernos ¿Cuál será el número máximo de cuadernos de S/.5 que puede comprar?

8) Si al triple de la edad de Gustavo, se le resta 15 años resulta menor que 33, pero si a la tercera parte de la edad, se le suma 1 año el resultado es mayor o igual que 18. ¿Cuál es la edad de Gustavo?

9) Hace 8 años, la octava parte de la edad de Pepito era menor que 1; y dentro de 10 años, la octava parte será mayor que 3. ¿Cuándo nació?

10) If x <– 2; 6>, calculate the shortest value of “3x – 2”

D. FIJACIÓN :

1) ¿Cuál es el mayor valor entero que satisface la inecuación: ?

2) Si m + 3 . 0. calcula el mínimo valor entero de m + 73) Calcula la suma de los números enteros de “x” tal que : 2 x 74) ¿Cuál es el menor número natural que satisface la siguiente inecuación 7 (4x – 5 ) > 23 x – 5?5) Hace 3 años la quinta parte de la edad, era menor que 5; y dentro de 4 años, la quinta

parte de mi edad será mayor que 6. Calcula la edad que tendré dentro de 6 años.6) Si “A” tiene un valor entre 3 y 9 , B tiene un valor entre 2 y 8, entonces A x B tienen un valor

entre:7) Si x [2; 5] calcular el mínimo valor entero de x – 3 8) Si (x + 3) [ 3 ; 7 ] calcular el máximo valor entero de x 9) Si x es un número entero y además: - 4 < x < - 2, calcular (2x + 3)

10) What is the smallest integer that satisfying the following inequality: – > ?


I. INSTRUCCIÓN: Encierra con una circunferencia la alternativa que contiene la respuesta correcta.

1) Halla el valor de x si:

2) Si x es un número par, hallar el valor de x.

3) x puede tomar valores pares. Calcular la suma de valores de x si:

4) Hallar el menor valor impar de:

-68-

5) Hallar el conjunto solución:

6) La edad de Pablito es tal que el doble de ella, disminuida en 6 es menor que 8; y el triple de su edad, aumentada en 6, es mayor que 21. Calcular la edad de Pablito.

7) Un número es tal que su mitad disminuida en 2 es menor que 3; y su cuarta parte aumentada en 2, es mayor que 4. Calcular el doble de la tercera parte de dicho número.

8) Si halle el mayor valor de

II. INSTRUCCIÓN: Escribe dentro del rectángulo la respuesta correcta.

1. Si 9 veces un número se aumenta en 3, el resultado es menor que 200.¿Cuántos son los números enteros positivos que cumplan esta condición?

2. Un padre repartió una cantidad de dinero entre sus 2 hijos. El mayor recibió el triple de lo que recibió el menor. Si la cantidad repartida es igual al séxtuplo de lo que recibió el menor disminuido en S/.526. ¿A cuánto ascendió la suma repartida?

3. Halla el conjunto solución de:

. a) b)

c) d)

e) 10x + 24 < 16x + 12 f) 5(x + 6) - 5 > - 10

g)

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Modulo 07-8!9!10 Valor Numerico de Una Expresion Algebraica

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