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MÓDULO 1:

1. Definir funciones y las ejemplifica en situaciones del entorno.

2. Clasifica de acuerdo a su tipología.

3. Valoriza funciones.

4. Grafica funciones en el plano cartesiano.

5. Determina el dominio y codominio de una función.

La noción de función como una relación entre dos cantidades aparece en las famosas tablas de

barro cocida hechas por los babilonios en la que disponían tablas de cuadrados, de cubos y

recíprocos de números naturales.

Tabla Babilónica (Cortesía de www.google.com)

En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas de un círculo, es decir, computó funciones

trigonométricas aunque lo más probable es que no conocía lo que era una función.

Galileo, se inicia una relación matemática explícita; se acercó mucho al concepto de función ya que, sus estudios sobre

el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Por decir, en 1638 estudió el problema

de dos círculos concéntricos con centro O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una

correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados; más o menos en esos tiempos René

Descartes publicó un tratado llamado “Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad

de las Ciencias”. Para el año de 1637 escribió su obra “Geometrie” en donde introdujo el álgebra a la geometría,

afirmó que una curva puede dibujarse si a una línea le asignan un número de valores infinitos, y conceptualizó un

sistema de coordenadas cartesianas.

La palabra función en el sentido no matemático fue adoptado en 1673 por Leibniz, quien lo definía como:

“Cualquier cantidad que varía a lo largo de una curva” Johan Bernoulli en una carta para Leibniz describe la palabra función como: una cantidad formada de alguna manera

a partir de cantidades indeterminadas y constantes.

A principios del siglo XVIII, algunos matemáticos se preguntan por la justificación de los procedimientos y las

dificultades encontradas en el desarrollo de los principios y métodos del cálculo diferencial e integral. Entre estas

dificultades de todas clases, pueden subrayarse las más importantes: el concepto de función es vago e impreciso; el

2 uso abundante de las series infinitas sin tener en cuenta el concepto de convergencia conlleva el nacimiento de

paradojas y de resultados incongruentes; las diversas tentativas para representar funciones mediante series de

potencias, y en particular con la ayuda de series trigonométricas, se añaden a la confusión ya existente; finalmente,

los conceptos fundamentales de límite, derivada e integral deben ser redefinidos con bastante más claridad y precisión

En el siglo XVIII hubo confrontaciones entre algunos matemáticos al no estar de acuerdo con algunas variaciones del

concepto; entre ellos estaba Euler y D´Alembert. Ya que en 1748 el concepto función se dio a conocer en las

matemáticas con la publicación de la obra “Introductio in analysin infinitorum” de Euler en el cual definió una función

de cantidad variable como una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y

de números o cantidades constantes; también realizó un estudio sistemático de todas las funciones elementales,

incluyendo sus derivadas e integrales él divide sus funciones en algebraicas y trascendentes (exponenciales,

logaritmos…) el problema en el trabajo de Euler fue que no supo distinguir entre una función y su representación, para

Euler una función continua se expresaba mediante una única expresión analítica (expresiones formadas por

operaciones comunes de suma multiplicación, raíces, etc.). Una función mixta se expresaba en términos de dos o más

expresiones analíticas, y una función discontinua incluía funciones mixtas pero eran más generales, según tenían

curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas, pero este concepto actualmente expresa el significado de las

funciones continuas.

La representación de funciones se desarrolló gracias a la controversia suscitada a propósito del problema de la cuerda

vibrante entre Euler y D’Alembert porque en 1746 D’Alembert publicó la solución al problema de una cuerda tensa

que vibra, diciendo que la función que determinaba la velocidad de cada uno de los puntos de la cuerda debía de ser

expresada mediante una sola expresión analítica, pero Euler no estaba de acuerdo. Euler, D'Alembert y Bernoulli

encontraron soluciones a este problema en términos de funciones llamadas «arbitrarias» o de series infinitas de

funciones trigonométricas, mientras que Lagrange, por su parte, introdujo una innovación al fundamentar el concepto

de función sobre la serie de potencias.

En 1755 Euler publicó otro libro “Institutiones calculi differentialis” en este da una definición general del concepto

función, decía:

“Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo

hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas”.

Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser

determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen

de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.

Aunque esta era prácticamente una definición totalmente aceptable, Euler la regó al desarrollar el cálculo diferencial

de su libro usando solo funciones analíticas.

Poco a poco otros matemáticos fueron dándose cuenta de los errores que había cometido Euler, por ejemplo, Louis

Cauchy fue uno de ellos, en 1844 demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas a veces si podía

expresarse como una sola formula la función y = x para x≥0, y = -x para x < 0. Podía expresarse mediante la fórmula

𝑦 = √𝑥2, por lo que evidenció que no tenía caso dividir las funciones como lo había hecho Euler (continuas y mixtas).

También Fourier, demostró que la diferencia entre funciones continuas y discontinuas de Euler no existía, ya que se

podían representar mediante lo que hoy llamamos series de Fourier.

Condorcet retomó la definición general de Euler de 1755. En 1778, Condorcet envío su trabajo titulado “Traité du

calcul integral” a la Academia de París pero no fue publicado a pesar de eso muchos matemáticos franceses lo vieron.

Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y

funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación

diferencial.

Cauchy, en 1821, dio una definición en su obra Cours d’analyse:

“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede

llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas

mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades

expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable”.

3 Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:

En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados

una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya

sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a

otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola. .Los trabajos de Fourier

muestran también que se puede representar una función en un intervalo completo, Además, hacen más aceptables

las representaciones de funciones efectuadas por Euler y Laplace por medio de las funciones de Bessel y los polinomios

de Legendre, y muestran cómo se puede resolver una ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones en los

límites impuestas a la solución de la ecuación

En el siglo XIX se estableció que el concepto de función no necesitaba de una formula explicita. En 1829 Dirichlet

demostró algunos resultados en relación a las series de Fourier y aclaro las diferencias entre una función

Y en 1837, Peter Gustav Lejeune Dirichlet formulo la base de la definición moderna, aceptó la definición de función de

Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido

moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos

sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. Después de esto algunos matemáticos

dieron su propia definición que variaban muy poco. En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general

que todavía necesitaba que ésta fuera continua:

Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la

función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de

probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de

Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:

Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna

ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercer la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta

sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

Un conjunto es una colección de objetos, animales, cosas. Se denota con letras mayúsculas del alfabeto. El símbolo

empleado para denotar cuando un elementos forma parte del conjunto es “”.

Ejemplo. Sea el conjunto, que llamaremos M, formado por los cinco primeros números naturales, se expresa de la

forma:

𝑴 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}

Se puede afirmar que:

3 ∈ 𝑀, se lee “tres es elemento del conjunto M”

7𝑀, se lee “siete no es elemento del conjunto M”

Una variable es un valor desconocido y usualmente lo designamos con letras minúsculas del alfabeto.

Ejemplo. Si una persona desea conocer el volumen máximo de una caja de zapato de arista desconocida. Se denotará

por x a la longitud de la arista de la caja.

4

Una Relación es un conjunto de pares ordenados en la cual en la cual asocia un elemento de un conjunto A con un

elemento de un conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A.

Ejemplo. Sea la relación “x es hermano de y”. Sean los conjuntos A y B definidos de la forma:

𝐴 = {𝐴𝑛𝑎, 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜}

𝐵 = {𝐿𝑢𝑖𝑠, 𝑉í𝑐𝑡𝑜𝑟}

Se da la relación:

𝑅 = {(𝐴𝑛𝑎, 𝐿𝑢𝑖𝑠), (𝐴𝑛𝑎, 𝑉í𝑐𝑡𝑜𝑟), (𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜, 𝐿𝑢𝑖𝑠)}

En un diagrama de Venn Euler, se puede representar:

Conjunto A Conjunto B

Una Función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto A y los elementos de otro conjunto B, en el

cual a cada elemento del conjunto A le corresponde exactamente un elemento del conjunto B.

Ejemplo. Sea la función “x (cantidad de libras de harina) produce y (unidades de pan)”. Sean los conjuntos A y B

definidos de la forma:

𝐴 = {1, 2, 3}

𝐵 = {5,10,15}

Se da la función:

𝑅 = {(1, 5), (2, 10), (3, 15)}

En un diagrama de Venn Euler, se puede representar:

Conjunto A Conjunto B

Veamos un dibujo que represente esa situación:

Ana

Pedr

o

Luis

Vícto

r

1

2

3

5

10

15

5

x = libras de harina f(x) y = unidades de pan

Una función es una relación tal que para cada x A existe un y B con xfy. Las funciones se denotan usualmente con

las letras f, g, h, entre otras.

Ejemplo de funciones matemáticas:

a) f(x) = x2

b) g(x) = √𝑥 − 2

c) h(x) = cos x2 – 5

Las funciones se denotan de la forma y se lee “y es igual a efe de equis”.

Aquella función en la que se puede expresar la variable y en término de la variable x. Ejemplo, 𝑓(𝑥) =𝑥2−6

𝑥+4

Se da cuando la regla que define a la función f está dada por una ecuación en términos de x y de y de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) =

0. Ejemplo, 3𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦 = 0

Clases de Funciones.

a. Función identidad: Dado un conjunto A, la función identidad sobre A es: f(x) = x, con x A.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = 𝑥

b. Función constante: Decimos que una función f:A B es constante si para cualesquiera x, w A, f(x) = f(w)

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = −5

c. Función inversa: Si f:A B es una función con f(x) = y , la función inversa denotada por f-1: f:B A tal

que f-1(y) = x

Ejemplo. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, entonces su función inversa es 𝑓(𝑥)−1 = √𝑥 + 1

d. Función polinomial: Tiene la forma f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+…+a1x + +a0.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 + 13

y = f(x)

HARINA

6

e. Función transcendental: funciones que no son algebraicas y que contienen a las trigonométricas, las

trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 3) + 1; 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥2 + 2; 𝑓(𝑥) = 3𝑥+1 − 7𝑥

f. Función lineal: Tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 donde a y b son números reales.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 6

g. Función racional. Es aquella función que se puede expresar como el cociente de dos funciones

polinomiales.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥2+1

h. Función irracional: Es aquella función que contenga la raíz indicada de una expresión algebraica.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) =√2𝑥−5

𝑥3−3√𝑥+1

i. Función algebraica: Formada por un número finito de operaciones algebraicas.

Ejemplo. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 8

´

Valorizar una función significa asignarle cantidades numéricos a la variable x para obtener los valores de y. Ejemplo,

valorizar la función 𝑓(𝑥) =√2𝑥−3

𝑥2+1 para f(0); f(-1); f(√2); 𝑓 (

3

2)

Solución:

a. 𝑓(0) =√2𝑥−3

𝑥2+1 =

√2(0)−3

(0)2+1=

√−3

1= √−3 (No tiene solución en el conjunto de los números reales)

b. 𝑓(2) =√2𝑥−3

𝑥2+1 =

√2(2)−3

(2)2+1=

√4−3

4+1=

√1

5=

1

5

c. 𝑓(√2) =√2𝑥−3

𝑥2+1 =

√2(√2)−3

(√2)2+1=

√2√2−3

2+1=

√2√2−3

3

d. 𝑓 (2

3) =

√2𝑥−3

𝑥2+1 =

√2(3

2)−3

(3

2)

4+1

=√3−3

9

4+1

=√013

4

= 0

Dos o más funciones se pueden operar de manera que se obtiene una nueva función. Se define:

1. ADICIÓN: Sean f y g dos funciones, se define la adición de funciones como f + g = f(x) + g(x).

Ejemplo. Sean las funciones 𝑓(𝑥) =1

𝑥−1, 𝑔(𝑥) =

2𝑥−𝑥3

𝑥, halle f + g.

Solución.

𝑓 + 𝑔 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) =1

𝑥−1+

2𝑥−𝑥3

𝑥=

𝑥+2𝑥−𝑥3

𝑥(𝑥−1)=

3𝑥−𝑥3

𝑥2−𝑥

2. SUSTRACIÓN: Sean f y g dos funciones, se define la resta de las funciones como f - g = f(x) - g(x).

Ejemplo. Sean las funciones 𝑓(𝑥) =3𝑥

𝑥+1, 𝑔(𝑥) =

𝑥+1

𝑥−1. Determine 𝑔 − 𝑓

Solución.

𝑔 − 𝑓 =𝑥 + 1

𝑥 − 1−

3𝑥

𝑥 + 1=

(𝑥 + 1)(𝑥 + 1) − 3𝑥(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)=

𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 3𝑥2 + 3𝑥

𝑥2 − 11=

−2𝑥2 + 5𝑥 + 1

𝑥2 − 1

7

3. MULTIPLICACIÓN: Sean f y g dos funciones, se define la multiplicación de las funciones como fg = f(x) g(x).

Ejemplo. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5, halle fg

Solución:

𝑓𝑔 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 4)(2𝑥 − 5) = 2𝑥3 + 8𝑥 − 5𝑥2 − 20 = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 20

4. DIVISIÓN: Sean f y g dos funciones, se define la adición de funciones como 𝑓

𝑔=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), con g(x) 0

Ejemplo. Sean las funciones ℎ(𝑣) =3

𝑣−1, 𝑛(𝑣) =

9

𝑣2−1, determine

ℎ

𝑛

Solución

ℎ

𝑛=

ℎ(𝑣)

𝑛(𝑣)=

3𝑣 − 1

9𝑣2 − 1

=

3𝑣 − 1

9(𝑣 − 1)(𝑣 + 1)

=3

𝑣 − 1×

(𝑣 − 1)(𝑣 + 1)

9=

𝑣 − 1

3

Sean f y g dos funciones se denota la compuesta de dos funciones como 𝑓°𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥))

Observación: f g g f.

Ejemplo. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3; 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1), determine:

a. f g

b. g f

Solución:

a. f g = f(g(x)) = (2𝑥 − 1)2 − 3 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 3 = 4𝑥2 − 4𝑥 − 2

b. g f = g(f(x)) = 2(𝑥2 − 3) − 1 = 2𝑥2 − 6 − 1 = 2𝑥2 − 7

Propiedades Básicas 1. La adición es conmutativa.

2. La adición es asociativa.

3. La función neutra es 0 ya que f + 0 = f.

4. La multiplicación es conmutativa.

5. La multiplicación es asociativa.

6. El neutro de la multiplicación es 1.

7. La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir, 𝑓(ℎ + 𝑚) = 𝑓(ℎ) + 𝑓(𝑚)

Plano formado por la intersección de dos líneas rectas que se cortan en forma perpendicular, es decir, que al cortarse

se forman ángulos de 90 grados. La recta horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas o simplemente “eje x” y

8

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

O

el eje vertical recibe el nombre de eje de las ordenadas o eje y. El punto de intersección de la recta vertical y la recta

horizontal se le llama origen.

Expresión de la forma (x, y) en donde x se le llama primera componente, y se le llama segunda componente. Eje y

P(x, y)

O(0, 0) Eje x

Los ejes x y y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes que se enumeran a partir del semieje x positivo

en sentido contrario de las manecillas del reloj de la siguiente forma:

Graficar una función en el plano cartesiano es representar el conjunto de puntos de la forma (x, y) cuyas coordenadas

correspondan a números que satisfagan la ecuación.

Pasos para graficar una función:

a. Se construye una tabla de valores arbitrarios para la variable x.

b. Se sustituyen esos valores arbitrarios de x en la función y se obtienen loa valores de y.

c. Se traza la gráfica en el plano cartesiano.

Ejemplo 1. Graficar la función f(x) = 4x – 3.

Tabla de valores.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

y -15 -11 -7 -3 1 5 9

9 Ejemplo 2. Graficar la función f(x) = x2 – 9

Tabla de valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 0 -5 -8 -9 -8 -5 0

Ejemplo 3. Graficar la función 𝑓(𝑥) =2

𝑥2−3𝑥+2

Tabla de valores

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 0,1 0,16 0,33 1 n.e n.e 1

Ejemplo 4. Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(6 − 3𝑥) + 1

Tabla de valores

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 1,3 1,2 0,2 0,1 0,06 0,01 -0,03

Ejemplo 5. Graficar la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥

Tabla de valores

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 0,03 0,11 0,33 1 3 8 27

-6 -4 -2 2 4 6 x

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

y

O

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x

-8

-6

-4

-2

2

4

y

O

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Definición: se le denomina dominio de una función al conjunto de partida. Se denota por Df.

Definición: se le denomina codominio o rango al conjunto de llegada. Se denota por Rf.

Ejemplo. Para cada gráfica, determine el dominio y codominio de 𝑓(𝑥).

𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑥 ∈ (−∞, ∞) 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑥 ∈ 𝑅

𝐶𝑜𝑑𝑓: 𝑦 ∈ [−6, ∞) 𝐶𝑜𝑑𝑓: 𝑦 ∈ 𝑅

𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑥 ∈ [5

2, ∞) 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑥 ∈ 𝑅 − {1,2}

𝐶𝑜𝑑𝑓: 𝑦 ∈ [0, ∞) 𝐶𝑜𝑑𝑓: 𝑦 ∈ (−∞, 0) ∪[4, ∞)

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I. Parte. Identifique el tipo de función como: constante, algebraica, lineal, trascendental,

polinomial, identidad, racional, irracional, entre otras.

a. y = 3x2 – 4x + 1 ___________________________

b. 𝑔(𝑐) =√𝑐2−4𝑐

2𝑐 ___________________________

c. g(h - 1) = h – 1 ___________________________

d. f(x) = e2x ___________________________

e. 𝑔(𝑎) = √3 − 𝑎23 ___________________________

f. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 1 ___________________________

g. 𝑚(𝑥) = 4𝜋 − 1 ___________________________

h. f(x) = 4 – 3x ___________________________

II. Parte. Dados siguientes conjuntos, determine cuáles corresponden ser relaciones y cuáles son funciones.

1) 𝑀 = {(−1,3), (−1,7), (0,5), (5, −1), (5,3), (0, −2)}

2) 𝑃 = {(−1,3), (1, −7), (2,3), (3, −4), (−3, −5), (0, −2)}

3) 𝑆 = {(1, −1), (−2,2), (0,0), (3, −3), (5, −5), (−4,4)}

4) 𝑇 = {(𝑎, 3), (−𝑎, 1), (𝑏, 5), (𝑏, −1), (𝑐, 3), (−𝑐, −2)}

III. Parte. Valorice las siguientes funciones.

1. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒:

a) 𝑓(−3)) R: 15

b) 𝑓(1 + √2) R: 1

2. Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥−𝑎

𝑥−𝑏, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒:

a) 𝑓 (2

3) R:

2−3𝑎

2−3𝑏

b) 𝑓(𝑎 − 𝑏) R: −𝑏

𝑎−2𝑏

c) 𝑓(2𝑎 − 3𝑏) R: 𝑎−3𝑏

2𝑎−4𝑏

3. Sea la función 𝑓(𝑎) =2𝑎+1

1

𝑎−1+

2

𝑎−2

, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒: 𝑓(2); 𝑓(−5); 𝑓(0); 𝑓(√3)

a) 𝑓(−2) R: 18

5

b) 𝑓(1) R: No tiene solución

c) 𝑓(√3) R: 1 − √3

IV. Parte. Resuelva las operaciones entre funciones.

1. Sean las funciones: f(x) = x + 1; 𝑔(𝑥) =1

𝑥; ℎ(𝑥)=

1

𝑥−2+

1

𝑥−3, determine:

a. f + g R: 𝑥2+𝑥+1

𝑥

b. 2g – h R: 12−5𝑥

𝑥3−5𝑥2+6𝑥

c. fh R: 2𝑥2−3𝑥−5

𝑥2−5𝑥+6

d. ℎ

𝑔 R:

2𝑥2−5𝑥

𝑥2−5𝑥+6

12

2. Sean las funciones f(x) = 2x+ 1, g(x) = x2 – 3, h(x) = 5x + 4, determine:

a. ℎ

𝑔 R:

5𝑥+4

𝑥2−3

b. 𝑓−ℎ

𝑔 R:

−3𝑥2−3

𝑥2−3

c. (h + f)g R: 7𝑥3 + 5𝑥2 − 21𝑥 − 15

d. 2f – 3h R: −11𝑥 − 10

V. Parte. Determine la compuesta de las funciones dadas.

4.1 Sean las funciones f(x) = 3x2 + 1; 𝑔(𝑥) =1

𝑥; ℎ(𝑥)=

1

𝑥−2+

1

𝑥−3, determine:

a. f g R: 𝑥3+3

𝑥2

b. g h R: 𝑥2−5𝑥+6

2𝑥−5

c. h f R: 6𝑥2−3

9𝑥4−9𝑥2+2

VI. Determine el dominio y codominio de cada función graficada en el plano cartesiano.

a) 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

1−𝑥

b) 𝑓(𝑥) =2𝑥

𝑥2+1

c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥2 − 2

d) 𝑓(𝑥) =𝑥2−𝑥−6

𝑥+3

13

VII. Grafique las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2

b) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

2−

𝑥

3

c) 𝑓(𝑥) =𝑥

2𝑥−4

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 − 3}

e) 𝑓(𝑥) = log (𝑥 − 3)

f) 𝑓(𝑥) =𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

g) 𝑓(𝑥) = 1 −3𝑥−1

𝑥2−1