ALUMNO: GABRIEL VINUEZA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

INVESTIGACION DE OPERACIONES

FECHA: 08/08/2012

Es la aplicación de un método científico para asignar los recursos de forma eficaz en la gestión y organización de sistemas complejos.

PROBLEMAS:

BUSCAMOS

Asignar

Objetivo: toma de decisiones.

Historia de la Investigación de Operaciones

En 1780 aparece la investigación operativa. Modelo lineal, cuando tenemos 2 incógnitas o variables Estadística de estos modelos; para ver los (%) de garantía. Industria Ordenadores Inteligencia artificial

La Investigación de operaciones se fue desarrollando durante la Segunda Guerra

Mundial donde un grupo de científicos de distintas áreas del saber de Gran

Bretaña y Estados Unidos buscaban formas de ganar la guerra estudiando los

problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país.

La Investigación de Operaciones se originó en el campo militar.

Al ver los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos y

estadounidenses, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a

realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de

especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios

incluyeron problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la

utilización efectiva del equipo electrónico.

Al terminar la guerra y analizando los buenos resultados obtenidos en el camo

militar los administradores industriales empezaron a aplicar la Investigación de

Operaciones para la resolución de sus problemas que empezaron a originarse

debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.

1

RECURSOS ESCAZOS SISTEMAS COMPLEJOS

Actualmente la Investigación de Operaciones se está aplicando en muchas

actividades. Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e

industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas,

planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización.

La investigación de operaciones proporciona bases cuantitativas para seleccionar las

mejores.

METODO DE LA Investigación Operativa

DEFINIR PROBLEMAFORMULAR EL PROBLEMA (CONSTRUIR UN MODELO) estrategias, objetivos del problemaEjm: Objetivos maximizar ventas

PROMOCIONES

PUBLICIDAD

CALIDAD

PRECIO

VARIEDAD

RESOLUCIONVERIFICACION, REFINACION, VALIDACION INTERPRETACION Y ANALISIS DE RESULTADOSSOLUCION ASOLUCION BSOLUCION CIMPLANTACION Y USO EXTENSIVO

1) Identificar los elementos de decisión, primer elemento de decisión Objetivo (puede ser uno o varios) Alternativas (como están armados, si están por pelotones) Limitaciones (que es lo que tengo, cuántos soldados tengo, cuantas

armas tengo)2) Creamos un nuevo modelo que es la representación simplificada de la

realidad que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento. Modelo matemático, nos ayuda a tener de una forma clara la

estructura y la relación nos ayuda el cálculo mediante los ordenadores.

2

INICIO

Interpretación directa entre Analista y cliente

FIN

En el modelo los:-Objetivo se convierte en Función objetiva.-Alternativas se convierte variable de decisión.-Limitaciones se convierte en Restricciones.

TIPOS DE MODELO

MODELOS DETERMINISTICOS MODELOS PROBABILISTICO-Modelo matemático -Programación estocástica o aleatoria-Modelo lineal -Gestión de inventarios-Modelo entera -Fenómenos en espera (colas)-Modelo dinámica -Teoría de juegos-Modelo no lineal -Simulaciones-Modelo multiobjetivo-MODELO TRANSPORTE-MODELO DE REDES

3) RESOLUCIÓN

A las variables se asigna valores para obtener una solución óptima que esté sujeta a restricciones.

Variables de Decisión Valores

Solución optima

Sujeta

RestriccionesAlgoritmos.- Procedimiento como vamos a ir paso a paso resolviendo el problema.

4) VERIFICACIÓN, VALIDACIÓN, REFRINACIÓN

En esta etapa se eliminan los errores

Comprobar si el modelo se asemeja a la realidad.

5) INTERPRETACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

Se verifica la robustez de la solución, es decir se hace un análisis de sensibilidad, y existe la detección de soluciones cuasi óptimas.

6) IMPLANATACIÓN Y USO EXTENSIVO

3

Se hace el sistema de ayuda y mantenimiento se realiza la documentación y la formación de usuarios.

En esta etapa elaboramos manuales de ayuda y como se mantiene, capacita personas directamente vinculadas con el proyecto (problema). Se hace la respectiva documentación

Ejercicio 1:

Una compañía puede producir tablones para la construcción o láminas para puertas, la cantidad máxima de la fábrica es de 400 unidades, de las cuales necesariamente 100 unidades deben ser tablones y 150 láminas, para satisfacer las necesidades de los clientes, si la utilidad por tablón es de $ 200 y de $ 300 por lámina.

Determine el número de tablones y láminas que se deben producir para obtener la máxima utilidad.

1) Definir el Problema

Objetivo: Maximizar la Utilidad

Alternativas: # de tablones y # de láminas

Limitaciones: Mínimo 100 tablones

Mínimo 150 láminas

Cantidad máxima 400 unidades

2) Formular el Problema

I. Variables

Utilidad= Z

No de tablones = X1

No de láminas = X2

C1= Coeficiente de X1 200

C2= Coeficiente de X2 300

II. Modelo

4

Max z= C1*X1 + C2*X2

= 200 X1 + 300 X2

S.A

X1 + X2 ≤ 400

X1 ≥ 100

X2 ≥ 150

Ejercicio 2:

Un agente está arreglando un viaje en eskis, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será $ 10 por cada mujer y $ 15 por cada hombre. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres le producen mayor ganancia?

1) Definir el Problema

Objetivo: Maximizar la Ganancia

Alternativas: # de hombres y # de mujeres

Limitaciones: Máximo10 personas

Mínimo 4 hombres

Mínimo 3 mujeres

2) Formular el Problema

I. Variables

Ganancia = Z

No de hombres = X1

No de mujeres = X2

C1= Coeficiente de X1 15

C2= Coeficiente de X2 10

II. Modelo

Max z= C1*X1 + C2*X2

5

= 15 X1 + 10 X2

S.A

X1 + X2 ≤ 10

X1 ≥ 4

X2 ≥ 3

Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición:

16 mts2 de algodón, 11mts2 de seda, 15mts2 de lana. Un traje requiere: 2mts 2 de algodón, 1 mt2 de seda, 1mt2 de lana. Una túnica requiere: 1mt 2 de algodón, 2 mts2

de seda, 3mts2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?

1. Definición del problemaObjetivo = Maximizar la cantidad de dineroAlternativas = N° trajes N° túnicas

Limitaciones = Máximo 16 mts2 de algodón Máximo 11mts2 de seda Máximo 15mts2 de lana

2. Formulación del problemaI. VARIABLES

Utilidad = zTrajes= x1

Túnica= x2

C1 Coeficiente de x1 = 300C2 coeficiente x2 = 500

II.MODELO

Max z = C1 * x1 + C2 * x2

Max z = 300 * x1 + 500 * x2

S. a 2x1 + 1 x2 ≤ 16

1x1 + 2 x2 ≤ 11

6

1x1 + 3 x2 ≤ 15

X1, x2 ≥ 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de la programación lineal

1) Un agente está arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido que deberá ir por menos 4hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos por cada hombre. ¿Cuántos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia?

1. Definición del problemaObjetivo = Maximizar la gananciaAlternativas = N° de hombres N° de mujeres

Limitaciones = Máximo 10 personas Mínimo 4 hombres Mínimo 3 mujeres

2. Formulación del problema

I. VARIABLESGanancia = zN° de hombres = x1

N° de mujeres = x2

C1 Coeficiente de x1 = $15

C2 coeficiente x2 = $10

II.MODELO

Max z = C1 * x1 + C2 * x2

Max z = 15 * x1 + 10 * x2

S. ax1 + x2 ≤ 10

1x1 + 2 x2 ≤ 11

7

x1 ≤ 4

x2 ≥ 3

2) En una fábrica de cerveza se producen dos tipos, rubia y negra su precio de venta es d $ 50 y $30 dólares respectivamente, sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de $5000 y $2000 de materias primas por cada 1000 litros.

La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10 000 USD para materias primas y desea maximizar su beneficio.

Cuántos litros debe producir?

1) Definir el Problema

Objetivo: Maximizar su beneficio

Alternativas: Rubia y Negra

Limitaciones: Número de empleados

Máximo 1000 de Materia Prima

Loa litros deben ser mayores a cero

2) Formular el Problema

I. VARIABLES

Utilidad= Z

Rubia = X1

Negra = X2

C1= Coeficiente de X1 50

C2= Coeficiente de X2 30

II. MODELO

Max z= C1*X1 + C2*X2

= 50 X1 + 30 X2

S.A

8

3 X1 + 5X2 15 ≤ 15

5000 X1 + 2000 X2 ≤ 10 000

X1 + X2 ≥ 0

Ejercicio:

Función Objetivo: Minimizar costos

Variables de Decisión: Camiseta A, B, C

X1 X2 X3

Restricciones: Materia Prima 2000

A= 30

B= 15

C= 10

MODELO

Min z = 40X1 + 30 X1 + 25 X3

S.A

30 X1 + 15 X2 + 10 X3 ≤ 2 000

X1, X2, X3 ≥ 0

3) Mueblería Mary elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de los departamentos de ensamblaje y acabado. Ensamblaje tiene 60 hrs. Disponibles, acabado puede manejar hasta 40 hrs, de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs, de ensamblaje y 2 hrs, de acabado, mientras que una silla requiere de 2 hrs, de ensamblaje y 2 hrs, de acabado. Si la utilidad es de $ 80 por mesa y $60 por silla.

¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima ganancia?

1) Definir el problema Objetivo: maximizar honorarios Alternativas: Nº de mesas

9

Nº de sillas

Limitaciones: Máximo 60 hrs, ensamble

Máximo 40 hrs. acabado

2) Formulación del Problema I. Variable

Ganancia = ZMesas = x1 Sillas = x2

C1 Coeficiente x1 = 80C1 Coeficiente x2 = 60

II. Modelo Max Z = C1.X1 + C2.X2Sa

4.X1 + 2 X2 ≤ 60 hrs 2.X1 + 2X2 ≤ 40 hrs

X1, X2 ≥ 0

4) Una firma correcta de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5% respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $ 100.000 y que su ingreso anual sea por los menos de $4500, insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de los ingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para que sus honorarios sean máximos?

1) Definir el problema Objetivo: maximizar honorarios Alternativas: cantidad de inversión 4%

Cantidad de inversión 5%

Limitaciones: Máximo 100.00

Mínimo 45.00

¾ invertido al 5%

2) Formulación del Problema I. Variable

Honorarios = Z

10

Inversiones 4% = x1 Inversiones 5%= x2

C1 Coeficiente x1 = 2%C1 Coeficiente x2 = 1%

II. Modelo Max Z = 2%. 4%. x1 + 1%. 5%. X2Sa

X1 + x2 ≤ 100.0004%.x1 + 5%x2 ≥ 4500

X2 ≥ 75000X1 ≥ 0

5) Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta la compañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. La compañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. La cabina presurizada no puede llevar más de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que le impide llevar más de 20 toneladas de carga, para mantener el equilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual que los tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la compañía recibe $ 1000 por tonelada de los tipos de carga que transporta.

1) Definir el problema Objetivo: maximizar ingresos Alternativas: Nº de carga normal

Nº carga frágil

Limitaciones: 5 ton, de carga frágil min.

20 ton, cab, principal max.

10 ton. Cab, prosuris, max

20 ton total max

Cab, presurizada = 2/3 cab, prino + 1 ton

2) Formulación del Problema

11

I. Variable Ingresos = ZCarga normal = x1 Carga frágil = x2

C1 Coeficiente x1 = 1000C1 Coeficiente x2 = 1000

I. Modelo Max Z = C1.X1 + C2.X2

1000.X1 + 1000.X2Sa

X1 ≥ 5x1 ≤ 20X2≤ 10X1 + 2/3 X1 ≤1X2 – 2/3 X1 ≤ 1 X1 ≤ 0

6) Un inversionista tiene $1000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible; quiere invertir parte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar 8% con el dinero que invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés sobre las cuentas de ahorro. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo decide no invertir en acciones más de lo que ponga en la cuenta de ahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato. ¿Cuánto dinero deberá invertir en cada tipo?

1) Definir el problema Objetivo: ganar tanto dinero como sea posible Alternativas: parte acciones 8%

Parte en bonos 7%Eta de ahorros 5%

Limitaciones: 10000 maximizar inversión

20 00 min inversión

Cta ahorros > acciones

2) Formulación del Problema I. Variable

Ganancias = Z

12

Parte en acciones = x1 Parte en bonos = x2Carga frágil = x2 Cta de ahorros = x3 C1 Coeficiente x1 = 8%C1 Coeficiente x2 = 7%C1 Coeficiente x3 = 5%

II. Modelo Max Z = C1.X1 + C2.X2 + c3.x3

8% . X1 + 7% . X2 + 5% .X3Sa

X1+X2 + X3 ≤ 10000X3≥ 2000X3> x1

x3 – x1 ≥0X1≥0X2≥0

7).− Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata, bicicleta y natación. Para variar los ejercicios planea invertir al menos tanto tiempo en bicicleta como la combinación de caminata y natación. Además, quiere nadar al menos dos hrs a la semana, por que le gusta mas nadar que los otros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa 300 calorías por hora nadando gasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios.¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el número de horas invertidas?

1) Definir el Problema

Objetivo: minimizar el número de horas invertidasAlternativasN° horas caminata 1N° horas bicicleta 1N° horas natación 1LimitacionesBicicleta ≥ Caminata + NataciónNatación Mínimo 2 horas a la semanaMínimo 3000 calorías a la semana

2) Formulación del Problema

13

I. VariablesMinimizar horas = ZCaminata = x1

Bicicleta = x2

Natación = x3

C1 Coeficiente X1= 1 horaC2 Coeficiente X2= 1 horaC3 Coeficiente X3= 1 hora

II Modelo

Minimizar Z = C1 * X1 + C2 * X2 + C3 * X3

Minimizar Z = X1 +X2 + X3

s.a600x1+300x2 +300x3 ≥ 3000 caloríasx2≥ x1+ x2

x2−x1−x3≥0x3≥2x1≥0x2≥0

EJERCICIO

La tienda de comestibles BK vende 2 tipos de bebidas.La marca sabor a cola es A1 y la marca propia de la tienda BK de cola, más económica. El margen de utilidad de la bebida A1 es de 0,05 ctvs. de dólar por lata mientras que la bebida de cola Bk suma una ganancia bruta de 0,07 ctvs. por lata en promedio la tienda no vende mas de 500 latas de ambas bebidas de cola al día aun cuando A1 es una marce más conocida. Los clientes tienden a comprar más las de la marca BK porque es considerablemente más económica se calcula que las ventas de la marca BK superan la de la marca A1 en una razón de 2:1 por lo menos, sin embargo Bk vende como mínimo 100 latas de A1 al día.¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad?

1) Definir el ProblemaObjetivo: Maximizar utilidadAlternativasCola A1 0,05 ctvs.Cola Bk 0,07 ctvs.LimitacionesMáximo 500 latas entre ambas colas al día

14

Punto más alto

BK supera a la marca A1 razón 2:1Tienda BK vende mínimo 100 latas de A1BK ≥ A1 los clientes compran más BK porque es más económica

2) Formulación del ProblemaI. VariablesUtilidad = ZCola A1 = x1

Cola BK = x2

C1 Coeficiente X1= 0,05 ctvs.C2 Coeficiente X2= 0,07 ctvs.

II ModeloMaximizar Z = C1 * X1 + C2 * X2 + C3 * X3

Maximizar Z = 0,05*x1+0,07x2

s.aX1+X2≤500x1≥100x2≥2 x1

−2 x1+x2≥0x2≥ x1

−x1+ x2≥0x2≥0

Método Grafico

NOTACuando tenemos mayor sombreamos hacia arriba o la derecha ¿↑→Cuando tenemos menos sombreamos hacia abajo o la izquierda ¿↓←

1) X1+x2=500

X1 X2

15

x1

100

200

300

400

500

600

x2500 600400300200100

1 2

3

45

1

0100200300

500400300200

2) X1 = 400

3) X2 = 0

4) -2x2+x2=0

X1 X2

0100200300

0200400600

5) –X1+X2=0

X1 X2

0100200300

0100200300

ComprobaciónX1+X2=500X2 =400X1=100

Función Objetiva=0,05(100)+0,07(400) = 5+28 = $33

-2(0)+x2=00+x2=0

-2(100)+x2=0 -200+x2=0X2=200Ejercicio

Jack es un estudiante emprendedor de primer año de universidad. Jack quiere distribuir su tiempo disponible de alrededor de 10horas al día entre el estudio y la diversión. Calcula que el juego es 2 veces más divertido que el estudio.También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias no puede juagar más de 4horas al día.

16

1) Definir el ProblemaObjetivo: Maximizar su satisfacción, el juego es 2 veces más divertido que el estudio.AlternativasNúmero de horas para estudiarNúmero de horas para jugarLimitacionesMáximo 10 horas entre las dosJugar máximo 4 horasEstudiar tanto como jugar

2) Formulación del ProblemaI. VariablesMaximizar Satisfacción = ZNúmero de horas para estudiar = x1

Número de horas para jugar = x2

C1 Coeficiente X1

C2 Coeficiente X2

II ) MODELO

Max z = C1*X1+C2*X2 = 1*X1+2*X2S.A

X1+X2 ≤ 10

X2≤ 4

X1≥ X2

X1-X2≥ 0

X1≥ 0

X2≥ 0

MÉTODO GRÁFICO

12

10

17

12

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12

1. X1+X2=10 2. X2= 4 4. X1=0

3. X1-X2= 0 5. X2=0

X1 X2 X1 X2

0 10 0 02 8 2 24 6 4 46 4 6 6

EJERCICIO

El Banco de Elkin está asignado un máximo de $200000 para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes el banco cobra 14% por préstamos personales y el 125 por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor de 3% de los préstamos personales y el 2% de los préstamos de automóviles nunca se liquidan. Por lo común el Banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles.

1) DEFINIR EL PROBLEMAObjetivo: Maximizar, asignación óptica Alternativas: Cantidad de dinero préstamos personales 11% Cantidad de dinero préstamos automóviles 10%

Limitaciones: Máximo 200 000 en los dos El doble de préstamos personales para automóviles

(14%P.P- 3% P.P) + ( 12% P.A – 2% P.A )= 11% P.P + 10% P.A

2) FORMULAR EL PROBLEMAI Variable

18

3

Asignación Óptica = ZPréstamos Personales = X1 Préstamos Automóviles =X2C1 coeficiente X1= 11%C2 coeficiente X2= 10%

II MODELO Max Z= C1*X1+C2*X2 11%X1+10%X2S.A X1+X2≤ 200 000X2≥2X1X1-2X2≥0-2X2 + X2 ≥0X1≥0X2≥0

MÉTODO GRÁFICO

600 000

500 000

400 000

300 000

200 000

100 000

0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

-100 000

-200 000

DEL GRÁFICO PUNTOS APROXIMADOS

1) (0,0)2) (75 000, 125 000) ÓPTIMO 3) (200 000, 0)

19

2

1

1) X1+X2 = 200 000 2) -2X1+ X2 =0 X1+ X2 = 200 000 2X1- X2 =0 3X1 = 200 000

X1= 200 000/ 3= 66 666, 67

1) X1+X2= 200 00066 666, 67+ X2= 200 000 X2= 200 000 - 66 666, 67 X2 = 133 333,33X1= 66 666,67* 11%= 7 333,34X2= 133 333,33* 10%= 13 333,33

Max Z= 11% X1+ 10% X2 = 7 333,34 + 13 333,33 = 20 666,67

RESOLVER MEDIANTE EL METODO SIMPLEZ EL SIGUIENTE PROBLEMA

Maximizar Z = f(x, y) = 3x+2ySujeto a: 2x+y≤182y + 3y ≤ 423x+y≤24x ≥0, y≥0

Se considera las siguientes fases:1. Convertir las desigualdades en igualdadesSe introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones del tipo ≤ para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2X + Y = 182X + 3Y = 423X+Y = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

-3x-2y+Z=0

3. Escribir la tabla inicial simplexEn las columnas aparecerán todas las variables básicas del problema y las variables de holgura/exceso.

20

En las filas se observan, para cada restricción las variables de holgura con sus coeficientes de las igualdades obtenidas y la última fila con los valores resultantes de sustituir el valor de cada variable en la función objetivo, y de operar tal como se explicó en la teoría para obtener el resto de valores de la fila:

Tabla I. Iteración N° 1

Base Cb P∅ x y S1 S2 S3S1 0 18 2 1 1 0 0S2 0 42 2 3 0 1 0S3 0 24 3 1 0 0 1Z 0 -3 -2 0 0 0

Columna pivote

4. Condición de paradaCuando en la fila Z no existe ningún valor negativo, se ha alcanzado la solución del problema. En tal caso, se ha llegado al final del algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos.

5. Condición de entrada y salida de la base.A. Primero debemos saber si la variable que entra en la base. Para ello escogemos la columna de aquel valor que en la fila Z sea menor de los negativos. En este caso sería la variable x (P1) de coeficiente -3.Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optaran por aquella variable que sea básica.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde).B. Una vez obtenida la variable que entra en la base, estamos en condiciones de deducir cual será la variable que sale. Para ello se divide cada termino independiente (PO) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que el resultado sea mayor que cero, y se escoge el mínimo de ellos.

En nuestro caso: 18/2 =942/2= 2124/3=8

Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente, y caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de esta condición tendríamos una solución no acotada y terminaríamos el problema.

21

El término de la columna pivote que en la división anterior de lugar al menor cociente positivo, el 3 ya que 8 es el menor cociente, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. Esta fila se llama fila pivote.Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (si es posible).

6. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividendo todos los coeficientes de dicha fila entre el elemento pivote que es el que hay que convertir en 1A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.También se puede hacer de la siguiente manera.Fila del pivote:Nueva fila del pivote = (Vieja fila del pivote) / (Pivote)Resto de las filas:Nueva fila = (Vieja fila) – (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) x (Nueva fila del pivote)Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x (P1) en la tabla II):

Vieja S2 42 2 3 0 1 0- - - - - - -

Coeficiente 2 2 2 2 2 2* * * * * * *

Fila pivote 8 1 1/3 0 0 4/3= = = = = = =

Nueva S2 26 0 7/3 0 1 -2/3

Tabla II. Iteración N° 2Base Cb P∅ x y S1 S2 S3S1 0 2 0 1/3 1 0 -2/3S2 0 26 0 7/3 0 1 -2/3S3 3 8 1 1/3 0 0 1/3Z 24 0 -1 0 0 1

Se puede observar que no hemos alcanzado la condición de parada ya que en los elementos de la última fila, Z, hay uno negativo, -1. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y (P2), por ser la variable que corresponde a la columna el coeficiente -1.

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable que sale es r (P3).

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

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Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III. Iteración N° 3Base Cb P∅ x y S1 S2 S3Y 2 6 0 1 3 0 -2S2 0 12 0 0 -7 1 4X 3 6 1 0 -1 0 1Z 30 0 0 3 0 -1

Como en los elementos de la fila Z hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. la variable que entra en la base es t (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1.

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la ultima columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/-2 = -312/4=36/1=6Y como el menor cociente es 3, tenemos que la variable que sale es s S2

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1 es 4.Obtenemos la tabla.

Tabla IV. Iteración N° 3Base Cb P∅ x y S1 S2 S3Y 2 12 0 1 -1/2 1/2 0S3 0 3 0 0 -7/4 ¼ 1X 3 3 1 0 3/4 -1/4 0Z 33 0 0 3/4 ¼ 0

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos, por lo tanto se cumple la condición de parada, obteniendo la solución óptima.La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso 33. En la misma columna se puede observar el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base (x,y) = (3,12)

Resolver: método gráfico y método simplex

Método GraficoMaximizar Z= 100x1+200x2s.a4x1+2x2≤16

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8x1+8x2≤102x2≤10X1,x2≥0

4x1+2x2+S1=168x1+8x2=102x2=10

X1 X20 82 46 -48 -8

X1 X20 22 06 -48 -6

8x1+8x2=16

2x2=10X2=10/2X2=5

GraficoX214-12-10-8--6--4--2--

X1 2-- 2 4 6 8 10 12 14 164--6--8--Método SimplexMaximizar Z= 100x1+200x2s.a4x1+2x2≤168x1+8x2≤102x2≤10

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3

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X1,x2≥0

4x1+2x2+S1=168x1+8x2=102x2=10

Z-100x1-200x200Base Cb P∅ X y S1 S2 S3Y 0 16 4 2 1 0 0S3 0 16 8 8 0 1 0X 0 10 0 2 0 0 1Z 0 -100 -200 0 0 0

16/2=816/8=210/2=5

Base Cb P∅ x y S1 S2 S3S1 0 12 2 0 1 -1/4 0S2 200 2 1 1 0 1/8 0S3 0 6 -2 0 0 -1/4 1Z 400 100 0 0 25 0

16 4 2 1 0 0-2 2 2 2 2 2*2 1 1 0 1/8 0=12 2 0 1 -1/4 0

X1=0X2=2Z=400

10 0 2 0 0 12 2 2 2 2 22 1 1 0 1/8 06 -2 0 0 -1/4 1

0 -100 -200 0 0 0-200 -200 -200 -200 -200 -2002 1 1 0 1/8 0400 100 0 0 25 0

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EJERCICIOS RESUELTOS VINVESTIGACION DE OPERACIONESMétodo Simplex Dual

Min. Z= 4x1+12x2+18x3s.ax1 + 3x3≥3

2x2+

2x3≥5

x1 , x2, x3≥0

SOLUCIONPASO 1: Convertir el problema de minimización en uno de maximización.La función objetivo se multiplica por -1F.O.Max. Z= -4x1-12x2-18x3

Las restricciones se multiplican por -1s.a-x1 - -3x3≥-3

-2x2- -2x3≥-5x1 , x2, x3≥0

PASO 2: Se convierten las inecuaciones en ecuacionesF.O.Z+4x1+12x2+18x3=0s.a-x1 - -3x3+S1≥-3

-2x2- -2x3+S2≥-5

PASO 3: Se denominan las variables básicas y no básicasBásicas: S1+S2No Básicas: X1+X2+X3

PASO 4: Elaborar la tabla inicial del simplex

Variable Básica

Variables SoluciónX1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3S2 0 -2 -2 0 1 -5Z 4 12 18 0 0 0

PASO 5: Determinar la variable que sale (fila pivote)

Es el numero mas negativo de la solución de las restricciones = fila de S1

PASO 6: Determinar la variable que entra (columna pivote)

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Razón=Coeficiente de Z/Coeficiente fila pivote

Razón Mayor=Columna X2 (-12/2)

Variable Básica

Variables SoluciónX1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3S2 0 -2 -2 0 1 -5Z 4 12 18 0 0 0Razón - -6 -9 - 0

PASO 7: Elaborar la nueva tabla del simplex

a) Nueva fila pivote = Fila pivote/elemento pivote

Nueva fila S10 -2 -2 0 1 -5 Fila pivote

-2 -2 -2 -2 -2 -2 Elemento Pivote0 1 1 0 -0,5 2,5 Nueve Fila Pivote

b) Nuevas filas = fila anterior – Coeficiente de la columna pivote por nueva fila pivote.

4 12 18 0 0 012 12 12 12 12 120 1 1 0 -0,5 2,54 0 6 0 6 -30

Nueva tabla del Simplex

Variable Básica

Variables SoluciónX1 X2 X3 S1 S2

S1 -1 0 -3 1 0 -3X2 0 1 1 0 -1 2,5Z 4 0 6 0 6 -30Razón -4 - -2 0 -

Se realiza nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solución final

Variable Básica

Variables SoluciónX1 X2 X3 S1 S2

X3 0,33 0 1 -0,33 0 1X2 -0,33 1 0 0,33 -0,5 1,5Z 2 0 0 2 6 -36

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NOTA: No hay más iteraciones cuando no existían soluciones con coeficientes negativos.

R/ El valor se alcanza para un X2=3/2 y X3=1, para Z = 36

GENERACIONES DE LOS COMPUTADORES

Primera Generación: Se desarrolla en 1951 hasta 1958. Es la época de los computadores que eran demasiado grandes. Para poder programarlos había que modificar directamente los valores de los circuitos de las máquinas. Sus principales características a destacar eran:

Inmensas. Enorme tamaño. Poca capacidad de trabajo. Se les comparaba por esto con los

“Dinosaurios” Ocupaban cuartos enteros. Pesaban unos 30000 kilos. Tenían quilómetros de cables. Su principal componente electrónico eran las lámparas, válvulas o tubos de vacío y

alguna llegó a tener cerca de 18000.

Segunda Generación: Ésta surge en 1958 hasta 1964 cuando se sustituye la válvula por el transistor. aparecen los primeros computadores comerciales, los cuales ya tenían una programación previa que serían los sistemas operativos. Éstos interpretaban instrucciones en lenguaje de programación (Cobol, Fortran), de esta manera, el programador escribía sus programas en esos lenguajes y el ordenador era capaz de traducirlo al lenguaje de máquina.

Tercera Generación: Se dio en 1964 hasta 1971 es la generación en la cual se comienzan a utilizar los circuitos integrados; esto permitió abaratar costos y aumento la capacidad de procesamiento reduciendo el tamaño de las máquinas.

Cuarta Generación: Se desarrolla en 1971 hasta 1988 esta fase de evolución se caracterizó por la integración de los componentes electrónicos dando lugar a la aparición del microprocesador.

Quinta Generación: Va desde 1982 aparecen los procesadores Pentium surge la PC, tal como se la conoce en la actualidad y el afianzamiento de redes informáticas y las computadoras contienen una gran cantidad de microprocesadores trabajando en paralelo y pueden reconocer voz e imágenes., el auge de Internet, el desarrollo de software se utiliza la inteligencia artificial el almacenamiento de información se realiza con capacidades de decenas de Gigabytes; se establece el DVD (Digital Video Disk o Digital Versatile Disk).

Sexta Generación: Desde 1990 hasta la fecha estas computadoras cuentan con arquitecturas combinadas Paralelo / Vectorial, cientos de microprocesadores trabajando al mismo tiempo, computadoras capaces de realizar más de un millón de millones de operaciones aritméticas de punto flotante por. Las tecnologías de esta generación ya han

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sido desarrolladas o están en ese proceso como la: inteligencia / artificial distribuida; teoría del caos, sistemas difusos, holografía, transistores ópticos, etcétera.

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

NATURALEZA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. La naturaleza de la organización es inmaterial, la investigación de operaciones se aplica en muchas áreas como: la infraestructura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia, los servicios públicos etc.La gama de aplicaciones es muy amplia.La investigación de Operaciones usa un enfoque parecido a la manera que se lleva la investigación en campos científicos establecidos. El proceso comienza por la observación y formulación del problema, luego construyo un modelo científico, después propongo la hipótesis y luego se llevan a cabo experimentos para probar la hipótesis, modificarla si es necesario y verificarla.La investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional de esta manera intenta resolver conflictos de Intereses entre componentes de la organización de manera que el resultado sea el mejor para la organización completa.La investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución “solución óptima” al problema.Para emprender un estudio de Investigación de Operaciones de un nuevo problema es necesario emplear el empleo de equipo gente con conocimientos de Matemáticas, Estadística, Teoría de las Probabilidades, Economía, Administración, Computación, Ingeniería, Ciencias físicas, Ciencias de Comportamiento, también es necesario que tenga experiencia.

IMPACTO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

La investigación de operaciones ha mejorado la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo el proceso de Investigación de Operaciones ha servido para incrementar la productividad dentro de la economía de varios países. Hay más de 30 países miembros de la (IFORS) donde cada país tiene una sociedad de Investigación de Operaciones, su impacto seguirá aumentando.

RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Al aplicar la Investigación de Operaciones al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas buscando que se ajusten a diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y resolverlos obteniendo las mejores soluciones.Es necesario comprender la metodología para resolver problemas.

QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

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La Investigación de Operaciones ha ido evolucionando en sus técnicas, aplicaciones la forma como la conceptualizan diferentes autores existen muchas definiciones.

La definición de Churchman, Ackolf y Arnoff: La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, de métodos científicos a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina),a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

EN RELACION A ESTA DEBEN DESTACARSE LOS SIGUIENTES ASPECTOS

Generalmente se asocian conceptos de dirección y administración a las empresas de tipo lucrativo pero una empresa es un concepto más amplio va desde una universidad hasta una armadora de automóviles. Para explicar el comportamiento de un sistema complejo debe representarlo en términos de conceptos que maneja, expresando los rasgos principales del sistema con relaciones matemáticas.La esencia de un modelo debe ser predictivo complejo predecir el futuro.El objeto global es el de apoyar al tomador de decisiones, ayudar lo a cumplir su función basado en estudios científicos fundamentales.

HISTORIA ORIGENES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

La toma de decisiones inicia cuando una persona observa un problema y determina que toca resolverlo definiéndolo, formulando un objetivo reconociendo las limitaciones o restricciones, generando alternativas de solución y elegir la mejor.La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y evaluar su habilidad para hacer planes a futuro.En el ambiente socioeconómico los métodos de toma de decisiones se han vuelto inoperantes ya que hay situaciones complicadas y cambiantes que requieren soluciones creativas.Desde al advenimiento de la Revolución Industrial ha crecido bastante el tamaño y la complejidad de las organizaciones.Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte de este cambio fue la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones.Los resultados han sido espectaculares hubo beneficios pero aumento el grado de especialización y esto creo nuevos problemas, como la tendencia a convertirse en imperios autónomos con sus propias metas y objetivos perdiendo la visión de la forma que encajan en sus actividades y objetivos de toda la organización.El inicio de la investigación de operaciones se atribuye a los servicios militares prestados a principio de la segunda guerra mundial ya que existía una necesidad de asignar recursos a distintas operaciones militares de la forma más efectiva.Los científicos de EEUU y Gran Bretaña hicieron investigaciones sobre operaciones militares fueron los primeros equipos de Investigaciones de operaciones.

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ENFOQUE DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Tiene un enfoque novelístico producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de guerra la descripción del enfoque es la siguiente.

1. Define el sistema real donde se presenta el problema2. Selecciona las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema3. Construye un modelo cuantitativo identificando y simplificando las relaciones entre

variables utilizando funciones matemáticas.4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo aplicando técnicas desarrolladas por la

Investigación de operaciones.5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema

real.6. Se implanta la solución al problema real.La investigación de Operaciones obtiene la solución del problema real indirectamente y no como normalmente se intentaría pasando directamente el problema real a la solución real.

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