Modulo a Aplicada UPN-ADMINISTRACION

download Modulo a Aplicada UPN-ADMINISTRACION

of 50

Transcript of Modulo a Aplicada UPN-ADMINISTRACION

ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 1 - Aracelli Pomape Grados ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 2 - No hay secretos para el xito. Este se alcanza preparndose,trabajando arduamente y aprendiendo del fracaso. ANONIMO Lavidanosedivideensemestres.Notendrsvacacionesdeveranolargasen lugares lejanos y muy pocos jefes se interesarn en ayudarte a que te encuentres a ti mismo. Todo esto tendrs que hacerlo -si lo deseas en tu tiempo libre. BILL GATES ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 3 - INTRODUCCION Enpocaspasadasconlentosprocesosdecambio, loscualesresultabancasiimperceptibleseneltiempo,sepoda administrarunaempresaconpocosdatosestadsticos.Hoyenunmundo de profundos y veloces cambios en todos los rdenes ya no esposibleactuarcondisplicencia.Hoyunempresarionecesita predeciratiempoloscambiosdetendencia,debenoslosaber enqusegast,sinocomosegasteneltiempoyenque conceptos. Nosepuedegestionarloquenosemide.Las medicionessonlaclave.Siustednopuedemedirlo,nopuede controlarlo.Sinopuedecontrolarlo,nopuedegestionarlo.Sino puedegestionarlo,nopuedemejorarlo.Lafaltasistemticao ausenciaestructuraldeestadsticasenlasorganizacionesimpide unaadministracincientficadelasmismas.Dirigirsloenbasea datos financieros del pasado, realizar predicciones basadas ms en laintuicinoensimplesextrapolaciones,ytomardecisiones desconociendolasprobabilidadesdexitouocurrencia,sonslo algunosde losproblemaso inconvenientesmscomunes hallados en las empresas. Todadecisin,todoanlisis,todopresupuesto,est prcticamenteenelairesinosecuentacondatosestadsticos suficientes y fiables. Nosoloaniveldeempresa,sinotambinanivelde pas, los que ms han avanzado han sido aquellos que hicieron de las estadsticas una herramienta fundamental. ElpresentematerialdeconsultasobreEstadstica Aplicadaqueselefacilitapretendeproporcionaruna introduccinclarayconcisaalaestadsticainferencial, proporcionandounapreparacinpararesolverlosproblemasde latomadedecisionesenlaempresayunabuenabaseparael anlisis estadstico. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 4 - Primera UNIDAD PROBABILIDADES Herramienta para la toma de decisiones. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 5 - COMPETENCIAS CONCEPTUAL Explica que es: - Probabilidad. Experimento Aleatorio. Espacio Muestral. Eventos o Sucesos. Identifica - Variable aleatoria. Eventos.- Teorema de Bayes Reconoce - Distribuciones de probabilidad Discretas. Bernoulli, Binomial y Poisson.- Distribuciones de probabilidad contina. Distribucin Normal - Manejo de la tabla estadstica de probabilidades. PROCEDIMENTAL - Observarfenmenosdenuestrarealidadyplantearloscomoexperimentos aleatorios, sealando sus respectivos espacios muestrales. - Determinareventososucesosenlosdiferentesexperimentosaleatorios expuestos anteriormente calculando su respectiva probabilidad.- Explicar y construir una distribucin de probabilidad. - Explicar los elementos que forman una distribucin de probabilidad discreta. - Explicarloselementosqueformanunadistribucindeprobabilidad continua.- Resolver casos respecto a fenmenos probabilsticos discretos. - Resolver casos respecto a fenmenos probabilsticos continuos. ACTITUDINAL - ValoraelClculodeprobabilidadesparalatomadedecisionesdetipo personal o gerencial. - Aprecia la necesidad y la utilidad de los modelos de probabilidad ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 6 - Conceptos Bsicos ExperimentoAleatorio Espacio Muestral Eventos o Sucesos Relaciones entre Eventos Reglas de Probabilidad Enfoques de Probabilidad rbol de Probabilidades Frecuencia relativa Subjetivo Clsico E. Mutuamente excluyentes E. Colect. Exhaustivos Eventos Independientes Regla de Adicin Regla de Multiplicacin Probabilidad Condicional Teorema de Bayes Probabilidad ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 7 - Cualquieraque sea la profesinque sehaya elegido, algo siesseguro: en algnmomentosehandetomardecisiones.Conmuchafrecuenciaesto tendrquehacersesinconocertodaslasconsecuenciasdetales decisiones. Por Ejemplo: a)Losinversionistasdebendecidirsobrelaconvenienciaeninvertirenuna accinenparticular,conbaseensusexpectativassobrerendimientos futuros. b)Losempresarios,aldecidircomercializarunproductoenfrentanlaincertidumbre sobre la posibilidad de xito. En cada caso, como sucede conla mayora de losasuntoscomerciales, se han de tomar decisiones sin toda la informacin pertinente. Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de decisionesincrementarlaprobabilidaddequesetomendecisionesms inteligentes y bien informadas. El propsito de sta unidad es ilustrar las formas en las cuales puede medirse la posibilidad o probabilidad de ocurrencia de eventos futuros. Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riesgo y la especulacin arriesgada relacionados con el proceso de toma de decisiones ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 8 - - Laaficin al juego fuelo que impulso el desarrollo de la probabilidad. - En unesfuerzo por aumentar susgananciaspidieron a los matemticosque les proporcionaran las estrategias ptimas para varios juegos de azar. - Comoresultadodeesteprimerdesarrollodelateoradeprobabilidad,se extiende junto con la estadstica a muchos campos. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 9 - I. PROBABILIDADES La inferencia estadstica es el conjunto de mtodos con los que se hacen generalizaciones, o lainferenciasobreunapoblacinutilizandounamuestra.Lainferenciapuedecontener conclusiones que pueden ser o no ser ciertas en forma absoluta, por lo que es necesario que estas sean dadas con una medida de confiabilidad que es la Probabilidad. El trmino PROBABILIDAD se utiliza comnmente cuando existe una incertidumbre sobre: -Que ocurri en el pasado -Que est ocurriendo en la actualidad o -Que ocurrir en el futuro. Elhombredenegociospuededecidirlacomercializacindeunnuevoproducto,porquela probabilidad de su xito es elevada. El agricultor quiz no riegue su arroz o trigo porque es probable que llueva. Posiblemente,nielhombredenegocios,nielagricultorsepancmodefiniromedirla probabilidad, sin embargo cada uno de ellos encontr til esta idea cuando se tuvo que tomar una decisin. Entonces, debemos saber lo siguiente: Qu es una probabilidad, como puede medirse, de qu modo se puede utilizar? Para responder a esto debemos saber algunas definiciones preliminares II. CALCULO DE PROBABILIDADES: 1.DEFINICIONES PRELIMINARES: 1.1.EXPERIMENTO ALEATORIO (): Un experimento aleatorio se caracteriza porque tienen las siguientes propiedades: a.Aunqueengeneralnopodemos indicarculserunresultado particular,podemos describir en conjunto de todos los resultados posibles del experimento. b.Se pueden repetir infinitas veces sin cambiar sus condiciones. Ejemplos: 1= Lanzamiento de un dado y ver su puntaje obtenido. 2= Se lanza una moneda tres veces y se observa la sucesin de sellos y caras obtenidos. 3= Se fabrican artculos en una lnea de produccin y se cuenta el nmero de artculos defectuosos producidos en un periodo de 24 horas. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 10 - 1.2.ESPACIO MUESTRAL ():Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. As por ejemplo, los espacios muestrales asociados a los respectivos experimentos mencionados anteriormente, son: ExperimentoEspacio Muestral 1 1= {1,2,3,4,5,6} 2 2= {ccc, ccs,csc,scc,,sss}; c=cara, s=sello 3 3 = {0, 1, 2,, N}; en donde N es el nmero mximo que pudo ser producido en 24 horas. Ejercicios de Aula: 1.Indique Ud. si los siguientes experimentos son aleatorios: a.Elegir una carta de una baraja (52 cartas) y sealar la figura obtenida. V F a.Verificar el estado de dos transistores (apagado y prendido) V Fb.Lanzar una piedra a una tina con agua.V F c.Lanzar4 monedas y ver el nmero de caras. V F d.Jugar un partido de fulbitoV F e.Soltar un plumn en el aire. V F f.Rendir un examen.V F g.Jugar la tinkaV F 2. Indique el espacio muestral para los siguientes experimentos: (Utilice el diagrama del rbol) a.Lanzar 2 monedas:= {..} b.Lanzar 3 monedas = {..} c.Lanzar 1 dado y una moneda = {..} d.Lanzar 2 dados = {..} e.Jugar un partido de ftbol = {..} f.Rendir un examen = {..} 1.3.EVENTO O SUCESO:SellamaEventoacualquiersubconjuntoopartedelEspacioMuestral.Asporejemplo, considerando los experimentos de los ejemplos anteriores: En el 1:A: el puntaje obtenido es un nmero impar.Entonces, A= {1,3,5} ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 11 - Tipos de Eventos a)Evento Imposible: Cuando un suceso no puede ocurrir. No contiene elementos y por lotantoesunconjuntovaco.Uneventoimposibletieneunaprobabilidadiguala 0.Ejemplo:DeunaUrnaquecontieneesferas rojas, uneventoimposibleserasacar una esfera blanca.

b)Eventoseguro:Cuandounsucesosiempreocurre.Contienetodosloselementos posibles del experimento. Por lo tanto un evento seguro tiene una probabilidad igual a1.Ejemplo:DeunaUrnaquecontieneesferasrojas,uneventoseguroserasacar una esfera roja. c)EventoMutuamenteExcluyentes:DoseventosAyBdefinidosenelmismoespacio muestral se dice que son mutuamente excluyente si no pueden ocurrir juntos. Es decir laocurrenciadeunoexcluyelaocurrenciadelotro.Ejemplo:DelExperimentode verificarelestadodeunacuentaestatienecomoposibilidadesdepagadayno pagada, si asume una de las dos condiciones ya no puede asumir la otra. d)Evento Colectivamente exhaustivos: Se dice que la coleccin de n eventosA1An, definidos sobre el mismo espacio muestral son colectivamente exhaustivos si la unin de todos ellos es igual espacio muestral Ejemplo:Delos500empleadosdeunaempresacajamarquina,170estn clasificadoscomomiembrosdelpersonaladministrativo,290como trabajadores de lnea y los 40 trabajadores restantes son empleados auxiliares. LoseventoscolectivamenteexhaustivossonS,LyA.Siunempleadose selecciona al azar P ( S ) = 170/500 = 0.34 P ( L ) =290/500= 0.58 P (A ) =40/500= 0.08 Debidoaqueocurrelacertezadequeelempleadoseleccionadoprovengadeestastres categoras colectivamente exhaustivas, P(S o L o A)= 0.34+0.58+0.08 =1 Ejemplo deExperimento, Espacio Muestral y Evento ( 1):Lanzar dos monedas al aire ( 1)= (CC, CS, SC, SS)n (1 ) = 4 A: Que salga una cara al lanzar dos monedas A:CS, SC n (A) = 2 P (A) = n (A) /n = 2 / 4 = 0.50 ( 2):Lanzar dos dados simultneamente y se observan las caras superiores ( 2)= ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 12 - n (2 ) = 36B: Que salga las caras iguales al lanzar dos dadosB: (1,1)(2,2) (3,3) (4,4)(5,5) (6,6) n (B ) = 6P (B) = n (B) /n = 6 / 36= 0.17 1.4.REGLAS BSICAS DE PROBABILIDAD 1.4.1LeyFundamentaldeProbabilidad.Unaprobabilidadsiempreestarcomprendida entre 0 y 1. 0P ( A) 1 1.4.2P(A)=1.Lasumadelasprobabilidadesdetodosloseventossimplesposiblesdel espacio muestral es 1. 1.4.3Ley del Complemento. Si A c es el complemento de A, entonces: P (A c) + P (A) = 1 P (A c) = 1 P (A) P (A) =1 P (A c) 1.5.ENFOQUES DE PROBABILIDAD. Hay tres enfoques de la probabilidad, Clsico, Subjetivo y Frecuentista. 1.5.1 EnfoqueClsico de la ProbabilidadElenfoqueclsicooaprioridelaprobabilidadestbasadoenlasuposicindeque todoslosresultadosdelexperimentosonigualmenteposibles.Laprobabilidadse calcula de la siguiente manera: Probabilidad del evento = Ejemplo:Elexperimentoeslanzarundado.Culeslaprobabilidaddequecaigaundoshacia arriba? P (caiga 2) = 1= 1/6 = 0.166 Nmero de posibles resultados del evento Nmero total de resultados posibles del experimento ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 13 - 1.5.2EnfoqueSubjetivo Sinohayexperienciaanteriorohaymuypocasobrelacualbasarunaprobabilidad, estasefundamentaenlaintuicin,opiniones,creenciaspersonalesyotrainformacin indirecta. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad. Ejemplo: P (Que una Mujer sea elegida presidente del Per) = 0.40 1.5.3 EnfoqueFrecuentistaLaprobabilidaddequesucedauneventoesdeterminadaobservandocomosucede el evento en el pasado. En trminos de frmula: Probabilidad de que = suceda un evento Ejemplo: Se sabe que una moneda est sesgada. Para determinar la probabilidad de que caiga caraselanza60veceslamonedaalaire,delascuales25vecescaycara.Si aplicamos la frmula: P (cae cara) =25/ 60= 0.42 1.6.ALGEBRA DE EVENTOS 1.6.1Sub Eventos Dados dos eventos, A y B se dice que A est contenido en B, o que A es sub evento de B y denotado porAB,sitodo sucesofavorableaA,esfavorableaB.Enotras palabras si ocurre el evento A, entonces ocurre el evento B. En smbolos: A B, siw A wB Nmero de veces que sucedi el evento en el pasado Nmero total de observaciones Ejemplo:Consideremoselexperimento:Verificarelestadodecuentasbancariashasta que ocurra pagaday contar el nmero de cuentas verificadas: En este experimento el espacio muestral es: =1, 2, 3, 4, 5, Se define los siguientes eventos A: Se necesita por lo menos 20 cuentas =20, 21,22, B: Se necesita ms de 5 cuentas = 6, 7, 8, Es claro queAB. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 14 - 1.6.2Igualdad de Eventos Dados dos eventos, A y B se dice que A y B son iguales A = B, si AByBA Ejemplo:Consideremoselexperimento,Verificarelestado decuentasbancariashasta que ocurra pagaday contar el nmero de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es: =1, 2, 3, 4, 5, Se define los siguientes eventos A: Se necesitaa lo ms 10 cuentas = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 B : Se necesita menos de 11cuentas = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Es claro queA =B 1.6.3Unin de Eventos Dadosdoseventos,AyB,sellamaunindeAconBysedenotaporAUBal evento formado por los sucesos que pertenecen a A a B de ambos, es decir si ocurre el evento A B ambos. En smbolos: AUB =si w / w Avw B Ejemplo: Consideremos el experimento, Verificar el estado de cuentas bancariashasta que ocurra pagaday contar el nmero de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es: =1, 2, 3, 4, 5, Se define los siguientes eventos A: Se necesitaun nmero par de cuentas = 2, 4, 6, 8, 10 B : Se necesita ms de 10 cuentas =11, 12, 13, 14 Es claro queAU B =2, 4,6, 8, 10, 11, 12, 13, 14,. . . ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 15 - 1.6.4Interseccin de Eventos Dados dos eventos, A y B, se llama interseccinde A con B y se denota por AB AB al evento formado por los sucesos que pertenecen a Ay a B. Es decir, ambos eventos A y B ocurren (la ocurrencia conjunta de A y B). En smbolos: A B = siw /wA^w B Ejemplo:Consideremoselexperimento,Verificarelestado decuentasbancariashasta que ocurra pagaday contar el nmero de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es: =1, 2, 3, 4, 5, Se define los siguientes eventos A: Se necesitaun nmero par de cuentas =2, 4, 6, 8, 10, 12,14... B: Se necesita ms de 10 cuentas = 11, 12, 13, 14 Es claro queA B = 12, 14,. . . 1.6.5Complemento de Evento SiA es un evento del espacio muestral, se llama complemento de A, denotado por A oAaleventoformadoportodoslossucesosquenopertenecenaA.Esdecir,no ocurre el evento A.En smbolos: Ejemplo:Consideremoselexperimento,Verificarelestado decuentasbancariashasta que ocurra pagaday contar el nmero de cuentas verificadas En este experimento el espacio muestral es: =1, 2, 3, 4, 5, Se define los siguientes eventos A: Se necesitaun nmero par de cuentas =2, 4, 6, 8, 10, 12,14... B: Se necesita ms de 10 cuentas = 11, 12, 13, 14 Sus complementos son: A =1, 3 , 5 , 7 , 9 , B= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 A ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 16 - 1.7.TEOREMAS DE PROBABILIDAD 1.7.1Regla de Adicin LaRegladeAdicinnosdalaformadecalcularlaprobabilidaddequeocurrael evento A B ambos. Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si el evento A es cae un nmero par A = {2, 4, 6} Si el evento B es cae un nmero menor de 3 B = {1, 2} Cul ser la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es: P(A) =3/6= 0.50 P (B) =2/6= 0.3366 Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la interseccin de estos dos eventos, es decir, la probabilidad de que caiga un nmero par y menor de 3. A B =Es el elemento {2} = P(A B) = 1/6 = 0 .17 Si aplicamos la regla de adicin: P( A U B ) = P( A ) + P( B )P( A B ) P(A U B) =0.50+0.33 0.17 = 0.66 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 17 - 1.7.2Regla de Multiplicacin LaRegladeMultiplicacinnosdalaformadecalcularlaprobabilidaddela interseccin de dos eventos. 1.7.3Probabilidad Condicional Laprobabilidaddequeocurrauneventodadoqueotroeventoyahaocurridose llama Probabilidad Condicional Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. Cul es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P (AB) ={probabilidad de que las dos canicas son rojas} P(A) = {probabilidad de que la primer canica es roja} P (B) = {probabilidad de que la segunda canica es roja} P (BA) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja} ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 18 - Solucin: * Al extraer la primera canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por loque la probabilidad es: P(A) = 5/ 10 = 0.50 ** Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por lo que la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es: P (BA) =4/9 = 0.44 P (AB) = P (A) * P (BA) = 0.5*0.44 = 0.22 1.8.PERMUTACIN Y COMBINACIN 1.8.1PERMUTACIN Factorial de un nmero: Sea n un nmero entero positivo, el factorial de n, sedenota porn!ysedefinecomoelproductodetodoslosenterosconsecutivosde1hastan inclusive, es decir: n! =n* (n-1)** 2*1 5! = 5*4*3*2*1 =120 Observe que n! = n* (n-1)! Si n =1; 1! = 1* 0!;. Luego definimos que 0! = 1 Permutacin:Esunarreglodetodosopartedeunconjuntodeobjetosdondeelordenes importante. Teorema 1: El nmero de permutaciones de n objetos diferentes es: Pn =n P n = n! Ejemplo: Supongaque tenemos un conjunto de tres elementos: A=(a,b,c)yestamosinteresadosenelnmerodearreglos(lasposiblespermutaciones) con los elementos del conjunto A. Las posibles permutacionesson: abc, acb, bac, bca,cab y cbaVemos que hay 6 permutaciones distintas: 3!= 3*2*1 = 6

Teorema 2: El nmero de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a r es: Pn = n P r=n! / ( n-r)! Ejemplo:Ungrupoestformadopor5alumnosysedeseaformarunacomisinintegrada por presidente y secretario. De cuntas maneras puede nombrarse sta comisin? 5 P 2=5! / (5-2)!=5* 4 = 20 n r ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 19 - Ejercicio:Sevaacolorearunmapadecuatropases,concoloresdiferentesparacada pas. Si hay disponibles 6 colores diferentes De cuntas maneras puede colorear el mapa?. Teorema 3: El nmero de permutaciones de n objetos diferentes alrededor de un crculo es:P c =( n-1)! Ejemplo: Decuntasformasdiferentespidieronsentarse,enlaltimacena,alrededordelamesa Jesucristo y sus apstoles?. El nmero de formas es: P c = (13-1)!= 12! Observacin: Si la mesa no fuese circular se tendr una permutacin de las 13 personas: 13 P 13 = 13! 1.8.2COMBINACIN Enmuchos casos estaremos interesados en el nmero de formas de seleccionar r objetos de n, sin importar el orden. A estas selecciones se le llaman combinaciones. Combinacin:Unsubconjuntoderelementosdeunconjuntoquetienenelementos diferentes, se llama una combinacin de los n elementos tomados r a r. Determinaremos ahora, el nmero de combinaciones de r elementos que se pueden formar con los n objetos diferentes de un conjunto. Este nmero se denota por: LlamadoCoeficienteBinomial,porqueaparececomocoeficienteeneldesarrollodel binomio (a+b) n Ejemplo: Seextraendoscartasdeunabarajade52cartas.Decuntasmanerassepuedehacer esto? Senecesitasolosubconjuntos dedoscartas,sinimportarelordenentonces,ennmero de forma de seleccionarestas dos cartas es: Solucin: ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 20 - Ejemplo: Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: a)Decuntas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas? b)Si las tres primeras son obligatorias, de cuntas maneras puede escoger las preguntas? Solucin: a)Como interesa subconjuntos de 8 preguntas de un conjunto de 10 sin importar el orden, esto sera de C10 = 10! / (8! 2!) = 45b) Puestoquelas tres primeras preguntas sonobligatorias;las5restantes tendrqueescoger de las 7 preguntas sobrantes. Luego, esto se hace de: 1 * C7 = 7!/ (5!*2!) = 21 1.9.TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES Se presenta el teorema ms importante del clculo de probabilidades y el camino para llegaralexigeladefinicindeparticindeunespaciomuestralyelteoremade probabilidad total. 1.9.1Particin de un espacio muestral: Se dice que la coleccin de eventos B1, B2, , B k del espacio muestral representa una particin del espacio muestral , si cumple las siguientes condiciones: a)Los eventos B1, B2, , B k , son mutuamente excluyentes: En smbolosBi B j = i= j ;i,j = 1,2,3.,k b)Los eventos B1, B2,, B k,son colectivamente exhaustivos. En smbolos: c)P(Bi) >0 i = 1,2,3.k 1.9.2Probabilidad Total Sea B1, B2,, Bk;una particin del espacio muestral, entonces para cualquier evento A en se cumple: P (A) = P (Bi) P (A/Bi)

= P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) ++P(Bk) P(A/Bk).5 8 Teorema de Probabilidad Total ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 21 - Fig.Relacin entre el evento A en y la particin de 1.9.3Teorema de Bayes SeaB1,B2,,Bk;formanunaparticindelespaciomuestralyAesunevento cualquiera de entonces : El numerador resulta del teorema de multiplicacin y eldenominador del teorema de probabilidad total. Diagrama del rbol: Un diagrama de rbol es una representacin grfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.Construccin Del Diagrama De rbola) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raz del rbol);b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas Ejemplo1. Teorema de Bayes: EnunaUniversidad,productodeunexamenenunadeterminadamateria,hayalumnos aprobados y desaprobados. En el aula Ahay un 20% de desaprobados, enB hay 25% y en el aulaCun 15% de desaprobados. En unamuestra de 300 alumnoshay 150 alumnos del aula A, 100 alumnos del aula B y el resto del aula C. a)Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que est desaprobado. b)Si result aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A. Solucin: Se definen los siguientes eventos: A= Alumno seleccionado result Aprobado A= Alumno seleccionado result Desaprobado B1 = Alumno seleccionado es del Aula A B2 = Alumno seleccionado es del Aula B B3 = Alumno seleccionado es del Aula C Teorema de Bayes ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 22 - Se distribuyen las probabilidades utilizando un Diagrama del rbol a.Si se selecciona a un alumno al azar, hallar la probabilidad de que est Aprobado. Se desarrolla utilizando la frmula de la Probabilidad Total La probabilidad de que el alumno seleccionado resulte aprobado esde 0.792 o 79.2% b.Si result aprobado. Halle la probabilidad de que sea del Aula A. Se desarrolla utilizando la frmula del Teorema de Bayes. La probabilidad de que el alumno seleccionado sea del Aula A es 0.5052 o 50.52% P (B2) = 100/300= 0.33 B1 B2 B3 P ( A / B1 ) =0.80 P ( A / B2 ) =0.75 P ( A / B3 ) =0.85 P ( A / B1 ) =0.20 P ( A / B2 ) =0.25 P ( A / B3 ) =0.15 = 0.50 (0.80) + 0.33 (0.75) + 0.17 (0.85) = P (B1) P (A/B1) + P (B2) P(A/B2) +P(B3) P(A/B3). = 0.40 + 0.25 +0.142 =0.792 = 0.50 (0.80) / 0.792 =0.5052 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 23 - Ejemplo 2. Teorema de Bayes:

UnaempresamanufactureralacualUd.Administra,recibeembarquesdepartesdetresproveedores distintos. El 40% de las partes provienen del proveedor A, el 35% de proveedor B y el resto del proveedor C. Adems por datos histricos se sabeque el 90% de las partes de Asondebuenacalidad,el88%deBpresentanlamismacaractersticayel75%deC tambin presentan buena calidad. a)Si se extrae una parte del embarque .Hallar la probabilidad de que sea defectuosa. b)Si al extraer la parte result defectuosa, halle la probabilidad de que sea del proveedor. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 24 - PRACTICA N 1 1.D2ejemplosdeexperimentoqueesdeintersparasucarreraprofesional,consu respectivo espacio muestral 2.Una moneda se lanza 4 veces. (Utilice Diagrama del rbolpara determinar ) Describa los siguientes eventos o Ocurre por lo menos 2 caras o Ocurre a los ms una cara o Ocurre sello en el tercer lanzamiento o Ocurre cara en el cuarto lanzamiento. 3.Ochoamigosjueganbolicheunavezalasemana.Estegrupoestformadopor2parejas decasados,3jvenesyunajoven.AntesdeljuegocadaunocolocaS/.10enunabolsa cuyo contenido ganar el que obtenga mayor puntuacin. Si las mujeres tienen la mitad de la habilidad que los varones poseen para el juego. Se le pide encontrar: a)Cul es la probabilidad que un soltero gane? b)Cul es la probabilidad que una mujergane? c)Cul es la probabilidad que un hombre casadogane? 4.La probabilidad que la seora hablantina reciba a lo ms 5 llamadas telefnicas en un da es 0.20;y por lo menos 9 llamadas en un da es 0.50. Cul es la probabilidad que la seora hablantina reciba 6, 7 u 8 llamadas en un da? 5.El cuadro siguiente contienela clasificacin de 432 obreros de un sindicato respecto a dos caractersticas: a)El nmero de aosde pertenencia de cada uno al sindicato b)Su respuesta a la pregunta: Desea Ud. Ir a la huelga para obtener un aumentode salarios Respuesta a la pregunta Nmeros de aos en el sindicato Total Menos de 1 (A) De 1 a 3 (B) De 4 a 10(C) Ms de 10 (D) Si( S)575413739287 No(N )341834389 No s (NS)161462056 Total 1078617762432 *) Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: S UB ;S / B;NS/A ;A/NS;NU C ;S (C U D) 6.Considere el experimento contarel n de personas que degustan un producto : o A: Degustan un nmero par de persona o B: El nmero de personas que degustan es mltiplo de 6 o C: Degustanpor lo menos 15 personas o D: Degustan a lo ms 20 o E: Degustanmenos o igual a 20 personas Verificar si los eventos son mutuamente excluyentes.(A y B, A y C, B y C) 7.Unmayoristatiene200clientesclasificadosenlasiguientetablasegnsirealizanpedidos regularmente o de forma espordica y segn si efectan el pago al contado o a travs de crdito. Forma de Pago Total Tipo de PedidoAl ContadoCrdito Regular 101525 Espordico20155175 Total30170200 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 25 - Enelmarcodelacampaapublicitaria,elmayoristadecidesortearunviajeentresus clientes eligiendo uno de ellos al azar. a.Culeslaprobabilidaddequeelclienteafortunadoconelviajerealicepedidos regularmente o bien utilice crditos para efectuar sus pagos? b.Calculelaprobabilidaddequeelclienteafortunadoconelviajerealicepedidos regularmente si sabemos que el elegido efecta sus pagos mediante crdito c.Calculelaprobabilidaddequeelclienteafortunadoconelviajerealicelospagos mediante crdito si sabemos que realiza pedidos regularmente. d.Son independientes los sucesos comprar a crdito y comprara regularmente. 8.En un sistema dealarma, la probabilidad de que sta funcione habiendo peligro es 0.95,y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1 a.Hallar el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b.Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro c.Cul es la probabilidad de que la alarma funcione. 9.Unaempresamultinacionaldeseaelegiruncandidatoparaocuparlaplazade administradordelafilialquevaabrirenCajamarca.Traslastresprimeraspruebasde seleccin de los 100 candidatos inciales, tres han quedado para la cuarta yltima prueba queconsistirenunaentrevistapersonal.Alarevisindeloscurriculumspresentadosyde las puntuaciones obtenidas en las pruebas anteriores, se cuenta con probabilidades de 0.3; 0.5y0.2deelegirlos paraelpuestoalos candidatos 1,2y3respectivamente.Seestima en un 80% las posibilidades de incrementar las ventas en el prximo ao en la multinacional siseeligealprimercandidato.Paraelsegundoytercercandidato,respectivamentese estiman el 10% y el 40% de posibilidades de incremento de ventas.El tercer candidato est seguro de conseguir dicho puesto en la multinacional. Con respecto a la informacin anterior Est Ud, de acuerdocon el pensamiento del tercer candidato? Si no es as, segn sus clculos qu candidato sera el ganador (Extrado del libro Problemas de probabilidades y estadsticas. Romera y Alonso: Facultad de Informtica de la UPM 1992) 10.Decuantasformasdiferentessepuedensentar5candidatosalpuestodeadministrador, en una banca? 11.Enunareunindeprofesionalesde20integrantesdecuantasformassepueden seleccionar tres representantes: presidente, vicepresidente y secretaria?. 12.Decuntasmanerasdistintashayqueformarunequipodetenisde4elementosentre8 jugadores? 13.Supongaqueunabolsacontienecuatropelotasnegrasysieteblancas.Decuntas maneraspuedesacarseungrupodetrespelotasdelabolsaenlascombinaciones siguientes: a.Una pelota negra y dos blancas. b.Tres pelotas de un solo color c.Por lo menos una pelota negra. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 26 - LECTURA El jefe de la lotera de Connecticut pierde su empleo *Deniss Hevesi 1989 En 1989, el jefe de la lotera de Connecticut, J Blaine Lewis hijo, perdi su empleo. Enuntiempo,cuandolaloteradelestadocapt513millonesdedlaresporaoy conserv225millonesparaelfondogeneraldelestado,eljefedeingresosespeciales orden al seor Lewis ir a la Connecticut Gaming Policy Board y recomendar un cambio: la sustitucin del actual juego en el que los ganadores del premio mayor deben acertar a seis de 40 nmeros, por un juego nuevo en el que seran seis de 44 nmeros de los que debera escogerse.Elcambiotanpequeo,sedijo,mejoraralaparticipacindelaloteradel estado. Alaplicarlafrmuladecombinaciones,MrLewisnoestuvodeacuerdo.Mientrasque40C6es igual a 3 838 380, lo que implicaba una oportunidad de 3.8 millones para ganar el premio mayor,44C6esiguala7059052,loquereducaconsiderablelaoportunidadaunoen7.1 millones. Mr. Lewisno quiso decepcionar al pblico, pero quiz pas por alto una consideracin. Es concebiblequelos premios mayores,quesonlos ms difciles deganar,produzcanms desplazamientodedineronoganadoyas,premiosmsgrandes.Esteprospectopodra aumentar las ventas y los ingresos netos del estado. *Fuente:DennisHevesi,ConnecticutLottoChiefLosesJobin Odds Battle, the New York Times, 28 de mayo de 1989.p36. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 27 - Fuente: ALLEN L. WEBSTER ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOSY A LA ECONOMIA.TERCERA EDICION. EDITORIAL MC GRAW HILL. de la parte superior ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 28 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 29 - III. VARIABLE ALEATORIA Sellamavariablealeatoria(v.a.)atodaaplicacinofuncinqueasociaacadaelementodel espacio muestral () de un experimento, un nmero real. Ejemplo 1 Variable Aleatoria: Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire ( = Lanzar tres monedas). LlamaremosC a Cara yS a Sello, el espacio muestral ser: = {CCC,CCS,CSC,SCC,CSS,SCS,SSC,SSS} Definimoslavariablealeatoria(v.a.)Xcomoelnmerodecaras(X=Ndecaras),estamos asociando a cada suceso un nmero, as: X(CCC)=3

X(CCS)=X(CSC)= X(CSS) =2 X(SSC)=X (CSS)=X(SCS)=1 X(SSS)=0 Entonces los valores diferentes que ha tomado la variable son: X = 3, 2, 1, 0 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 30 - Ejemplo 2 Variable Aleatoria: Consideremos el experimento: = Lanzar dos dados. = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) } Definimos la variable aleatoria (v.a.) X X = Suma de las puntuaciones de las caras superiores, entonces X((1,1))=2 X((1,2) (2,1))= 3 X((1,3) (3,1) (2,2))= 4 X((1,4) (4.1) (2,3) (3,2))= 5 X((1,5) (5,1) (2,4) (4,2) (3,3))= 6 X((1,6) (6,1) (2,7)(3,4) (4,3))=7 X((2,6) (6,2) ( 3,5) (5,3) ( 4,4)= 8 X((3,6)(6,3) (4,5) (5,4))= 9 X((1,4) ( 4,1) (4,6) (6,4) )=10 X((5,6) (6,5))=11 X((6,6))= 12 Las variables aleatorias las podemos clasificar en: discretas, si puede tomar un nmero finito o infinito numerable de valores enteroscontinuassidadounintervalo(a,b)lavariablepuedetomartodoslosvalores comprendidos entre a y b. Ejercicios de Aula: X = 2, 3,, 12 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 31 - IV.DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES: 1.LA DISTRIBUCIN BINOMIAL -La Distribucin Binomial es una las distribuciones de probabilidad discretas ms importantes, la cual tiene muchas aplicaciones en Ingeniera, Administracin, etc.. -Esta distribucin se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en realizar 1 experimentos que tiene dos resultados posibles, llamados xito y fracaso. Ejemplos: 1. Lanzar una moneda 2. Rendir un examen.Ensayos de Bernoulli 3. Observar el sexo de un recin nacido. 4. Encender una maquina, etc - Experimento Binomial: Es aquel que consiste en realizar n vecesensayos de Bernoulli, en el cual se debe cumplir lo siguiente: a.Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles. b.Los ensayos son independientes. c.La probabilidad de xito p es constante en cada ensayo. -Esta distribucin tienen las siguientes caractersticas: 1. Su variable aleatoria est definida como: X: Numero de xitos en n ensayos. 2. Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, , n} 3. Su funcin de probabilidad est dada por: 4. Sus parmetros son : n : Numero de veces que se repite el experimento o tamao de muestra. p : Probabilidad de xito en cada uno de los ensayos o proporcin de inters. 5.Su notacin es :XB ( n, p ) n x q pxnx X P x fx n x,..., 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( =||.|

\|= = = ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 32 - 6.Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente TABLA DE DISTRIBUCION BINOMIAL ACUMULADA A.P ( X a ) = Usar directamente la tabla B.P ( X > a ) = 1 -P ( X a ) C.P ( X a ) = 1 -P ( X a - 1 ) D.P ( X = a ) = P ( X a ) - P ( X a - 1 ) E.P ( a X b ) = P ( X b ) - P ( X a-1 ) F.P ( a X < b ) = P ( X b-1 ) - P ( X a-1 ) G.P ( a < X < b ) = P ( X b-1 ) - P ( X a ) ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 33 - 2.LA DISTRIBUCIN POISSON -LaDistribucindePoissonesotradelasdistribucionesdeprobabilidaddiscretasms importantes porque se aplica en muchos problemas reales. -Esta distribucin se origina en problemas que consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida). Ejemplos: a.Numero de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. b.Nmero de vehculos que llegan a una estacin de servicios durante una hora. c.Nmero de llamadas telefnicas en un da. d.Nmero de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m. e.Numero de bacterias en un cm3 de agua. -Esta distribucin tienen las siguientes caractersticas: Su variable aleatoria est definida como: X: Numero de ocurrencias en 1 unidad de medida (Tiempo, Volumen, Superficie, etc.) Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, .} Su funcin de probabilidad est dada por: Su parmetro es : tasa promedio de ocurrencia en 1 unidad de medida. Su notacin es :XP( ) ,... 2 , 1 , 0 ,!) () ( ) ( = = = =xxex X P x fx ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 34 - Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente H.P ( X a ) = Usar directamente la tabla I.P ( X > a ) = 1 -P ( X a ) J.P ( X a ) = 1 -P ( X a - 1 ) K.P ( X = a ) = P ( X a ) - P ( X a - 1 ) L.P ( a X b ) = P ( X b ) - P ( X a-1 ) M.P ( a X < b ) = P ( X b-1 ) - P ( X a-1 ) N.P ( a < X < b ) = P ( X b-1 ) - P ( X a ) ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 35 - 3.LA DISTRIBUCIN NORMAL: -Ladistribucinnormal,llamadatambinCurvadeGauss(enrecuerdoalcientficoquelo descubri),es ladistribucindeprobabilidadms importanciaenlaEstadsticayporende del Clculo de Probabilidades.-Estadistribucindeprobabilidadesimportanteporquelasvariablesaleatoriascontinuas (peso,edad,talla,produccin,gastoenpublicidad,temperatura,ventas,PBI,ganancias, etc)quesonvariablesquemsseevalanenunainvestigacincientficaoinvestigacin de mercados se aproximan a esta distribucin de probabilidad. -Tambinesimportanteporqueseutilizacomoaproximacindelasdistribucionesdiscretas tales como: la Binomial, la Poisson, etc. CARACTERSTICAS 1.Tiene como parmetros a y o2.Su funcin de probabilidad est dada por: + < < =|.|

\| X x fX,21) (221octo

Adems:

- + Donde:- 0 3.Elpromediopuedetomarvaloresentrey+mientrasqueo>0,entoncesexisten infinitas curvas normales. 4.Esta funcin de probabilidad es asinttica con respecto al eje X, (a pesar de tener recorrido infinito, la curva nunca toca el eje X); adems es unimodal y es simtrica con respecto a la media. 5.Elarebajoestafuncinocurvaes1100%,delamismamanerasesabequelasreas comprendidas bajo la curva normal son: ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 36 - 1.o=68.3% 2.2o= 95.5% 3. 3o= 99% - -3-2-1 123 + 7.Paracalcularprobabilidadesenladistribucinnormalsenecesitaraninfinitastablasde probabilidad. LA DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR: 1.Es una distribucin a la cual se le ha modificado la escala original; esta modificacin se ha logrado restando la media al valor de la variable original y dividiendo este resultado por o, la nueva variable se denota por Z y recibe el nombre de variable estandarizada ZX= o 2.Lamodificacindelaescalahapermitidoelaborarunatablaparaelclculodelas probabilidades; si esto no hubiera sido posible, sera necesario construir una tabla para cada valor de y o. 3.La funcin de densidad de la variable estandarizada es: f z ez( ) =12122t 4.El promedio (valor esperado) y la varianza de Z son:E(Z)=0 ,V(Z)=1 5. Notacin: Si X es v.a. continua distribuida normalmente con media y varianza o2 , la denotamos por :XN( , o2).Aplicando esta notacin a la variable normal estandarizada Z, escribimos:ZN(0 , 1) , esto se interpreta como, Z tiene distribucin normal con media 0 y varianza 1.6.La superficie bajo la curva normal Z estandarizada tambin es igual a 1. Por consiguiente, las probabilidadespuedenrepresentarsecomoreasbajolacurvanormalescandalizada entre dos valores. 7.Debido a que la distribucin normal es simtrica muchas de las tablas disponibles contienen solo probabilidades para valores positivos de Z. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 37 - USO DE TABLA: Si se conoce el comportamiento de una variable, es decir, se sabe que tienen una distribucin normal,paracalcularlasdiferentesprobabilidadessetienequeestandarizarlavariable.Una vezestandarizadalavariable,recinutilizarlatabladeladistribucinnormalestandarizadao tabla Z. FORMULAS: a.) ( ) ( ) (o o o s =s= saZ Pa xP a x Pb.) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (o o o s =s = s = >aZ Pa xP a x P a x Pc.) ( ) ( ) (o ooo s s=s s= s saZbPbxaP b x a P 1. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 38 - 2.3. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 39 - Ejemplo Distribucin Normal Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratacin laboral, se distribuye normalmente con media 6,5 y varianza 4. a)Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o ms. P ( x 8) Luego: P ( z0.75) = 1 P ( z0.75) = 1 0.773372648= 0.22662735 b)Determine el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos.P ( x 5) c)Cuntos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7,5 puntos ? P ( 5 X 7.5 ) =P ( X7.5 ) - P (X5 ) = P ( z0.5 ) - P (z-0.75 ) = 0.69146246 - 0.22662735 = 0.46483511 ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 40 - PRACTICA N 2 CASO N 01: En el almacn de una empresa ferretera, donde Ud. es el administrador, hay 10 artculos elctricos de los cuales 3 de ellos son defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir del grupo. Cul es la probabilidad de que: a.Exactamente 1 sea defectuosos. b.Ninguno sea defectuoso. c.Menos de 2 sean defectuosos. d.Ms de 3 sean defectuosos. CASO N 02: EnlaempresaMODASAS.A.serealizalaproduccindetornillos paramotores dieselporpartede una mquina automtica italiana. Esta mquina dependiendo de factores externos produce el 1% detornillosdefectuosos.EljefedelreadeControldeCalidadseleccionaenformaaleatoria18 tornillos al azar de la produccin: a.Cul es la probabilidad de que exista a los ms 3 defectuosos. b.Cul es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos. c.Cul es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive. CASO N 03: Siel10%delostrabajadoresdeunaempresatienenestudiosdepostgrado,determinarla probabilidad de que entre 15trabajadores elegidos al azar: a. Haya un post graduado. b. Haya por lo menos dos post graduado. c. A lo ms cuatro sean post graduado. CASO N 04: CASO N 05: EnunestudiodefactibilidaddelBCP,sedeterminoquelaspersonaslleganaleatoriamenteala ventanilladeunbanco,conunatasapromediode20personasporhora,durantelahorapunta comprendidaentre11:00amy12:00amdeciertoda.ElGerentedeseacalcularlassiguientes probabilidades: ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 41 - a.Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas durante esa hora? b.Cul es la probabilidad de que lleguen ms de 5 personas durante esa hora? c.Cul es la probabilidad de que lleguen menos de 5 personas durante esa hora? d.Cul es la probabilidad de que lleguen ms de 8 personas durante esa hora? CASO N 06: En una compaa fabricantes de gaseosas, se realiza un examen de control respecto al agua que est sacando del subsuelo para la elaboracin de Gaseosas. Este lquido contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razn de 6 bacterias por cm3. Si toma una muestra de 1 cm3, calcular las siguientes probabilidadesa.Cul es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna? b.Cul es la probabilidad de que en cm3 haya por lo menos 1 bacteria? CASO N 07: EnunestudioporpartedelMinisteriodeTransporteyComunicaciones(MTC),sehadeterminado queenlacarreterapanamericanacondestinoaLima,hayenpromediode21accidentespor semana (7 das), calcular las siguientes probabilidades: a.Cul es la probabilidad de que en una semana no haya ningn accidente. b.Cul es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes. c.Cul es la probabilidad de que en 5 dias ocurra menos de 15 accidentes. CASO N 08: Ciertos autos llegan a una garita de peaje aleatoriamente a una tasa de 300 autos por hora. Calcular la probabilidad de que: a.Un auto llegue durante un periodo de 1 minuto b.Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo dado de un minuto. REGLA: (aproximacin de la distribucin Binomial a la distribucin Poisson) CASO N 09: Sedetermino que el 0.01% de los relojes producidos por una empresa Taiwanesa son defectuosos.a.Culeslaprobabilidaddequeunpedidode1000relojesexistaexactamenteunreloj defectuoso?. b.Culeslaprobabilidaddequeenelmismopedidode1000relojesexistanalmenosdos defectuosos? CASO N 10: En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos.a.Cul es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga a lo mas 5 ms defectuosos? b. Cul es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos defectuosos? Sienunadistribucinbinomial,nesgrande(n100)ylaprobabilidadde ocurrencia es pequea (p 0.05), aproximar la distribucin Binomial a la distribucin Poisson, calculando ( = np). ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 42 - CASO N 11: CASO N 12: CASO N 13: Eltiemporequeridopararealizarunapreguntadeexamenesunavariablealeatoriacuya distribucin es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviacin estndar de 2.0 minutos. Cules son las probabilidades de que un alumno resuelva una pregunta del examen en? a.Al menos 11.5 minutos. b.Entre 11.0 y 14.8 minutos.c.A lo ms 12 minutos.d.Entre 10 y 13 minutos. CASO N 14: La fbrica de Neumticos DURAMAS, produce un tipo de neumticos que tiene una vida til media de 80 000 km y una desviacin estndar de 8000 km. Suponiendo que esta vida til est distribuida normalmente: a)Cul es la probabilidad que un neumtico dure ms de 96 000 km? b)Cul es la probabilidad que un neumtico dure entre 92 000 y 95 000 km? ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 43 - Fuente: ALLEN L. WEBSTER ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOSY A LA ECONOMIA.TERCERA EDICION. EDITORIAL MC GRAW HILL. ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 44 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 45 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 46 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 47 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 48 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 49 - ESTADISTICA APLICADA ARACELLI POEMAPEPgina - 50 -