Modulo i Inecuaciones

7/25/2019 Modulo i Inecuaciones

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SISTEMA ENSEANZA APRENDIZAJE DE ALTO RENIMIENTOACADMICO SEAARA APLICADO AL CLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

MODULO 1

EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES

INECUACIONES

EQUIPO DE TRABAJOACTUARIO FRANCISCO MUOZ APREZAMATEMTICO JUAN ALFARO YLLESCAS

M EN IC. ADELIA GUADALUPE COPAS OCIOM EN I GENOVEVA BARRERA GODNEZ

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EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES.

El campo de los nmeros reales puede ser descrito por un conjunto deaxiomas con los cuales podemos conocer sus propiedades yoperaciones de suma y multiplicacin.P/q q0

La recta real la representamos por:

Propiedades de las operaciones suma (+ y multiplicacin ( !

"ean a y # dos nmeros reales cualesquiera entonces$ existe % y slo %nmero real denotado a+# llamado suma y existe % y slo % nmeroreal a# llamado producto.

AXIOMA DE CERRADURA.

"i a$ #$ c$ d son nmeros reales cualesquiera entonces

a+# & c y a# & d.

Ejemplosparticulares:

'+ & )

2


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*() & '0

AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD.

"i a$ # y c son nmeros reales cualesquiera entonces:

a+(#+c & (a+#+c (a#c & a(#c

Ejemplos particulares:

+(*+) & (+*+) (,- & (-,

AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD.

"i a y # son nmeros reales cualesquiera entonces

a+# & #+a a# & #a

'+ & +' ()* & (*)

AXIOMA DEL IDNTICO.

"i a es un nmero real cualesquiera y existe un nmero 0$llamado(cero entonces

a+0 & a

si existe un nmero % llamado (uno entoncesa!% & a

Ejemplos particulares:

)+0 & 0 (% &

AXIOMA DEL INVERSO ADITIVO INVERSO MULTIPLICATIVO3


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"i a es un nmero real cualesquiera entonces$a Existe un nmero cualesquiera llamado (1a tal que a+(2a & 0

entonces ( 2a es el in3erso aditi3o y# Existe un nmero llamado (%/a tal que a(%/a &% entonces (%/a es

el in3erso multiplicati3o.

Ejemplos particulares

)2) & 0 (%/ & %.

AXIOMA DE DISTRIBUTIVIDAD.

Existen nmeros reales a$ # y c tales que (a+#c & ac + #c

Ejemplo particular

(*+- & (* + -(

AXIOMA DE ORDEN.

"ea 4 un conjunto de nmeros reales que satis5ace los tres axiomasde orden si6uientes:

i "i a y # pertenecen a 4 positi3o$ entonces a + # y a#pertenecen a 4.

ii Para todo a 0 a pertenece a 4 positi3o o 1 a pertenece a 4positi3o pero no am#os.

iii 0 no pertenece a 4 positi3o

Ejemplos

+*&- ( la suma de ' nmeros positi3os es positi3a. )(' & %0 ( El producto de dos nmeros positi3os espositi3o

DEFINICION.

"i a es numero ne6ati3o$ sea (2a$ entonces 2 (2 a es positi3a.4


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- +

0 1 2 3

"i a & 2- entonces 2a & 2(2- & -

DEFINICION.

7os s8m#olos 9 menor que; y < mayor que; se de5inen como:

a 9 # si y slo si #2a & + y aticos de ?a#ilonia$ E6ipto ni @recia.

4o#ert 4ecorde es el primero en exponer al6unas cuestiones acerca delas desi6ualdades en su o#ra ABe@round o5 Crts; pu#licada en %)*'.

Au3ieron que pasar mucBos aDos para que el in6ls Farriot y el 5rancs?ou6uer en el si6lo GHII esta#lecieran el uso de los si6nos ( < mayorque$ ( < menor que.

C partir de ese momento la mayor parte de los matem>ticos Ban BecBouso de los si6nos

( < mayor que$ ( 9 menor que$ ( mayor o i6ual que$ ( menor oi6ual que.

LA FORMA DE REPRESENTAR UNA DESIGUALDAD

Partamos de la recta real

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El nmero ' es mayor que el nmero %.El nmero es mayor que el nmero '.Pero el nmero % es menor que el nmero ' y el nmero ' es menorque el nmero .

C ese mayor y a ese menor llammoslos relacin de orden$ eso porquenos ordenan como est>n los nmeros uno con respecto a otro."ea la relacin < mayor que y 9 menor que$ entonces ' < %$ ' 9 y %9 '$ '9Aam#in se da el caso que un nmero pueda ser mayor o i6ual a otro

entonces el si6no es J o en su caso menor o i6ual que otro nmero esdecir K.Estas relaciones se usan principalmente con nmeros expresadoscomo 3aria#les.

Los s8m#olos K menor o i6ual que; y J mayor o i6ual que; se de5inencomo:

a K # (& a 9 # a & # y a J # (& a < # a & #.

PROPIEDAD DE LAS DESIGUALDADES.

I a


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HII si a9 # y c9 0 entonces ac< #c Esto es (9(2- 2'%


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)+x 9 )x+()+x+(2) 9 )x++(2)x 9 )x2'x+(2)x 9 ()x2'+(2)xx 9 '

Encontrando el conjunto solucin

Aenemos dos posi#les inter3alos que dan solucin (2$ 2' y (2'$+para encontrar el conjunto solucin tomemos un 3alor intermedio encada inter3alo

"i tomamos 2 en (2$ 2' entonces

)+ (2 9 )(2+2% 9 2' si cumple

"i tomamos el 0 en (2'$ + entonces

)+(0 9 )(0+)9 no cumple

Por lo tanto el conjunto solucin es: (2$ 2'

'.2Encontrar todos los nmeros que satis5a6an que:

' 9 x2* K %

"olucin:sumamos * a cada lado de la desi6ualdad'+* 9 x2*+* K %+*9 x K '0multiplicamos por %/(%/ 9 (x%/ K '0(%/

%9 x K '0/ entonces como inter3alo semi a#ierto (1 ,20

6]4epresentemos esto en la recta real y tenemos

2 9 N . 0 % '0/

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Qompro#acin:

Para encontrar el conjunto solucin tomemos un 3alor en cada uno delos inter3alos (2$ %$ (%$ '0/N$ M'0/$ +5ica cuando

x2y+'&02y&2x2'

y&x23

@r>5ica

Pro#amos con (%$2%

(%2(2%+' < 0%++' < 0 < 0 se cumple

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Y > mx +

Y = mx +

X

Y

x 0 2'/% 2%/


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Pro#emos con (%$ %%2(%+' < 02 < 00 < 0 no se cumple

Arace la 6r>5ica de:

x+'y2 0

Aracemos la 6r>5ica cuandox+'y2&0'y&2x

y&68x

2

@ra5ica

Pro#emos (%$'(%+'('2 0

+*2 0

0 se cumple

Pro#emos en (0$0

(0+'(02 0

2 0 no se cumple

Arace la 6r>5ica de

x2'y2&0x2*y2&0

18

X

3 1

-1

Y

x 0 % 2%


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"olucin

2'y&2x

2y&63 x

2 y&3x6

2

@r>5ica

Arace 6r>5ica de:

x2'y+%0 < 0

x+)y2% 0

x2y 0

Aracemos la 6r>5ica cuando2'y&2%02x

y &10+6x

2

19

Solucin-24y=8-x

-y=8x4 y=

x84

Y

(4, -1)

(1,-3/2)

(0,-

0,-

X

x 0 2'* 2%

x y0 )%


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)y&2%2x

y &16x

5

y&x

Pro#emos (2%$%

(2%2'(%+%0 < 0' < 0 se cumple

x+)y2% 0

2%+)(%2% 0

2%' 0 se cumple

x2y 0

2%2% 0

0 0 se cumple

Aeorema

20

Y

x+5y-16

X

x-y 0

X+5 -16

x y0 %/

) '

x y0 0% %


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La 6r>5ica de (x2B+ (y2X 9 r2

en el interior de la circun5erencia de

radio r.

EJERCICIOS

E! "$,$ #!$ , 0$' ,'%3#$0,$,' !"#!2+ 0 "&!*#!2& '&0#"%!

E' %54&+2$!2 4$+$ 0$ -&+5$"%! ,0 '2#,%$!2 6# 4+%5+& %!2!2+'&0/+0& , $"#+,& "&! 0& $4+!,%,& 7 ,'4#8' "96# "&! 0$-&+5$ ! 0 6# 0 $#2&+ 0& +'&0/%: 0$ '&0#"%! ' !"#!2+$ ! 0CD $!;&.

% & %%

' & *

& 1 x

*

)

-%0 +*y2J0


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%02*x 9 *+'x

%%

%'

% %' K )x + K %

%*

%)')xY' 1 %0 x + % < 0

%()x 2 (=x+' 9 0

%-(%'x 1 % (x + 9 0

%%0x + *y 1 0

%=y 2 x' 9 0

'0 x2+y2


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%. "i $ entonces (Qerradura en la suma

'. "i $ entonces (Qonmutati3idad en la suma

. "i $ entonces (Csociati3idaden la suma

*. Existe de manera que para cualquier([eutro aditi3o

). Para cada existe un elemento tal que(In3erso aditi3o

. "i $ entonces (Qerradura en la multiplicacin

-. "i $ entonces (Qonmutati3idad en lamultiplicacin

. "i $ entonces (Csociati3idad en lamultiplicacin

=. Existe de manera que para cualquier ([eutromultiplicati3o

%0. Para cada existe un elemento tal que(In3erso multiplicati3o

%%. "i $ entonces (7istri#uti3idadde la multiplicacin en la suma

%'. "i $ entonces se cumple slo una de estas:>Aricotom8a

o

o

o

%. "i $ y entonces (Aransiti3idad

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http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_tricotom%C3%ADa


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%*. "i y $ entonces (\onoton8a enla suma

%). "i $ y $ entonces (\onoton8aen la multiplicacin

%. "i es un conjunto acotado superiormente en $entonces tiene supremo en (Cxioma del supremo

Los axiomas del % al %) corresponden a la estructura m>s 6eneral decuerpo ordenado. El ltimo axioma es el que distin6ue de otroscuerpos ordenados como .

PROPIEDAD DE TRICONOMA.

Para cualquiera de los !?5+&' +$0' 5 y !se cumple una y solouna de las si6uientes relaciones:

>5es i6ual a ! 5 es menor que ! 5es mayor que !=

5 @ ! : 5 ! 5 !

DESIGUALDAD

7esi6ualdad$ relacin matem>tica en la que se tiene en cuenta el ordende los nmeros. La 5i6ura % muestra los s8m#olos utiliOados paradenotar una desi6ualdad. Por ejemplo$ la desi6ualdad 9 %0 indica queel nmero es menor que el %0 la desi6ualdad x 'J 0 expresa el BecBode que el cuadrado de cualquier nmero real es siempre mayor o i6ualque cero$

Las desi6ualdades aparecen a menudo al descri#ir >reas y 3olmenes.

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"i una desi6ualdad contiene inc6nitas$ se denomina inecuacin. Lassoluciones de una inecuacin como 2'x + < 0 son aquellos 3alores dela x para los que la expresin 2'x + es mayor que cero. Las re6las deresolucin de ecuaciones del >l6e#ra se pueden utiliOar para resol3erinecuaciones$ con la condicin de que el sentido de la desi6ualdad Bade in3ertirse si se multiplica o di3ide por nmeros ne6ati3os.

Por tanto$ para resol3er la inecuacin 2'x + < 0$ primero se resta deam#os lados de la desi6ualdad$ con lo que se o#tiene 2'x < 2. Ccontinuacin se di3iden am#os lados de 2'x < 2 por 2'$ sin ol3idarse dein3ertir el sentido de la desi6ualdad pues 2' es ne6ati3o. Esto da x 9 $lo que si6ni5ica que cualquier 3alor de x menor que es una solucin de

2'x + < 0.

SIGNOS DE DESIGUALDAD

]na desi6ualdad es la relacin entre nmeros$ ecuaciones$propiedades 6eomtricas u otras expresiones que tienen 3aloresdistintos entre s8. Los si6nos que aparecen en esta ta#la se utiliOan paracomparar 3alores de expresiones matem>ticas desi6uales

OPERACIONES CON LOS NMEROS REALES Y SUSPROPIEDADES RESPECTO A LA LEY DEL ORDEN

"ean a$ #$ c$ y d nmeros reales entonces tenemos:

%.2 El producto de a por # es positi3o s8 y solo si a


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'.2 El Qociente de a por # es positi3o s8 y solo si a


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).2 El producto de a por # es ne6ati3o s8 y solo si o la

otra posi#ilidad$ a por # es positi3o si y solo si .

.2 El Qociente de a y # es positi3o s8 y solo si a


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ECUACIONES Y DESIGUALDADES >O INECUACIONES=

INTRODUCCI)N

Ecuacin$ i6ualdad en la que inter3ienen una o m>s letras$ llamadasinc6nitas. Es decir$ es una i6ualdad entre expresiones al6e#raicas.

Las expresiones que est>n a am#os lados del si6no i6ual son losmiem#ros de la ecuacin: primer miem#ro el de la iOquierda$ se6undomiem#ro el de la derecBa.

"e llamas solucin de una ecuacin a un 3alor de la inc6nita$ o a unconjunto de 3alores de las inc6nitas$ para los cuales se 3eri5ica lai6ualdad. ]na ecuacin puede tener una$ nin6una o 3arias soluciones.

Por ejemplo:

x 1 - & x + % es una ecuacin con una inc6nita y tiene una nicasolucin: x & *.

x'+ y'+ ) & 0 es una ecuacin con dos inc6nitas sin solucin$ pues lasuma de dos cuadrados es un nmero positi3o a partir del cual no sepuede o#tener 0 sum>ndole ).

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'x + y & %) es una ecuacin con dos inc6nitas que tiene in5initassoluciones$ al6unas de las cuales son x & 0$ y & ) x & $ y & x & 0$

& 2%).

7os ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismassoluciones o am#as carecen de solucin. Cs8$ la ecuacin x 1 - & x + %es equi3alente a 'x 1 & 0 porque am#as tienen como solucin nicax & *.

TIPOS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una inc6nita suelen tener un nmero 5inito desoluciones. Las ecuaciones con 3arias inc6nitas sin em#ar6o$ suelentener in5initas soluciones$ por ello$ estas ecuaciones interesa estudiarlascuando 5orman sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con unainc6nita pueden ser de distintos tipos: polinmicas$ racionales$

exponenciales$ tri6onomtrica entre otras.

Las ecuaciones polinmicas son de la 5orma P(x & 0$ donde P(x es unpolinomio en x. ^ #ien$ son de tal 5orma que al trasponer trminos ysimpli5icar adoptan sta expresin:

x

2 )x'

+ x + ' & 0 es una ecuacin polinmica.

Las ecuaciones polinmicas de primer 6rado$ ax + # & 0$ se llamanecuaciones lineales. )x + - & es lineal y tam#in lo es (x 2 )'+ &x'2 % porque al desarrollar y simpli5icar se o#tiene

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2%0x + '= & 0.

Las ecuaciones polinmicas de se6undo 6rado$ ax' + #x + c & 0$ se

llaman cuadr>ticas. "on ecuaciones de este tipo:

a x'2 )x + & 0$

# (x 1 ''+ -x &) + x.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la inc6nita est> #ajoun si6no radical$ como:

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecencocientes de polinomios como:

En las ecuaciones exponenciales la inc6nita est> en un exponente:

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'x+ *x + %2 % & 0

En las ecuaciones tri6onomtricas la inc6nita est> a5ectada por al6una5uncin tri6onomtrica por ejemplo:

"en (p/* + x 1 cos x & %

RESOLUCI)N DE ECUACIONES

4esol3er una ecuacin es Ballar su solucin o soluciones$ o #ienconcluir que no tiene solucin. Para resol3er una ecuacin$ se pasa aotra equi3alente cuya 5isonom8a sea m>s sencilla. Cs8$ mediante unaserie de pasos sucesi3os se lle6a a una ltima ecuacin del tipo x & sen la que la inc6nita est> despejada (es decir$ aislada en el primermiem#ro$ con lo que la solucin es e3idente.

Por ejemplo$ para resol3er la ecuacin )x 1 & x + %' se procedecomo se explica a continuacin.

Para asociar los trminos en x al primer miem#ro y los nmeros alse6undo miem#ro$ se resta en am#os miem#ros x y se suma $ con loque queda:

)x 1 x & %' +

simpli5icando los trminos semejantes queda como: 'x & %.

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Para despejar la x se di3ide por ' en am#os miem#ros:

x & %/' & =

La solucin es$ e3identemente$ x & =.

"in em#ar6o$ Bay tipos de ecuaciones para cuya resolucin se

requieren tcnicas especiales. Es el caso$ por ejemplo$ de lasecuaciones cuadr>ticas o al6unas otras.

RESOLUCI)N DE ECUACIONES CUADRTICAS

La expresin 6eneral de una ecuacin cuadr>tica (polinomio dese6undo 6rado es:

ax'+ #x + c & 0

Qon a 0$ para resol3erla se aplica la 5rmula:

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Por ejemplo$ la ecuacin 'x' + )x 1 & 0 de coe5icientes a & '$ # & )$c & 2$ se resuel3e as8:

Fay dos soluciones: x%& %/' x'& 2.

Esta misma ecuacin se podr8a Ba#er resuelto despejando la x. Paraello$ se multiplica la ecuacin por ':

*x'+ %0x 1 & 0

"e pasa el al se6undo miem#ro:

*x

'

+ %0x &

"e suman ')/* para completar un trinomio cuadrado per5ecto (elcuadrado de una suma en el primer miem#ro:

*x'+ %0x + ')/* & + ')/*

"impli5icando:

('x + )/''& *=/*

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Extrayendo la ra8O cuadrada y recordando que si C'& ?' entoncesC & _?:

'x + )/' & _-/'

Qomo consecuencia del si6no _$ la i6ualdad da lu6ar a dos ecuaciones:

'x + )/' & -/'

'x + )/' & 2-/'

4esol3indolas se o#tiene:

*x + ) & - *x & ' x%& %/'

*x + ) & 2- *x & 2%' x' & 2

"i6uiendo este lar6o proceso se o#tienen las mismas soluciones quemediante la 5rmula inicial. Es claro que la aplicacin de sta es unprocedimiento mucBo m>s cmodo. 7e BecBo$ la 5rmula se o#tieneal6e#raicamente a partir de la ecuacin 6eneral mediante un procesosimilar al que se Ba se6uido para resol3er esta ecuacin concreta.

Las ecuaciones de se6undo 6rado de los tipos si6uientes se llamanincompletas porque les 5alta uno de los trminos:

ax'+ #x & 0

ax'+ c & 0

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"e pueden resol3er aplicando la 5rmula 6eneral$ pero es m>s cmodoresol3erlas despejando directamente la x.

En el primer caso$

ax'+ #x & 0 (ax + # x & 0

]na solucin es x & 0 y la otra se o#tiene resol3iendo la ecuacin linealax + # & 0. Por ejemplo:

x'+ )x & 0 (x + )x & 0

Las soluciones son: x & 0 x & 2)/.

En el se6undo caso$

ax'+ c & 0 ax'& 2c x'& 2c/a

Por ejemplo:

Las soluciones son:

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TEORA DE CONJUNTOS

I[A4^7]QQI`[

Aeor8a de conjuntos$ rama de las matem>ticas a la que el matem>ticoalem>n @eor6e Qantor dio su primer tratamiento 5ormal en el si6lo GIG.El concepto de conjunto es uno de los m>s 5undamentales enmatem>ticas$ incluso m>s que la operacin de contar$ pues se puedeencontrar$ impl8cita o expl8citamente$ en todas las ramas de lasmatem>ticas puras y aplicadas.

En su 5orma expl8cita$ los principios y terminolo68a de los conjuntos seutiliOan para construir proposiciones matem>ticas m>s claras y precisasy para explicar conceptos a#stractos como el de in5inito.

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T&+$ , "&!*#!2&'Estos dia6ramas muestran di3ersas 5ormas de a6rupar o#jetos$ oelementos$ de dos conjuntos. R es un su#conjunto de S si todoelemento de R tam#in pertenece a S(superior izquierda. Por ejemplo$los nmeros impares R& V%$$)$-$=W son un su#conjunto del conjunto denmeros enteros S & V%$'$$*$)$$-$$=$%0W. La unin de A y Bes unconjunto 5ormado por todos los elementos de A y todos los de B(superior derecha. Por ejemplo$ si A & V'$$*$)W y B & V*$)$$-W$entonces AB & V'$$*$)$$-W. La interseccin de A y B son loselementos comunes a am#os (inferior izquierda. Por ejemplo$AbB &V*$)W. La di5erencia de B menos A son los elementos de B que no

pertenecen aA(inferior derecha. Por ejemplo$ B2A& V$-W.

CL@][C" 7EI[IQI^[E"

]n conjunto es una a6rupacin$ clase o coleccin de o#jetosdenominados elementos del conjunto: utiliOando s8m#olos a "representa que el elemento a pertenece al conjunto "$ o lo que es lomismo$ el conjunto " tiene al elemento a. ]n conjunto " est> de5inido sidado un o#jeto a$ se sa#e con certeOa que o a " o a" (esto es$ ano pertenece a ".

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]n conjunto se representa 5recuentemente mediante lla3es quecontienen sus elementos$ ya sea de 5orma expl8cita$ escri#iendo todos ycada uno de los elementos$ o dando una 5rmula$ re6la o proposicinque los descri#a. Por ejemplo$ "% & V'$ *W "'& V'$ *$ $...$ 'n$...W &Vtodos los enteros paresW " & Vx x'2 x + %% J W "*& Vtodos los3arones 3i3os llamados fuanW. "se descri#e como el conjunto de todaslas x tales que x'2 x + %% J .

"]?Q^[f][A^" "]PE4Q^[f][A^"

"i todo elemento de un conjunto 4 pertenece tam#in al conjunto "$ 4es un su#conjunto de "$ y " es un superconjunto de 4 utiliOandos8m#olos$ 4 g "$ o " h 4. Aodo conjunto es un su#conjunto y unsuperconjunto de s8 mismo. "i 4 g "$ y al menos un elemento de " nopertenece a 4$ se dice que 4 es un su#conjunto propio de "$ y " es unsuperconjunto propio de 4. "i 4 g " y " h 4$ es decir$ todo elemento deun conjunto pertenece tam#in al otro$ entonces 4 y " son dosconjuntos i6uales$ lo que se escri#e 4 & ". En los ejemplos delapartado anterior$ "%es un su#conjunto propio de "'.

][I`[ E I[AE4"EQQI`[

"i C y ? son dos su#conjuntos de un conjunto "$ los elementos quepertenecen a C$ a ? o a am#os 5orman otro su#conjunto de " llamadounin de C y ?$ escrito C ?. Los elementos comunes a C y ? 5ormanun su#conjunto de " denominado interseccin de C y ?$ escrito C b ?."i C y ? no tienen nin6n elemento comn$ su interseccin no tienenin6n elemento$ y siendo con3eniente representar esta interseccincomo otro conjunto$ ste se denomina conjunto 3ac8o o nulo y serepresenta con el s8m#olo . Por ejemplo$ si C & V'$ *$ W$ ? & V*$ $ $%0W y Q & V%0$ %*$ %$ 'W$ entonces C ? & V'$ *$ $ $ %0W$ C Q & V'$*$ $ %0$ %*$ %$ 'W$ C b ? & V*$ W y C b Q & .

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7IE4E[QIC Q^\PLE\E[A^

El conjunto de elementos que pertenecen a C pero no a ? se denominaconjunto di5erencia entre C y ?$ escrito C 2 ? (y a 3eces C?. Cs8$si6uiendo con el ejemplo anterior$ C 2 ? & V'W$ ? 2 C & V$ %0W. "i C es unsu#conjunto del conjunto l$ el conjunto de los elementos que pertenecena l pero no a C$ es decir$ l 2 C$ se denomina conjunto complementario de

C (con respecto a l$ lo que se escri#e l 2 C & Ck (que tam#in puedeaparecer como $ o C.

P4^7]QA^ QC4AE"IC[^ 7E Q^[f][A^"

"i C y ? son dos conjuntos$ el conjunto de todos los posi#les paresordenados de elementos de la 5orma (a$ #$ donde a pertenece a C y #pertenece a ?$ se denomina producto cartesiano de C y ?$ que seescri#e normalmente C ?. Por ejemplo$ si C & V%$ 'W y ? & Vx$ y$ OW$entonces C ? & V(%$ x$ (%$ y$ (%$ O$ ('$ x$ ('$ y$ ('$ OW. ? C & V(x$%$ (y$ %$ (O$ %$ (x$ '$ (y$ '$ (O$ 'W. En este caso$ C ? ? C$ pues al

ser pares ordenados$ el par (%$ x es distinto del par (x$ %.

Q^44E"P^[7E[QIC E[A4E Q^[f][A^"

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Los elementos del conjunto C & V%$ '$ W se pueden relacionar o Bacercorresponder mediante una correspondencia 5 con los del conjunto ? &Vx$ y$ OW de modo que a todo elemento de C le corresponda uno$ nin6unoo 3arios elementos de ?.

Por ejemplo:

Esto se puede expresar tam#in as8: 5(% & Vx$ OW$ 5(' & no tiene ima6en$5( & VOW. Aam#in se puede decir que 5 & V(%$ x$ (%$ O$ ($ OW. Por

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tanto$ una correspondencia entre dos conjuntos C y ? es unsu#conjunto del producto cartesiano C ?.

Quando una correspondencia es tal que a cada elemento del primerconjunto le corresponde uno y slo uno del se6undo conjunto$ entoncesse llama aplicacin inyecti3a.

INTERVALO

Inter3alo$ porcin de recta con ciertas caracter8sticas. Los inter3alos sedeterminan so#re la recta real y$ por tanto$ se corresponden conconjuntos de nmeros.

Pueden ser a#iertos$ cerrados o semia#iertos.

La nomenclatura utiliOada para la desi6nacin de inter3alos es lasi6uiente:

Para incluir los extremos se utiliOan los corcBetes: M $ N

Para excluir los extremos$ los parntesis: ( $

Para alejarse inde5inidamente a la derecBa$ el si6no cerrado con un

parntesis: ($ nmeros mayores que .

Para alejarse inde5inidamente a la iOquierda$ el si6no 2 a#ierto con unparntesis: (2$ nmeros menores que .

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]n inter3alo cerrado es un se6mento$ C?$ en el que se incluyen losextremos. "i las a#scisas de los puntos C y ? son respecti3amente a y#$ el inter3alo cerrado se desi6na Ma$ #N y representa al conjunto detodos los nmeros reales comprendidos entre a y #$ incluyendo losextremos:

Ma$ #N & Vx / a K x K #W

]n inter3alo a#ierto de extremos a y # se desi6na (a$ # y representa alconjunto de los nmeros reales comprendidos entre a y #$ es decir$mayores que a pero menores que #:

(a$ # & Vx / a 9 x 9 #W

]n inter3alo semia#ierto de extremos a y # puede ser (a$ #N o Ma$ #:

(a $ #N & Vx / a 9 x K #W (se excluye a y se incluye #

Ma $ # & Vx / a K x 9 #W (se incluye a y se excluye #

En una concepcin m>s amplia$ tam#in se denominan inter3alos losconjuntos in5initos con un nico extremo (semirrectas:

(2$ #N & Vx / x K #W.

Es el conjunto 5ormado por el nmero # y todos los nmeros realesmenores que # o i6ual que #.

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43/66

(2$ # & Vx / x 9 #W.

Es el conjunto 5ormado por todos los nmeros reales menores que #.

(a$ & Vx / x < aW.

Es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a.

Ma$ & Vx / x J aW.

Es el conjunto 5ormado por el nmero a y todos los nmeros realesmayores que l.

DESIGUALDAD

7esi6ualdad$ relacin matem>tica en la que se tiene en cuenta el ordende los nmeros. La 5i6ura % muestra los s8m#olos utiliOados paradenotar una desi6ualdad. Por ejemplo$ la desi6ualdad 9 %0 indica queel nmero es menor que el %0 la desi6ualdad x 'J 0 expresa el BecBode que el cuadrado de cualquier nmero real es siempre mayor o i6ualque cero.

SIGNOS DE DESIGUALDAD

]na desi6ualdad es la relacin entre nmeros$ ecuaciones$propiedades 6eomtricas u otras expresiones que tienen 3aloresdistintos entre s8. Los si6nos que aparecen en esta ta#la se utiliOan paracomparar 3alores de expresiones matem>ticas desi6uales.

43


44/66

Las desi6ualdades aparecen a menudo al descri#ir >reas y 3olmenes.

"i una desi6ualdad contiene inc6nitas$ se denomina inecuacin. Lassoluciones de una inecuacin como 2'x + < 0 son aquellos 3alores dela x$ para los que la expresin 2'x + es mayor que cero. Las re6las deresolucin de ecuaciones del >l6e#ra se pueden utiliOar para resol3erinecuaciones$ con la condicin de que el sentido de la desi6ualdad Bade in3ertirse si se multiplica o di3ide por nmeros ne6ati3os.

Por tanto$ para resol3er la inecuacin 2'x + < 0$ primero se resta deam#os lados de la desi6ualdad$ con lo que se o#tiene 2'x < 2$ acontinuacin se di3iden am#os lados de 2'x < 2 por 2'$ sin ol3idarse dein3ertir el sentido de la desi6ualdad pues 2' es ne6ati3o.

Esto da x 9 $ lo que si6ni5ica que cualquier 3alor de x menor que esuna solucin de 2'x + < 0.

S&0#"%&!' , "#$"%&!' %!"#$"%&!'

7adas las si6uientes ecuaciones e inecuaciones resol3er para la

3aria#le que se indica.

44


45/66

]tiliOando las operaciones y propiedades de los nmeros reales.

Propiedades: Qerradura para la suma$ para el producto$ Propiedad

asociati3a$ distri#uti3a. In3erso aditi3o$ in3erso multiplicati3o$ idntico

para el producto$ neutro aditi3o$ 3alor a#soluto etc.

Ecuaciones:

Ejercicio [o %

"e aplica la potencia del cuadrado en am#os lados de la ecuacin y seo#tiene:

Ejercicio [o '

45


46/66

Ejercicio [o

4esol3er para O

Este resultado es 5also por lo tanto no existe un 3alor de O para que secumpla la ecuacin

Ejercicio [o *

4esol3er para x

46


47/66

Ejercicio [o )4esol3er para x

VALORABSOLUTO47


48/66

P+&4%,$, 1

P+&4%,$,

"i

P+&4%,$,

"i

P+&4%,$,

P+&4%,$,

"i

entonces

P+&4%,$, H

48


49/66

P+&4%,$,

"ea una 3aria#le real y un nmero real positi3o:

I!2+4+2$"%! 3&582+%"$ , '2$ 4+&4%,$,

P+&4%,$,

"ea x una 3aria#le real y k un nmero real positi3o entonces:

I!2+4+2$"%! 3&582+%"$ , '2$ 4+&4%,$,K

P+&4%,$, ,'%3#$0,$, 2+%$!3#0$+=

S% ; R: 7 R: !2&!"'>;7@;7 =

Ejercicio [o

4esol3er para x ecuaciones con el 3alor a#soluto

x + 1% & )

x 1 % & ) 1 x + % & )

x & ) + % 1 x & ) 1 %

x & 1 x & *

x & 2 *

Ejercicio [o -

% 1 'x & 0

% 1 'x & 0 1 % + 'x & 0

1 'x & 1 % 'x & %

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52/66

x & 1%/1' x & %/'

x & %/'

4esol3er por complexin del trinomio cuadrado per5ecto y por5actoriOacin las si6uientes ecuaciones.

Ejercicio [o a Qomplexin de cuadradox'+ 'x 1 %) & 0

x'+ 'x +% & %) + %

x'+ 'x +% & %

x'+ 'x +% & % (x+%'& _ %

x + % & _ * x & _ * 1 % x%& G'& 2)# actoriOacin

(x + )(x 2 & 0

Ejercicio [o =

a Por complexin del cuadrado

x'+ )x 1 '* & 0

x'+ ) x & '*

x'+ ) x + ()/''& '* + ()/''

( x + )/' '& '* + ()/''

52


53/66

x + )/' & _ '* + ()/''

x & 2 )/ ' _ '* + ()/''

#Por 5actoriOacin

x'+ )x 1 '* & 0

( x + ( x 1 & 0

Para ecuaciones cuadr>ticas incompletas.

Ejercicio [o %0

'x'+ x & 0 entonces

x ( 'x + & 0 por lo tanto

para que este producto sea cero tenemos que x & 0

y tam#in'x + & 0$

Lue6o de aqu8 x & / '

Ejercicio [o %%

4esol3erx'1 % & 0

x & _ %

x & _ *

Ejercicio [o %'4esol3er

53


54/66

O'1 O & 0

O( O 1 % & 0

por lo tanto O & 0 y tam#in O & %

Ejercicio [o %4esol3er

O'1 %/*O & 0

O( O 2%/* & 0

por lo tanto

O & 0 y tam#in O & %/*

4esol3er las si6uientes inecuaciones:

Ejercicio [o %.2

x + % 9 )

x 9 ) 1 %

x 9 */

Inter3alo (1 $ */

"ol & Vx x 1 < x


55/66

Ejercicio [o '

x 1 ' )x + - x 1 % < x +

x 1 )x ' + - x 1 x < % +

1'x = 0 < *

x =/1' sol &

Inter3alo M 1=/' $ sol & [o existe x 4x 1 % < x +

"ol & V x x 1=/' x 9 W

1=/' 0Ejercicio [o

1 9 1*x + % 9 - x 1 9 x +

1 1 % 9 1*x 9 - 1 % x 1 x 9 +

1 * / 1 * < x < /1 * 0 9 %%

% < x < 1 /*

Inter3alos ( 1 /* $ %

"ol & V x x 1 /* 9 x 9 % W sol & 0 9 %%

Ejercicio [o *

55


56/66

x + % 9 1 'x + - *x 1%

x + % 9 1 'x + - y 1 'x + - *x 1 %

x + 'x 9 1 % + - 1 'x 1 *x 1 - 1 %

)x 9 1 x 1

x 9 /) x 1 / 1

x / & */

Inter3alo (1 $ /) inter3alo M */$

"ol & ( 1 $ /) ( M */ $

"ol & V W

2 o

0 /) */

Inecuaciones cuadr>ticas

Ejercicio [o )

4esol3er.

x'+ )x + % 9 x + ) ra8O

x'+ )x 1 x + % 1 ) 9 0 x & ) ') 1 %'x'+ *x 1 * 9 0 x%& '/

( x 1 '/ ( x + ' 9 0 x'& 1 '

56


57/66

( %/ ( ( x 1 '/ ( x + ' 9 0 (%/

( x 1 '/ ( x + ' 9 0

inter3alos ( x 1 '/ ( x + ' ( x 1 '/ ( x + ' 9 0

( 1 $ 1'

1 1 +

( 1 ' $'/

1 + 1

( '/$ + + +

"ol & ( 1 ' $ '/ "ol & V x x 1 ' 9 x 9 '/ W^tra solucin es:

Qonsiderando para que una multiplicacin ten6a un resultado ne6ati3o$uno de los trminos de#e ser ne6ati3o y el otro positi3o. Entoncestendremos que:

( x 1 '/ ( x + ' 9 0

x 1 '/ 9 0 ne6ati3o y x + ' < 0 positi3o

7espejando x

x 9 '/ x < 1 '

Inter3alos

(1 $ '/ ( 1 '$

Interseccin

(1 $ '/ ( 1 '$ & ( 1 '$ '/

57


58/66

^ tam#in tendremos:

( x 1 '/ ( x + ' 9 0

( x 1 '/ < 0 positi3o ( x + ' 9 0ne6ati3o

x < '/ x 9 1 '

( '/$ ( 1 $ 1 '

( 1 $ 1 ' ( '/$ &

"ol & ( 1 '$ '/ ( & ( 1 '$ '/

"ol & V x x 1 ' 9 x 9 '/ W

4esol3er las si6uientes inecuaciones cuadr>ticas:

Ejercicio [o

x' + 'x + % *x' + -x +

x'1 *x' + 'x 1 -x + % 1 0 x & ) ') 1 '*1

1 x'1 )x 1 ' 0 x%& 1 %

(1 %/(1 ( x + % ( x + '/ 0 (1 %/ x'& 1 '/

( x + % ( x + '/ 0

( x + % ( x + '/ 0

( x + % 0 ( x + '/ 0

58


59/66

x 1 % x 1 '/

M 1 %$ M 1 '/ $

( 1 '/ $ N M 1 %$ & M 1 '/$

( x + % 0 ( x + '/ 0

x 1 % x 1 '/

( 1 $ 1 % N ( 1 $ 1 '/ N( 1 $ 1 % N ( 1 $ 1 '/ N & ( 1 $ 1 % N

"ol & M 1 '/$ ( 1 $ 1 % N

"ol & V x x 1 9 x 1 % W

"ol & V x x 1 '/ x 9 W

Ejercicio [o -

4esol3er:

* x 1 ' x + '

* 1 x 1 ' 0 x + ' %

* 1 ( x + ' ( x 1 ' 0x + '

59


60/66

* 1 ( x' 1 * 0x + '

* 1 x ' + * 0

x + '

1 x' + 0x + '

La propiedad que se utiliOa es el cociente de dos nmeros reales quesea menor o i6ual a cero de la si6uiente 5orma

Qonsiderando que para ser un nmero menor o i6ual a cero de#e untrmino ne6ati3o y otro positi3o$ y el denominador de#e ser di5erente de

cero.

VALOR ABSOLUTO

Aam#in puede determinarse por las propiedades del 3alor a#soluto

a # 1 # a #

a < # a ; =@ ; 0$ +$% "#$,+$,$ , ; 0/$,& $0 "#$,+$,&:' %3#$0 $0 /$0&+ $'&0#2& , ;

60


61/66

Ejercicio [o %.2

'x + x 1 % a # 2( 'x + x 1 % a 2 #

'x + x 1 % 'x + 2 x + %

'x 1 x 1 1 % 'x + x 2 + %

x 1 * x 2 '

x2

3

"olucin: M 2* $ (2 $ 2'/ N

M N (

Ejercicio [o '

4esol3er

'x 1 % < % 1 x

a < # a 9 2 #

'x 1 % 1 < 0 < 9 % 1 x %

61


62/66

'x 1 % 1 ( % 1 x ( < 0 % 1 x

'x + x 1 % 1 < 0% 1 x

)x 1 * < 0% 1 x

)x 1 * < 0 y % 1 x < 0

)x < * 1 x < 1 %

x < */) x 9 %

( */) $ ( 1 $ %

"ol & ( */) $ ( 1 $ % & ( */) $ %

) x 1 * 9 0 % 1 x 9 0

)x 9 * 1 x 9 1 %

x 9 */) x < %

( 1 $ */) ( % $

"ol & ( 1 $ */) ( % $ &

"ol & ( */) $ % & ( */) $ %

"ol & V x x */) 9 x 9 % W

4esol3er la si6uiente inecuacin con 3alor a#soluto.

'x 1 % < % 1 x

62


63/66

1 'x + % < 01 % + x %

1 'x + % 1 ( 1 % + x ( < 0 1 % + x

1 'x + x + % 1 < 01 % + x

x 1 ' < 01 % + x

x 1 ' < 0 1 % + x < 0

x < ' x < %

( ' $ ( % $

"ol & ( ' $ ( % $ & ( ' $

x 1 ' 9 0 1 % + x 9 0

x 9 ' x 9 %

( 1 $ ' ( 1 $ %

"ol & ( 1 $ ' ( 1 $ % & ( 1 $ %

"ol & ( 1 $ % ( ' $

"ol & V x x 1 9 x 9 % W V x x ' 9 x 9 W

4esol3er.

x + ' & *

(x + ' & * 1 (x + ' & *63


64/66

x & * 1 ' 1 x & * + '

x & ' 1 x &

x & '/ x & /1

x & 1 '

"ol & Vx x 1 ' & x & '/W

x + 1 - 1 x + 1 -

x 1 - 1 1 x 1 - +

x 1 %0 1 x 1 *

x 1 %0/ x 1 */1

x 1 )/ x */

x '/

( 1 $ 1 )/ N M '/ $

"ol & ( 1 $ 1 )/ N M '/ $

"ol & x 1 )/ x '/ x + 1 -

x 1 < 2 % 2 x 1 < 2 %

x 1 < 2 % 2 x + < 2 %

x < 2 % + 2 x < 2 % 1

x < ) 2 x < 2 -

64


65/66

( ) $ x 9 -

( 2 $ - "ol & ( ) $ ( 2 $ - & ( ) $ -

"ol & V x x ) 9 x 9 - W

x'+ % 0 por lo tanto x' 2 %$ lue6o

x _ 2 %

x 2% "ol & no x 4 x'+ % 0

x 1 < 2 % 2 x 1 < 2 %

x 1 < 2 % 2 x + < 2 %

x < 2% + 2 x < 2 % 1

x < ) 2 x < 2 -

x 9 -

Inter3alo ( )$ ( 2 $ -

"ol & ( 2 $ - ( ) $ & ( 2 $

"ol & x 4 x2 < 2 % para toda x que pertenece a los realestal que x2 < 2 %;

x + x 1 ) ) x + (2 x 1 ) )

x + ( x 1 ) ) x + ( 2 x + ) )

x + x 1 %) ) x 1 x + %) )

*x ) + %) 2'x ) 1 %)

65


66/66

x '0/ * x 2%0/2 '

x ) x )

Inter3alos M ) $ ( 2 $ ) N

"ol & ( 2 $

"ol & 4 x + x 1 ) )

Modulo i Inecuaciones

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