UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERIA

LOGICA MATEMATICA MATERIAL PROVISIONAL EN REVISIN

AUTOR

NUBIA JANETH GALINDO PATIO

REVISIN

JORGE ELIECER RONDON DURAN

------------------------------------------------------------------------------------ Cualquier observacin o comentario sobre este material por parte de Tutores o Estudiantes, por favor enviarlo a la Unidad de Ciencias Bsicas, Facultad de

ciencias Bsicas e Ingeniera UNAD

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TABLA DE CONTENIDO

Pag. 1. TEORA DE CONJUNTOS Definicin y Generalidades 3 Relacin de Conjuntos 4 Representacin Grfica 8 Operaciones entre Conjuntos 9 Sigma lgebra de Conjuntos 16 Principios de Dualidad 19 Conjuntos Parcialmente Ordenados 20 Autoevaluacin No 1 25 Ejercicios de Profundizacin 26 2. PRINCIPIOS DE LGICA

Historia y Clasificacin 31 Lgica y Lingstica 32 Simbolizacin y Proposiciones 33 Conectivos Lgicos 36 Tablas de verdad 40 Leyes de la Lgica 43 Inferencias Lgicas 46 Demostraciones 50 Cuantificadores 53 Autoevaluacin No 2 56 Ejercicios de Profundizacin 58

3. DEDUCCIN

Introduccin 59 Proposiciones Categricas 61 Silogismos Categricos 69 Validez de un Argumento: Mtodo Deductivo 72 Reglas de Inferencia 73 Autoevaluacin No 3 79 Ejercicios de Profundizacin 83

4. INDUCCIN

Introduccin 86 Argumentos por Analogas 87 Evaluacin de los Argumentos Analgicos 88 Refutacin por medio de una Analoga Lgica 89 Autoevaluacin No 4 90 Ejercicios de Profundizacin 92

5. ALGEBRA BOOLEANA

Introduccin 96 Variables y Constantes Booleanas 96 lgebra Booleana de Sistemas Numricos 97 lgebra Booleana en Conjuntos 98 lgebra Booleana Lgica 99

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Relacin de Orden en el lgebra Booleana 100 Expresiones Booleanas 100 Forma Normal Disyuntiva 101 Forma Normal Conjuntiva 104 Simplificacin de Expresiones Booleanas 107 Mapas de Karnaugh para Tres Variables 110 Mapas de Karnaugh para Cuatro Variables 110 Autoevaluacin No 5 113 Ejercicios de Profundizacin 116

6. CIRCUITOS LGICOS

Definicin y Representacin de los Circuitos 121 Circuitos de Conjuncin 122 Circuitos de Disyuncin 123 Multiplicacin o Producto Lgico 125 Complementacin o Inverso Lgico 125 Correspondencia entre Lgica-Conjuntos-Algebra Booleana y Compuertas Lgicas 125 Otras Compuertas Lgicas 128 Aplicaciones de los Circuitos Lgicos 131 Circuitos Aritmticos Digitales 131 Autoevaluacin No 6 137 Ejercicios de Profundizacin 141 Bibliografa 144

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1. TEORIA DE CONJUNTOS

OBJETIVO GENERAL Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teora de conjuntos, para que sean aplicados en forma clara y concisa en la solucin de problemas. OBJETIVOS ESPECFICOS

1. Identificar las relaciones entre conjuntos. 2. Distinguir las diferentes clases entre conjuntos. 3. Representar grficamente los conjuntos. 4. Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos. 5. Demostrar cundo un conjunto est parcialmente ordenado. 6. Reconocer el primer y ltimo elemento de un conjunto parcialmente

ordenado. 7. Identificar los elementos maximal y minimal de un conjunto ordenado.

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EVALUACIN INICIAL No. 1

La siguiente prueba tiene como propsito invitarlo a recordar algunos conceptos bsicos de la teora de conjuntos, que le sern de gran utilidad para el desarrollo del presente mdulo. Para iniciar esta labor, se le sugiere buen nimo y disposicin, as obtendr mejores resultados. La solucin de cada uno de los puntos propuestos, se desarrollar a lo largo del captulo.

XITOS!

1. Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir por extensin?

2. Si A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican las condiciones A B y B C, qu se puede concluir de A con respecto a C?

3. El conjunto (vaco) es un subconjunto de todo conjunto? Justificar. 4. Cuntos y cules son los subconjuntos que se pueden formar de un conjunto A = { 1,3,5}?

5. Enuncie y defina las operaciones entre dos conjuntos A y B. 6. El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es conmutativo?

(A X B = B X A) 7 Qu significa la expresin Familia de conjuntos? 8. Cundo se dice que un conjunto esta parcialmente ordenado? 9. Cmo se identifican el primer y ltimo elemento de un conjunto

ordenado? 10. Cundo un elemento de un conjunto ordenado es maximal o minimal?

1.1 DEFINICIN Y GENERALIDADES Las nociones de conjunto y de elemento son ideas primitivas que se presentan en forma intuitiva. Los conjuntos estn relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas que involucran el concepto de cantidad. Se puede afirmar que un conjunto es una coleccin de objetos, smbolos o entidades bien definidas, que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto. Generalmente, los conjuntos se identifican con letras maysculas y sus elementos con minsculas. Para indicar que un elemento es un miembro de un

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conjunto, se utiliza el smbolo (se lee pertenece a) y para indicar que no esta en el conjunto se utiliza el smbolo (se lee no pertenece a). Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas son: 1. Por extensin: cuando se describe el conjunto nombrando, cada uno de sus elementos. Ejemplos: A = {2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,} 2. Por comprensin: cuando se busca una propiedad, una regla o una caracterstica comn a los elementos del conjunto. Ejemplos: C = {Nmeros impares menores que 10} D = {Vocales} B = {Dgitos} E = {x R / 0 x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy especfico, el cual se lee as: E igual al conjunto de todos los nmeros reales tales que (o que verifican que) cero (0) es menor o igual a x, y, x a su vez es menor que 9, esta notacin se usa con mucha frecuencia para describir intervalos, para escribir la solucin de una inecuacin o para representar el dominio de una funcin real. Existen conjuntos como por ejemplo, A = {x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par} Que no se pueden expresar por extensin debido a que nunca se terminara de escribir la lista de los nmeros reales que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS; mientras que otros, como por ejemplo: C = {x / x es vocal} D = {x / x es dgito par} Que estn formados por cierto nmero de elementos distintos, reciben el nombre de conjuntos FINITOS. El anlisis anterior, permite dar respuesta a la pregunta No.1 de la evaluacin inicial, se sugiere buscar ms ejemplos que justifiquen la respuesta para que sean analizados con el tutor y luego socializados en los equipos de trabaja. 1.2 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1.2.1 Subconjuntos

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Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A tambin es elemento del conjunto B. Simblicamente esta relacin se expresa as: A B (se lee A esta contenido en B) si todo elemento x que est en el conjunto A entonces x tambin est en B, es decir; A B si todo x A, entonces x B Ejemplo 1. Si A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito}, claramente A B ya que todo dgito par es dgito. Por extensin la situacin se expresa as: A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Entonces A es un subconjunto de B. Un resultado muy til e importante acerca de la contenencia entre conjuntos es el siguiente: Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C; simblicamente este enunciado se escribe as: S A B y B C, entonces, A C La demostracin es la siguiente: S x A; entonces x B porque A B, pero x tambin esta en C porque B C; por lo tanto si xA, entonces x C y esto se cumple para todo elemento x que est en A, debido a que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez, esta contenido en C; por consiguiente queda demostrado que A C. El anlisis anterior da respuesta a la pregunta No. 2 de la evaluacin inicial. 1.2.2 Igualdad entre conjuntos El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma: A = B si A B y B A Ejemplo 1.

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Si M = {1, 1, 0, 2} y N = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M, por lo tanto M = N. Ejemplo 2. Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se puede observar que B A pero A B, por lo tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A B. Es importante destacar que cuando dos conjuntos son completamente diferentes (no tienen ningn elemento en comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos. Ejemplo 3. Los conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito impar} no tienen ningn elemento en comn, es decir A y B son disyuntos. 1.2.3 Subconjunto propio Todo conjunto es subconjunto de s mismo, es decir, A A (con A un conjunto cualquiera), si ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio de A, este hecho se simboliza as:

B A (se lee B est contenido o es igual al conjunto A) Ejemplo 1. Al considerar los conjuntos A = {x / x es vocal} y B = {a, e, i, o, u}, se puede afirmar que A = B, en particular se observa que A B y B A, lo cual permite afirmar que A es subconjunto propio de A, y B es subconjunto propio de A. Ejemplo 2. Los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, C = {0, 2} y D = {1} son todos subconjuntos del conjunto M = {0, 1, 2, 3}, pero ninguno es un subconjunto propio de M, ya que con ninguno se puede establecer alguna de las relaciones siguientes: A M, B M, C M, D M 1.2.4 Conjuntos especiales 1.2.4.1 Conjunto vaco

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Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza as: { } 1 Naturalmente el conjunto forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puede afirmar que A, esto responde a la pregunta No. 3 de la evaluacin inicial. Ejemplo 1. Si D = {x N / x x ), obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe ningn nmero natural que sea diferente a s mismo. 1.2.4.2 Conjunto unitario Se denomina conjunto unitario el que esta formado por un solo elemento. Por ejemplo:

E = {x / x es un primo par} El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el nmero 2, por lo tanto E = {2} se llama unitario. 1.2.4.3 Conjunto universal Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos, por ejemplo: Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, = {a, e, i, o, u}, es decir, A V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razn se dice que V es un conjunto Universal. Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son elementos del conjunto de los nmeros naturales N, A N y en este caso, N se constituye en el conjunto universal. Generalmente, el conjunto universal se simboliza con la letra U.

1.2.4.4 Conjunto de partes o conjuntos de conjuntos Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) est formado por todos los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A. ------------------------------------------------- 1. Notacin tomada del texto Introduccin a la teora de conjuntos de Jos Mara Muoz Quevedo. Departamento de matemticas y estadstica. Universidad Nacional de Colombia. 1983

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AA U

Ejemplo 1. Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto partes de A esta formado por los siguientes subconjuntos: P (A) = {{1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}, }. Como se analiz en la seccin 1.2.4.1, el conjunto vaco est en todo conjunto y este caso no es la excepcin, por esta razn P(A). Adems, cave anotar que los elementos del conjunto A son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una familia de conjuntos. El nmero de elementos del conjunto P(A) depende del nmero de elementos de A; en el ejemplo, A tiene 3 elementos y P(A) tiene 8 = 23 elementos, en general, Si A tiene n-elementos se pueden formar 2n subconjuntos del conjunto A. De esta forma queda resuelta la pregunta No. 4 de la evaluacin inicial. Ejemplo 2. Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B son conjuntos y otros no. Para que el conjunto B fuera un conjunto de partes o una familia de conjuntos debera estar expresado de la siguiente forma: B = {{2}, {1,3}, {4}, {2,5}}. 1.3 REPRESENTACION GRFICA Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la utilizacin de esquemas grficos llamados CIRCULOS DE EULER o DIAGRAMAS DE VENN. Estos esquemas estn compuestos por una regin cerrada del plano (generalmente un rectngulo), la cual representa el conjunto universal, y por uno o varios crculos que representan los conjuntos a graficar. Ejemplo 1. La representacin grfica de la relacin A B es: B B Figura No. 1 A B

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1.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS As como las operaciones suma, resta, multiplicacin y divisin estn definidas sobre los nmeros reales, tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos como la unin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano; stas se estudiarn en las siguientes secciones. 1.4.1 Unin Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto a o al conjunto B. Simblicamente la unin se define as: A B = {x / x A,, x B}, donde el smbolo se lee o. Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relacin que exista entre ellos, segn los siguientes casos: Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro. Teniendo en cuenta estas situaciones, la unin entre conjuntos se puede representar de la siguiente forma, donde la parte sombreada indica la operacin.

uu

Figura No 2 A U A Ejemplo 1. Si A = {x N / x es dgito par o dgito primo} Grficamente la representacin de est unin es:

CASO 1. CASO 2.

A B A B

B A U

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Figura No. 3 A B. Ejemplo 1.

La figura No.3 permite apreciar que el nico dgito que es a la vez par y primo es el nmero 2; esto conlleva a la formulacin de la siguiente operacin entre conjuntos. 1.4.2 Interseccin Se define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B. Simblicamente la interseccin se expresa as: A B = {x / x A,, x B}, el smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee y. Teniendo en cuenta los casos citados en la seccin anterior (1.4.1), la representacin grfica de la interseccin se muestra en la siguiente figura.

Figura No. 4. A B.

A B 8 8 U

CASO 1. CASO 2. CASO 3

A B A B

B

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En el caso 1 de la figura No.4, se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado en la seccin 1.2; el caso 3 de la misma figura permite afirmar que si A B, entonces. A B = A; anlogamente se puede inferir que si B A, entonces, A B = B. A continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3 de la figura No. 4, la otra situacin si B A, entonces, A B = B, se deja como ejercicio complementario (se encuentra al final del captulo), esta demostracin es muy similar a la que se har a continuacin, sin embargo la puede consultar en el libro, Teora de conjuntos de Seymour Lipschutz. Si A B, por definicin de contenencia entre conjuntos se puede afirmar que todo elemento x A, entonces x B; por definicin de interseccin, stos elementos x forman el conjunto A B y como todos estos son elementos de A, se puede concluir que A B = A. Ejemplo 1. Dados los conjuntos: M = {x N / x es mltiplo de 2} N = {x N / x es mltiplo de 3} P = {x N / x es impar} Se pueden analizar las siguientes intersecciones: 1. M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es: M N = {x N / x es mltiplo de 6}. 2. M P = , no existe ningn nmero natural que sea mltiplo de 2 y a

la vez impar. 3. M =, como se estudi en la seccin 1.2, el conjunto vaco est contenido en cualquier conjunto, en particular en M, esto es M, y por la demostracin que se realiz en la seccin 1.4.2 del caso 3 de la figura No.4. se puede concluir que M = . 4. Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la interseccin de M con N y luego con el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y P. En este caso M N = {x N / x es mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est formado por los mltiplos de 6 que son impares, es decir, M N P = {x N / x es impar y mltiplo de 6}, por extensin el conjunto es: M N P = , pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6. 1.4.3 Diferencia Segn los tres casos estudiados en la seccin 1.4.1, se puede afirmar que al comparar dos conjuntos no vacos, puede suceder que:

1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente diferentes).

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2. Slo algunos elementos sean comunes, (conjuntos parcialmente diferentes o parcialmente iguales)

3. Un conjunto este contenido en el otro. 4. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales) En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto as formado, se denomina diferencia entre conjuntos. Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre A y B as: A B = {x / x A, , x B}, esto se lee: A menos B, es el conjunto formado por los elementos que estn en el conjunto A pero no en el B. En la siguiente grfica, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A y B, segn las tres situaciones planteadas.

Figura No. 4. A B

Figura No 4 A -- B En la grfica, el caso 3 de la figura No. 4, se puede observar que todos los elementos que estn en A, estn en B (debido a que A B), por lo tanto no existe ningn elemento que pertenezca a la diferencia A B y en consecuencia A B = . Surge ahora, la siguiente inquietud: Cul ser la diferencia entre A y B (A B) cuando B A? Esta pregunta se plantea formalmente en el numeral 4 de los ejercicios complementarios y el propsito es realizar la demostracin con el apoyo del tutor.

CASO 1. A B = A CASO 2. CASO 3. A B =

A B

A B

B

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Ahora, la diferencia B A para los tres casos planteados, se representa por la parte sombreada de la siguiente figura: Figura No. 5. B A Ejemplo 1. Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito} y B = {0, 2, 3, 7} hallar A B y B A y hacer la representacin grfica. Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin, as: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces: A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = , la representacin grfica se muestra en la figura No. 6 Figura No. 6. Grfica del ejemplo 1.

CASO 1. CASO 2. B A CASO 2. A -- B

A B

A B

A B

A B B A

A B

B

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1.4.4 Diferencia simtrica Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos. Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe as: A B = {x / x A, , x B, , x A B}. Su representacin grfica es: Figura No. 7. A B Ejemplo 1. Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M, S, T}. Ejemplo 2. Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simtrica entre M y N es: M N = {1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el nmero 4, no pertenece a la diferencia simtrica porque forma parte de la interseccin entre M y N. 1.4.5 Complemento Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir, A = {x / x A} En la siguiente figura la parte sombreada muestra el complemento del conjunto A, en cada uno de los casos descritos anteriormente.

CASO 1. A B = CASO 2. CASO 3.

A B

A B

B

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Figura No. 8. A

Figura N0 8 A

Ejemplo 1. Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los estudiantes de Ingeniera de sistemas de la UNAD y A como el conjunto de los estudiantes que estn en el primer semestre, el complemento del conjunto A (A) ser el conjunto formado por todos los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que no cursan primer semestre, esto es: U = {x UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}. A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}. A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}. 1.4.6 Producto Cartesiano Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define el producto cartesiano entre A y B as: A X B = {(x , y ) / x A , , y B }. La expresin (x , y ) representa una pareja ordenada , que cumple la condicin de que su primera componente, (x) pertenece al conjunto A y la segunda componente (y) pertenece al conjunto B. Ejemplo 1. Si A = {1, 2,3} y B = {-1, 0, 2} el producto cartesiano de A X B es:

CASO 1 CASO 2 CASO 3

A B

A B

B

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A X B = {(1,-1),(1,0),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,-1),(3,0),(3,2)} y el producto de BXA es B X A = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3)} Se puede observar que el producto cartesiano entre A y B no es conmutativo, puesto que la pareja ordenada ( x, y ) es diferente a la pareja ordenada ( y, x ), en particular, (-1,1) es diferente a (1, -1) y ( 3,-1) es diferente a (-1,3). La siguiente grfica muestra la diferencia.

Figura No. 8 Producto cartesiano 1.5 LA SIGMA LGEBRA DE CONJUNTOS 1.5.1 Propiedades de las operaciones entre conjuntos Las siguientes cuatro propiedades, son vlidas para las operaciones de unin e interseccin:

a) Leyes de idempotencia: A U A = A A A = A

b) Leyes asociativas: (A U B) U C = A U (B U C) (A B) C = A (B C) c) Leyes conmutativas: A U B = B U A A B = B A

d) Leyes distributivas: A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C)

Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos Universal U y vaco :

e) Leyes de identidad: A U U = U A U = A A U = A A =

Propiedades con respecto al complemento.

f) Leyes del complemento:

y x

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A U A' = U A A' = (A' )' = A ' = U

Estas leyes del complemento se pueden representar grficamente de la siguiente forma: Figura No. 9. A A = U Figura No. 10. A A =

Figura No. 11. (A) = A Figura No. 12 = U

A A = U

A A

A A (A) = A

A A A

A A =

A A A A

U

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g) Leyes de Morgan: h)

(A U B)' = A' B' (A B)' = A' U B'

La representacin grfica es la siguiente: Figura No. 13 (A B) = A B Figura No. 14 (A B) = A B Las anteriores leyes estn formuladas por pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la teora de conjunto. .

A A B A B A U B (A U B)

A B A B A B

A B A B

A B A B A B (A B)

A B

A B A B

A B A B

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1.5.2 PRINCIPIO DE DUALIDAD Si se intercambian las operaciones unin (U) por interseccin (), como tambin el conjunto universal (U) por el conjunto vaco (), en cualquier razonamiento sobre conjuntos, el enunciado resultante se llama DUAL del primero. Ejemplo 1. Demostrar que el dual de; (U U B) (A U ) = A es: ( B) U (A U) = A Tomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene que:

(U U B) (A U ) U A = A

Ahora, considerando la segunda y nuevamente aplicando las leyes de identidad se tiene que: ( B) U (A U) U A = A Con lo cual queda demostrado. Ejemplo 2. Demostrar que el dual de (A B) U (A B') = A es (A U B) (A U B') = A En este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica as: i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma:

Figura No.15 Primera parte del ejemplo 2 Figura No 15 Primera parte del ejemplo 2

A A B A B' B (A B) U (A B') = A

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ii) La representacin grfica de la segunda parte es: Figura No. 16 Segunda parte del ejemplo 2

1.6 CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS Un orden parcial en un conjunto A, es una relacin R en A que cumple:

1. Es reflexiva: (a,a) R para todo a A 2. Es antisimtrica: si (a,b) R y (b,a) R entonces a = b 3. Transitiva: Si (a,b) R y (b,c) R, entonces (a,c) R.

Si una relacin R en A, define un orden parcial en A, entonces (a,b) R ( que se puede interpretar como a esta relacionado con b ),se simboliza como a b y se lee a anterior a b. Ejemplo 1. Si A es una familia de conjuntos. Demostrar que la relacin R definida por X es un subconjunto de Y es un orden parcial de A. Para que R defina un orden parcial en A debe verificar cada una de las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: X es subconjunto de X, esto se verifica en virtud de la seccin 1.2.3 Subconjunto propio.

2. Antisimtrica: X es subconjunto de Y, Y es subconjunto de X, entonces X = Y, esta conclusin corresponde a la definicin de igualdad entre conjuntos seccin 1.2.2

A U B A U B' ( A U B) (A U B') = A

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3. Transitiva: Si X es subconjunto de Y, Y es subconjunto de Z, entonces X es subconjunto de Z, corresponde a la contenencia entre conjuntos, lo cual se demostr en la seccin 1.2.1.

Lo anterior permite concluir que la relacin X, es un subconjunto de Y define una relacin de orden parcial sobre el conjunto A. Ejemplo 2 Sea A un subconjunto de los nmeros reales. La relacin R sobre A definida por X Y, X es menor o igual a y, es un orden parcial en A, la cual se llama orden natural en A. Para verificar cada una de las propiedades sean a, b, c nmeros reales, entonces:

1. Reflexiva: a = a para todo elemento a que esta en los nmeros reales, en este caso la propiedad se verifica para la igualdad, debido a que ningn nmero real es menor que s mismo.

2. Antisimtrica: Si a b y b a, necesariamente a = b, por la misma razn expuesta en el numeral 1.

3. Transitiva: Si a b y b c, entonces, a c, esto se puede analizar de la siguiente manera: Si a esta a la izquierda de b, y b esta a la izquierda de otro nmero c, entonces se puede asegurar que a est a la izquierda del nmero c.

Por lo tanto X Y define el orden natural en los nmeros reales. Ejemplo 3. Sea R la relacin en V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} definida por X divide a Y. Entonces R define un orden parcial en V. La relacin R est formada por los siguientes elementos: R = {(1, 2), (1, 3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 4), (2,6), (3, 6)}. Para visualizar este orden parcial en V, se utiliza un diagrama, en el cual las flechas representan la relacin entre los elementos de V, y dos o ms flechas consecutivas la propiedad transitiva; de esto surgen las siguientes trayectorias: 1 3 6. Se lee: 1 divide a 3, 3 divide a 6, y, 1 divide a 6 1 2 4. Se lee: 1 divide a 2, 2 divide a 4, y, 1 divide a 4

1 2 6. Se lee: 1 divide a 2, 2 divide a 6, y, 1 divide a 6 1 5 Se lee: 1 divide a 5.

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Figura No.17 Ejemplo 3.

Definicin Un conjunto A parcialmente ordenado est constituido por el conjunto A, y una relacin R de orden parcial. 1.6.1 PRIMERO Y ULTIMO ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

PARCIALMENTE ORDENADO Definicin Sea A un conjunto ordenado. El elemento a A, se dice primer elemento de A, si para todo x A, a es anterior a todos los elementos de A; anlogamente, un elemento b A, se dice ltimo elemento de A, si para todo x A, b es posterior a todos los elementos de A. Ejemplo 1. Sea W = {a, b, c, d, e} ordenado por el siguiente diagrama: Figura No.18 Ejemplo 1 En este ejemplo a, es un elemento ltimo de W porque es posterior a todo elemento. W carece de primer elemento. El elemento d, no es un primer elemento porque d no es anterior a e y e no es un primer elemento porque e no es anterior a d.

4 6 2 3 5 1

a b c d e

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Ejemplo 2 En los nmeros naturales N, el 1 es un primer elemento de N, pero no hay ltimo elemento. Ejemplo 3 Si A = {x / 0 < x < 1} ordenado por la relacin x y , A no tiene primero ni ltimo elemento. Ejemplo 4 Si A = {x / 0 x < 1} es un conjunto parcialmente ordenado por la relacin x y, el primer elemento es el 0, pero no tiene ltimo elemento. 1.6.2 ELEMENTOS MAXIMAL Y MINIMAL Si A es un conjunto ordenado, se dice que un elemento a A es MAXIMAL si no hay en A, ningn elemento posterior al elemento a en sentido estricto; anlogamente, se dice que un elemento b A es MINIMAL si ningn elemento de A es estrictamente anterior a b. Ejemplo 1 Sea W = { a, b, c, d, e} un conjunto ordenado por el diagrama del ejemplo 1 de la seccin 1.6.1, se puede observar que d y e son elementos minimales, puesto que no hay en W, ningn elemento estrictamente anterior a ninguno de ellos y el elemento a, es un maximal debido a que no hay ningn elemento posterior al elemento a. Ejemplo 2 Sea W = {a, b, c, d, e} un conjunto ordenado por el siguiente diagrama: Figura No.19 Ejemplo 2 Los elementos c y d son minimales y los elementos a y b son maximales; es de observar que W no tiene primero ni ltimo elemento. Ejemplo 3

a b e c d

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Si A = {x / 0< x 1} ordenado por la relacin x y, este conjunto no tiene elemento minimal, pero su elemento maximal es el 1. Ejemplo 4 Si A = { x / 0 < x < 1} ordenado por la relacin x y no tiene elemento maximal ni minimal. Los ejemplos anteriores permiten afirmar que: 1. Si a es un primer elemento del conjunto A, entonces a es un elemento minimal del conjunto A y es nico; de igual forma, un ltimo elemento de A, es un elemento maximal de A y es nico. 2. Todo conjunto finito parcialmente ordenado, tiene por lo menos un elemento maximal y un elemento minimal. 3. Un conjunto infinito parcialmente ordenado, como en el ejemplo 4, puede no tener elementos maximales o minimales.

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AUTOEVALUACIN No. 1

1. Si X = {1, {1}}; hallar todos los subconjuntos de X. 2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6,}, C = {3, 5, 7} y U = {x / x es un nmero natural menor o igual que 9}. Hallar: 2.1 A ' B' 2.2 A' B' 2.3 A - B 2.4 A B 2.5 B C 2.6 A U 2.7 B C 2.8 B X C 2.9 A B 2.10 B C 2.11 Comprobar que el nmero de elementos de A B y de B C esta dado respectivamente por: n (A B) = n (A) + n(B) - n(A B) y el n(B C) = n(B) + n(C) 3. Hallar los conjuntos A y B si se sabe que:

A' = {2, 3, 5, 7}, B' = {1, 4, 7} y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 4. El nmero de elementos de los conjuntos A, B, C y U son: n (U) = 60, n(A) = 26, n(B) = 24, n(C) = 8, n(A B) = 10, n(A C) = 0 y se sabe que C B. Hallar: 4.1 n(A - B) 4.2 n(A B)' 4.3 n(A C)' 4.4 n[A - (B C)' ]

5. Construya un diagrama de Venn con 3 conjuntos A, B y C no vacos, de tal forma que cumplan con las siguientes caractersticas.

5.1 A B; C B; A C = 5.2 A B; C B; A C 5.3 A B; B C; A B ; B .

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EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIN No. 1

1. Representar mediante diagramas de Veen o crculos de Euler las relaciones entre conjuntos.

2. Demostrar o refutar cada una de las siguientes propiedades entre

conjuntos. 2.1 A B = B A 2.2 A ( A U B ) y B ( A U B ) 2.3 Si B C entonces A B = B 3. Si B A, hallar A B y hacer la representacin grfica. 4. Hallar el dual de cada una de las siguientes operaciones. Realizar la demostracin. 4.1 (B C) A = (B A) (C A) 4.2 A (A' B) = A B 4.3 (A U) ( A') = 4.4 (A ) (A U ) = A 4.5 A = 4.6 (A B)' = A' B'

5. En cada uno de los siguientes diagramas identificar el rea sombreada.

AA 5.1 5.2 5.3 5.4

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5.5 5.6

6. En un examen a 200 estudiantes relacionado con la habilidad para leer ingls, francs y espaol se obtuvieron los siguientes resultados: 80 leen ingls, 105 leen francs, 80 leen espaol, 55 leen espaol y francs, 55 leen ingls y no leen francs, 60 leen ingls y no leen espaol, 15 leen ingls y espaol, pero no francs. Cuntos de estos estudiantes: 6.1 Leen los tres idiomas 6.2 Leen nicamente francs 6.3 No leen ninguno de los tres idiomas 6.4 Leen espaol pero no ingls ni francs

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INFORMACION DE RETORNO No. 1

1. P (X) = [{1}, {{1}}, {1, {1}}, ]

2.1 Por DMorgan A B = (A B) = {7, 8, 9} 2.2 Por DMorgan A B = (A B) = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} 2.3 A B = {1, 3, 5} 2.4 A B = {2, 4} 2.5 B C = 2.6 A U = {6, 7, 8, 9} 2.7 B C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} 2.8 B x C = {(2, 3), (2,5),(2,7),(4,3),(4,5),(4,7),(6,3),(6,5),(6,7)} 2.9 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2.10 B C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} 2.11 n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) 6 = 5 + 3 - 2 6 = 6 (B C) = n(B) + n(C) 6 = 3 + 3

6 = 6

3. Como (A) = A, entonces A = {1, 4, 6, 8} (B)= B, entonces B = {2, 3, 5, 6, 8} 4.1 n(A B) = 2 4.2 n(A B) = 10 4.3 n(A C) = 26 4.4 n[A (B C)] = 26

5.1 5.2

5.3

B A AA AA

B

C

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2. PRINCIPIOS DE LA LOGICA

OBJETIVO GENERAL Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lgicos, utilizando las leyes de la lgica y las de las inferencias, ya sea para determinar la conclusin, o para determinar la consistencia interna del razonamiento. OBJETIVOS ESPECFICOS

1. Conocer la historia de la lgica y su clasificacin. 2. Establecer la relacin entre lgica y lingstica. 3. Aprender los conectivos lgicos: disyuncin, conjuncin, negacin,

implicacin y equivalencia. 4. Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lgicas. 5. Aplicar las leyes del lgebra de proposiciones para realizar

demostraciones. 6. Determinar la conclusin de un grupo de premisas utilizando las

inferencias lgicas. 7. Definir y diferenciar conceptos tales como razonamiento, demostracin y

argumento.

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EVALUACIN INICIAL No. 2

1. Por qu Aristteles fue considerado como el Padre de la Lgica? 2. Cmo se puede clasificar la lgica?. Explicar. 3. Cmo se define la lgica? 4. Qu tipos de lenguajes se pueden reconocer? Cul es su diferencia y

cul su semejanza? 5. Qu es una proposicin y cmo se simboliza? 6. Cmo se definen los conectivos lgicos y para qu sirven? 7. Escriba en lenguaje cotidiano y en forma simblica los conectivos que

conoce. 8. Cul es la forma recproca del enunciado si se conocen las leyes de las

inferencias lgicas, entonces se facilitar sacar conclusiones de los razonamientos.

9. Qu proceso se utiliza para decidir si la proposicin p q p q es una tautologa o contradiccin?

10. Escriba la conclusin del siguiente razonamiento: Si aprob el examen semestral y el examen final, entonces aprob el curso. Si aprob el curso, entonces aprob el final. Reprob el curso.

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2.1 HISTORIA Y CLASIFICACIN Etimolgicamente la lgica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dems, Aristteles, considerado por los griegos. El padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas. El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llam una caracterstica universal. El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos. La lgica se puede clasificar como:

1. Lgica tradicional o no formal. 2. Lgica simblica o formal.

En la lgica tradicional se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico, y los mtodos de inferencia que estn relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se

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puede considerar que la lgica no formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observacin del mundo circundante. La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido. 2.2 CONCEPTUALIZACIN

La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos. La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado para luego establecer un lenguaje simblico artificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera, el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 2.3 LGICA Y LINGSTICA Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora. Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de smbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa,

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entre otros. En los formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y de predicados. Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones o enunciados que se forman con palabras del diccionario. En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de smbolos, (lgicos o matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semntico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entre otras. 2.4 SIMBOLIZACIN : PROPOSICIONES La lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento bsico de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin del lenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lgicos complicados; crea un lenguaje simblico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin del verbo ser. Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que el lenguaje natural. Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:

p : Hoy es sbado. q : Estudio ingeniera de sistemas. r : New York es llamada la capital del mundo. s : 1 no es un nmero primo. x : 4 + 3 = 10.

Es decir, se puede establecer una relacin biunvoca entre el lenguaje natural y el lenguaje formal. Estas proposiciones generalmente se llaman frases.

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En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como por ejemplo: Las rosas son rojas y tienen espinas. La seleccin Colombia gan o perdi? En el pas no hay violencia.

Si estudio lgica matemtica entonces ser un destacado ingeniero de

sistemas. 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.

Estas expresiones se denominan oraciones y para su formacin se utilizaron las letras y, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados. Estos trminos de enlace reciben el nombre de CONECTIVOS LGICOS y al igual que a las proposiciones, tambin se les asignan un lenguaje simblico, as:

LENGUAJE NATURAL LENGUAJE FORMAL y o

no ~ Si entonces

S y slo si La notacin simblica de las proposiciones es: p : Las rosas son rojas. q : Las rosas tienen espinas. p q : Las rosas son rojas y tienen espinas. r: La seleccin Colombia gan?. s: La seleccin Colombia perdi?. r s : La seleccin Colombia gan o perdi?. t : En el pas hay violencia. ~ t : En el pas no hay violencia.

x : Estudio lgica matemtica y : Ser un destacado ingeniero de sistemas x y : Si estudio lgica matemtica ser un destacado ingeniero de

sistemas. u : 4 es un nmero par. v : 4 es divisible por 2. u v : 4 es un nmero par si y slo si es divisible por 2.

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En lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples y moleculares o compuestas. 2.4.1 PROPOSICIONES SIMPLES Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lgicos. Ejemplos: p : El eclipse es un fenmeno natural. q : La luna es un satlite de la tierra. r : 2 es el inverso multiplicativo de 2. s: -3 es el inverso aditivo de 3. El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin. 2.4.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o ms proposiciones simples mediante trminos de enlace. Ejemplos: p : Est lloviendo. q: El sol brilla. p q: Est lloviendo y el sol brilla.

x : Quieres caf?. y : Quieres t?. x y : quieres caf o t?. s : Llueve. r : Hace fro. s r : Si llueve entonces hace fro.

p : Un tringulo es equiltero. q: Un tringulo tiene sus tres lados iguales. p q : Un tringulo es equiltero si y slo si tiene sus tres lados

iguales. La veracidad o falsedad de una proposicin compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estn combinadas; para establecer este valor, se fijan criterios que se estudiarn en las prximas secciones de este captulo.

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2.5 CONECTIVOS LGICOS Como ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o ms proposiciones simples, se llaman conectivos lgicos, estos son: la conjuncin, la disyuncin, la negacin, el condicional y el bicondicional. 2.5.1 La conjuncin: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjuncin de p y q. Ejemplo 1. La proposicin compuesta r s : 6 es nmero par y entero positivo, est formada por: r : 6 es un nmero par. : y s : entero positivo. Ejemplo 2 p q : Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugar tenis p : Termino de escribir mi programa de computacin. : y q : jugar tenis. Para establecer el valor de verdad de la conjuncin, surgen las siguientes posibilidades:

1. Que p y q sean verdaderas. 2. Que p sea verdadera y q sea falsa. 3. Que p sea falsa y q verdadera. 4. Que p y q sean falsas.

A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1, el anlisis del ejemplo 2 se deja como ejercicio. 1. r: Verdadera. 6 es un nmero par.

s: Verdadera. 6 es un entero positivo. r s : Verdadera (V) 2. r: Verdadera. 6 es un nmero par.

s: Falsa. 6 no es un entero positivo. r s : Falsa (F).

3. r: Falsa. 6 no es un nmero par.

s: Verdadera. 6 es un entero positivo. r s :Falsa (F).

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4 r : Falsa. 6 no es un nmero par. s: Falsa. 6 no es un entero positivo.

r s: Falsa (F). 2.5.2 La disyuncin V Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llama disyuncin de p y q. El operador o se puede usar de dos formas: como o incluyente o como o excluyente. En el primer caso (o incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposicin disyuntiva; mientras que en la segunda forma (o excluyente) el valor de verdad de una proposicin, excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que la proposicin disyuntiva tome el valor verdadero. Ejemplo 1. Uso del o incluyente

r v s: Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina. r : Juan estudia ingeniera. v : O s: Paola estudia medicina.

Ejemplo 2. Uso del o excluyente.

x v y : Quieres helado o gaseosa. x : Quieres helado. v : O y: Quieres gaseosa. Ejemplo 3: Uso del o excluyente p v q: Alexandra vive en Bogot o en Barranquilla. p : Alexandra vive en Bogot. v : O q : Alexandra vive en Barranquilla. 2.5.3 La negacin

Sea p una proposicin simple. Se define la negacin de p mediante la proposicin compuesta no p simbolizada por: ~ p.

Ejemplo 1. p : 3 es un nmero entero primo.

~ p : 3 no es un nmero entero primo, tambin se puede leer. es falso que 3 es un nmero entero primo.

Ejemplo 2. q : El automvil de Francisco es rojo.

~ q: El automvil de Francisco no es rojo ,o, es falso que el automvil de Francisco es rojo.

2.5.4 El condicional

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Se dice que una proposicin compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresin sientonces. Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as : p q y se lee p implica q. La proposicin precedida por la expresin si, se llama antecedente o hiptesis y la proposicin precedida por la expresin entonces, se llama consecuente o conclusin de la implicacin. En la expresin p q, el antecedente es p y el consecuente es q. Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras as: Si p entonces q. p slo si q. q si p. p es suficiente para q. q es necesaria para p.

Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados: Si un entero es mltiplo de 4 entonces es divisible por 2. Apruebo el semestre slo si estudio. El algoritmo esta bien enunciado si el programa corre. Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.

Cuando una proposicin condicional se escribe en una de las anteriores formas, probablemente, en el lenguaje comn habr alguna que no se interprete como se desea, pero como la lgica no permite ambigedades, stas se deben escribir segn la definicin dada en la seccin. Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales as: Implicacin directa: p q Implicacin contraria: q p Implicacin recproca: ~ p ~ q Implicacin contrarrecproca: ~ q ~ p Ejemplo 1. Dadas las proposiciones p: 2m es divisible por 4 q: m es par entonces: La proposicin directa es: p q: si 2m es divisible por 4 entonces m es par, la contraria es: q p: Si m es par entonces 2m es divisible por 4, la recproca es: ~ p ~ q: si 2m no es divisible por 4, entonces m no es par y la contrarrecproca es: ~ q ~ p : Si m no es par, entonces 2m no es divisible por 4. Ejemplo 2. Teniendo en cuenta la proposicin directa: ~ p q construir las otras formas de la implicacin. Contraria: q ~ p Recproca: ~ (~ p) ~ q p ~ q Contrarrecproca: ~ q ~ (~ p) ~ q p.

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Ejemplo 3. Proposicin directa: ~ p ~ q Contraria: ~ q ~ p Recproca: ~ (~ p) ~ (~ q) p q Contrarrecproca: ~ (~ q) ~ (~ p) q p En la seccin 2.7 se analizar la equivalencia de las formas de enunciar las implicaciones. 2.5.5 El bicondicional Se denomina bicondicional a la proposicin formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresin s y slo s. Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro. El bicondicional est formado por las implicaciones p q y q p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribir p q. La proposicin bicondicional tiene varias formas de traduccin ms no de significacin, stas son: p s y slo si q. q s y slo si p. si p entonces q y recprocamente. si q entonces q y recprocamente. p es una condicin necesaria y suficiente para q. q es una condicin necesaria y suficiente para p.

Ejemplo 1. Dadas las proposiciones: p: Un tringulo es rectngulo. q: Un tringulo tiene un ngulo recto. El bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas: Un tringulo es rectngulo s y slo s tiene un ngulo recto. Un tringulo tiene un ngulo recto s y slo s es un tringulo rectngulo Si un tringulo es rectngulo entonces tiene un ngulo recto y si un

tringulo tiene un ngulo recto entonces es un tringulo rectngulo. Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo sea

rectngulo es que tenga un ngulo recto. Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo tenga un

ngulo recto es que sea un tringulo rectngulo. Un tringulo rectngulo es equivalente a un tringulo con un ngulo

recto.

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2.6 TABLA DE VERDAD 2.6.1 Definicin Una tabla de verdad es una representacin esquemtica de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. En la elaboracin de una tabla de verdad los trminos de enlace tales como la negacin ( ~ ), la disyuncin ( ) y la conjuncin ( ) se consideran conectivos fundamentales; por tal razn, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qu condiciones una proposicin compuesta es verdadera o falsa. Para simbolizar los valores de verdad de una proposicin, se utiliza el sistema binario, mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lgicos:

p q ~ p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

2.6.2 Construccin de tablas de verdad Para determinar el valor de verdad de una proposicin compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad; para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir: Ejemplo 1. Construir la tabla de verdad para la proposicin ~ (p q). Paso 1. Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los parntesis. Paso 2. Se identifica el conectivo que aparece dentro del parntesis, en este ejemplo la conjuncin. Paso 3. Se precisa el trmino de enlace que precede al parntesis, en el ejemplo la negacin. Paso 4. Se elabora la tabla con el nmero de columnas determinado por: Proposiciones que intervienen Conectivos utilizados dentro del parntesis Conectivo utilizado fuera del parntesis.

La siguiente tabla ilustra el paso 4

p q p q ~ ( p q )

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Paso 5. Se fijan los valores de verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la siguiente tabla

p q p q ~ ( p q ) 1 1 1 0 0 1 0 0

Paso 6. Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposicin simple. La finalizacin de la elaboracin de la tabla de verdad es:

p q p q ~ ( p q ) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Ejemplo 2. Elaborar la tabla de verdad de la proposicin: (p q) (p q). Al realizar el recorrido de izquierda a derecha se observa que la proposicin est conformada por dos parntesis conectados por la disyuncin y dentro de cada parntesis se identifican la disyuncin y la conjuncin respectivamente; despus de ste anlisis se elabora la tabla.

p q p q p q (p q) (p q) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Ejemplo 3 Elaborar la tabla de verdad para la doble negacin, es decir, ~ (~ p)

p ~ p ~ (~ p) 1 0 1 0 1 0

Este resultado permite concluir que la doble negacin de una proposicin es la misma proposicin.

44

2.7 TABLAS DE VERDAD PARA LOS CONECTIVOS LGICOS 2.7.1 La conjuncin

p q p q V V V V F F F V F F F F

Tabla No. 1 La conjuncin. Lo anterior permite concluir que la conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en cualquier otro caso la proposicin es falsa. 2.7.2 La disyuncin

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Tabla No. 2 La disyuncin 2.7.3 La negacin

p ~ p V F F V

Tabla No. 3 La negacin. 2.3.4. El condiciona

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Tabla No. 4 El condicional. 2.7.4 El bicondicional.

p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Tabla No. 5 El bicondicional.

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2.7.5. Implicacin directa, contraria, recproca y contrarecproca En la seccin 2.5.4 se enunciaron las cuatro formas de la implicacin, corresponde en esta seccin, hacer la tabla de cada una de ellas y analizar sus equivalencias. p q ~ p ~ q p q

Directa q p

Contraria ~ p ~ q Recproca

~ q ~ p Contrarrecporca

1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Tabla No. 6. Formas de la implicacin. Esta tabla permite analizar que los valores de verdad correspondientes a las columnas de la directa y la contrarecpoca coinciden, al igual que los de las columnas de la contraria y de la recproca, por lo tanto estas implicaciones son equivalentes, es decir:

1. ( p q ) (~ q ~ p ) 2. ( q p ) (~ p ~ q )

2.8 LEYES DE LA LGICA

2.8.1 Tautologa: Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes por ser siempre verdaderas, independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman, este tipo de proposiciones reciben el nombre de tautologas, es decir, una tautologa es una proposicin que es verdadera en todos los casos. Ejemplo 1. Demostrar que la proposicin ( p q ) (~ q p ). Para verificar la validez de esta proposicin es necesario realizar la tabla de verdad y comprobar que en la ltima columna solamente aparecen valores verdaderos.

p q p q ~ q ~ q p ( p q ) (~ q p)1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1

Tabla No. 7. Ejemplo 1. Una proposicin compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llama Contradiccin.

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Ejemplo 2. Es ( p ~ q ) q una tautologa? Para responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla, as:

p q ~ q p ~ q ( p ~ q) q 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

Por lo tanto esta proposicin no es una tautologa, es una contradiccin. Dos proposiciones compuestas se consideran lgicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad. Ejemplo 3 Establecer si las proposiciones (p q ) y (~ p q ) son lgicamente equivalentes. Para esto hay que probar que (p q) (~ p q), la tabla de verdad es:

p q p q ~ p ~ p q (p q ) (~ p q) 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

Como la ltima columna es toda verdadera (tautologa), se puede concluir que las proposiciones son lgicamente equivalentes. 2.8.2. Leyes del lgebra de proposiciones Las siguientes son las leyes de la lgica. 1. Idempotencia: p p p p p p

3. Asociativas: (p q) r p (q r ) (p q) r p (q r)

4. Conmutativas:

p q q p p q q p

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5. Distributivas: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

6. Identidad:

p 0 p , p 1 1 p 0 0 , p 1 p.

7. Complemento:

p ~ p 1, p ~ p 0 ~ ( ~ p) p, ~ 1 0, ~ 0 1

8. Leyes D Morgan

~ ( p q ) ~ p ~ q ~ ( p q ) ~ p ~ q

Estas leyes estn formuladas por pares debido a la naturaleza dual del lgebra de proposiciones. En los ejemplos que aparecen a continuacin, se utilizan las leyes de la lgica para realizar las respectivas demostraciones Ejemplo 1. Demostrar que:

1. p p p 2. p p p.

Estas demostraciones se pueden efectuar partiendo del primer miembro y llegar al segundo o partiendo del segundo y llegar al primero. En la parte derecha se escribe el nombre de la ley que justifica ese paso. 1. Partiendo del primer miembro se llega al segundo as: p p (p p) 0 Identidad p p (p p) (p ~ p) Complemento p p p (p ~ p) Distributiva p p p 1 Complemento p p p Identidad 2. Partiendo del segundo miembro se llega al primero as: p p 0 Identidad p p (p ~ p) Complemento p (p p) (p ~ p) Distributiva p (p p) 1 Complemento p (p p) Identidad. Se sugiere hacer las demostraciones partiendo del primer miembro. Ejemplo 2. Demostrar que: (p q) (~ p q) q ( q p) (q ~ p) q Conmutativa

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q ( p ~ p ) Distributiva q 0 Complemento q Identidad Ejemplo 3. Demostrar que: [ (p q) (~ p r) (q r) ] [ (p q) (~ p r)] [ (p q) (~ p r) (q r) ] [ (p q) (~ p r) (q r) ] 0 Identidad [(p q) (~ p r) (q r)] (q r) ~ (q r) Complemento (p q) (~ p r) (q r) ~ (q r) Asociativa (p q) (~ p r) 0 Complemento (p q) (~ p r) Identidad Ejemplo 4. Demostrar: (p ~ q) (q r) (q ~ r) (p q) (p ~ q) [q (r ~ r)] Distributiva (p ~ q) [q 0] Complemento (p ~ q) q Identidad (p q) (~ q q) Distributiva (p q) 0 Complemento (p q) Identidad. Ejemplo 5. Demostrar: ~ [(p ~ q r) (p q r)] (~ p ~ r) ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ [(p r) (~ q q)] Conmutativa y distributiva ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ [(p r) 1] Complemento ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ (p r) Identidad ~ [(p ~ q r) (p q r)] (~ p ~ r) D Morgan 2.9 INFERENCIAS LOGICAS Para definir las inferencias lgicas es necesario precisar algunos conceptos tales como razonamiento y demostracin. Razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostracin. Demostracin es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener otra proposicin, llamada conclusin, a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas como verdaderas, que reciben el nombre de premisas. En la seccin 2.10 se har un anlisis ms detallado de la demostracin. Las inferencias lgicas son las conclusiones que se pueden obtener despus de realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Las premisas deben ser verdaderas. 2. Durante el proceso de deduccin las premisas deben relacionarse

sujetas a las leyes de la lgica.

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As, el conocimiento obtenido de proposiciones verdaderas preestablecidas (premisas), y aplicando las leyes de la lgica a esas premisas, se denomina conclusin. Las reglas de inferencia lgica son: 2.9.1 Modus Ponendo Ponens (MPP) Este mtodo de inferencia establece que si una implicacin es cierta y adems tambin lo es su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente verdadero; de forma simblica esto se expresa as: [ ( p q ) p ] q Ejemplo 1. Premisa 1. Si Julin estudia Ingeniera de sistemas a distancia, entonces l estudia en la UNAD. Premisa 2. Julin estudia Ingeniera de sistemas a distancia. Conclusin. Julin estudia en la UNAD. Simblicamente, el ejemplo 1 se expresa as: Si p: Julin estudia Ingeniera de Sistemas a Distancia q: l estudia en la UNAD. Entonces: Premisa 1. p q Premisa 2. p Conclusin. q Ejemplo 2. Premisa 1. Si x + y = z, entonces, y + x = z. Premisa 2. x + y = z Conclusin. y + x = z Simblicamente, si p: x + y = z q: y + x = z Entonces: Premisa 1. p q Premisa 2. p Conclusin. q Ejemplo 3. Premisa 1. ~ p s Premisa 2. ~ p Conclusin. s Ejemplo 4. Premisa 1. ~ r ~ t s Premisa 2. ~ r Conclusin. ~ t s 2.9.2 Modus Tollendo Tollens ( MTT ) Esta regla de inferencia dice que si una implicacin es verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente ser necesariamente falso; simblicamente se expresa as:

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[ ( p q ) ~ q ] ~ p Ejemplo 1 Premisa 1. Si un ngulo de un tringulo es mayor de 90, entonces la suma de los otros dos ngulos es menor de 90. Premisa 2. La suma de los otros dos ngulos no es menor de 90. Conclusin. Un ngulo de un tringulo no es mayor de 90. Simblicamente: p: Un ngulo de un tringulo es mayor de 90. q: La suma de los otros dos ngulos es menor de 90. Premisa 1. p q Premisa 2. ~ q Conclusin. ~ p Ejemplo 2 Deducir una conclusin del siguiente conjunto de premisas. Premisa 1. q ~ r Premisa 2. ~ (~ r) Conclusin. ~ q. Ejemplo 3. Premisa 1. p q r Premisa 2. ~ r Conclusin. ~ (p q) ~ p ~ q D Morgan. Ejemplo 4. Demostrar que la conclusin es consecuencia de las premisas dadas. Premisa 1. ~ b Premisa 2. a b Premisa 3. ~ a c. Demostrar c. Premisa 4. De la premisa 2 y de la premisa 1, [(a b) ~ b] se puede concluir ~ a por el MTT. Premisa 5. De las premisas 3 y 4, [(~ a c) ~ a] se puede concluir la proposicin c por el MPP. 2.9.3 Modus Tollendo Ponens ( MTP) Esta ley se enuncia as:

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Si una disyuncin es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposicin ser verdadera. Simblicamente se escribe as: [ ( p q ) ~ p ] q o [ ( p q ) ~ q ] p Ejemplo 1 Premisa 1. O la energa interna de un tomo puede cambiar con continuidad o cambia slo a saltos. Premisa 2. La energa interna de un tomo no puede cambiar con continuidad Conclusin. La energa interna de un tomo cambia slo a saltos. Simblicamente p: La energa de un tomo puede cambiar con continuidad q: La energa de un tomo slo cambia a saltos Premisa 1. p q Premisa 2. ~ p Conclusin. Q. Ejemplo 2 Premisa 1. ~ q r Premisa 2. ~ r Conclusin. ~ q Ejemplo 3 Premisa 1. (s t) r Premisa 2. ~ ( s t) Conclusin. r Ejemplo 4. Demostrar que la conclusin es consecuencia de las premisas dadas. Premisa 1. ~ q s Premisa 2. ~ s Premisa 3. ~ (r s) q. Demostrar r s Premisa 4. De las premisas 1 y 2 se puede concluir ~ q por MTP Premisa 5. De las premisas 3 y 4 se puede concluir ~ (~ (r s)) por MTT, que es equivalente a r s por la ley de la doble negacin. 2.9.4 Silogismo Hipottico ( SH ) Es un argumento que se expresa simblicamente as: [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r)

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Ejemplo 1. Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus molculas forman cristales. Premisa 2. Si las molculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen. Conclusin. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen. Simblicamente Sean las proposiciones p: El agua se hiela q: Sus molculas forman cristales r: El agua aumenta de volumen Premisa 1. p q Premisa 2. q r Conclusin. p r Ejemplo 2 Premisa 1. q ~ p Premisa 2. ~ p r Conclusin. q r Ejemplo 3 Premisa 1. s t r q Premisa 2. r q ~ p Conclusin. s t ~ p Ejemplo 4. A partir de las premisas dadas indicar la demostracin de la conclusin. Premisa 1. ~ r Premisa 2. ~ p q Premisa 3. q r Demostrar p Premisa 4. De las premisas 2 y 3 se concluye ~ p r por SH Premisa 5. De las premisas 1 y 5 se concluye p por MTT. 2.10. DEMOSTRACIN La demostracin es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recin adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostracin permiten establecer la conexin lgica entre las proposiciones fundamentales de la teora, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusin o tesis que as se demuestra. Los principales tipos de demostracin son:

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2.10.1. Demostracin directa. La demostracin directa de una proposicin t (teorema) es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata. Ejemplo 1. Dadas las premisas: 1. p q 2. r q Concluir t. p r Demostracin: Puesto que r q es equivalente a q r, se tiene la premisa 3. q r, ahora, de las premisas 1 y 3 se puede concluir t, es decir, como p q y q r, entonces, p r. Ejemplo 2 Demostrar que si x es impar, entonces que x2 es impar. El enunciado genera las siguientes premisas:

1. x es impar 2. x = 2n+ 1, donde n es un entero

Hay que demostrar que x2 = (2n + 1)2 es impar. Demostracin: Si x es impar, entonces x = 2n + 1, entonces x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1, esta expresin se puede escribir de la forma 2(2n2 + 2n) + 1, tomando el trmino 2n2 + 2n como el entero m, se tiene que x2 = (2n + 1)2 = 2m + 1, es decir , x2 es un nmero impar. 2.10.2 Demostracin indirecta. Se realiza una demostracin indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas. Ejemplo 1. Construir la demostracin indirecta de: Si x2 es par, entonces x es par, (con x entero) Suponga que existe al menos un entero x tal que x2 es par y x es impar. Por el ejemplo 2 analizado en la demostracin directa, se sabe que si x es impar, entonces x2 es impar, luego es imposible que x sea impar y que x2 sea par. Esta es la contradiccin buscada. 2.10.3. Demostracin por recursin Cuando la tesis se prueba por medio de induccin matemtica.

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Ejemplo 1. Este tipo de demostraciones se utilizan cuando los enunciados tienen una proposicin abierta en una variable n, y es necesario demostrar que tal proposicin se verifica para todos los elementos n que pertenecen a un subconjunto infinito dado sobre los nmeros enteros, el axioma de la induccin matemtica es el siguiente: Dado un conjunto de nmeros enteros A = {n / n a} y una proposicin de la forma P(n), se puede demostrar la verdad de esta proposicin estableciendo los siguientes pasos: I. P(a) es verdadera cuando se sustituye n por a en P(n) II. Se supone que la proposicin P(n) es verdad para todo k del conjunto A, es decir, P(k) es verdadera, a esta proposicin, se le llama HIPTESIS DE INDUCCIN. III. Se demuestra que para el siguiente trmino al k-simo, osea k+1, P(k+1) es verdadera. Ejemplo 1. Demostrar que para todo entero 1, se verifica que P(n): 1+2++n = n (n+1) / 2 I. P(1) es verdadera porque : 1 = 1(1 + 1) / 2 II. Hiptesis de Induccin: P(k): 1+2++k = k (k + 1) / 2 para todo k 1 III. Demostrar para el trmino k + 1, es decir, probar que se verifica: 1 + 2 + + k + k + 1 = (k + 1) (k + 2) / 2. Por hiptesis de induccin: 1+2++k = k (k + 1) / 2 para todo k 1, sumando k + 1 a cada miembro de esta igualdad se obtiene: 1+2++k + k + 1 = k (k + 1) + k + 1 resolviendo la suma 2 = k 2 + k + 2 k + 2 sumando trminos semejantes 2 = k 2 + 3 k + 2 factorizando 2 = (k + 1) (k + 2) / 2 lo que se quera demostrar. 2.10.4 Demostracin por refutacin Es el razonamiento que prueba la falsedad de una hiptesis o la inconsecuencia de su supuesta demostracin; los mtodos de refutacin son la refutacin por contradiccin y la refutacin por contraejemplo.

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Ejemplo 1.Refutacin por contradiccin: Refutar la proposicin el cuadrado de todo nmero impar es un nmero par Como todo nmero impar se puede escribir de la forma 2n + 1, donde n es un entero, y puesto que todo nmero par se puede escribir en la forma 2m, con m un entero, la proposicin dada implica que: (2n + 1)2 = 2m para algn n y algn m o, 4n2 + 4n + 1 = 2m Se supone que ambos miembros deben representar el mismo entero, pero el miembro de la izquierda no es divisible por 2, mientras que el de la derecha si es divisible por 2. Esto es una contradiccin evidente y, por lo tanto, la proposicin dada es falsa. Ejemplo 2. Refutacin por contraejemplo. Refutar la proposicin El cuadrado de todo nmero impar es par. Se debe encontrar un nmero impar cuyo cuadrado sea impar, como 52 = 25, queda refutada la proposicin. Se deja como ejercicio de consulta investigar otros ejemplos de los tipos de demostracin y de los mtodos de refutacin. 2.11. CUANTIFICADORES 2.11.1 Cuantificador Universal y existencial Existen especialmente en matemticas, expresiones que contienen variables tales como x,y,z, etc., para las cuales su valor de verdad depende del valor que tome la variable. Ejemplo 1. x + 1 = 2 Esta proposicin es verdadera si x = 1 y falsa si x 1. A estas proposiciones se les llama Proposiciones abiertas. Hasta el momento se han tratado proposiciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso o verdadero, ahora en esta seccin, se estudia la lgica de proposiciones abiertas, para ello, se asigna una expresin llamada cuantificador, que permite restringir los valores de las variables, de tal forma que la proposicin toma un solo valor de verdad para dicha restriccin. En el ejemplo, la proposicin se puede enunciar de las siguientes formas:

1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposicin verdadera 2. Para todo x 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposicin falsa.

Simblicamente, (x = 1) / (x + 1 = 2) Verdadera. ( x 1 ) / ( x + 1 = 2) Falsa. En el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador existencial, pues est informando que existe un slo valor para x que hace verdadera la proposicin dada, mientras que en el segundo caso el cuantificador se llama universal porque afirma que todos los valores de x diferentes de 1 hacen la proposicin falsa, es decir, que un valor de x diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en proposicin falsa.

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Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada se llama cuantificador universal y se simboliza por Ejemplo 2. ( x) / ( x + 4 = 4 + x). Significa que todo x verifica la ecuacin. La palabra algunos(s) significa que por lo menos uno verifica la condicin. Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, y se llaman cuantificadores existenciales y se representan as: . Ejemplo 3 ( x ) / ( 2 x + 2 = 5 ). 2.11.2 Valores de verdad de expresiones con cuantificadores Para determinar el valor de verdad de una expresin que contiene un cuantificador es importante tener claros los siguientes conceptos:

1. Conjunto Universal: es el conjunto que contiene todos los elementos considerados en un estudio determinado.

2. Conjunto dominio de la variable: corresponde al conjunto de valores posibles de la variable.

Ejemplo 1. (x R ) / ( 2 x 1 = 0 ) que se lee para todo x que pertenece a los reales se verifica que 2 x 1 = 0 . En esta proposicin el conjunto universal esta formado por los nmeros reales y el dominio de la variable es x = . El ejemplo afirma que todo nmero real verifica 2x 1 = 0, lo cual es falso, pero si se cambia el conjunto universal, por el conjunto { 1/2 }, la proposicin se convierte en verdadera y se enuncia as: ( x { 1/2 } ) / ( 2 x 1 = 0) es verdadera. Lo anterior conduce a la siguiente afirmacin: Una proposicin que contiene un cuantificador universal es verdadera s y slo s el dominio de la variable es igual al conjunto universal. Ejemplo 2.

(x R ) / ( x 2 - 1 = 0) Conjunto universal: R (reales) Dominio de la variable: x = 1 ,, x = -1 En este caso el cuantificador existencial afirma que por lo menos existe un valor que satisface la proposicin, as, el ejemplo 2 es verdadero.

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Ejemplo 3.

(x R ) ( x 2 + 1 = 0) El conjunto universal est formado por los nmeros reales, pero el dominio de la variable es el conjunto vaco, pues, no hay un nmero real que al elevarlo al cuadrado y sumarle 1 de cmo resultado cero, esto hace que la proposicin sea falsa.

Del anlisis de los ejemplos 2 y 3 se puede afirmar:

Una proposicin con un cuantificador existencial es verdadera si y slo si el dominio de la variable no es vaco.

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AUTOEVALUACIN No. 2

1. Diga si las siguientes expresiones son proposiciones o no; en caso afirmativo traduzca las proposiciones a la forma simblica y escriba su valor de verdad. 1.1 La divisin entre cero es imposible. 1.2 Patricia esta comiendo y divirtindose. 1.3 Alfredo no vino anoche y no recogi su dinero. 1.4 Ests resfriado?. 1.5 La figura es un tringulo o un crculo. 1.6 26 no es nmero primo pero 13 s. 1.7 Es falso que: 26 es nmero primo y 13 no es nmero primo. 1.8 Es falso que 13 es nmero impar. 1.9 13 es nmero par 26 es impar. 2. Si p es verdadero (1), q es falso (0) y r es verdadero (1), determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: 2.1 [( p q) (q p)] [( p r) q] 2.2 [p (q r)] [(p q) (p r)]- 2.3 (p q) [p (q r)] 3. Deducir la conclusin del siguiente grupo de premisas: 1. ( s t) r

2. q 3. s 4. (q r)

4. Establecer mediante una tabla de verdad si la siguiente proposicin es o no una tautologa. [( p q) (q p)] [( p r) q] 5. Dadas las proposiciones p, q, r, demostrar utilizando las leyes del lgebra de proposiciones las siguientes equivalencias: 5.1 [(p q) ( p r) (q r)] [p q) ( p r)] 5.2 (p q r) ( p q r) 1 es un tautologa

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INFORMACION DE RETORNO No. 2

1.1 S. p: La divisin entre cero es imposible. Verdadera. 1.2 S. p: Patricia esta comiendo. q: Patricia esta divirtindose. p q. Verdadera. 1.3 S. p: Alfredo no vino anoche. q: Alfredo no recogi su dinero p q. Verdadera. 1.4 No. 1.5 S. p: La figura es un tringulo. q: La figura es un crculo. p q. Verdadera. 1.6 S. r: 26 no es nmero primo. s: 13 es un nmero primo. r s. Verdadera. 1.7 S. p: 26 es nmero primo. q: 13 no es nmero primo. (p q). 1.8 S. r: 13 es nmero impar. r. 1.9 S. p: 13 es nmero par. q: 26 es impar. q s. 2.1 1 2.2 1 2.3 0 3.1 De la premisa 1. [( s t) r] [ (s t) r]. Premisa 5. De 5. [( s t) r] [ (s t) r]. [r (s t)]. Premisa 6. (Porque el teorema directo es igual al contrarrecporco). De 4. (q r) (q r). Premisa 7 De 7 y 6. {(q r) [r (s t)]} [q (s t)]. Premisa 8 (SH) De 8 y 2. {[q (s t) q} (s t). Premisa 9. (MPP) De 9 y 3. [(s t) s] t. (MTP) Conclusin t. 4. Tautologa

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EJERCICIOS DE PROFUNDIZACIN No. 2

1. Construir la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones: 1.1 (p q r) ( p q r) ( p q r) 1.2 [p (q r)] [(p q) (p r)] 2. Indicar el cuantificador que debe utilizarse en cada una de las siguientes proposiciones: 2.1 Algunas manzanas estn verdes. 2.2 Todos los computadores son elctricos. 2.3 Existen nmeros negativos. 2.4 Algunos enteros son positivos. 2.5 Todos los cuadrados son rectngulos. 3. Para cada uno de los siguientes argumentos obtenga una conclusin vlida empleando todas las proposiciones y la correspondiente demostracin. 3.1 Si estoy ocioso, entonces me vuelvo holgazn. 3.2 Si no nos oponemos a la publicacin de informacin falsa, somos culpables de suprimir la libertad de otros. No somos culpables de suprimir la libertad de otros. 3.3 Si 2 divide a un entero positivo n, y si n es mayor que 2, entonces n no es un nmero primo. n es un nmero primo. 3.4 Si vas a la universidad, entonces obtienes un buen empleo. Si obtienes un buen empleo, entonces ganas mucho dinero. Si no obedeces la Ley, entonces no ganas mucho dinero. Vas a la universidad. 3.5 Si escalas la montaa ms alta, entonces te sientes grande, si te sientes grande, entonces ests contento.

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3. DEDUCCIN

OBJETIVO GENERAL Utilizar el mtodo deductivo como una forma de razonamiento mediante el cual se puede establecer un principio general a partir de casos particulares. OBJETIVOS ESPECFICOS 1. Identificar y clasificar las proposiciones categricas de un argumento 2. Diferenciar la cualidad y cantidad de una proposicin categrica en forma estndar. 3. Establecer el tipo de oposicin que se puede presentar entre dos proposiciones categricas 4. Representar grficamente proposiciones categricas de forma estndar 5. Inferir una conclusin a partir de dos o ms premisas 6. Utilizar las reglas de inferencia para establecer la validez o invalidez de un argumento. 3.1 INTRODUCCIN Razonar es un proceso por el cual se establece una conclusin basada en una o ms proposiciones supuestas o aceptadas, llamadas premisas, las cuales constituyen el punto de partida del proceso. Si la conclusin es correc