Autores:-Franco Cantarutti-Mauro Fras-Tomas RamrezDocente encargado:-Orlando Torrescrditos Osorno, chile 13 / mayo / 2005 Mdulo de auto aprendizaje: Comenzar

CrditosAcerca de los autores.Franco Cantarutti (tercero medio A)Mauro Fras (tercero medio B)Toms Ramrez (tercero medio B)Plan diferenciado: MatemticoAlumnos del colegio San mateo de OsornoPrimero a nivel nacional en colegios subvencionados.seguir

Edicin y produccin:Departamento matemtico .Inc.Actualmente compuesto por:Direccin general:Franco Cantarutti.Correccin de estilo:Mauro Fras.Direccin grafica:Toms RamrezDiseo y diagramacin:Todo el equipoParticipacin externa:Orlando Torres (Docente)Volver

PrologoEl mdulo de autoaprendizaje para 1medio que tienes en tus manos, esta orientado para que adquieras un aprendizaje en potencias, races y logaritmos desde una perspectiva matemtica, propicindote una base para la comprensin de fenmenos matemticos, destacando el trabajo individual, la constancia de trabajo, la idealizacin de un mtodo de trabajo y una discusin que te permitir obtener conclusiones validas en el mbito de esta ciencia.Esta obra se destaca por ofrecer una interesante red de actividades que realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio comprensivo e interactivo, basado en tu propia experiencia, que te impulse a comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de este trabajo.El trabajo aqu entregado esta estructurado segn los siguientes temas.

Capitulo 1 potencias.Capitulo 2 races.Capitulo 3 logaritmos.Seguir

contenidos1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las potencias1.3 ecuaciones exponenciales2. Radicacin2.1 races2.2 propiedades de las races2.3 racionalizacin2.4 ecuaciones irracionales3. Logaritmos3.1 logaritmos3.2 propiedades

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Representacin grafica de la obra

SeguirHola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy empezando en esto de las races, potencias y logaritmos.Te pido un ratito de tu tiempo para que conozcas a mis amigos a quienes les ped que me ayudaran en este modulo para que podamos aprender.

Bueno estos son mis amigos que nos ayudaran durante este modulo. Yo soy Inuyasha, genio en potencias, yo les ayudare con los difciles exponentesYo soy Miroku, el mejor en Races yo con mi sabidura y tus ganas de aprender lograre ensearles el mundo de las races. Seguir

Yo soy el ultimo de los amigos de ahome, soy el mas sabio de los 3 y les voy a ensear sobre los difciles logaritmos.Ahora que te presente a mis amigos podemos ir donde Inuyasha a ver que son las potenciasSeguir

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El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creacin al rey de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreci cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y as sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo. El rey se extrao por la modesta peticin del sbdito y mando a que se cumpliera su peticin. Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se poda cumplir con la peticin del inventor... - Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no haba suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo! El rey quedo atnito y no lo pudo creer, Seguir

Y como es posible esto?

SeguirBueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y as hasta el 64, este es un procedimiento muy lento si.Y que haramos para simplificar este procedimiento?Para sacar el valor tendramos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y as sucesivamente. Con potencias el primer numero quedara como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.

Seguirsea que tendramos que sumar 20+21+22+23..........hasta 263?Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2.x2 63 veces y ese numero me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que nos falta sumar todos los nmeros anteriores y como veras no es un numero para nada pequeo.

SeguirDefinicin de potenciaUna potencia es un numero que llamaremos a que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos nde esta forma: Al n se le llama exponente de la potencia Al a se le llama base de la potencia Las potencias sirven para expresar la multiplicacin de un dato que se repite una cierta cantidad de vecesa es el nmero en cuestin,n es la cantidad de veces que se multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=aaaa a (n veces)Bueno, entendieron lo que es realmente una potencia?Yo si, pero parece que mi amigo no muchoBueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atencin.

Aplicando la definicin tenemos:(-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8Calculemos el valor de -34Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresndola en forma de producto nos queda:-34 = -3 3 3 3 = -81SeguirAhora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3

SeguirSoluciones:-1616

Como conclusin se puede decir que cuando un trmino que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el trmino siempre ser el mismo que al inicio, en cambio elevado a un nmero par se lograr el signo contrario al inicial.Ahora resuelve t

Potencias con exponente 1Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:71=221=41=61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base ser igual a si misma si el exponente es 1.Seguir

Potencias con exponente -1es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2Ejercita:Soluciones:210/231/83/10

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Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:an am = an+mal revs cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:an+m = an am SeguirMultiplicacin de potencias de igual base

Ejercicio resueltoExpresemos en forma de potencias: aqu tenemos el producto del trmino (-1/2) cinco veces (el trmino se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los trminos, dejando solo un trmino. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadSeguir

Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1)a82)b113) 554)a3x+2ySeguirSi acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte.

Divisin de potencias de igual baseEn este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir:

an : am = an-mal revs cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:an-m = an : am Seguir

Ejercicio resuelto

SeguirEn el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedadSeguir

Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1)m102)x23) 2/54)m2Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Potencia con exponente 0Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos: 50=1-40=-1

Ejercita:

30=___ 3)-20=___(1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:1)1 3)-12)1 4)1Seguir

Potencia con exponente negativoEs la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.a-n=1/an ; a0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9Ejercitemos:1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___Soluciones:1)-1/4 3)92)1/4 4)16Seguir

Potencia de una potenciaAqu debemos elevar la base a la multiplicacin de los exponentes.(am)n = an mEn el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicndose se pueden distribuir.an m = (am)nSeguir

Ejercicio resueltoDesarrollemos (a2 :a6)2Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberamos poder llegar a un trmino.Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) (a4b8)/x122) 72a2b19c93) 3x3y2z4) a3/16Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Potencia de un productoElevamos el producto de las bases al exponente comn.an bn = (ab)n Por el contrario si tenemos 2 un parntesis elevado a un numero, los componentes del parntesis se pueden separar. (ab)n = an bn Seguir

Ejercicio resuelto

SeguirPrimero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) (2ax)32) [2q(a+b)]23) (ab)4p-14) 63Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Potencias de 10

100 = 1104 = 10000101 = 10105 = 100000102 = 100106 = 1000000103 = 1000107 = 10000000Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un nmero cualquiera:

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Notacin cientficaSe utiliza para expresar grandes cantidades en nmeros mas pequeos.Para poder expresar un numero como notacin cientfica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.Ej.:

La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3105 Km./sEl tamao de una clula: 0,000008 metros = 810-6 metrosSeguir

Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedadPrimero se tiene que dejar lo mas reducido el nmero que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero ser un digito ms.Si es decimal, o sea un nmero minsculo, el exponente es negativo y si el nmero es muy grande, es positivo el exponente. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

0,0000000065 3)0,00000000000121123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones: 1) 6,5 10-9 3) 1,21 10-122) 1,23 108 4)5,67 1011Seguir

Potencia con exponente fraccionarioEsta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fraccin y luego se hace la raz de esta, y cuyo ndice corresponde a el denominador de la fraccin.

Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raz la podemos transformar en potencia poniendo el ndice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formara

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Soluciones:

1)52)173)-14)10Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

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Ecuaciones exponencialesAqu se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuacinLo mas difcil de estas ecuaciones es igualar las basesUna ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes:

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Ejemplos:

a)32x-5=3x-3 2x-5=x-3x=2b)4x+3=82x+9b)(22)x+3=(23)2x+9x+3=2x+9 -4x=21x= -4/21SeguirEn el ejemplo b, se igualo para poder hacer la ecuacin, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como una ecuacin de primer grado.

Soluciones:1) x=7/2 3)x=-12) x=4 4) x=0/1= no solucin en los realesResuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar potenciasSeguir

Reforzamientos varios:Seguir

Problema de profundizacin:

Alfredo recibe una carta pidindole que participe en una cadena, envindole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. l, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibi. Si cada persona que recibe una carta de esta cadena procede como indicado, todos harn beneficios. dnde esta la trampa?Descbrelo a travs de tus conocimientos adquiridos.Seguir

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Racesndice de la raz Operante Cantidad subradical o radicando

Las races tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las races, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las races y viceversaPero con que trminos trabajaremos ahora en este capitulo de races, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto?Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los cuales son:Seguir

Propiedades de las racesRaz de una potencia con exponente igual al ndice.Si se tiene un ndice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fraccin de la siguiente forma:

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las races, veamos la primera:Al elevar a n la raz n-esima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el numero quedara el numero Seguir

Veamos unos ejemplos:

SeguirAplicando la propiedad, vemos que el ndice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, as se dice que se simplifico o elimino la raz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:Seguir

Raz de un producto:Ahora si se tiene una raz de 2 o ms trminos que se estn multiplicando, se pueden separar en otras dos races (las cuales tienen el mismo ndice que la primera raz) que se multipliquen, como se muestra a continuacin.As tambin podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos races de igual ndice que puede agrupar en una sola razSeguir

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raz en dos productos de races y resolvindolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:Seguir

Trabaja tu:Seguir

Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

De la raz de una fraccin o divisin se puede separar en 2 races pero que poseen el mismo ndice que la anterior y esas dos nuevas races se dividen ahora.

* Ahora se puede invierte la situacin donde se une el numerador con raz y el denominador con raz siempre y cuando tengan el mismo ndice, como se muestra a continuacin:* Pasemos a Raz de un cuociente:** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raz de un productoSeguir

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:Pero parta poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino tambin aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentesSeguir

Vamos te toca ahora

Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!Seguir

Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

*SeguirBueno aqu simplemente se multiplican los ndices y se deja al final una sola raz con ndice igual al producto de los ndices. Como se puede ver:Y que pasa ahora con Raz de una raz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, o no?:Seguir

SeguirSigue multiplicando tu los ndices y resuelve los siguiente:

Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Para esto se amplifica o simplifica tanto el ndice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo:SeguirPasemos a amplificacin y simplificacin del ndice de una raz:

Resolvamos estos ejercicios:* En el primer ejercicio hay que reducir la raz para resolver mas fcilmente, as queda como resultado 5 En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar races de distinto ndice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

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Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificacin y simplificacin de races.

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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Factor de una raz como factor: * En palabras simples es pasar un nmero que multiplique toda la raz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al ndice de la raz y ponerlo dentro multiplicndolo por los otros trminos dentro de ella, as se pueden aplicar otras operaciones como la suma de races de igual ndice.Se da de la siguiente forma:** Entonces se utiliza para simplificar una raz que pareciera ser no entera a un termino mas fcil de comprender y trabajar:Seguir

Vamos resolvamos:Seguir* Se puede ver dos posibilidades: simplificar una raz, dejndola mas simple O realizar una raz, juntando trminos, pero de esta forma queda una raz muy compleja.

Racionalizacin de denominadores: La idea es dejar los denominadores sin expresiones con races para poder trabajar mas fcilmente. Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo ndice, para as poder eliminarse con la raz, y en el denominador queda sin trminos con races.Seguir

En el caso de tener una sustraccin o adicin de races cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las races en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), as se eliminan las races en el denominador. Se presentan los siguiente casos de expresiones:

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Luego tenemos un caso complejo de races cbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cbicas:Hay otros tipos mas de nacionalizacin que son mucho mas especficos pero evoqumonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.Seguir

Cuando tenemos una adicin en trinomios se agrupan dos trminos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, as luego de resolver queda una suma por diferencia simple:SeguirLuego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y as se elimina trminos con races en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios: Seguir

solucionesAc tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

son aquellas en que la incgnita est como cantidad subradical, para poder resolvers necesitas elevar la ecuacin al ndice de la raz, para eliminarla: Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:Seguir

Practiquemos un poco

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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte. Seguir

Cotrol: veamos si aprendisteSeguir

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SeguirLa definicin de logaritmo es la siguiente:El logaritmo en base a de un nmero n, es otro nmero b, tal que cumple esta ecuacin: ab = n. Dicho matemticamente loga n = b ==> ab = n.No contines mientras no te grabes esta definicin en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca.Si lo comprendes puedes continuar. Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga n1 = b1). Entonces ab1 = n1.Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n2 sea b2 (loga n2 = b2). Entonces ab2 = n2.Supongamos que nos piden que calculemos el logartmo del producto n1.n2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda: loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b ab = ab1.ab2 = ab1+b2

Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logartmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.De igual manera se demostrara que el logartmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco ms de trabajo que el logartmo de una exponenciacin es igual al exponente por el logartmo de la base.Ya podemos responder a la pregunta de para qu sirven los logaritmos: Hace no muchos aos, no haba ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciacin) cuando los nmeros implicados eran grandes, era una tarea rdua (y casi seguro que se cometan errores). Con los logartmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciacin en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogartmo para obtener el numero real.Seguir

Vamos a hacer algunos ejercicios

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Ejercicios para resolver:

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Gratificaciones:Haz pasado todo el modulo, espero que te haya servido de mucho, ya que a mi si, consltalo cada vez que quieras repazar algn concepto o algn dato especifico.A continuacin estn los links y la bibliografa mas exhaustiva para tu comodidad, para poder profundizar mas aun los temas propuestos en este programa.

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Bibliografa:Libros:

- algebra arrayn. potencias pginas 295 a 307Races pginas 307 a 329 logaritmos pginas 329 a 353Mare nostrum primero medio Potencias pginas 26 a 35Mare nostrum tercero medioPotencias y races pginas 14 a 41Mare nostrum cuarto medio potencias, exponenciales, funciones pginas 10 a 38- Libro san mateo tercero medio matemtico 2005 potencias pginas 15 a 24 Races pginas 24 a 31Seguir

Recurso software e Internet

Encarta 2004 software definiciones.-www.areamatematica.clApuntes y talleres.-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htmlConsultas habladas a:Sra. Paola Cantarutti (ingeniera electrnica)Sr. lvaro Orellana (ingeniero civil electrnico)

Gracias a:Docente a cargo del proyecto, Orlando torre.Web master de la pagina del colegio, JC Palma.

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Fin!!!!!!