UNIVERSIDAD CSAR VALLEJO PIURA

Universidad Csar Vallejo Piura

Escuela de Administracin

Matemtica Financiera

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Curso de:

MATEMTICA FINANCIERA

Piura - 2013

1.- INTERES SIMPLE1.- INTERES SIMPLE

1.1.Definicin de IntersEl Inters (I) es el costo de utilizar recursos de terceros, generando una ganancia por un capital o suma de dinero prestado a un cierto tiempo y a una determinada tasa de inters.Donde: C: Capital o suma de dinero

i: Tasa de Inters

t: TiempoMuchas empresas para iniciar o mantenerse en el mercado tienen que financiar sus actividades, esto puede ser con capital o dinero propio o con deuda a acreedores. El costo del dinero puede establecerse por da, por semana, por mes, etc., se cobran intereses porque el dinero tiene un costo de oportunidad, entendindose por este lo que se deja de ganar al elegir un curso de accin alterno.

Por otro lado: Designando C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada cuyo valor aumenta a M en una fecha posterior, podremos asumir que:

1.2. Tasa de Inters ( i )La tasa de inters devengada o cargada es la razn del inters devengado al capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario la unidad de tiempo convenida es de un ao.Ejemplo: Jos Carlos obtiene un prstamo de Lus Enrique de $ 500 al final de un ao le paga $525. Cul es la tasa de inters?

En este caso , entonces ; Por tanto:

Es decir, el inters que carga Lus Enrique es a la tasa de 5%.

1.3. Calculo del Monto (M)El Monto o importe capitalizado constituye la suma del Capital Inicial e Intereses.

Por lo tanto: , pero como , entonces: , factorizando , obtendremos finalmente que:

Ejemplo: Determinar el Inters Simple sobre S/. 1500 al 4% durante ao. Cul ser el Monto?

Sabemos que: , por lo cual:

Pero si queremos hallar el monto en forma directa:

1.4. Tipos de Inters Simple:

Dos problemas tpicos del Inters Simple son:

(a) Hallar el Inters Simple sobre $2000 al 5% durante 50 das.

(b) Hallar el Inters Simple sobre $1500 al 6%, del 10 de Marzo de 2001 al 21 de Mayo del 2001.

Estos dos problemas se resuelven aplicando ( I ). Sin embargo, debido a las variaciones en la prctica comercial, pueden darse dos respuestas diferentes en el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. La diversidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar t .

1.4.1. Inters Simple Exacto:

El Inters Simple Exacto se calcula sobre la base de un ao de 365 das o 366 das cuando el ao es bisiesto.

1.4.2. Inters Simple Ordinario:

El Inters Simple Ordinario se calcula sobre la base de un ao de 360 das, lo cual simplifica algunos clculos, aunque aumenta el inters cobrado por el acreedor.

Ejemplo: Determinar el Inters Exacto y Ordinario sobre $2000, al 5%, durante 50 das.

Inters Simple Exacto: Utilizando un ao de 365 das, tenemos que

Inters Simple Ordinario: Utilizando un ao de 360 das, tenemos que

1.5. Formas de calcular el tiempo:1.5.1. Clculo Exacto: Es el nmero exacto de das, tal como se encuentra en el calendario. Se acostumbra contar una de las dos fechas dadas.1.5.2. Clculo Aproximado: Se hace suponiendo que cada mes tiene 30 das.Ejemplo: Calcular en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 10 de marzo y el 27 de mayo del ao 2003.Tiempo exacto: Se calcula de la siguiente manera

Del 10 de marzo al 31 de marzo = 22 das.

Del 1 de abril al 30 de abril = 30 das.

Del 1 de mayo al 27 de mayo = 26 das.

As todo ello har un total de: 22+30+26 = 78 das.

Tiempo Aproximado: Se puede calcular de la siguiente manera

Aos Meses Das

Fecha Final :2003 05 27

Fecha Inicial :2003 03 10

00 02 17

El total de das ser: 2 ( 30 ) + 17 = 77 das.1.6. Clculo del Valor Presente:El Valor Presente ( C ), de un importe con vencimiento en una fecha futura, es aquella cantidad que a una tasa dada alcanzara en un periodo de tiempo hasta la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro ( M ).

Factor de Simple de Actualizacin a Inters Simple :

Se debe tener en cuenta que la tasa de inters y el tiempo deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo.

Ejemplo: Encontrar el capital que impuesto a una tasa de inters simple mensual del 3% durante 87 das, ha producido un monto de S/. 500.

P= ?

i = 0.03

t= 87/30

M= S/. 500

1.7. Ecuaciones de Valor:La Ecuacin de Valor consiste en igualar o comparar en una fecha llamada Fecha Focal la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de obligaciones. Si dichos importes coinciden en el tiempo y estn expresados en una misma unidad monetaria, entonces en ese punto del tiempo podrn sumarse o restarse.

En el Inters Simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento.Ejemplo: En la fecha, Jos Carlos debe $1000 por un prstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a aos a la tasa de 4% y debe, adems $2500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago nico dentro de un ao. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focal dentro de un ao, determinar el pago nico mencionado.

Ejemplo: El seor Silva tom en prstamo S/.5000 para devolverlos dentro de 180 das pagando una tasa de inters simple mensual del 2.5%. Si durante dicho periodo paga S/.2000 el da 35 y S/.1000 el da 98, Cunto deber pagar el da 180 para cancelar su deuda, tomando como fecha focal el da 180?

Ejemplo: Se tienen dos deudas, una de S/. 45000 a pagar dentro de un ao, y otra de S/. 85000 a pagar dentro de cuatro aos. Se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de S/. 10000 ahora mismo y otro pago x al final del primer ao. De cuanto ser el pago x si se considera una tasa del 5% de inters simple trimestral? Considerar como fecha focal el final del ao 1.

,

Ejercicios Propuestos

1. Calcular el inters simple de S/. 4000 colocados durante 6 das al 36% anual. Rpta: S/. 242. Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero del 2008 y el 15 de mayo del 2008. Rpta: 110 das, 111 das.

3. En qu tiempo podr quintuplicarse un capital colocado a inters simple percibiendo una tasa trimestral del 15%?. Rpta: 26.66 trimestres, 80 meses.

4. Demostrar que el inters simple exacto es igual al inters simple ordinario disminuido 1/73 de si mismo.

5. Cunto habr ganado un capital de S/. 10000 en 1 ao, 2 meses, y 26 das al 24% anual de inters simple?. Rpta: S/. 2973.336. Si deseo ganar un inters simple de S/. 3000 en el periodo comprendido entre el 4 de abril y 31 de mayo, Qu capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 2%?. Rpta: S/. 78947.377. Alberto compro un radio en $ 79.95. Dio un anticipo de $ 19.95 y acord pagar el resto en 3 meses, ms un cargo adicional de $ 2. Qu tasa de inters simple pago?. Rpta:

8. Un capital de S/. 12000 ha producido S/. 541.68 de inters simple al 12.5% anual. Determinar el tiempo de la operacin. Rpta: 130 das.

9. Cual ser el capital que habr producido un inters simple de S/. 800 en 7 trimestres al 26% anual?. Rpta: S/. 1758.2410. El Sr. Portugal presta el 14 de Julio del 2003 $ 3500 con vencimiento a cinco meses al 40% de inters simple anual. Tambin presta, cuatro meses despus otros $ 2000 al 54% de inters anual y con vencimiento a tres meses. Qu cantidad recibida por el Sr. Portugal el 30 de Octubre del 2003 liquidara esos prestamos?.Considere una tasa de inters simple del 55%. Rpta: $ 5771.7111. El Banco Piurano hace un prstamo Mi Vivienda de $ 6500 con inters simple del 7% semestral y pide que sea devuelto en 4 pagos. El primero de $ 1500 al final del primer ao, el segundo de $ 2500 al final del ao 2, el tercero de $ 1500 al final del tercer ao y el saldo al final del cuarto ao.A cuanto ascender este pago?(Tomar como fecha focal el da de hoy). Rpta: $ 3392.6

12. Con la siguiente informacin y considerando tiempo exacto, determinar el valor al vencimiento de los siguientes pagares:

a) C=S/. 3600 con fecha 4 de julio, i=1.40% mensual, con vencimiento el 8 de octubre d ese mismo ao. Rpta: S/. 3761.28b) C=S/. 1800 con fecha 12 de marzo, i=2.63% trimestral, con vencimiento el 5 de mayo de ese mismo ao. Rpta: S/. 1828.413. El 20/08/03 su mejor amigo le pide prestado cierta cantidad de dinero, prometiendo pagarle S/. 13200 el da 17/12/03 a una tasa de inters del 60% anual.Que cantidad le pidi prestada?. Rpta: 11015.2914. El Sr. Sandoval tiene los siguientes certificados de depsitos en un banco:

1200 con vencimientos en un mes a una tasa simple anual de 5%

4350 con vencimiento en 7 meses con inters simple anual de 6%

7000 con vencimiento en 10 meses con un inters simple anual de 5.5%

Determinar el valor de total de los certificados, suponiendo un inters simple anual de 4% y tomando como fecha focal el da de hoy. Rpta: S/.1268415. El seor lvarez debe $ 450 con vencimiento dentro de 4 meses y $ 600 con vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago nico inmediato, Cul ser el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5%?. Utilizar como fecha focal el da de hoy. Rpta: $ 1027.9916. Una persona debe $ 500 con vencimiento n 3 meses e intereses al 5% y $ 1500 con vencimiento en 9 meses al 4%. Cul ser el importe del pago nico que tendr que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento del 6%?. Tomar como fecha focal la fecha, (a) al final de 6 meses, y (b) al final de 9 meses. Rpta: (a) $ 2036.01, (b) $ 2035.9017. El Sr. Mauricio adquiere el da de hoy una camioneta valorizada en S/. 15000 pagando una cuota inicial de S/. 5000 al final del segundo mes. El financiamiento esta sujeto a un inters anual simple de 6%. Si paga S/. 3000 cuatro meses despus de la compra y S/. 1500 seis meses despus del ultimo pago Cul ser el importe del pago que tendr que hacer un ao despus de la compra para liquidar totalmente el saldo?. Tomar como fecha focal el comienzo del sptimo mes. Rpta: S/. 6024.8918. El seor Garca adquiere un terreno de $ 5000 mediante un pago de contado de $ 500. Conviene en pagar el 6% de inters sobre el resto. Si paga $ 2000 tres meses despus de la compra y $ 1500 seis meses mas tarde, Cul ser el importe del pago que tendr que hacer 1 ao despus para liquidar totalmente el saldo?. Tomar como fecha focal la fecha final de 1 ao. Rpta: $ 1157.502. INTERES COMPUESTO2.1 Introduccin

El Inters compuesto es el proceso mediante el cual el inters generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo inters en la siguiente unidad de tiempo y as sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geomtrico.Ejemplo: Hallar el inters compuesto sobre $1000 por 3 aos si el inters de 5% es convertible anualmente en capital.

El capital original es de $1000.El inters por un ao es 1000(0,05)=$50.

El capital al final del primer ao es: 1000+50=$1050.

El inters sobre el nuevo capital por un ao es: 1050(0,05)=$52,50.El capital al final del segundo ao es: 1050+52,50=$1102,50.El inters sobre el nuevo capital por un ao es: 1102,50(0,05)=$55,12.

El capital al final del tercer ao es: 1102.50+55,12=$1157,62.

El inters compuesto es: 1157,62-1000=$157,62.

Para el clculo del inters compuesto es necesario tener en consideracin:

a) La tasa nominal anual (j).

b) La tasa efectiva del periodo capitalizable (i).

c) El nmero de das del periodo capitalizable (f).

d) El numero de periodos de capitalizacin en el ao (m), el cual se halla dividiendo el nmero de das del ao bancario por f.

e) El horizonte de tiempo (H): nmero de das de la operacin.

f) El numero de periodos de capitalizacin en el horizonte temporal (n).

2.2 Deduccin de la frmulaRealizando el ejemplo anterior en forma abstracta podremos generalizar la frmula para un numero de periodos n de capitalizacin. Es decir:

El capital original es : C

El inters por un periodo de tiempo es : I1=C.i

El capital al final del primer periodo de tiempo es: C1=C+C.i=C(1+i)El inters sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I2=C(1+i).iEl capital al final del segundo periodo de tiempo es: C2=C(1+i)+C(1+i).i=C(1+i)2El inters sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I3=C(1+i)2.iEl capital al final del tercer periodo de tiempo es: C3=C(1+i)2+C(1+i)2.i=C(1+i)3.

Generalizando para un nmero de periodos n de capitalizacin obtendramos la siguiente frmula:

o

Para una capitalizacinPara una actualizacinDonde:S= Monto Acumulado o Valor Futuro al final del ensimo periodo

C= Capital Inicial o Valor Actual

i= Tasa de inters efectiva por periodo

n= Numero de periodos

Aplicando la frmula del ejemplo anterior obtendremos:

Ejemplo: Cunto debo depositar hoy da para que dentro de 5 aos reciba la suma de S/. 10000 si suponemos que la Caja Municipal paga una tasa de inters anual del 16%?

C=?S= S/.10000

i= 0,16

n= 5

2.3 Tasas de Inters: Nominal, Efectiva, Tasa efectiva anual, y Tasas equivalentes2.3.1. Tasa de Inters Nominal

Cuando una tasa es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o ms veces, recibe el nombre de tasa nominal.Hay que precisar que la tasa nominal siempre es anual, y adems es una tasa referencial que como tal puede ser engaosa.

Toda tasa de inters que sea compuesta, capitalizable o convertible, estar haciendo referencia a la tasa nominal que simblicamente se representa por la letra j.

Ejemplo:

j= 17% capitalizable bimestralmente

j= 12% capitalizable trimestralmente

2.3.2. Tasa de Inters Efectiva

Es la que realmente acta sobre el capital de una operacin financiera y refleja el nmero de capitalizaciones que se experimentan durante un plazo determinado.Se obtiene de dividir de una tasa nominal anual j, capitalizable m veces al ao.m es el nmero de veces que dividimos una tasa nominal en un ao.

Ejemplo: Si la tasa de inters es del 18% capitalizable mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual se puede hallar fcilmente dividiendo j/m; es decir: i = 18%/12 = 1,5% mensual.Ejemplo: Se pide prestado $100, capitalizado trimestralmente. La tasa nominal anual es del 8% y la tasa efectiva esta expresada por los intereses que corresponden al prstamo.

C = $100

J = 8% capitalizable trimestralmente

t = 1 ao; es decir n = 4

2.3.3. Tasas Equivalentes

Son aquellas que en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Mejor dicho dos tasas con diferentes periodos de capitalizacin, son equivalentes, si producen el mismo valor actual o futuro, en cualquier periodo.El procedimiento utilizado es el siguiente:

Como se comparan dos montos (S) cuyo capital es el mismo, la ecuacin se simplifica a lo siguiente:

i = tasa efectiva dada o conocida

n = nmero de periodos o capitalizaciones en un ao correspondientes a la tasa efectiva dada.

iequiv = tasa efectiva equivalente que se desea conocer.n1 = nmero de periodos de capitalizaciones en un ao correspondientes a

la tasa de inters que se desea conocer.

Ejemplo: El Banco Contimundo cobra por los prstamos personales una tasa efectiva mensual del 1,5%. Se desea calcular la tasa efectiva trimestral que tendr que cobrar el banco para no afectar a su rentabilidad.

i = 1,5%

n = 12 (meses)

iequiv = ?

n1 = 4

Ejemplo: A qu tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una tasa efectiva mensual del 1,5%?

j = ?

i = 1,5% mensual

n = 12

m = 12

EJERCICIOS

1. A qu tasa efectiva semestral equivale una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente?

2. A qu tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa del 30% efectiva trimestral?

3. A qu tasa efectiva anual equivale una tasa efectiva mensual del 1%?

4. A qu tasa efectiva trimestral equivale una tasa efectiva anual de 46,41%?

5. A qu tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva anual del 46.41%?

6. El Seor Pelayo ha solicitado un crdito de S/. 100 por el que se compromete a devolver S/. 150 luego de un ao?

a) Se pide hallar el costo anual del crdito(ie: TEA)

b) Se pide hallar la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente a una TEA del 50%

7. Qu alternativa de crdito es ms conveniente para usted?

a) Un prstamo de S/. 100 con la condicin de devolver S/. 127 luego de 8 meses.

b) Un prstamo de S/. 100 con la condicin de devolver S/. 123 luego de 6 meses.

8. La compaa TH debe pagar al Banco Pacifico dos deudas de S/. 6000 y S/. 8000 respectivamente, la primera con vencimiento a 30 das y la segunda con vencimiento a 60 das. La Gerencia Financiera de TH, analizando su flujo de caja proyectado, conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el Banco Pacifico se difieren ambos pagos para el dia 120, a una tasa efectiva mensual del 4%. Qu importe deber pagar TH el da 120?

9. La empresa ROBALCA tiene en un bando una deuda de S/. 10000(incluyendo intereses)que vence dentro de 48 das por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%. Adems tiene otra deuda de S/. 15000(incluyendo intereses) por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4% y vence dentro de 63 das. La empresa propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagare con valor nominal de S/. 24781.46 el mismo que vencer dentro de 90 das contados a partir del da de hoy. Qu tasa efectiva mensual est cobrando el banco?

10. Una inversin efectuada en el Mercado de Capitales produjo un inters de 3750 luego de 90 das. En ese lapso de tiempo la rentabilidad acumulada fue del 8%. Cul fue el importe original de la inversin?

11. La utilidad de un paquete de unos ttulos valores adquiridos en la Mesa de Negociaciones hace 45 das fue de S/. 800. La tasa efectiva acumulada en 60 das por dichos ttulos valores de dicha empresa fue del 3%. Cul fue el precio de adquisicin de dichos ttulos?

12. Hoy da la compaa PRESTO se dispone a pagar una deuda de S/. 10000 vencida hace cinco meses y otra de S/. 8000 que vencer dentro de tres meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva mensual del 2% y las deudas vigentes generan una tasa efectiva mensual del 1.5%. Qu importe deber cancelar la empresa?13. En el ao 2000, Manuel tiene deudas con el banco INTERCLAN cuyas fechas de vencimiento y montos son las siguientes: el 26/05 , S/. 4000; el 18/06, 5000; el 11/07, S/. 2000; y el 30/08 S/. 3000. El 26/05 Manuel paga al Banco INTERCLAN su deuda de S/. 4000 y le propone sustituir las tres deudas pendientes por un nuevo crdito a pagar por un importe de S/. 12000. Considerando una tasa efectiva mensual del 2% y que el banco acepte la propuesta el mismo 26/05. En qu fecha vencera el nuevo crdito?. Considere tiempo aproximado.3.- ANUALIDADESUna anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalizacin sobre el tema, no siempre son perodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:

1. Pagos mensuales por renta

2. Cobro quincenal o semanal por sueldo

3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un prstamo.

4. Pagos anuales de primas de plizas de seguro de vida, etc.

Flujo de una anualidad

No es una AnualidadEl flujo no es una anualidad porque al 4to ao se interrumpen para reiniciarse al 5to.

Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso de clculo del valor actual y del valor futuro de un flujo de dinero se simplifica enormemente.

Las anualidades son:Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectan al principio de cada periodo.

Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un perodo el VA o VF las pospagables multiplicndolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas frmulas del VA o VF de las anualidades pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i).

3.1. Valor actual de una anualidadEl valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede calcularse a travs de la siguiente ecuacin:

, con esta frmula obtenemos:

Donde:

VA = Valor actual de la anualidad

C = Pago de una anualidad

i = Inters o tasa de descuento

En las frmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de inters no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razn en el presente libro, para obtener la tasa de inters utilizamos la funcin TASA cuando operamos con flujos uniformes y la funcin TIR cuando operamos con flujos variables.

Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada perodo, es posible hacer una formulacin que nos de el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el clculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de clculo son las Anualidades. Ejemplo:

Si usamos el mtodo de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por perodo tendramos los valores indicados en el cuadro y despus lo comparamos con el mtodo abreviado a travs de la frmula y la funcin VA:

Aplicando la frmula [18] o la funcin VA:

Como podemos observar, con los tres mtodos obtenemos resultados iguales.

EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad pospagable)Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco aos vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, cul es el VA de la anualidad?

Solucin:C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?

Aplicando la frmula (18) o la funcin VA, tenemos:

Respuesta:El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.

EJERCICIO (La mejor eleccin)Usted gana la lotera. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotera le proponen lo siguiente: cobrar hoy UM 500,000 UM 3,000 mensuales durante los prximos 25 aos. Qu elige Ud.?

Solucin:VA = 500,000; i = ?

En este caso, primero determinamos la tasa de inters, que nos permita descontar las cuotas mensuales y compararlo con los UM 500,000 que recibiramos el da de hoy. El dinero hoy vale ms que en el futuro. Asumamos una inflacin del 6% anual proyectada para los prximos 25 aos. (i = 0.06/12 = 0.005)

i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA = ?

Aplicamos la frmula [18] o la funcin VA:

Respuesta:El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000 descontadas a la tasa de inflacin del 6% anual es UM 465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraramos hoy, en consecuencia, nuestra decisin ser cobrar la loteras hoy.

EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad prepagable)El dueo de una MYPE contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al inicio de cada ao, con una tasa de inters de 45.60% anual. Calcular el valor actual de esta obligacin.

Solucin:C = 26,913; n = 5; i = 0.456 ; VA = ?

Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en la frmula (18) y la funcin VA multiplicamos el resultado de la frmula por (1 + i) y la funcin a operamos con tipo = 1:

Respuesta:El valor actual prepagable de sta operacin es UM 72,800, considera el pago anticipado de cada cuota anual.

EJERCICIO (Calculando el incremento anual)En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la misma carta cuesta UM 70. Que incremento anual en el franqueo de una carta experiment durante este tiempo?

Solucin (n = 2003 - 1978)

C = 10; VA = 70; n = (2003 - 1978) = 25; i = ?

Aplicando la funcin TASA obtenemos:

Respuesta:

El incremento anual es 13.71%

EJERCICIO (Calculando la tasa de inters de una anualidad)Una inversin de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM 45,000 durante 5 aos. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.

Solucin:

VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?

Respuesta:

La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41%3.2. Valor Futuro de una anualidadAl tratar el clculo de las anualidades, determinbamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. Tambin es posible emplear esta misma formulacin y plantear por ejemplo, cunto tendr ahorrado en un momento futuro si depositara una determinada cantidad igual perodo a perodo, dada una cierta tasa de inters por perodo. Es decir, lo que estamos haciendo es constituir un fondo.

Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como monto futuro, es una expresin que responda al siguiente perfil financiero:

Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igual monto hasta el perodo n-1 y con la misma tasa de inters por cada perodo.

La frmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:

El valor, depende slo de las variables tasa de inters i, igual para cada perodo y el valor correspondiente al nmero de periodos n, para flujos realizados a comienzo de cada uno de ellos.

Las anualidades tienen la caracterstica que siendo un pago constante en el caso de amortizar una deuda los intereses pagados en los primeros periodos son mayores, destinndose el excedente al pago de amortizacin de capital, el cual aumenta gradualmente, el inters posterior deber calcularse sobre un menor monto de capital por la disminucin o amortizacin de ste.

EJERCICIO (Calculando el VF y el plazo de un ahorro)Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa de inters del 1.8% mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando dentro de 10 meses. Calcular por cunto tiempo podr realizar retiros completos?

Solucin:

VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n = ?

1 Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses:

[11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559

2 Calculamos el tiempo durante el cual podr hacer retiros por UM 390 cada uno:

Respuesta:

A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7 meses.

3.3. Anualidades PerpetuasPor definicin significa duracin sin fin. Duracin muy larga o incesante.A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depsitos o flujo peridico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando algunas modificaciones podramos derivar las perpetuidades. La caracterstica de una perpetuidad es que el nmero de periodos es grande, de forma que el valor de los ltimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos trminos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente frmula:

Las perpetuidades permiten clculos rpidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, C es el rendimiento peridico e i la tasa de inters relevante para cada perodo. Ejemplos de perpetuidades son tambin las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de inters aproximamos el valor de la inversin (C).

Por lo general, la tasa de inters es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deber establecerse la tasa de inters equivalente (Ver definicin y frmula en el numeral 10, de este captulo) para este perodo de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias.

EJERCICIO (Perpetuidad)Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 aos, es requisito fundamental -entre otros- depositar el da de hoy una suma de dinero en una institucin financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institucin disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. Cunto debo depositar el da de hoy?.

Solucin:C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?

Respuesta:Debo depositar el da de hoy UM 166,6667. Mensualmente el dinero gana UM 2,500 de inters. Este inters constituye la beca.4.- AMORTIZACIONESEn trminos generales, amortizacin es cualquier modalidad de pago o extincin de una deuda. Aqu haremos referencia a la ms comn de estas modalidades. La extincin de una deuda mediante un conjunto de pagos de igual valor en intervalos regulares de tiempo. En otras palabras, este mtodo de extinguir una deuda tiene la misma naturaleza financiera que las anualidades. Los problemas de amortizacin de deudas representan la aplicacin prctica del concepto de anualidad.

4.1. Tabla de amortizacinLa tabla de amortizacin es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extincin de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortizacin (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de inters y nmero de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este ltimo del saldo de la deuda en el perodo anterior, repitindose esta mecnica hasta el ltimo perodo de pago. Si los clculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminucin del principal. En el ltimo perodo, el principal de la deuda deber ser cero.

Estructura general de una tabla de amortizacin:

EJERCICIO (Calculando la cuota uniforme)La mejora de un proceso productivo requiere una inversin de UM 56,000 dentro de dos aos. Qu ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete aos, con el primer abono al final del ao en curso, si contempla una tasa de inters del 12% anual?

Solucin: VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA = ?;

1 Calculamos el VA de la inversin dentro de 2 aos, aplicando indistintamente la frmula (12) o la funcin VA:

2 Luego determinamos la cuota peridica ahorrada a partir de hoy, aplicando la frmula (19) o la funcin pago:

VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C = ?

Respuesta:

Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07

EJERCICIO (Prstamo de Fondo de Asociacin de Trabajadores)Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociacin tiene un fondo de prstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los crditos sern al 9% anual y hasta 36 cuotas. La cantidad de los prstamos depende de la cuota.

a) Si el prstamo es de UM 3,000 cules sern las cuotas?

b) Si sus cuotas son UM 120 cul sera el valor del prstamo?

Solucin (a)VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = 0.0075; C = ?

Para el clculo de la cuota aplicamos indistintamente la frmula (19) o la funcin PAGO:

Solucin (b)C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =?

Para el clculo de la cuota aplicamos indistintamente la frmula (18) o la funcin VA:

Respuesta:

(a) Las cuotas sern UM 95.40 y (b) Valor del prstamo UM 3,773.624.2. Sistema de Amortizacin FrancsCaracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del prstamo. Tambin asume que el tipo de inters es nico durante toda la operacin.

El objetivo es analizar no slo el valor de las cuotas, sino su composicin, que vara de un perodo a otro. Cada cuota est compuesta por una parte de capital y otra de inters. En este sistema, el valor total de la cuota permanece constante y el inters disminuye a medida que decrece el principal. Son tiles las funciones financieras de Excel para el clculo. El inters aplicado es al rebatir, vale decir sobre los saldos existentes de la deuda en un perodo. Muy utilizado por los bancos y tiendas que venden al crdito.EJERCICIO (Calculando la cuota mensual de un prstamo)Lilian toma un prstamo bancario por UM 3,000 para su liquidacin en 6 cuotas mensuales con una tasa de inters del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabora la tabla de amortizacin.

Solucin:VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ?

1 Calculamos la cuota a pagar mensualmente:

2 Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del prstamo:

SALDO INICIAL = SALDO FINAL

INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES

PAGO = FORMULA [19] O BUSCAR OBJETIVO

AMORTIZ. = PAGO - INTERES

SALDO FINAL = SALDO INICIAL AMORTIZACIONRespuesta:La cuota mensual a pagar por el prstamo es UM 581.64, contiene la amortizacin del principal y el inters mensual.

4.3. Sistema de Amortizacin AlemnCada cuota est compuesta por una parte de capital y otra de inters. En este sistema, el valor total de la cuota disminuye con el tiempo, el componente de capital es constante, el inters decrece.

No es posible utilizar las funciones financieras de Excel para su clculo. Con este mtodo son de mucha utilidad las tablas de amortizacin.

EJERCICIO (Prstamo con amortizacin constante)Una persona toma un prstamo de UM 4,000 para su liquidacin en 24 amortizaciones mensuales iguales, con una tasa de inters del 3.85% mensual. Calcular el valor de cada cuota y elabore el cronograma de pagos.

Solucin: VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C = ?

Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:

INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES

AMORTIZ. = PRESTAMO / N DE CUOTAS

PAGO = INTERES + AMORTIZACION

SALDO FINAL = SALDO INICIAL - AMORTIZACIONCASO: PREPAGO DE UNA DEUDA

Supongamos que el Sr. Silva solicita un prstamo por $ 20000, para ser cancelado en 1 ao y medio en pagos mensuales iguales, acordando pagar una TEA del 24%. Si el cliente al cancelar la sptima cuota realiza un prepago de $ 1500. A cunto ascender el importe de las nuevas cuotas a pagar si lo que desea es reducir nicamente el importe de las cuotas restantes a pagar y no el plazo para cancelar el prstamo? Considere que mensualmente se paga $ 2.50 por concepto de portes.

CASO: REFINANCIAMIENTO DE UNA DEUDA

Supongamos que la empresa SUCOY solicita un prstamo, para la adquisicin de activos fijos, por $ 80000 para ser cancelados en 12 mensualidades iguales pactndose una TEA del 16%. Suponer que luego de haber cancelado 4 cuotas, la empresa solicita un refinanciamiento de su deuda vigente, aceptndose darle un plazo ampliatorio de 18 meses para pagar las nuevas cuotas y mantenindose la misma tasa de inters

EJERCICIO DE APLICACIN

Aplicando la suma de dgitos, prepare la tabla de reembolso de un prstamo de S/. 10000 otorgado para ser reembolsado en 6 cuotas trimestrales vencidas. Utilice una TET del 5%.5.- DEPRECIACIONDefinicin:La depreciacin es la disminucin del valor de propiedad de un activo fijo, producido por el paso del tiempo, desgaste por uso, el desuso, insuficiencia tcnica, obsolescencia u otros factores de carcter operativo, tecnolgico, tributario, etc.

CAUSAS DE LA DEPRECIACION:a)El desgaste: que lo sufren los bienes por el solo transcurso del tiempo al ser utilizados normalmente.

b)El agotamiento: que se produce en el caso de activos materiales adquiridos para ser sometidos a actividades extractivas (canteras, minas, pozos petrolferos, etc.)

MTODOS DE DEPRECIACINSe han desarrollado varios mtodos para estimar el gasto por depreciacin de los activos fijos tangibles. Los cuatro mtodos de depreciacin ms utilizados son:

El de la lnea recta.

El de unidades producidas.

El de la suma de los dgitos de los aos.

Mtodo de la reduccin de saldos.

La depreciacin de un ao vara de acuerdo con el mtodo seleccionado pero la depreciacin total a lo largo de la vida til del activo no puede ir ms all del valor de recuperacin. Algunos mtodos de depreciacin dan como resultado un gasto mayor en los primeros aos de vida del activo, lo cual repercute en las utilidades netas del periodo. Por tanto, el contador debe evaluar con cuidado todos los factores, antes de seleccionar un mtodo para depreciar los activos fijos.MTODO DE LA LNEA RECTAEs el mtodo ms sencillo y el mas comnmente usado, se basa en el supuesto que la depreciacin es una funcin del tiempo y no del uso.De este modo se supone que los servicios potenciales del activo fijo declinan en igual cuanta en cada ejercicio, y que el costo de los servicios es el mismo, independientemente del grado de utilizacin.

FORMULA:

EJEMPLO:Supongamos un vehculo cuyo valor es de $30.000.000 y una vida til de 5 aos y no tiene valor de salvamento.

AoCuota depreciacinDepreciacin acumuladaValor neto en libros

16,000,000.006,000,000.0024,000,000.00

26,000,000.0012,000,000.0018,000,000.00

36,000,000.0018,000,000.0012,000,000.00

46,000,000.0024,000,000.006,000,000.00

56,000,000.0030,000,000.00-

Aplicamos la formula:

Se tiene entonces (30.000.000 /5) = 6.000.000.

MTODO DE LAS UNIDADES PRODUCIDASEl mtodo de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el nmero total de unidades que se usarn, o las unidades que puede producir el activo, o el nmero de horas que trabajar el activo, o el nmero de kilmetros que recorrer de acuerdo con la frmula.

EJEMPLO:Ejemplo: Se tiene una mquina valuada en $10.000.000 que puede producir en toda su vida til 20.000 unidades.

Entonces, 10.000.000/20.000 = 500 (DEPRECIACION POR UNIDAD)AoUnidades producidasDepreciacin por unidadCuota depreciacinDepreciacin acumuladaValor neto en libros

12,000.005001,000,000.001,000,000.009,000,000.00

22,500.005001,250,000.002,250,000.007,750,000.00

32,000.005001,000,000.003,250,000.006,750,000.00

42,200.005001,100,000.004,350,000.005,650,000.00

51,500.00500750,000.005,100,000.004,900,000.00

61,800.00500900,000.006,000,000.004,000,000.00

72,000.005001,000,000.007,000,000.003,000,000.00

82,000.005001,000,000.008,000,000.002,000,000.00

92,400.005001,200,000.009,200,000.00800,000.00

101,600.00500800,000.0010,000,000.00-

MTODO EL DE LA SUMA DE LOS DGITOS DE LOS AOSA) Mtodo de depreciacin decreciente:Este mtodo determina cuotas de depreciacin con disminucin progresiva hacia los ltimos aos de la vida til.

FORMULA: (Vida til/suma dgitos)*Valor activo

EJEMPLO:Supongamos un vehculo cuyo valor es de $30.000.000. y una vida til de 5 aos.

SUMA DE DIGITOS: 1+2+3+4+5=15

Invertimos el orden de los sumandos y formaremos fracciones sucesivas decrecientes, luego: 5/15 = 0,333 ; 4/15 = 0,266

Y as sucesivamente. Todo lo que hay que hacer es dividir la vida til restante entre la suma de dgitos.AoFactorPorcentajeValor activoCuota depreciacinDepreciacin acumuladaValor neto en libros

10,33333,3%30.000.000,0010.000.000,0010.000.000,0020.000.000,00

20,26726,7%30.000.000,008.000.000,0018.000.000,0012.000.000,00

30,20020,0%30.000.000,006.000.000,0024.000.000,006.000.000,00

40,13313,3%30.000.000,004.000.000,0028.000.000,002.000.000,00

50,0676,7%30.000.000,002.000.000,0030.000.000,00-

B) Mtodo de depreciacin creciente:Este mtodo determina cuotas de depreciacin con aumento progresivo hacia los ltimos aos de la vida til. En este el orden de los dgitos no se invierte, sino que los factores variables de depreciacin peridica se obtienen en el mismo orden al de los perodos a depreciar.

Del ejemplo anterior: Siguiendo el mismo orden en que hemos colocado los sumandos formaremos fracciones sucesivas crecientes, tomando como comn denominador la suma de los mismos.

1/15 ; 2/15 ; 3/15 ; 4/15 ; 5/15AoFactorPorcentajeValor activoCuota depreciacinDepreciacin acumuladaValor neto en libros

10,0676,7%30.000.000,002.000.000,002.000.000,0028.000.000,00

20,13313,3%30.000.000,004.000.000,006.000.000,0024.000.000,00

30,20020,0%30.000.000,006.000.000,0012.000.000,0018.000.000,00

40,26726,7%30.000.000,008.000.000,0020.000.000,0010.000.000,00

50,33333,3%30.000.000,0010.000.000,0030.000.000,00-

MTODO DE LA REDUCCION DE SALDOSEste es otro mtodo que permite la depreciacin acelerada. Para su implementacin, exige necesariamente la utilizacin de un valor de salvamento, de lo contrario en el primer ao se depreciara el 100% del activo, por lo perdera validez este mtodo.

FORMULA:Tasa de depreciacin = 1- (Valor de salvamento/Valor activo)1/n

Continuando con el ejemplo del vehculo (suponiendo un valor de salvamento del 10% del valor del vehculo) tendremos:

(3.000.000/30.000.000)1/5 = 0,36904 = 36.9%

AoTasa depreciacinValor sin depreciarCuota depreciacinDepreciacin acumuladaValor neto en libros

136.9%30,000,000.0011,071,279.6711,071,279.6718,928,720.33

236.9%18,928,720.336,985,505.2218,056,784.8811,943,215.12

336.9%11,943,215.124,407,555.8222,464,340.717,535,659.29

436.9%7,535,659.292,780,979.7225,245,320.424,754,679.58

536.9%4,754,679.581,754,679.5827,000,000.003,000,000.00

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO PIURA

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

Escuela de Administracin

Programa de Experiencia Laboral

Docente:

Lic.

Fernando Abad LLacsahuanga

I = C . i . t

I = M - C

INTERES

MONTO

(Capital Final)

CAPITAL

INICIAL

CAPITAL

INICIAL

M=C ( 1+i.t )

M

C

i , t

C=M ( 1+i.t )-1= M

(1+i.t)

M

C

i , t

EMBED Equation.DSMT4

6 Meses

Fecha Focal

$2500

$1060

3 Meses

$2000

12 Meses

9

60

0

X

12 Meses

$5000

0

35 das

180 das

98 das

S/.1000

S/.2000

X

S/.85000

S/.45000

1

4 aos

3

2

0

XC

S/.10000

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

capitalizable mensualmente

EMBED Equation.3

Lic. Fernando Abad Llacsahuanga Pgina 25

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