MODULO 4 (TRIGONOMETRIA)

Objetivo: Al terminar este modulo el estudiante estará en capacidad de identificar y

operar los conceptos de:

• Sistemas de medición de ángulos

• Relaciones trigonométricas y sus gráficas

• Identidades y ecuaciones trigonométricas

• Solución de triángulos y aplicaciones.

LECCION 1 (Introducción , Sistemas de Medición de A ngulos)

TRIGONOMETRÍA. Proviene del griego TRIGONOS (triángulo) y METRÍA (medida).

Etimológicamente, significa medida de triángulos. Es una parte de las Matemáticas que

estudia las relaciones métricas de los elementos de un triángulo (lados y ángulos). Las

dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa

de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de

triángulos que forman parte de la superficie de una esfera (en este curso no se tratara

esta parte).

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la

navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar

una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia

que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se

pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre

todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente

alterna.

Trigonometría plana (Angulos)

El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría.

Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras

1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su

posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira

en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de

las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de

igual magnitud y en la misma dirección.

Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de

circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con

vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.

Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = C4

1, de

manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = C2

1,

de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad

angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = r, de

manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un

radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que

1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = π ( radianes)

Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide

en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte

decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan

con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de segundos es ". Las

medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por

tanto,

Que se obtiene de la regla de tres

"`º

º

14.422861

180

←←←←←←→→→→→→

x

π

Se sobreentiende que el último valor es en radianes.

Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta Θ . Si el

ángulo Θ está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula Θ×= rs para

calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces

Por ejemplo : Calcular la longitud de arco , en una circunferencia que tiene por radio r=

10cm para un angulo de º60

Si aplicamos la formula :

cmcm

S 47.10180

6010º

º

=××= π

UNIDADES SECUNDARIAS .

a) Sistema sexagesimal. Grado sexagesimal = 90

1 ángulos rectos.

Divisores del grado sexagesimal: - Minuto. 1º = 60' - Segundo. 1' = 60'', 1º = 3.600''

b) Sistema centesimal. Grado centesimal = 100

1 ángulos rectos.

Divisores del grado centesimal: - Minuto. 1g = 100m - Segundo. 1m = 100s, 1g =10.000s EQUIVALENCIA ENTRE LAS UNIDADES. Las siguientes relaciones:

- 1 ángulo recto = 90º = 100g = 2

π rad.

- 1 ángulo llano = 180º = 200g = π rad. - 1 ángulo completo = 360º = 400g = 2π rad. y el uso de la regla de tres simple nos permite establecer cualquier equivalencia entre cualesquiera de las unidades anteriores. a) Paso de grados sexagesimales a radianes: Si tenemos un ángulo α en grados

α grados a radianes. = 180

πα rad.

b) Paso de radianes a grados sexagesimales: Si tenemos un ángulo K en radianes

k rad. = π180

k grados sexag.

1 rad. = 57º 17' 44'' = 3.437' = 206.264''. Ejemplos: Expresa en radianes: a) 27º. b) 25º 30'. c) 40º 20' 15''.

a) 27º = 27180

π = 3

20

π rad.

b) 25º 30' = 25,5° = 25,5180

π = 0,4451 rad.

c) 40º 20' 15'' = 40,3375º = 40,3375180

π = 0,704 rad.

Expresa en el sistema sexagesimal: a) 9

π rad. b)

5

2 rad.

a) 9

π rad. =

9

ππ

°180 = 20º.

b) 5

2 rad. =

5

2

π°180

= 22º 55' 6''.

TEST SISTEMAS MEDICION ANGULAR

1. Haciendo una tabla, expresa en radianes los siguientes ángulos:

0º RTA 0

15º RTA 12

π

22º RTA 90

11π

30º RTA 6

π

45º RTA 4

π

60º RTA 3

π

75º RTA 12

5π

90º RTA 2

π

120º RTA 4

π

135º RTA 3

2π

150º RTA 6

5π

180º RTA π

210º RTA 6

7π

225º RTA 4

5π

240º RTA 3

4π

270º RTA 2

3π

300º RTA 3

5π

315º

330º RTA 6

11π

360º RTA π2

2. Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm., ¿cuánto medirá dicho arco?

RTA 15 cm 3. En una circunferencia de 10 cm. de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide (en

grados y en radianes) el ángulo correspondiente? RTA: 339° 17 ! 31”

rad5

3

4. El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco

correspondiente a un ángulo de 20°? RTA : 2.09 cm

LECCION 2 Relaciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud

de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares

está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide

con la parte positiva del eje x.

En la figura 1, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que

forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser

positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x

será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r

entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a 22 yxr += ,

figura 1

aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2π radianes al ángulo —es decir, si se

añaden 360°— es evidente que sen ( θ + 2π ) = sen θ . Lo mismo ocurre con las otras

cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas

multiplicativas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es

cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los

números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no

están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la

cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° ta mpoco está definida. Todos los

ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen θ y cos θ varían

entre -1 y +1. La tg θ y la cotgθ son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La

sec θ y la cosecθ pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones

trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función

del ángulo.

Si θ es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 2 ), las definiciones

de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se

explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e

y de la (figura 1), si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P

de manera que AB = AP = r, entonces el sen θ = y/r = a/c, y así sucesivamente:

figura 2

Hay tres ángulos especiales entre 00 y 900, para los cuales definiremos el valor de seno y coseno El primero de ellos es el ángulo de 300, o p/6. En este caso la longitud de la hipotenusa es exactamente el doble de la longitud del lado opuesto. Por lo tanto:

sin(300)=1/2.

El segundo ángulo especial es el ángulo de 600 or p/3. En este caso la hipotenusa es exactamente el doble del cateto adyacente. Por lo tanto:

cos(600)=1/2.

El tercer ángulo especial es el ángulo de 450 or p/4. En este caso el lado opuesto es igual al lado adyacente por lo tanto los valores de seno y coseno son iguales. Así:

sin(450)=cos(450)= 2

2

2

1 =

Para el primer ángulo especial, 300, hallamos únicamente el valor del seno mientras que para el ángulo de, 600, hallamos únicamente el valor del coseno. Sin embargo hay una manera muy sencilla de hallar el valor del coseno dado el valor del seno y viceversa Para ello necesitamos usar el teorema de Pitágoras el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Resumiendo en nuestro caso tenemos:

lo cual en resumen significa: sin2(θ )+cos2(θ )=1,

Por lo tanto si conocemos el valor del seno de un ángulo podemos hallar el coseno

Así empleando los resultados obtenidos anteriormente para el cos(300)=2

3 y

sin(600)= 2

3

Gráficas de las funciones trigonométricas

Consideremos X la medida de un ángulo dado en grados o radianes. Si vamos a graficar la función trigonométrica sen x hay que tener en cuenta que es una función periódica con periodo 2π . Así sen( x + 2π ) = sen(x) ; Por lo tanto la gráfica de la función seno se repite en cada intervalo de 2π .

Gráfica de f(x) = sen x :

Gráfica de f(x) = cos x :

Gráfica de f(x) = csc x :

Gráfica de f(x) = secx :

Las funciones graficadas anteriormente tienen periodo 2 π

Gráfica de f(x) = tanx

Gráfica de f(x) = cot x :

Las funciones tangente y cotangente tienen periodo π .

TEST RELACIONES TRIGONOMETRICAS (LECCION 2)

1. PROBLEMA: Encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo :

LECCION 3 (IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS). "Son igualdades de funciones trigonométricas de ciertos ángulos, que se verifican para cualquier valor de dichos ángulos". A continuación tenemos las identidades trigonométricas fundamentales: Pitagoricas sen²x + cos²x = 1 1 + tag²x = sec²x 1 + cotg²x = Csc²x

Suma de Angulos sen(x+y)=senxcosy+cosysenx cos(x+y)=cosxcosy-senxseny tag(x+y)=(tagx+tagy)/(1-tagxtagy) sen(x-y)=senxcosy-cosxseny cos(x-y)=cosxcosy+senxseny tag(x-y)=(tagx-tagy)/(1+tagxtagy) Angulo Dobles sen2x= 2senxcosx cos2x=cos2 x-sen2x tag2x= 2tagx/(1-tag2x) Angulos Medios

2

cos1

2sen

xx −=

2

cos1

2cos

xx +=

x

xxtan

cos1

cos1

2 +−=

Demostraremos las identidades que permiten encontrar, el valor de seno o coseno, para ángulos dobles que son: Para probar la identidad sen( 2x)=2senxcosx, nos basamos en la fórmula de adición Como sen(x+y)=senxcosy + senycosx Si hacemos y=x

sen(x+x)=senxcosx + senxcosx sen( 2x ) = 2senxcosx Para probar cos ( 2x ) = cos 2x - sen 2x nos basamos en la fórmula de adición cos(x+y)=cosxcosy - senxsen Nuevamente hacemos y=x cos(x+x)=cosxcosx - senxsen x cos(2x)=cos 2 x - sen 2x Para demostrar una identidad trigonométrica, no existen reglas. Por lo general habrá que reducir el miembro que nos parezca más difícil (mediante sustituciones por identidades) hasta hacerle igual al otro miembro; o bien, si los dos miembros no son sencillos, operar con ambos hasta llegar a unas expresiones sencillas. Como es imposible recoger los infinitos recursos que se pueden utilizar, nos limitaremos a resolver unos cuantos ejemplos.

Determinar si dos expresiones trigonométricas conducen a un mismo resultado para un mismo ángulo.. Ejemplo 1 Demostrar que

sen x tag x = sec x - cos x

Trabajaremos el lado derecho de la igualdad para demostrar que es igual al izquierdo sen x tag x = sec x - cos x

Reemplazando secx=1/cosx

senx tag x = xx

coscos

1 −

Haciendo la resta de fracciones

x

xtanxx

cos

cos1sen

2−=

Sustituyendo 1-Cos2x = Sen2x Separando sen2x = senx . sen x

tanxxtanxx

tanxx

xComo

x

xxtanxx

sensen

cos

sen

cos

sensensen

=

=

=

Podemos igualar las dos expresiones aclarando que no se trata de una ecuación donde los terminos se pueden pasar de un lado a otro, se debe trabajar un lado para irlo dejando igual al otro lado o bién trabajar los dos lados para dejarlos igual.

Ejemplo 2: Demostrar (sec x +1)(sec x - 1)= tag2x

xtanxtan

xtanx

x

xxComo

xtanx

x

xtanx

xxComo

xtanx

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

cos

sen

sencos1

cos

cos1

1cos

1

cos

1sec

1sec

=

=

=−

=−

=−

=

=−

Tambien se puede proceder asi:

xtanxtan

xtanxtan

izquierdomiembroelenemplazamos

xxtanComo

xtanx

22

22

22

22

11

Re

sec1

1sec

==−+

=+=−

Ejemplo 3 Demostrar

1sec

1sec

−=+

θθ

θθ tan

tan

No hay razón para preferir un miembro al otro de la igualdad para transformar.

Arbitrariamente escogemos el primer miembro y procedemos a multiplicar tanto el

numerador como el denominador de la fracción por ( secθ -1) ya que esto aparece en el

segundo miembro de la igualdad.

)1(sec

1sec

1sec

1sec1sec 2

−−=

−−+

θθθ

θθ

θθ

tantan

Donde observamos que no se ha alterado la igualdad, y por lo tanto, como

θθ 22 1sec tan=− se obtiene:

( ) ( ) 1sec1sec1sec

1sec 22

−=

−=

−−

θθ

θθθ

θθθ tan

tan

tan

tan

TEST IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Demuestre que son identidades las igualdades siguientes:

1. θθθθ cscsencotcos =+

2. θθθθ seccossen =+tan

3. ( )( ) θθθθ sencotcsccos1 =+−

4. θθθ

2

22

cos

21sec =++ tan

5. 1cot

1cot

sencos

cossen

−+=

−+

θθ

θθθθ

6. θθ

θθ

2

2

cos

1csc

1csc

csc −=+

7. θθ

θθ

sen1

sen1

1csc

1csc

−+=

−+

8. θθ

θθθ

cot1

cot

sencos

cos

+=

+

9. θθθ

θ cossen

sen

cot1

1

+=

+

10. θθθθ 2244 secsec tantan +=−

11. ( )( ) θθθθ cot1cscsec =+− tan

12.θ

θθ

cos1cos1

sen 2

−=+

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. "Se llaman así las igualdades entre razones trigono métricas de ciertos ángulos que sólo se verifican para algunos valores particul ares de dichos ángulos" . Resolver una ecuación trigonométrica es buscar todos los valores de los ángulos que la satisfacen. Aunque no existen reglas generales para resolver una ecuación trigonométrica, serán de utilidad las siguientes indicaciones:

1) Deben expresarse (mediante transformaciones convenientes) todas las razones que intervengan en una ecuación, en función de un mismo ángulo sencillo y de una sola razón.

2) Es conveniente transformar las sumas y diferencias en productos, (aplicando las fórmulas conocidas) y llegar así a una descomposición de factores igualada a cero, para estudiar después cada factor separadamente.

3) Hay que evitar, en lo posible, suprimir soluciones con simplificaciones o añadir soluciones de forma inadecuada:

Ejemplo.

a) Si en la ecuación: senx(2

1-cosx)=0

dividimos por senx, nos queda

2

1-cosx=0.

Hemos suprimido las soluciones de senx=0 que son x = 00 + kπ. b) Añadimos soluciones a la ecuación

-cosx= -2

1

cosx=2

1

= −

2

1cos 1x

Que se debe leer como el angulo para el cual el coseno vale 2

1

X=60° y 300°

Con estos valores angulares se cumple la ecuacion ( observe el grafico de la funcion coseno)

Ejemplo 1.

sen2x = tagx . Desarrollamos sen2x y tagx:

2senxcosx = xcos

sen x

De donde despejando senx de la igualdad anterior, tenemos: 2senxcos²x = senx

x

xx

sen2

sencos2 =

cos²x=2

1

De donde,

cosx=±2

2 .

cosx=2

2 , entonces, x=450 y x=3150

cosx=-2

2 , entonces, x=1350 y x=2250

Al comprobarlas, vemos que las 4 son válidas.

Ejemplo2. secx = 2(senx+cosx) .

Sustituyendo secx por xcos

1 y operando, se obtiene:

1=2senxcosx+2cos²x. Pasando cos²x al primer miembro: 1-cos²x=2senxcosx+cos²x como 1-cos²x=sen²x: reemplazamos, obteniendo sen²x=2senxcosx+cos²x 2senxcosx+cos²x-sen²x=0. Por las fórmulas del ángulo doble se tiene:

sen2x+cos2x=0 sen2x=-cos2x si hacemos el siguiente cambio de variable u=2x senu=-cosu Como el objetivo es dejar la ecuacion en terminos de una sola relacion trigonometrica

De la identidad fundamental sen²u + cos²u = 1 cos²u = 1 - sen²u

uu 2sen1cos −= si reemplazamos

uu 2sen1sen −−= si elevamos al cuadrado ambos miembros

( )

2

2

2sen

2

2sen2

2

22sen

2

2

2sen

2

1sen

2

1sen

1sen2

sen1sen

sen1sen

1

1

2

2

22

222

±

=

±=

±=

=

±=

±=

=

=

−=−−=

−

−

x

x

x

xucomo

u

u

u

u

uu

uu

Los ángulos que verifican la relación anterior son:

5.22°±=x Si reemplazamos el angulo positivo no se cumple la igualdad inicial por lo tanto no es la solucion , el angulo negativo y sus equivalentes( 337°.5) si verifican la igualdad esto devido a que cuando elevamos al cuadrado se presentan soluciones extrañas en las cuales generalmente una sola cumple la ecuacion planteada. Ejemplo 3 1 + cos2x = cosx . Sustituyendo cos2x=cos2x-sen2 x obtenemos 1+cos²x-sen²x=cosx como 1= sen²x +cos²x reemplaxando en la anterior sen²x +cos²x + cos²x-sen²x=cosx 2cos²x=cosx factorizando: cosx(2cosx-1)=0 de donde: cosx=0 , entonces , x=900 y x=2700.

2cosx-1=0, entonces, cosx=2

1 ,luego, x=600 y x=3000.

Ejemplo 4

cos2x = senx . Si desarrollamos cos2x se obtiene cos²x - sen²x = senx de donde 1-sen²x-sen²x=senx 2sen²x+senx-1=0 y resolviendo esta ecuación como una cuadratica se obtiene:

senx=2

1 y senx=-1.

De senx=2

1 ,entonces, x=300, x=1500

De senx=-1 entonces x=2700.

Ejemplo 5 sen2xcotagx = 6sen²x . De donde, sustituyendo, sen2x=2senxcosx , cotagx=cosx/senx Obtenemos la siguiente ecuacion

2senx cosx sen x

xcos = 6sen²x

de donde, despejamos en la igualdad obteniendo: 2senxcos²x = 6sen²xsenx despejando 2 de la ecuacion anterior, resulta

senx(1-sen²x) = 3sen²xsenx Simplificando: 1-sen²x=3sen²xsenx / senx 1-sen²x=3sen²x Luego, 1=4sen2x

sen²x=4

1 de donde:

Si senx=2

1,entonces, x=300 y x=1500

Si senx=-2

1,entonces, x=2100 y x=3300

TEST DE ECUACIONES

Resolver cada una de las ecuaciones siguientes para todos los valores de x :

1. 2cosx-1=0 R. x=600, 3000

2. 4sen2x-3=0 R. x=600 ,1200

3. sen2x+cosx=0 R. x=900 ,2100

4. cos2x-sen2x=1 R. x=00 ,1800

5. 2cos2x-3senx-3=0 R. x=2100 ,2700

LECCION 5 (SOLUCION DE TRIANGULOS) Solucionar un triangulo consiste en hallar el valor de sus lados , angulos y el area . Podemos resolver triángulos(hallar la medida de los lados y los ángulos)con las funciones trigonometricas pero solo si estos triángulos son rectangulos. Para triángulos que no lo sean es necesario utilizar dos nuevas expresiones llamadas ley de seno y ley de coseno. EJEMPLO 1 Resuelve el siguiente triángulo Rectángulo ABC dados a = 2 y b = 2. Primero identificamos si el triángulo a resolver es rectangulo, si es rectangulo podemos aplicar cualquiera de las funciones trigonometricas, si no lo es, en la próxima sesión veremos que se puede utilizar para resolverlos.

hallemos la medida del lado que nos hace falta, como el triángulo es rectángulo podemos aplicar el Teorema de Pitágoras

Ahora hallemos las medidas de los ángulos: Para determinar la medida del ángulo A, utilizamos las funciones trigonométricas, con respecto a este ángulo se tiene que:

SinO = __cateto opuesto sen A = . ____________ sin0 = __hipotenusa

csc0 = __hipotenusa csc A = . ____________ csc0 = __cateto opuesto

Cos0 = __cateto adyacente cos A = . ____________ cos0 = __hipotenusa

sec0 = __hipotenusa sec A = . ____________ sec0 = __cateto adyacente

TanO = __cateto opuesto tan A = . ____________ tan0 = __cateto adyacente

cot0 = __cateto adyacente cot A = . ____________ cot0 = __cateto opuesto

En este caso especifico :

por tanto A=45º ; Para hallar el angulo B , sabemos que la suma de angulos internos en cualquier triangulo es 180° entonces: A+B+C=180° ; Como C=90° B=180°-90°-A ; B= 180°-90°-45° B=45° El Area sera igual a:

2

AlturaBaseA

×=

segun el triangulo dado

22

22

2=×=×= CBCA

A

EJEMPLO 2 Resuelve el triángulo rectángulo ABC siendo: a=8 y c=4.

Parra hallar el Angulo B podemos:

°=

=⇒=

=

−

60

2

1

2

1

8

4

1

B

CosBBCos

BCos

El angulo C se puede hallar por:

A+B+C=180° ; Como B=60° , A= 90° C= 180° -90°-60° C=30°

El valor del lado ( b ) lo podemos hallar de varias maneras trabajaremos dos , por pitagoras:

93.63448 22

22222222

≈=⇒−=

−=⇒−=⇒+=

bb

cabcabcba

Por medio de relaciones trigonometricas

93.62

38

3088

30

≈×=

°×=⇒=°⇒=

b

Cosbb

Cosa

bCCos

El area sera igual a :

86.13382

434

2≈=×=×= cb

A

SOLUCION DE TRIANGULOS NO RECTANGULOS El establecimiento de la relación lado-ángulo de un triángulo es el principal objetivo de la Trigonometría y la resolución de triángulos su primera aplicación. ¿Cómo debemos utilizar la Trigonometría para resolver triángulos que no sean rectángulos? Para resolver estos triángulos hemos de relacionar, en cada caso, los elementos conocidos con los desconocidos mediante fórmulas que nos permitan calcular estos últimos. Vamos a buscar relaciones con las que podamos hacerlo. A. TEOREMA DE LOS SENOS. En todo triángulo, el ángulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ángulo menor tiene enfrente el lado menor.

Una expresión cuantitativa de este hecho es el teorema de los senos cuyo enunciado es el siguiente:

TEOREMA DE LOS SENOS: Csen

c =

Bsen

b =

Asen

a

Que se puede leer como: En un triángulo cualquiera, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto es constante». Es decir: «Los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos». Observación . El teorema de los senos da lugar a las tres igualdades:

Bsen

b =

Asen

a

Csen

c =

Asen

a

Csen

c =

Bsen

b

Se podrá resolver con él cualquier triángulo del que conozcamos: a)Dos ángulos y un lado (conociendo dos ángulos, conocemos los tres). b)Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. B. TEOREMA DEL COSENO. El teorema de Pitágoras nos dice que el cuadrado del lado opuesto a un ángulo recto (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). Es decir: Si A=90° ⇒ a²=b²+c² ¿Y si el ángulo es agudo u obtuso? Es claro que se dará una de las siguientes relaciones: Si A<90° ⇒ a²<b²+c² Si A>90° ⇒ a²>b²+c² El teorema del coseno es más preciso, su enunciado es el siguiente:

TEOREMA DEL COSENO: A cos c b 2 - c + b = a222

Despejando letras: B cos c a 2 - c + a = b222 C cos b a 2 - b + a = c

222 La lectura que le podemos dar es :«En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman». Observación . El teorema del coseno sirve para relacionar los tres lados de un triángulo con uno de los ángulos del mismo. Se podrá resolver con él cualquier triángulo del que conozcamos: a) Los tres lados. b) Dos lados y un ángulo. C. ÁREA DEL TRIÁNGULO. FÓRMULAS DIVERSAS. A las expresiones que ya conocemos del área de un triángulo, la Trigonometría añade algunas otras. Anotamos en primer lugar la conocida para un triangulo rectangulo:

h a 2

1 = A

«El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base y la altura». En un triangulo cualquiera:

SenBac

SenBBCAB

A22

×=×=

SenCab

SenCCBAC

A22

×=×=

SenBac

SenAACAB

A22

×=×=

«El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman».

FÓRMULA DE HERÓN .: Esta formula se utiliza cuando se tienen los tres lados de un triangulo

) c - p ( ) b - p ( ) a - p ( p = A Siendo ( p ) el semiperimetro que esta dado por:

2

c + b + a=p

EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA . Un triángulo queda determinado cuando se conocen tres cualesquiera de sus elementos, uno de los cuales al menos ha de ser lado. Por tanto, el problema que vamos a resolver es el de calcular tres elementos de un triángulo, cuando se conocen los otros tres. Se pueden presentar tres casos: 1. Dados un lado y dos ángulos. 2. Dados dos lados y el ángulo que forman. 3. Dados los tres lados. Para hallar elementos desconocidos se deben utilizar siempre fórmulas en las que intervienen los datos y un elemento desconocido. Procediendo así, los errores de aproximación que pueden darse al hallar los elementos desconocidos no influyen en los cálculos posteriores. Pero para que esto se pueda realizar necesitamos utilizar el teorema de los senos y el del coseno. Como utilizaremos únicamente el teorema de los senos y el del coseno, a veces para calcular elementos desconocidos, es imposible hacerlo utilizando únicamente los datos, y debemos echar mano de elementos hallados previamente. Vamos a ver a continuación como se resuelve cada uno de los casos.

1. DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. Cualesquiera que sean los datos con A+B+C=180°, exi ste siempre solución y además única. Siendo a=8, B=45° y C=60°. Entonces: A = 180°-(45°+60°) = 75°. Para hallar b aplicamos la ley de los senos

°75sen

8 =

°45sen

b

b = °°

75sen

45sen 8

b= 5.86 De la misma forma hallamos el lado c

°75sen

8 =

°60sen

c

c=6.49 El Area estara dada por :

37.182

=×= SenAcb

A

A=?

B=45°

C=60°

.b=? .a=8

.c= ?

2. DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN.

Teniendo en cuenta el mismo esquema del problema anterior Solucionar el triangulo ,siendo a=9, b=7 y C=45°. Entonces: Tenemos que aplicar la ley de los cosenos asi :

C cos b a 2 - b + a = c222

c² = 81+49-126cos45° c² =40.90454557 c=6.3956661 40.6≈ Para hallar el angulo A aplicamos la ley de los senos

Asen

9 =

°45sen

6.3956661

senA=0.9950427 A=84° 17' 33''. El angulo B estara dado por: B=180°-(84° 17' 33'' + 45°) B=50° 42' 27''. Por ultimo el area

29.22

)"33´1784(2

40.67

2

=

°×=×=

A

SenSenAcb

A

A=?

B=?

C=45°

.b=7 .a=9

.c= ?

3.DADOS LOS TRES LADOS. Con el mismo grafico del ejemplo 1 existe solución única, siempre que: a<b+c, b<a+c y c<a+b. Siendo a=5, b=7 y c=9. Entonces: Par hallar el angulo A trabajamos el teorema del coseno asi:

A cos c b 2 - c + b = a222

Reemplazando los valores dados

25 = 49+81-126cosA

cosA = 126

105 = 0.833 ( )8333.0cos 1−=⇒ A

A=33° 33' 26''. Para encontrar el valor de B se puede hallar ya sea por el teorema del coseno o por la ley de los senos asi:

SenA

5 =

Bsen

7

'.26' 33' 33°⇒Sen

5=

Bsen

7

5527695252.0

5⇒ =

Bsen

7

senB=0.7738794 ( )7738794.0sen 1−=⇒ B B=50° 42' 12''. C = 180°-(33° 33' 26'' + 50° 42' 12'') C=95° 44' 22''

A=?

B=?

C=?

.b=7 .a=5

.c= 9

Por ultimo el area

41.17

)(2

97

2

=

°×=×=

A

SenSenAcb

A '26' 33' 33

PROBLEMAS DE APLICACION

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA. MEDICIÓN DE ALTUR AS

Y DISTANCIAS. La medición "directa" de alturas y distancias es una operación que resulta a menudo difícil y, a veces, imposible. No sucede lo mismo cuando se trata de ángulos, ya que su medida se logra con facilidad y exactitud, merced a aparatos especiales, como el GRAFÓMETRO (mide ángulos horizontales) y el TEODOLITO (mide ángulos horizontales y verticales). Sin embargo, es posible la medición "indirecta" de distancias (como una de las aplicaciones prácticas de la Trigonometría) basándonos en la resolución de triángulos. Por esta razón, destacamos la importancia de la Trigonometría en Topografía, Agrimensura, etc. Ejercicios 1) Dos observadores A y B ven un globo cautivo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre ellos es de 4 Km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 45° y 75° respectivamente. Calcula la altura del globo. El procedimiento para abordar cualquier problema es graficar la situacion expuesta de una manera clara y identificando las variables dadas y las pedidas:

4 Km A B C

D

(GLOBO)

45° 75°

2) Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una orilla se observa un punto C de la orilla opuesta; las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de 45 y 60, respectivamente. Calcula la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 30 m.

3. Un explorador parte de A, recorriendo 3 Km. en línea recta hasta llegar a B. Aquí

gira un ángulo de 65 hacia su izquierda, caminando 2'5 Km. en línea recta en la nueva dirección, hasta alcanzar el punto C. Nuevamente gira, ahora 125 a su derecha, y recorre 6'2 Km. en línea recta en la nueva dirección, hasta llegar a D. Calcula la distancia en línea recta que hay desde A hasta D.

4. De una finca cuadrangular ABCD se han tomado las siguientes medidas: AB=80

m., BC=170 m., CD=150 m., DA=70 m. y AC=180 m. Calcula el área de la finca. 5. Dos coches con velocidades respectivas de 60 Km/h. y 90 Km/h. toman dos

carreteras que se bifurcan con un ángulo de 75. ¿Qué distancia habrá entre ellos a los 10 minutos de viaje?

6. Un viajero parte con una velocidad de 75 Km/h., a los 10 minutos se da cuenta

que se ha equivocado de carretera y toma otra que forma con la anterior un ángulo de 135 y a la misma velocidad. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra después de 20 minutos de haber tomado esta carretera?

7. Un barco A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio

B y C que distan entre sí 80 Km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 45. B recibe señales con una dirección de 135 con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 105 con el Norte. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?

8. La resultante de dos fuerzas concurrentes vale 20 Nw., formando con cada una

de las fuerzas iniciales ángulos de 30 y 45. Calcula la intensidad de cada una de las fuerzas compuestas.

9. La resultante de dos fuerzas de 20 Nw. y 30 Nw. es de 40 Nw. ¿Qué ángulo

forman las fuerzas entre sí? ¿Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante?