Monografia Mate Discreta

7/23/2019 Monografia Mate Discreta

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GRAFOS ISOMORFOS

Introduccin

La resolucin del problema del isomorfismo de grafos se complica

cuando los grafos son o de grandes tamaos o sus matrices de adyacencias

son homogneas. En ambos casos el problema se resuelve ms fcil

presentando los grafos por un conjunto de relaciones correspondientes a

matrices de tamaos razonables y no homogneos. Con tal presentacin

aumenta el nmero de restricciones !ue permiten eliminar muchas variantes

y con esto facilita la resolucin del problema. En este trabajo se resuelve el

problema del isomorfismo para tales conjuntos y se dan las aplicaciones de

estos en grafos y en funciones lgicas. "n problema importante en s#ntesis

de mecanismos es identificar los isomorfismos de grafos$ puesto !ue los

isomorfismos no detectados generan soluciones duplicadas y por tanto

suponen un esfuerzo innecesario en el proceso de diseo mecnico. %esde

&'()$ una gran cantidad de mtodos han sido propuestos para la deteccin

del isomorfismo en grafos de mecanismos. *todos !ue podr#amos

clasificar como heur#sticos y visuales han sido desarrollados por Crossley$

%avies and Crossley y +oo. La dificultad principal de este tipo de tcnicas

estriba en !ue son dif#ciles de implementar computacionalmente$ puesto !ue

su desarrollo se basa fundamentalmente en la e,periencia del diseador.

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CONCEPTOS BSICOS DE ISOMORFISMO:

-ara entrar en materia de !ue es un grafo isomorfo debemos conocer algunos trminos

relacionados con el tema

ARISTAS:

/on las l#neas con las !ue se unen las aristas de un grafo y con la !ue se construyen

tambin caminos$0rficamente las aristas se representan$ para el caso de los grafos no

dirigidos$ como una l#nea !ue une a los dos vrtices. /i el grafo es dirigido$ entonces la

arista se representa como una flecha$ !ue parte del nodo origen y apunta al nodo destino.

ARIASTAS ADYACENTES:

/e dice !ue dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vrtice.

ARISTAS PARALELAS:

/e dice !ue dos aristas son paralelas si vrtice inicial y el final son el mismo.

ARISTAS CICLICAS:

1rista !ue parte de un vrtice para entrar en el mismo.

CRUCE:

/on dos aristas !ue cruzan en un punto.

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VERTICE:

/on los puntos o nodos con los !ue est conformado un grafo.

VERTICE ADYACENTE:

si tenemos un par de vrtices de un grafo 3"$ 45 y si tenemos una arista !ue los une$

entonces " y 4 son vrtices adyacentes y se dice !ue " es el vrtice inicial y 4 el vrtice

adyacente.

CAMINO:

/ean ,$ y 6 4$ se dice !ue hay un camino en 0 de , a y si e,iste una sucesin finita no

vac#a de aristas !" #$%" #$" #&%" ''' "#n" (%. En este caso , e y se llaman los e,tremos

del camino.

DEFINICION ISOMORFISMO DE GRAFOS:

"n isomorfismo entre dos grafos 0 y 7 es una biseccin f entre los conjuntos de sus

vrticesf: V)G*+V),*!ue preserva la relacin de adyacencia. Es decir$ cual!uier par

de vrtices u y v de 0 son adyacentes si y solo si lo son sus imgenes$ f3u5 y f3v5$ en 7.

%os grafos son isomorfos si e,iste un isomorfismo entre ello$ 1 pesar de su diferente

aspecto$ los dos grafos !ue se muestran a continuacin son isomorfos.

Grafo G Grafo H Un isomorfismoentre G y H

f 3a58 &

f 3b58 (f 3c58 9

f 3d58 :

f 3g58 ;

f 3h58 2

f 3i58 ? sea isomorfo$ este debe tener las

mismas relaciones de adyacencia !ue >. En otras palabras$ por ejemplo$ en > tenemos

una arista %@E$ entonces en >? tendr#amos una arista %?@E?. 1s# para todos los vrtices de

>?. Entonces$ un grafo isomorfo al anterior 3El formado por los vrtices incluidos en el

conjunto >5 ser#a


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01UE ES UN GRAFO2

%e forma colo!uial y sencilla$ un grafo es un conjunto de elementos$ a los !ue

llamaremos vrtices$ !ue se relacionan entre ellos por parejas$ no necesariamente todos$

definiendo lo !ue llamamos aristas del grafo.

-odemos pensar$ por ejemplo$ !ue !ueremos disear un circuito con < componentes$

todas unidos con todas$ por parejas. 1 las componentes$ !ue harn el papel de vrtices del

grafo$ las llamamos en un alarde de originalidad $" &" 3" 4%. En ese caso$ las cone,iones

!ue tenemos !ue dibujar$ !ue harn el papel de aristas$ sern )$"&*")$"3*")$"4*")&"3*")&"4*"

)3"4*%. 1l grafo as# definido se le conoce como >


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Aueno$ este circuito ha sido muy fcil y hemos resuelto el problema del cruce de las

cone,iones 4amos a poner una componente ms$ una nada ms. Benemos !ue dibujar ;

vrtices$ las ; componentes$ &$ 2$ :$


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-ara mostrar !ue dos grafos son isomorfos podemos mostrar !ue sus invariantes

3propiedad !ue los grafos simples deben cumplir5 son iguales

El nmero de vrtices

El nmero de aristas

El grado de los vrtices

/i en alguna de esas cantidades difieren 2 grafos simples$ no son isomorfos$ o si sus

invariantes son los mismos$ no necesariamente son isomorfos.

E5EMPLO:

Los vrtices del grafo & est representado por letras 3a$ b$ c$ d5 y el grafo 2$ se representa

con los nmeros 3&$ 2$ : $


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Entonc67:

/i partimos de la definicin anterior tenemos !ue los dos grafos contienen < vrtices$ ;

aristas y sus grados coinciden. -or lo tanto$ los dos grafos mostrados en este ejercicio son

isomorfos.

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CONCLUSIONES:

El problema de deteccin de isomorfismos en grafos de mecanismos es un problema H-@

duro importante en el proceso de diseo mecnico. 1 travs de su anlisis$ se muestra

!ue$ aun!ue pueden e,istir algoritmos eficaces para casos particulares$ en el caso general

los mtodos tradicionales para la deteccin de isomorfismos en cadenas cinemticas no

proporcionan generalmente soluciones de forma eficiente. -or esta razn se proponen

como mtodo alternativo de resolucin a las redes neuronales$ y en particular a las redes

tipo 7opfield por ser las ms eficaces y e,tendidas en la resolucin de problemas. /in

embargo$ !ue un problema sea deducible no implica !ue se pueda encontrar su solucin$

pues muchos problemas !ue disponen de algoritmos para su resolucin son inabordables

para un computador por el elevado nmero de operaciones !ue hay !ue realizar para

resolverlos

BIBLIOGRAF8A

-ginas Ieb visitadas

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