Monopolio: Nota de clase 161024

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IntroduccionProblema de maximizacion

Monopolio

Mauro Gutierrez Martınez

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

gutierrez [email protected]

Octubre 2016

Mauro Gutierrez Martınez Monopolio

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Contenido

1 Introduccion

2 Problema de maximizacion


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Definiciones

Monopolio.

Situacion de mercado en el que existe un unico vendedor deun determinado producto o servicio, concediendole ciertopoder de mercado para determinar los precios y condiciones deventa.

A diferencia de un mercado competitivo, la firma es unprice-maker.


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Monopolio: Problema de maximizacion

El problema del monopolio consiste en maximizar su beneficio, a traves deseleccionar el nivel de precio.

maxppD(p)− c(D(p)) (1)

Dado que el monopolio, puede determinar el precio o la cantidad el problemade maximizacion puede reexpresarse como:

maxyp(y)y − c(y) (2)

Las condiciones de primer y segundo orden son las siguientes:

p(y) + p′(y)y = c ′(y) (3)

2p′(y) + p′′(y)y ≤ c ′′(y) (4)

La condicion de primer orden indica que el monopolio maximiza cuandoiguala el ingreso marginal con el costo marginal.

Notese que el ingreso marginal crece con cada unidad vendida adicional(p(y)), pero debe de aplicar un descuento a todas las unidades vendidas(p′(y)).

Eso lo anima a reducir la produccion.


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Monopolio: Problema de maximizacion

La condicion de primer orden puede reexpresarse como:

r ′(y) = p(y)

[1 +

∂p

∂y

y

p

]= c ′(y) (5)

o

p(y)

[1 +

1

ε(y)

]= c ′(y) (6)

Donde:ε(y) = ∂y

∂ppy

r = Ingresor ′(y) = Ingreso marginal

El monopolio opera en la zona elastica y no en la inelastica, dado que si−1 < ε(y) < 0, el ingreso marginal serıa negativo.


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Monopolio: Casos especiales

Demanda lineal

Sea p(y) = a− by

Por tanto, el ingreso marginal r ′(y) = a− 2by

Si asumimos una funcion de costos linea c(y) = c.y

El precio y la cantidad de monopolio son iguales a:

y∗ =a− c

2b(7)

p∗ =a + c

2(8)

Demanda con elasticidad constante

Sea y = Ap−b

La elasticidad es constante e igual a ε(y) = −b

p(y) =c

1− 1b

(9)


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Monopolio

Figure: Nivel optimo de produccion del monopolio


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Monopolio: estatica comparativa (I)

Efectos de variaciones del costo marginalLa condicion de primer orden implica

∂π

∂y= 0

Por tanto, para el nivel de produccion se mantenga optimo ante variaciones delcosto marginal, se debe de conservar la siguiente relacion:

∂2π

∂y 2dy +

∂2π

∂y∂cdc = 0

es decir:

dy

dc= −

∂2π∂y∂c

∂2π∂y2

(10)

dp

dc=

dp

dy

dy

dc(11)


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Monopolio: estatica comparativa (II)

Ecuaciones de estatica comparativa

dy

dc=

1

2p′(y) + yp′′(y)(12)

dp

dc=

dp

dy

dy

dc=

p′(y)

2p′(y) + yp′′(y)=

1

2 + y p′′(y)p′(y)

(13)

Demanda lineal: Efecto en el precio

dp

dc=

1

2(14)

Demanda elasticidad constante: Efecto en el precio

dp

dc=

ε

1 + ε(15)

Caso de la demanda lineal: una variacion del costo marginal eleva elprecio en la mitad de dicho incremento.

Caso de la demanda de elasticidad constante: una variacion del costomarginal eleva el precio en un nivel superior a dicho incremento.


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Analisis de bienestar

Por simplicidad asumamos una funcion de utilidad cuasilineal u(x) + y

Recordando p(x) = u′(x)

El nivel de produccion que maximiza la funcion de bienestar social estadefinida por:

W (x) = maxxu(x)− c(x) (16)

El optimo social implica:

u′(x0) = p(x0) = c ′(x0) (17)

El optimo del monopolio implica:

p(xm) + p′(xm)xm︸︷︷︸>0

= c ′(xm) (18)

Por tanto, se observa que:xm < x0 (19)


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Analisis de bienestar: relacion con la concavidad de lafuncion de utilidad

Lo anterior se corrobora en la funcion de bienestar:

W ′(xm) = u′(xm)︸︷︷︸pm

−c ′(xm) = −p′(xm)xm + c ′(xm)︸︷︷︸pm

−c ′(xm) =

−p′(xm)xm = −u′′(xm)xm > 0

(20)

Si la funcion de utilidad es concava, el monopolio produce por debajo deloptimo social.


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Analisis de bienestar: ¿quien gana o pierde?

La funcion de bienestar puede expresarse como:

W (x) = [u(x)− p(x)x ] + [p(x)x − c(x)] = [u(x)− p(x)x ] + πm (21)

W ′(x) =[u′(x)− p(x)− p′(x)x

]+∂πm

∂x

W ′(x)|x=xm =

u′(xm)︸︷︷︸pm

−p(xm)− p′(xm)xm

+∂πm

∂x

∣∣∣∣x=xm︸︷︷︸

=0

= −p′(xm)xm > 0

(22)

La perdida de bienestar la absorbe el consumidor, en cambio elmonopolista maximiza su utilidad.


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Analisis de bienestar: ¿Cual es el nivel de calidadseleccionada?

Sea la funcion de bienestar dependiente del nivel de produccion (x) y dela calidad (q).

W (x , q) = u(x , q)− c(x , q) (23)

Se asume que la calidad es buena ∂u∂q> 0, pero costosa ∂c

∂q> 0

El monopolista: seleccion de cantidad y calidad

maxx,qp(x , q)x − c(x , q) (24)

Las condiciones de primer orden son:

p(xm, qm) +∂p(xm, qm)

∂xxm =

∂c(xm, qm)

∂x(25)

∂p(xm, qm)

∂qxm =

∂c(xm, qm)

∂q(26)


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Efecto de la calidad y cantidad en el bienestar social(evaluado en el nivel seleccionado por el monopolio):

∂W (xm, qm)

∂x=

∂u(xm, qm)

∂x−

∂c(xm, qm)

∂x= −

∂p(xm, qm)

∂xxm > 0 (27)

∂W (xm, qm)

∂q=

∂u(xm, qm)

∂q−

∂c(xm, qm)

∂q=

∂u(xm, qm)

∂q−

∂p(xm, qm)

∂qxm ≷ 0 (28)

El efecto en la calidad es ambiguo.


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Figure: La calidad en monopolio

Reescribiendo la condicion deprimer orden respecto a la calidad:

1

xm

∂W (xm, qm)

∂q=

∂

∂q

[u(xm, qm)

xm− p(xm, qm)

] (29)

El signo de la ecuacion dependera

de ∂2p(x,q)∂x∂q

.

El bienestar social considera ladisposicion de pago de todos losconsumidores. El monopolio soloconsidera la disposicion de pago delconsumidor marginal.


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Referencias

Hal Varian (1992)

Microeconomics Analysis, 3er edition.

Monopoly Chap.14


Monopolio: Nota de clase 161024

Economy & Finance

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