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SEP SEIT DOTI

Centro Nacional de investigacióh y Desarrollo Tecnológico

SUPERFICIES RECORTADA; EN CAD

T E S T s QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

PRESENTA :

FELIPE MORALES LOPEZ

Cuernavaca Mor. Agosto de 1991

CENTRO DE INFORMACION

. *% C E N I D E T C

DIRECCION GENEML DE INSTITUlOS.?ÉCN CEWTAO NACIONAL DE I#VEBIIBACtOll Y NMAROLUJTEC#

ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

CtCRRCPiA DE

PDIJCACiON RIRLiCA Cuernavaca,Mor., 19 de agosto de 1991.

D r . Juan Manuel Ricaiio C a s t i l l o D i r e c t o r d e l CENIDET P r e s e n t e

At 'n . : Ing. Reiré Santaolaya S . Coord. de Computación

Por e s t e conducto, hacemos de S ~ I conocimiento que , después d e haber sometido a r e v i s i ó n e l t r a b a j o de t e s i s ~ t i t u l a d o : .

"SUPERFICIES RECORTADAS EN CAE" i

. i

. . . . . 'Desarroll.ado por e l I n g ; F e l i p e Mora1.e~ L.Ópezi y habiendo cuinplidó!:. con todas l a s corre.cciones en qiie s e l e conceda l a a u t o r i z a c i ó n de impresión de l a tesieijy i a f fecha de exámen de grado. $ ' : '

que se l e in

DlRECClON GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS CENTRO NACDNAL DE iNVE8TIüAQON YDEIlARROLLOTECNOLOüICO

Ues,u;s Ce h d x r coni f t ido I r - v i s i ó n su t r a b a j o 6e t é c i s t i t u i a c ! o :

rlmlra S/N CoLpBlmlm.CwrMlroca Mor. 'doPoria! 4-224 CüdlgO Po8lO162490 !-76-13 y 14-06-37

A la memoria de mi padre.

A mi madre, a su entereza y entrega.

También es vicio el saber; que si no ee va atajando, cuanto menos se conoce es más nocivo el estrago.

Y si el vuelo no le abaten en sutilezas cebado, por cuidar de lo curioso olvida lo necesario.

Si culta mano no impide crecer al árbol copado. quitan la sustancia al fruto la locura de los ramos.

Si andar a nave ligera no estorba lastre pesado sirve el vuelo de que sea el precipicio más alto.

En amenidad iiiutil ¿qué importa al florida campo si no halla fruto i.1 otoño que ostente flores el mayo?

Sor Juana inés de la Cruz

XADECIMIENTO

...

. Entre l o s p e c a d o s mayores q u e los hombres cometen, aunque a l g u n o s d i c e n q u e es l a s o b e r b i a , yo d i g o que es el d e s a g r a d e c i m i e n t o , a t e n d i é n d o m e a l o que s u e l e d e c i r s e : q u e de los d e s a g r a d e c i d o s e s t á l l eno e l in f i e rno . Es te p e c a d o . en c u a n t o me ha s i d o p o s i b l e , he p r o c u r a d o yo h u i r d e s d e . e l i n s t a n t e q u e t u v e uso d e r a z ó n ; y s i no p u e d o p a g a r l a s b u e n a s o b r a s q u e me h a c e n con o t r a s o b r a s . Pongo en s u l u g a r lo s deseos d e h a c e r l a s , y cuando éstos no b a s t a n , l a s p u b l i c o : p o r q u e q u i é n d i c e y p u b l i c a l a b u e n a s o b r a s q u e recibe, también l a s recompensara con o t r a s , si p u d i e r a ; p o r q u e , p o r l a ' n i a y o r p a r t e . l o s q u e reciben son i n f e r i o r e s a l o s q u e d a n , y a s í , es Dios sobre. todos, p o r q u e es dador sobre t o d o s , y no p u e d e n c o r r e s p o n d e r l a 6 d á d i v a s d e l hombre a l a s d e Dios con i g u a l d a d , p o r i n f i n i t a d i s t a n c i a : y e s t a e s t r e c h e z a y c o r t e d a d , en cierto modo, l a s u p l e e l a g r a d e c i m i e n t o . . . .

Don Q u i j o t e d e l a Mancha.

radezco a:

- La Unidad de Cómputo del Instituto Tecnológico de Morelia, por la coiif iaiiza depositada en mi.

- El Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), por el conocimiento que me permitió descubrir y, en su momento, el apoyo económico.

- El Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el apoyo económico, gracias al cual fue posible llevar a feliz término esta empresa.

- La Unidad de Cómputo del Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIE), por las facilidades otorgadas para la realización de este trabajo.

A todos y cada uno de los que de manera directa o indirecta liaii colaborado en la realización de esta tesis.

CONTENIDO

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 .. Modelado geométrico de sólidos ..................... 5

. Modelos de Sól idos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. Problemas d e l modelado de s ó l i d o s ..................... 8

. Sistemas d e modelado de s ó l i d o s ....................... 9

. Modelos de descomposición ............................... 1 0

. Modelos cons t ruc t ivos ................................... 11

. Modelos de represen tac ión por f r o n t e r a s de pol iedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

. Modeladores h íb r idos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.- Modelos de representación por fronteras (B - reg) . 2 0

. Geometría y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

. C l a s i f i c a c i ó n de los modelos de B - rep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

. D e s c r i p c i ó i i d e l o s B r ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 f r o n t e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 por f r o n t e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

. Propiedades de los modelos por f r o n t e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.- B-reg para modelos basados en no-variedades . . . . . 33

. Pseudografo región y á r b o l -p r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

. Hipergrafo-3Dy á r b o l - c r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.- Superficies y sólidos por barrido de un

pseudograf o . región , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . Def in ic ión formal d e l problema . Construcción d e l á r b o l -c r a pa r t i r d e l

. Construcción de una c a r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

. Construcción de c a r a s b a j o una represen tac ión

. Construcción de l a s t apas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 Bibliograf ia y referencias . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

. Algoritmos de evaluación de l o s modelos por

. Representación paramétr ica pa ra e i modelado

.......................... 53 á r b o l -p r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

geométrica única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

INTRODUCCION

En un mundo incrementalmente competitivo, el tiempo que u11

producto toma en salir al mercado es posiblemente el factor que más

contribuye al éxito de un negocio. E1,camino que recorre una idea hasta su realización es largo y complejo, este incluye pasos como: def inición conceptual, diseño, fabricación, manejo de mercado y

publicidad. Uno de los aspectos que más tiempo consume es sin duda el diseño. El problema de llevar una idea a una forma "visible",

puede tomar semanas, meses y algunas veces años dependiendo de la

complejidad de los conceptos que se estén manejando.

Cuando un diseñador maneja imágenes en lugar de objetos reales

el proceso de diseño y la elaboración de prototipos es menos caro

en términos de tiempo. La generación de objetos tridimensionales y

más propiamente el modelado de sólidos es parte esencial del diseño asistido por computadora (CAD) y la ingeniería asistida.por compu-

tadora (CAE). Estas herramientas de diseño permiten retener la

fabricación de un artefacto hasta que el diseño conceptual se

completa y, en algunos casos, hasta que no se prueba la funcio-

nalidad de dicho concepto.

Aún cuando se cuenta con una amplia variedad de software para el desarrollo de prototipos, el diseño final en nuestros días depende en gran medida de la capacidad del diseñador. La revolución

CAD propuso las computadoras como un medio de disello más efectivo que el papel, por dos décadas esta propuesta sólo ha sido parcial- mente satisfecha; aun cuando los sistemas CAD han sido un medio superior de dibujo y han servido como un medio de comunicación para compartir información, la def iiiición de conceptos más precisos y

complejos es normalmente en papel.

La idea actual es que las computadoras deben de probar los

2

conceptos que permiten la implementación de un diseño y proponer

cambios para mejorar el funcionamiento de un artefacto. El sistema

CAD ideal debe ser un medio capaz de representar cualquier forma,

para permitir al diseñador mejorar todos los detalles del objeto que está construyendo.

Los modeladores de sólidos, basados en elementos geométricos simples (cilindros, cubos, esferas) o una combinacibn de ellos, han sido una herramienta para la construcción de modelos de artefactos.

Pero, la necesidad de construir modelos más complejos ha hecho que

estos modeladores se vean rígidos en cuanto a los conceptos y las formas que pueden manejar. En estos modeladores cuando se requiere representar un objeto que no puede ser coiistruido con elementos geométricos simples, lo tratan como un caso especial o simplemente

fallan al realizar esta operación [CROCXER].

En este trabajo se presenta una representación por fronteras

con una topología basada en no-variedades que supera las limita- ciones asociadas con la representación topológica basada en

elementos geométricos simples, en ella se pueden representar casos

de intersección y coincidencia geométrica de una manera uniforme y

transparente, sin casos especiales. En particular se presenta la

implementación de la técnica para la generación de superficies y

sólidos a partir del barrido de una representación bidimensional.

Los modelos geométricos creados tienen la cualidad de poder ser usados en algoritmos de elemento finito y evaluación de frontera, lo que permite crear sistemas de' software que sean capaces de evaluar un modelo antes de construir un prototipo.

La forma en que se presenta e l material de este trabajo es el siguiente: en el capítulo 1 se exponen los conceptos básicos del modelado de sólidos y se describe las tres técnicas más comunes para la representación de sólidos en la computadora; en el capítulo 2 se describe de manera especial la representación de sólidos por

fronteras. En el capítulo 3 se describen los esquemas desarroliddos en la unidad de cómputo del Instituto de Investigaciones Eléctricas

3

(IIE) para modelos de representación por fronteras basados en no-

variedades: el pseudografo-región .y el árbol-pr para dos

dimensiones; el hipergrafo-3D y el árbol -cr para tres dimensiones.

En el capítulo 4 se describe la forma de construir la represeii- tación de superficies y sólidos (hipergrafo-3D) por barrido de uiia

representación bidimensional ípseudografo-región) . Finalmente se presentan las conclusiones y las líneas de investigación para

trabajos futuros.

4

Capítulo 1

MODELADO GEOMETRIC0 DE SOLIDOS

El término modelado geométrico aparece en los años 70's junto

con los desarrollos de la computación gráfica y se relaciona con el conjunto de métodos usados para definir la forma y otras caracte-

rísticas geométricas de un objeto.

El modelado geométrico se usa para representar una descripción

matemática precisa de la forma de un objeto real. Los datos almacenados para un modelo en particular dependen del alcance de

las preguntas que se desea poder contestar y, por tanto, no es

posible limitar la cantidad de datos de interés potencial. Debido a que las técnicas para almacenar y procesar datos son indepen- dientes de las aplicaciones, se separa la información de la geome- tría del objeto de los demás datos no geométricos. De esta manera todos los datos se denominan modelo del ob je to , mientras que la parte puramente geométrica constituye un modelo geométrico. Un modelo geométrico es pues una parte del modelo del objeto.

El modelo geométrico de un sólido es una representación

matemática no ambigua y completa de la forma de un objeto físico en una forma tal que uiia computadora puede procesar [MORTENSONI .

El modelado de s61idos es una rama del modelado geométrico que enfatiza la aplicación general de los modelos, y la creación de sólo representaciones "completas" de los objetos sólidos reales.

El modelado de sólidos debe de representar en forma eficiente

y robusta la información geoinétrica de un producto a ser manufactu- rado. Esta representación debe de poder soportar fácilmente métodos

de aiiálisis tales como pruebas de esfuerzos, transf ereiicia de

5

c a l o r , c á l c u l o d e l volumen, maiiuf a c t u r a cont ro lada por computadora y con t ro l de c a l i d a d .

1.1 MODELOS DE SOLIDOS Antes de d e s c r i b i r l o s modeladores de s ó l i d o s definiremos

cuá les c a r a c t e r í s t i c a s y propiedades deben de t ene r los só l idos que s e representan en e l l o s .

Par t iendo de l o más e s e n c i a l , podemos cons iderar e l espac io Euclidean0 E ' como una i d e a l i z a c i ó n d e l espac io r e a l donde se encuentran inmersos nues t ros o b j e t o s . E n consecuencia, l a a b s t r a c - ción matemática más genera l de un o b j e t o s ó l i d o es un subconjunto de puntos de E ' . Podemos entonces hacer l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :

Definición 1.1: Un s 6 l i d o es un subconjunto acotado y cerrado de E ' .

Esta d e f i n i c i ó n 1.1 captura c i e r t o s aspec tos de nues t r a noción de un s ó l i d o f í s i c o , pero l a c l a s e de ob je tos permit idos por e l l a e s t á muy l e j o s de t e n e r un s e n t i d o Ú t i l para nues t ros p ropós i tos .

Rigidez: E s n a t u r a l e spe ra r que un s ó l i d o debe de permanecer igua l s i s e . l e mueve de un luga r a o t r o . Esto puede se r ' expresado más r igurosamente por e l hecho de que el s ó l i d o debe de permanecer i i ivar ian te ba jo transformaciones r í g i d a s ( t r a s l a c i ó n y ro tac ión) . La s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n captura l a esenc ia de e s t a c a r a c t e r i s t i c a :

Definición 1.2: Un o b j e t o r í g i d o e s una c l a s e equ iva len te de conjuntos de puntos de E determinado po r l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n O: sean A y B subconjuntos de E ' . Entonces A O B e x i s t e si y s610 s í A puede s e r mapeado a B coil una t r a n s - formación r í g i d a .

3

It

Regularidad. - Esperamos que un s ó l i d o sea "todo m a t e r i a l " ; nc e s pos ib le que un simple punto, una l í n e a o una á rea bidimensional

pueda ser considerado como tal. De la misma manera un conjuiito sólido no debe de contener puntos, líneas o caras aisladas. Los

requerimientos pueden ser descritos .en una forma compacta en el lenguaje de la topología de conjuntos de puntos:

Definición 1.3: La regularización de un conjunto de puntos A , r ( A ) , está definida por r (Al - c (i (A) I donde c(A) e i(A) denotan la cerradura y el interior de A. LOS

conjuntos que satisfacen r(A) = A se dice que son regulares.

Inf ormalmeiite hablando, la regularización elimina todas las

partes del conjuiito de Fjuntos que se encuentran aisladas, lo cubre con una delgada piel, y al resultado lo llena con material.

La regularidad es ampliamente usada como una característica de

sólidos razonables, por.10 que, se adopta la siguiente definición

[ REQUICHA] :

Definición 1.4 : UIJ conjunto regular acotado es denominado un r - con j un to.

Variedades de dimensión dos: La caracterización de sólidos mediante superficies se basa en la observación de la frontera del

sólido. La frontera se considera como una colección de caras que se

pegan juntas, de tal forma que ellas forman una superficie completa y cerrada alrededor del objeto. Intuitivamente una superficie puede ser clasificada como un subconjunto de E ' el cual es en esencia bidimensional : todos los puntos de una superficie (excepto los de

las aristas de una superficie abierta) están rodeados por una región bidimensional que pertenece a la superficie.

Las esencia bidimensional de la frontera de un sólido nos permite construir un modelo plano para ella y estudiar las

propiedades del sólido a través de modelos bidimensionales de su

frontera. La contraparte más abstracta de una superficie cerrada se

'I

I 7

define como sigue:

Definición 1.5: Una variedad de dimensión dos es un espacio

topológico donde cada punto tiene una vecindad topológicamente

equivalente a un disco abierto de E'.

1.2 PROBLEMAS DEL MODELADO DE SOLIDOS Completes. - El modelo debe tener información suf icieiite para

dar respuesta a preguntas geométricas arbitrarias.

Integridad: La integridad de un sistema consiste en no permitir la generación de modelos incorrectos, por ejemplo, sólidos

con líneas, puntos o caras aisladas. El problema es proveer suficientes pruebas de integridad sin castigar la facilidad de uso

y la flexibilidad del sistema de modelado.

complejidad y alcance geométrico: El problema de la inte-

gridad está relacionado con otro problema, la complej,idad de generación de un modelo. La dificultad de trabajar con modelado

geométrico en una computadora crece coil la complejidad de la

formulación matemática .usada.

ll

Naturaleza de la computación geométrica: Buscando que los modelos generados sean de aplicación general, esperamos que un

modelador de sólidos sea capaz de proporcionar, de manera aigo-

rítmica, respuestas a preguntas geométricas que dependen de su aplicación ingenieril. Preguntas cuya respuesta puede ser una imagen, un simple número, una constante booleana e inclusive otro

modelo sólido que represente el resultado de alguna operación.

1.3 SISTEMAS DE MODELADO DE SOLIDOS Una de las ideas11 elementales del modelado geométrico es que

tenga sentido separarlo de las aplicaciones, y buscar técnicas de modelado que sean relativamente independientes de los objetos

8

1

'I I1

p a r t i c u l a r e s a modelar Ily d e l uso pensado p a r a los modelos.

In ic ia lmente l o s o b j e t o s son d e s c r i t o s en e l modelador en [MANTYLA]

I/

~

términos de un lenguaje áe descripción basado en l o s conceptos de modelado d i spon ib l e s en é l . E l u sua r io puede i n t r o d u c i r l a descr ipc ión a t r a v é s d e t 'extos o , de p r e f e r e n c i a , Por medio de interfaz gráfica. 11

una vez proporcionada l a desc r ipc ión d e l o b j e t o se transforma para crear l a represen tac ión i n t e r n a manejada por e l modelador.

L a cons t rucc ión de un modelador está basada en l a se l ecc ión de primitivas de modeladoi y una co lecc ión de procedimientos de modelaüo para su s e l ecc ión , combinación y manipulación. Las p r imi t ivas de modelado '+pueden ser puntos , curvas , s u p e r f i c i e s y ob je tos s b l i d o s p rede f in idos .

II

E s c l a r o que l o (que se busca es una represen tac ión que codi f ique un conjunto i n f i n i t o de puntos en una can t idad f i n i t a de almacenamiento en computadora en una forma g e n e r a l . Los esquemas de represen tac ión comunes r ea l i zados de esta manera se d iv iden en las

1 tres c l a s e s s i g u i e n t e s :

I 1. Model06 de descomposición, represen tan un conjunto de puntos

II como una colección de o b j e t o s simples (tomada de una coleccióii f i j a de t i p o s de , ,obje tos p r i m i t i v o s ) unidos con una simple operación de "pegado".

I1

2. Modelos constructivos, represen tan un conjunto de puntos como

una combinación de conjuntos de puntos p r i m i t i v o s . Cada una de las p r i m i t i v a s es,, represen tada como una i n s t a n c i a de un t i p o s ó l i d o p r i m i t i v o . L o s modelos cons t ruc t ivos incluyen opera - c iones de construcción más gene ra l e s que simplemente pegar ( i n t e r s e c c i ó n , unión, d i f e r e n c i a ) .

I

II

3. Modelos de representación por fronteras, represen tan u n conjunto de punto's en términos de sus f r o n t e r a s . La Erontera de un s ó l i d o t r i rpmens iona l es una s u p e r f i c i e bidimensional

I 1

9 II

que s e r ep resen ta gFneralmente como una coleccióri de c a r a s . Las c a r a s , a s u vez, son representadas en términos de SUS f r o n t e r a s que son a r i s t a s unidimensionales. Estos modelos por f r o n t e r a s pueden s e r v i s t o s como una j e r a r q u í a de modelos ( f i g u r a 1.1).

\ I1

suiyf i c i e A r ' s t a

L- Vér t i ces 'Ic- A r ' s t a 11

L- Vér t i ces

Su e r f i c i e ''Y A r e a s I/ Vér t i ces

'I' c- A r ' s t a ' 11

'L

Vér t i ces L

F i g u r a , $ . l J e r a r q u í a de los modelos de represe i i tac ibn por f r o n t e r a s

11

1.4 MODELOS DE DESCOMPOSICION Algunos de l o s modelos de descomposición son lo s s i g u i e n t e s : Enumeración exhauativa: Consis te en r ep resen ta r un s ó l i d o a

t r a v é s d e l conjunto de cubos que e s t á n contenidos completa o parcia lmente en 61 (ve r f i g u r a 1 . 2 ) . Los cubos s e asume que no s e encuentran t ras lapados y que t i enen un tamaño y o r i e n t a c i ó n uniforme, por e s t o s e d i c e que forman una subdivis ión r e g u l a r en e l

1)

'1

espac io . It

11 Lo i n t e r e s a n t e de los modelos de descomposición es que s u s

representac iones s e pueden c o n v e r t i r a representac iones de l o s modelos cons t ruc t ivos y los modelos por f r o n t e r a . Esto permite que s e l e s use como una representac ión a u x i l i a r para a c e l e r a r e l acceso y l a s operaciones en dichos modelos. Una v a r i a n t e en dos

'1

t

11

11

.. - . . . - . . 'I

iI

dimensiones de la enumeración exhaustiva es la representación de

imágenes binarias. 'I Esquemas de subdivisión de espacios.- El esquema de enumera-

ción exhaustiva tiene muchas virtudes: es simple, general y permite el use de una amplia variedad de algoritmos. Sin embargo, estos

puntos buenos se ven opacados por el enorme consumo de memoria y la mediocre exactitud posible. Para superar esto muchas representa- ciones reemplazan la subdivisión elemental de la enumeración pura por una más ef icieiite subdivisión adaptativa.

11

11

U

Figura 1.2 Representación de un modelo '1 de descomposición

Y Ejemplos de los esquemas de subdivisión son los octrees, la subdivisibn de espacios binarios, la subdivisión de espacios

linealizados y los octrees lineales [MANTYLA] [MORTENSONI . t 11

'I 1.5 MODELOS CONSTRUCTIVOS

U Modelos basados en semiespacios.- Estos modelos parten de la

definición básica de los sólidos cemo un conjunto de puntos de E3. su idea es iniciar de' un conjunto de puntos lo suficientemente

simple que pueda ser Gepresentada directamente, y modelar nuevos conjuntos de puntos en términos de combinaciones de estos conjuntos

'!

simples (figura 1.3). 'I . 11

Todo el conjunto de puntos A tiene una función característica f ( X ) 3 e' - > C0,lI con l'ki cual decimos que un punto X es considerado

. . 'I 1

_.

iI 'I

satisfacer 'I 0 110 miembro de A . En I otras palabras, la función f debe de

f ( X ) = 1 X E A f \ X ) = O X #? A

11 Debido a que cualquier función continuamente diferenciable

g ( x , y , z ) = k divide el espacio total dentro de los subconjuntos de

semiespacios. Como los semiespacios son conjuntos de puntos, los procedimientos naturales de combinación son las operaciones

11 booleanas de conjunto: unión (U), interseccibn (n) y el conjunto diferencia ( \ ) . '1

puntos definidos por g ( x , y , z ) 'I 2 k y g ( x , y , z J 5 k estos son llamados

h

'I Figura 1.3 Representación basada en

I) semiespacios

II

'I Qeometrfa sólida constructiva (CSQ): Los modelos de semiespa-

cios puros ofrecen una base matemática rigurosa y fácil de entender

para modelar sólidos. kin embargo, para los humanos, es más fácil operar con primitivas acotadas que con semiespacios no acotados.

Para evitar la generación de los conjuntos no acotados, la técnica

utiliza como sus primiltivos sólo conjuntos de puntos acotados.

11

llamada geometría sólida 1 constructiva para el modelado de sólidos

't

La CSG adopta la, 'I técnica "construcción-bloque" en su forma 'I 12 I1

'I pura. El usuario de un modelador CSG opera sólo en instancias

11 parametrizadas de primitivos sólidos y operaciones de conjuilto 03 booleano sobre ellos. Cada primitiva está definida como una CV

't M combinación de semiespacios; sin embargo, el usuario no tiene c-

cn acceso directo a los semtespacios individuales. P-

Y La forma más natural de representar un modelo CCG es el

llamado árbol CSG, que duede ser definido como sigue:

11 : : = I

1 3 ;

Y Cada primitivo es seleccionado de tal manera que define un

coiljunto acotado de puntos de E3. Como las operaciones de conjuiltos disponibles no pueden destruir el acotamiento los modelos CSG garantizan conjuntos acotados.

11

11

11 La facilidad de uso de un modelador CSG depende en gran medida

de la colección de primitivas disponibles. Algunas combinaciones de

primitivas CSG (o semiespacios) no satisfacen completamente la noción de regularidad, por lo que, este concepto se extiende a las

operaciones booleanas. 'I

11

!

Y Definición 1.6: ml conjunto de operaciones regularizado unión *, interseccipn ', y conjunto diferencia , denotado U , n' y \ * se definen'coino:

11 11 . A u' B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) ) AI\' B = c(i(A \ B))

11 doiide U, n, y \ denotan las operaciones usuales.

Aun así, no es ,posible asegurar el resultado se pueda

representar adecuadamente, como veremos en el capítulo tres. La evaluacióii de propiedades integrales (tales como el volu-

men) de un modelo CSG está basado ordinariamente en algoritmos de conversión que implícitamente construyen un modelo de descompo-

sición aproximada del sólido. La evaluación de la propiedad se reduce al cálculo de! las contribuciones de cada celda de la descomposición al resultado total.

I1

NI

11

I/

11 1.6 MODELOS DE ,, REPRESENTACION POR FRONTERAS DE POLIEDROS

Y Los modelos de descomposición y los modelos constructivos ven los sólidos como conjuiltos de puntos y buscan representaciones para ellos discretizando o construyendo conjuntos más simples. Eii

'I 14

1 'I c o n t r a s t e l o s modelos por f r o n t e r a s representan un s ó l i d o de manera i n d i r e c t a a t r a v é s de la,s s u p e r f i c i e s que l o acotan . LOS modelos

por fronteras representan un o b j e t o s ó l i d o d iv id iendo S U Superficie en ulla co lecc ión de c a r a s , generalmente, l a d i v i s i ó n s e rea1iza de tal mallera que cada tira t i e n e una representac ión matemática compacta, t a l como pianos , s u p e r f i c i e s c u a d r á t i c a s , Y en gelleral s u p e r f i c i e s paramét r icas .

11

11

I1

'I Las curvas frontera! s e representan por medio de l a d i v i s i b n de

a r i s t a s . Análogamente, l a s a r i s t a s son representadas en forma conveniente , por ejemplo, a t r a v é s de ecuaciones paramét r icas . E l segmento de curva que forma l a a r i s t a s e aco ta con dos v é r t i c e s . I

11 Los t r e s t i p o s de o b j e t o s : c a r a , a r i s t a y v é r t i c e , a s í como l a

información geométrica l igada a e l l o s forman l a base para c o n s t r u i r un modelo de representac ibn por f r o n t e r a s . En suma a l a información geometrica l o s modelos por f r o n t e r a deben r e p r e s e n t a r como s e encuentran re lacionadqs las a r i s t a s y los v é r t i c e s . por l a importancia de l o s modelos de representac ión por f r o n t e r a s para e s t e t r a b a j o , los analizaremos a d e t a l l e en e l s i g u i e n t e c a p í t u l o .

I/

'I

t

II

1.7 MODELADORES' 'I HIBRIDOS Ninguna de l a s t r e s I1 t é c n i c a s d e s c r i t a s e s supe r io r a o t r a en

todos los aspec tos . Obviamente, una combinación de l a s t r e s deber ía

de s e r supe r io r a cua lqu ie ra de e l l a s s o l a , e s t o motiva e l uso de representac iones m ú l t i p l e s s i i n u l táneas en los s i s temas de modelado product ivos . U n modelador h í b r i d o debe s e r capaz de sopor t a r v a r i a s representac iones de s ó l i d o s coex i s t en te s y t r a t a r de r e s a l t a r l a s mejores c a r a c t e r í s t i c a ' k de e l l a s para t a r e a s d i s t i n t a s .

r 11

11

1.7.1 Problemas de iI los modeladores híbridos La coex i s t enc ia de v a r i a s r e p r e s e n t a c i o i ~ e s en un modelador

produce nuevos problemas e n t r e e l l o s : 11

1 Conversiones.- Claramente l o s a lgor i tmos de conversión de u n

15 'I

11 model; a otro formall Una parte fundamental de un modelador híbrido' Desafortunadamente, existen limitaciones iii1ierentes a 10s tipos de conversión que un modelador' híbrido puede soportar.

construct~vos y CSG en particular, tienen la virtud de que pueden

ser convertidos a otras kepresentaciones; la conversión de ellos a un modelo por fronteras] ha sido demostrada en varias investiga- ciolles y modeladores CSG comerciales; desgraciadamente, la conver-

sibn inversa no está disponible, en particular, la conversión de u11

modelo de representacióh por fronteras a un modelo CSG permaiiece sin solución para propósitos prácticos

11

1

I/

1 [MANTYLA] .

'! La conversión de un modelo de descomposición a un modelo por

fronteras o un modelo CSG es valiosa en casos como la tomografía computarizada, en dondellla información se recibe como una represeii-

tación biiiaria que debe ser convertida y, almacenada como un modelo por fronteras o un modelo CSG.

'r

11

Y Consistencia. - Si, se dispone de un algoritmo de conversión

entre dos representacjones en un modelador híbrido, debe ser posible la representac,ión consistente. Pero esto normalmente se

hace a costa de limita?? la funcionalidad del modelador.

En geileral, un mobelador híbrido que busca una consistencia

total entre dos o más ,representaciones sólo lo logra col1 sólidos que pueden ser representados en todas ellas. El corijunto de operaciones booleanas tiene su posición prominente en el modelado

de sólidos en Parte Por'que estas pueden ser utilizadas en todas las representaciones que aquí se mencionan. Desafortunadamente este co*luIlto de operaciones no es suficiente para construir una buena interfa2 entre el usuario y ei modelador de sblidos.

11

1

II

't

I1

'1

!I Transacciones de jmodelado. - Todas las modificaciolles a las

representaciones toman! lugar en una forma secuencial. Por lo tallto,

110 puede existir una consistencia total entre las diferentes rePresentaCiones en todos los instantes del tiempo. I/

Esto nos modelado como

Y motiva a definir el concepto de una transacción de

una secuencia 11 indivisible de operaciones de modelado

16 ! I1

que comienza en un estado consistente y termina en otro estado consistente. Las representaciones sólidas en el almacenamiento

1

1

secundario le agregan 'btra dimensión a las transacciones de

modelado: una sesión de modelado interactivo es completa sólo I1

'I

deben ser aún más. i1

después de que un resultado relevante es almacenado. Si las funciones disponibles para el usuario deben ser diseña-

das con cuidado en los modeladores básicos, en un modelo híbrido lo

1.7.2 ArguiteCtUraS lhíbridas La solución usualmente adoptada en un modelador híbrido para

resolver la carencia de .conversión y consistencia es tratar una de las representaciones soportadas como primaria y la Otra como

secundaria. En este sentido, la mayoría de los modeladores de

sólidos disponibles caen dentro de una .de dos principales arqui-

tecturas. Los modeladores en la primera arquitectura ordinariamente

usan árboles CSG como su representación primaria. Desde los árboles CSG los modelos por frontera pueden ser creados a través de

evaluaciones de froiiterta, y los modelos de descomposición a través de algoritmos de clasilicación (figura 1 .5 ) .

'1

t

Ji

iI

'I

11 estructuras de datos por frontera. Estas facilidades pueden incluir operaciones de dibujo y ,\barrido, o modificaciones locales a las fronteras de los sblidos. En estos sisteinas el papel de la CSG es

11 únicamente el de una repyesentación auxiliar.

1.7.3 Modeladores distribuidos 1 L~ tendencia actuar se dirige hacia el USO de 10s Sistemas

gráficos distribuidos, 'los cuales consisten de una Computadora arifitriona y estaciones de trabajo gráficas actuando sobre modeladores híbridos. Como las estaciones de trabajo gráficas tienen una considerable potencia de proceso propia, y son

normalmente pequeñas computadoras, el problema consiste en dividir

la labor entre la anfitriona y la estación de trabajo. Una solución a este dilema es la iiitr'bducc.ión de un modelador distribuido, parte del cual reside en la estación de trabajo y parte en la máquina

11 anfitriona. como un edemplo de la división de labores en un modelador distribuido, en [ATHERTON] se sugiere la separaciói~ de un

'I modelador visual y un ! modelador analítico. El modelador visual soporta un proceso interactive rápido, y reside localmeilte eri la

I estación de trabajo. El modelador analítico es almacenado el1 la

computadora anf itrioiia!l

4

11

'I

11

~

interfaz CSG

~- 9 interfaa fronteras gráfica

modelos por

- 1 modificacionefi locales .$

modelos de descomposición II

Figura 1.6 Arquitectura de un modelador híbrido

11

Muchas estacione21 de trabajo gráficas almacenan una lista do despliegue estructurado con primitivas gráficas de polígonos, que

It

1 Queden ser consideradas ~ o m o modelos de polígonos. La lista de L

despliegue es collstruida Por un modelador pcr f rentera residente en

la computadora anfitriona, y debe ser actualizada para reflejar las operaciones realizadas en ,I el modelo sólido.. Desafortunadamente,

esta arquitectura posee requerimientos muy fuertes para ia coinunicación anfitrión-estación en el ambiente distribuido.

Como un paso adelante, un modelo de facetas debería de ser usado en el papel de un modelador visual, por ejemplo, proporcio- nando un proceso intedactivo rápido dentro de la estación de trabajo. Esta técnica' es apoyada fuertemente porque muchas

estaciones de trabajo tienen un hardware especial para procesar rápidamente modelos de poliedros.

1

!I

'11

I

1

11

iI

I anfitriona i/ modelador

RL exacto L

j- ' : estación de trabajo modelador visual modelo aproximado Fig& 1.7 Un modelador distribuido

I Para aplicaciones1 numéricas que requieren una alta precisión,

la información de la 'superficie del modelador visual puede ser transmitida a la combutadora anfitriona y construida por el

modelador analítico.

I

11

'I

I iI

19

Capítulo 2

MODELOS DE 11 REPRESENTACION POR FRONTERAS (B I/ - rep)

11

La frontera de unl)cólido separa los puntos que se dentro de los que se encuentran fuera del sólido. Los

encuentran

modelos de

representación por frontera 11 (B-rep) emplean una estructura de datos

tipo grafo para describir las caras, aristas y vértices que forman

la frontera de un objeto sólido [MILLER]. Antes de iniciar el

análisis de los B-rep sib establecerán las bases teóricas para dicho análisis. Para facilitar este estudio se necesita hacer una clara

11 distinción entre la geometría y la topología.

11

I/

2.1 GEOMETRIA Y TO~OLOGIA La geometrid se define como la parte de las matemáticas que se

ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, líneas, superficies y'[ cuerpos. Representa esencialmente toda la

información de la forma de un objeto, incluyendo el espacio en el

nentes de sus diferentes elementos.

1

cual se encuentra y la 'I localización precisa de todos los compo- I

11

La topologfa por def iiiición es una abstracción, un subconjunto de la información de la geometría de una forma. M á s formalmente, es

el conjunto de propiedades que permanecen invariantes bajo cual - quier transformación biyectiva y bicontinua [HU 651. Esto implica

que las propiedades representadas por la topología no incluyen el conjunto de información que cambia con las transformaciones, es decir, la topología es un conjunto incompleto de información de la forma que se deriva de una especificación geométrica [HU 641.

11

11

Bajo esta idea la, 1 información topológica puede ser considerada 2 0

'I

II como una vaga definición; de un objeto localizado en aigúil lugar. De tal forma, la topología !restringe, pero no define de manera Única, la geometría de un objeto. Caso contrario, la descripción geomé- trica define de manera única la topología de un objeto, aún cuando

I 11

tal información puede nh estar en una forma explícita-

'I Deiltro del modelado geométrico, una parte de la topología que

se ha estudiado mucho se relaciona con la adyacencia entre elemell- tos topológicos (vértfces, aristas y caras),. Una relación de adyacencia individual sle define, en términos de proximidad y orden físico, como'el grupo \de elementos topológicos de un mismo tipo alrededor de uii, e1ement.o topológico simple (existen en total nueve

relaciones de adyacencja) [WEILER 851 ; un ej'emplo de relación de

adyacencia es el conjunto de aristas que se conectan a un vértice. La información topológica puede servir como un marco dentro

del cual se coloca la Jinformación geométrica. La topología sirve entonces para mantener juntos todos los ' componentes geométricos individuales de acuerdo con sus relaciones de interconexión. Eli

It

Y.

11

I

este >>

>>

>>

sentido queremos dar a entender lo siguiente:

La información topológica II está explicitamente disponible. La topología sirve como un factor de organización en el

esquema de las estructuras 1 de datos usadas en la representa- ción y, por tanto

La topología proporciona una estructura unificada, es decir, toda la informaci[ón topológica está asociada.

en los algoritmos que operan con ellas. I '

[WEILER 851

2.1.1 Conceptos de 'I la teoría de grafos Uii grafo G consiste de un conjunto finito no vacío V = V í G i de

p puntos y un conjunto X de q parejas desordenadas de puntos distintos de V. Cada par x = iu,vl de puntos en X es una línea de

G, y se dice que x asocia a u y v. Se escribe x = uv para decir que u y v son puntos adyacentes; el punto u y la línea x inciden uno con otro, como también lo hace v y x. Si dos lineas distintas x y y inciden en un punto común, entonces ellas son dos líneas

adyacentes. Un grafo con p puntos y q líneas se denomina un girafo

It

NI

11

I p , q l . El grafo ( 1 , O ) '1 es trivial.

Note que la definie:ióil de g ra fo no permite lazos, e s t o est no se permite que una l í n e a a s o c i e uii punto coiisigo mismo. Ell u11

l a zos pero se permi te que más de una

linea a s o c i e dos pun tos ; e l l as se denominan lfneas múltiples. S i se permiten ambos, l azos y l i n e a s m ú l t i p l e s , se t i e n e un pseudografo. Un grafo di'rigido o digrafo D co i l s i s te de un conjunto f i n i t o no vac ío V de puntos y una co lecc ión ordenada X de p a r e j a s de puntos d i s t i n t o s . Los elementos de X son l í n e a s d i r i g i d a s o a r c o s . P o r d e f i n i c i ó n un d i g r a f o 110 t i e n e l azos o a r cos m ú l t i p l e s . Un grafo orientado es un d i g r a f o que no t i e n e pares s imé t r i cos de l i n e a s

multigrafo, no se permiten ;1 I 11.

11

'I

d i r i g i d a s [HARARY] . I!

11 2.1.2 Conceptos togológicos

11 Se requie ren algu'pas i deas de espac ios topológicos métr icos [HUI pa ra c a r a c t e r i z a r e l dominio de l a , s formas de i n t e r é s en e l contexto d e l modelado geométrico de s ó l i d o s . L a s s igu ie i i t es d e f i n i c i o n e s , aún cuando no son muy r i g u r o s a s , se rán ' d e grari u t i l i d a d en las d iscus iones p o s t e r i o r e s .

I) I!

I1

Un disco abierto I es una por.ciÓn de un espac io bidimensional que cae d e n t r o de un 'Circulo de r a d i o p o s i t i v o con c e n t r o en un punto dado, excluyendo! l a f r o n t e r a d e l c í r c u l o . Una esfera abierta es e l análogo t r id imens iona l d e l d i s c o a b i e r t o ; . es e l conjunto de puntos que se encuentra den t ro de una esfera con c e n t r o en algún punto y de r a d i o mayorjque ce ro , excluyendo también l a f r o n t e r a de l a e s f e r a .

I

'11

11

'I U n subconj unto d e l espac io topológico e s arco-conectado s i

e n t r e dos puntos cua lqu ie ra en un subconjunto d e l espacio e x i s t e una t r a y e c t o r i a contdnua que se encuentra contenida to ta lmente

den t ro d e l subconjunto. Una superficie, pa ra e s t e p ropós i to , e s un

cuando l a s u p e r f i c i e es localmente bidimensional , é s t a puede e x i s t i r geométricamente en un espac io t r id imens iona l y puede s e r

espac io bidimensional 'I arco -conec tado . Hay que hacer n o t a r que a ú n .t

curva . I1

2 2

!I

Se dice que una superficie es acotada si la superficie puede

ser en su totalidad por alguna esfera abierta. La

froiltera de ulia superficie puede ser una curva abierta 0 cerrada o bien ull punto de la superficie. Una superficie es cerrada si es acotada y no tiene frqntera. Por ejemplo, un plano infinito no

tiene frontera, pero es no acotado; por el contrario, la esfera es una superficie cerrada.',

1 11 1

11

iI

'I una variedad de dimensión dos es una superficie bidimensional

arco-conectada donde yada punto de la superficie (excepto su f roiitera) tiene una vecindad topológicamente equivalente a un disco

abierto.

11

ii Una variedad puede o no ser una superficie cerrada. Se dice

que una variedad V es orientable si y ~610 si existe un campo vectorial normal en V que es diferente de cero en cada punto de V,

excepto en su frontera. Estos dos Últimos aspectos son importantes Porque, dentro del modelado geométrico de sólidos, se requiere que

las superficies que acotan a un sólido sean cerradas y orientables,

encierra la superficie,,^ io que deja fuera de ella.

'1

11

de tal manera que se. I tenga una clara distinción entre io que

Una no-variedad lfíiion-manifold) es un término del modelado geométrico usado para referir situaciones que no pueden ser

En un ambiente de no-variedades, la frontera del objeto alrededor de un punto dado no es topológi- camente plana, es decir, los vecinos de los puntos no están contenidos necesariamente en simples discos bidimensionales. Esto permite situaciones tales como un cono tocando en otra superficie en un sólo punto y unlpar de cubos unidos por una sola arista.

Los modelos que más eiifatizan la estructura topológica son los modelos basados en grafos. Por ejemplo, en los B-rep un sólido se representa como una lista de caras con sus respectivas ecuaciones de superficie; las aristas de estas caras se representan con

ecuaciones de curvas) con apuntadores a sus vértices y caras adjuntas; y finalmente, los vértices se representan como una lista

de coordenadas con apditadores a las aristas que se conectan & cada uno de ellos. En suma a estas listas los B-rep registran la:;

representadas con variedades. I)

Y

t

I iI

I I .

1

I 2 3

relaciones de adyacenci4.

Las superficies en E 3 pueden ser clasificadas en dos catego-

rías: simple-conectadas y múltiple-conectadas. Una superficie es simple-conectada si toda curva cerrada dentro de su área puede

reducirse continuamente a un punto dentro de la superficie, de lo contrario es múltiple-conectada.

I 11

0

II

2.2 CLASIFICACION DE LOS MODELOS DE B-REP El criterio de validez de un modelo'de representación por

fronteras, para objetos limitados por superficies cerradas y orientadas, incluye las siguientes condiciones' [MANTYLA] :

El conjunto de car~as de un modelo por fronteras es cerrado, es

decir, las caras Irforman la frontera completa del sólido sin

olvidar ninguna parte.

'1

'I

>> Las caras de los, 'I modelos no se intersecan con alguna otra excepto en los vértices y aristas comunes.

simples que no se'( intersecan entre eiios.

'I >> Las fronteras de las caras son de manera general polígonos

Las dos primeras \condiciones excluyen objetos con autointer - secciones. La tercera es relativa a la integridad topológica de las

fronteras del modelo. Desgraciadamente, la integridad geométrica de un modelo por froiiter;as que se define por la segunda y tercera

condición, no puede ser forzada sólo por medio de estructuras: asignando de forma idpropiada información geométrica a entidades

topológicas razonables, se pueden crear modelos no válidos.

11

i

11 De manera general podemos agrupar los modelos de B-rep en los

siguientes grupos :

iI Modelos por fron$era basados en po1igonos.- Un B-rep que sólo

tiene caras planas es I/llamado un modelo de poliedros. Debido a que

todas las aristas de un poliedro son segmentos de línea recta, se pueden tener estructuras de datos muy compactas para una B-rep d- 11

1 ' 2 4 II

11 e s t e caso e s p e c i a l . Modelos

en polígonos como c a r a s i

I

por front& basados en vértices. - En u11 B - r e p basado l a s coordehadas de un v é r t i c e s e r e p i t e n t a n t a s veces

.ncidan en ,161. Esta redundancia puede ser el iminada int roduciendo los v é r t i c e s como ent idades independientes de l a e s t r u c t u r a de d a t o s . En e s t e caso , l o s i d e n t i f i c a d o r e s de v é r t i c e s s e asocial1 con l a s c a r a s . Esta t é c n i c a es conocida como modelo de

f r o n t e r a basado en ;vé r t i ces . La representac ión no inc luye información de l a s u p e r f i c i e , como todas l as ' ca ras son p lanas , s u geometría e s t 6 completamente def i i i ida por l a s coordenadas de sus v é r t i c e s ; s i l a s ecuaciones de l a s ca ras neces i t an cá l cu los

't

I 1 I1

11

'1)

iiuméricos, e l l o s deberán e s t a r asociados con 'los v é r t i c e s . E ~ I e s t á r ep resen tac ión , l a l i s t a de v é r t i c e s de cada c a r a debe

de t ene r un orden que: r ep resen te l a or, ientaciÓn de l a s a r i s t a s . Esta o r i e n t a c i ó n es ú t i l en a lgor i tmos como los de el iminación de ' l í n e a s o c u l t a s .

Ir

't

E l t ene r información en forma redundante, puede producir I

s u t i l e s problemas numéricos [MILENKOVICI , [EDELSBRUNNER] . I!

Modelos por frontera basados en aristas.- Los modelos basados en v é r t i c e s son s imples , pero cuando s e t r a t a de r ep resen ta r una s u p e r f i c i e cuya f r o n t e r a e s curva requieren una gran cant idad de v é r t i c e s para l a aproximación. Un modelo por f ronte . ra basado en a r i s t a s r ep resen ta una ca ra en términos de una secuencia cer rada de

a r i s t a s .

11

11

a r i s t a s . Los v é r t i c e s , d e iI l a ca ra s e representan sblo a t r a v é s de '1

It

En e s t a e s t r u c t u i a de da tos se debe i n d i c a r una o r i e n t a c i ó n para l a s a r i s t a s y l a o r i e n t a c i ó n de l a s ca ras debe s e r d e f i n i d a de manera c o n s i s t e n t e . Por ejemplo, l a s a r i s t a s de una c a r a deben s e r l i s t a d a s en sen t ido de' las maneci l las d e l r é l o j cuando s e ven desde a f u e r a d e l s ó l i d o . Note que cada a r i s t a s e r ep resen ta en dos c a r a s , una respetando l a o r i$n tac ión y una en sen t ido opuesto.

I

Estructura de ddtos de aristas con alas: La inclusiói i de iiodos e x p l í c i t o s para cada uno de l o s o b j e t o s bás icos ( c a r a , a r i s t a , y v é r t i c e ) abre l a s p u e r t a s para l a e laborac ión de E-rep

1

il !I

. . . ; I - - 1 basados en a r i s t a s más )completos . Muchos de l o s esquemas usados actualmente para r e g i s t r a r r e l a c i o n e s de adyacencia e n l o s s is temas c l á s i c o s de B -rep s e de r ' van de l a a r i s t a con a l a s desa r ro l l ada por Baumgart [BAUMGART] . Esta e s t r u c t u r a s e i l u s t r a en l a f i g u r a 2 . 1 Ir

II para una a r i s t a e.

Figura 2 . 1 Reprefientación de una a r i s t a a l a d a

11 La e s t r u c t u r a de l a a r i s t a a l ada r ep resen ta l a información de adyaceiicia de una a r i s t a como una e s t r u c t u r a s imple. Basados en e l l a s e puede obtener de manera d i r e c t a l a s cua t ro a r i s t a s adyacentes , e s t o e s , l a s s i g u i e n t e s a r i s t a s en e l s e n t i d o y con t ra

de l a s dos c a r a s que s e "pegan" a l a a r i s t a en cues t ión . Podemos sabe r cua le s ca ras comparten l a a r i s t a , a s í como lo s v é r t i c e s que l a acotan . Otras r e l ac iones de adyaceiicia que no s e almacenan pueden ser d e t e r - minadas algorí tmicame/te recor r iendo l a e s t r u c t u r a de da tos de l g ra fo que r ep resen ta d l s ó l i d o . En e s t a representac ión l a s ca ras neces i t an i n c l u i r paral cada a r i s t a un i d e n t i f i c a d o r y un índ ice de s u o r i e n t a c i ó n en l a c a r a .

ii

e l s en t ido de las ,maii,ecillas I d e l ' r e l o j 11 1

11

2.3 DESCRIPCION DE! I LOS B-REP Uno de los problemas de l o s modelos de representac ión e s s u

cons t rucc ión . Por un 1 l ado , e l disefiador de un modelador debe de proveer una colecciói? de f a c i l i d a d e s de desc r ipc ión de s ó l i d o s conveniente y e f i c i e n t e . Por o t r o lado , debe 'tomar en cuenta l o s problemas de i n t e g r i d a d a n t e s mencionados y buscar t écn icas de descr ipc ión de s ó l i d o s que ga ran t i cen e l c r i t e r i o de i n t e g r i d a d 9

I1

11

I II

al menos hagan d i f i c i l l a cons t rucc ión de modelos no v á l i d o s .

2.3.1 Conversión de CSG Una so luc ión común I! es d a r a l u sua r io un lengua je de d e s c r i p -

cióii de s ó l i d o s basados 'en CSG y , c o n s t r u i r modelos por f r o n t e r a s a través de l a conve r s ión ,de 'I CSG a B -rep . Con esta t é c n i c a , se deben i n c l u i r a l modelador a lgor i tmos para l a c reac ión de modelos por f r o n t e r a s de las primi:ltivas CSG y un a lgor i tmo para operaciones booleanas con e l l as .

i1

II

Figura I : 2 . 2 Un o b j e t o s i n una conveniente r ep re sen tac i6n en una B-rep o r d i n a r i a .

Desgraciadamente:kas operaciones de conjuntos pa ra modelos por f r o n t e r a son computacionalmente c a r a s y s e n s i b l e s a problemas numéricos. Aún cuandh lo s problemas numéricos d e l cá l cu lo de i n t e r s e c c i ó n de supekf i c i e s puede s e r r e s u e l t o , p e r s i s t e e l problema de l a compat ibi l idad e n t r e el modelado de espac ios de CSG y los modelos por f ro l i t e ra convencionales. Esto q u i e r e d e c i r , que algunos o b j e t o s que pueden ser representados en CSG no t i enen una

represen tac ión adecuada en l o s modelos por f r o n t e r a s . Por ejemplo, E l o b j e t o mostrado en'I/la f i g u r a 2 . 2 , puede ser representado en CSG como l a d i f e r e n c i a de dos c i l i n d r o s . Con las e s t r u c t u r a s o r d i n a r i a s de un B - r e p no se puede r ep re sen ta r adecuadamente l a región donde e l c i l i n d r o e x t e r i o r toca e l c i l i n d r o

I

I

I

( t a l corn$ l a a r i s t a alada)

I) i n t e r i o r , e s t o e s porque una a r i s t a no puede t ene r c u a t r o caras

Y vec inas . 2.3.2 Dibujos de dos y media dimensión

I1

11

Muchos o b j e t o s nec,esar ios en l a p r á c t i c a t i enen una s i m e t r í a que puede s e r explotada para s u desc r ipc ión . Frecuentemente los ob je tos pueden s e r d e s c r i t o s en términos de una sección t r a n s v e r s a l de dos dimensiones, j un to con información d e l espesor d e l m a t e r i a l . Los ob je tos rotacionalmente s imé t r i cos son o t r o ejemplo de cómo un s ó l i d o puede ser d e s c r i t o sólo por un p e r f i l y un e j e de ro t ac ión ( f i g u r a 2 . 3 ) .

11 I

11 II

'I

11 Figura 2.3 Dibujos de dos y media dimensión (sweeps)

'I Estos métodos de descr ipc ión de s ó l i d o s de dos y media dimensión pueden s e r incorporados de manera n a t u r a l a los modela- dores por f r o n t e r a s . E l término dos y media dimensión e n f a t i z a e l hecho de que l a operación de descr ipc ión p r i n c i p a l e s en dos dimensiones, y puede s e r v i s u a l i z a d a como una operación en un modelo g r á f i c o bidimensional .

11

I L o s d ibujos de i h g e n i e r í a generalmente despl iegan un ohj e t o

desde d i f e r e n t e s v i s t a s or togonales . Esta t écn ica puede s e r usada para d e s c r i b i r modelos de f r o n t e r a en l a forma que e s llamada 11

!

conjunto de operaciones de perfil. Estas o más perfiles cerrados para representar un objeto a partir de &bs vistas.

l 1

operaciones combinan dos

las líneas exteriores de

1 2.4 ALGORITMOS DE' EWALUACION DE Los MODELOS POR

FRONTERAS I) 2.4.1 visualización

I1

11

iI

El diseño de algoritmos de visualización para modelos por

fronteras se simplifica en gran parte porque se puede aprovechar la

representación de las c,aras, aristas y vértices de un sólido. Ellos

pueden ser considerados modelos explícitos en comparacióil con los CSG que deben ser evaluados para obtener su visualización. Las

técnicas más populares para la generación de salida gráfica de

modelos se pueden aplicar I( de manera directa a los modelos por 1

11 1

fronteras. En suma, para un modelo de poliedros las técnicas

conocidas para eliminar líneas y superficies ocultas, así como las

de sombreado, pueden ser aplicadas incluyendo métodos exactos

espacio-objeto. Evidedkemente, l a presencia de superficies curvas hace esto más complicado, especialmente cuando se requiere la

salida con líneas oculkas.

I

Ocultar superficiíes durante el despliegue es fácil, ya que se pueden aplica11 las técnicas estándar, entre otras, los algoritmos de scan-line. z-buffer y ray casting.

't

1)

I) 2.4.2 Integrales para la evaluación de propiedades Los modelos por Ifrontera disponen de dos técnicas para e l

cálculo de propiedades ingenieriles, el método de la integración directa y el uso del teorema de divergencia del cálculo.

La integración directa es la técnica discutida en los libros de cálculo Y se basa en la evaluación de la integral de volumen

sobre un sólido como l a suma de las contribuciones de cada cara.

11

I1

11 Por ejemplo, la jntegral de volumen de una función f ( x , y , z )

I

sobre un sólido S puedefser evaluada por

1 donde Fir es la proyección de la cara F, en el piano xy, y Z,(X,Y)

se obtiene solucionando la ecuacibn de F, para z. El signo se determina por la normal de la cara: si la normal se proyecta del

del plano xy hacia el espacio el signo es negativo, de lo contrario

11

es positivo. 'I iI

1 El resultado de la integral doble se evalúa de manera similar

para obtener la contribución de cada arista de F,.

11

I/ El teorema de divergencia proporciona un método alternativo

para la evaluación de las propiedades integrales, De la observación que siempre es posible encontrar al menos una función vector g(x,y,z) tal como d í v g = f para una función continua f (x, y , z ) , se tiene que

t

II J s f d V = J9divg dV = E, J gnidFi

FI

Y donde F, es una cara del sólido S, a, es el vector unitario normal

il a F,, y üF,, es la diferencial de superficie.

2.5 REPRESENTACIOW PARAMETRICA PARA EL MODELADO POR FRONTERAS 1

I) Existe una gran variedad de métodos analíticos para la

descripción de curvas, y superficies, pero no todas las represeii-

tacioiies pueden ser usadas en el modelado geométrico. La forma que ha resultado más prodia para este objetivo es la representacibn paramétrica. Existen muchas razones para ello entre otras las

siguientes [ROGERS,ADAMSl , [FARIN] :

I

n Es independiente'. 'I de los ejes coordenados . >> Permite la representación no ambigua de superficies multiva-

'! 3 0

luadas y funciones', Ii en el espacio Euclidea110. A ES compatible con .el uso de transformaciones de coordenadas

tridimensionales.

>> Las curvas y superficies usadas en el modelado geométrico son normalmente no planas, acotadas y, en general, no puede11 ser

representadas por .una función no-paramétrica ordinaria.

>> Permite definir ftamilias de objetos geométricos usando un

número finito de parámetros. Asignando valores a cada pará- metro definimos uila instancia de la familia. Las propiedades

globales se pueqen reducir a un conjunto de fórmulas

1: ' i 'I

It

11

especiales [MORTEfqSON] .

La última de las dentajas nos permite pensar en construir una librería de rutinas que contenga una fórmula o un procedimiento algorítmico por cada propiedad, por ejemplo, para calcular tangen-

tes, normales, curvaturas, áreas, etc. La figura 2.4 presenta una clasificación en farni1)as de las representaciones más usadas en el

modelado por fronteras.

I1

B é z i e r P o l i 1 í n e a B s p l i n e s X s p i i n e s

Supe ficies B sp l i ne s 8-splines Sweep l i n e a l Sweep r o t ac iona l Sweep t r a s l a c i o n a l S u p e r f i c i e s r eg ladas E NURBS Y I1

11

II

Figura 2.4 Familias de objetos geométricos para l a , representación por fronteras.

31

I 2.7 PROPIEDADES DE LOS MODELOS POR FRONTERAS

II poser expresivo: ~1 espac io de modelado con 10s B - r e P depende

de l a se l ecc ión de s u p e r f i c i e s que puede11 Ser usadas Para l a

representac ión de l a s Garas. N o e x i s t e n razones para l i m i t a r e s t a se l ecc ión , por e l l o , e s t o s modelos pueden s e r usados para r ep resen ta r ob je tos de un espac io de modelado más genera l a l que es pos ib le l o g r a r con C S G .

1

t

r

iI Validez: La va l idez de un modelo por f r o n t e r a s e s eii general d i f í c i l de e s t a b l e c e r . E l c r i t e r i o de va l idez s e d iv ide en r e s t r i c c i o n e s topológi,cas 'I y geométr icas . E s p o s i b l e manejar l a va l idez topológica s i n t e n e r un t r a b a j o e x t r a , pero e s d i f í c i l ob tene r l a desde e l punto de v i s t a geométrico s i n c a s t i g a r l a velocidad en e l diseílo i n t e r a c t i v o .

11

'I No ambigiiedad y unicidad: Los modelos por f r o n t e r a vá l idos SOIT

110 ambiguos, pero noridaimente no son únicos.

Lenguaje descriptivo: L o s modelos por f r o n t e r a s s e pueden c o n s t r u i r a t r a v é s de un lenguaje de descr ipc ión que e s t e basado en d ibujo g r á f i c o y operaciones de b a r r i d o (sweep) o en una forma

'I

s i m i l a r a l CSG. 11

'1 Conciso: Los modelos por f r o n t e r a de o b j e t o s ú t i l e s pueden l l e g a r a ser muy grandes, especialmente s i se aproximan ob je tos curvos por modelos de (po l i ed ros .

Facilidad computacional Y y aplicabilidad: Los B -rep son ú t i l e s para l a generación de ' s a l i d a s g r á f i c a s , porque e l l o s incluyen l o s da tos para manejar in (despliegue g r á f i c o [MANTYLA] , [REQUICHA] . En e l l o s s e pueden a p l i c a r a lgor i tmos de a n á l i s i s i i ige i i i e r i l , por ejemplo, como elemento f i n i t o y evaluación de f r o n t e r a s .

I

ir

3 2

Capítulo 3

I B-REP PARA' MODELOS BASADOS EN

11 11 '

La necesidad de construir modelos de objetos formados col1 diferentes materiales ha extendido el dominio semántica de los esquemas de representac16n de los modeladores geométricos . Estos sistemas ahora deben ser capaces de modelar regiones acotadas por f roiiteras eii el espacip definidas coil no-variedades . 11

11 Las estructura de datos propuesta para la arista con alas. usada en los modelos basados en variedades, no es suficiente para representar adecuadamente objetos que son no ~ variedades, por

ejemplo, con el esquema de la arista con alas no se puede representar una arista en donde se unen tres o más caras. Para

solucionar este problema Weiler [WEILER 861 propuso el uso de un nuevo elemento topológico, al cual define como arista radial.

11

t

'I

1)

Las operaciones booleanas usadas en CSG generan no -variedades. Por ejemplo, dos cubo2 que comparten una arista produce un objeto

que es no-variedad a lo largo de dicha arista, esto muestra que se pueden crear condicion,es de no -variedad aún con operaciones simples en dos objetos que soh variedades.

11

11 I

)) En la práctica, en el mejor de los casos, los obje tos con

superficies no-variedgd se representan indirectamente con varie- dades ignorando los puntos y segmentos de línea excepcionales. Esta situación es aceptablye cuando se requiere solamente información

11 gráfica, pero no es válida para e1 análisis y la evaluación de un

modelo; por ejemplo, '

It

es tudios de transferencia de calor. 1"

. ~i

I E s t e t r a b a j o usa una topología basada en no -var iedades que

supera l a s l imi , tac iones de l o s esquemas basados en va r i edades -. . LOS modelos de representación basados en no -var iedades t i e n e entre o t r a s l a s s i g u i e n t e s ven, ta jas :

II

4 !I La ,-lase de ob je to s , que se pueden r ep re sen ta r es cer rada ))ajo

el de las operaciones booleanas, o r d i n a r i a s 0 regula r izadas . EII una topología de var iedades , se pueden r ep re sen ta r todas

l a s r e l ac iones de pos ib l e s entre l o s elementos topolbgicos básicos (volúmenes, caras, a r is tas , v é r t i c e s ) . Se pueden represen ta r casos de in t e r secc ión y coincidencia geométrica de una /nanera uniforme y t ransparen te ! sin casos e spec i a l e s . Se t i e n e l a capacidad de r ep re sen ta r todas l a s adyacencias de volumen, c a r a s , a r i s t a s y v é r t i c e s . E s pos ib l e obtener l a representaci6n de ínodelos d e alambre y de s u p e r f i c i e den t ro de l m i s m o ambiente de l a represen tac ión de s ó l i d o s , con una información topoló!$ica completa y c o n s i s t e n t e .

!I

I1 11. I

Una representaciói i~basada I en no -var iedades no está r e s t r i n g i d a a i dominio de los s ó l i d o s cer rados . Debido a que se pueden r ep re sen ta r só l idos que son adyacentes a s ó l i d o s , se pueden modelar c a r a c t e r í s ' t i c a s e spec i a l e s de l i n t e r i o r de un s ó l i d o .

1

PCEUDOGRAFO REGION Y ARBOL-PR Basados en l a idea que l o s da tos geométricos determinan sin 'I

ambigüedad a los datos topológicos y que por e l c o n t r a r i o l o s datos topológicos pueden ser! i n v a r i a n t e s para d i s t i n t o s modelos geoiué- t r i c o s , en l a unidad de computo d e l I n s t i t u t o de I i i - ,~es t igac io i~es E l e c t r i c a s s e desarrol3aron los conceptos del pseudoyrafo- región J' d e l 6r1701-pr [LASTPA 9011. L o s cua l e s e s t án or ien tados a l a r e p r e s - entación por f r o n t e r a s Id- no var iedades en 2 D .

I

11:

I l - - D e manera formal e l problema fundamental e s e l siguiei1t.e:

Deiiotaiido con ( a , z l un i i i te r i .a lo cerrado en l a l i n e a Euclididi1;l 1,. con E a e l plano Euclidian0 y def iniendo región corno un sL&conj~i ! i i , ,

'I

. ,

2 a b i e r t o y conexo ( a r c o conectado) de E se t i e n e : - r

'I problema 3.1.. Dad+ una curva p lana de longi tud f i n i t a , d e s -

cri ta por una función paramétrica continuamente d i f e r enc i ab le

C:[a,zl d e f i n i r : un a lgor i tmo y ¡as e s t r u c t u r a s de da tos correspondientes, para r e p r e s e n t a r ' l a s d i f e r e n t e s reg iones en las q u e l a curva dada divid,e a E ' .

I .> E', (1

I1

La solució11 a este, problema se basa en una genera l izac ión d e l teorema de l a curva de Jordan, e l cua l e s t a b l e c e que cua lqu ie r curva ce r r ada simple en e l plano l o d i v i d e en exactamente dos reg iones , una den t ro y .!una f u e r a de l a curva. En e l l a s e busca que las regiones resu l tan te . s s e c l a s i f i q u e n de manera n a t u r a l por medio d e l r e g i s t r o de s u s f r o i t e r a s como secuencias ordenadas, conectadas y c í c l i c a s de fragmentos o r i en t ados de l a curva de en t r ada .

3.1.1 Desarrollo del gseudografo-región P a r a e x p l i c a r e l concepto d e l pseudografo- región procederemos

de manera i n t u i t i v a . "Suponga' que ha cread'o una o v a r i a s curvas bidimensionales y que ahora us t ed desea l a descr ipc ión de las

e s t a s regiones estará c o n s t i t u i d a por un conjunto de puiitos

contiguos que no per tenece a las curvas dadas, y t a l que caminando exclusivamente sobre l o s puntos i n t e r i o r e s de l a región se puede l l e g a r de un punto cua lqu ie ra de l a región a o t r o en l a m i s m a r eg ión , s i n a t r a v e s a r 'ninguno de l o s puntos de l a s curvas dadas. In tu i t ivamente , s i us ted d i b u j a r a l a curvas en un t rozo de papel de á r ea i i i f i n i t a y despué,s r e c o r t a r a con unas t i j e r a s justameilte por donde pasaii l a s curvas , cada uno de los pedazos de papel q u e se obtiivieran corresponder ía con cada una de las regioiiss que ~ 1 e ~ , o ~ d e s c r i t o previamente ( f i g u r a 3 . 1 ) .

A p a r t i r de l o a i lker ior , s e puede obser-Jar que l a froi2tera de cada una de las reg iopes , está formada por t rozos de las c1urvas dadas or ig ina lmente . Aquí han ocu r r ido básicamente dos foilóineilos : primero, en cada punto' de i n t e r s e c c i ó n de una cLIrva, coiisigc iiii:;iii.:i o con o t r a s , se ha ten ido que p a r t i r l a curva; segundo, e11 i,.:'~

1 II '1

11

I)/ ;I I/ I

r egiones en que estas I , cu rvas han d iv id ido a l p lano . Cada una de i1 I Q ' I

'1

'I :I

11

! 35 1

puntos de in t e r secc ión l o s segmentos de l a s Curvas W e 3111 c,ollcurren se pegan para formar l a s firoiiteras de l a s regioilc-s. Eso:;

pu13tos de intersecci.611 de denominan v é r t i c e s . N6tese Iiaiiibi 617 qire, en genera l , cada t rozo de curva - a l que se denominará a r i s t a - s i r v e como f ron te ra de regiones d i f e r e n t e s . S i l a a r i s t a se . cons ide~-a o r i en t ada -e s t o e s , que empieza en uno d e s u s extremos y Lei-mina en e l o t r o - una de l a s regi,ones quedará a l a "derecha" de l a a r i s t a y l a otra a l a " i zqu ie rda" . E s t e hecho es l a pauta para que se considere q u e cada a r i / t a e s t á compuesta de dos medias a r i s t a s , cada una de l a s cuales 'corresponde con cada una de l a s pos ib l e s o r i en t ac iones de l a a r i s t a . D e e s t a forma, las dos medias a r i s t a s de una a r i s t a t i enen or : ientación opuesta .

-. II

iI J

'I

i1

, III '1

(a i p$í---$] . . . .o : . . : . : :

. ,, . . . . , . . . . . . . . . # . . .

. . . . . .

. .

111 . secuencia c í c l i c a d e medias a r i s t a s -con t iguas - el1 las que localinel i te la . misma r e y i ó n queda hac ia SU izquierda..de acuerdo Con

su o r i en t ac i 611 " En l a implemen'tació'h propuesta en [LASTRA 901 l a informaci6i.i

de l a s a r i s t a s se repreA1ent.a en dos r e g i s t r o s d i f e r e n t e s : uno que cont iene l a información topológica: y e l o t r o , información geoniétrica.

Analizando l a e s t r u c t u r a para l a información topológica velnos que se t i e n e informació& para determinar l a s caras q u e a c o t a , l a s medias a r i s t a s q u e se conectan a e l l a ' y los v é r t i c e s que acotan l a curva dada ( f i g u r a 3 . 2 ) !I Además se cuenta con una r e f e r e n c i a (geo) a l a descr ipc ión de l a geometría de l a curva que se e s t á represei i - taiido topológicamente, aquí se almacenaii d e t a l l e s t a l e s como: representacibn paramétripca y dominio d e l a curva.

!I

4' [ SANTANAO . 1

1

I '1

!I

11.

prev

next

jphe cara

i n h e cara phe p rev

--p con to rno

11, U n d e t a l l e impor tp l te q u e no s e ha meiicioiiado es el hecho d e que e s t a e s t r u c t u r a taikbién nos pe rmi t e conocer l a orieiit.aci611 de

paramétr ica de una cur->;a le . d e f i n e una o r i en t ac ión na tura l que corresponde a l o s ;.alores c r e c i e n t e s d e l parámetro; l a o r ien tac ión de l a s medias a r i s t a s es t a l q u e l a región q u e acotan s e encuentra a s u izquierda y se marca en e l sei l t idq q u e se recor rep de s u apuntador p r e v a su apuntador next. E s c l a r o que en e s t a represei i tac i6n una de l a s -medias ai-ish::

l a cur-

I nos obliga a mantener indice para señalar en una arista cual de sus medias aristas la:respeta, este 'indice se registra en la

11 . estructura de la descripción geométrica de la curva y conociéndolo

'I se puede determinar en base a una media arista cuál es la orientación de la curva..

'I I

Extendiendo la representación a la situación más general de

una curva compuesta de varios segmentos, que inclusive se

autointerseca, se puede notar que la representación con medias aristas es válida y no requiere de ninguna modi'ficación. En la figura 3.3-a se muestra la curva original y en la figura 3 . 3 - b se muestran las estructuras que se arman para describir los ciclos de

I I

medias aristas - llamados 'I contornos - que acotan las regiones encontradas. ''I

Figura 3.3

6 2 3 4 7 8 9 5

11 7 ) curva origiiial, b) pseudografo-región c) a r h o l -p r .

I Existen básicamente dos tipos de rsgiones: aquellas que tiene11

como frontera a un único contorno; y las que tien- -11 corno frontera más de un contorno. Es/ necesario entonces mantener u11 registro de ci.mles son los contorlios que conferman la frontera de cad? reqif ,n, al mismo tiempo que se mantione la información de l a s inedi.3:: aristas y -

cont iene e s t a informaci6n s e denomii-ia pseudografo-región. A mallera de ejemplo en l a f i g u r a 3 . .3 -b se muestrai'i en forina de peciuei~«:; bloques l a s es t ructuras '1de l a s a r i s t a s con sus medias a r i s t a s .

3.1.2 Propiedades de un pseudografo-región

las s i g u i e n t e s propiedades:

11 'I

1 Haciendo un breve ' a n á l i s i s de l pseudografo-regibn s e t i enen 11: Cada a r i s t a referdi ic ia a una curva paramétrica de extensióll

f i i i i t a como s u rea¡izaci6ii 'en e l plano Euclideano. Las regiones e n ii l a s que l a r e a l i z a c i ó n d e l pseudografo p a r t i c i o n a a i plano s e representan por s u s f r o n t e r a s o r i en t adas que se denominan contornos. Cada contorno se 'de f ine como una cadena cerrada de a rcos y puntos. Los a rcos corresponden a r ea l i zac iones o r i en t adas de las a r i s t a s - reeresen tadas por l a s medias a r is tas - y l o s puntos, a r ea l i zac iones de los v é r t i c e s . Por conveiición el{( r eco r r ido de un contorno de .acuerdo con s u o r i en t ac ión s e r á t a l q u e l a regi6n de l a q u e es f r o n t e r a queda siempre de f in ida a l a i zqu ie rda . Siempre ex i s t e ui ia regi6n de extensión i n f i n i t a y un número f i n i t o - posiblem,ente cero - de regiones acotadas . Cualquier p a r e j a 'de regiones es d i s j u n t a y l a unión de todas las regiones cerqadas es e l plano.

! I

1, 1

II . ,

I1 En e s t e momento tteiiemos r e s u e l t a una p a r t e de l problema 3 . 1 : podemos determinar , mediante una inspección d e l pseudografo l a s regiones en l a s que l a curva d iv ide e l plano, pero aún 110 podernos d e s c r i b i r l a s relacioi?es que ex i s t en e n t r e e l l a s .

t .

I1

Una forma n a t u r a j de represen ta r una descomposici6n de l plano

por un pseudografo-reg1611 es a t r a \ l é s de u n árbol. con u n árbol es relativainei1t.e simple r ep re sen ta r j e r a r q u í a s d e da tos y la relaciói1 que e x i s t e e n t r e e l l o s . Podemos eiltoilces represen ta r coil un á rbo l l a s r e l ac iones que guardan l a s iregioiies en el plano. Este árbol se

1 .

11. 1

denomina árbol-pr q u e s i g i i i f i c a árbol d e l pseudograf o- r e g i b n .

El problema ahora se l i m i t a a determinar una s i n t a x i s para l a procederemos ilUevanW11te de una manera collstrucci~n d e l árbol .p r . .I1 .. 'I

illformal para d e f i n i r la : s i n t a x i s que estamos busca1'do.

I ulla Curva cerrada simple de acuerdo con e l teorema de Jordan dos regiones u11a citerior o i n f i n i t a y una i n t e r i o r 0 f i n i t a .

De acuerdo con nuest ra f , l i iosof ía , l a misma curva se represen ta con dos contornos, uno que aco ta l a región f i n i t a y Otro que acota l a región i n f i n i t a . Esta s i t u a c i ó n nos muestra que podemos d i s t i i l gu i r dos t i p o s de nodos para c o n s t r u i r nues t ro á r b o l ; uno para r ep re - s e n t a r los contornos que acotan regiones i n f i n i t a s , que llamaremos blanco y , o t r o para r ,epresentar contornos que acotan regiones f i n i t a s , que llamaremos negro.

11

!l.

'I

I

'I U n á r b o l -p r debe registrar las r e l ac iones de contención, de

inc idenc ia y de conexión que e x i s t e n e n t r e regiones a b i e r t a s en 2 D [LASTRA 9 0 1 . E n o t r a s pa l ab ra s , e l á rbo l nos debe d e c i r cuándo l a regi6ii -acotada por conitornos- inc iuye a o t r a , y cuándo una región se encuentra en e l i n t e r i o r de o t r a . Esta s i tuac ió i l l a podemos r ep re sen ta r f i j ando l a s i g u i e n t e r e l ac ión para e l á r b o l -p r : s i recorremos el á rbo l en forma descendiente decimos que un contori-io "aco ta o cont iene a " s u s ' h i j o s , s i recorremos e l á rbo l e11 forma ascendente decimos qule una regibn e s t á "e11 e l i n t e r i o r " d e l contorno representado por s u nodo "padre" .

11 'I

li

I ii

't

Como un ejemplo, 'Ln l a f i g u r a 3 . 3 - c se preseil ta e l á r b o l -p r correspondiente a l a curva de l a f i g u r a 3 . 3 -a . En l a f i g u r a aparece

contorno a b s t r a c t o a l 8; i n f i n i t o y en é l s e encuentran coiitenidos todos nues t ros contoriios . Después s e represen ta u11 nodo I~,la1ii:o (número 1) que representa el contorno q u e aco ta a i ' i i i f i i i i t o y U L I ~ en nues t ro ejemplo cont iene todas l a s regiones f i n i t a s . Podemos ver q u e l a s región acotada por el contorno 6 se encu&trai? e12 el i n t e r i o r de l a región ',que acotan l o s contornos 4 y 5 .

I

como r a í z d e l á r b o l -p r 11. un nodo negro, e s t e nodo represen ta e l I . . .

i

I!.

I

I L a 5 regiones en que l a cur-%;a di-vide e l plano son: l a rq1611 i n f i n i t a , acotada por e l contorno 1, 5 regiones acotadas p c ' ~ 8.111

4 0

'I -

3.1.3 Definición formal del árbol -Pr 1: 'I

I1

Formalizando los conceptos v i s t o s tenemos:. Def in i c ión [LASTRA' g o ] . - ~l á r b o l -pr de un pseudografo-región

es un á r b o l f i n i t o no & c í o y ' c o n una r e l a c i ó n uno a uno e n t r e los nodos de l á r b o l , excepto el nodo r a í z , y l o s contornos d e l pseudografo:región, t a l q u e :

.?> El n i v e l O o nodo ; r a í z corresponde a l "contorno" a b s t r a c t o a l i n f i n i t o . I

r ep re sen ta ya sea ' Y con un subárbol de dos n i v e l e s enraizado en

>> Los contornos corhespondientes a n i v e l e s p a r e s se denoiniiian nodos negros y l o s cor respondien tes a n i v e l e s impares, nodos b lancos .

>> Todo nodo blanc;! aco ta p o r si inisino una región de á rea i n f i n i t a y todo nodo negro (excepto l a r a í z ) aco ta una región de área f i n i t a .

>> Todo coinponen te conexo d e l pseudografo subyacen te se

'11 'I

iI

u n nodo blanco no terminal o p o r un nodo blanco terminal . >> Toda región d e l pceudografo -región se represen ta ya sea por UII

subárbol de dos n i v e l e s enraizado en un nodo negro no terjninal o p o r un nodo negro te rmina l .

I1

11 t

Observe que l a ' de f in i c ión de un á r b o l - p r permite nodos terminales blancos que corresponden ya s e a a puntos a i s l a d o s o a curvas cont inuas que 110 se i n t e r s e c a n consigo mismas, es decir , un nodo blanco termiiial corresponde a l a f r o n t e r a de una regióii i i i f i n i t a cuya cer radura topológica regula r izada es todo ,el plailo [LASTRA 301 .

11. 1

1

I Regresando a l problema o r i g i n a l : &ida una curva plana de longi tud filii t a , d e s c r i t a For una función parainétr ica contiiiiiainence d i f e r e n c i a b l e c : l a , zl I-.> E', d e f i n i r u n a lgor i tmo J...- l a s e s t r u c t u r a s de ñu t o s correspondientes , para r e p r e s e n t i r la's difere i i t e s reqiciie,? eii l a s q u e l a cu.rIía dada cii-v-ide a E ,

,I

11 2

It

I Para l a solución se, propone como e s t r u c t ~ u r a d(? da t r i s l a giic soporta a l á r b o l - p r (figG1-a 3 . z ~ ) ; quci ana i izaua a d e L o l i c , CL' 1:juedk-

ver que es una extensi611 ,del formato de da tos con base en vector~e:: d e s c r i t o en [SAMET] y ' , e s t á soportada por la a r i s t a a lada de Baumgart (BAUMGART] extendida para p e r m i t i r l a z o s .

'I ..

1

Finalmente, un algor i tmo informal para l a s0lwc161~ a e s t e

I problema es: >> Determinar los segmentos en los cuales se subdivide la curva I o r i g i n a l .

>> Const ru i r l a representac l6n topológica (medias a r i s t a s ) de los I1

contornos en base a l a geometría de los seginentos. >> Const ru i r e l que representa l a topología de la curva

dada.

I árbolgr ontorno

(geometría - - - > mapeo)

Figura 3.4. 'I Modelo conceptual de la estructura lde datos para el árbol-pr

I!

d e á r b o l e s -p r . !I

Un algori tmo formal y las bases para una impleinentaci6n e11

lenguaje C de es te modelo de B -rep se encuentra en [LASTRA 9 0 1 , en donde también se p resdh ta , entre o t r o s , e l a lgor i tmo para la u i i i t 1 7

U i i caso p a r t i c u l a r de á rbol -p r se t i e n e cuando se xeq~ij -1 !+ L J ~ . I ~ ~ e l árbol r ep resen te , además de l o s contornos, las r e ~ i c>I-Jc':; I:JII,+ tienen un c i e r t o s e n t i d o para uil disefiador. Por e jemplc~ , e11 J;I f i g u r a 3 . 5 se desea r"epresei1tar que l a super f ic ie achurada fo& p a r t e de u n o b j e t o f i f s i co Y que l a s p a r t e s en I>laiico no t ienen nii-igiin s ign i f i cado eii e s p e c i a l . Esta s i t u a c i ó n se repIese11t a e11 + I áriiol -pr indicando qu'e iiodos representan cciiitornos quo ñccií:an 1 ..I::, reqiones que se usan ;i que nodos represent.an coi~tornor, que 11,:) :<

I

I 'I,

11 I

usan eii e l pseudoorafo-región: por coi~veiicióii, se marca coi? u11 O l o s coiitornos que no u s a n y con u n i. l o s c o n t o r ~ ~ o s que si. se:

usan. I

I Figura 3.5. Representación d e un núcleo t i p o acora raao para transformador monofásico

I esto s e r ep resen ta , para nues t ro ejemplo, como:

Figura 3 . 6, . hrI: acora:ado p;

I/

I - p r marcado d e un a transformador m o

C l e o ' á s i co

y se formaliza a s i : !I Def i i i icióii : U n árbol -pr marcado es u n árbol -pr que tiene

iliürcados sus nodos coino sigue: l a r a í z e s t á inai-cada NO USADA J.' todos los otros nodos soil inarcados IíSADOS CI híG USADOS, adeinss todi: 11odn blanco está inar-cado igual que su paái-e negro.

' t

ill 1 #I

3.2 Y ARBOL-CR i

L o más important& de los conceptos pa ra [JDS dimensiones del ~1-1~5'1 - p r es que sei- extendi CIC~S a tres dime-iicioi-,es ,:le i.ii~ri inaiiera n a t u r a l .

4:

I En el a n á l i s i s i i l tu i t i i ío de l a secc ión 3 .1.1, calnbialldo la cur-ga ab ie r t a ( r e c t a ) po:r una s u p e r f i c i e también a b i e r t a , t a l Como se muestra en l a f i g u r a 3 . 7 - a , s e observa que e s t a úl t ima Puede ser '11

por medio de dos " lados de c a r a " . Toda s u p e r f i c i e orilentablo I) acepta dos pos ib le s o r i e n t a c i o n e s ,

en i ~ u e s t r o caso , l a o r i e n t a c i ó n de una c a r a s e de f ine mediante su

ilorinai, é s t a t i e n e una 'd i recc ión única para cada puilto sobre l a s u p e r f i c i e ; l a o r i e n t a c i ó n de los lados de cara s e de f ine p o r . l a d i recc ión en que s e encuentra l a región que acotan. Note que uno de l o s lados de ca ra respeea l a o r i e n t a c i ó n de l a s u p e r f i c i e y e l o t r o no. Por ejemplo, en