Morfismo u Homomorfismo

Una aplicación de conjuntos f: A B se dirá que es un morfismo de la estructura (A , ) en la estructura (B ,○) o simplemente un morfismo de A en B si se cumple que:

; = f(x) ○ f(y)

En otras palabras, un homomorfismo es una correspondencia entre monoides que preserva las operaciones. Es decir, cuando una función de un semigrupo en otro toma en cuenta sus estructuras algebraicas y debe llevar productos de elementos en productos de sus imágenes.

Ejemplo 1: Sean las estructuras ( R , + ) y ( R + , ) con las operaciones + y usuales.

La aplicación f : R R + definida por f(x) = 2 x es un morfismo de estas estructuras ya que cumple que:

f (x + y) = 2 x + y = 2 x 2 y = f (x) f (y)

Ejemplo 2:

Sean las estructuras ( R , + ) y ( R * , ) con las operaciones + y usuales.

La aplicación f : R R * definida por f(x)= es un morfismo de estas estructuras ya que cumple:

f (x + y) = = + = f (x) f (y)

Tipos de Morfismos

o Endomorfismo: Se llama así a todo morfismo de A en A.

o Monomorfismo: Se llama así a todo morfismo inyectivo.

o Epimorfismo: Se llama así a todo morfismo sobreyectivo.

Veamos algunos ejemplos:

1. Sean las estructuras ( R3 , + ) y ( R2 x 2 , + ) y la aplicación

f ( x1 , x2 , x3 ) =

Las operaciones consideradas son las de suma de ternas ordenadas de números reales y la de suma de matrices.

Entonces, como :

= =

= + =

= +

f es un morfismo.

Además es inyectivo, es decir un monomorfismo.

puesto que al dominio, resulta:

= =

Para probar que no es sobreyectivo, basta ver que, por ejemplo

no es imagen de nadie.

o Isomorfismo:

En pocas palabras se llama Isomorfismo a todo morfismo biyectivo. O visto desde un punto más formal la definición de Isomorfo seria:

Dada una transformación lineal T : V W, decimos que T es un isomorfismo si es una función biyectiva o también “V es isomorfo a W”.

Por ejemplo, si X es un número real positivo con el producto e Y es un número real

con la suma, el logaritmo ln:X→Y es un isomorfismo, porque ln(ab)=ln(a)+ln(b) y

cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa

que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más

que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos

de la suma de números reales, que suele ser más simple.

o Automorfismo:

Un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático en sí mismo. Usualmente el conjunto de automorfismos de un objeto puede recibir una estructura de grupo con la operación de composición, tal grupo recibe el nombre de grupo de automorfismos y es, a grandes rasgos, el grupo de simetría del objeto.

Formalmente se conoce al automorfismo como a todo endomorfismo biyectivo o puede ser visto como un isomorfismo en el mismo grupo (EJ: G en G).

Ejemplo:

f : R R tal que f (x) = – 3x es un automorfismo respecto a la suma.

o Es morfismo pues f (x + y ) = – 3 (x + y ) = – 3x – 3y = f (x ) + f (y )

o f es biyectiva porque:

Es inyectiva: x y ; f (x ) f (y ) ya que

– 3x – 3y

y es Sobreyectiva: y R x R tal que f (x ) = y ;

– 3x = y entonces x = –

Ejemplos

Si las estructuras son conjuntos, entonces los isomorfismos entre dos conjuntos X, Y son simplemente funciones biyectivas. Aquí los automorfismos son funciones biyectivas de X en X, es decir, permutaciones del conjunto.

Considerando el conjunto Z de números enteros con la estructura de grupo abeliano (con la operación suma), los automorfismos son funciones

biyectivas f::Z→Z tales que  . Existen dos únicas

funciones con dicha propiedad:   y .

Si ahora tomamos de nuevo el conjunto Z de números enteros pero con la estructura de anillo (operaciones suma y producto) entonces los automorfismos

serán funciones biyectivas que cumplan   

y  . En este caso, la única función posible es la identidad, ya

que   sólo cumple la primera condición y no la segunda.

En los tres casos, el grupo de automorfismos sugiere cierta simetría en el objeto.

En el caso de conjuntos, al carecer de estructura, se toma cualquier reordenamiento de sus elementos (permutaciones). En el caso de los números enteros, cuando se considera únicamente la estructura de la suma se obtiene una simetría entre los números positivos y negativos, pero tal simetría desaparece cuando se toma en cuenta la estructura que impone la multiplicación, puesto que el comportamiento de los números positivos y negativos es diferente respecto a ella.