MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO

Un movimiento armónico amortiguado es aquella fase de un movimiento armónico simple en la que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo decrece hasta el punto de detenerse por completo o hasta que la amplitud de dicho movimiento sea cero por efectos de la fuerza de fricción.

Cuando un sistema oscilatorio está sometido a fuerzas de rozamiento la amplitud de un movimiento oscilatorio disminuye gradualmente hasta que se hace cero, lo que nos permite deducir que el movimiento esta amortiguado, en lecciones previas solo suponíamos que no había fuerzas de fricción actuando sobre un sistema oscilatorio, si en esta parte del curso se siguieran utilizando este tipo de suposiciones se concluiría que un péndulo o una masa unida a un resorte oscilaría de manera indefinida, pero al avanzar en el estudio de las oscilaciones nos daos cuenta que sobre cualquier sistema oscilatorio actúan fuerzas de tipo externo como lo puede ser la resistencia del aire entre otras.

En la mayoría de los casos de interés se debe tener en cuenta el criterio de que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad del cuerpo, pero directamente opuesta a él. El estudio de estos movimientos amortiguados se da particularmente en medios fluidos implicando la influencia de propiedades específicas del fluido como lo son la densidad, tomando en cuenta también la forma y las dimensiones del objeto sumergido. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo oscilatorio es la suma de la fuerza de restitución –Kx y la fuerza de amortiguamiento la cual se supone que tiene la forma de –bv, donde b es una constante positiva que depende de las propiedades del fluido como se ha mencionado antes.

Las ecuaciones que rigen y describen este tipo de movimiento son:

Ecuación de movimiento:

md2

dt 2=−kx−β dx

dt Una solución de esta ecuación es:

x=xme−bt /2mcos (ω' t+∅ )

Donde β es la constante de amortiguación y el signo que la antecede se debe a la fuerza amortiguadora que actúa en dirección opuesta al movimiento.

Ecuación de fricción angular:

ω '=√ km−( b2m )2

EJEMPLOS:

1. En un oscilador amortiguado de masa m=250 g, k= 85 N/M, y b= 0.070 kg/s, en cuantos periodos de oscilación seria la energía mecánica del oscilador igual a la mitad de su valor inicial?

Para un amortiguamiento pequeño ω '≈ω y el periodo es

T= 2π √ mk =2 π √ 0.25kg85N /m= 0.34s

12 ( 12 kx2)=12 kx2e

−btm

Despejando a t, obtenemos

t=m ln2b

=(0.25kg)(ln 2)0.070kg/ s

2. Un bloque tiene una masa de 1.52 kg y la constante de fuerza es de 8.13 N/m. la fuerza de fricción está dada por –b/(dx/dt), donde b= 227g/s. supóngase que el bloque se jala hacia un lado una distancia de 12.5 cm y luego se suelta. Calcule el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial, cuantas oscilaciones efectúa el bloque en este tiempo?

Nosotros queremos saber cuando e−bt /2m=1/3

t=2mbln 3=

2(1.52kg)0.227kg /s

=14.7 se g

La frecuencia angular es:

ω '=√ km−( b2m )2

= √ 8,13N /m1.52kg

−( (0.227kg)2(1,52kg))2

= 2.31 rad/ s

Lo que nos permite deducir que:

(14.7 s )(2.31 radseg )2π

= 5.40