MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

LUIS SÁNCHEZ-CAPUCHINO –FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1


1. CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.

2. ECUACIÓN DE UN M.A.S.

3. CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S.

1. USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES COSENO Y SENO

2. EJEMPLOS EN DIFERENTES POSICIONES

4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

1. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD

2. CARACTERÍSTICAS DE LA ACELERACIÓN

3. VALORES MÁXIMOS

5. ESTUDIO DINÁMICO DEL M.A.S. - MUELLES

6. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DEL M.A.S.

7. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.

1. GRÁFICAMENTE

2. POSICIONES IMPORTANTES

8. EL PÉNDULO FÍSICO – OTRO EJEMPLO DE M.A.S.


CARACTERÍSTICAS:

• SE PRODUCE SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA

• OSCILANDO ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO

• ES PERIÓDICO (T)

• ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO

PUEDE SER:

• LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA INDEFINIDAMENTE (NO REAL)

• AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO

ADEMÁS SERÁ ARMÓNICO:

• CUANDO LAS FUERZAS RESTAURADORAS SON PROPORCIONALES A LA SEPARACIÓN CON RESPECTO A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO


x=-A x=0 x=Ax(t)

POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD

x(t)Elongación

Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas

Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa)

Amplitud – Valor máximo de separación de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (+)

Amplitud Elongación


Seno está adelantado pi/2 rad con respecto al coseno

x=-A x=0 x=A x(t)

0 T/4 T/2 3T/4 T

x(t)

t-A

A

GRÁFICA posición - tiempo


x=-A x=0 x=A x(t)

v




x=-A x=0 x=A x(t)


x=-A x=0 x=A x(t)

v


x=-A x=0 x=A x(t)


v


• SE PUEDE EXPRESAR INDISTINTAMENTE EN FUNCIÓN DEL COSENO O DEL SENO

• LA DIFERENCIA ESTÁ EN LA FASE A AÑADIR

• EXISTE SIEMPRE ENTRE ELLOS UNA DIFERENCIA DE FASE DE PI/2

• LA FASE DEPENDE DE LA POSICIÓN INICIAL Y DEL SENTIDO DEL MOVIMIENTO(VELOCIDAD)

• LA FASE PUEDE SUMARSE O RESTARSE, NORMALMENTE SE USAN FASES MENORES A PI

• LA FASE TIENE QUE GARANTIZAR QUE PARA t=0 LA PARTÍCULA SE ENCUENTRE EN LA POSICIÓN INICIAL, Y SE CALCULA DE LA SIGUIENTE FORMA:

A

xarAxt

wtAtx

)0(cos)cos()0(0

)cos()(


wt fase

ido transcurr tiempoelhallar podemos cualquiera fase una paray

fasesu hallar podemos cualquiera un tiempo para generalEn

periodoun "w

2 tun tiempo a eequivalent es 2 fase

periodo del cuartos tres"4

3

w2

3 tun tiempo a eequivalent es

2

3fase

periodo del mitad la a "2w

tun tiempo a eequivalent es fase

periodo del cuartoun "4w

2 tun tiempo a eequivalent es 2

fase

Ejemplos

segundosen ido transcurr tiempode que radianesen fase laen cambioun dehablar mismo lo Da

inicial fase fase

) Acos(wt x(t) 0

T

T

T

T

wtfase


)cos(wt2Aw2dtx(t)2d

dtdv(t)a(t)

nAceleració

)Awsen(wtdt

dx(t)v(t)

Velocidad

)Acos(wtx(t)Posición

ρ

ρ

ρ

A-Amplitud (m)

w – Pulsación ó frecuencia angular (rad/s)


posición la de al contrario siempre Signo

movimiento del sentido elcon coherenteser que tiene

inicial velocidadla de signo el fase, la ntecorrectame introduce se Si

)cos()(

:

)()(

:

)cos()(

:

2

wtAwta

naceleració

wtAwsentv

velocidad

wtAtx

posición

x=-A x=0 x=Ax(t)

v=0 v=MAX(+-) v=0

a=MAX(+) a=0 a=MAX(-)


(m/s) 0x

equilibrio deposición lapor pasar al máxima es veloidadLa

0 v-A xóA x

movimiento del extremos losen nula es velocidadLa

su valor calcula solamente . velocidadla de signo el diferencia noexpresión Esta

)(cos)(cos-1Aw- v ?v(x)

:posición la defunción en Velocidad

)()( )cos()(

: :

max

2222

22A-wv(x)

Awv

wtAAwwt

wtAwsentvwtAtx

velocidadposición

x


2max

2

wa -A xóA x

movimiento del extremos losen máxima esn aceleració La

0 0x

equilibrio deposición lapor pasar al nula esn aceleració La

)equilibrio elecuperar posición(r la de al contrario siempre esn aceleració la de signo El

M.A.S.) del stica(carácteríelongación la a alproporcion esn aceleració La

?a(x)

:posición la defunción en n Aceleració

)cos()( )cos()(

:celeración :

2w- a

A

a

wtAwtvwtAtx

aposición

x


2Aw máximoValor

A máxima esposición la cuando produce Se

máximan Aceleració

Aw máximoValor

o)(equilibri 0 xesposición la cuando produce Se

máxima Velocidad

A máximoValor

máximaPosición


.equilibrio deposición la de rarecuperado fuerza una Es

elongación la a contraria siempre es fuerza la que indica menos signo El

k(N/m) de Unidades

muelle del elástica constante llama sek , de caso elen

movimiento del rarecuperado constante la esk donde

elongación la a alproporcion Es

:ticasCaracterís

)(k F(x)

)(wm F(x)

amF

2mwk

-kx(t)F(x)

2

muelles

tx

tx


k

m2T

m

k w mw k

(N/m) (muelles) rarecuperado Constante -k

2 ;21

))((s movimiento del Frecuencia - f

(s) moviento del Periodo - T

(rad/s) angular frecuencia/ Pulsación - w

2

1-

fwwf

T

Hz


2212

21EcEpEm

221Ec

221Ep

Mecánica Energía

cinética Energía

2

1kxdxF(x)dx Trabajo

va)conservati - rarecuperado (fuerza elástica potencial Energía

2

mvkx

mv

kxkx


0Ec A x mínima cinética Energía2

1

2

1Ec 0 x máxima cinética Energía

)22(2

1)22(2

2

1

22A-wv(x)

:posición la defunción en cinética Energía

222max

kAAmw

xAkxAmwEc

x

0Ep 0 x mínima potencial Energía2

1

2

1Ep x máxima potencial Energía

22

1222

1

:posición la defunción en potencial Energía

222max

kAAmwA

kxxmwEp


(t)posición x la de depende No

constante Es

)(2

122

1EcEpEm

:posición la defunción en Mecánica Energía

221E m

22

kA

xAkkx


2A2mw2

1221E m

constante siempre esy dos las de suma la es mecánica energía La

positiva siempre es cinética energía La

positiva siempre es elástica potencial energía La

kA


2

2

2

2

1Ec

0 Ep 0 x

02

1Ep

A x

2

1 CONSTANTE ESMECÁNICA ENERGÍA LA PUNTOS LOS TODOS EN

kAEc

kA

kA

M.A.S. DEL POSICIONES ALGUNAS EN ENERGÉTICOESTUDIO

-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)

Energías

E. POTENCIAL

E. CINÉTICA

E. MECÁNICA


24

1

2

1Ep

2

1

2

1

2

1EcEp la que para ¿?x

4

3

2

1

4

3

4

3

2

1)

4(

2

1)(

2

1

4

1

2

1

4

1

42

1

2

1 Ep

2

222

222

222

22

2

AxkAkxkAEm

EmkAA

kA

AkxAkEc

EmkAA

kkxA

x

-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)

Energías

E. POTENCIAL

E. CINÉTICA

E. MECÁNICA


gravedad la de valor dely

longitudsu de depende solamente pénduloun de oscilación de periodo El

22

2...

L

x-sen

agsen

mamgsen

maP

x

xx

g

LT

L

gw

L

gw

L

xga

xwaSAM

aL

xg

x

L

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