Movimiento Bidimensional
12
CALCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA, Y DE LA ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA • Usted maneja un coche en miniatura controlado por radio en una cancha de tenis vacía. La posición de Ud. Es el origen de coordenadas, y la cancha está en el plano xy. El coche que representamos con un punto tienen coordenadas ( x,y) que varían en el tiempo según: a) Represente gráficamente la trayectoria seguida por el carro durante los primeros tres segundos, y construya los diagramas: y vs t, y x vs t, para dicho intervalo de tiempo. b) Obtenga las coordenadas de coche y su distancia respecto a usted en t=2.0 s. c) Obtenga los vectores desplazamiento y velocidad media del coche entre t=0.0 s y t=2.0 s. Represente gráficamente dichos vectores d) Deduzca una expresión general para el vector velocidad y aceleración instantánea del coche. e) Determine los vectores velocidad instantánea y aceleración instantánea del coche para un tiempo t=2.0 s. Exprese dicha velocidad y aceleración en forma de componentes y en términos de la magnitud y la dirección, y represéntelos gráficamente. = 2.0 − 0.25/ 2 2 = 1.0 + 0.025/ 3 3
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CALCULO DE LA VELOCIDAD MEDIA E INSTANTNEA, Y
DE LA ACELERACIN MEDIA E INSTANTNEA
Usted maneja un coche en miniatura controlado por radio en una cancha de tenis vaca. La posicin de Ud. Es el origen de coordenadas, y la cancha est en el plano xy. El coche que representamos con un punto tienen coordenadas (x,y) que varan en el tiempo segn:
a) Represente grficamente la trayectoria seguida por el carro durante los primeros tres segundos, y construya los diagramas: y vs t, y x vs t, para dicho intervalo de tiempo.
b) Obtenga las coordenadas de coche y su distancia respecto a usted en t=2.0 s.
c) Obtenga los vectores desplazamiento y velocidad media del coche entre t=0.0 s y t=2.0 s. Represente grficamente dichos vectores
d) Deduzca una expresin general para el vector velocidad y aceleracin instantnea del coche.
e) Determine los vectores velocidad instantnea y aceleracin instantnea del coche para un tiempo t=2.0 s. Exprese dicha velocidad y aceleracin en forma de
componentes y en trminos de la magnitud y la direccin, y represntelos grficamente.
= 2.0 0.25/2 2
= 1.0
+ 0.025/3 3
-
= 2.0 0.25/2 2
= 1.0
+ 0.025/3 3
= 2.0 0.25/2 0.0 2
= 1.0
0.0 + 0.025/3 0.0 3
Para cualquier tiempo t Para un tiempo to
t x (m) y (m)
0,00 2,00 0,00
0,20 1,99 0,20
0,40 1,96 0,40
0,60 1,91 0,61
0,80 1,84 0,81
1,00 1,75 1,03
1,20 1,64 1,24
1,40 1,51 1,47
1,60 1,36 1,70
1,80 1,19 1,95
2,00 1,00 2,20
2,20 0,79 2,47
2,40 0,56 2,75
2,60 0,31 3,04
2,80 0,04 3,35
3,00 -0,25 3,68
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Po
sici
n
en
y (
m)
Posicin en x (m)
Posicin de la particula
-
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
Po
sici
n
x (
m)
Tiempo t (s)
Posicin en x contra tiempo
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
Po
sici
n
y (
m)
Tiempo t (s)
Posicin y contra tiempo
= 2.0 0.25/2 2 = 1.0
+ 0.025/3 3
-
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
Po
sici
n
en
y (
m)
Posicin en x (m)
Posicin de la particula
0
2
= 2 0
2 = 1,0 + 2,2
0 = 2,0 + 0,0
= 2 0 = 1,0 + 2,2 2,0 + 0,0
=
= 2 02 0
= 2 0 = 1,0 + 2,2 =
1,0 + 2,2
2.0
t x (m) y (m)
0,00 2,00 0,00
0,20 1,99 0,20
0,40 1,96 0,40
0,60 1,91 0,61
0,80 1,84 0,81
1,00 1,75 1,03
1,20 1,64 1,24
1,40 1,51 1,47
1,60 1,36 1,70
1,80 1,19 1,95
2,00 1,00 2,20
2,20 0,79 2,47
2,40 0,56 2,75
2,60 0,31 3,04
2,80 0,04 3,35
3,00 -0,25 3,68
-
= lim0
= lim0
( + ) ()
= lim0
= lim0
( + ) ()
= lim0
= lim0
( + ) ()
Para tenemos:
La posicin x de la partcula en un tiempo t esta dada por la expresin:
() = 2.0 0.25/2 2
La posicin x de la partcula en un tiempo t + e esta dada por la expresin:
( + ) = 2.0 0.25
2 + 2
+ = 2.0 0.25
22 0.50
2 0.25
22
, o en forma desarrollada como:
-
= lim0
= lim0
( + ) ()
= lim0
= lim0
( + ) ()
= lim0
= lim0
( + ) ()
Para tenemos:
La posicin y de la partcula en un tiempo t esta dada por la expresin:
y () = 1.0
+ 0.025/3 3
La posicin y de la partcula en un tiempo t + e esta dada por la
expresin:
y ( + ) = 1.0
( + e) + 0.025/3 ( + e)3
y + = 1.0
+ 1.0
e + (0.025/3)3 + 3(0.025/3)2e +
3(0.025/3)e2 + (0.025/3)e3
, o en forma desarrollada como:
-
= lim0
2.0 0.25 22 0.50
2 0.25
22 2.0 0.25
22
+
= lim0
( + ) ()
= lim0
0.502 0.25
22
= lim0
0.50
2 0.25
2
= 0.50
2
-
= lim0
( + ) ()
= lim0
1.0 + 1.0
e + (0.025/
3)3 + 3(0.025/3)2e +
+
= lim0
1.0
+3(0.025/3)2+3(0.025/3) + (0.025/3)e2
= 1.0
+3(0.025/3)2
3(0.025/3)e2 + (0.025/3)e3 1.0 0.025/
3 3
= lim0
1.0 e + 3(0.025/
3)2e + 3(0.025/3)e2 + (0.025/3)e3
-
Recordando que el vector en dos dimensiones se escribe como
=
+
Entonces el vector velocidad escrito en componentes (haciendo uso de vectores unitarios) queda de la siguiente forma
= 0.50
2 + 1.0
+3(0.025/3)2
Recordando que el valor de la velocidad resultante en un instante cualquiera es
=
2 +
2
Por lo tanto el vector velocidad escrito en forma de magnitud queda
= 0.50
2
2
+ 1.0
+3(0.025/3)2
2
-
Para un tiempo t=2.0s, el vector velocidad obtiene la forma
= (1.0
) + 1.0
+ 0.3
Y la magnitud queda entonces
= (1.0
) 2
+ 1.3
2
Operando, se encuentra
= 2.692
2
= 1.64
que es la magnitud del vector velocidad
-
Para encontrar la aceleracin instantnea (se deja el procedimiento al estudiante) derivamos la velocidad instantnea una vez, obteniendo
= 0.50
2 + 6(0.025
3)
Escrito en forma de magnitud tenemos
=
2 +
2
Este vector escrito en forma de su magnitud toma la siguiente forma
= 0.50
2 2
+ 0.15
3 2
-
Para un tiempo t=2.0s, el vector aceleracin obtiene la forma
= (0.50
2) + 0.3
2
Y la magnitud queda entonces
= (0.50
2) 2
+ (0.3
2) 2
Operando, se encuentra
= 0.342
4
= 0.58
2 que es la magnitud del vector aceleracin
