MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU I)

Una partícula se encuentra en movimiento circular, cuando su trayectoria es unacircunferencia, como, por ejemplo, la trayectoria descrita por una piedra que se hace girar alextremo de una cuerda. Si además de eso, la magnitud de la velocidad permanece constante,el movimiento circular recibe también el calificativo de uniforme. Entonces en estemovimiento el vector velocidad tiene magnitud constante, pero su dirección varía en formacontinua, a ella la llamaremos velocidad tangencial o lineal.La distancia recorrida por la partícula durante un período (ver definición de período abajo) esla longitud de la circunferencia que, como se sabe, tiene por valor 2R (siendo R el radio dela trayectoria). Por tanto, como el movimiento es uniforme, la magnitud de la velocidadtangencial (rapidez tangencial) estará dado por

vT =distancia recorrida

to sea,

vT =2 R

T

Nota: cuando hablamos de R, nos referimos al vector posición de la partícula respecto alcentro de la trayectoria circular.

Período (T)

El tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa se denomina período delmovimiento, y se representa por T.

Frecuencia (f)

La frecuencia f, de un movimiento circular es, por definición, el cociente entre el número devueltas y el tiempo necesario para efectuarlas.

f = número de vueltas efectuadastiempo transcurrido

Otra forma fácil de calcular la frecuencia es la siguiente

f = 1/T

Lo que significa que entre periodo (T) y frecuencia (f) existe una relación inversamenteproporcional.

La unidad de medida de frecuencia es el Hertz

1 Hertz = 1s-1

C U R S O: FÍSICA Mención

MATERIAL: FM-10

2

Rapidez angular ()

Consideremos una partícula en movimiento circular, que pasa por la posición P1 mostrada enla figura 1. Después de un intervalo de tiempo t, la partícula estará pasando por la posiciónP2. En dicho intervalo t, el radio que sigue a la partícula en su movimiento describe unángulo . La relación entre el ángulo descrito por la partícula y el intervalo de tiemponecesario para describirlo, se denomina rapidez angular () representada por

Observe que las definiciones de vT y son semejantes. La rapidez lineal se refiere a ladistancia recorrida en la unidad de tiempo, en tanto que la rapidez angular se refiere alángulo descrito en dicha unidad de tiempo.La rapidez angular proporciona información acerca de la rapidez con que gira un cuerpo. Enrealidad cuanto mayor sea la rapidez angular de un cuerpo, tanto mayor será el ángulo quedescribe por unidad de tiempo, es decir esta girando con mayor rapidez.Otra manera de evaluar la rapidez angular consiste en considerar que la partícula realiza unavuelta completa o revolución en un intervalo de tiempo. En este caso el ángulo descrito = 2 rad, es decir 360º y el intervalo de tiempo será de un periodo, o sea, t = T. Así,

=

2 radianesT s

Radián (rad): Cuando el arco de circunferencia S es de longitud igual al radio r entonces alángulo se lo define como 1 radián

Nota: es interesante interpretar la velocidad angular (), como un vector que tiene comomódulo la rapidez angular y como dirección, la del eje de rotación siguiendo la regla delsacacorchos.

fig. 1

vT

vT

r

R R

P1 P2 =t

Sr

3

Relación entre vr y

En el movimiento circular uniforme, la rapidez lineal se puede obtener por la relación

vT =2 R

T

o bien,

vT = 2

RT

Como 2 · /T es la rapidez angular, concluimos que

vT = · R

Esta relación sólo será valida cuando los ángulos estén medidos en radianes.

ANALOGÍA

Movimiento Trasnacional Movimiento Rotacional

d

v = dt

= θt

Relatividad del movimiento

dt

= v1 - v2t

= 1 - 2

dt

= v1 + v2t

= 1 + 2

Los móviles viajan enel mismo sentido

Los móviles viajan ensentidos opuestos

4

Aceleración centrípeta en un MCU

En el movimiento circular uniforme, la magnitud de la velocidad permanece constante, y por

tanto, la partícula no posee aceleración tangencial. Pero como la dirección de la velocidad

varía continuamente, la partícula sí posee aceleración centrípeta aC. En la figura 2 se

presentan los vectores vT y aC en cuatro posiciones distintas de la partícula. Observe que el

vector aC tiene la dirección del radio y siempre apunta hacia el centro de la circunferencia.

Podemos deducir, matemáticamente que la magnitud de la aceleración centrípeta en el

movimiento circular, esta dado por

aC =2

TvR

ó

aC = 2 · R

ó

aC = vT ·

Observe que la magnitud de aC es proporcional al cuadrado de la rapidez tangencial, si R es

constante, e inversamente proporcional al radio de la circunferencia, si vT es constante. Por lo

tanto, si un automóvil toma una curva cerrada (con R pequeño) a gran velocidad, tendrá una

aceleración centrípeta enorme.

vT

r

vT

r

vT

r

fig. 2

R aC

vT

r

aC

aC

aC

5

Aplicación del MCU

Correas de transmisión:

La figura 3 muestra una correa de transmisión, la cual se mueve con una rapidez lineal que

es la misma para cualquier punto de ella. La cadena que une los pedales de la bicicleta

con la rueda es una correa de transmisión. Supongamos que el engranaje A tiene un radio RA

y el engranaje B un radio RB.

vTA = vTB

Aplicando la ecuación vT = · R, en la relación anterior obtenemos la siguiente razón

A B

B A

R =

R

fig. 3

A

B

6

EJEMPLOS

1. Un cuerpo da 20 vueltas en 5 s, entonces su frecuencia es

A) 0,25 s-1

B) 4 s-1

C) 20 s-1

D) 4 · s-1

E) 10 s-1

2. Una rueda de madera tarda 10 s en dar una vuelta, entonces su rapidez angular es

A) 0,2 rad/sB) 0,5 rad/sC) 2 rad/sD) 10 rad/sE) 20 rad/s

3. Se tiene un computador cuyo disco duro gira a 5.400 rpm, entonces su rapidez angulares

A) 90 rad/sB) 45 rad/sC) 180 rad/sD) 60 rad/sE) ninguna de las anteriores.

4. Un auto avanza a 36 km/h y sus ruedas tienen un diámetro de 0,4 m, entonces si elnúmero se aproxima al valor 3, el número de vueltas que describen las ruedas en unminuto es

A) 600B) 500C) 250D) 20E) 8

7

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. La figura 4 muestra un cuerpo P desplazándose por una circunferencia. Si el cuerpo da xvueltas por segundo, entonces en 1 s el cuerpo recorre un ángulo de

A) x radianes.B) radianes.C) x · radianes.D) 2 · x · radianes.E) 4 · x · radianes.

2. Si un disco está girando a 30 rpm con MCU, su periodo es

A) 60 sB) 30 sC) 2 sD) 0,5 sE) 30 s

3. Un cuerpo de masa m, se mueve con rapidez constante v sobre una trayectoria

circunferencial girando en sentido antihorario, como se indica en la figura 5. La

aceleración a de este cuerpo al pasar por el punto P está mejor representada por

A)

B)

C)

D)

E)

fig. 4

P

fig. 5

P

m

8

4. Cuando dos ruedas giran y están en contacto o conectadas por una correa, como loindican las figuras 6a y 6b, entonces en cada caso se cumple que

I) A = B

II) vA = vB

III) fA = fB

De las afirmaciones anteriores es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y III.E) sólo II y III.

5. Dos poleas se comunican entre sí, mediante una correa la cual no desliza cuando laspoleas giran. Las poleas A y B tienen diámetros de 20 cm y 60 cm, respectivamente. Si Atiene un periodo de rotación de 0,5 s, entonces el periodo de la polea B es

A) 0,25 sB) 0,50 sC) 1,00 sD) 1,50 sE) 2,00 s

6. Si un cuerpo con movimiento circunferencial uniforme, describe un arco de 6 m, en unacircunferencia de radio 10 m demorando 3 s, entonces la rapidez con que el cuerpo semueve a través de la circunferencia es igual a

A) 2 m/sB) 3 m/sC) 9 m/sD) 12 m/sE) 0,5 m/s

fig. 7

A B

fig. 6a

AB

fig. 6b

A B

9

7. Una partícula gira con MCU y tiene rapidez angular de 5 rad/s. Si el radio de latrayectoria mide 2 m, entonces el módulo de la velocidad tangencial de la partícula esigual a

A) 0,4 m/sB) 2,5 m/sC) 5 m/sD) 10 m/sE) ninguna de las anteriores.

8. Tres discos están tocándose tangencialmente y al girar uno, giran los tres sin queninguno resbale. Si A, B y C son los discos y sus respectivos radios son R, R/2 y R/3,entonces cuando el disco A da 6 vueltas en un segundo, el disco C efectuará un númerode vueltas igual a

A) 6B) 12C) 18D) 24E) 30

9. El sistema que muestra la figura 9, corresponde a dos ruedas tangentes que giran comose indica. Si el radio de la rueda de mayor tamaño duplica al radio de la rueda máspequeña, entonces la razón entre las rapideces angulares de la rueda mayor y la menor,respectivamente, es

A) 1 : 4B) 1 : 2C) 1 : 1D) 2 : 1E) 4 : 1

fig. 9

A

x x xx

B C

fig. 8

10

10. La figura 10 corresponde a un engranaje formado por cuatro ruedas ligadas de modo queninguna de ellas se desliza sobre otra. Si la rueda de mayor tamaño gira en sentidoantihorario, entonces de las siguientes afirmaciones:

I) La rueda de menor tamaño gira en sentido horario.II) La rueda de mayor tamaño es la que tiene rapidez angular mayor.

III) La rueda de menor tamaño es la que tiene rapidez angular menor.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.B) sólo III.C) sólo I y II.D) sólo I y III.E) sólo II y III.

11. A, B y C son tres personas que se encuentran girando con MCU sobre una plataformacircular. Las posiciones de A, B y C, respecto al centro de la plataforma, sonrespectivamente, R/4, R/2 y R. Respecto a la situación descrita se hacen las siguientesafirmaciones

las tres personas tienen igual aceleración el que tiene mayor periodo es C. el de mayor rapidez angular es A. el módulo de la velocidad tangencial es el mismo para los tres.

El número de afirmaciones correctas es

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

12. El valor de la velocidad angular que tiene el puntero que da las horas en un reloj es de

A) 1 rad/hB) 2 rad/hC) /3 rad/hD) /6 rad/hE) /12 rad/h

fig. 10

fig. 11

A B C

11

13. La figura 12 muestra dos poleas de radios R y 2R, respectivamente, las cuales estánligadas por una correa de transmisión, teniendo la rueda de radio R una rapidez angularconstante .

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la magnitud de la velocidad tangencial deun punto del borde de la polea de radio 2R?

A) · RB) 2 · · RC) 2 ·

D)2

E)2R

14. Una partícula describe un MCU dando 3 vueltas por segundo, en una trayectoria de radio0,5 m. De las siguientes afirmaciones:

I) La rapidez angular es rad/s.II) La rapidez lineal es 3 m/s.

III) El período es 0,3 s.

Es (son) verdadera (s)

A) sólo I.B) sólo II.C) sólo I y III.D) sólo II y III.E) I, II y III.

fig. 12

R 2R

12

15. Dos puntos P y M están girando sobre una misma rueda, el punto M se encuentra en laperiferia del disco y P está a 4 cm de la periferia. Al comparar los módulos de lasvelocidades tangenciales, se observa que la de M es el triple de la que tiene P, con estosdatos el radio del disco mide

A) 2,0 cmB) 3,5 cmC) 4,0 cmD) 6,0 cmE) 8,0 cm

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 B 2 A 3 C 4 B

DMONFM-10

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fig. 13

P

M