Movimiento de rotación Hasta el momento se ha analizado el movimiento traslacional, en el cual se optó por idealizar un cuerpo hasta convertirlo en un punto material, es decir en una partícula como móvil.

En este tema trataremos en cambio el movimiento de cuerpos rígidos, esto es, cuerpos que: • no se deforman ante la acción de fuerzas dentro de determinados límites

de las mismas; y, • las diferentes partículas que conforman el cuerpo si bien mantiene las

mismas velocidades y aceleraciones angulares en cualesquier tiempo y además conservan constantes las posiciones relativas entre las diferentes partículas que conforman el cuerpo, tienen diferentes velocidades y aceleraciones lineales en un mismo tiempo.

En este caso estamos frente a un movimiento rotacional Gráficamente un cuerpo rígido como el representado en la figura cumple con que

Posición relativa entre dos puntos se mantiene constante con el tiempo

Velocidad instantánea de cada punto es

diferente para el mismo tiempo y además varia generalmente con el tiempo

Aceleración Instantánea de cada punto ediferente para el mismo tiempo y además varia generalmente con el tiempo

s

En vista que todos los cuerpos reales son deformables para ciertos valores de fuerzas, aquellos que consideramos como rígidos serán dentro de un cierto rango de valor de la fuerza. Un mismo cuerpo por tanto tiene un espacio para un determinado valor de fuerza que se comporta como cuerpo rígido y otro no. Rotación pura.- Cuando un cuerpo rígido se encuentra solamente en movimiento rotacional, alrededor de un eje fijo, las partículas que son elementos del objeto se desplazan describiendo circunferencias como trayectorias. Los centros de estas trayectorias circulares definen lo que se llama centro o eje de rotación. En las condiciones señaladas estamos frente a un fenómeno de rotación pura y por tanto todas las partículas del cuerpo rígido se mueven con la misma velocidad y aceleración de rotación o angular.

En nuestro curso el cuerpo rígido será idealizado a un radio vector. Cantidades físicas que permiten explicar el movimiento rotacional

1. Posición angular.- La figura muestra la imagen de un disco compacto en rotación antihorario visto desde la parte superior al mismo. El disco esta rotando alrededor de un eje fijo o perpendicular a él y por tanto al plano de la figura.

Eje de referencia

(x,y) r S

P

θ O

Si centramos nuestra atención en una partícula (P) elemento del disco, que se encuentra rotando en dirección anti horaria y conocemos que la distancia de O a P es r, podemos establecer que su posición puede estar dada por (x, y) en coordenadas rectangulares, (r, θ) en el de coordenadas polares etc. En nuestro estudio consideramos más conveniente representar la posición de todo punto elemento de un cuerpo rígido en rotación por sus coordenadas polares esto es (r, θ) donde:

• r es la distancia desde el centro de rotación hasta la partícula analizada ;y,

• θ es el ángulo medido en el sentido anti horario desde un eje de referencia horizontal.

Una de las ventajas de esta notación es que solamente varia una coordenada con el tiempo y esta es θ, pues r es constante. Al tomar el sistema de coordenadas rectangulares las dos coordenadas varían con el tiempo. La posición angular de un punto elemento de un cuerpo rígido determina entonces su ubicación en un tiempo determinado y matemáticamente lo determinamos por sus coordenadas polares (r, θ) en dicho tiempo. El que r sea constante en el tiempo ha hecho que generalmente en lenguaje coloquial digamos que la posición angular de un punto elemento de un cuerpo rígido este determinado por al ángulo medido desde la horizontal en dirección anti

horaria. Como se puede ver en la figura cuando el cuerpo rígido recorre un ángulo θ el punto P describe un arco de longitud s La relación con el ángulo θ y la longitud del arco s de la figura viene dado por

S= r θ (Ec. 1) De la ecuación podemos determinar que el ángulo viene dado por θ = s/r esto es el ángulo es solo un número no tiene unidad En el caso de que s y r sean iguales la medida del ángulo es un radian. En el movimiento rotacional los ángulos siempre deben estar dados en radianes.

2. Desplazamiento angular.-

A Δθ θ1

Cuando el punto A de nuestro radio vector de la figura (idealización de cuerpo rígido para nuestro curso) gira desde un posición θ1 a un tiempo t1 hasta una posición θ2 en un tiempo 2 diremos que su desplazamiento angular es el ángulo ∆θ recorrido entre θ1 y θ2 independientemente del número de vueltas que haya dado la partícula A para llegar de θ1 a θ2. En el caso expuesto el desplazamiento será el mismo si va de θ1 a θ2 en la misma vuelta o sale de θ1 y llega a θ2 luego de n vueltas. Por convención si el ángulo recorrido es en dirección horaria el desplazamiento será considerado como negativo, caso contrario como positivo. Matemáticamente se expresa ∆θ = θ1- θ2 (Ec. 2)

3. Velocidad angular.-

De igual manera que en el movimiento traslacional en el rotacional tenemos dos clases de velocidades angulares: velocidad angular media y velocidad angular instantánea.

A

θ2

3.1.- Velocidad angular media ω.- Para el caso de un movimiento rotacional alrededor de un eje de rotación fijo, independiente de las otras características del movimiento, la velocidad angular media se define de acuerdo a la siguiente relación ω = ∆θ/∆t (Ec. 3) donde ∆θ es la diferencia entre la posición angular a t2 y t1 que son los limites superior e inferior de ∆t para el cual se está determinando la velocidad angular media. De la ecuación se deduce que las unidades son (rad/s o s-1) Físicamente la velocidad angular media es una cantidad vectorial que permite transformar o idealizar un movimiento de velocidad angular variable en uno de velocidad angular constante en un intervalo de tiempo ∆t determinado e igual en los dos casos. En el presente curso la velocidad angular media será considerada como una cantidad escalar bajo la convención de ser positiva cuando es en dirección anti horaria y negativa en caso contrario.

3.2.- Velocidad angular instantánea ω.- Físicamente representa el valor de la velocidad angular del radio vector (cuerpo rígido idealizado) en un tiempo determinado. El valor para todos los puntos elementos del radio vector por tanto será la misma. Su unidad es (rad/s o s-1) Matemáticamente es una magnitud vectorial cuya forma de cálculo para un movimiento rotacional en relación a un eje fijo depende del tipo de movimiento. Si el movimiento rotacional a más de ser alrededor de un eje fijo es con aceleración angular α constante para un intervalo ∆t la ecuación para su cálculo en cualesquier tiempo es ω2 = ω1 + α∆t (Ec. 4) donde: ω2 es la velocidad angular del cuerpo rígido (por tanto de todos los puntos elementos del mismo) al tiempo t2

ω1 es la velocidad angular del cuerpo rígido (por tanto de todos los puntos elementos del mismo) al tiempo t1

t2 y t1 los límites superiores e inferiores respectivamente de ∆t intervalo en que la aceleración angular α es constante

Se debe señalar además que el unitario de la velocidad angular es colineal con el eje de rotación fijo perpendicular al plano de rotación generado por el radio vector como se demuestra en la figura. La convención para determinar si ω es positiva o negativa es: positiva si el movimiento es en dirección anti horaria, negativa si es en dirección contraria. Si el cuerpo rígido gira con igual valor de velocidad angular en todos los tiempos entonces este valor es igual al de la velocidad angular media en dicho intervalo y además la velocidad angular del movimiento es constante El gráfico representa el movimiento angular del radio vector r , en el plano x, y partiendo del eje de referencia en dirección antihorario pues el vector ω se encuentra paralelo al eje Z y en su dirección positiva

4. Variación de la velocidad angular ∆ω.- La variación de la velocidad angular es una cantidad vectorial que indica que la velocidad angular:

• tiene diferente magnitud para diferentes tiempos, en cuyo caso diremos varia la rapidez angular pero el plano de rotación generado por el radio vector así como el eje de rotación se mantienen estables,

• tiene diferentes unitario en diferentes tiempos en cuyo caso diremos varia la dirección de la velocidad angular y por tanto el plano de rotación del radio vector así como su eje de rotación no se mantienen estables en el tiempo, o ;

• se da los dos casos de manera simultánea. Matemáticamente su valor se determina con la ecuación

∆ ω = ω2 - ω1 (Ec. 5)

Eje de referencia

(x,y)

r S

P

θ Oω

z

Donde ω2 - ω1 son los valores de las velocidades angulares a los tiempos t2 y t1, y ; t1 y t2 son los tiempos en que inicia y finaliza el periodo de análisis del movimiento respectivamente Si analizamos gráficamente los caso de ∆ ω tenemos a) solo cambia la rapidez angular y

z

y

x

ω

z

x

ω

Figura a Figura b

De la figura se puede concluir que al solo cambiar el tamaño del vector ω

µ∆ω = ±µω (Ec. 6)

es decir los vectores variación de velocidad angular y velocidad angular son colineales. b) solo cambia la dirección de la velocidad angular z

y y

ω

x

x z ω2

Figura a Figura b

Si se realiza la resta entre ω 2 y ω tenemos

Δω ω 2

ω

Del gráfico de la resta vectorial se concluye que en este caso ∆ω no es ya colineal con ω2 ni ω El caso tres se deja para que analice el estudiante En el presente curso mientras no se señale explícitamente se considera que la velocidad angular mantiene constante su dirección por tanto se cumple que los vectores variación de velocidad angular y velocidad angular son colineales y además que si µ∆ω = µω la rapidez del movimiento rotacional l incrementa (movimiento rotacional acelerado) y cuando µ∆ω = -µω la rapidez del movimiento rotacional disminuye (movimiento rotacional retardado)

5. Aceleración.- El vector aceleración angular físicamente determina la existencia o no de la variación de la velocidad angular en rapidez, dirección o en rapidez y dirección simultáneamente. Por lo afirmado en nuestro curso esta cantidad física mientras no se explicite de manera específica se referirá exclusivamente a la variación de la rapidez de la velocidad angular. La aceleración angular puede ser aceleración media o aceleración instantánea 5.1.- Aceleración angular media α .- Matemáticamente se define como

α = ∆ω/∆t (Ec. 7) De la ecuación fácilmente se puede deducir que los unitarios de la aceleración angular y la variación angular son iguales

Físicamente representa el valor de una aceleración angular que permite que en un intervalo entre t1 y t2 varia la velocidad angular de ω1 a ω2 manteniendo su variación por unidad de tiempo constante. La afirmación anterior equivale a que la aceleración angular en dicho intervalo se considera constante independientemente que esto se cumpla o no en el movimiento real. 5.2.- Aceleración angular instantánea αt.- La ecuación para el cálculo de su valor matemático depende de las características del movimiento rotacional. Físicamente representa el cambio del valor de la velocidad en un tiempo determinado por ejemplo la aceleración angular al tiempo 2 segundos es 2i – 5j + k s-2 Si el valor de la aceleración instantánea en todos los tiempos dentro de un intervalo es la misma diremos que la aceleración angular es constante y por tanto su valor es igual al de la aceleración angular media y a las dos (instantánea y media) en este caso lo representaremos con α. Este es el caso que estudiaremos en nuestro curso. Resumiendo en esta unidad estudiamos el movimiento rotacional de radios vectores alrededor de un eje fijo, sin que varíe la dirección de la velocidad angular y su rapidez varíe de forma constante con el tiempo y en tal caso las ecuaciones del movimiento son

θ2 = θ1 + ω1 ∆t + ½ α ∆t2 (Ec. 8)

Donde θ2

es el valor en radianes del ángulo total recorrido en radianes medido desde el eje horizontal en el intervalo de tiempo analizado, por tanto solo representa la posición cuando su movimiento total a sido menor que 360 grados en caso contrario representa el ángulo total recorrido θ1 es el valor de la posición al tiempo 1 α la aceleración angular en el intervalo de t1 a t2 y que además debe mantenerse contante para poder aplicar la ecuación.

ω2 = ω1 + α ∆t (Ec. 9) donde ω2 = ω1 son los vectores velocidad angular a los tiempos 2 y 1 limites del intervalo analizado; y, α el vector aceleración angular en el intervalo que además debe ser constante

Ejemplo 1: Determine la posición y la velocidad angulares al tiempo 5 segundos del radio vector que partiendo de una posición 30º y con velocidad angular 2k al tiempo cero rota en xy, manteniendo una aceleración angular constante de 2s-2

Caracterización del problema

30o

α

y

ω

z

x

El problema se caracteriza por calcular la posición y la velocidad angulares a un tiempo determinado de un radio vector en movimiento rotacional con aceleración constante en el plano xy alrededor de un eje fijo paralelo al eje z Selección de modelo matemático a aplicar Las características del ejercicio determinan que la ecuación adecuada para la posición es θ2 = θ1 + ω1 ∆t + ½ α ∆t2 , y; velocidad es ω2 = ω1 + α ∆t

donde t2 es 5 segundos, t1 es cero segundos w = 2k, α = 2 s -2 y θ1 = 30º = π/6 rad . Cálculo De la posición Dado que la ecuación es escalar se tiene θ2 = π/6 + 2*5 +½ *2*52

θ2 = 35.52 rad = 1.017, 673o = 2, 82 revoluciones De la velocidad angular ω2 = 2k + 2k*5 = 12k

Análisis de resultado Como se puede ver los valores anteriores en cualesquiera de las unidades presentadas no puede representar la posición del radio vector al tiempo 5 en tanto esta se encuentra entre 0 y 360o lo que representa el ángulo total girado desde el eje horizontal esto es desde el eje horizontal el radio vector dio dos vuelta lo cual le llevo de nuevo al eje horizontal y lo que paso de es 0, 82 rev = 295,5o en sentido anti horario.

RELACIÓN ENTRE CANTIDADES DE MOVIMIENTO ROTACIONAL Y MOVIMIENTO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA ELMENTO DE UN

RADIO VECTOR EN ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO PERPENDICULAR AL PLANO DE ROTACIÓN

Si se considera que el radio vector OB de la figura está conformado por un infinito numero de partículas y recordando la definición de cuerpo rígido entre otras cosas podemos concluir que todos las partículas elementos del cuerpo rígido OB en la posición indicada en la figura tiene la misma velocidad y aceleración angular ω y α respectivamente. La partícula P que se encuentra a una distancia r del punto O como elemento del radio vector entonces tiene ω y α. Si imaginariamente omitimos el segmento OP tendremos que la partícula P que está en movimiento de traslación describiendo una circunferencia de radio r (movimiento circunferencial no circular) como se muestra en la figura. En este la partícula P esta en movimiento traslacional y por tanto debe tener r, v, y a

ºP

ω

α

B

O

r

ω

α P

v

a

Para apreciar de mejor manera lo expresado en el gráfico anterior se recomienda entrar a http://www.youtube.com/watch?v=5Qm3rOj4SQw http://www.youtube.com/watch?v=JaewclRWYlA&feature=related La partícula P por tanto según el punto de análisis esta en movimiento rotacional y traslacional. La relación entre las magnitudes de dichos movimientos que caracterizan a la partícula P matemáticamente están determinados por las siguientes ecuaciones

ω x r = v (Ec. 10) α x r = aT (Ec. 11) ω x v = aN (Ec. 12) α x r + ω x v = a (Ec. 13)

Al aplicar el producto vectorial en las tres primeras ecuaciones anteriores y considerando que v y r son coplanares y perpendiculares entre si y ω por definición es perpendicular al plano formado por v y r se concluye que

|ω|.|r| = |v| ((Ec. 14) |α|.|r| = |aT| (Ec. 15)

| α |.|r| = |aN| (Ec. 16)

Ejemplo 2: A partir de los datos y resultados del ejemplo 1 y considerando que una de las partículas del radio vector se encuentra a 15 cm. Del centro de giro. Para dicha partícula determine la

1. Posición 2. Velocidad a los 5 segundos 3. Componente tangencial y radial de la aceleración a los 5 segundos

Caracterización del problema

30o

z

x

y y

x

z

Condiciones iniciales Condiciones iniciales El problema se caracteriza por ser de traslación en circunferencia con aceleración variable. Selección de modelo matemático a aplicar Al ser de aceleración variable ninguna de las funciones anteriormente estudiadas para el movimiento de traslación pueden ser aplicadas en tanto la condición básica para su aplicación es que la aceleración durante el período analizado sea constante. El procedimiento será entonces analizarlo primeramente como un problema de rotación de aceleración angular constante y una vez conocidas la posición y velocidad angular final, del radio vector y por tanto de cada una de las partículas que lo componen, transformar estas a posición y velocidad lineal, así como los valores de AT y AN para la partícula que se encuentra a 15 cm del centro de giro; utilizando para ello la transformación de vectores para r y las ecuaciones 10, 11y 12, para V, AT y AN Cálculo Del ejemplo 1 se obtuvo que

θ2 = 35.52 rad = 1.017, 673o = 2, 82 revoluciones = 295,2 desde el eje horizontal medido en dirección antihoraria o 64, 8 en dirección horaria; y, De la velocidad angular ω2 = 12k Por lo anterior y los datos del ejercicio r = 15 cm, 295,2o r = 15cm(cos 64,8i – sen 64,8j) = 6,38i – 13,58j cm w×r = v 12k×(6,38i – 13,58j) cms-1

= v V = 162,96i + 76,56j cms-1

64,8

AT = α×r 2k×(6,38i – 13,58j)cms-2 27,16i + 12,76j cms-2

AN= w×v 12k ×(162,96i + 76,56j) cms-2

-918,72i +1955,92j cms-2

Análisis de resultado En el gráfico se puede ver la correspondencia de la dirección de las componentes de r, v, AN y AT y ello da cierta probabilidad de veracidad en los cálculos, aunque los valores en si no sean demasiado reales.

Velocidad AT AN