Movimiento en Torno a Un Punto Fijo......

8/16/2019 Movimiento en Torno a Un Punto Fijo......

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MOVIMIENTO EN TORNO A UN PUNTO FIJO

Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo A A ' . Sea P un punto del cuerpo y r su

vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo. Por conveniencia, se supone que el sistema

de referencia está centrado en el punto O sobre A A ' y que el eje z coincide con A A ' !igura a".

Sea B la proyección de P sobre A A ' # puesto que P debe permanecer a una distancia constante de B,

describirá un círculo de centro B y de radio r sen∅ , donde ∅ denota el ángulo formado por r y

AA ' .

Figura a.

$a posición de P y del cuerpo completo está definida totalmente por el ángulo θ que forma la línea BP

con el plano zx . %l plano θ se conoce como coordenada angular del cuerpo y se define como positiva

cuando se ve en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde A ' . $a coordenada angular se

e&presará en radianes rad" o, en ocasiones, en grados '" o revoluciones rev". %s decir(

1rev=2π rad=360°


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Se tiene que la velocidad v=dr /dt de una partícula P es un vector tangente a la trayectoria de P y de

magnitud v=ds /dt . )l observar que la longitud ∆ s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira un

ánguloθ

es(

∆ s=(BP ) ∆ θ=(rsen∅)∆ θ

y al dividir ambos miembros entre ∆ t , se obtiene en el límite, cuando ∆ t tiende a cero,

v=ds

dt =r θ́sen∅… … … … ..(1)

donde θ́ denota la derivada en el tiempo de θ . Se denota que el ángulo θ depende de la

posición de P dentro del cuerpo, pero que la ra*ón de cambio θ́ es en sí misma independiente de P." $a

conclusión es que la velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA ' y r, y de

magnitud v definida por la ecuación +". Pero ste es precisamente el resultado que se obtendría al

dibujar un vector ω=θ́ k a lo largo de AA ' y se formara el producto vectorial ω × r !igura b".

Figura b.


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%ntonces se tiene

v=dr

dt =ω×r…………(2)

%l vector

ω=ωk =θ́ k … … …(3)

que está dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina la velocidad angular del cuerpo y es igual en

magnitud a la ra*ón de cambio θ́ de la coordenada angular# su sentido puede obtenerse mediante la

regla de la mano derec-a con base en el sentido de rotación del cuerpo.

$a aceleración a de la partícula P se determinará a continuación. )l diferenciar la ecuación ", se tiene(

a=dv

dt =

d

dt (ω×r )

¿ dω

dt × r+ω×

dr

dt

¿ dω

dt × r+ω × v … … …(4 )

%l vector dω /dt se denota mediante α y se denomina aceleración angular del cuerpo. )l sustituir

tambin v de ", se tiene

a

=α × r

+ω ×

(ω × r

)… … …

(5

)

)l diferenciar /" y recordar que 0 es constante en magnitud y dirección, se tiene

α =αk = ώ=θ́ k………(6)


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1e tal modo, la aceleración angular de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es un vector dirigido a lo

largo del eje de rotación, y es igual en magnitud a la tasa de cambio ώ de la velocidad angular. 2olviendo

a la ecuación 3", se observa que la aceleración de P es la suma de dos vectores.

%l primer vector es igual al producto vectorial α × r # es tangente al círculo descri to por P y, por lo

tanto, representa la componente tangencial de la aceleración.

%l segundo vector es igual al triple producto vectorial mi&to de tres vectores" ω× (ω×r )

obtenido al formar el producto vectorial de ω y (ω×r ) # ya que ω × r es tangente al

círculo que describe P, el triple producto vectorial está dirigido -acia el centro 4 del círculo y, por

consiguiente, representa la componente normal de la aceleración.

ROTACIÓN DE UNA PLACA REPRESENTATIVA

$a rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el movimiento de una placa

representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotación. Se elige el plano &y como el plano

de referencia y se supone que coincide con el plano de la figura, con el eje * apuntando -acia fuera del papel

figura c".

Figura c.

1e la ecuación /", se tiene que ω=ωk , se nota que un valor positivo del escalar ω corresponde a

una rotación en el sentido contrario al de las manecillas del reloj de la placa representativa, y un valor


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negativo a una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. )l sustituir ωk por en la ecuación ", se

e&presa la velocidad de cualquier punto P dado de la placa como(

v=ω k × r … … … (7)

Puesto que los vectores 0 y r son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es

v=rω

y su dirección puede obtenerse al girar r en 56' en el sentido de rotación de la placa.

)l sustituir ω=ωk y α =αk en la ecuación 3" y observar que el doble producto cru* de r por 0

origina una rotación de +76' del vector r, se e&presa la aceleración del punto P como

a=α k × r−ω2r … … …(8)

)l descomponer a en las componentes tangencial y normal figura d", se escribe

at =αk×ra

t =rα

an=−ω2

r an=r ω2

Figura d.


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$a componente tangencial at apunta en la dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj si

el escalar α es positivo, y en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj si α es negativo.

$a componente normala

n siempre apunta en la dirección opuesta a la de r, esto es, -acia O.

ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Si se conoce el movimiento de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo AA ' cuando su

coordenada angular θ puede e&presarse como una función conocida de t. Sin embargo, en la práctica la

rotación de un cuerpo rígido rara ve* se define mediante una relación entre θ y t. Con mayor frecuencia,

las condiciones de movimiento se especificarán mediante el tipo de aceleración angular que posea el cuerpo.

Por ejemplo, es posible que α se d como una función de t, como una función de θ o como una

función de ω . 1e las relaciones /" y 8", se tiene(

ω=dθ

dt ………(9)

α =dω

dt =

d2

θ

d t 2 ………(10)

o, al despejar 5" dt y sustituir en +6",

α =ω dω

dθ … … …(11)

Con frecuencia se encuentran dos casos particulares de rotación(

a R!"aci#$ u$i%!r&'. %ste caso se caracteri*a por el -ec-o de que la aceleración angular es cero.

Consecuentemente, la aceleración angular es constante, y la coordenada angular está dada por la

fórmula


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θ=θ0+ωt …… …(12)

b R!"aci#$ ac'('rada u$i%!r&'&'$"'. %n este caso, la aceleración angular es constante. $a similitud

entre las fórmulas derivadas aquí y aquellas obtenidas para el movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado de una partícula es manifiesta.

ω=ω0+αt

θ=θ0+ω

0t +

1

2α t

2

………(13)

ω2=ω0

2+2α (θ−θ0)

1ebe subrayarse que la fórmula +" sólo se usa cuando α =0 , y las fórmulas +/" sólo cuando

α =contante . %n cualquier otro caso, deben emplearse las fórmulas generales 5" a ++".

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