Movimiento Ondulatorio - Deducción de Ecuaciones de Onda

5/7/2018 Movimiento Ondulatorio - Deducción de Ecuaciones de Onda - slidepdf.com

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FísicaII–IngenieríadeSonido-UNTREFProblemasResueltosdeTermodinámicayOndas

RamónFacundo

RESUMEN:

Deduccióndelasecuacionesdeondaendistintosmediosysusrespectivas

velocidadesdepropagación.



UNTREF – Física II – Movimiento Ondulatorio

Ramón Facundo – Legajo 18234 – 1er Cuatrimestre 2010 – Pág 1

MovimientoOndulatorio

ONDAELÁSTICAENUNBARRA

Consideremos una barra de sección transversal uniforme A. En cadasección transversal existen dos fuerzas iguales y opuestas. Hay unesfuerzo a lo largo del eje que no necesariamente es igual en todala barra.

El esfuerzo normal es definido como la fuerza por unidad de áreaque actúa perpendicularmente a la sección transversal en cualquierdirección.

Ante una perturbación, las fuerzas de esfuerzo producen undesplazamiento de las secciones paralelo al eje x. Hay deformacióna lo largo de la varilla, por lo tanto las fuerzas F y F´ varían.

La perturbación se propaga en el mismo sentido que oscilan lassecciones de la barra, por lo tanto, la onda resultante esLongitudinal.

Si se deja fija la varilla en un extremo y se estira el extremo libre lavarilla sufrirá un alargamiento.

Denotamos el desplazamiento de la sección A con ε, entonces ε esfunción de x. Consideramos otra sección A´, separada de A por una

distancia dx. Cuando se alarga la varilla la sección A se ve

A A´

x+ε dx+dε

A A´

x dx

F F´





desplazada una distancia ε y la A´ es desplazada una distanciaε+dε. La deformación de la varilla en esa región es dε.

La deformación lineal (ε) de la varilla es la deformación a lo largodel eje por unidad de longitud. Como dε corresponde a dx entonces:

La Ley de Hooke establece que “El esfuerzo normal es proporcional a la deformación lineal”. Donde la constante de proporcionalidad Yse conoce como Módulo de Young.

La ley de Hooke es válida para deformaciones pequeñas.

En una barra, la velocidad de propagación es:

Donde Y es el Módulo de Young y ρ es la densidad del material.

Cuando la barra no está en equilibrio, la fuerza sobre cada secciónno es la misma a lo largo de la varilla. En el ejemplo anterior existeuna fuerza hacia la derecha que acelera una sección de la barra. Lafunción ε es solución de la ecuación de onda cuando la velocidad es

.

DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNABARRALa fuerza neta sobre la sección AA´ es:

(1)La masa es , donde v es el volumen y ρ densidad.

Entonces la masa de la sección AA´ es:

(2)

Donde Adx es el volumen de la sección AA´. En la sección a estudiarse considera una masa muy pequeña, es por eso que la podemosexpresar como un diferencial.

Recordemos que por Newton sabemos que:





(3) (4)

También sabemos que ε es función de posición y tiempo.

Reemplazando en (3) con (4) y (2) obtenemos:

(5)

Sabemos que el esfuerzo normal es:

(6)

Derivando (6) en dx obtenemos:

(7)

De (5) y (7)

ONDAELÁSTICAENUNRESORTEUn resorte es una barra en forma de espiral. La lógica depensamiento es exactamente la misma que en el caso anterior, tansólo utilizaremos diferentes constantes para determinar la velocidadde propagación.

Un resorte cuenta con una constante de elasticidad K, una longitudL y una masa por unidad de longitud Ml también conocido como

densidad lineal.

En este caso la velocidad de propagación es:

La propagación de la onda es en la misma dirección que laoscilación de las secciones, por lo tanto, tambien es una ondalongitudinal.





DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNRESORTEConsideramos un resorte con una longitul L, constante deelasticidad K y una masa Ml por unidad de longitud.

El resorte se encuentra fijo en uno de sus extremos y libre en elotro, al aplicar una fuerza en el extremo libre se produce unalargamiento y nuevamente obtenemos un ε de deformación lineal.

Partimos de la definición de esfuerzo normal para empezar a

establecer relaciones.

(1)

Por Newton:

(2)

Nuevamente utilizamos Δm por se la masa infinitesimal.

También sabemos que la variación de fuerza resulta ser trabajo,entonces:

(3)

Igualando (2) y (3)

x dx

x+ε dx+dε





(4)

Derivando (1) respecto de x e igualando con (4) obtenemos

(5)

Ahora bien, de la Ley de Hooke aplicada a los resortes obtenemosque:

(6)

Además sabemos que ε es la variación de longitud sobre la longitud

original:

(7)

Combinando (6), (7) y (1)

ONDASTRANSVERSALESENUNACUERDAEn este tipo de ondas las secciones de la cuerda se desplazanverticalmente mientras que la propagación lo hace en el sentido deleje x. Por esto son Ondas Transversales.

β´

T

Tx´

Ty´

β

T

Tx

Ty ε

x dx

Α

Β





Supongamos una cuerda sometida a tensión T. En equilibrio lacuerda esta en línea recta. Al perturbarla observaremos unmovimiento como el del gráfico anterior. Un segmento de la cuerdase desplazará una distancia ε desde el equilibrio. En los puntos A yB seguirán estando las tensiones que mantenían recta a la cuerda,

solo que ahora no serán directamente opuestas. Cada una tendráun componente en el eje x y un componente en el eje y. Porsupuesto que el módulo de la tensión seguirá siendo el mismo en Ay en B, de no serlo habría desplazamiento y no oscilación.

El desplazamiento del segmento satisface la ecuación de ondaunidimensional con la siguiente velocidad:

Donde T es la tensión y ml la densidad lineal de la cuerda.

DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNACUERDALa sumatoria de fuerzas en el eje y es:

Como β´ y β son aproximadamente iguales, podemos expresar lasumatoria de fuerzas en y con un diferencial. Y también podemosconsiderar al sen(β)≅tan(β)

Pero la tangente de β es la pendiente de la curva adoptada por lacuerda, que es igual a dε /dx. Entonces:

También sabemos por Newton que la fuerza en y es igual a la masade la sección por su aceleración en y.





ONDASELÁSTICASTRANSVERSALESENUNABARRAConsideramos una barra en equilibrio. Cada sección de la barra estásometida a fuerzas opuestas F y F´ que son transversales a lavarilla, por lo tanto, tangentes a la sección. Al realizarse unaperturbación estas fuerzas varían y resultan en un desplazamientode las secciones, la propagación de la onda se realiza en sentidoperpedicular al movimiento de las secciones, por esto decimos quees una onda transversal. El desplazamiento transversal responde ala ecuación de onda cuando la velocidad es:

Donde G es el módulo de torsión.

DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDPROPAGACIÓNDEUNAONDATRANSVERSALENUNABARRA

Partimos del esfuerzo normal, esta vez usando el módulo detorsión.

Del mismo modo:

Podemos obtener un ΔF de la siguiente forma:

(1)

Nuevamente con Newton obtenemos que:

F

F´

dx

A

A´

ε





(2)

Igualando (1) con (2)

Si tomamos el límite de dx tendiendo a cero obtenemos la siguientederivada:

ONDASSUPERFICIALESENUNAMEMBRANATENSASuponemos una membrana delgada y tensa, está sujeta a un marcoque ejerce una tensión T.

Luego de una perturbación la variación de fuerzas resultará en unmovimiento en el eje Z. Se analiza como cuerdas entrelazadas.

Tendremos desplazamiento en Z debido al movimiento en x y en y.

En este caso estamos hablando de una onda bidimensional.

DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNAMEMBRANATENSA.De la cuerda tensa tenemos que:

ΔxΔ

T

T

T

T





Ahora, este fuerza también estará en el eje x. La resultante será unmovimiento en el eje z. Entonces:

La fuerza total es la suma de las dos componentes anteriores.

(1)

Aplicando Newton y conociendo la densidad superficial:

Podemos reescribir Fz como:

(2)

Igualando (1) y (2)

Obteniendo limite de Δx y Δy tendiendo a cero, obtenemos lasiguiente relación:

ONDASENUNACOLUMNADEGASA diferencia de las ondas en una barra sólida, las ondas en unacolumna de gas producen fluctuaciones en la densidad del gas casien la misma medida que la en presión del gas. En la barra sólida ladensidad es prácticamente constante.





Consideremos una columna de gas dentro de un tubo. Sean p0 y ρ0 la presión y la densidad del gas. En equilibrio, p0 y ρ0 son losmismos en todo el volumen del gas, independientes de x. Si seperturba la presión del gas, se pone en movimiento un elemento devolumen Adx. Las presiones A y en A´ son distintas, entonces se dalugar a una fuerza resultante. La sección A se desplaza una

distancia ε y la sección A´ lo hace una distancia ε+dε. Debido a lascaracterísticas del aire hay cambio de densidad.

El desplazamiento de la perturbación satisface la ecuación de ondacon la siguiente velocidad:

Donde K es el módulo de elasticidad del volumen y ρ0 es ladensidad inicial del gas.

DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNACOLUMNADEGASPartimos del principio de conservación de la masa. Este exige que lamasa. La sección A, en equilibrio, debe tener la misma masa que lasección A perturbada.

(1)

Pero como dε /dx es considerablemente pequeño, podemos utilizarel desarrollo en serie para reescribr (1) de la siguiente forma:

(2)

La presión está relacionada con la densidad como una funciónp=ƒ(ρ). Aplicando el desarrollo de Taylor a esta función se obtiene:

A A´

x dx

P P´





Como las variaciones de densidad son relativamente pequeñaspodemos trabajar con el primer término únicamente.

(3)

El módulo de elasticidad volumétrico (K) se define de la siguienteforma:

(4)

Reemplazando (4) en (3):

(5)

Utilizando (2) en (5) obtenemos:

(6)

Por otro lado, por Newton:

(6)

Y sabiendo que la fuerza es presión por área, podemos decir que dellado izquierdo de la sección A el gas empuga con una fuerza de pA ydel lado derecho hay una fuerza opuesta p´A. Entonces laresultante será en el eje X será (p-p´)A=-Adp. Entonces:

(7)

Derivando (6) en x y reemplazando el resultado en (7) obtenemos:

(8)





El movimiento ondulatorio en los gases es un proceso adiabático. Esdecir, el gas no intercambia calor en el proceso. En condicionesadiabáticas p=Cpϒ. Entonces también podemos relacionar la velocidadde las ondas con las características termodinámicas del gas.

(9)

De (4) y (9):

(10)

Usando (10) en (8):

(11)

Velocidaddelsonidoenelaireencondicionesnormalesyrelaciónentrelavelocidaddelsonidoylatemperatura.Partimos de la ecuación de los gases ideales.

Donde M es la masa de un mol de gas. Aquí se observa que p/ρ esdirectamente proporcional a T.

Dado que ϒ, M y R son constantes podemos expresarlas como α2 y

extraerla de la raiz.

En el aire y en condiciones normales ϒ≅1,4 , M≅29gMol y

R=8,3144✕107 (dina.cm)/(ºK.gMol).

Consideraremos T=20ºC=293,15ºK

Entonces:





Y la velocidad del sonido a 20ºC es de 343 metros por segundo.





Índice

MovimientoOndulatorio.......................................................................................1

ONDAELÁSTICAENUNBARRA..................................................................................................................1 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNABARRA........2ONDAELÁSTICAENUNRESORTE.............................................................................................................3 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNRESORTE......4ONDASTRANSVERSALESENUNACUERDA..........................................................................................5 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNACUERDA.....6ONDASELÁSTICASTRANSVERSALESENUNABARRA....................................................................7 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDPROPAGACIÓNDEUNAONDATRANSVERSALENUNABARRA..........................................................................................................................................................7 ONDASSUPERFICIALESENUNAMEMBRANATENSA.....................................................................8 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNAMEMBRANATENSA.....................................................................................................................................................................8 ONDASENUNACOLUMNADEGAS...........................................................................................................9 DEDUCCIÓNDELAVELOCIDADDEPROPAGACIÓNDEUNAONDAENUNACOLUMNADEGAS..................................................................................................................................................................10Velocidaddelsonidoenelaireencondicionesnormalesyrelaciónentrelavelocidaddelsonidoylatemperatura................................................................................................................................12

Bibliografía

• García, C. – Termodinámica Técnica – Buenos Aires - Editorial Alsina – 1987.

• Serway, R. Jewett, J. - Física para ciencias e ingeniería Volumen 1 séptima edición -

México, D.F. - Editorial CENGAGE Learning – 2008.

• Alonso, M. Finn, E. – Física Volumen II: Campos y Ondas – 1967.

• Apuntes de clase – Física II – Cátedra de Ing. Valdivia, D. – UNREF – 2010.

Movimiento Ondulatorio - Deducción de Ecuaciones de Onda

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