7/28/2019 MOVIMIENTOS COMPUESTOS Y MOVIMIENTOS PERIDICOS 3parte

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MOVIMIENTOS COMPUESTOS Y MOVIMIENTOS PERIDICOS

COMPOSICIN DE MOVIMIENTO

Principio de superposicin

En la composicin de movimiento debe cumplirse:

El vector posicin del mvil es la suma de los dos vectores posicin sobre cada

eje. El vector velocidad del movimiento es la suma de los vectores velocidad de

cada movimiento simple. Los movimientos simples son simultneos con el movimiento que componen.

Se tomarn como ejes del sistema de referencia las direcciones de los movimientos

simples y el tiempo comenzar a correr con el inicio del movimiento.

Dos movimientos rectilneos uniformes

El origen del sistema de referencia es el punto donde el instante t = 0 s.

La velocidad del mvil es la suma vectorial de las velocidades de movimientos

simples, vx = vxi y vy = vy j.

v = vx + vy = vxi + vy j

Elmdulo de la velocidad del mvil ser constante:

v= vx2 + vy2

Ladireccin (constante) ser:

tan = vy / vx -> = tan-1vy / vx

La posicin de un mvil es la suma vectorial de los vectores posicin de cada uno delos movimientos simples:

r= x i + yj = vx t i + vy tjSu mdulo es: r = x2 + y2

La direccin coincide con la de la velocidad:

tan = vy t / vx t = vy / vx vx -> = tan-1vy / vx

La ecuacin de la trayectoria del mvil se obtiene eliminando el tiempo entre lasecuaciones de la posicin de los movimientos simples:

x = vx t -> t = x/ vx y = vy t -> t = y/ vy y = (vy/vx)x

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Un movimiento rectilneo uniforme con movimiento rectilneo uniformemente

acelerado

Movimiento parablico

La composicin de dicho movimiento da como resultado un movimiento cuyatrayectoria es una parbola.

Lanzamiento oblicuo

Si se lanza un cuerpo desde el cuelo (y0 = 0) con un ngulo () y una velocidad inicial

v0 =vxi + vy j, tomamos como origen del sistema de referencia el lugar dellanzamiento cuyas componentes de la velocidad inicial se expresan como:

v0x = v0 cos v0y = v0 sen

Tras lanzarlo el cuerpo solo permanece sometido a la aceleracin de la gravedad

g = - g j de forma que el eje vertical es mrua con velocida inicial v0y y el eje horizontal

es mru con velocidad v0x.

Eje =Ox Eje Oy

vx = v0x = v0 cos = constante

x = v0x t = (v0 cos ) t

vy = v0y g t = (v0 sin ) g t2

y = v0y t 1/2g t2 =(v0sen)t 1/2g t2

vy2 = v0y2 2 g y

Movimiento compuesto

v (t) = (v0 cos ) i + [(v0 sin ) g t] j

r(t) = (v0 cos ) t i + [(v0 sin ) t 1/2g t2]j

La ecuacin de la trayectoria se obtiene tras eliminar el tiempo de las ecuaciones deposicin en cada uno de los movimientos:

y = x tan (g/ 2v02 cos2) x2

La altura mximase da cuando y = y max -> vy = 0

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Puede calcularse de dos formas:

0 = v0y g t max -> tmax = v0y/g

y max = v02 sen2 / 2g

El alcance mximo es la distancia sobre el suelo a la que llega el proyectil.

(x= xmax -> y =0)

Puede calcularse de dos formas:

0 = v0y t 1/2g t2

xmax = v02 sen 2 / g

Lanzamiento oblicuo desde cierta altura

Eje Ox Eje Oy

v0x = v0 cos

vx = v0x = v0 cos = constante

x = v0x t = (v0 cos ) t

v0y = v0 sin

vy = v0y g t2= (v0 sin ) g t2

y = y0 + v0y t 1/2g t =(v0sen)t 1/2g t2

vy2 = v0y2 2 g (y y0)

La trayectoria se obtiene de la misma forma, eliminando el tiempo entre lasecuaciones de las posiciones sobre los ejes. Parbola que pasa por (0, y0).

y = y0 + x tan (g/ 2v02

cos ) x2

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La altura mxima se calcula cuando y = y max -> vy = 0 de dos formas:

0 = v0y g t max -> tmax = v0y/g

y max = v02 sen2 / 2g + y0

El alcance mximo se calcula cuando x= xmax -> y =0 de dos formas:

0 = y0 + v0y tcada 1/2g t2cada

0 = y0 + tan (g/ 2v02 cos ) x2

Lanzamiento horizontal

En este lanzamiento la velocidad inicial (v0)no existe componente horizontal.

Eje =Ox Eje Oy

vx = v0x = v0 = constante

x = v0x t = v0 t

vy = g t

y = y0 1/2g t2

vy2 = 2 g (y y0)

La trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones de posiciones sobrelos ejes dando lugar a una parbola con el vrtice sobre el eje y.

y = y0 (g/ 2v02) x2

Para hallarel alcance mximo la condicin es: x= xmax -> y =0

0 = y0 1/2g t2

cada

0 = y0 (g/ 2v02) x2max

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1. El vector de posicin de un barco cruza un canal de 400 m de anchura es:

r = 2 t i + 3 t j km

El tiempo de t est medido en horas y distancias, en km. Calcula:

a) El tiempo que tarda el barco en cruzar el canal.b) Las coordenadas de los puntos de salida y llegada.

2. Un piragista se dispone a cruzar un canal de 50 m de ancho, cuyas aguas se

mueven a 1 m/s. La piragua lleva una velocidad de 2,25 m/s respecto del fondo y

una direccin perpendicular a la de las aguas del canal.

a) Calcula la velocidad total del piragista.

b) Qu tiempo tarda en cruzar el canal?

3. El vector posicin de un barco que cruza un puerto de 1,6 km de anchura es

2 t i + (0,5 t -0,5) j. El viaje comienza cuando el reloj del puerto marca las

12h 15 min y termina cuando x = 1,6 km. Calcula las coordenadas de los putos

de salida y llegada. A qu hora lleg el barco? El tiempo t est medido en horas

y las distancias, en km.

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4. Un pastor lanza una piedra con una honda y alcanza un objetivo que est a 250

m en la horizontal del lugar de lanzamiento. Si el ngulo de salida fue de 45,

calcula la velocidad de lanzamiento. Halla tambin la altura mxima alcanzada y

el tiempo de vuelo.

5. Un jardinero quiere regar la copa de un rbol situada a cinco metros de altura.

Para ello dirige el agua, que sale a 15 m/s de la manguera, cuya boca est

situada a 1 m del suelo, con un ngulo de 60: A qu distancia de la vertical dela copa del rbol se debe situar?

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6. Desde un avin, en vuelo horizontal a 150 m de altura, se suelta un paquete

cuando lleva una velocidad de 125 m/s.

a) Qu tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

b) Dnde cae, visto desde un observador en tierra?c) Dnde cae respecto al piloto del avin?

d) Calcula el vector velocidad del paquete a los 3 s de soltarlo.

7. Se lanza horizontalmente una flecha con un arco desde 1,20 m sobre el suelo. La

flecha toca el suelo a 10 m. Con qu velocidad ha salido, si se supone nulo el

razonamiento del aire?

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Problemas de ampliacin

Composicin de movimiento

Se quiere cruzar un ro y la velocidad de la corriente es de 10 m/s y nuestra lanchaque desarrolla una velocidad de 15 m/s la colocamos en direccin perpendicular a lasorillas, a la corriente. Calcula:a) Cmo se mover la lancha con respecto a un observador que se encuentra en laorilla?b) Tiempo que tarda en atravesar el ro si tiene una anchura de 200 m.c) Distancia recorrida por la lancha.

Solucin: a) movimiento rectilneo uniforme; b) 13,3 s; c) 240,3 m.

Un ro tiene una anchura de 100 m y un nadador quiere cruzarlo perpendicularmente ala corriente, pero va a pasar 20 m. aguas abajo. Si la velocidad del nadador es de 2m/s, qu velocidad lleva el ro?

Solucin: 0,4 m/s.

Tiro parablico

Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una colina a 200m por encima de un

valle. Su velocidad inicial es de 60 m/s a 60 respecto a la horizontal. Despreciando la

resistencia del aire, dnde caer el proyectil?

Solucin: 4078 m.

Se lanza una pelota al aire con velocidad inicial de 50 m/s formando un ngulo de 37

con la horizontal. Utilizando la aproximacin g = 10 m/s2, hallar el tiempo total que la

pelota est en el aire y la distancia horizontal recorrida.

Solucin: 6 s; 240,32 m.

Un jugador de golf golpea una bola desde una altura de 30 m, con una velocidad de 90

Km/h formando un ngulo de 53 con la horizontal. Calcular la altura mxima desde el

suelo y el alcance mximo desde la vertical.

Solucin: 50,318 m; 78,81 m.Un jugador de frontn golpea una pelota a 50 cm del suelo con una velocidad de 72

km/h con un ngulo de 37 con la horizontal, desde un punto situado a 30 m de la

pared. Si la pared mide 6,5 m de altura. Calcular:

a) Si dar la pelota en la pared.

b) En caso afirmativo, la velocidad con la que llega a la pared.

c) La altura mxima alcanzada por la pelota medida desde el suelo.

Solucin: a) S; b) 17,203 m/s; c) 7,884 m.

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Tiro horizontal

Se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad inicial de 245 m/s. El can

est a 1,5 m por encima del suelo. Cunto tiempo estar el proyectil en el aire?

Solucin: 0,553 s.

Una bala se dispara horizontalmente desde una altura de 2m con una velocidad inicial

de 200 m/s. Qu distancia recorrer antes de chocar contra el suelo?

Utilizar g = 9,81 m/s2.

Solucin: 129 m.

Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza horizontalmente una piedra

con una velocidad de 5 m/s.

a) Qu anchura deber tener la calle para que la piedra no choque contra un

edificio situado enfrente?b) Cunto tiempo tardar la piedra en llegar al suelo?

Solucin: a) 15,96 m; b) 3,193 s.

Desde un edificio de 150 m de altura se dispara un arma de fuego. Si el proyectil sale

en direccin horizontal a 200m/s. Calcula:

a) El alcance mximo desde el pie del edificio y horizontalmente.

b) Velocidad en el punto del impacto.

Solucin: a) 1106 m; b) 207,23 m/s.