Moving Average

Universidad Técnica Particular de Loja

PROCESAMIENTO DE SEÑALES

Escuela de Electrónica

y Telecomunicaciones

Carlos Carrión Betancourth

EQBYTE.INC

[email protected]

Presentación

• Objetivo generalEntender la introducción a los filtros digitales FIR a través del aprendizaje de los filtros Moving Average (Promedio Móvil)

• Temática Filtros Moving Average e introducción a filtros digitales FIR.

• MetodologíaPresentación general de la temática, discusión del tema por parte de los estudiantes, realizar un laboratorio en software de Matlab, y una introducción a herramientas de diseño hardware.

Contenido de la presentación

• Introducción a Moving Average (MA).

• Ejemplo de un sistema promediador.

• Filtro MA implementación por la Convolución.

• La respuesta al impulso.

• Reducción del ruido por MA.

• Respuesta en frecuencia de un filtro MA.

• Filtros relacionados a MA.

• Filtros MA recursivos.

Introducción a Moving Average (MA).

• El MA es el filtro más común en DSP, especialmente porque es el filtro más fácil de entender y utilizar (Smith, 1999).

• Es un filtro óptimo para tareas comunes:– Reducir ruido aleatorio, mientras mantiene la

forma de respuesta en escalón.

• Es el principal filtro para señales codificadas en el dominio del tiempo.

Introducción a Moving Average (MA).

• Aunque el filtro MA sea uno de los “campeones” en el filtrado de señales codificadas en el dominio del tiempo, este es uno de los peores filtros para trabajar con señales codificadas en el dominio de la frecuencia.

• El filtro MA tiene poquísima capacidad para separar bandas de frecuencia (Smith, 1999).

• Entre los principales MA tenemos Gausianos, Blackman y MA de múltiples etapas.

Ejemplo de un sistema promediador (Lyons,2004)

• Si tenemos un sistema que esta contando el número de autos que pasan sobre un puente en cada minuto, y necesitamos saber el número promedio de autos por minuto en intervalos de cinco minutos. Si el resultado de nuestro sistema contador para los primeros 10 minutos son los valores que se muestra en la siguiente tabla:


Minutos Número de autos/minuto sobre el último minuto

Número de autos/minuto promediados sobre los últimos cinco minutos

1 10 -

2 22 -

3 24 -

4 42 -

5 37 27

6 77 40.4

7 89 53.8

8 22 53.4

9 63 57.6

10 9 52


• El número promedio de autos/minuto sobre los últimos cinco minutos previos se muestran en la parte derecha de la tabla

• Matemáticamente:– (10+22+24+42+37) / 5 = 27– (22+24+42+37+77) / 5 = 40.5– …

• En general para este caso, si la kth muestra de entrada es x(k), entonces la enecima salida es:


• Conclusiones importantes:

– En la gráfica anterior podemos ver la línea azul como la señal de entrada, con cambios repentinos en la secuencia de datos. Las transiciones repentinas en la secuencia del tiempo representan componentes de alta frecuencia.

– En la misma gráfica se puede apreciar los valores promediados a través de la línea en rojo, la cual tiene un trazo más suave. De ahí se puede deducir que este filtro simple MA es un filtro del tipo pasa - bajos.

– Aunque se trate en si de un filtro FIR pasa-bajos, este no trabaja bien en la separación de frecuencias, veremos más adelante que la respuesta en frecuencia de un filtro MA tiene un roll-off lento y la atenuación en la banda de rechazo es insignificante.

Filtro MA implementación por Convolución

Ya revisamos un breve ejemplo de esta clase filtro, el cual como su nombre lo implica, opera haciendo un promedio a un número de puntos de la señal de entrada para producir cada punto en la señal de salida. En forma de ecuación, tenemos:


Por ejemplo, en un filtro MA de 5 puntos, el punto 80 en la señal de salida esta dado (Smith, 1999):

Como una alternativa, el grupo de puntos de la señal de entrada se puede elegir simétricamente alrededor del punto de salida:


Basándonos en el primer ejemplo del promedio de autos, se presentará el diagrama de bloques, para formalizar la naturaleza del filtro digital. Ponemos la ecuación y el diagrama de bloques como:


Podemos reescribir la ecuación anterior, para obtener este resultado equivalente:


Repitiendo la ecuación que describe los diagramas anteriores, y eliminando el subíndice en el término de salida tenemos:

Ya que en el futuro trataremos con filtros cuyos coeficientes no son siempre los mismos, representaremos los valores individuales de los coeficientes por una variable, un término como h(k), por ejemplo:

En forma más general tenemos:


En forma general podemos decir que para un filtro FIR de M-ponderaciones (M-tap FIR filter), la nth salida esta dada por:

Como podemos darnos cuenta la ecuación anterior, es la tan famosa Convolución, las misma que se esta aplicando en este caso a los filtros digitales FIR.






• Reducción del ruido.




La respuesta al impulso.

Vamos a introducirnos un poco más profundo a un término que tenemos que tener en mente, la respuesta al impulso. La respuesta al impulso de un filtro es exactamente lo que su nombre implica – Es la secuencia de salida del filtro en el dominio del tiempo cuando la entrada es una sola muestra de valor unitario (un impulso) precedida y seguida de muestras de valor cero.

La respuesta al impulso

Reducción del ruido por MA

• El filtro MA es óptimo para la reducción de ruido aleatorio mientras mantiene la forma de onda de la señal original (respuesta al escalón).

• La cantidad que se reduce el ruido es igual a la raíz cuadrada del número de puntos en promedio. Por ejemplo, un filtro MA de 100 puntos reduce el ruido en un factor de 10

• Este filtro es ideal para reducir el ruido, porque no hay que preocuparnos mucho por los coeficientes que vamos a introducir (recordar que un filtro MA los coeficientes son iguales), ya que al ser una señal aleatoria es inútil hacer un tratamiento especial a los puntos de entrada.

Reducción del ruido por MA

Respuesta en frecuencia de un filtro MA.

La respuesta en frecuencia de un filtro MA, está matemáticamente descrita por la transformada de Fourier de un pulso rectangular:


Del gráfico anterior se puede desprender que esta clase de filtro tiene un roll-off bastante lento, además podemos darnos cuenta que la atenuación en la banda de rechazo no es muy buena.

Aunque se trate de un filtro de tipo pasa-bajos no es recomendado para separar bandas de frecuencia.

Al no ser recomendado para separar bandas de frecuencia, este filtro por el contrario es ideal para la suavización de señales en el dominio del tiempo.

Filtros relacionados a MA.

• En un mundo perfecto, solo tendríamos que lidiar con señales codificadas en tiempo o en frecuencia.

• Pero hay aplicaciones donde ambos dominios son importantes.

• Ej: Señales de Televisión


• Para tratar con estos problemas se han diseñados filtros de promedio móvil de múltiples pasadas.

• Consisten en pasar la señal por dos o más filtros de promedio móvil.

• Después de 4 o más pasadas, el filtro se convierte en un Gausiano.


• Estos filtros son mejores que el promedio móvil en tres aspectos:– Mejor atenuación de banda de corte.– Sus extremos disminuyen lentamente.– La respuesta a escalera es mas suave.

• La primera es importante, las dos siguientes no tanto.


• La principal diferencia es el tiempo de ejecución del algoritmo.

• Usando un algoritmo recursivo el filtro del promedio móvil se calcula muy rápidamente en una computadora.

• Es el filtro más rápido existente.


• Si usamos filtros Gauss o Blackman se debe realizar una Convolución que es mucho más lenta.

• Un filtro de 100 puntos que usa Gauss es 1000 veces más lento que uno de promedio móvil.

Filtros MA recursivos.

• Imagine pasar una señal x[] a través de un filtro de promedio móvil para formar una señal de salida y[].

Filtros MA recursivos.

• Son aproximadamente los mismos cálculos.

• Una manera más eficiente de realizarla sería:

• Donde:

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