MRU

1 Darwin Nestor Arapa Quispe

INTRODUCCIN:

El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda la historia de la humanidad, por

ejemplo en la antigedad el hombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes, en el

siglo XVIII se estudiaba el movimiento de las molculas en un gas, en el siglo XX se estudiaba

el movimiento de los electrones alrededor del ncleo atmico, y en la actualidad se estudia el

movimiento existente en el interior del ncleo. En este captulo estudiaremos el movimiento mecnico pero sin considerar las causas, del porqu se origina tal o cual movimiento mecnico, tan slo lo describiremos; para ello es necesario establecer elementos y medidas

para que la descripcin de realice en forma objetiva.

CONCEPTO.- Es aquella parte de la mecnica que se encarga de estudiar, el movimiento

de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan o modifican.

EL MOVIMIENTO

Consiste en el cambio de posicin que efecta un cuerpo con respecto a un sistema de

referencia al cual se considera fijo. Si un cuerpo permanece en el mismo lugar decimos que

no se mueve o est en reposo; pero, si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve.

EL MOVIMIENTO ES RELATIVO

Un objeto puede estar movindose para un observador pero no para otro observador. Si

cerca de nosotros pasa un automvil, al ver que se aleja diremos que se mueve, pero el

piloto ve que el automvil siempre est junto a l, luego para el piloto el automvil estar

en reposo relativo.

El camin se mueve con

relacin al observador (O);

pero est en reposo con

respecto al conductor.

Movimiento Mecnico

Para comprenderlo, examinemos el siguiente acontecimiento: un observador observa a un avin que avanza en lnea recta y desde cierta altura se deja en libertad a un proyectil.

d d d

t t t

V V V V

Observador Conductor


Para poder examinar lo que acontece,

al observador (A) se le debe asociar un

sistema de ejes coordenados y un

sistema temporal (reloj). A todo este

conjunto se le denomina: Sistema de referencia (S.R.).

Para ubicar al cuerpo en estudio

(proyectil), se traza un vector que parte

del origen de coordenadas y se dirige

hacia el cuerpo; a este vector se le

denomina vector posicin r .

Nota: El vector posicin puede ser expresado de la siguiente forma: r (x, y) o tambin

r xi yj ; donde i, j son los vectores unitarios en la direccin de los ejes coordenados:

Examinemos el movimiento del proyectil

0r : Vector posicin inicial

fr : Vector posicin final

El observador nota que el proyectil

cambia continuamente de posicin,

entonces para l, el proyectil se

encuentra en movimiento o experimenta movimiento mecnico.

En conclusin:

El movimiento mecnico es un fenmeno que consiste en el cambio continuo de posicin de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia.

Para poder describir el movimiento mecnico necesitamos conocer ciertos conceptos

previos:

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO:

1. Mvil: Se denomina as a todo cuerpo o punto en movimiento mecnico respecto an

sistema referencia

0r

Observador

X(m)

Y(m)

0r

fr

Reloj

O

0r

Observador

X(m)

Y(m)

r

Reloj

O


2. Sistema de Referencia: Es el lugar desde el cual el observador aprecia el movimiento. Se

representa mediante un sistema de ejes coordenados

3. Trayectoria: Es la lnea geomtrica que describe el mvil, puede ser rectilnea o

curvilnea.

4. Vector posicin o radio vector r : Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posicin instantnea del mvil.

5. Desplazamiento D : Es el vector que une la posicin inicial y la posicin final entre los dos puntos de la trayectoria.

Donde:

0

r : Vector posicin inicial

f

r : Vector posicin final

D : Vector desplazamiento

e :espacio recorrido

f 0D r r

6. Distancia (d): Es la medida o mdulo del vector desplazamiento. D o en otras

palabras la medida de la longitud del segmento de recta que une la posicin inicial y la posicin final

X

Y

0r

fr

D

e

Posicin

inicial

Posicin

final

ABAd =0 m

A

Bd =12 m

A B

d =5 m

A

B

A

B

A B

A

B

Mov. parablico

Mov. rectilneo Mov. circunferencial


7. Espacio Recorrido (e): Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el mvil.

Velocidad V : Magnitud vectorial que se define como el cambio que experimenta el vector de posicin en un determinado intervalo de tiempo cuyo valor indica el espacio

recorrido por unidad de tiempo.

Caractersticas:

Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos.

Definir el sentido de la velocidad.

En cinemtica se acostumbra llamar rapidez al mdulo de la velocidad

Unidades de velocidad:

En el S.I.: m/s

Otras unidades: km/h , pies/s, cm/s, millas/h, etc.

Velocidad Media ( mV ): Es la relacin entre el desplazamiento del mvil con respecto al tiempo empleado.

Definimos el vector velocidad media:

f 0

m

r rDV =

t t

Calculamos el mdulo:

f 0m

D 1V = r r

t t

Observe: La velocidad media tiene la misma

direccin que el desplazamiento

ABAe =0 m

A B

ABe = 20 m

A B

5 m

A

B

ABe =5 m

20 m

V

V

V

X

Y

D

e

Final

mV

Inicial


Rapidez Media o promedio (V): Es la relacin entre el espacio recorrido por el mvil con respecto al tiempo que emplea. La rapidez media es una cantidad escalar y se expresa de la siguiente manera:

e V

t

La rapidez media es la rapidez uniforme con la cual, en el mismo tiempo, el mvil hara el mismo

recorrido.

Velocidad Instantnea: Es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de su

movimiento es la velocidad propiamente dicha.

Si disminuimos progresivamente el

tiempo de recorrido, la direccin secante

( OA ) del desplazamiento se va

acercando a la direccin de la recta

tangente.

Para un tiempo muy pequeo (instante o

diferencial de tiempo) el desplazamiento

y la velocidad resultan ser tangentes a la

trayectoria.

En el siguiente grfico de muestra la velocidad instantnea en distintos puntos de una

trayectoria curvilnea.

Analizando el movimiento se puede apreciar que:

El vector velocidad instantnea siempre es tangente a la trayectoria del mvil

La velocidad en el punto A es horizontal debido a que se trata de un extremo relativo

(mnimo).

En el trayecto BC se presenta un cambio de curvatura en la trayectoria, as mismo un

cambio en la direccin de la velocidad.

En el punto D la velocidad es otra vez ascendente.

AV

BV

CV

DV

A

B

C

D

r f(t)

t

r

r

V

P C

B

A

O

Recta tangente

Trayectoria


Clculo de la velocidad instantnea

Para este efecto ser necesario conocer la ecuacin de la trayectoria del mvil expresada en

trminos del tiempo, es decir: r f(t) ; de donde se puede calcular la velocidad instantnea

mediante un operador diferencial denominado derivada.

Dada la trayectoria curva de la figura,

es posible calcular la velocidad

instantnea en el punto P, este valor

resulta ser la pendiente de la recta

tangente a dicha trayectoria, es decir:

V m tan

Otra manera de realizar dicho clculo

es hallando la derivada del vector

posicin en el punto P.

dr V

dt

Matemticamente la velocidad (V) es

la derivada de la posicin (r) con

respecto al tiempo.

APNDICE

Clculo de derivadas

Dado un trmino monomio: n

y ax

Se define como derivada con respecto a la variable x a la expresin:

n 1dy anx

dx

La cual representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la trayectoria.

Ejemplo Ilustrativo 1:

Dado un polinomio: 2

x 2t 3t 5 . Hallar la derivada con respecto a t.

Solucin:

El polinomio se puede escribir: 2 0

x 2t 3t 5t

Aplicando la frmula:

2 1 1 1 0 1dx2(2)t 3(1)t 5(0)t

dt

dx4t 3

dt

X

Y

V

P

O

Recta tangente

Trayectoria

r f(t)



La posicin de una partcula est dada por la ecuacin: 3 2r 2t 4t 3t 5 (r en metros),

hallar su velocidad instantnea cuando t 2 s .

Solucin:

Hallando la derivada:

2drV 6t 8t 3

dt

Evaluando en t 2 2

V 6(2) 8(2) 3 V 11 m/s Rpta.


La posicin de un mvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa segn la siguiente

ecuacin: 2r t 8t 20 . Calcular la velocidad del mvil en el instante en que pasa por el

origen.

Solucin:

El mvil pasa por el origen cuando r 0 2

t 8t 20 0

t 10 t 2 0 t 10 s (nica solucin)

t 2 s

Recuerde que el tiempo nunca es negativo

Hallamos la derivada de la posicin:

drV 2t 8

dt

V 2(10) 8 V 12 m/s Rpta.

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

El movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.) es el ms simple de la cinemtica, su

caracterstica principal es que la velocidad del mvil permanece constante, es decir el mvil

avanza distancias iguales en tiempos iguales.

Consecuencias de una velocidad constante

Un mvil con M.R.U. no debe cambiar la direccin de su velocidad; por lo tanto, la trayectoria debe ser necesariamente una recta.

Una velocidad constante solamente se puede dar en una trayectoria recta.

Un mvil con M.R.U. no debe cambiar el mdulo de su velocidad; o sea su rapidez debe ser constante.

Un movimiento con rapidez constante es denominado uniforme

Un mvil con M.R.U. no cambia la direccin ni el mdulo de la velocidad, o sea no acelera. Si un mvil no acelera su trayectoria es una recta y su rapidez permanece

constante


Si el mvil tiene velocidad constante su rapidez tambin ser constante y el mvil recorrer distancias iguales en tiempos iguales

Caractersticas:

Trayectoria: recta

Velocidad: constante d vt Aceleracin: cero

POSICION DE UNA PARTICULA.- Consideremos una partcula en movimiento. Para el

instante (t=0) la posicin se denomina inicial (r0). De la ecuacin del desplazamiento:

f 0D r r

La posicin final f

r despus de un tiempo t es

igual a la posicin inicial, mas, el desplazamiento.

f 0r r D D V t

f 0r r Vt

MOVIMIENTOS SIMULTNEOS.- Dos mviles tendrn movimientos simultneos si

empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo. Los tiempos empleados por cada

mvil sern iguales.

1 2 t t t

MOVIMIENTOS NO SIMULTNEOS.- Dos mviles tendrn movimientos no simultneos

cuando uno de ellos se adelanta en la partida o el otro tarda en partir, los tiempos

empleados por cada mvil sern diferentes.

1t tiempo del primer mvil que parti

2t tiempo del mvil que parti rezagado

t tiempo de adelanto del primero o de atraso del segundo

1 2 t t t

d

v t

d d d

t t t

V V V V

X

Y

0r

fr

D

Posicin

inicial

Posicin

final


1. CRUCE O ENCUENTRO DE DOS MVILES

El movimiento se da en direcciones opuestas.

Cuando estn separados una distancia d, la posicin de los mviles es la siguiente:

Transcurrido un tiempo t, el auto y el camin se encuentran

Se sabe que: A B

t t

Del grfico se deduce:

A Bd d d

A Bd V t V t

A Bd t(V V )

Luego el tiempo de encuentro estar dado por: encuentroA B

d t

V V

2. ALCANCE DE DOS MVILES

El movimiento se da en la misma direccin.

Cuando estn separados una distancia d

Transcurrido un tiempo t, el auto alcanza al camin

Se sabe que: A B

t t

Del grfico se deduce:

B Ad d d

B Ad d d

BV

Ad B

d

d

AV

d

AV

BV

A B

Add

Bd

B A E

x

BV

dB A E

AV


B AV t V t d

B Ad t(V V )

Luego el tiempo de alcance estar dado por: alcanceB A

d t

V V

EL SONIDO COMO (MRU).- El sonido es producido por la vibracin de los objetos. Para

transmitirse se requiere de un medio elstico que puede ser slido, liquido o gaseoso.

En el vaco el sonido no se propaga (V = 0)

Aire (20) = 340 m/s Hidrogeno(0) = 1286 m/s Oxigeno (0) = 317 m/s Agua de mar = 1500 m/s Agua dulce = 1435 m/s

Ejemplo Ilustrativo 01

Un gato ve a un ratn a 4 m de distancia y corre en su persecucin al mismo tiempo que

huye el ratn. Si la velocidad del gato es a la velocidad del ratn como 3 es a 2. Qu

distancia total debe recorrer el gato para atrapar al ratn? (Suponga rectilnea la trayectoria

del movimiento).

Solucin:

Los tiempos que demoran el gato y el

ratn, en llegar al punto E son los mismos:

gato ratnt t

4 x

3V

2

x

V

3

x 4 x

2

3x 8 2x x 8

Distancia recorrida por el gato:

4 x 4 8 12 m Rpta.

Ejemplo ilustrativo 02

Un tren experimenta un MRU avanza con una rapidez de 54 km/h. Si tarda 20 s en

atravezar completamente un tnel de 200 m de longitud, determine la longitud del tren.

Solucin:

Para la parte delantera del tren:

200 LV

20

200 L15

20

L 100 m Rpta.

4m x

E

Velocidad del ratn: V

3Velocidad del ratn: V

2

Nos piden la longitud del tren, podemos

notar que en 20 s la parte delantera del tren

recorre la distancia (200+L)

200 m

V 54 km/h

L

km 1000 m54 54 15 m/s

h 3600 s


LEY DE KEPLER PARA EL MRU

Toda particula que tiene un movimiento rectilineo uniforme, recorre distancias iguales en

tiempos iguales, por consiguiente:

El vector posicion describe areas iguales en tiempos iguales. (Ley de areas)

AB=BC=CD=DE (distancias)

AB BC CD DE

t t t t (tiempos)

1 2 3 4

A A A A (reas)

Ejemplo Ilustrativo:

Una partcula se mueve con MRU en un plano x-y con rapidez de 4 m/s. sabiendo que el

vector posicin describe un rea de 16 m2 en cada segundo, determinar la distancia

mnima que se acerca al origen de coordenadas.

Solucin:

Hacemos la grfica en el plano x-y:

La partcula recorre 4 m en cada segundo,

el vector posicin describe un rea de

16m2. El rea del tringulo es:

1A b.h

2

; 1

16 (4)(d)

2

Resolviendo: d=8 m

d=8 m Rpta.

RESUMEN DE FRMULAS:

Movimiento General M.R.U

Desplazamiento f 0

D r r Distancia d vt

Velocidad

media f 0mr rD

V =

t t

Posicin f 0

r r Vt

Rapidez media

o promedio e

V

t

Tiempo de

encuentro encuentroA B

d t

V V

Velocidad

instantanea dr

V

dt

Tiempo de

alcance alcanceB A

d t

V V

A

B

C

D

E

2A

1A

3A

4A

origen de coordenadas

X

Y

d2

16mA

trayectoria

4m

B


Un mvil realiza un movimiento mecnico

de tal modo que su posicin en el tiempo

est dada por la ecuacin

r (4t 2;3 t 6)m . Determine la velocidad

en t=2 s y la velocidad media en el intervalo

desde t=0 hasta t=5 s.

Resolucin: La posicin es:

r (4t 2;3 t 6)m

Tambin se puede expresar como

r (4t 2)i (3 t 6)jm

Para determinar la velocidad instantnea,

derivamos la posicin respecto al tiempo

dr d

v (4t 2)i (3 t 6)jdt dt

d d

v (4t 2)i (3 t 6)jdt dt

v 4i 3j

v (4i 3j )m s

Si la velocidad no depende del tiempo, esto

significa que la velocidad es constante.

Grficamente:

Observe que la trayectoria es rectilnea ya

que al ser la velocidad constante; la

direccin del movimiento, que es igual a la

direccin de la velocidad, debe ser

constante.

Clculo de la velocidad media

Se sabe que

f 0

m

f 0 f 0

r rDV =

t t t t

.(I)

Adems

0t 0 ; ft 5 s

r (4t 2)i (3 t 6)j

En t=0; 0r (2i 6j) m

En t=5; fr (22i 21j) m

Reemplazando en (I)

m

22i 21j 2i 6j20i 15j

V =

5 5

mV = 4i 3j m/s

mV = 4i 3j m s Rpta.

X

Y

O

xv 4 m s

yv 3m s

v 5m s

37

La resolucin del problema (1),

concluye que, si la posicin de un

cuerpo depende del tiempo en

forma lineal, entonces su velocidad

media e instantnea son iguales y a

la vez constantes.


La posicin de un auto est definida por

2x (1 2t 3t )i m; donde t est en segundos

y x en metros. Determine la velocidad en el

instante t=1 s.

Resolucin: Para determinar la velocidad instantnea,

derivamos la posicin respecto al tiempo

2dx dv 1 2t 3tdt dt

v (2 6t)i

Evaluando esta expresin para t=1s, se

obtiene:

dxv 8i m s

dt

dxv 8i m s

dt Rpta.

Un automovilista observa en un momento

determinado que 1/5 de lo recorrido

equivale a 3/5 de lo que falta por recorrer.

Cuntas horas habr empleado hasta ese

momento, si todo el viaje lo hace en 12

horas?

Resolucin: Sea V la velocidad del automovilista

Del dato:

1 3x (12V x)

5 5

x 36V 3x x

9

V

Tiempo de recorrido hasta el momento:

xt

V

9 h Rpta.

Un tren tarda 70 s atravesar un tnel de

1200 m de longitud, y al pasar delante de

una persona demora 20 s. Cul es la

velocidad del tren?

Resolucin: Cuando pasa el tnel:

d x 1200

t 70

x 1200V

70

(1)

Pasa frente a la persona:

d x

t 20

xV

20

(2)

Recuerde que la velocidad es constante:

Igualando (1) y (2):

x 1200 x

70 20

2x 2400 7x x 480 m

Clculo de la velocidad y reemplazando en

2

x 480V

20 20

24 m/s Rpta.

12V

x 12V xrecorrido

Falta

recorrer

1200 mx

x


En cierto instante la separacin entre dos

mviles, que se acercan rectilneamente con

velocidades opuestas de 9 m/s y 6 m/s, es

150 m . Hllese el tiempo adicional para el

cruce.

Resolucin:

Del grfico: 1 2

d d d

1 2d V t V t

1 2

dt

V V

150t

9 6

t 10 s Rpta.

Un auto viaja a velocidad constante de 9

m/s hacia una montaa, toca el claxon y el

conductor escucha el eco despus de 4

segundos. A qu distancia de la montaa

se encontraba el auto antes de tocar su

claxon?

Resolucin:

En un mismo tiempo se da lo siguiente: La

distancia recorrida por el auto es x,

mientras que el sonido recorre 2d x .

x 9(4) x 36 m

2d x 340(4)

2d 36 1360 d 698 m Rpta.

Se muestran dos velas y una pared, al

encenderlas, la primera se desgasta con

velocidad 1 cm/min y la segunda con 3

cm/min, Con qu velocidad decrece la

sombra de la vela ms cercana a la pared,

proyectada sobre dicha pared?

Resolucin:

Desgaste de las velas:

1

2

d (1)t t

d 3(t) 3t

Decrecimiento de la sombra:

s sd V t

Aplicando semejanza base altura:

x 3

y 5

(1)

Pero:

s 2 sx d d (V 3)t (2)

s 1 sy d d (V 1)t (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

s

s

(V 3)t 3

(V 1)t 5

s s s5V 15 3V 3 2V 12

sV 6 cm/min Rpta.

1V

d

2V

2d

1d

d

x

2 cm 3 cm

1

21 cm/min 3 cm/min

2 cm 3 cm

1d

y

x

2d

sd


Dos mviles cuyas velocidades son 12 m/s

y 9 m/s viajan sobre vas perpendiculares,

despus de cunto tiempo de haberse

cruzado distarn de 900 m.

Resolucin: El grfico representa la posicin despus de

que los mviles se cruzan:

Por Pitgoras:

2 2

9t 12t 900

2 281t 144t 900

2225t 900 t 2 s Rpta.

Un mvil experimenta un MRU, si en t

segundos recorre a metros y en (t + 1) segundos recorre (a +3) metros. Determine

su recorrido en 4 s.

Resolucin: Graficando segn el enunciado

En el tramo BC: d vt

3 (v)(1) v 3m s

Piden la distancia recorrida para (t=4 s)

D (3)(4)

D=12m Rpta.

La esfera desarrolla un MRU, halle su

rapidez, si luego de 5 s su distancia hasta el

punto A es mnima.

Resolucin: La distancia mnima es aquella que es

perpendicular a la lnea que contiene a A

Del grfico: OB

D 200m

Sabemos que: d vt ; t 5 s

200 v(5)

v=40m s Rpta.

Una nave espacial ubicada en el planeta

Marte manda seales de radio a la Tierra.

Cunto tiempo ms empleara la seal en

llegar hasta la Tierra cuando Marte est ms

lejos de la Tierra que cuando est ms

cerca? La distancia promedio de Marte y la

Tierra al Sol son M

d y T

d respectivamente.

(c: rapidez de la luz)

9t

12t

900 m

30

v100m

X

Y

A

t 1s

a 3m

v v v

A B C

30

v100m

X

Y

A

O

B

30

mnD


Resolucin: Las ondas de radio se mueven a la

velocidad de la luz (c).

Del grfico: mn M T

d d d

mx M Td d d

mn 1 M T 1d ct d d ct .(1)

mx 2 M T 2d ct d d ct .(2)

Piden: 2 1

t t

Restando (2) (1) se tiene:

2 1 Tc t t 2d

T

2 1

2d

t t

d

Rpta.

Un mvil que desarrolla un MRU con una

velocidad v 1, 1, 2 / s( ) m , pasa por el

punto P = (2, 1, 2) m. A qu distancia del

punto P y en que posicin se encuentra

luego de 2 segundos de haber pasado por

dicho punto?

Resolucin: Se sabe que:

f 0r r +vt .. (1)

Adems:

0r P (2,1,2)m y v (1,1,2)m s

Remplazando en (1) para (t=2 s)

fr Q (2,1,2) +(1,1,2)(2) (4,3,6)m

Clculo de la distancia entre P y Q

2 2 2

PQD (4 2) (3 1) (6 2)

PQD 2 6 m Rpta.

Un hombre de altura h camina con rapidez constante V y es iluminado por un

foco que se encuentra a una altura H como se muestra en la figura. Para que el

punto ms adelantado de su sombra en el

piso avance con rapidez 3V, la relacin

H h debe ser igual a:

Resolucin:

Del grfico:

pd Vt y

sd 3Vt

Semejanza de tringulos.

s s p

H h

d d d

H h H h

3Vt 3Vt Vt 3 2

H 3

h 2

Rpta.

Sol

TierraMarte

mnd

Td

Md

mxd

Vh

H

3V

sd

pd

h

H

3V

V


01 Si la posicin x de una partcula es

descrita por la relacin 2

x 5t 20t , donde x esta en m, t en s; entonces su

velocidad media entre los instantes

t 3 s y t 4s ; en m/s es:

a) 32 m/s b) 16 m/s c) 95 m/s

d) 55 m/s e) 16 m/s

02 Un mvil se encuentra en la posicin

1r (2i 5j)m en el instante

1t 2s .y

en la posicin 2

r 6i 3j m en el

instante 2

t 4s . Siendo su

movimiento rectilneo uniforme. Hallar

el modulo del desplazamiento desde

t 4 s a t 8 s (en m)

a) 5 3 b) 6 2 c) 4 10

d) 10 2 e) 8 5

03 Una partcula se encuentra inicialmente

t 0 en la posicin 0

r 3i 4j m

Si tiene una velocidad constante

V 5j m/s , determinar la posicin

(en m) en el instante t 2 s .

a) 3i j b) 3i 6j c) 3i

d) 5j e) 3i 10j

04 Un mvil con MRU. Se mueve a 72

km/h. Determine que distancia

avanzara en 1 min.

a) 300 m b) 600 m c) 900 m

d) 1000 m e) 1200 m

05 Un tren de 80 m de longitud viaja a 72

km/h Qu tiempo empleara en pasar

completamente un tnel de 120 m de

largo?

a) 2 s b) 8 s c) 4 s

d) 10 s e) 6 s

06 Dos mviles separados por 300 m se

dirigen al encuentro con velocidades

constantes de 72 y 36 km/h. Hallar el

tiempo de encuentro.

a) 5 s b) 20 s c) 25 s

d) 10 s e) 15 s

07 Un automvil recorre la distancia AB a

20 m/s y luego la distancia BC a 30

m/s. Si AB=BC, hallar la velocidad

media de todo el recorrido, si se

efecta en una sola direccin.

a) 21 m/s b) 24 m/s c) 25 m/s

d) 22 m/s e) 23 m/s

08 Un estudiante desea determinar la

distancia que hay entre su casa y la

academia. Si observa que caminando a

razn de 80 cm/s tarda 25 min ms que

caminando a 95 cm/s Cul es la

distancia entre su casa y la academia?

a) 1,5 km b) 3,6 km c) 5,6 km

d) 7,6 km e) 9,6 km

09 La ecuacin del movimiento de una

partcula en el sistema internacional de

unidades es x 2t 10 determinar su


posicin 2 s despus de pasar por el

origen de coordenadas.

a) +1m b) +2 m c) +3m

d) +4m e) +5 m

10 Desde el instante mostrado. Qu

distancia separa a la persona del mvil

N cuando los mviles M y N estn en el momento del cruce?

a) 8 m b) 9 m c) 18 m

d) 24 m e) 15 m

11 Un tren cruza un poste en 10 s, y un

tnel en 15 s. En cunto tiempo el

tren cruzara un tnel si el tamao de

este fuese el triple?

a) 15 s b) 20 s c) 25 s

d) 30 s e) 35 s

12 En el instante mostrado, desde el

automvil se toca el claxon y la

persona escucha el eco, cuando el

automvil se encuentra en la mitad de

su camino. Qu velocidad tiene el

automvil?

a) 17m/s b) 27m/s c) 37m/s

d) 47m/s e) 57m/s

13 Dos mviles A y B, separados por 50

m, se mueven en la misma direccin

con rapidez constante de 40 m/s y 15

m/s, respectivamente, seale al cabo de

cunto tiempo mnimo, A estar 150 m

delante de B

a) 6 s b) 8 s c) 10 s

d) 2 s e) 12 s

14 Un roedor se encuentra a 20 m debajo

de un halcn y al observarlo huye

rectilneamente hacia un agujero, que

se encuentra a 15 m delante de l, con

una rapidez constante de 3 m/s .

Determine la rapidez media del

halcn, si este caza al roedor justo

cuando ingresa al agujero.

a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s

d) 6 m/s e) 8 m/s

15 Un tren, que se desplaza con la

velocidad constante, cruza un tnel de

120 m en 8 s. Si una persona sentada

al lado de una de las ventanas del tren

nota que permanece 4 s dentro del

tnel, determine la longitud del tren

a) 120 m b) 180 m c) 200 m

d) 110 m e) 240 m

16 Una persona al encontrarse a orillas del

mar se percata de que mar adentro se

produjo una explosin y reconoce que

la diferencia de los tiempos de llegada

de los sonidos por el aire y por el agua

es de 11 s. A qu distancia de la

persona se produjo la explosin. Si La

rapidez del sonido en el aire y el agua

es de 340 m/s y 1440 m/s

respectivamente?

M N36m 6m

3 m/s

8 m/s

6 m/s

8x x

v


a) 3935 m b) 3824 m

c) 4920 m d) 5100 m

e) 4896 m

17 Un tren de 60 m de longitud se

desplaza en lnea recta con una rapidez

constante de 40 m/s y demora en

cruzar un puente t segundos .Si hubiese duplicado su rapidez, habra

empleado 2 s menos en cruzarlo.

Determine la longitud del puente (en

km).

a) 0,2 b) 0,15 c) 0,12

d) 0,1 e) 0,08

18 Un automvil se va alejando en lnea

recta y perpendicular al muro con

rapidez de 20 m/s . Si acierta distancia

de este el conductor toca la bocina, y

escucha el eco despus de 4 s. A qu

distancia del muro se encontrara el

conductor cuando escucha el eco?

a) 640 m b) 320 m c) 720 m

d) 600 m e) 520 m

19 Un insecto realiza un M.R.U. y se

desplaza a lo largo de la recta L. Si el

rea 1

A es de 2

40 m y fue barrido

en 5 s; indique cuanto es el rea 2

A

dado que se barri en 8 s y adems

con qu rapidez vuela el insecto.

a) 2

60 m ; 2 m/s b) 2

56 m ; 4 m/s

c) 2

64 m ; 4 m/s d) 2

64 m ; 2 m/s

e) 2

60 m ; 1 m/s

20 A partir del instante mostrado el

hombre emplea 5s en alcanzar al

autobs y 11s en pasarlo

completamente (tambin a partir del

instante mostrado). Halle la longitud

del autobs, si ambos experimentan un

M.R.U.

a) 12 m b) 6 m c) 9 m

d) 10 m e) 18 m

21 Indicar la veracidad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones.

I. Si la trayectoria es rectilnea, necesariamente la velocidad es

constante.

II. Si la velocidad es constante; entonces necesariamente la trayectoria

es rectilnea

III. Cuando la rapidez de un mvil es constante necesariamente experimenta

un M.R.U.

A) VVV B) VFV C) FVF

D) FFF E) FVV

22 A partir del instante mostrado,

determine cuntos segundos

transcurren hasta que el auto A pase

completamente al auto B. Considere

que los autos se mueven en vas

paralelas realizando un M.R.U.

X

Z

Y

8 m

2A

1A

L

4 m s

100m


a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

23 Sobre las aguas de un ro de orillas

paralelas se desplaza una lancha con

una rapidez constante. Si en ir de un

punto a otro del ro tarda 100 s

(cuando viaja en la direccin de la

corriente) y cuando regresa al punto de

partida tarda 200 s. Determine la

rapidez de la lancha en aguas

tranquilas y la distancia entre los dos

puntos, si las aguas del ro tienen una

rapidez de 5 m/s.

a) 10 m/s ; 2 000 m

b) 15 m/s ; 2 000 m

c) 20 m/s ; 2 000 m

d) 11 m/s ; 1 600 m

e) 15 m/s ; 1 500 m

24 En un instante dos mviles pasan por

un mismo punto y se desplazan en el

mismo sentido con rapidez de 37 y

63m/s. si delante de ellos a 500 m, hay

un poste. Despus de que tiempo los

mviles equidistan del poste?

a) 20 s b) 2 min c) 3 min

d) 10 s e) 240 s

25 Al ir de mi casa a la academia me doy

cuenta que si voy a 40 km/h demoro

20 min ms que si fuera 60 km/h.

Cul es la distancia entre mi casa y la

academia?

a) 42 km b) 40 km c) 47 km

d) 52 km e) 48 km

26 Dos mviles A y B disputan una

carrera de 800 m. Si A da a B 200 m de ventaja, llegan al mismo tiempo a

la meta, en cambio si le da 80 m de

ventaja le gana por 20 s. Cul es la

rapidez de A?

a) 12m/s b) 10m/s c) 14m/s

d) 6m/s e) 8m/s

27 Un automovilista debe llegar a una

ciudad distante 480 km. a las 19.00

horas; pero con la finalidad de llegar a

las 18.00 horas tuvo que aumentar su

rapidez en 24 km/h. A qu hora

parti?

a) 12.00h b) 13.00h c) 14.00h

d) 15.00h e) 16.00h

28 Un camin emplea 8 seg. en pasar

delante de un observador y 38 seg. en

recorrer una estacin de 120m de

longitud. Hale la longitud del camin.

a) 45 m b) 28 m c) 60 m

d) 30 m e) 32 m

29 Una persona va del punto A al B en

automvil a una velocidad de 36 km/h,

luego regresa al punto A caminando a

una velocidad de 4 km/s. se sabe que

todo el recorrido duro 10 horas.

Cunto tiempo estuvo caminando?

a) 6 horas

b) 5 horas

c) 8 horas

d) 7 horas

e) 9 horas

12m s 4 m s

3m 10 m 3m


01 Dos mviles describen trayectorias

rectilneas y perpendiculares con

velocidades constantes de 36 km/h y

72 km/h. si estos se cruzan, determine

la separacin de ambos luego de 10 s.

a) 300 m b) 200 m c) 108 m

d) 100 5 m e) 100 3 m

02 Una persona se dirige hacia un muro

con rapidez constante de 5 m/s, si lanza

un grito cuando pasa por el punto A. Calcular la distancia del punto A al muro si escucha el eco luego de 4s.

sonido(V 340m s)

a) 320 m

b) 600 m

c) 480 m

d) 680 m

e) 690 m

03 Si un mvil emple 5 s en ir desde la

posicin A 4 i 2 j k m hasta la

posicin B 19i 18 j 26k m . Halle la velocidad media y su mdulo.

a) (4 i 3 j 5k)m s ; 11m s

b) (5i 3 j 4 k)m s ; 5 2 m s

c) (3i 4 j 5k)m s ; 5 2 m s

d) (3i 5 j 4 k)m s ; 10 2 m s

e) (6 i 8 j 10k)m s ; 5 2 m s

04 La posicin de un mvil en funcin del

tiempo est dada por la ecuacin

2X (t 2t )i m, donde X est en

metros y t en segundos. Determine la velocidad media en el intervalo de

tiempo [1 s ; 3 s]

a) 7 i m s b) 7im s c) i m s

d) 4 i m s e) 3,5i m s

05 Una partcula se desplaza desde la

posicin 0

r (7 i 2 j) m , con una

velocidad constante V ( 5i 2 j)m s

Calcule su posicin luego de 10 s.

a) ( 42i 22 j)m b) ( 43i 22 j)m

c) (57 i 18 j)m d) (57 i 18 j)m

e) (57 i 16 j)m

06 La ecuacin de la posicin de dos

partculas A y B que se mueven a lo largo del eje X estn dadas por:

Ax 3t 10 y

Bx 2t 5 , donde

x est en metros y t en segundos.

Determine los instantes de tiempo en

que las partculas estn separadas 5 m.

a) 1 s ; 2 s

b) 2 s ; 3 s

c) 3 s ; 5 s

d) 4 s ; 6 s

e) 2 s ; 4 s

5m s

A

d


07 Una persona ubicada entre dos

montaas emite un grito y recibe el

primer eco a los 3 seg. y el siguiente a

los 3,6 seg. Cul es la separacin

entre las montaas? Considere la

velocidad del sonido V=340 m/s.

a) 262 m b) 972 m c) 648 m

d) 680 m e) 690 m

08 Al borde de una pista rectilnea se

encuentran dos colegios distanciados

154 m, un automovilista que viaja con

rapidez constante entre los colegios

escucha el sonido de uno de ellos

cuando se encuentra a 34 m de este, y

luego de 0,25 s escucha el sonido de la

otra campana, si ambas campanas

emitieron el sonido en el mismo

instante. Determine la rapidez del

automvil. sonido

(V 340m s)

a) 4 m/s b) 7 m/s c) 8 m/s

d) 6 m/s e) 16 m/s

09 Un avin se dirige de B hacia C, el

ruido del motor emitido en B alcanza al

observador en a en el instante en que

el avin llega a la posicin C. sabiendo

que la velocidad del sonido es 340 m/s.

determinar la velocidad constante del

avin.

a) 119 m/s

b) 100 m/s

c) 120 m/s

d) 121 m/s

e) 123 m/s

10 Un mvil A que se desplaza con una

velocidad de 30 m/s, se encuentra

detrs de un mvil B a una distancia de 50 m, sabiendo que los mviles se

mueven en la misma direccin y

sentido, y que la velocidad de B es de 20 m/s. Calcular despus de qu

tiempo A estar 50 m delante de B?

a) 12 s b) 6 s c) 9 s

d) 10 s e) 18 s

11 En el grfico mostrado el nio y la

tarntula se mueven con velocidad

constante a partir del instante

mostrado. Indique luego de cuantos

segundos la tarntula empezara a ser

cubierta por la sombra del nio, cuta

altura es de 1,5 m.

a) 0,25 s

b) 0,5 s

c) 1 s

d) 0,75 s

e) 1,5 s

12 El altavoz situado entre dos montaas

emite un sonido hacia la derecha, el

eco de dicho sonido llega a la montaa

de la izquierda en 4 s luego de ser

emitido. Determine la distancia entre

las montaas. sonido

(V 340m s)

a) 1360 m

b) 1340 m

c) 690 m

d) 670 m

e) 650 m

13 El grafico muestra el lanzamiento

simultneo de dos esferas A y B sobre

un piso. Determine cuanto recorre A

hasta el instante en que se cruza con B.

considere que la esfera B rebota

instantneamente con la misma rapidez

y ambas experimentan un MRU.

53

A

BC

16

5,2m

2,5m

2m s

0,2m s

20 m


a) 40 m

b) 15 m

c) 30 m

d) 20 m

e) 35 m

14 Dos mviles, A y B, realizan un MRU

con 7 m/s y 5 m/s, respectivamente. A

partir del instante mostrado, determine

el intervalo de tiempo que debe

transcurrir para que dichos mviles

equidisten del origen de coordenadas.

a) 3 s

b) 5 s

c) 6 s

d) 8 s

e) 2 s

15 Si el mosquito avanza a velocidad

constante. Con que rapidez avanza su

sombra proyectada en el piso?

a) 3 s

b) 5 s

c) 6 s

d) 8 s

e) 2 s

16 Una vela se consume uniformemente a

la velocidad de 0,8cm/s, Con que

velocidad se desplazar el extremo de

la sombra que se proyecta a la pared

vertical debido al obstculo B?

a) 1cm/s

b) 1,6cm/s

c) 1,5cm/s

d) 1,2cm/s

e) 0,5cm/s

17 Un automvil va de lima a la oroya

(200 km de separacin) en cuatro

horas y el regreso lo hace en dos horas.

Hallar la velocidad media del recorrido

total.

a) 0 b) 4 c) 5

d) 2 e) 8

18 Un automvil se dirige de una ciudad

A a una ciudad B. Si la mitad de su camino recorre con una rapidez de

30 km/h y la otra mitad a 70 km/h, en

lnea recta. Determine la rapidez media

entre A y B en (km/h)

a) 42 b) 50 c) 60

d) 40 e) 48

19 Determinar la velocidad media (en m/s)

de la partcula entre los puntos A y B, sabiendo que demora en recorrer la trayectoria curva en un intervalo de

5 s. la trayectoria se define del siguiente

modo: y=x2+1

a) 2i 5j

b) i 5j

c) 3i j

d) 4i 2j

e) NA

20 Una mosca se traslada de la posicin

A a la posicin B en 0,02 s, siguiendo la trayectoria mostrada.

Determinar la velocidad media. A

(2;2) y B (5;6)

A

B

2 V

V

30 m

O

A

B x

y

50 m37

3L

L

3m s

B

2d 3d

P A R E D

B

A

5

B

A

y (m)

x (m)


a) 150i+200j (m/s)

b) 15i+20j (m/s)

c) 150i-200j (m/s)

d) 200i+159j (m/s)

e) 0

21 Cuando se analiza el movimiento de

un automvil que experimenta un

MRU, notamos que en los cuatro

primeros segundos recorre 9 m ms

que en el cuarto segundo. Determine

la rapidez del automvil.

a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s

d) 2 m/s e) 8 m/s

22 Las esferillas mostradas desarrollan un

MRU. Halle la menor distancia que

logran acercarse.

a) 7 m b) 4 3 m c) 3 3 m

d) 8 3 m e) 3,5 3 m

23 Si un mvil se mueve con una

velocidad constante de 5 m/s y en el

instante t=3 s se halla en la posicin

x=25 m. halle su posicin inicial (t=0)

a) 10 m b) 4 m c) 15 m

d) 2 m e) 8 m

24 Dos mviles separados inicialmente

500m, parten al encuentro con

velocidades de 20m/s y 30m/s,

respectivamente. Despus de que

tiempo estarn separados 25 m por

segunda vez?

a) 1 s b) 10 s c) 15 s

d) 16 s e) 13 s

25 Un tabln de 3,4 m de longitud es

empujado hacia una sierra elctrica de

0,20 m de radio. Si el tabln pasa por

la sierra con una rapidez aproximada

de 5 cm/s, determine el tiempo que

emplea el tabln en pasar

completamente por la sierra.

a) 90 s b) 76 s c) 86 s

d) 60 s e) 50 s

26 Dos ciudades A y B estn unidas por un

rio navegable y distan entre si 480 km.

cuando un bote va de A hacia B a

favor de la corriente emplea 24 horas

en llegar; para el retorno lo hace en 40

horas. Cierto da cuando iba de A a B

se malogro el motor del bote,

dejndose llevar por la corriente y

llegando as con 8 horas de retraso.

Halle a que distancia de A se apag el motor.

a) 450 km b) 430 km c) 410 km

d) 440 km e) 550 km

27 La posicin de una partcula, en un

cierto sistema de referencia, est dada

por 2 2

r (t 1)a (9 t )b metros,

donde: a (2,1,0) y b (0, 1,2) .

Hallar la velocidad media entre los

instantes t=0 y t=2 s.

a) (4,4, 4) m/s b) ( 4,4,4) m/s

c) (4,0,4) m/s d) (1,0,1) m/s

e) NA

8m

60

20m/s

20m/s


01 Un mvil parte del punto (2; 1) de un

sistema de coordenadas y se dirige en

lnea recta hasta llegar al punto (8; 4)

y finalmente al punto (10; 16) .

Expresar el vector desplazamiento.

a) (10 i 16 j)m b) (10i 15 j)m

c) (8 i 16 j)m d) (8 i 15 j)m

e) (15i 8 j)m

02 Una bola es lanzada desde el punto A

de la mesa, chocando en B y luego en

C, tal como se observa en la figura.

Determine el mdulo de la velocidad

media de la bola, si tardo 5 segundos

en ir de A hasta C.

a) 34 m/s b) 17 m/s c) 3,4 m/s

d) 0,34 m/s e) 1,7 m/s

03 Un barco est provisto de una radio

cuyo alcance mximo es de 100 km;

marcha en direccin de sur a norte a la

velocidad de 60 km/h, un avin que

vuela a 60 km; de altura viene hacia el

de norte a sur a la velocidad de

120km/h. a partir del momento en que

horizontalmente estn separadas

260km.

Determinar despus de que tiempo se

dio el primer entendimiento entre el

barco y el avin.

a) 3 h b) 5 h c) 2 h

d) 1 h e) 4 h

04 Dos mviles A y B parten

simultneamente con velocidades

constantes de 10 y 20 m/s

respectivamente desde un mismo

punto en el mismo sentido. A 1800 m,

en el mismo instante otro mvil C sale al encuentro de A y B en sentido

opuesto con una velocidad constante

de 30 m/s. al cabo de que tiempo el

mvil B equidistara de los mviles A y C?

a) 10 s b) 20 s c) 30 s

d) 40 s e) 50 s

05 Dos mviles A y B parten

simultneamente desde un mismo

punto con velocidades constantes de 5

y 8 m/s respectivamente en el mismo

sentido tales que sus direcciones

forman 60 entre s. Qu distancia los

separa luego de 10 s?

a) 40 m b) 50 m c) 70 m

d) 65 m e) 80 m

06 Dos mviles A y B se desplazan con

velocidades constantes cuya relacin es

de 1 a 3. Si partir de la posicin

mostrada, la menor separacin entre

ellos es 12 m y esto ocurre al cabo de 2

0,1m

45

A

B

C

1,4m

0,9m

0,1m


segundos. Determine la rapidez de

ambos mviles.

a) 2 m/s; 6 m/s b) 1 m/s; 3 m/s

c) 3 m/s; 12 m/s d) 2 m/s; 3 m/s

e) NA

07 Al recipiente ingresa agua a razn

constante de 3

600cm s . Con que

mnima rapidez constante debe subir la

hormiga por la superficie inclinada, a

partir del instante mostrado, para no

ser alcanzada por agua?

a) 2,5cm/s b) 1,7cm/s c) 3,4m/s

d) 3,4 cm/s e) 0,7 cm/s

08 Dos mviles siguen trayectorias que se

cortan formando un ngulo de 106. Si

desde la interseccin de las trayectorias

se desplazan con velocidades

constantes de 40 m/s y 80 m/s, hallar la

velocidad de un tercer mvil que parte

del mismo punto y se desplaza por la

bisectriz de este ngulo, para que en

cualquier instante equidiste de los otros

dos.

a) 30m/s b) 40m/s c) 50m/s

d) 200m/s e) 100m/s

09 Si la plataforma mostrada comienza a

moverse con velocidad constante de

10m/s, estando la persona quieta, Con

qu velocidad se desplaza la sombra

que la persona proyecta sobre el piso?

(H=3h)

a) 4 m/s b) 6 m/s c) 5 m/s

d) 10 m/s e) 7 m/s

10 Calcular despus de que tiempo los

mviles estarn separados 70 m, si

parten iguales de A con velocidades

constantes.

a) 10 s

b) 40 s

c) 50 s

d) 70 s

e) 110 s

11 Determinar la velocidad media (en m/s)

de la partcula entre A y B, sabiendo

que demora en recorrer el arco AB en

un intervalo de 2 segundos.

a) 2 i j

b) i j

c) 2i j

d) i j

e) NA

20 m

A

B

30cm

40cm

40cm

3m s

8 m s60

53

y(m)

O 5 10

x(m)

A

B

10m s

h

H


12 De las siguientes afirmaciones Cules

son verdaderas?

I. El desplazamiento es una magnitud

escalar

II. Si V 8i(m s) , entonces el mvil se

mueve en la direccin del eje y positivo.

III. Si V 6i 8 j(m s) , entonces el

mdulo de V es igual a 10.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III

d) I y II e) II y III

12 Una partcula e mueve con MRU, en el

plano x-y. La rapidez del mvil es 4

m/s, iniciando su movimiento en el

punto (10;0). El vector posicin

describe un rea de 2

12m , en cada

segundo, respecto del origen de

coordenadas. Determinar la ecuacin

de la trayectoria que describe la

partcula.

a) y 3x 10 b) y 4x 10

c) 3

y x 10

4

d) y 3 x 10

e) 4

y x 10

3

13 Una abeja recorre en 1,5 segundos la

sexta parte de una circunferencia de

radio igual a 3m. Calcular en mdulo

de la velocidad media y la rapidez

lineal de la abeja.

a)2

2m s; m s

3

b)

33m s; m s

2

c)2

5m s; m s

3

d) 8m s;2 m s

e)2

m s;2m s

3

14 El grafico muestra la posicin de una

partcula. Cul es el mdulo de la

velocidad media entre 0

t R y

ft 2R r ?

a)R

R r b)

r

R r c)

R r

R r

d)R

R r e)

r

R r

15 Dos insectos vuelan con velocidades

constantes en el mismo plano vertical y

estn iluminados por un foco. La figura

muestra la posicin de los insectos para

t=0. Determine la separacin entre las

sombras de los insectos sobre el piso

(en m), al cabo de 2 s.

a) 8 m

b) 18 m

c) 24 m

d) 32 m

e) 20 m

16 Un mvil se desplaza en la misma

direccin durante 3 segundos. El

primer segundo se mueve con rapidez

constante 1

V y los otros 2 con rapidez

constante 2

V 1 2V V . Cul es la velocidad media del mvil durante los

3 segundos de su movimiento?

a) 1 21

V V

2

b) 1 21

V V

2

O

Rr

x

t

2m

1m

1m

3m s

4 m s


c) 1 21

2V V

3

d) 1 21

V 2V

3

e) 1 21

3V 2V

3

16 Un nio describe la trayectoria

mostrada en 40 s. hallar su rapidez

media, si parte de A. (R=10 m)

a)2

m s

3

b)

3m s

2

c) m s

2

d) m s e) 2 m s

17

A

RR

B

MRU

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