Mtematicas discretas clase 5

7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5

1/151

funcin conteo de funciones

Funciones

Jana Rodriguez HertzMD1

IMERL

20 de agosto 2015
http://goforward/http://find/http://goback/


2/151


definicin funcin

qu es una funcin

qu es una funcin?tiene 3 elementos:
http://find/


3/151


4/151


definicin funcin

qu es una funcin


dominio codominio
http://find/


5/151


definicin funcin

qu es una funcin


dominio codominioley

f i d f i
http://find/http://goback/


6/151


definicin funcin

funcin

funcin
http://find/


7/151



8/151


definicin funcin

funcin

funcin

dadosA(dominio), B(codominio) conjuntos no vacosllamamosfuncin

f : A B



9/151


definicin funcin

funcin

funcin

dadosA(dominio), B(codominio) conjuntos no vacosllamamosfuncin

f : A Ba una relacin donde a cada elemento del dominio le

corresponde un nico elemento del codominio

http://find/


10/151


definicin funcin

ejemplos

ejemplos

http://find/


11/151


definicin funcin

ejemplos

ejemplos: NO es funcin

http://find/


12/151


definicin funcin

ejemplos

ejemplos

http://find/


13/151

u c co teo de u c o es

definicin funcin

ejemplos

ejemplos : S es funcin
http://find/


14/151



15/151

definicin funcin

ejemplos

ejemplos : S es funcin

http://find/


16/151

definicin funcin

ejemplos

ejemplos
http://find/


17/151



18/151

definicin funcin

ejemplos infinitos

ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2

http://find/


19/151

definicin funcin

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos S es funcinf : R R tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2

http://find/


20/151

definicin funcin

ejemplos infinitos

ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x

x

f(x)f(x) =

x

f(x) = x

http://find/


21/151

definicin funcin

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos NO es funcinf : R R tal que f(x) = x

x

f(x)f(x) =

x

f(x) = x

http://find/


22/151

imagen

imagen

imagen

http://find/


23/151

imagen

imagen

imagen

A,Bconjuntos no vacos

http://find/


24/151

imagen

imagen

imagen

A,Bconjuntos no vacosf : A Bfuncin



25/151

imagen

imagen

imagen

A,Bconjuntos no vacosf : A Bfuncinimagen de f

f(A) = {f(x) : x A} B

http://find/


26/151

imagen

ejemplos

ejemplos

http://find/


27/151

imagen

ejemplos

ejemplos : imagen

http://find/


28/151

imagen

ejemplos

ejemplos

http://find/


29/151

imagen

ejemplos

ejemplos : imagen



30/151

imagen

ejemplos infinitos


x

f(x)

f(x) = x2

http://find/


31/151

imagen

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos : imagenf : R R tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2


32/151


f i i i


33/151

funcin inyectiva

funcin inyectiva

funcin inyectivaf : A

Bfuncininyectiva


f i i ti
http://find/


34/151

funcin inyectiva

funcin inyectiva


Bfuncininyectiva

si no hay dos elementos distintos del dominio con lamisma imagen


funcin inyectiva
http://find/


35/151

funcin inyectiva

funcin inyectiva


Bfuncininyectiva

si no hay dos elementos distintos del dominio con lamisma imagen

f(x1) = f(x2)

x1= x2


funcin inyectiva
http://find/


36/151

funcin inyectiva

ejemplos

ejemplos


37/151


funcin inyectiva


38/151

funcin inyectiva

ejemplos

ejemplos


funcin inyectiva
http://find/


39/151

u c yect a

ejemplos

ejemplos : S es inyectiva


funcin inyectiva
http://find/


40/151

y

ejemplos infinitos


x

f(x)

f(x

) =x2


funcin inyectiva
http://find/


41/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos : NO es inyectivaf : R R tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x

) =x2


funcin sobreyectiva


42/151

funcin sobreyectiva

funcin sobreyectiva


funcin sobreyectiva


43/151

funcin sobreyectiva

funcin sobreyectiva

f : A Bfuncinsobreyectiva


funcin sobreyectiva
http://find/


44/151

funcin sobreyectiva

funcin sobreyectiva

f : A Bfuncinsobreyectivasi

f(A) = B


funcin sobreyectiva
http://find/


45/151

funcin sobreyectiva

funcin sobreyectiva

f : A Bfuncinsobreyectivasif(A) = B

TODO elemento del codominio es imagen de (al menos)

un elemento del dominio


funcin sobreyectiva
http://find/


46/151

ejemplos

ejemplos


funcin sobreyectiva
http://find/


47/151

ejemplos

ejemplos : NO es sobreyectiva
http://find/


48/151


funcin sobreyectiva


49/151

ejemplos

ejemplos : NO es sobreyectiva
http://find/


50/151


funcin sobreyectiva


51/151

ejemplos

ejemplos : S es sobreyectiva
http://find/


52/151


53/151


funcin sobreyectiva

j l i fi it


54/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitosf : R R+0 tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2


funcin sobreyectiva

j l i fi it
http://find/


55/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos : S es sobreyectivaf : R R+0 tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2


funcin biyectiva

funcin biyectiva


56/151

funcin biyectiva

funcin biyectiva


funcin biyectiva

funcin biyectiva


57/151

funcin biyectiva

funcin biyectiva

f : A Bfuncinbiyectiva


funcin biyectiva

funcin biyectiva


58/151

funcin biyectiva

funcin biyectiva

f : A Bfuncinbiyectivasi


funcin biyectiva

funcin biyectiva
http://find/


59/151

funcin biyectiva

funcin biyectiva


1 f inyectiva


funcin biyectiva

funcin biyectiva
http://find/


60/151

funcin biyectiva

funcin biyectiva


1 f inyectiva2 fsobreyectiva


funcin biyectiva

ejemplos
http://find/


61/151

ejemplos

ejemplos


funcin biyectiva

ejemplos
http://find/


62/151

ejemplos

ejemplos : S es biyectiva


funcin biyectiva

ejemplos infinitos
http://find/


63/151

ejemplos infinitos


x

f(x)

f(x) = x2


funcin biyectiva

ejemplos infinitos
http://find/


64/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos : NO es biyectivaf : R R tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x) = x2


funcin biyectiva

ejemplos infinitos


65/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitosf : R+0 R+0 tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x

) =x2


funcin biyectiva

ejemplos infinitos
http://find/


66/151

ejemplos infinitos

ejemplos infinitos : S es biyectivaf : R+0 R+0 tal que f(x) = x2

x

f(x)

f(x

) =x2


cantidad de funciones entre conjuntos finitos



67/151

ca t dad de u c o es e t e co ju tos tos






68/151

j

cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Ay Bson conjuntos finitos
http://find/


69/151





70/151

j






71/151

j


(4 posibilidades)



http://find/


72/151


(4 posibilidades)(4 posibilidades)



http://find/


73/151


(4 posibilidades)(4 posibilidades)(4 posibilidades)



http://find/


74/151


(4 posibilidades)(4 posibilidades)(4 posibilidades)=43 funciones



http://find/


75/151




http://find/


76/151

cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Atiene melementos



http://find/


77/151


y Btiene nelementos



http://find/


78/151


y Btiene nelementosentonces hay

nm

funciones posibles f : A

B


cantidad de funciones inyectivas

http://find/


79/151




http://find/


80/151


(4 posibilidades)





81/151


(4 posibilidades)



http://find/


82/151





http://find/


83/151





http://find/


84/151


(4 posibilidades)(3 posibilidades)(2 posibilidades)



http://find/


85/151


(4 posibilidades)(3 posibilidades)(2 posibilidades)=4.3.2funciones inyectivas



http://find/


86/151




http://find/


87/151

cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos





88/151


y Btiene nelementos





89/151


y Btiene nelementos

y m m



http://find/


90/151


y Btiene nelementos

y m mentonces hay

n!

(n

m)!

= P(n,m)

funciones inyectivas f : A B



http://find/


91/151



92/151





93/151


y Btiene nelementos
http://find/


94/151





95/151


y Btiene nelementos

y m m

entonces NO hay funciones inyectivas f : A B


cantidad de funciones sobreyectivas

http://find/


96/151

cantidad de funciones



http://find/


97/151


si Atiene melementos





98/151


si Atiene melementosy Btiene nelementos



http://find/


99/151


si Atiene melementosy Btiene nelementos

cuntas funciones sobreyectivas f : A Bhay?



http://find/


100/151



101/151





102/151




http://find/


103/151




http://find/


104/151




http://find/


105/151


35 funciones





106/151






107/151


si queremos contabilizar las funciones sobreyectivas
http://find/


108/151





109/151


si queremos contabilizar las funciones sobreyectivastenemos que restar las que no lo son

restamos las que tienen codominio de 2 elementos



http://find/


110/151


codominio {1,2},



http://find/


111/151


codominio {2, 3},



http://find/


112/151


codominio {1, 3}



http://find/


113/151




http://find/


114/151

cantidad de funciones sobreyectivasformas de elegir codominio de 2 elementos: C(3, 2) =3





115/151

cantidad de funciones sobreyectivasformas de elegir codominio de 2 elementos: C(3, 2) =3

funciones de 5 en 2: 25
http://find/


116/151


117/151





118/151






119/151


sin embargo, hay funciones que estn contabilizadas 2veces:





120/151


la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en:



http://find/


121/151


la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en: codominio{1,2},



http://find/


122/151


la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en: codominio{1,2}, codominio {2,3},





123/151




http://find/


124/151


entonces, tenemos que volver a sumar las funciones queestaban contadas dos veces:



http://find/


125/151


entonces, tenemos que volver a sumar las funciones queestaban contadas dos veces:

35 C(3,2)25 + C(3,1)15



http://find/


126/151




http://find/


127/151

cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementos




id d d f i b i
http://find/


128/151

cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementosy Btiene nelementos,




tid d d f i b ti
http://find/


129/151


la cantidad de funciones sobreyectivas f : A Bes:




tid d d f i b ti


130/151



n

n

nm

n

n 1

(n 1)m + + (1)n1 n

1

1m




tid d d f i b ti
http://find/


131/151



n

n

nm

n

n 1

(n 1)m + + (1)n1 n

1

1m

o sean

k=0

(1)k

n

n k

(n k)m


cantidad de funciones biyectivas

http://find/


132/151




http://find/


133/151

cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A B



http://find/


134/151

cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A Bsi#A


135/151



136/151



137/151

http://find/


138/151





139/151

cantidad de funciones biyectivassi Ay Btienen melementos

entonces haym! = P(m,m)

funciones biyectivas f : A B


nmeros de Stirling de segundo tipo

distribucin de objetos distintos en recipientes


140/151

distribucin de objetos distintos en recipientes distintos



http://find/


141/151

distribucin de objetos distintos en recipientes distintoscuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes ennrecipientes numerados de forma que no quede ninguno

vaco?



http://find/


142/151

distribucin de objetos distintos en recipientes distintoscuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes ennrecipientes numerados de forma que no quede ninguno

vaco?n

k=0

(1)k

n

n k

(n k)m



http://find/


143/151

distribucin de objetos distintos en recipientes iguales



http://find/


144/151

distribucin de objetos distintos en recipientes igualescuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes en nrecipientesigualesde forma que no quede ninguno vaco?



http://find/


145/151

distribucin de objetos distintos en recipientes igualescuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes en nrecipientesigualesde forma que no quede ninguno vaco?

1n!

nk=0

(1)k

n

n k

(n k)m
http://find/


146/151



nmero de Stirling de segundo tipo


147/151

nmero de Stirling de segundo tipose llamanmero de Stirling de segundo tipo



nmero de Stirling de segundo tipo


148/151

nmero de Stirling de segundo tipose llamanmero de Stirling de segundo tipo

aS(m,n) =

1n!

nk=0

(1)k

n

n k

(n k)m
http://find/


149/151



propiedad


150/151

propiedadsi m n>1 son nmeros enteros,



propiedad


151/151

propiedadsi m n>1 son nmeros enteros,

entoncesS(m+1,n) = S(m,n 1) + nS(m,n)
http://find/

Mtematicas discretas clase 5

Documents

Transcript of Mtematicas discretas clase 5