Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy
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Método de eliminación de GaussUtilidad del método.
Transformaciones elementales.Teorema Rouché-Frobenius
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 1/20
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Método de eliminación de Gauss
La clase pasada presentamos el método deescalerización de Gauss, ahora:
I ¿Por qué sirve el método?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 2/20
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Método de eliminación de Gauss
La clase pasada presentamos el método deescalerización de Gauss, ahora:
I ¿Por qué sirve el método?
I Es decir:
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Método de eliminación de Gauss
La clase pasada presentamos el método deescalerización de Gauss, ahora:
I ¿Por qué sirve el método?
I Es decir:
I ¿resuelve el sistema?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 2/20
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Método de eliminación de Gauss
La clase pasada presentamos el método deescalerización de Gauss, ahora:
I ¿Por qué sirve el método?
I Es decir:
I ¿resuelve el sistema?
I ¿es realizable (finito)?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 2/20
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Método de escalerización de Gauss
Para ver que el método sirve veremos que:
I todo sistema se escaleriza en una cantidadfinita de transformaciones elementales
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Método de escalerización de Gauss
Para ver que el método sirve veremos que:
I todo sistema se escaleriza en una cantidadfinita de transformaciones elementales
I las transformaciones elementales no alteran elconjunto solución
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 3/20
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Transformaciones elementales
Llamaremos transformación elemental acualquiera de las siguientes operaciones:
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Transformaciones elementales
Llamaremos transformación elemental acualquiera de las siguientes operaciones:
I sumar a una ecuación un múltiplo de otra
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 4/20
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Transformaciones elementales
Llamaremos transformación elemental acualquiera de las siguientes operaciones:
I sumar a una ecuación un múltiplo de otra
I intercambiar de lugar dos ecuaciones
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Transformaciones elementales
Llamaremos transformación elemental acualquiera de las siguientes operaciones:
I sumar a una ecuación un múltiplo de otra
I intercambiar de lugar dos ecuaciones
I multiplicar una ecuación por α 6= 0
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Proposición
Las transformaciones elementales no alteran elconjunto solución.
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Proposición
Las transformaciones elementales no alteran elconjunto solución.
�
�
�
�DefiniciónDos sistemas con el mismo conjunto solución sellaman sistemas equivalentes
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
AiX = ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
T.E.
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
T.E.
(S′)
A1X = b1
...αAiX = αbi
...AmX = bm
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
T.E.
(S′)
A1X = b1
...αAiX = αbi
...AmX = bm
⇒ X resuelve (S′)
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
T.E.
(S′)
A1X = b1
...αAiX = αbi
...AmX = bm
⇔ X resuelve (S′)
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Proposición - Demostración
Ahora X resuelve (S) ⇒
(S)
A1X = b1
...AiX = bi
...AmX = bm
T.E.
(S′)
A1X = b1
...αAiX = αbi
...AmX = bm
⇔ X resuelve (S′)Se demuestra análogamente para las otras T.E.
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Proposición
Todo sistema se puede escalerizar en unacantidad finita de T.E.
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Proposición
Toda matriz se puede escalerizar en unacantidad finita de T.E.
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 7/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0 . . . . . . 1T.E.
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0 . . . . . . 1 T.E.Conseguir matriz:
a11 a12 . . . a1n
0 a′22
. . . a′2n
... ... . . . ...0 a′m2
. . . a′mn
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0 . . . . . . 1 T.E.Conseguir matriz:
a11 a12 . . . a1n
0 a′22
. . . a′2n
... ... . . . ...0 a′m2
. . . a′mn
(m − 1) T.E.
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0 . . . . . . 1 T.E.Conseguir matriz:
a11 a12 . . . a1n
0 a′22
. . . a′2n
... ... . . . ...0 a′m2
. . . a′mn
(m − 1) T.E.
Calcular cuántos pasos se necesitan paraterminar de escalerizar
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Proposición - Demostración
F1 con primer coeficiente 6= 0 . . . . . . 1 T.E.Conseguir matriz:
a11 a12 . . . a1n
0 a′22
. . . a′2n
... ... . . . ...0 a′m2
. . . a′mn
(m − 1) T.E.
Calcular cuántos pasos se necesitan paraterminar de escalerizar
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 8/20
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Conclusión
Estas dos proposiciones garantizan que el M.E.Gauss es un buen algoritmo para resolver (S)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 9/20
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Recordemos
Sistema m × n
(S)
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
...ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 10/20
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Notación matricial
Matriz asociada a (S)
A =
a11 a12 . . . a1n
... ...ai1 ai2 . . . ain
... ...am1 am2 . . . amn
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 11/20
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Notación matricial
Matriz ampliada de (S)
A|b =
a11 a12 . . . a1n b1
... ...ai1 ai2 . . . ain bi
... ...am1 am2 . . . amn bm
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 12/20
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Observaciones
I Una matriz A puede tener muchas formasescalerizadas AE
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 13/20
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Observaciones
I Una matriz A puede tener muchas formasescalerizadas AE
I Todas las formas escalerizadas de A tienen lamisma cantidad de escalones
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 13/20
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Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
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Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E ⇔ incompatible
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
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Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E ⇔ incompatible
escalones AE < columnas AE
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
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Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E ⇔ incompatible
escalones AE < columnas AE ⇔ compatibleindeterminado
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
![Page 39: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E ⇔ incompatible
escalones AE < columnas AE ⇔ compatibleindeterminado
escalones AE = columnas AE
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
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Teorema de Rouché-Frobenius
escalones AE < escalones (A|b)E ⇔ incompatible
escalones AE < columnas AE ⇔ compatibleindeterminado
escalones AE = columnas AE ⇔ compatibledeterminado
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 14/20
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En particular, un sistema con más incógnitas queecuaciones no puede ser compatibledeterminado
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 15/20
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Matriz escalerizada
I todas las filas, salvo quizás la primera,comienzan con una sucesión de ceros
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 16/20
![Page 43: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/43.jpg)
Matriz escalerizada
I todas las filas, salvo quizás la primera,comienzan con una sucesión de ceros
I cada fila comienza con al menos un cero másque la fila superior
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 16/20
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Matrices
I A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... . . . ...am1 am2 . . . amn
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 17/20
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Matrices
I A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... . . . ...am1 am2 . . . amn
I También A = (aij)i=1,...,mj=1,...,n
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 17/20
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Matrices
I A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... . . . ...am1 am2 . . . amn
I También A = (aij)i=1,...,mj=1,...,n
I Dos matrices son iguales si y sólo si tienen elmismo tamaño y las mismas entradas en lasmismas posiciones
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 17/20
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Ejemplo 1
La matriz
A =
(
1
2i + j
)i=1,2
j=1,2,3
I ¿cuántas filas tiene?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 18/20
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Ejemplo 1
La matriz
A =
(
1
2i + j
)i=1,2
j=1,2,3
I ¿cuántas filas tiene?
I ¿cuántas columnas?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 18/20
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Ejemplo 1
La matriz
A =
(
1
2i + j
)i=1,2
j=1,2,3
I ¿cuántas filas tiene?
I ¿cuántas columnas?
I ¿cuáles son los coeficientes?
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 18/20
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Ejemplo 1
A =
( )
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
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Ejemplo 1
A =
(
1
3
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
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Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 53: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/53.jpg)
Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
1
5
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 54: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/54.jpg)
Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
1
5
1
5
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 55: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/55.jpg)
Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
1
5
1
5
1
6
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 56: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/56.jpg)
Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
1
5
1
5
1
6
1
7
)
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 57: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/57.jpg)
Ejemplo 1
A =
(
1
3
1
4
1
5
1
5
1
6
1
7
)
matriz 2 × 3
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 19/20
![Page 58: Método de eliminación de Gauss - fing.edu.uy](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022080210/62e7d741b5d01a4e5d47b3da/html5/thumbnails/58.jpg)
Ejemplo 2
Las matrices
A =
(
1 2√2 1
)
y B =
(
2 1√2 1
)
son diferentes.
c©Jana Rodriguez Hertz – p. 20/20