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UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALES

ESCUELA DE ESTADSTICA

CURSO DE MUESTREO

Prof. Elizabet Torre! Ri"a!

M#ri$a% &'(io )**+

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INDICE

INTRODUCCIN ,

TEMA -. ORANI/ACIN DE UNA INVESTIACIN POR MUESTREO DEENCUESTA +

VENTA&AS MUESTREO VS. CENSO. 0VENTA&ASMUESTREOVS. CENSO1 2TIPOS DE ENCUESTA POR MUESTREO 2DISE3O DE ENCUESTAS 4DISE3O DE CUESTIONARIOS 4CONCEPTUALI/ACION Y DISE3O DEL INSTRUMENTO 5FORMATO DE PRESENTACIN DEL CUESTIONARIO 6SECUENCIA Y ORDENAMIENTO DE LAS PREUNTAS -*REPRODUCCIN DEL CUESTIONARIO -*TIPOS DE MUESTREO -,TIPOS DE MUESTREO PRO7A7ILSTICO -+

TEMA ). MUESTREO ALEATORIO SIMPLE -4

PRO7A7ILIDAD 8UE TIENE UNA UNIDAD DE PERTENECER A LA MUESTRA-5

ESTIMACIN DE LA MEDIA Y EL TOTAL -9ESTIMACIN DE LA MEDIA PO7LACIONAL )-ESTIMACION DEL TOTAL PO7LACIONAL ),

FORMAS DE CALCULAR ESTIMACIONES DE2

)2ESTIMACIN DE LA PROPORCIN P )2VENTA&AS DEL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE )9DESVENTA&AS DEL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE )9

TEMA ,. MUESTREO ESTRATIFICADO )9

RA/ONES PARA ESTRATIFICAR )9:CMO SELECCIONAR UNA MUESTRA ALEATORIA ESTRATIFICADA; ,*ESTIMACIN DE LA MEDIA ,*

ESTIMACIN DEL TOTAL ,,ASINACIN DE LA MUESTRA ,6TIPOS DE ASINACIN. ,6

TEMA +. MUESTREO POR CONLOMERADOS +5

:CMO SELECCIONAR UNA MUESTRA POR CONLOMERADOS; +6

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ESTIMACIN DE LA MEDIA PO7LACIONAL +9ESTIMACIN DEL TOTAL PO7LACIONAL 2*ESTIMADOR DE LA PROPORCIN 2,

7I7LIORAFA 22

2

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INTRODUCCIN

En toda investigacin estadstica existe un conjunto de elementos sobre los que se tomainformacin. Este conjunto de elementos es lo que se denota con el nombre de poblacin o

universo estadstico. Cuando se toma informacin de todos y cada uno de los elementos dedicha poblacin, decimos que se realia un censo. !in embargo, esto no siempre es posible,ya sea porque es costoso, requiere mucho tiempo, o bien porque la toma de informacinlleve consigo la destruccin de los elementos en cuestin, o que la poblacin tenga infinitoselementos. Este problema hace que el investigador tome la informacin de una parte de lapoblacin, proceso que recibe el nombre de

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:8'# !e =rete($e >o( el >'r!o

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- #ndustria.- Comercio #nterno.

3na investigacin por muestreo se puede dividir en 0 etapas bsicas;

-. 8lanificacin.2. 'ecoleccin de la #nformacin.0. )nlisis de los resultados.

VENTA&AS MUESTREO V!. CENSO.

a. Costo reducido 6os gastos son menores que los que se realiaran si le lleva a caboun censo/.

b. (ayor rapide El muestreo emplea menos tiempo en recopilar y procesar los datosque el censo/.

c. (ayor exactitud. !e espera que una encuesta bien empleada produca resultados msexactos que el censo. En el censo surgen ms errores por la complejidad y magnituddel trabajo. El muestreo emplea personas de mayor calibre, es posible capacitarlosmejor y supervisar su trabajo.

d. Estimar validamente el margen de error y decidir si los resultados sonsuficientemente exactos. 3n censo completo no revela el margen de incertidumbre alcual est sometido. En poblaciones peque7as censo.

TIPOS DE ENCUESTA POR MUESTREO

!eg5n el objetivo que se persiga en la investigacin por muestreo, las encuestas seclasifican en;

-. escriptivas.2. )nalticas.0. Exploratorias.

O7&ETIVOS

escriptivas; 8ermiten describir el comportamiento del fenmeno en estudio, es decir, con

ellas se puede conocer cierta informacin sobre grandes grupos. Ejemplo; n5mero dehombres que ven televisin.

)nalticas; aquellas que permiten hacer comparaciones entre subgrupos de una poblacinpara averiguar si existen ciertas diferencias entre ellos y formular o verificar hiptesis sobresus causas. !e emplean t4cnicas multivariantes.

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Exploratorias; proporcionan un mecanismo de b5squeda cuando se est comenando aindagar sobre un tema particular. !irven de base para estudios posteriores y requieren unanlisis descriptivo.

DISE3O DE ENCUESTASFor

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El cuestionario es una parte muy importante de la encuesta por muestreo. ?abiendodecidido cul es la informacin que se desea obtener, el problema de su presentacinrequiere considerable habilidad. 6as preguntas deben ser claras, sin ambig@edades y alpunto. 6as preguntas vagas no proporcionan respuestas claras. eben evitarse las

preguntas que orientes respuestas. Como 4stas podran depender en alguna medida del&'E$ en que se hacen la preguntas, debe considerarse tambi4n su orden. 3na peque7aprueba previa siempre es 5til para decidir sobre un m4todo efectivo para plantear laspreguntas. "odos t4rminos t4cnicos que se utilian debern ser definidos adecuadamente.es 'aj, 0A/.

Ti=o! $e >'e!tio(ario! )utoadministrado Entrevistas 8or tel4fono, correo, personal B inspeccin

Ti=o! $e PreB'(ta! )biertas Cerradas !eleccin (5ltiple !eleccin dicotmica

Re$a>>i( $e la! PreB'(ta!

ebe ser clara, sin ambig@edades. Es importante cuidar el lenguaje en relacin al p5blicoque est dirigido la encuesta.

ebe ser en positivo la redaccin de la pregunta. !e recomienda que no contenga ms de 2Dpalabras. El n5mero de preguntas esta asociado inversamente a la tasa de respuesta.

PreB'(ta! refere(te! a te

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CONCEPTUALI/ACION Y DISE3O DEL INSTRUMENTO

En la investigacin por muestreo, esos conceptos deben ser convertidos en preguntas en un

cuestionario que permite la recoleccin de los datos empricos relevantes para analiar.LBi>a $e Co(>e=t'aliza>i(.Ejemplo; Estatus social puede ser definido por varios elementos; ingreso, prestigioocupacional, educacin, riquea, poder, estatus familiar y valores morales.

8ara permitir rigurosa investigacin, sin embargo, tales conceptos generales deben serespecificados, esto es, deben ser reducidos para especificar, indicadores empricos.

O=era>io(aliza>i(.6os conceptos son codificados generales de la experiencia y observaciones.

En ciencias tales conceptos toman la forma de variables que traen una coleccin deatributos relacionados.

F &peracionaliacin es el proceso mediante el cual los investigadores especificanobservaciones empricas que pueden ser tomados como atributos contenidos dentro de unconcepto dado.

CALIDAD DE LA MEDICIN

6os elementos siguientes deben ser considerados en el dise7o de la encuesta, a fin degarantiar la adquisicin de informacin de calidad.

- 8recisin- Confiabilidad- =alide;

=alide de Contenido =alide de Constructo

FORMATO DE PRESENTACIN DEL CUESTIONARIO

El formato del cuestionario debe ser tan importante como la naturalea y redaccin de laspreguntas. 3na inapropiada presentacin del cuestionario puede conducir a respuestaserrneas.

!e debe evitar; Cuestionarios demasiados largos, ya que el $G de preguntas est asociado

inversamente a la tasa de repuesta.

H

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=arias preguntas en una sola lnea. 8reguntas abreviadas. emasiadas pginas del cuestionario B que el entrevistado sienta que gasta poco

tiempo en responder el cuestionario.

Cuestionario muy comprimido en espacio son desastrosos.Foria

) menudo en una encuesta, ciertas preguntas sern claramente relevantes solo para unsubconjunto de respondientes.

8regunta de Contingencia; significa que la segunda pregunta es un contingente, cuyarespuesta depende de la primera.

El uso apropiado de estas preguntas puede facilitarle al respondiente la tarea de responderel cuestionario y tambi4n puede mejorar la calidad de los datos producidos.

6a segunda pregunta se debe evitar que comience K !i..... condicionalmente porque puede

inducir a respuesta.

Estas segundas preguntas deben ser indentadas sobre el cuestionario, encerradas en cajas yconectadas con la pregunta base a trav4s de flechas.

PreB'(ta! Matriz.

"pico caso es el de escala 6iLert.) menudo, 3d. desear preguntar varias cuestiones que tengan el mismo conjunto decategoras de respuesta.

Ejemplo;

-. )l lado de cada afirmacin que se presenta ms abajo, indique si 3d. estcompletamente de )cuerdo C)/, )cuerdo )/, en esacuerdo /, Completamente enesacuerdo C/ o #ndeciso #/. CA A D CD I

A

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a. Este pas necesita ms leyes y orden I J I J I J I J I Jb. 6a poltica debe ser el desarme. I J I J I J I J I Jc. urante los disturbios se deben I J I J I J I J I J

disparar perdigones a los saqueadores.Existen algunos peligros inherentes al uso de este formato como; 6os respondientes puedendesarrollar alg5n patrn de respuesta.

PreB'(ta! refere(te! a te

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Cada cuestionario, si es autoadministrado o si es administrado por el encuestador, debecontener instrucciones claras y comentarios introductorios donde sean apropiados.

I(!tr'>>io(e! e(erale!

Cada cuestionario autoadministrado debe comenar con instrucciones bsicas para seguir sucompletacin.I(tro$'>>io(e!!i el cuestionario esta organiado de acuerdo al contenido de subsecciones, es 5tilintroducir cada seccin oraciones cortas relacionadas con el contenido y propsito.

I(!tr'>>io(e! E!=e>fi>a!.)lgunas preguntas pueden requerir instrucciones especficas para facilitar la respuestaapropiada. Caso de respuestas m5ltiples.

I(!tr'>>io(e! =ara el e(tre"i!ta$or8roporcionar instrucciones claras en el lugar apropiado para los entrevistadores.

ETAPAS PRINCIPALES INVESTIACIN POR MUESTREO

PLANEACIN Y E&ECUCIN DE UNA ENCUESTAa. &bjetivos de la encuesta. %ijar en t4rminos concretos los objetivos de la encuesta. $o

aclarar la finalidad de la encuesta disminuir su valor en 5ltima instancia.b. 8oblacin bajo muestreo; los objetivos de la encuesta deben definir la poblacin que

se quiere cubrir. 6a palabra poblacin se emplea para denominar el conjunto del quese elige la muestra. #mplica la definicin de lo que es poblacin y de sus elementos.Evitar ambig@edades. El encuestador debe ser capa de decidir en el campo sindemasiados titubeos si un caso dudosos pertenece o no a la poblacin.6a poblacin que se procura cubrir ser por lo general diferente de la que en realidades objeto de muestreo. 6os resultados que se obtengan sern aplicados a la poblacinmuestreada.8oblacin objetivo 8oblacin muestreada

8ueden coincidir es ms restringida/

c. El marco. 6ista, mapa, que sirve como gua al universo que se cubrir, debeexaminarse que est4 libre de defecto y actualiada.d. 3nidad de muestreo. 8ara los propsitos de la seleccin de la muestra debe ser

posible dividir a la poblacin en unidades de muestreo.e. !eleccin de la muestra objetivo del curso.

--

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f. #nformacin que se recopilar. Nu4 informacin se busca obtener debe serconsiderada en una de la primeras etapas de planeacin de a encuesta. !lo deben detenerse datos de inter4s para los propsitos de la encuesta. 3n cuestionario demasiadolargo produce una baja general en la calidad de los resultados. 6o prctico es preparar

1&!N3EO&! de los cuadros que debe producir la encuesta, a s se eliminarinformacin no pertinente.g. Prado de precisin deseado.

'esultados incertidumbre (uestra Errores en las mediciones deseadas.

6a falta de certea se reduce al tomar muestras grandes y emplear mejoresdispositivos. #mplica costos y tiempo. Es mejor especificar el grado de precisindeseado.

h. (4todo de obtener la informacin.-

Encuesta que emplea un cuestionario autoadministrado.- Entrevistas.- Encuestas con preguntas abiertas yQo cerradas.- Encuestas por tel4fono, correo o visitas personales.

i. 'eferencia de tiempo y perodo de referencia.- 'eferencia de tiempo perodo al que pertenecern los resultados de la encuesta/.- 8erodo de referencia; perodo para el cual se obtiene la informacin de las

unidades de muestreo.

j. Cuestionario u hoja de encuesta. Con funcin de la informacin a obtener definir

presentacin encuesta. 6as preguntas deben ser claras y sin ambig@edades y al punto.eben evitarse preguntas que orienten las respuestas. &rden de preguntas. 8reguntascontrol. 8rueba piloto. efinir los t4rminos t4cnicos adecuadamente. Cuestionariosprecodificados.

L. 6a capacitacin de los entrevistadores y supervisin, instrucciones detalladas en losm4todos que se emplearn las mediciones.

l. #nspeccin de la informacin entregada. Control de calidad de la informacin.m. 8ersonas que se reh5san responder. Elaborarse procedimientos para tratar con quienes

no respondan.

PRESENTACIN Y ANLISIS DE DATOS.icho anlisis se realia seg5n elplan de tabulaciones dise7ado y las t4cnicas estadsticas propuestas para cumplir conlos objetivos previstos en la investigacin.

-2

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INFORME Y PU7LICACIN DE RESULTADOS. En esta 5ltima etapa seredacta el informe contentivo de los resultados de la investigacin por muestreo y seejecuta el plan de publicacin de los mismos.

CONCEPTOS ENERALES

8oblacin; es una coleccin de objetos acerca de los cuales deseamos hacer algunainferencia. 3n conjunto finito o infinito de elementos.

Elemento o unidad elemental o unidad de observacin; objeto sobre el cual se realian lasmediciones de la caracterstica. Es un objeto en el cual se toman las mediciones.

3nidades de muestreo; son colecciones no traslapadas de elementos de la poblacin quecubran la poblacin completa. &tra definicin es; colecciones o grupos no solapados de

unidades elementales. "ambi4n es la unidad donde realiamos la muestra.

Ejemplo;- Encuesta de =iviendas 3nidad de muestreo; mananas definidas de tal manera

que cada vivienda no pueda ser muestreada ms de una ve y que cada vivienda tengauna oportunidad de ser seleccionada en la muestra.

- Encuesta sobre #ngreso %amiliar 3nidad de muestreo; vivienda.- 8roporcin de votantes que favorecieron la emisin de bonos 3nidad de

muestreo; hogares. 3nidad elemental; votantes.

En el muestreo de elementos cada unidad de muestreo contiene un solo elemento, por tanto,

la 3nidad de muestreo R 3nidad elemental.

(arco muestral; es una lista de todas las unidades de muestreo.

(uestra; es un subconjunto de la poblacin. Es una coleccin de unidades seleccionadas deun marco o de varios marcos. En una poblacin infinita, una muestra aleatoria es unasucesin de variables aleatorias independientes e id4nticamente distribuidas.

8&16)C#*$ &1OE"#=& 8&16)C#*$ (3E!"'E))8oblacin que se pretende cubrir. efinidapor los objetivos de la encuesta. Es la

coleccin completa de observaciones quedeseamos estudiar.

Es la poblacin de donde se extrae lamuestra, es ms restringida. 6os

resultados que se obtengan sernaplicados a la poblacin muestreada.

-0

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TIPOS DE MUESTREO

-. (uestreo 8robabilstico; Cuando de antemano se conoce la probabilidad asociada acada muestra posible.

2. (uestreo $o 8robabilstico; F #ntencional u opinticorepresentatividad subjetiva/

- !in norma circunstancial o errtico- a capricho o comodidad.- por cuotas; a conveniencia adminisFtrativa o

econmica.- Ouicio; el investigador emplea su propio juicio

para elegir la muestra.

M'e!treo Aleatorio; Consiste en asignar a cada elemento poblacional una probabilidad nonula, de ser seleccionado. Con este muestreo podemos hacer estimaciones de lasmagnitudes de los errores de muestreo valor estimado =alor poblacional /. Controlar laprecisin de las estimaciones muestrales dentro de ciertos lmites fijados con anticipacin ycon cierto grado de confiana.

TIPOS DE MUESTREO PRO7A7ILSTICO

-/ (uestreo #rrestricto )leatorio.2/ (uestreo Estratificado.

0/ (uestreo !istemtico.:/ (uestreo por Conglomerados o por Sreas./ (uestreo 8olietpico./ (uestreo (ixto.

:CMO SELECCIONAR LA MUESTRA;. El objetivo del muestreo es estimarparmetros de la poblacin, tales como media, el total y proporcin basndose en lainformacin contenida en la muestra.

(uestra

(uestreo #nferenciaEstimaciones Y , +, total

-:

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8oblacin"ama7o de muestra controla la cantidad de

informacin a extraer

T ; Estimador. (edida estadstica que describe cierta caracterstica num4ricade una muestra, siendo una magnitud variable de una muestra a otra.

; 8armetro. (edida estadstica que describe cierta caracterstica num4ricade una poblacin y que se considera constante y desconocida.

KCmo podemos determinar cual procedimiento usar y el n5mero de observaciones aincluir en la muestraU. 6a respuesta depende de cuanta informacin se desee obtener. 6a

cantidad de informacin obtenida en la muestra depende del n5mero de elementosmuestreados y de la cantidad de variacin en los datos. ebemos fijar un lmite para elerror de estimacin menor que 1.

Error de estimacin R B

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b/ !esgos de seleccin; errores cometidos cuando el proceso de seleccin de la muestrano es totalmente aleatorioV pues incluye elementos opinticos y errticos. Este ocurrecuando alguna parte de la poblacin objetivo no est en la poblacin muestreada.

c/ !esgo de medicin; ocurre cuando el instrumento con el que se mide tiene una

tendencia a diferir del valor verdadero en alguna direccin. Este debe ser minimiadoen la etapa de dise7o de la encuesta 6ohr, 2DDD/.d/ Errores de observacin o de medida; son el resultado de la interaccin entre el

observador, el instrumento y el individuo medido sustituciones fortuitas puedensesgar los resultados/.

e/ Errores por omisin; se refiere a la no respuesta, inaccesibilidad del elemento, op4rdida del dato.

f/ Equivocaciones en el dise7o de la encuesta.

Exactitud; se refiere a la magnitud de las desviaciones respecto a la media verdadera .8recisin; se refiere a la magnitud de las desviaciones respecto a la media Y muestral.

TEMA ). MUESTREO ALEATORIO SIMPLEEn una muestra aleatoria simple cada unidad o elemento de la poblacin tiene unaprobabilidad de seleccin conocidaV se emplea un m4todo aleatorio para elegir las unidadesa incluir en la muestra 6ohr, 2DDD/. 6os elementos o unidades podrn ser seleccionados dedos formas; con o sin reposicin.

En el muestreo aleatorio !io( re=o!i>i(una unidad o elemento sepuede incluir ms de una ve en la muestraV mientras en el muestreo sin reemplao o sinreposicin, todas las unidades en la muestra son distintas.

3na muestra aleatoria con reposicin, de tama7o n obtenida de una poblacin de Nunidades, se puede pensar como la extraccin de n muestras independientes de tama7o -.Cada unidad se extrae de la poblacin al aar, por ser la primera unidad muestreada, conuna probabilidad de -QN, la cual se reemplaa en la poblacin, y siguiente unidad seselecciona al aar con una probabilidad de -QN. Este procedimiento se repite hasta que lamuestra contenga las n unidades y puede tener duplicados.

->

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El muestreo aleatorio sin reemplao o sin reposicin de poblaciones finitas se conoce con elnombre de

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( ) ( )( )

( )

( )

=

==

=

=

n

N

nNn

NN

nNn

nN

Nn

nNNNNnSP

-

WW

W

-

W

WW

W

W

-W

-

-

2

-

-

--W

En el clculo anterior hemos supuesto que al no intervenir el orden en la colocacin de loselementos, la muestra { }nuuuS ,...,, 2-= contiene las n! posibles ordenaciones de dichoconjunto.

PRO7A7ILIDAD 8UE TIENE UNA UNIDAD DE PERTENECER A LA MUESTRA

!e mencion que los elementos que formarn la muestra pueden ser seleccionados de dosmaneras;

-. Co( re=o!i>i(; en este procedimiento los elementos pueden ser seleccionados variasveces, y cada una de las n selecciones son independientes unas de otras, luego, laprobabilidad de que un elemento forme parte de la muestra es -QN. 8or lo tanto, laprobabilidad final de forme parte de la muestra de tama7o n es;

N

n

NNN=+++

---. Este tipo de seleccin coincide con el muestreo de poblaciones

infinitas.

2. Si( re=o!i>i(; las unidades pueden ser seleccionadas una sola ve. 'ecibe elnombre muestreo irrestrictamente aleatorio, y la probabilidad que un elemento seaescogido en la iF4sima extraccin estar condicionada a la probabilidad de que no

haya sido escogido en los iF-/ sorteos anteriores, as cada seleccin y probabilidades;

-X seleccin probabilidadN

-

2X seleccin probabilidad( )

NN

N

N

--

-

-=

0X seleccin probabilidad( )

NN

N

N

N

N

--

-

2

2

-=

nX seleccin probabilidad( )

( )( ) NN

N

nN

nN

nN

--

2

-

-

-=

-H

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e all que la probabilidad de que un elemento sea seleccionado en cualquiera de las n

elecciones ser igual aN

- y la probabilidad final de que un elemento sea incluido en la

muestra esN

ni = , aqu se aplica la sumatoria de las probabilidades de cada una de n

selecciones en las que puede ser elegido el elemento i en la muestra.

"ambi4n podemos decir que de las

n

Nmuestras posibles, de ellas

-

-

n

Ncontienen un

elemento particular, por tanto, su probabilidad es;

N

n

n

N

n

N

i =

== -

-

posiblesmuestras$o.

favorablesmuestras$o.

"odo dise7o muestral comprende las siguientes partes;

-. (4todo de seleccin de la muestra.2. Estimadores a utiliar y propiedades.0. eterminacin del tama7o de muestra.:. (odificaciones al dise7o bsico.

%orma de seleccionar una muestra irrestricta aleatoria

- 6a seleccin aleatoria garantia;a. #nferencias estadsticas vlidas.b. (ejoramientos acumulativos a trav4s de la separacin y evaluacin objetivo de

sus fuentes de error.

- "ablas de n5mero aleatorios.- Computadora

Este m4todo de muestreo se usa en poblaciones suficientemente homog4neas, es decir, cuyavariana poblacional tienda a cero, exige disponer una lista enumerada de - a N y de allmediante un experimento aleatorio seleccionar a cada uno de los n elementos de la muestra.os factores afectan la cantidad de informacin contenida en la muestra y por tanto, laprecisin tama7o muestra y cantidad de variacin que se controla por el tipo de muestreo/.

-A

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ESTIMACIN DE LA MEDIA Y EL TOTAL

!imbologa bsica;

yiR i F 4simo elemento de la muestraNR totaluiR elemento gen4rico de la poblacin

=

=n

i

i

n

yy

-

media muestral

!uponga que y-, y2, ... , yn es una muestra irrestricta aleatoria m.i.a/ de una poblacin devalores u-, u2, ... , u$,, considere que yila muestra aleatoria es de tama7o uno/.

=

====n

i

ii

N

yyE

-

/ media poblacional =

==

N

i

iiN

uyE-

-/

2variana poblacional

( ) [ ] ( ) ( ) 22

2

-

2222 --- =

=

=

==

= N

YY

NNY

NNYYEYV

i

i

N

i

iiii

6a variana muestral es;

( ) ( )

=+

=

=

=

n

i

iii

iyny

nyyyy

nn

yyS

-

2222

2

2

-

-2

-

-

-

( )

= nyynS

ii

2

22

--

6a Covariana poblacional en el m.i.a. es D

22///, =+== jijijijiji yyEyyyyEyyEyyCov

2

-2

-

/-

-

= =

N

i

i

N

ji

ji uNNN

uu

=

=

2

-

-

-

- N

i

i

N

ji

ji

uNN

uu

N

Como ( ) =

+=ji

ii

N

i

ii uuuu-

22

2D

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Entonces ==

=

N

i

i

N

i

i

N

ji

ii uuuu-

2

2

-

!ustituyendo en la covariana se tiene

( )

=

= 2

2

2

- -

-

-/, i

i

N

i

i

ji u

NN

uu

NyyCov

( )

=

-

-

-

-- 2

2

N

u

NNu

N

i

i

( )

=

-/-

--2

2

N

u

NNu

N

i

i

( )

= 22/-

-

-

--ii u

NNu

NN

=

--

-- 2

2

N

Nu

NN i

En definitiva, la covariana queda igual,

( ) ( ) 2222-

-

/-

-

/-

-/,

=

=

=

Nu

NNNu

NNyyCov iiji

ESTIMACIN DE LA MEDIA PO7LACIONAL

El estimador de la media es y=T n

yi=

8or definicin la variana muestral es;

-

22

2

=

n

ynyS

i entonces( )

-

2

2

=

n

yyS

i

Consideremos que;-/ 6a media muestra es un estimador insesgado, es decir =/yE

2-

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2/ 6a variana de la media es

=

-/

2

N

nN

nyV

y su estimador es

=

N

nN

n

SyV

2

/T

que tambi4n es insesgado.

8or definicin, el lmite de error de estimacin es /T yVtBe ==

)hora vamos a demostrar los 2 puntos anteriores;

-. 6a media muestra es un estimador insesgado, es decir =/yE

Considere que yies una muestra aleatoria es de tama7o uno.

8or definicin la media muestral es

n

yy

i= al aplicar operador esperana se tiene

( ) ( ) ( ) ==

==

=

= ==

= nnN

un

yEnn

y

EyEn

i

N

j

j

n

i

i

n

i

i----

- --

-

2. 6a variana de la media es

=

-/

2

N

nN

nyV

y su estimador es tambi4n insesgado, es

decir que ( )( ( )yVyVE =T .

) continuacin vamos a realiar un ejercicio para estimar la media y determinar el error de

estimacin.

Ejercicio :.; 3na muestra irrestricta aleatoria de n R -DD medidores de agua es controladadentro de una comunidad para estimar el promedio de consumo de agua diario por casa,durante un periodo estacional seco. 6a media y la variana mu4strales fueron

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( )

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25/59

Ejemplo :.H; 3sando los datos del ejercicio :., estime el n5mero total de galones de agua,^, usado diariamente durante el periodo seco. Estableca un lmite para el error deestimacin. (endenhall, pag. >H./

!olucin;

n =-DD medidores, N=-DDDD,

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26/59

( ) ( ) 2

2

2

2

2

2

--

+=

+

=

ND

Nn

Nt

e

Nn

TAMA3O DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR EL TOTAL

8or un procedimiento similar al de la media se determina el tama7o de muestra para estimarel total.

( ) ( ) ( ) 2

2

2222

220

2

22

2

2

---

+=

+=

+=

DN

N

NteN

tN

Nt

eN

Nn

22

2

22

2

Nt

B

Nt

eD

== :2 =t

"anto en el caso de muestras para estimar el total o la media se supone que el investigadordebe conocer 2

FORMAS DE CALCULAR ESTIMACIONES DE 2

6a estimacin de la variana poblacional _2para calcular el tama7o de muestra se puederealiar a trav4s de;

-. Estudios anteriores.2. (uestra piloto.0. 3sando el rango de la variable dos desviaciones de la media/

:

Yderango=

:. Consideraciones prcticas acerca de la estructura poblacional.

ESTIMACIN DE LA PROPORCIN P

El investigador que realia una encuesta por muestreo frecuentemente esta interesado enestimar la proporcin de la poblacin que posee una caracterstica.

2

7/25/2019 Muestreo 2003

27/59

Ejemplo; proporcin de personas que opinan que el servicio de 1#EC# es bueno.

6as propiedades de T son equivalentes a las de y en el muestreo irrestricto aleatorio.

!ea yi R D si el iF4simo elemento seleccionado no posee la caracterstica especifica, y yiR -si las posee.

yn

yp i =

=T es el estimador de p

6a variana poblacional de la proporcin es; ( )

=-N

nN

n

PpV

=ariana estimada de pT es; ( )

=

N

nN

n

!ppV

-

TTTT

) continuacin vamos a demostrar; la variana estimada de la proporcin ( )pV TT ;

!abemos que npypn

yy i

i ==

= T

!ea la cuasivariana;

( )/-

----

2222

2 ppn

n

n

npnp

n

yny

n

yyS i

i

=

=

=

= R p!

n

n

- y adems

( )

= NnN

n

SyV

2

T , sustituyendo p!nn

S -

2

= se tiene

( ) ( )pVN

nN

n

p!

N

nN

n

n

p!n

yV T-

-T =

=

= esto es lo que queramos demostrar.

( ) ( )pVN

nN

n

!p

N

nN

n

n

!pn

yV TT-

TT-

TT

T =

=

= es la variana estimada de la proporcin.

El error de estimacin es;/TpVtBe ==

2>

7/25/2019 Muestreo 2003

28/59

Ejercicio :.F>H./

Per!o(a M'e!trea$aRe!='e!ta

iy

- -2 D0 -

.

.

.

.

.

.2A -0D -

2E.DT-T == p!

( ) ( ) ( ) DD:0--D0.D0DD

0D0DD

-0D

->>E.DH000.D

-

TTTT =

=

=

N

nN

n

!ppV

El error de estimacin resulta igual a; BR2ZD.D>:>/.

TAMA3O DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR =

!abemos que el tama7o de muestra para estimar la media en el muestreo irrestrictoaleatorio es;

( ) ( ) 2

2

2

2

2

2

--

+=

+

=

ND

N

Nt

e

Nn

k

?aciendo la variana poblacional igual a P=2 y sustituy4ndola se tiene;

( ) PNt

eNPn

k

+=

-2

2

( )pVte k T=

( )

=

N

nN

n

!ppV

-

TTTT

Nn

nn

D

D

-+=

V 2

2

De

p!tn =

Ejemplo :.>; 3se los datos del Ejercicio :.< para determinar el tama7o de muestrarequerido para estimar p con un lmite para el error de estimacin de magnitud 1 R D.DH./

2H

7/25/2019 Muestreo 2003

30/59

!olucin;

=2>E.DT-T == p!

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

-2HAD.-2E

-E.DH0.D:

D>E.DH0000.D0DD

-2

2

2

2=

+

=

+

=

Pt

eN

NPn

MUESTREO CON PRO7A7ILIDADES PROPORCIONALESAL TAMA3O

!ea =i la probabilidad de queyiapareca en la muestra.

El Estimador del total Tes; =

=

n

i i

i

pp

y

nT

-

-T

=ariana estimada del ppTT es; ( ) ( )=

=

n

i

pp

i

ipp T

y

nnTV

-

2

T-

-TT

El limite para el error de estimacin es; /TT ppk TVt

E!ti

7/25/2019 Muestreo 2003

31/59

-/ 6as ventajas derivadas de realiar muestreo.2/ Es relativamente simple determinar la precisin de las estimaciones que se hacen a

partir de las observaciones muestrales.0/ "iende a reflejar todas las caractersticas del universo, esto es, cuando el tama7o de la

muestra crece, 4sta se hace cada ve ms representativa del universo o poblacin.

DESVENTA&AS DEL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

-/ !uponemos un listado completo.2/ !i la poblacin es muy grande la numeracin demanda tiempo y trabajos que pueden

ser ahorrados si se emplea otro dise7o muestral.0/ El tama7o de n estratificado es mejor que el tama7o de n aleatorio para el mismo

nivel de confiabilidad.:/ Costos mayores con la dispersin espacial de las unidades muestreadas.

TEMA ,. MUESTREO ESTRATIFICADO

En el muestreo aleatorio simple la variana del estimador depende del tama7o de lamuestra y de la dispersin de la variable en estudio. !i la poblacin es muy heterog4nea ylas consideraciones de costos limitan el tama7o de la muestra, podra ser imposible obteneruna estimacin lo suficientemente precisa tomando una muestra aleatoria simple. Es decir,el tama7o de la muestra aumenta para una precisin dada. 8ero, si podemos clasificar loselementos de la poblacin en grupos estratos/de manera que se reduca la variacin de lavariable + dentro de cada estrato, por tanto, puede hacerse una mejor estimacin.

Ejemplo; Cargos vacantes en las empresas.Criterio de estratificacin; tama7o de la empresa.

DEFINICIN@3na muestra aleatoria estratificada es la obtenida mediante la divisin dela poblacin en subpoblaciones denominadas estratos, en la cual, dentro de cada estrato seselecciona en forma independiente una muestra irrestricta aleatoria. Calculndose para cadaestrato sus estimadores y el estimador de la poblacin se calcula como una ponderacinadecuada de las estimaciones por estrato.

RA/ONES PARA ESTRATIFICAR

-/ )umentar la precisin de las estimaciones al disminuir la variacin dentro de losestratos. 6a estratificacin puede producir un limite ms peque7o para el error deestimacin que el que se producira con un muestreo aleatorio simple.

2/ isminuir los costos al estratificar y variar las fracciones de muestreo dentro de losestratos.

0D

7/25/2019 Muestreo 2003

32/59

0/ 8ermitir definir los estratos como dominios de estudio y obtener estimaciones conprecisin conocida para los estratos.

:CMO SELECCIONAR UNA MUESTRA ALEATORIA ESTRATIFICADA;

ividir la poblacin en estratos de acuerdo a las raones para estratificar, ubicar cadaunidad muestral en su respectivo estrato, asignar el tama7o muestral de cada estrato nide

modo que si los"estratos y nes el tama7o de la muestra nn"

i

i ==-

y seleccionar muestras

aleatorias simples en cada estrato de forma independiente.

6a estratificacin se realia de acuerdo a la distribucin de la variable en estudio o deacuerdo a una variable#altamente correlacionada con la variable en estudio o de acuerdo aun criterio de disminucin de los costos.

En general, la precisin aumenta con el n5mero de estratos si estos estn bien elegidos,pero no es conveniente aumentar mucho el n5mero de estratos si tal aumento no compensalas complicaciones de clculo y la disminucin del tama7o de la muestra dentro de losestratos.

NOTACIN

NR tama7o de la poblacin." R n5mero de estratos.NiR tama7o del iF4simo estrato iR -,2,...,"

NR tama7o de la muestra.

=

="

i

i NN nn"

i

i ==-

$i= Ni%N tama7o proporcional del estrato i =-i$$i= ni%n proporcin de la muestra en el estrato i = -i&

ESTIMACIN DE LA MEDIA

8ara estimar la media poblacional el estimador es; =

="

i

ii't yNN

y -

!ea =

=in

j i

ij

in

yy

-

la media muestral del i()'i*oestrato

0-

7/25/2019 Muestreo 2003

33/59

6a =ariana poblacional de 'ty es;

( ) ( )

=

=

=

===

"

i i

i

i

ii

i

"

i

ii

"

i

ii'tn

S

N

nNN

NyVN

NyN

NVyV

-

2

2

2-

2

2-

---

6a =ariana estimada de 'ty es;

( ) ( )

=

=

= ===

"

i i

i

i

iii

"

i

ii

"

i

ii'tn

S

N

nNN

NyVN

NyN

NVyV

-

2

2

2-

2

2-

T---T

=amos a demostrar que la media es un estimador insesgado, es decir, ( ) ='tyE

El estimador 'ty es un estimador insesgado puesto que los iy son insesgados.

[ ] ( ) =

======"

i

iiiii't Y

N

TT

N

YN

N

yN

N

y

-

---

"area; emostrar que la variana estimada de 'ty es un estimador insesgado de ( )'tyV

!i las fracciones de muestreo ni%Nison despreciables en todos los estratos entonces

( ) =

="

i i

ii't

n

SN

NyV

-

22

2

T-T

Ejemplo H2=N2D-=n 0D2 =n

=

=-

-

DDD.2:Dn

i

iy =

=2

-

DDD.:2Dn

i

iy

=

=-

-

2DDD.DDD.AHD.2

n

i

iy =

=2

-

2DDD.DDD.D-D.>

n

i

iy

!e pide determinar la media y el error de estimacin, es decir, U='ty y U=B

02

7/25/2019 Muestreo 2003

34/59

=

="

i

ii't yN

Ny

-

-

!abemos que;

i

n

jij

in

yy

i

== -

( )

--T

2

2

-

2

2

2

=

=

=

i

i

ij

ij

i

n

j

iij

in

n

yy

n

yny

S

i

DDD.-22D

DDD.2:D- ==y

( ) HA2,E 2

2

2 =

=S

[ ] >0,2DH.-0-:DDD->HDDD.-2--D2EH

-=+='ty es el valor promedio de val5o para

todas las casas del suburbio.

6a variana estimada es; ( )

=

=

"

i i

i

i

iii't

n

S

N

nNN

NyV

-

2

2

2

T-T al sustituir los valores

respectivos tenemos;

( )( )

( ) ( )

+

=

0D

>2.::H2EH

0D->H->H

2D

HA

7/25/2019 Muestreo 2003

35/59

El intervalo resultante es; -2>:H.-A.--/. Es decir que se estima que con por lomenos un :H.-< y -0>A.--.

Como en este tipo de muestreo, las muestras en cada estrato son independientes, entoncesse puede realiar estimaciones separadas, as;

Estrato - Estrato 2

-

2

-

-

---

T

n

'

N

nNty k

2

2

2

2

222

T

n

'

N

nNty k

D0.A2H-2DDD >A.EDD-:DDD--D-.A, 2A2H.D0/ -02AA.0-, -:DD.>A/

0:

7/25/2019 Muestreo 2003

36/59

ESTIMACIN DEL TOTAL

El estimador del total es; ===="

i

ii

"

i

ii

"

i

ii't't yNyNN

Ny$NyNT -T

6a =ariana poblacional de ;T'tT

( ) ( ) ( ) =

===

"

i i

i

i

iii't't't

n

S

N

nNNyVNyNVTV

222 TTT

6a =ariana estimada de ;T'tT

( ) ( ) ( ) =

===

"

i i

i

i

iii't't't

nS

NnNNyVNyNVTV

2

22

TTTTT

Ejemplo

7/25/2019 Muestreo 2003

37/59

!olucin;

!e desea estimar el n5mero total de horas F hombre perdidas.

# ## ###&breros "4cnicos )dministrativos

-H-=n -D2=n 20 =n

H000,H-=y E,>2=y

7/25/2019 Muestreo 2003

38/59

=

++=="

i

ii't yNT-

A2H000,H-02T

A,-AD0HA,-AD0T =='tT $5mero total de horas hombres perdidas por accidente en unmes determinado.

( ) =

=

"

ii

i

i

ii

i'tn

S

N

nNNTV

-

22TT

( ) ( ) ( )

+

+

=

2

7/25/2019 Muestreo 2003

39/59

8refijados el error mximo admisible precisin mnima del estimador/ indicado por,( )yVte k T= . El coeficiente de confiana -F determina el valor de t acorde a la forma

de distribucin del estimador/ y la variabilidad de la poblacin paradoja de %riedman/.

!i -F t

'i+ n

En este dise7o supones conocidos;N,N-,N2,.....,N,n, &i = ni%n

( ) 2

-

-

2

2

2

-T

==

=

"

ii

i

i

ii

i'tn

S

N

nNN

NtyVte

8ara determinar el tama7o de muestra se fija el nivel del error de estimacin que se estdispuesto a cometer. "ambi4n, se supone que &i=ni%npara poder despejar n haciendo ni=&in y se sustituye;

= ==

=

=

"

i

"

i

ii

i

ii"

i i

i

i

iii SN

n&

SN

t

eN

n&

S

N

n&NN

Nte

- -

222

2

2222

2

22 -

= =

=+"

i

"

i i

ii

ii&

SN

nSN

t

eN 22

2

2

22 -

El tama7o de la muestra aproximado para estimar es;

=

=

+="

i

ii

"

i i

ii

SNt

eN

&

SN

n

-

2

2

22

-

22

Como $i= Ni%N y si dividimos ambos miembros porN2 tenemos;

+=

+=

+= =

=

=

=

=

2

2

2

-

2

2

-

2

22

2

-

2

2

-

2

222

22

-

22

2

---

-

ii

"

i i

i

i

"

i

ii

"

i i

i

i

"

i

ii

"

i i

ii

S$Nt

e

&

S$

SNNt

e

&

S$

SNNtN

eN

&

SN

Nn

es el tama7o de muestra

aproximado para estimar la media.

El tama7o de muestra para una poblacin que tiende a infinito es;

2

22

2

De

t

&

S$n

i

i"

i

i

=

=

0H

7/25/2019 Muestreo 2003

40/59

V = /e%t02 es una variana especificada en funcin del margen de error, tambi4n sedenomina variana anticipada.

=

=

+=

"

i

ii

"

i i

i

i

SNN

V

&

S&

n

-

2

-

2

2

-

=

=

==

"

i i

i

i

i

i"

i

i&

S$

Ve

t

&

S$n

-

2

2

2

22

2

D

-

luego, el tama7o de muestra es;

=+=

"

i

iiS$NV

nn

-

2

D

--

TAMA3O DE LA MUESTRA PARA EL TOTAL")()& )8'&9#()&/

Este tama7o de muestra se obtiene de igual forma, partiendo del error de estimacin paraestimar el total;

( ) =

==

"

i i

i

i

ii

in

S

N

nNNtTVTe

-

2

2222

TT si ni =n&i

( )=

="

i i

i

iiin&

Sn&NN

t

e

-

2

2

2

= = =

=

="

i

"

i

"

i

ii

i

ii

i

iiiii SNn&

SN

n&

n&SNSN

t

e

- -

222222

2

2

= ==+"

i

"

i i

iiii&

SN

nSNt

e

- -

22

2

2

2-

espejando n se obtiene el tama7o de muestra aproximado para estimar el total;

0A

7/25/2019 Muestreo 2003

41/59

=

=

=

=

+=

+=

"

i

ii

"

i i

ii

"

i

ii

"

i i

ii

SNV

&

SN

SN

t

e

&

SN

n

-

2

-

22

-

2

2

2

-

22

Ejemplo; ) continuacin se realia un ejemplo del clculo del tama7o de muestra necesariopara determinar la Calidad de la 6eche variable; acide/. !uponga que se reali unamuestra piloto y se obtuvo los siguientes datos;

ni E'trato' Ni =fin1a'

$i =Ni%N

Si2 $i

2Si2%&i &i =

ni%n

-D 3rdaneta -0 D,-A: -,>> D,-00 D,:>0 =alera D,-D:< 2,000 D,-H D,-:0

- Escuque 0 D,D::< D D D,D:H> 1ocon 02 D,:> -,-: D,ADA D,2H>- "rujillo -2 D,-A- D D D,D:H

$ R > = 22,-Q22 iii &S$

:D

7/25/2019 Muestreo 2003

42/59

( ) ( ) = =

==="

i

"

i

ii

i

ii S$n&

S$

nV

- -

2

22

D:-,D--0,->E

-22,-

2-

---

( )2-

--0,->E

-D:-,D

22,-

-

-

2

-

22

+

=+

=

=

="

i

ii

"

i i

ii

S$N

V

&

S$

n %incas

ASINACIN DE LA MUESTRA

!e denomina asignacin o afijacin al reparto o distribucin del tama7o de la muestra n

entre los diferentes estratos, es decir, la determinacin de los 6 valores n ide modo que ni n2 .... n =n. Cada asignacin puede originar una variana diferente al estimador,nuestro objetivo es determinar un esquema de asignacin que aumente la precisin yminimice los costos .

-/ 6os factores que influyen en la asignacin son;2/ El n5mero total de elementos en cada estrato.0/ 6a dispersin en cada estrato y.:/ El costo de observacin en cada estrato.

TIPOS DE ASINACIN.

-. #gual"

nn

i=

2. &ptima.0. 8roporcional.

ASINACIN OPTIMA; en el muestreo estratificado los valores de los tama7os de lamuestra por estrato puede ser asignados con la finalidad de minimiar la variabilidad delestimador para un costo fijo o para minimiar el costo para un valor especfico de lavariana de la media ( )'tyVT .

6a funcin de costo fijo ms sencilla es =

+= "

iiin11C

-D . entro de cualquier estrato el

costo es proporcional al tama7o de la muestra, pero el costo por cada unidad 1ipuede variarentre los estratos.

:-

7/25/2019 Muestreo 2003

43/59

8or tanto, C3representa un costo general y 1iel costo por unidad encuestada en el estrato i.!abemos que la variana estimada de la media es;

( ) ( )

= = =

=

=

"

i

.

i

"

i

ii

i

ii

i

i

i

ii

i'tN

SN

nN

SN

n

S

N

nNN

NyV

- - -2

2

2

222

2

2

-T

haciendo ii $NN =Q obtenemos;

( ) = 222

-Tii

i

ii't S$

Nn

S$yV

)hora, vamos a minimiar la variana ( )'tyVT sujeto a la restriccin 1-n- 12n2 .... 1"n"= C ( C3.

D

-

-D =+=

Cn1C"

i

i

3sando el m4todo de los multiplicadores de 6agrange debemos minimiar, la funcin;

( ) ( ) = =

++="

i

"

i

ii

i

ii

i

ii

i 111nN

S$

n

S$n

- -

D

2222

iferenciando con respecto a ni, en cada uno de " estratos, i = -,2,....," e igualando acero, las"ecuaciones obtenidas son;

D2

22

=+ ii

ii 1n

S$ i

i

ii 1n

S$=

2

22

Extrayendo la ra cuadrada,

ii

ii n1

S$= -/

!umando / sobre ise obtiene;

=

="

i i

ii

i1

S$n

-

=i

ii

1

S$n 2/

haciendo el cociente de -/ y 2/ para eliminar

=

="

i i

ii

iiii

1

S$

1S$

n

n

-

Q

=

="

ii

ii

iiii

1

S$

1S$

n

n

-

Q

ies un valor especfico del estrato.

:2

7/25/2019 Muestreo 2003

44/59

Como &i = ni%n

=

="

i i

ii

ii

i

i

1

SN

N

1SN

N

n

n

-

-

Q

Entonces =

="

i i

ii

iiii

1

SN

1SN

n

n

-

Q

luego =

="

i i

ii

iii

i

1

SN

1SNnn

-

Q

Este resultado nos indica que en un estrato dado se debe tomar una muestra grande si;

El estrato es grande Ni /. El estrato es ms variable internamente.

El muestreo es mas barato en el estrato.

-.- TAMA3O DE LA MUESTRA PARA LA ASINACIN OPTIMA.

El tama7o de muestra seg5n asignacin o afijacin optima, a su ve depende de;

a/ !i la muestra es escogida para satisfacer un costo total Cespecifico, ob/ 8ara dar una variana de ( )'ty especifica.

a0 En el primer caso, !i el costo es fijo, entonces, se minimia ( )'tyV . Nuiere decir queen la funcin de costos sustituimos el valor de ni.

=

+="

i

iin11C D

=

=

=.

i

iii

iii"

i

i

1SN

1SNn11C

-

-

D

Q

Q

( ) ( )==

="

i

iiiii

"

i

ii 1SNn11SN1C--

D QQ

( ) ==

= "

i

iiii

"

i

ii 1SNn1SN1C--

D Q

:0

7/25/2019 Muestreo 2003

45/59

espejando n se tiene;

( )

( )

=

=

=

"

i

iii

i

"

i

ii

1SN

1SN1C

n

-

-

D Q

40 !i la variana se fija con anticipacin, al sustituir &i= ni%n en la frmula de la variana

de la media ( ) ==i

ii

i

ii

'tN

'&

&

'&

NVyV

2222-

o en la frmula de tama7o

aproximado de la muestra, tenemos;

=

=

+=

"

i

i

"

i

iii

S$N

V

&S$

n

-

-

2

-

Q

donde; V = e2%t2es la variana anticipada

!ustituyendo

( ) ( )==

==="

i

iii

iii

"

i

iii

iii

ii

1SN

1SN

1S$

1S$nn&

--

Q

Q

Q

QQ

nos queda

( (

=+

="

i

ii

iiiiii

S$N

V

1S$1S$n

-

2-

para expresarla en t4rminos deNi, se sustituye $i= Ni%N

( )( ) ( )( )

==

+=

+=

"

i

ii

iiiiii

"

i

ii

iiiiii

SNVN

1SN1SN

SNN

V

1SN1SNNn

-

22

-

2

2

2 Q

-

Q-

-.) TAMA3O DE LA MUESTRA% CASO DE COSTOS IUALES POR ESTRATO0ASINACIN DE NEYMANN1

En algunos problemas el costo para obtener informacin en cada uno de loa estratos es elmismo, as C-= C2= ......= C" = C. !i los costos son conocidos se puede suponer que loscostos son iguales.

::

7/25/2019 Muestreo 2003

46/59

=

ii

ii

iSN

SnNn

=ii

ii

S$

S$n este tipo de asignacin se conoce como asignacin de

$eyman asignacin ptima supuesta/.

En este caso( )

+=

22

2

ii

ii

SNVN

SNn

2

2

t

eV=

( )

=

+=

"

i

ii

ii

S$N

V

S$n

-

2

2

-

-., TAMA3O DE MUESTRA PARA COSTOS IUALES% VARIAN/AS IUALES%ASINACIN PROPORCIONAL.

Este m4todo de asignacin de la muestra se denomina asignacin proporcional porque lostama7os de la muestra n- ,n 2,......,n", se distribuyen de acuerdo al peso del estrato en lapoblacin, por tanto;

== iiii't y$yNN

Y -

n

n

N

N$ iii ==

!ea la definicin de variana;

( ) ( )

==

i

i

i

ii

iii'tn

S

N

nN$yV$yV

2

22

)l sustituir en t4rminos de los pesos de los estratos poblacionales,( )

=

=

i

i

i

ii

iii

in$

S

N

nN$

nN$

Sn$N$$

2

2

2

2

( )

( ) ( )

=

= 2

2

2

iii

i

i't S$Nn

nN

$

S

$Nn

nN

yV

8ara determinar el tama7o de muestra, hacemos iiii $&

N

N

n

n=== y luego al sustituir en

:

7/25/2019 Muestreo 2003

47/59

=

=

"

i

iii

iii

i

1SN

1SNnn

-

Q

Q S-= S2= ....... = S" y 1- = 12 = .... = 1"

!e tiene =

i

i

iN

Nnn y el valor de =NNi

Empleando la formula de tama7o aproximado para estimar la media;

===

+=

+=

+=

"

i

ii

ii

"

i

ii

iii

"

i

ii

iii

SNN

NV

SN

SNVN

$SN

SNVN

&SNn

-

2

2

-

22

2

-

22

2

-

QQ

si dividimos numerador y denominador porNV.

===

+=

+

=+

="

i

ii

ii

"

i

ii

ii

"

i

ii

ii

S$NV

S$V

NV

SN

N

NV

SN

SNN

NV

SNn

-

2

2

-

2

2

-

2

2

--

-

--

-

haciendo = 2

D

-iiS$Vn queda

Nn

nn

D

D

- +=

Esta asignacin puede utiliarse tambi4n cuando los costos y las varianas no son igualespero no son tomados en cuenta al momento de fijar los tama7os de la muestra/, una ventajaal usar esta descomposicin es que yyS= .

Coi( $e la =re>i!i( $el to aleatorio.

!i se usa inteligentemente la estratificacin, es decir, si es el modelo de muestreoadecuado, entonces, da como resultado una variana ms peque7a para el estimador que laobtenida mediante muestreo aleatorio simple. !in embargo, no es verdad que el muestreoestratificado d4 siempre una variana menor que en el muestreo aleatorio simple.

:>

7/25/2019 Muestreo 2003

48/59

8ara obtener la variana !2 en el muestreo irrestricto aleatorio m.i.a./, asumamos quetenemos una poblacin estratificada y por tanto, la variacin total se divide en dos fuentesde variacin; entre y dentro de los estratos.

( ) ( ) ( )2-- - - -

22 YYNYYYY i

"

i

i

"

i

"

i

"

i

N

j

iijij

i

+= == = = = asumamos que YYS =

( ) ( ) ( )2

-

2

-

2 -- ==

+="

i

iii

"

i

i YYNSNSN

( ) ( )

( )-

-

2

-

2

-2

+=

==

N

YYNSN

S

"

i

iii

"

i

i

!abemos que en el muestreo aleatorio simple sin reposicin la variana de la media es;

( )

==

N

nN

n

Sf

n

SVra*

22

-

)hora, en el muestreo estratificado la variana de la media es;

( )

=

=

"

i i

i

i

ii

i'tn

S

N

nNN

NyV

-

2

2

2

T-T

!i en esta definicin realiamos las sustituciones de acuerdo al tipo de afijacin de lamuestra, obtendremos la variana de la media seg5n ese tipo de asignacin o afijacin. Esel caso de la afijacin proporcional, al sustituir los pesos de los estratos, se obtiene lavariana proporcional, as;

i

ii

i &n

n

N

N$ ===

( ) ( ) ( ) === 22 -- iiii'tprop SNNn

fS$

nYVV

6a variana de la media seg5n la asignacin ptima $eymann/ es;

( ) ( ) ( ) ( ) === 222

2

22 ----iiiiiiii'topt S$

NS$

nNS$

nS$

nYVV

Expresada en t4rminos de los tama7o de los estratos, es;

:

7/25/2019 Muestreo 2003

49/59

( ) ( ) == 222

2

--iiii'topt SN

NSN

nNYVV

"eorema Cochran/;ranpropopt VVV tarea demostrar/

!e puede medir la eficiencia del dise7o de muestreo estratificado utiliando el siguientecociente; =prop Q =ran R mide el efecto del dise7o. "ambi4n se puede calcular con relacin ala variana ptima, es decir, =op Q =ran. !i el resultado es menor que - indica que eseficiente, si es igual a - es preferible usar el muestreo aleatorio simple y si es mayor que -no es eficiente.

ESTIMACIN DE LA PROPORCIN =

!i queremos estimar la proporcin de unidades de la poblacin que posee unacaracterstica, la estratificacin ideal es dividir la poblacin en dos estratos, uno el de todaslas unidades que poseen la caracterstica y el otro, las que no lo poseen. Esto es en generalimposible por ello trataremos de construir estratos que la proporcin vare tanto como seaposible de estrato a estrato. !abemos que la proporcin pes un caso particular de y,para una variable dicotmica.

( ) =

=+++="

i

ii""iS pNN

pNpNpNN

p-

22- T

-T...TT

-T

( ) ( ) ( ) ==

==

"

i i

ii

i

iii

"

i

iiSn

!p

N

nNN

NpVN

NpV

-

2

2-

2

2 -

TT-TT

-TT

TAMA3O DE LA MUESTRA PARA LA PROPORCIN

6as frmulas de calculo del tama7o de la muestra para la proporcin son iguales a la de lamedia excepto en que !i2R iiqp

=+

="

i

iii

iiii

!pNteN

&!pNn

-2

2

2

2

TT

QTT

es el tama7o de muestra aproximado para estimar la proporcin.

A!iB(a>i( o=ti

7/25/2019 Muestreo 2003

50/59

=

="

i

iiii

iiii

i

1!pN

1!pnNn

-

QTT

QTT

El tao!to total C e! ;

( )

=

=

"

i

iiii

iiii

1!pN

1!pN11n

-

D

QTT

QTT

El tama7o de muestra ptimo que minimia la variana es;

( )( ) ( )( )

==

+=

+=

"

i

iii

iiiiiiii

"

i

iii

iiiiiiii

!pNVN

1!pN1!pN

!pNN

V

1!pN1!pNNn

-

2

-2

2

TT

QTTTT

TT-

QTTTT-

donde2

2

t

eV= es la variana anticipada.

!i los costos son iguales, el tama7o de muestra n ptimo $eymann/ es;

=

= "

i

iii

iii

i

!pN

!pnN

n

-

TT

TT

en este caso

=

=

+

="

i

iii

ii

"

i

i

!pNt

eN

!pN

n

-2

22

2

-

TT

TT

A!iB(a>i( =ro=or>io(al; se presenta cuando existen costos iguales y tambi4n lasvarianas de los estratos son iguales.

=N

Nnn ii y

=+

=

"

i

iii

ii

"

i

i

!pNNt

e

N

!pN

n

-2

22

TT

-

TT

TEMA +. MUESTREO POR CONLOMERADOS

:A

7/25/2019 Muestreo 2003

51/59

!e caracteria porque las unidades de muestreo contienen a dos o ms unidades primarias5ltimas/. 6a poblacin se subdivide en subpoblaciones y algunas de ellas, quedenominaremos conglomerados, pero no todas sern incluidas en la muestra.

El muestreo por conglomerados es similar al muestreo aleatorio simple, pero se diferencianen que la unidad de muestreo es un conjunto de unidades primarias o elementales.

) diferencia con el muestreo estratificado, donde la poblacin tambi4n se subdivide ensubpoblaciones, pero siempre todos los estratos estn representados en la muestra.(ientras que el muestreo estratificado es dise7ado y utiliado fundamentalmente con elobjeto de reducir la variana de los estimadores, el muestreo por conglomerados esutiliado debido a que muestrear directamente sobre las unidades primarias, el costo esexageradamente alto.

Este muestreo es, en muchos casos, un muestreo efectivo para obtener la informacin

deseada a un menor costo, aunque el uso de los conglomerados conlleve en algunos casos auna variana mayor de los estimadores.

6os casos en los cuales se justifica la aplicacin de este dise7o muestral son;

-/ onde existe un alto costo por la moviliacin o traslado entre las unidadesprimariasV el muestreo por conglomerado permite disminuir las distanciasV pues por logeneral, los conglomerados son reas fsicas o geogrficas, donde las unidadesprimarias estn contiguas.

2/ Cuando no existe lista de las unidades primarias o 5ltimas/ sobre los cuales hay quetomar las observaciones, y el costo de levantar un marco muestral de estas unidadeses alto, en comparacin con el costo de muestrear sobre conglomerados, los cuales sipueden disponer de un marco o directorio.

0/ 8ara peque7as unidades donde puede ser difcil fijar con precisin sus limites, sinembargo, puede ser posible y fcil, dividir con poblacin en unidades mayores yluego muestrear y medir aquellas unidades mayores seleccionadas. Ejemplo;animales.

:/ "ambi4n, pueden existir consideraciones administrativos que jueguen papelimportante en la coleccin del dise7o a utiliar.

6a diferencia de objetivos entre estratificacin y conglomerados conduce a diferentescriterios para establecer los conglomerados o los estratos. En contraste, con el estratificado,la variana del estimador se hace peque7a al hacer el conglomerado, tanto como seaposible, representativo de la diversidad de toda poblacin, y todas los conglomeradosdeben ser en lo posible construidos de modo que sean lo ms semejante entre s. )diferencia del muestreo estratificado, donde los estratos deben ser homog4neos dentro de sy heterog4neos entre s.

:CMO SELECCIONAR UNA MUESTRA POR CONLOMERADOS;

7/25/2019 Muestreo 2003

52/59

efinir el conglomerado tipo tama7o del conglomerado/. El n5mero de elementos queintegran un conglomerado se denomina tama7o. En la mayora de los m4todos porconglomerados, los conglomerados son de tama7os diferentes unas de otras, losconglomerados de igual tama7o, rara ve se logran en la practica, pero se constituyen

una introduccin sencilla al estudio del m4todo por muestreo, y pueden resultar ensituaciones practicas donde las condiciones fueran las indicadas, tales como; procesosde produccin control de calidad/.

El problema de elegir un tama7o de conglomerado *i/ apropiado puede ser un proceso untanto complicado. El tama7o ptimo de los conglomerados no es una caracterstica quedepende exclusivamente de la poblacin, sino tambi4n de la estructura de costos de lainvestigacin. El tama7o del conglomerado ptimo es aquel para el cual la variana delestimador es mnimo donde el costo de la investigacin o el costo de la encuesta es mnimodada la variana. )s, por ejemplo, el tama7o del conglomerado se hace ms peque7ocuando aumenta la duracin de la entrevista, cuando el traslado entre las unidades primarias

es barato, cuando la densidad del conglomerado es mayor y cuando el presupuesto del gastoaumenta.

%ormar el marco muestral, listando los conglomerados en los cuales se ha particionandola poblacin. 'esolviendo las imperfecciones que el marco pueda tener y garantiandoque todos las unidades primarias que estn en los conglomerados esta en uno y solo unode los conglomerados.

!eleccionar los conglomerados que van en la muestra utiliando un muestreo irrestrictoaleatorio.

!i hacemos un muestreo o encuestamos todas las unidades de los conglomerados

seleccionados, el muestreo se denomina muestreo por conglomerados Mo(oetH=i>o.

!i en ve de entrevistar u observar a todos los individuos o unidades primarias delconglomerado observado en la muestra a su ve tomamos muestras de estas unidadesprimarias de los conglomerados seleccionados, el muestreo se denomina 7ietH=i>o%pues lamuestra se selecciona en dos etapas.

Este proceso se puede generaliar a ms de dos etapas y el muestreo se denominaPolietH=i>o.

Nota>i(@

NR n5meros de conglomerados en la poblacinnR n5meros de conglomerados en la muestra*iR n5meros de unidades elementales primarias/ en el iF4simo conglomerado

5R=

N

i

i*-

"otal de elementos en la poblacin.

7/25/2019 Muestreo 2003

53/59

N

55= "ama7o promedio del conglomerado en la poblacin

=iy total del conglomerado iF4simo

n

*

*

n

ii

= "ama7o promedio del conglomerado en la muestra.

ESTIMACIN DE LA MEDIA PO7LACIONAL

8or definicin la media poblacional es; R

=N

i

i

N

i

i

*

y-

6uego, la estimacin de la (edia 8oblacional es;

=

===n

i

i

n

i

i

*

y

y

-

-T

Este estimador de la media tiene la forma de un estimador de ran, por lo tanto, lavariana de la media tiene la forma de la variana del estimador de ran, as;

( )

-/.T

2

=

n

*yy

5Nn

nNyV

n

i

ii

!i se desconoce el total de elementos en la poblacin 5, entonces, 5 puede ser estimado

con

n

*

*

n

i

i=

El lmite para el error de estimacin es;

7/25/2019 Muestreo 2003

54/59

-

/.

/.T

2

2

===

n

*yy

5Nn

nNtyVtBe

ii

kk

6os lmites de confiana son; ey

En el muestreo por conglomerados (onoetpico distinguiremos dos casos;

-. "odos los conglomerados son de igual tama7o.2. "odos los conglomerados son de tama7o diferentes

ESTIMACIN DEL TOTAL PO7LACIONAL

El total poblacional puede ser determinado por 5 porque 5 denota el total deelementos en la poblacin. 8or lo tanto, as como en el muestreo aleatorio simple, el totalpuede ser estimado por;

=

===n

i

i

n

i

i

*

y

5y5

-

-T

6a variana estimada de y5=T ;

( ) ( )( )

-TT -

2

22

==

=

n

*yy

Nn

nNNyV5y5V

n

i

ii

El lmite para el error de estimacin es;

( )

-/T

2

2

===

n

*yy

Nn

nNNtyVtBe

n

i

ii

kk

&bserve que este estimador y5=T es 5til solo cuando se conoce 5 el total deelementos de la poblacin.

!in embargo, a menudo ese n5mero de elementos de la poblacin no se conoce, por tanto sedebe utiliar otro tipo de estimador, el cual no depende de 5 ;

7/25/2019 Muestreo 2003

55/59

=

==n

i

it yn

NyN

-

T

donde;

N%nRfactor de expansin

=

=n

i

it yn

y-

-es el promedio de totales de conglomerado para la muestra seleccionada.

6a variana estimada de tyN=T ;

( ) ( )( )

-TT -

2

22

==

=

n

yy

Nn

nNNyVNyNV

n

i

ti

tt

El lmite para el error de estimacin es;

( )

-/T

2

2

===

n

yy

Nn

nNNtyNVtBe

n

i

ti

ktk

Este estimador T tiene a menudo el inconveniente de ser poco preciso, pues por lo general,las medias de los conglomerados varan poco y los *ivaran mucho. En este caso el totaldel conglomeradoyiR *i iy , tambi4n varia mucho de unidad a unidad y entonces ( )TV esmuy grande, sin embargo, este estimador es a veces utiliado, pues tiene la ventaja de que

no es necesario conocer el tama7o de la poblacin. =

=N

i

i*5-

6os estimadores de y poseen propiedades especiales cuando todos los tama7os delos conglomerados son de igual tama7o, es decir, **** N==== ...2- ;

-. El estimador y es un estimador insesgado de .

7/25/2019 Muestreo 2003

56/59

2. 6a variana estimada( )

( )2

2

-

T

=

n

*yy

5Nn

nNyV

n

i

ii es un estimador insesgado de la

variana poblacional( )

( )2

2-

=

n

*yy

5Nn

nNyV

N

i

ii

0. 6os estimadores del "otal 8oblacional y5=T y tyN=T son equivalentes.

SELECCIN DEL TAMA3O DE MUESTRA

-. 8ara estimar la (edia 8oblacional;

8or definicin el error de estimacin es;

( ) ( )yVtNn

nNtyVtBe k1kk =

=== 2 , donde

( ) 22 1

5Nn

nNyV

= es la variana poblacional y ( ) 2

2

T1S

5Nn

nNyV

= es la variana estimada.

)l despejar de la formula del error de estimacin el valor de n, se tiene que el tama7o demuestra es;

1ND

1Nn

2

2

+= , donde

2

2

2

5

t

eD

=

es la variana anticipada

2. 8ara estimar el "otal 8oblacional. En este caso tenemos dos tipos de estimadores;

a. y5=T

7/25/2019 Muestreo 2003

57/59

1ND

1Nn

2

2

+= , donde

= 222

Nt

e

Dk

b. tyN=T

2

2

t

t

ND

Nn

+= , donde

=

22

2

Nt

eD

k

2

t , esta variana es estimada por( )

2

-2

-

=

=

n

yy

S

n

i

ti

t

que es la cuasivariana de

totales de conglomerados en la muestra.

ESTIMADOR DE LA PROPORCIN

6a proporcin es un parmetro muy frecuentemente estimado en las investigaciones pormuestreo.

6a proporcin no es mas que la media de una poblacin dicotmica. El estimador usual enla proporcin es el n5mero de 4xitos en la muestra entre el total de la muestra.

Como estimador se utilia

=

==n

i

i

n

i

i

*

a

p

-

-T donde ai es el total de [4xitos] en el iF4simo

conglomerado. Este estimador lo podemos considerar como un estimador de ran como elde la media, visto anteriormente.

+ as, su variana es ( ) 22

T1

5Nn

nNpV

= , donde;

( )

-

T 2

2

=

N

*paiN

i

i

1

7/25/2019 Muestreo 2003

58/59

+ el estimador de la variana de la proporcin es ( ) 22

TT1S

5Nn

nNpV

=

onde;

( )

-

T 2

2

=

n

*pa

S

n

i

ii

1

SELECCIN DEL TAMA3O DE MUESTRA PARA ESTIMARLA PROPORCIN

8ara obtener el tama7o de muestra para estimar la proporcin se fija el error mximoadmisible e=B y el multiplicador de confiana kt .

8or definicin este error es;( )pVteB k TT==

)l elevarlo al cuadrado se tiene;

( ) ( ) 22

2

2

222 TTTT 1

kk

k5Nn

nN

t

epV

t

epVte

=

=

=

)l despejar se encuentra el tama7o de muestra;

2

2

22

2

2

2

1

1

1

1

ND

N

5Nt

e

Nn

+=

+=

D= es la variana anticipada

6a variana 21 puede ser estimada por2

1S o proviene de;

a/ (uestras pilotos.b/ Censos anteriores, yc/ e otras estimaciones.

7/25/2019 Muestreo 2003

59/59

7I7LIORAFA

Cochran, . -AHD/ M'e!treo. "rillas.

6ohr, !haron. 2DDD/ M'e!treo@ Di!eGo A(Hli!i!. #nternational "homson Editores,(4xico.

84re, C4sar. 2DDD/ M'e!treo >o( a=li>a>io(e! i(fora!. (adrid.

!cheaffe, '., (endenhall, ., y &tt, 6. -AA-/ Ele